OXY BA ĐƯỜNG CÔNIC (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word §8 BA ĐƯỜNG CƠNIC I Đường chuẩn elip hypebol Khơng có parabol có đường chuẩn, elip hypebol có đường chuẩn định nghĩa tương tự sau Đường chuẩn elip a Định nghĩa: Cho (E): x2 y2 a + = Khi đường thẳng D : x + = gọi đường e a b chuẩn elip, ứng với tiêu điểm F1 (- c; ); Đường thẳng D : x - a = gọi đường e chuẩn elip, ứng với tiêu điểm F2 (c;0 ) b Tính chất: Với điểm M thuộc (E) ta có MF1 MF2 = = e (e < ) d (M ; D ) d (M ; D ) Đường chuẩn hypebol a Định nghĩa: Cho (H): x2 y2 a D : x + = = đường thẳng e a b2 a = gọi đường chuẩn (H) tương ứng với tiêu điểm F1 (- c; ) e F2 (c;0 ) D2 : x - b Tính chất: Với điểm M thuộc (E) ta có MF1 MF2 = = e (e > ) d (M ; D ) d (M ; D ) II Định nghĩa ba đường cônic Cho điểm F cố định đường thẳng D cố định không qua F Tập hợp điểm M cho tỉ số MF số dương e cho trước gọi ba đường cônic d (M ; D ) Điểm F gọi tiêu điểm, D gọi đường chuẩn e gọi tâm sai đường cônic Chú ý: Elip đường cơnic có tâm sai e < ; parabol đường cơnic có tâm sai e = ; hypebol đường cơnic có tâm sai e > B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG Nhận dạng cônic xác định tiêu điểm, đường chuẩn đường cônic Phương pháp giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word • Để nhận dạng đường cơnic ta dựa vào tâm sai: đường cơnic có tâm sai e < elip; đường cơnic có tâm sai e = parabol; đường cơnic có tâm sai e > hypebol • Từ phương trình đường cơnic ta xác định dạng từ xác định tiêu điểm đường chuẩn Các ví dụ Ví dụ 1: a) Xác định tiêu điểm x2 y2 + = A F1 (- 1;0 ) B F2 (1; ) C F2 (1; ), F1 (- 1;0 ) D F2 (2;0 ), F1 (- 2;0 ) Xác định đường chuẩn x2 y2 + = A x + = x - = B x + = x - = C x + = x - = D x + = x - = b) Xác định tiêu điểm ( A F1 C F2 ( 17; x2 y2 = 10 ) ) ( 17; , F1 - Xác định đường chuẩn A x + B F2 17; 17; D F2 (2;0 ), F1 (- 2;0 ) = B x + = x - = 17 C x + = x - = D x + = x - = c) Xác định tiêu điểm y = 18x ỉ ÷ ;0ữ ữ ỗố ứ A F ỗỗ- ) x2 y2 = 10 = x - 17 ) ( ổ9 B F ỗỗ ; ữ ữ ữ ỗố ứ http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word C F2 ) ( ( 17; , F1 - 17; ) D F2 (2;0 ), F1 (- 2;0 ) Xác định đường chuẩn y = 18x A x + = B x + = C x - = D x + = Lời giải: a) Dễ thấy phương trình tắc đường elip ìï a = ìï a = Þ ïí Ta có ïí ïï b = ỵ c Þ c = a - b2 = - = c = , tâm sai e = = ï b= a îï Vậy ta có tiêu điểm F1 (- 1;0 ) tương ứng có đường chuẩn có phương trình x + = hay x + = tiêu điểm F2 (1; ) tương ứng có đường chuẩn có phương trình x- = hay x - = b) Đây phương trình tắc đường hypebol ìï a = Ta có ùớ ị ùù b = 10 ợ ỡù a = ï Þ c = a + b2 = 17 c = í ï ïỵï b = 10 ( Vậy ta có tiêu điểm F1 - x+ 17 7 = hay x + phương trình x - 17 17 c = a 17 ) 17; tương ứng có đường chuẩn có phương trình = tiêu điểm F2 = hay x - 17 c) Đây phương trình tắc parabol Ta có 2p = 18 Þ p = 17 , tâm sai e = = ( ) 17; tương ứng có đường chuẩn có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ổ9 Vy tiờu im l F ỗỗ ; ÷ ÷, đường chuẩn có phương trình x + = ữ ỗố ứ Vớ dụ 2: Cho cơnic có tiêu điểm F (- 1;1), qua điểm M (1;1) đường chuẩn D : 3x + 4y - = Cônic elip, hypebol parabol? A.elip B.hypebol C.parabol D.Đường tròn Lời giải: Ta có MF = , d (M ; D ) = Suy 3+ 4- + = MF = > suy elip d (M ; D )  DẠNG Viết phương trình đường cơnic Phương pháp giải • Dựa vào dạng đường cônic mà giả thiết cho để viết phương trình • Dựa vào định nghĩa ba đường cơnic Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : x - y + = điểm F (1;0 ) Viết phương trình đường cônic nhận F làm tiêu điểm D đường chuẩn trường hợp sau a) Tâm sai e = A 2x + y - xy + 10x - 6y + = B x + y - 6xy + 10x - 6y + = C x + y - xy + 10x - 6y + = D 2x + y - 6xy + 10x - 6y + = b) Tâm sai e = A 3x + 3y + 2xy - x + y + = B 3x + y + xy - 10x + 2y + = C x + y + xy - 10x + 2y + = D 3x + 3y + 2xy - 10x + 2y + = c) Tâm sai e = A 2xy - 4x + 2y + = B 2xy - 4x + 2y - = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D 2xy - 4x + 2y = C 2xy + x + 2y = Lời giải: Gọi M (x ; y ) điểm thuộc đường cơnic cần tìm Khi theo định nghĩa ta có MF = e Û MF = e.d (M ; D ) (*) d (M ; D ) Ta có MF = a) Tâm sai e = (1 - x ) + y , d (M ; D ) = (* ) Û (1 - x ) x- y+ + y2 = x- y+ Û (x - 2x + + y ) = (x + y + - 2xy + 2x - 2y ) Û 2x + y - 6xy + 10x - 6y + = Vậy phương trình đường cơnic cần tìm 2x + y - 6xy + 10x - 6y + = b) Tâm sai e = (* ) Û 2 (1 - x ) + y2 = x- y+ 2 Û (x - 2x + + y ) = x + y + - 2xy + 2x - 2y Û 3x + 3y + 2xy - 10x + 2y + = Vậy phương trình đường cơnic cần tìm 3x + 3y + 2xy - 10x + 2y + = c) Tâm sai e = (* ) Û (1 - x ) + y2 = x- y+ Û x - 2x + + y = x + y + - 2xy + 2x - 2y Û 2xy - 4x + 2y = Vậy phương trình đường cơnic cần tìm 2xy - 4x + 2y = ( ) Ví dụ 2: Cho điểm A 0; hai đường thẳng D : x - = , D ' : 3x - y = a) Viết phương trình tắc đường elip có A đỉnh đường chuẩn D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A x2 y2 + = B x2 y2 + = C x2 y2 + = D x2 y2 + = b) Viết phương trình tắc đường hypebol có D đường chuẩn D ' tiệm cận A x2 y2 = 36 B x2 y2 = 360 C x2 y2 = 40 36 Lời giải: a) Gọi phương trình tắc elip ( x2 y2 + = 1, a > b > a b2 ) Vì A 0; đỉnh elip nên b = elip có đường chuẩn D nên a a2 = 2Û = Û a = 2c (*) e c Ta lại có b2 = a - c Þ = a - c Þ c = a - thay vào (*) ta có a = (a - ) Û a = x2 y2 + = Vậy phương trình tắc elip cần tìm b) Gọi phương trình tắc elip x2 y2 = 1, a > 0, b > a b2 Hypebol có đường chuẩn D nên a a2 a2 = 2Û = 2Û c= (1) e c Hypebol có đường tiệm cận D ' nên b = Û b = 3a (2) a Mặt khác b2 = c - a (3) Thay (1), (2) vào (3) ta 2 (3a ) æa a4 2 = ỗỗ ữ a 10 a = Û a ( 40 - a ) = a = 40 ữ ỗố ÷ ø Suy b2 = 9a = 360 D x2 y2 = 40 360 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vậy phương trình tắc hypebol cần tìm x2 y2 = 40 360  DẠNG Sự tương giao gữa đường cônic với đường khác Phương pháp giải Cho hai đường cong f (x ; y ) = a, g (x ; y ) = b • Số giao điểm hai đường cong số nghiệm hệ phương trình ìï f (x ; y ) = a ïí ïï g (x ; y ) = b ỵ ìï f (x ; y ) = a • Tọa độ giao điểm(nếu có) hai đường cong nghiệm hệ ïí ïï g (x ; y ) = b ỵ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : 2x - y + m = , elip (E): x2 y2 + = hypebol (H): x2 y2 = 1 a) Với giá trị m D cắt (E) hai điểm phân biệt ? A - < m < B - C - 3 < m < 3 D - 3 £ m £ 3 3< m < b) Chứng minh với m D cắt (H) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác (H) c) Viết phương trình đường tròn qua giao điểm (E) (H) A x + y = 17 B x + y = 62 C x + y = Lời giải: ìï 2x - y + m = ìï ï y = x+ m Û a) Xét hệ phương trình ïí x íï y ïï ïï 9x + 8mx + 2m - = + = ỵ ïỵ D x + y = 62 17 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Do D cắt (E) hai điểm phân biệt phương trình 9x + 8mx + 2m - = có hai nghiệm phân biệt hay D ' = 16m - (2m - ) > Û - 3 < m < 3 ìï 2x - y + m = ìï ï y = x+ m Û íï b) Xét hệ phương trình ïí x y ïï ïï 7x - 2mx - m - = (* ) = ỵ ïỵ Do ac = - (m + ) < nên phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu suy D cắt (H) hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu Vậy D cắt (H) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác (H) ìï ïï c) Tọa độ giao điểm (E) (H) nghiệm hệ: ïí ïï ïï ỵ ìï ïï x = ± ï Giải hệ (I) ta ïí ïï ïï y = ± ïỵ x2 y2 + = (I ) x2 y2 = 1 22 17 10 17 Tọa độ giao điểm (E) (H) nghiệm hệ (I) nên thỏa mãn phương trình ỉx y ỉx y 62 ữ ữ ỗỗ 27 ỗỗ + + = 31 hay x + y = ữ ữ ữ ữ ỗố 17 3ứ 8ứ ốỗ Vy ta giao im ca (E) v (H) l ổ 22 ổ 10 ữ ỗỗữ M ỗỗỗ ;2 , M ữ ữ ỗỗố çè 17 17 ø ỉ ỉ 22 10 ữ ỗỗ 22; - 10 ữ ỗữ ữ ;2 , M , M ữ ỗỗ ữ 4ỗ ỗỗ ÷ 17 17 ÷ 17 17 ø è ø è trình đường tròn qua điểm phương trình x + y = 22 10 ö ÷ ÷ ;- phương ÷ ÷ 17 17 ø 62 17 Nhận xét: Để viết phương trình đường tròn qua giao điểm (E) x2 y2 + = , (H) a b2 x2 y2 = a '2 b '2 ta chọn a , b cho a b a b + = - = k > 0, a + b > phương trình đường a a' b b' tròn cần tìm x + y = a + b k http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ 2: Cho elip (E): x2 y2 + = điểm I(1; 2) Viết phương trình đường thẳng qua I biết 16 đường thẳng cắt elip hai điểm A, B mà I trung điểm đoạn thẳng AB A x + 32y - 73 = B 9x + 3y - 73 = C 9x + 32y - = D 9x + 32y - 73 = Lời giải: r ìï x = + at Cách 1: Đường thẳng D qua I nhận u (a ;b ) làm vectơ phương có dạng ïí (với ïï y = + bt î a + b2 ¹ ) A, B Î D suy tọa độ A, B có dạng A = (1 + at 1;2 + bt ) , B = (1 + at ;2 + bt ) ìï 2x I = x A + x B ìï a (t + t ) = Û ïí Û t + t = (1) I trung điểm AB ïí ïï 2x I = x A + x B ỵ ïï b (t + t ) = ỵ (do a + b2 ¹ ) A, B Ỵ (E ) nên t 1, t nghiệm phương trình (1 + at )2 (2 + bt )2 + = 1Û 16 (9a + 16b2 )t + (9a + 32b )t - 139 = Theo định lý Viet ta có t + t = Û 9a + 32b = Ta chọn b = - a = 32 Vậy đường thẳng d có phương trình x- y- = hay 9x + 32y - 73 = 32 - Cách 2: Vì I thuộc miền elip (E ) nên lấy tùy ý điểm A (x ; y ) Ỵ (E ) đường thẳng IM cắt (E) điểm thứ hai B (x '; y ' ) I trung điểm điểm A B ìï 2x I = x A + x B ìï x ' = - x ïí Û ïí Þ M ' (2 - x ; - y ) ïï 2x I = x A + x B ïï y ' = - y ỵ ỵ http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word ìï x y ïï + = M , M ' Î (E ) Û ïí 16 ïï (2 - x )2 (4 - y )2 + = ïï ỵ 16 Suy - 4x 16 - 8y + = hay 9x + 32y - 73 = (*) 16 Tọa độ điểm M, I thỏa mãn phương trình (*) nên đường thẳng cần tìm 9x + 32y - 73 = Nhận xét: Bài toán tổng quát " Cho elip (E ) : x2 y2 + = 1(a > b > ) điểm I (x ; y ) với a b2 x 02 y 02 + < (nghĩa điểm I thuộc miền elíp ) Viết phương trình đường thẳng a b2 qua I , biết đường thẳng cắt elíp hai điểm M , M’ cho I trung điểm đoạn thẳng MM’ " Làm tương tự cách ta có phương trình đường thẳng cần tìm 4x 02 - 4x 0x 4y 02 - 4y 0y + = a2 b2 x2 y2 = hai đường thẳng D : x + my = 0, D ' : mx - y = Ví dụ 3: Cho hypebol (H): a) Tìm m để D D ' cắt (H) hai điểm phân biệt ỉ ỉ2 ÷ ỗ A m ẻ ỗỗ- ; - ữ ữ ữẩ ç ; ÷ ÷ ÷ 3÷ ø èç ứ ổ ổ1 ữ ỗ B m ẻ ỗỗ- ; - ữ ữ ữẩ ỗ ; ÷ ÷ ỉ ỉ2 ữ ỗ C m ẻ ỗỗ- ; - ữ ữ ữẩ ỗ ; ữ ữ ổ ổ2 ữ ỗ D m ẻ ỗỗ- ; - ữ ữ ữẩ ỗ ; ữ ữ ỗố ỗố ữ ốỗ ứ ữ 3ứ ốỗ çè ÷ èç ø ÷ 3ø ÷ ốỗ ứ ữ 3ứ b) Xỏc nh m diện tích tứ giác tạo bốn giao điểm D , D ' (H) đạt giá trị nhỏ A m = ± B m = ± C m = ± D m = Lời giải: ỉm - ÷ a) Từ phương trình D x = - my vào phng trỡnh (H) ta c ỗỗ ữ ữy = (*) ỗố ữ 9ứ http://dethithpt.com Website chuyờn thi, tài liệu file word Suy D cắt (H) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt hay æ m2 2ö æ > Û m2 > m ẻ ỗỗ- Ơ ; - ữ ẩ ỗỗ ; + Ơ ữ ữ ỗố 9 ứ ốỗ ữ ữ ữ ứ ỉ1 m ÷ Tương tự từ phương trình D y = mx vào phương trình (H) ta c ỗỗ ữ ữx = ỗố ÷ ø Suy D ' cắt (H) hai điểm phân biệt ỉ 3ư m2 > Û m < Û m ẻ ỗỗ- ; ữ ữ ữ ỗố 2 ø ỉ ỉ2 ữ ỗ Vy D v D ' u ct (H) hai điểm phân biệt m ẻ ỗỗ- ; - ữ ữ ữẩ ỗ ; ữ ữ ỗố ữ ốỗ ứ ữ 3ø ỉ ỉ2 ÷ D D ' cắt (H) bốn điểm phân bit (**) ỗ b Vi m ẻ ỗỗ- ; - ữ ữ ữẩ ỗ ; ữ ữ ỗố ữ ốỗ ứ ữ 3ứ D dng tỡm c giao điểm D (H) ỉ - 6m ổ 6m - ữ ữ A ỗỗ ; ; C ỗỗ ; ữ ữ ữ ữ v giao im D ' v (H) l ỗố 9m - 9m - ứ ốỗ 9m - 9m - ø æ - ổ - 6m 6m ữ ữ ỗỗ B ỗỗ ; ; D ; ữ ữ ữ ốỗ ÷ A đối xứng với C B đối xứng vi D 2 ứ ỗố - 4m - 4m ø - 4m - 4m qua gốc toạ độ O Mặt khác D ^ D ' tứ giác A BCD hình thoi Suy S A BCD = A C BD = 72 (m + ) (9m - )(9 - 4m ) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có S A BCD = 72 (m + ) (9m - )(9 - 4m ) ³ 144 (m + ) (9m - ) + (9 - 4m ) = 144 Dấu xảy 9m - = - 4m Û m = ± (thỏa mãn (**)) Vậy m = ± thỏa mãn yêu cầu toán http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y = 8x Đường thẳng D không trùng với trục Ox qua tiêu điểm F (P) cho góc hợp hai tia Fx Ft tia D nằm phía trục hồnh góc a (a ¹ 900 ) Chứng minh D Cắt (P) hai điểm phân biệt M, N tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN a thay đổi Lời giải: ( ) Theo giả thiết ta có F 2; , đường thẳng D có hệ số góc k = tan a ìï y = (x - ) t an a Suy D : y = (x - ) t an a Xét hệ phương trình ïí (*) ïï y = 8x ỵ Suy tan a y - 8y - 16 tan a = (**) D ' = 16 + 16 tan a > phương trình (**) ln có hai nghiệm phân biệt, hệ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt điều chứng tỏ D Cắt (P) hai điểm phân biệt Gọi tọa độ hai giao điểm M (x M ; y M ), N (x N ; y N ) ; I (x I ; y I ) trung điểm MN Theo định lý Viét ta có: yM + yN = y + yN > Þ yI = M = t an a t an a Mặt khác từ (*) ta có y M + y N = æy Suy x I = ỗỗ I ỗố (x M + x N - ) t an a Þ x I = xM + xN = + 2 t an a ÷ ÷ + hay y I2 = 4x I + ÷ ÷ ø Vậy tập hợp điểm I đường cong có phương trình : y = px + p2 (Cũng gọi Parapol) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  Dạng Các tốn định tính ba đường cơnic Phương pháp giải Dựa vào phương trình tắc ba đường cônic giả thiết để thiết lập chứng minh số tính chất ba đường cơnic Các ví dụ x2 y2 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho (E): + = hai điểm M, N thuộc (E) cho OM a b vng góc với ON Chứng minh a) 1 1 + = + 2 OM ON a b b) Đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định Lời giải: a) + Dễ thấy hai điểm trùng với bốn đỉnh (E) đẳng thức hiển nhiên + Nếu hai điểm không trùng với đỉnh (E): Gọi M (x M ; y M ), N (x N ; y N ) , k (k ¹ ) hệ số góc đường thẳng OM hệ số góc ON - (vì OM vng góc với ON ) k Do M , N Ỵ (E ) nên x M2 y M2 x N2 y N2 + = + = (2) (1), a2 b2 a b2 Đường thẳng OM có phương trình y = kx suy y M = kx M Đường thẳng ON có phương trình y = - (3) 1 x suy y N = - x N (4) k k Thay (3) vào (1) suy æ x M2 k 2x M2 k2 a 2b2 ỗ ữ + = Û x + = Û x = ữ M ỗ M ữ ỗốa b2 ứ a2 b2 a 2k + b2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Þ y M2 = k 2x M2 = k 2a 2b2 a 2k + b2 Do OM = x M2 + y M2 = a 2b2 (k + ) a 2k + b2 Tương tự thay (4) vào (2) suy x æ N x a 2k 2b2 ỗ k ữ + = xN ỗ + 2 ÷ ÷ = Û x N = a + k 2b2 ỗốa a b2 kb ø N Þ y N2 = a 2b2 x = N k2 a + k 2b2 Do ON = x N2 + y N2 = a 2b2 (k + ) a + k 2b2 (a + b2 )(k + 1) 1 1 b2 + k 2a a + k 2b2 + = 2 + = = + Suy OM ON a b a b (k + ) a 2b2 (k + ) a 2b2 (k + ) Vậy 1 1 + = + 2 OM ON a b b) Gọi H hình chiếu O lên đường thẳng MN OH đường cao tam giác vuông MON Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có 1 1 = + = + Û OH = 2 OH OM ON a b ab a + b2 Suy MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính Ví dụ Cho hypebol (H): ab a + b2 x2 y2 = có tiêu điểm F1, F2 Lấy M điểm (H) a b2 Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận số http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: Phương trình hai đường tiệm cận (H) là: D1 : y = b x hay bx - ay = a D2 : y = - b x hay bx + ay = a Giả sử M (x M ; y M d (M ; D ) = ) theo cơng thức khoảng cách từ điểm tới đường thẳng ta có bx M - ay M a + b2 ; d (M ; D ) = Suy d (M ; D )d (M ; D ) = Mặt khác M thuộc (H) nên : bx M - ay M a + b2 bx M + ay M a + b2 bx M + ay M a + b2 = b2x M2 - a 2y M2 a + b2 xM yM - = hay b2x M2 - a 2y M2 = a 2b2 a b Do d (M ; D )d (M ; D ) = a b2 số a + b2 Ví dụ Cho parabol (P): y = 2ax Đường thẳng D qua tiêu điểm F có hệ số góc k (k ¹ ) cắt (P) M N Chứng minh tích khoảng cách từ M N đến trục Ox số Lời giải: Tiêu điểm F (a; ) Vì qua tiêu điểm F có hệ số góc k ¹ nên có phương trình: ỉ D : y = k ỗỗx - ữ ữ ữ ỗố 2ứ Hoành độ giao điểm D (P) nghiệm phương trình: ỉ 2 2 k ỗỗx - ữ ữ ữ = 2ax 4k x - (2a + k a )x + k a = (*) ỗố 2ứ 2 D ' = (2a + k 2a ) - 4k 4a = 16a (1 + k ) > Theo định lý Viet có x M x N = a2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mặt khác ta có d (M ;Ox ) = y M ; d (N ;Ox ) = y N Suy d (M ;Ox ).d (N ;Ox ) = y M y N = 4a x M x N = a ... 10x - 6y + = B x + y - 6xy + 10x - 6y + = C x + y - xy + 10x - 6y + = D 2x + y - 6xy + 10x - 6y + = b) Tâm sai e = A 3x + 3y + 2xy - x + y + = B 3x + y + xy - 10x + 2y + = C x + y + xy - 10x +. .. + y + - 2xy + 2x - 2y Û 3x + 3y + 2xy - 10x + 2y + = Vậy phương trình đường cơnic cần tìm 3x + 3y + 2xy - 10x + 2y + = c) Tâm sai e = (* ) Û (1 - x ) + y2 = x- y+ Û x - 2x + + y = x + y + - 2xy... + y + - 2xy + 2x - 2y ) Û 2x + y - 6xy + 10x - 6y + = Vậy phương trình đường cơnic cần tìm 2x + y - 6xy + 10x - 6y + = b) Tâm sai e = (* ) Û 2 (1 - x ) + y2 = x- y+ 2 Û (x - 2x + + y ) = x +