OXY ĐƯỜNG HYPEBOL (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word §6 ĐƯỜNG HYPEBOL A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c (c > 0) y số a < c Hypebol tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 - MF2 = a Kí hiệu (H) Ta gọi : F1 , F2 tiêu điểm (H) Khoảng cách F1 F2 = 2c tiêu F1 A1 O A2 F2 x cự (H) 2.Phương trình tắc hypebol: Hình 3.4 Với F1 (- c; 0), F2 (c; 0) M (x; y) Ỵ (H ) Û x2 y - = với b2 = c - a2 (2) a b Phương trình (2) gọi phương trình tắc hypebol 3.Hình dạng tính chất (H): + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (- c ; 0), tiêu điểm phải F2 (c; 0) + Các đỉnh : A1 (- a; 0), A2 (a; 0) + Trục Ox gọi trục thực, Trục Oy gọi trục ảo hypebol Khoảng cách 2a hai đỉnh gọi độ dài trục thực, 2b gọi độ dài trục ảo + Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, phần gọi nhánh hypebol + Hình chữ nhật tạo đường thẳng x = ± a, y = ± b gọi hình chữ nhật sở Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hình chữ nhật sở gọi hai đường tiệp cận hypebol có phương trình y = ± + Tâm sai : e = b x a c >1 a + M (xM ; y M ) thuộc (H) thì: MF1 = a + exM = a + c c xM , MF2 = a - exM = a - xM a a B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  DẠNG Xác định yếu tố hypebol biết phương trình tắc chúng 1.Phương pháp giải Từ phương trình tắc hypebol ta xác định đại lượng a, b b2 = c2 - a2 ta tìm c từ ta suy yếu tố cần tìm Các ví dụ x2 y2 =1 Ví dụ 1.Cho hypebol a) Xác định tọa độ đỉnh A A1 - ( 8; ; A2 ( 6; ; A2 C A1 - ) B A1 - ( 3; ; A2 ) D A1 - ( 7; ; A2 ) ( 8; ) ( 6; ) ( 3; ) ( 7; ) ) b) Xác định tiêu điểm A F1 (- 6; 0); F2 (6; 0) B F1 (- 10; 0); F2 (10; 0) C F1 (- 8; 0); F2 (8; 0) D F1 (- 5; 0); F2 (5; 0) c); tính tâm sai A e = B e = 6 C e = 10 D e = d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo A Độ dài trục thực a = , độ dài trục ảo b = B Độ dài trục thực a = , độ dài trục ảo b = 2 C Độ dài trục thực a = 6 , độ dài trục ảo b = D Độ dài trục thực a = , độ dài trục ảo b = e) viết phương trình đường tiệm cận (H) A y = ± x B y = ± x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word C y = ± D y = ± x x cho hypebol 5x2 - y2 = 20 a) Xác định tọa độ đỉnh A A1 - ( 8; ; A2 ( 6; ; A2 C A1 - ) ( 8; ) ( 6; ) B A1 (- 2; 0); A2 (2; 0) ) D A1 - ( ) ( 7; ; A2 ) 7; b) Xác định tiêu điểm A F1 (- 3; 0); F2 (3; 0) B F1 (- 10; 0); F2 (10; 0) C F1 (- 8; 0); F2 (8; 0) D F1 (- 5; 0); F2 (5; 0) c); tính tâm sai A e = B e = C e = 10 D e = 6 d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo A Độ dài trục thực 2a = , độ dài trục ảo 2b = B Độ dài trục thực a = , độ dài trục ảo b = C Độ dài trục thực 2a = , độ dài trục ảo 2b = D Độ dài trục thực 2a = 12 , độ dài trục ảo 2b = 14 e) viết phương trình đường tiệm cận (H) A y = ± x B y = ± x C y = ± x Lời giải: a) Ta có a2 = 6, b2 = nên a = 6, b = 2, c = Do ta có hypebol có: ( Tọa độ đỉnh A1 - ) ( 6; ; A2 ) 6; a + b = 10 D y = ± x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Tiêu điểm F1 (- 10; 0); F2 (10; 0) Tâm sai (H) e = c 10 = a Độ dài trục thực a = , độ dài trục ảo 2b = Đường tiệm cận có phương trình y = ± b) Viết lại phương trình (H) là: a = 2, b = 5, c = b x= ± x a x2 y2 = , có a2 = 4, b2 = nên a2 + b2 = Do ta có hypebol có: Tọa độ đỉnh A1 (- 2; 0); A2 (2; 0) Tiêu điểm F1 (- 3; 0); F2 (3; 0) Tâm sai (H) e = c = a Độ dài trục thực 2a = , độ dài trục ảo 2b = Đường tiệm cận có phương trình y = ± x  DẠNG Viết phương trình tắc hypebol Phương pháp giải Để viết phương trình tắc hypebol ta làm sau: + Gọi phương trình tắc hypebol x2 y = 1(a , b > 0) a2 b2 + Từ giả thiết toán ta thiết lập phương trình, hệ phương trình từ giải thiết tốn để tìm đại lượng a, b hypebol từ viết phương trình tắc Các ví dụ Ví dụ Viết phương trình tắc hypebol (H) trường hợp sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) (H) có tiêu điểm tọa độ (- 4; 0) độ dài trục ảo A x2 y2 =1 B x2 y2 =1 x2 y2 =1 C b) (H) có tiêu cự 10 đường tiệm cận y = ± A x2 y2 =1 12 16 c) (H) có tâm sai A B x2 y2 =1 18 x2 y2 =1 C C x2 y2 =1 D x2 y2 =1 16 D x2 y2 =1 18 x x2 y =1 25 16 B ( x2 y2 =1 12 ) C ( 2; 2 N - 1; - B x2 y =1 x2 y2 =1 10 ) C x2 y =1 e) (H) qua M (- 2;1) góc hai đường tiệm cận 600 A D 13 diện tích hình chữ nhật sở 48 d) (H) qua hai điểm M A x2 y2 =1 28 x2 y =1 11 11 x2 y x2 y = = 11 11 3 B D x2 y = 1 x2 y2 =1 Lời giải: x2 y2 : Gọi phương trình tắc (H) là: - = với b2 = c2 - a2 a b D x2 y =1 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) (H) có tiêu điểm tọa độ (- 4; 0) suy c = ; độ dài trục ảo 2b = 28 suy 28 Þ b2 = 7, a2 = c - b2 = x2 y2 =1 Vậy phương trình (H) b) (H) có tiêu cự 10 suy 2c = 10 Þ a2 + b2 = 25 (1); đường tiệm cận y = ± suy b 16 = hay b2 = a (2) a Thế (2) vào (1) a2 + 16 a = 25 Û a2 = Þ b2 = 16 Vậy phương trình (H) c) Tâm sai x2 y2 =1 16 c 13 suy = a 13 Û a2 + b2 = a 13 hay 4a2 = 9b2 (3) Diện tích hình chữ nhật sở 24 suy 2a.2b = 48 Û ab = 12 (4) Từ (3) (4) suy a2 = 18; b2 = Vậy phương trình (H) x2 y2 =1 18 d) (H) qua hai điểm M ìï ïï ïï í ïï ïï ïỵ a2 a2 =1 b2 Û =1 b2 ( ) ìï 2 ïï a = í ïï ïỵ b = Vậy phương trình (H) e) M (- 2;1) Ỵ (H ) nên ( 2; 2 N - 1; - x2 y =1 2 - = (*) a b Phương trình hai đường tiệm cận là: ) nên ta có hệ x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D1 : y = b b x hay bx - ay = ; D : y = - x hay bx + ay = a a 0 Vì góc hai đường tiệm cận 60 nên cos 60 = b2 - a2 b2 + a2 2 b - a Hay = Û b2 - a2 = a2 + b2 2 b +a é2(b - a ) = b + a Û êê Û 2 êë2(b - a ) = - (b + a ) éb = 3a ê êa = 3b êë + Với b2 = 3a2 thay vào (*) a2 = 11 , b = 11 x2 y Suy phương trình hypebol (H): =1 11 11 + Với a2 = 3b2 thay vào (*) a2 = 1, b2 = Suy phương trình hypebol (H): x2 y =1 1 Vậy có có hai hypebol thỏa mãn có phương trình x2 y x2 y = = 11 11 1 3  DẠNG Xác định điểm nằm hypebol thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm M thuộc hypebol có phương trình tắc x2 y (H ) : - = 1, a > 0, b > ta làm sau a b • Giả sử M (xM ; y M ), điểm M Ỵ (H ) Û xM a2 - yM b2 = ta thu phương trình thứ • Từ điều kiện tốn ta thu phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn xM , y M ta tìm tọa độ điểm M http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Các ví dụ: Ví dụ Cho hypebol (H): x2 y2 = có tiêu điểm F1 F2 Tìm điểm M (H) trường hợp sau: a) Điểm M có hồnh độ ổ A M ỗỗỗ4; ỗố ổ 42 ữ ữ B M ỗỗỗ4; ữ ữ ỗố ứ ữ 42 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ỉ 42 ổ ữ ỗỗ4; ữ C M1 ỗỗỗ4; ; M ữ 2ỗ ữ ỗố ứ ữ ốỗ 42 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ ỉ 42 ổ ữ ỗỗ5; ữ D M1 ỗỗỗ5; ; M ữ 2ỗ ữ ỗố ứ ữ ốỗ 42 ữ ÷ ÷ ÷ ø ÷ b) Điểm M nhìn hai tiêu điểm (H) góc vng ỉ 63 12 ữ ữ ; A M ỗỗỗ ữ ữ ỗố 5ứ ữ ổ B M ỗỗỗỗố 63 12 ÷ ÷ ; ÷ 5÷ ÷ ø ổ 63 ;C M ỗỗỗ ỗố 12 ữ ÷ ÷ 5÷ ÷ ø ỉ 63 12 ÷ ổ ỗỗữ ; M D M1 ỗỗỗ , ữ 2ỗ ữ ỗố ỗố 5ứ ữ ổ 63 63 12 ữ ỗỗ ữ M ;; , ữ 3ỗ ữ çè 5 5ø ÷ c) Khoảng cách hai điểm M F1 ỉ 18 210 ÷ ç ÷ ç ; A M ç÷ çè 15 ữ ữ ứ ổ 18 ;B M ỗỗỗỗố 15 210 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ỉ 12 ữ ỗỗữ M v ữ 4ỗ ữ ỗố 5ữ ø 63 ;5 12 ÷ ÷ ÷ 5÷ ÷ ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ỉ 18 ỉ 18 210 ÷ ç ÷ ç C M1 çvà M2 ççç;; ÷ ÷ çè 15 çè 15 ø ÷ ỉ D M1 ççççè 15 ; ỉ 210 ÷ çç÷ M ữ 2ỗ ữ ỗố ứ ữ 15 ;- 210 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø 210 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø d) Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bng ổ12 ổ12 330 ữ ữ A M ỗỗỗ ; , M ỗỗỗ ; ữ ữ ỗố 5 ứ ữ ỗố ổ12 B M ỗỗỗ ; ỗố 24 330 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ ỉ 12 330 ÷ 330 ữ ỗỗữ ữ M ; , ữ ữ ữ ữ ứ ứ ữ ỗỗố ữ ổ 12 330 ÷ ỉ12 330 ÷ ÷ ÷ ; C M ỗỗỗ, M ỗỗỗ ; ữ ữ ữ ữ çè ç 5 ÷ ÷ ø ø è ổ12 330 ữ ổ12 ỗỗ ; ữ M D M1 ỗỗỗ ; , ữ 2ỗ ữ ỗố çè 5 ø ÷ ỉ 12 ỉ 12 330 ữ ử 330 ữ ỗỗỗỗữ ữ M M ;; , v ữ ữ 4ỗ 3ỗ ữ ữ ỗố ỗố ÷ ÷ 5 ø ø Lời giải: Giả sử M (xM ; y M ) Ỵ (H ) suy xM y M = (*) ỉx2 ÷ a) Ta có xM = suy yM = ỗỗỗ M - 1ữ = ữ ữ ỗố ứ ổ 42 ổ ữ ỗ ữ ỗ ị M1 ỗ4; ; M2 ỗỗỗ4; ữ ữ ỗố ứ ữ ốỗ 42 42 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ b) Từ phương trình (H) có a2 = 9, b2 = nên a = 3, b = Suy F1 (- 15; 0); F2 ( 15; 0) uuuur uuuur Ta có: F1 M = ( xM + 15; y M ); F2 M = ( xM - 15; y M ) 6,c = a2 + b2 = 15 ö 330 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Điểm M nhìn hai tiêu điểm (H) góc vng nên uuuur uuuur 2 F1 M.F2 M = Û ( xM + 15)( xM - 15) + y M = Û yM = 15 - x M vào (*) ta xM 15 - xM 12 63 = Û xM = ± suy y M = ± 5 Vậy có bốn điểm thỏa mãn ỉ ổ 63 12 ữ ỗ ữ ỗ , M2 çççM1 ç ; ÷ ÷ çè çè 5ø ÷ ổ 63 63 12 ữ ữ , M3 ỗỗỗ ;; ữ ữ ỗố 5 5ứ ữ c c) Ta có MF1 = a + xM nên = + a ỉ 12 ÷ ÷ M4 ççç÷ ÷ çè 5÷ ø é xM = 0(l) ê 15 ê x Û ê - 18 M Þ yM = ± êxM = 15 êë æ 18 æ 18 210 ÷ ÷ ;; Vậy có điểm: M1 ỗỗỗv M2 ỗỗỗữ ữ ỗố 15 ỗố 15 ø ÷ d) Phương trình hai tiệm cận : d1 : y = 1+ Û + 1+ xM - y M + Mặt khác (*) Û (**) Û x + yM M ( = )( 210 6 x; d2 : y = x 3 24 suy 24 xM + y M = xM - y M 12 ÷ ÷ ÷ 5÷ ÷ ø 210 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận x - yM M 63 ;5 24 30 (* * ) ) 6xM + 3yM = 54 > suy xM - y M + xM + y M = 24 30 12 Þ yM = ± Û xM = ± 5 330 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ổ12 ổ12 330 ữ ỗ ữ ỗ Vy cú bn im M1 ỗ ; , M2 ỗỗỗ ; ữ ữ ỗố ỗố 5 ứ ữ ổ 12 M4 ỗỗỗ;ỗố ổ 12 330 ữ ử 330 ữ ỗ ữ ữ ỗ ; ữ v ữ, M3 ççè ÷ ÷ ÷ ÷ ø ø 330 ÷ ÷ thỏa mãn u cầu tốn ÷ ÷ ø ÷ §7 ĐƯỜNG PARABOL A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho điểm cố định F đường thẳng cố định  không qua F Parabol(P) tập hợp điểm M cách điểm F đường thẳng  Điểm F gọi tiêu điểm parabol Đường thẳng  gọi đường chuẩn parabol y p = d (F ; D )được gọi tham số tiêu parabol K 2.Phương trình tắc parabol: ỉp p ÷ D : x = - (p > 0) Với F ỗỗ ; 0ữ ỗố ứữ ữ M(x ; y ) P O F M (x; y) Ỵ (P) Û y = px (3) Hình 3.5 (3) gọi phương trình tắc parabol 3.Hình dạng tính chất parabol: ỉp ÷ + Tiờu im F ỗỗ ; 0ữ ỗố ứữ ÷ + Phương trình đường chuẩn: D : x = - p + Gốc tọa độ O gọi đỉnh parabol + Ox gọi trục đối xứng + M (xM ; y M ) thuộc (P) thì: MF = d (M ; D ) = xM + p B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG Xác định yếu tố parabol biết phương trình tắc x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 1.Phương pháp giải Từ phương trình tắc parabol ta xác định đại lượng p từ ta suy yếu tố cần tìm Các ví dụ Ví dụ Cho parabol (P) có phương trình y = 4x a) Tìm tiêu điểm A F (2; 0) B F (3; 0) C F (4; 0) D F (1; 0) B 3x + = C 4x + = D x + = b) Đường chuẩn (P) A 2x + = Lời giải: Từ phương trình (P) có 2p = nên p = Suy (P) có tiêu điểm F (1; 0) đường chuẩn x + =  DẠNG Viết phương trình tắc (E), (H), (P) Phương pháp giải Ta thiết lập phương trình từ giải thiết tốn để tìm p parabol từ viết phương trình tắc Các ví dụ Ví dụ Viết phương trình tắc parabol (P) a) (P) có tiêu điểm F (0; 5) A y = 5x C y = 30x B y = 10x D y = 20x b) Khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng D : x + y - 12 = 2 A y = 32x B y = 64x C y = 32x y = 64x D y = 16x y = 64x Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Gọi phương trình tắc parabol (P) là: y2 = px a) Do tọa độ tiêu điểm F (0; 5) nên p = Þ p = 10 Vậy phương trình (P) : y = 20x ỉp b) Ta có tọa độ tiờu im F ỗỗ ; 0ữ ữ ỗố ứữ ÷ Khoảng cách từ F đến đường thẳng D 2 nên: d (F ; D ) = p - 12 2 = 2 suy p = 16 p = 32 Vậy phương trình (P): y = 32x y = 64x  DẠNG Xác định điểm nằm parabol thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm M thuộc parabol có phương trình tắc y2 = px ta làm sau = pxM ta thu phương trình thứ • Giả sử M (xM ; y M ), điểm M Ỵ (P) Û y M • Từ điều kiện toán ta thu phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn xM , y M ta tìm tọa độ điểm M Các ví dụ: Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P): y = 8x có tiêu điểm F a) Tìm (P) điểm M cách F khoảng A M 1; 2 ( ) ( ) ( B M 1; - 2 ( C M1 1; 2 , M2 1; - 2 ) b) Tìm điểm M (P) cho SD OMF = ( ) ) ( D M1 2; 2 , M2 2; - 2 ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A M (8; 8) D M (3; 3) C M (8; 3) B M (3; 8) c) Tìm điểm A nằm parabol điểm B nằm đường thẳng D : 4x - 3y + = cho đoạn AB ngắn ỉ209 153 ÷ A A (1; 3), B ỗỗ ; ữ ữ ốỗ 200 50 ø ỉ9 153 ÷ B A (2; 3), B çç ; ÷ ÷ çè8 50 ø ỉ9 C A ỗỗ ; 3ữ ữ ữ, ỗố8 ứ ổ209 ; 3ữ D A (4; 3), B ỗỗ ữ ữ çè 200 ø ỉ209 153 ÷ B çç ; ữ ữ ốỗ 200 50 ứ Li gii: a) Giả sử M (xM ; y M ) Ỵ (P) suy yM = 8xM (*) Từ phương trình (P) có p = nên F (2; 0) Ta có FM = p + xM suy xM = kết hợp (*) ta có yM = ± 2 ( ) ( Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 1; 2 , M2 1; - 2 ) ổa2 ữ b) Ta cú M ẻ (P) ị M ỗỗỗ ; aữ vi a ữ ữ ỗố ứ SD OMF = OF.d (M; OF) = Û a = Vậy điểm M cần tìm M (8; 8) c) Với điểm A Ỵ (P), B Ỵ D ta ln có AB ³ d (A; D ) ỉa2 ÷ với a ³ , d (A; D ) = A ẻ (P) ị A ỗỗỗ ; aữ ữ ỗố ữ ứ a2 - 3.a + = (a - 3) +1 10 ỉ9 Suy AB nhỏ v ch A ỗỗ ; 3ữ ữ v B l hỡnh chiu ca A lờn D ỗố8 ữ ứ ³ 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word r Đường thẳng qua A vng góc với D nhận u (3; 4) làm vectơ pháp tuyến nên có ỉ 9ư phương trình ỗỗx - ữ ữ ữ+ (y - 3) = hay 24x + 32y - 123 = ỗố 8ứ ỡù ùù x = ỡù x - y + = ï ï Do tọa độ điểm B nghiệm hệ í Û í ïïỵ 24 x + 32 y - 123 = ïï ïï y = ïỵ ỉ9 Vậy A ỗỗ ; 3ữ ữ ữ, ốỗ8 ứ ổ209 153 ữ B ỗỗ ; ữ ữ tha yờu cu bi toỏn ốỗ 200 50 ứ 209 200 153 50 ... bx - ay = ; D : y = - x hay bx + ay = a a 0 Vì góc hai đường tiệm cận 60 nên cos 60 = b2 - a2 b2 + a2 2 b - a Hay = Û b2 - a2 = a2 + b2 2 b +a é2(b - a ) = b + a Û êê Û 2 êë2(b - a ) = - (b +. .. tài liệu file word r Đường thẳng qua A vng góc với D nhận u (3; 4) làm vectơ pháp tuyến nên có ỉ 9ư phng trỡnh l ỗỗx - ữ ữ + (y - 3) = hay 24x + 32y - 123 = ỗố 8ứ ỡù ùù x = ìï x - y + = ï ï... C F (4; 0) D F (1; 0) B 3x + = C 4x + = D x + = b) Đường chuẩn (P) A 2x + = Lời giải: Từ phương trình (P) có 2p = nên p = Suy (P) có tiêu điểm F (1; 0) đường chuẩn x + =  DẠNG Viết phương trình