http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu fileword §3 KHOẢNGCÁCHVÀ GĨC Khoảngcách từ điểm tới đường thẳng : a) Công thức tính khoảngcách từ điểm tới đường thẳng : Cho đường thẳng D : ax + by + c = điểm M ( x0 ; y0 ) Khi khoảngcách từ M đến (D ) tính cơng thức: d(M ,(D )) = ax0 + by0 + c a2 + b2 b) Vị trí hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng V: ax + by + c = � 3� m2 � > � m2 < � m�; � � Khi đó: � � � 2� � - M, N phía với D � ( axM + byM + c) ( axN + byN + c) > - M, N khác phía với D � ( axM + byM + c) ( axN + byN + c) < Chú ý: Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng : D : a1x + b1y + c1 = D : a2x + b2y + c2 = là: D Góc hai đường thẳng: a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a b cắt tạo thành bốn góc Số đo nhỏ góc gọi số đo góc hai đường thẳng a � - � � - 6m � 6m � � � � � � ; ; D � ; b, hay đơn giản góc B� � �và � � 2� � 2� � � 9- 4m 9- 4m � � 9- 4m 9- 4m � D ^ D ' Khi a song song trùng với b, ta quy ước góc chúng 00 b) Công thức xác định góc hai đường thẳng Góc xác định hai đường thẳng 9m2 - = 9- 4m2 � m= �1 m= �1 có phương trình Oxy y2 = 8x xác định công thức D DẠNG Bài toán liên quan đến khoảngcách từ điểm tới đường thẳng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu fileword 1.Phương pháp giải Để tính khoảngcách từ điểm Ox đến đường thẳng Fx ta dùng cơng thức Ft Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường thẳng D a) Tính khoảngcách từ điểm A ( - 1;3) đến đường thẳng D A B 34 C 34 D 34 34 b) Tính khoảngcách hai đường thẳng song song a V': 5x + 3y + = A 13 B 34 12 C 34 11 D 34 15 34 Lời giải: a) Áp dụng cơng thức tính khoảngcách ta có: d(B,D ) = 5.(- 1) + 3.3- 52 + 32 = 34 b) Do M ( 1;0) �V nên ta có d( D ;D ') = d(M ,D ') = 5.1+ 3.0+ 52 + 32 = 13 34 Ví dụ 2: (ĐH – 2006A): Cho đường thẳng có phương trình V1: x + y + = 0; V2: x- y- = 0; V3: x- 2y = Tìm tọa độ điểm M nằm V3 cho khoảngcách từ M đến V1 lần khoảngcách từ M đến V2 A M ( - 22;- 11) B M ( 2;1) C M ( - 22;- 11) , M ( 2;1) D M ( 0;0) Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu fileword M �D � M ( 2t;t) Khoảngcách từ M đến V1 lần khoảngcách từ M đến V2 nên ta có d( M ;D 1) = 2d( M ; D ) � 2t + t + =2 2t - t - �3t + = 2( t - 4) � t =- 11 �� �� � �t = 3t + 3=- 2( t - 4) � � � Vậy có hai điểm thỏa mãn M ( - 22;- 11) , M ( 2;1) Ví dụ 3: Cho ba điểm A ( 2;0) , B( 3;4) P ( 1;1) Viết phương trình đường thẳng qua P đồng thời cách A B A D : 2x- 3y + 1= B MPNQ D :2x- 3y- 21= C MPNQ D :2x- 3y + = D MPNQ D :2x- 3y + 1= Lời giải: Đường thẳng D qua P có dạng d : y = x + m hay ax + by - a- b= D cách A B d( A ;D ) = d( B;D ) � a- b a2 + b2 = 2a+ 3b a2 + b2 � a- b= 2a+ 3b � a=- 4b � �� � � b- a= 2a+ 3b � 3a=- 2b � � + Nếu D ABC , chọn x2 y2 + = suy D : 4x- y- = + Nếu 3a=- 2b chọn D suy MPNQ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu fileword Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn toán MPNQ D :2x- 3y + 1= Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có A(1;- 2), B(5;4), C(- 2,0) Hãy viết phương trình đường phân giác góc A A 5x + y- = B 2x + y = C 3x + y- 1= D 4x + y - = Lời giải: Cách 1: Dễ dàng viết đường thẳng AB, AC có phương trình AB: 3x - 2y - = , AC: F1 , F2 Ta có phương trình đường phân giác góc A F1 Ta thấy AF1 nên điểm B,C nằm phía đường thẳng F2 Vậy ABF2 : x2 - 4y2 = 20 phương trình đường phân giác cần tìm Cách 2: Gọi D : x- 3y = chân đường phân giác hạ từ A tam giác ABC uuu r AB uuur DC Ta có BD = AC Mà AB = 13, AC = 13 uuur uuur r M ( 0;2) suy 3MA - 5MB = y + x- = Ta có phương trình đường phân giác AD: hay 5x + y - = +2 - 3 Cách 3: Gọi M (x; y) thuộc đường thẳng D đường phân giác gócgóc A Ta có D uuu r uuuu r uuur uuuu r Do cos(AB, AM ) = cos(AC , AM ) (*) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu fileword uuuu r uuu r uuur Mà AB= (4;6) ; AC = (- 3;2) ; AM = (x- 1; y + 2) thay vào (*) ta có 4(x- 1) + 6(y + 2) 2 +6 2 (x- 1) +(y + 2) = - 3(x- 1) + 2(y + 2) (- 3)2 + 22 (x- 1)2 + ( y + 2)2 � 2(x- 1) + 3(y + 2) =- 3(x- 1) + 2(y + 2) � 5x + y- 3= Vậy đường phân giác góc A có phương trình là: 5x + y - = Ví dụ 5: Cho điểm C ( - 2;5) đường thẳng D : 3x- 4y + = Tìm D hai � 5� 2; � �và diện tích tam giác ABC 15 điểm A , B đối xứng với qua I � � � � � 2� � � 5� � 5� � 52 50� 52 50� ; � , B� ; � ; � , B� ; � � �hoặc A � � � A A � � � � � � � � � 12 12� � � � � � � 12 12� 12 12� � � 12 12� � � 5� � � 5� � 52 50� 52 50� ; � , B� ; �hoặc A � ; � , B� ; � � � � B A � � � � � � � � � 11 11� � � � � � 11 11� 12 12� � � � 12 12� � � � 5� � � 5� � � � 52 50� 52 50� ; � , B� ; �hoặc A � ; � , B� ; � C A � � � � � � � 11 11� � � 13 13� 13 13� � � � � � 11 11� � � � � � 5� � � 5� � � � 52 50� 52 50� ; � , B� ; �hoặc A � ; � , B� ; � � D A � � � � � � � � � 11 11� � � 11 11� 11 11� � � � 11 11� � � � Lời giải: r Dễ thấy đường thẳng D qua M ( 0;1) nhận u( 4;3) làm vectơ phương � x = 4t nên có phương trình tham số � � � �y = 1+ 3t Vì A �D nên A ( 4t;1+ 3t) , t �R � 5� 2; � �suy Hai điểm A , B đối xứng với qua I � � � � � 2� 4t + xB � � 2= � �xB = 4- 4t � � �� � � � � 1+ 3t + yB � �yB = 4- 3t = � � �2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu fileword Do B( 4- 4t;4- 3t) Ta có AB = ( 4- Suy SABC = 2 8t) +( 3- 6t) = 2t - d( C;D ) = 3.( - 2) - 4.5+ = 22 1 22 AB.d( C;D ) = 2t - = 11 2t - 2 15 13 Diện tích tam giác ABC 15 � 11 2t - = 15 � 2t - 1= � � t = 12 11 t =- 11 Với t = � � 5� 13 52 50� � A� ; � , B� ; � � � � � � � � � 11 11� � 11 11 11� � Với t =- � 5� � 52 50� � A� ; � , B� ; � � � � � � � � � � 11 11 11� � 11 11� � � � 5� � � 5� � � � 52 50� 52 50� � � � ; � , B ; A ; , B ; � � � Vậy A � � � � � � � 11 11� � � 11 11� 11 11� � � � � � 11 11� � � � DẠNG 2: Bài toán liên quan đến góc hai đường thẳng 1.Phương pháp giải: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , góc hai đường thẳng D 1;D có phương trình (D 1) : a1x + b1y + c1 = 0, ( a12 + b12 �0) (D ) : a2x + b2y + c2 = 0, ( a22 + b22 �0) xác định theo công thức: cos( D ,D ) = a1a2 + bb a12 + b12 a22 + b22 Để xác định góc hai đường thẳng ta cần biết véc tơ phương( vectơ pháp tuyến ) chúng ur uu r uu r uu r cos( D ,D ) = cos u1,u2 = cos n1, n2 ( Các ví dụ ) ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu fileword Ví dụ 1: Xác định góc hai đường thẳng trường hợp sau: � x=t D2 :� ( t �R) � � �y = 7- 5t a) D : 3x- 2y + 1= 0; A ( D 1;D 2) = 45 B ( D 1;D ) = 55 �x = 1- t ( t �R) b) D : � � � �y = 1+ 2t A ( D 1;D 2) = 90 C ( D 1; D ) = 60 D ( D 1;D ) = 30 �x = 2- 4t ' D :� ( t ' �R) � � �y = 5- 2t ' B ( D 1;D ) = 55 C ( D 1; D ) = 60 D ( D 1;D ) = 30 Lời giải: uu r uu r a) n1 ( 3;- 2) , n2 ( 5;1) vectơ pháp tuyến đường thẳng D D suy cos( D ,D ) = 3.5- 2.1 13 26 = Ox ur uu r b) u1 ( - 1;2) , u2 ( - 4;- 2) vectơ phương đường thẳng D D suy x2 y2 + = 1( a> b> 0) F ( c;0) a2 b2 Ví dụ 2: Tìm D để góc hợp hai đường thẳng 1 + FM FN x2 y2 + = 1( a> b> 0) góc F1 , F2 a2 b2 A m=- B m=- C m=- Lời giải: �MF Ta có: F Theo góc hợp hai đường thẳng F1F2 300 nên D m=- http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu fileword m 3- cos30 = � = � 3(m2 + 1) = m 3- 2 2 m + m +1 m 3- Hay F1 , F2 Vậy A1 , A2 giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho đường thẳng d :3x- 2y + 1= M ( 1;2) Viết phương trình đường thẳng D qua M tạo với d góc 45o A D : 2x- y = D :5x + y- = B D : x- 5y + = D :3x + y- = C D : 3x- 2y + 1= D :5x + y- = D D : x- 5y + = D :5x + y- = Lời giải: 2 Đường thẳng D qua M có dạng D : a( x- 1) + b( y - 2) = 0, a + b �0 hay ax + by- a- 2b= Theo D tạo với d góc 450 nên: cos450 = 3a+ (- 2b) 32 + (- 2)2 a2 + b2 � 3a- 2b = 13 a2 + b2 �a= 5b � 26(a2 + b2 ) = 3a- 2b � 5a2 - 24ab- 5b2 = � � � 5a=- b � + Nếu a= 5b , chọn a= 5, b= suy D : 5x + y- = + Nếu 5a=- b, chọn a= 1, b=- suy D : x- 5y + = Vậy có đường thẳng thoả mãn D : x- 5y + = D :5x + y- = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu fileword Ví dụ 4: Cho đường thẳng a Viết phương trình đường thẳng D qua gốc toạ độ cho D tạo với D y2 = 16x tam giác cân có đỉnh giao điểm � = 900 A ( 1;4) BAC A D : 3x + y = D : x- 3y - 1= B D : 3x + y - 1= D : x- 3y = C D : 3x + y - 1= D : x- 3y- 1= D D : 3x + y = D : x- 3y = Lời giải: Đường thẳng HI = k.HM , 0< k < qua gốc toạ độ có dạng ax + by = với y2 = 4x Theo giả thiết ta có M �O hay T �O , OT + Nếu Oxy, , chọn (P ) : y2 = 4x suy D : 3x + y = + Nếu d , chọn OAB suy D : x- 3y = Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn D : 3x + y = D : x- 3y = ... liệu file word uuuu r uuu r uuur Mà AB= (4;6) ; AC = (- 3;2) ; AM = (x- 1; y + 2) thay vào (*) ta có 4(x- 1) + 6(y + 2) 2 +6 2 (x- 1) +( y + 2) = - 3(x- 1) + 2(y + 2) (- 3)2 + 22 (x- 1)2 + ( y +. .. 34 b) Tính khoảng cách hai đường thẳng song song a V': 5x + 3y + = A 13 B 34 12 C 34 11 D 34 15 34 Lời giải: a) Áp dụng cơng thức tính khoảng cách ta có: d(B,D ) = 5.(- 1) + 3.3- 52 + 32 = 34... với d góc 45o A D : 2x- y = D :5x + y- = B D : x- 5y + = D :3x + y- = C D : 3x- 2y + 1= D :5x + y- = D D : x- 5y + = D :5x + y- = Lời giải: 2 Đường thẳng D qua M có dạng D : a( x- 1) + b( y