OXY ĐƯỜNG HYPEBOL (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word §6 ĐƯỜNG HYPEBOL A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2 = 2c( c> 0) số a< c Hypebol tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 - MF2 = 2a Kí hiệu (H) Ta gọi : F1 , F2 tiêu điểm (H) Khoảng cách F1F2 = 2c tiêu cự (H) 2.Phương trình tắc hypebol: Hình 3.4 Với F1 ( - c;0) , F2 ( c;0) M ( x; y) �( H ) � x2 y2 = với b2 = c2 - a2 (2) a2 b2 Phương trình (2) gọi phương trình tắc hypebol 3.Hình dạng tính chất (H): + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( - c;0) , tiêu điểm phải F2 ( c;0) + Các đỉnh : A1 ( - a;0) , A2 ( a;0) + Trục Ox gọi trục thực, Trục Oy gọi trục ảo hypebol Khoảng cách 2a hai đỉnh gọi độ dài trục thực, 2b gọi độ dài trục ảo + Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, phần gọi nhánh hypebol + Hình chữ nhật tạo đường thẳng x = �a, y = �b gọi hình chữ nhật sở Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hình chữ nhật sở gọi b hai đường tiệp cận hypebol có phương trình y = � x a c + Tâm sai : e= > a + M ( xM ; yM ) thuộc (H) thì: c c MF1 = a+ exM = a+ xM , MF2 = a- exM = a- xM a a B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  DẠNG Xác định yếu tố hypebol biết phương trình tắc chúng 1.Phương pháp giải Từ phương trình tắc hypebol ta xác định đại lượng a, b b2 = c2 - a2 ta tìm c từ ta suy yếu tố cần tìm Các ví dụ x2 y2 =1 Ví dụ 1.Cho hypebol a) Xác định tọa độ đỉnh ( 8;0 ; A2 ) ( 8;0 ) B A1 - ( 6;0 ; A2 ) ( 6;0 ) D A1 - A A1 C A1 - ( 3;0 ; A2 ) ( 3;0 ) ( 7;0 ; A2 ) ( 7;0 ) b) Xác định tiêu điểm A F1 ( - 6;0) ; F2 ( 6;0) B F1 ( - 10;0) ; F2 ( 10;0) C F1 ( - 8;0) ; F2 ( 8;0) D F1 ( - 5;0) ; F2 ( 5;0) c); tính tâm sai A e= B e= 6 C e= 10 D e= d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo A Độ dài trục thực a= , độ dài trục ảo b= B Độ dài trục thực a= , độ dài trục ảo b= 2 C Độ dài trục thực a= 6 , độ dài trục ảo b= D Độ dài trục thực a= , độ dài trục ảo b= e) viết phương trình đường tiệm cận (H) A y = � C y = � 3 x B y = � x D y = � 3 x x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word cho hypebol 5x2 - 4y2 = 20 a) Xác định tọa độ đỉnh ( 8;0 ; A2 ) ( 8;0 ( 6;0 ; A2 ) ( 6;0 A A1 C A1 - ) B A1 ( - 2;0) ; A2 ( 2;0) ) D A1 - ( ) 7;0 ; A2 ( ) 7;0 b) Xác định tiêu điểm A F1 ( - 3;0) ; F2 ( 3;0) B F1 ( - 10;0) ; F2 ( 10;0) C F1 ( - 8;0) ; F2 ( 8;0) D F1 ( - 5;0) ; F2 ( 5;0) c); tính tâm sai A e= B e= C e= 10 D e= 6 d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo A Độ dài trục thực 2a= 3, độ dài trục ảo 2b= B Độ dài trục thực a= , độ dài trục ảo b= C Độ dài trục thực 2a= 8, độ dài trục ảo 2b= D Độ dài trục thực 2a= 12 , độ dài trục ảo 2b= 14 e) viết phương trình đường tiệm cận (H) A y = � x B y = � x C y = � x Lời giải: a) Ta có a2 = 6, b2 = nên a= 6, b= 2, c = a2 + b2 = 10 Do ta có hypebol có: ( Tọa độ đỉnh A1 - ) 6;0 ; A2 Tiêu điểm F1 ( - 10;0) ; F2 ( 10;0) c 10 Tâm sai (H) e= = a ( ) 6;0 D y = � x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Độ dài trục thực 2a= , độ dài trục ảo 2b= b Đường tiệm cận có phương trình y = � x = � x a b) Viết lại phương trình (H) là: x2 y2 2 = 1, có a = 4, b = nên a= 2, b= 5, c = a2 + b2 = Do ta có hypebol có: Tọa độ đỉnh A1 ( - 2;0) ; A2 ( 2;0) Tiêu điểm F1 ( - 3;0) ; F2 ( 3;0) c Tâm sai (H) e= = a Độ dài trục thực 2a= , độ dài trục ảo 2b= Đường tiệm cận có phương trình y = � x  DẠNG Viết phương trình tắc hypebol Phương pháp giải Để viết phương trình tắc hypebol ta làm sau: x2 y2 + Gọi phương trình tắc hypebol - = 1( a,b> 0) a b + Từ giả thiết tốn ta thiết lập phương trình, hệ phương trình từ giải thiết tốn để tìm đại lượng a, b hypebol từ viết phương trình tắc Các ví dụ Ví dụ Viết phương trình tắc hypebol (H) trường hợp sau: a) (H) có tiêu điểm tọa độ ( - 4;0) độ dài trục ảo A x2 y2 =1 B x2 y2 =1 C x2 y2 =1 D 28 x2 y2 =1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) (H) có tiêu cự 10 đường tiệm cận y = � x A x2 y2 =1 12 16 c) (H) có tâm sai A x2 y2 =1 18 B C x2 y2 =1 25 16 D x2 y2 =1 16 13 diện tích hình chữ nhật sở 48 B d) (H) qua hai điểm M x2 y2 A =1 x2 y2 =1 ( x2 y2 =1 12 C ) ( 2;2 N - 1;- x2 y2 =1 B x2 y2 =1 10 D x2 y2 =1 18 ) x2 y2 =1 C x2 y2 =1 D 2 e) (H) qua M ( - 2;1) góc hai đường tiệm cận 600 x2 y2 =1 A 11 11 x2 y2 =1 B 1 x2 y2 x2 y2 =1 =1 C 11 11 1 3 D x2 y2 =1 Lời giải: : Gọi phương trình tắc (H) là: x2 y2 - = với b2 = c2 - a2 a b a) (H) có tiêu điểm tọa độ ( - 4;0) suy c= ; độ dài trục ảo suy 2b= 28 � b2 = 7, a2 = c2 - b2 = x2 y2 Vậy phương trình (H) =1 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) (H) có tiêu cự 10 suy 2c = 10 � a2 + b2 = 25 (1); đường tiệm cận b 16 y = � x suy = hay b2 = a2 (2) a Thế (2) vào (1) a2 + 16 a = 25 � a2 = � b2 = 16 Vậy phương trình (H) c) Tâm sai x2 y2 =1 16 2 13 suy c = 13 � a + b = 13 hay 4a2 = 9b2 (3) a a Diện tích hình chữ nhật sở 24 suy 2a.2b= 48 � ab= 12 (4) Từ (3) (4) suy a2 = 18; b2 = Vậy phương trình (H) x2 y2 =1 18 d) (H) qua hai điểm M �2 � � � a2 � � � � � � �a ( ) ( 2;2 N - 1;- ) nên ta có hệ =1 � � a2 = b2 � �� � � = �b = b2 x2 y2 =1 Vậy phương trình (H) 2 e) M ( - 2;1) �( H ) nên = (*) a2 b2 Phương trình hai đường tiệm cận là: b b D : y = x hay bx- ay = ; D : y =- x hay bx + ay = a a Vì góc hai đường tiệm cận 60 nên cos60 = b2 - a2 Hay = � b2 - a2 = a2 + b2 2 b +a b2 - a2 b2 + a2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � � 2(b2 - a2 ) = b2 + a2 b2 = 3a2 � �� � � 2(b2 - a2 ) =- (b2 + a2) � a2 = 3b2 � � + Với b2 = 3a2 thay vào (*) a2 = 11 , b = 11 x2 y2 =1 Suy phương trình hypebol (H): 11 11 + Với a2 = 3b2 thay vào (*) a2 = 1, b2 = x2 y2 =1 Suy phương trình hypebol (H): 1 x2 y2 x2 y2 =1 =1 Vậy có có hai hypebol thỏa mãn có phương trình 11 11 1 3  DẠNG Xác định điểm nằm hypebol thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm M thuộc hypebol có phương trình tắc x2 y2 ( H ) : - = 1,a> 0,b> ta làm sau a b  Giả sử M ( xM ; yM ) , điểm M �( H ) � thứ xM2 yM2 - = ta thu phương trình a2 b  Từ điều kiện tốn ta thu phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn xM , yM ta tìm tọa độ điểm M Các ví dụ: Ví dụ Cho hypebol (H): x2 y2 = có tiêu điểm F1 F2 Tìm điểm M (H) trường hợp sau: a) Điểm M có hồnh độ http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word � � 4;A M � � � � � 42 � � � � � 4; B M � � � � � � � 42� � � � � � � � 42� � � � � � � 4; ; M 4;C M � � 2� � � � � � � � � 42� � � � � � � � 42� � � � � � � 5; ; M 5;D M � � 2� � � � � � � � � 42� � � � � � � b) Điểm M nhìn hai tiêu điểm (H) góc vng � 63 12 � � � � � M ; A � � � � 5 � � � � 63 12� � � � ; B M � � � � � 5 � � � � 63 � ;C M � � � �5 12� � � � � 5� � � 63 12 � � � 63 12� � � 63 � ; � � � � � � ;M ; M D M � , , � � 2� 3� � � � � � � 5 � 5 � � � � � �5 � 63 12� � � � � M ;và � 4� � � 5� � � c) Khoảng cách hai điểm M F1 � 18 210� � � � ; A M � � � � � � � 15 � � 18 � � M ;B � � � 15 210� � � � � � � � 18 � � 18 210� � � � � ; M ;C M � � 2� � � � � � 15 � � � 15 � 210 � � � � � � � � 210� � � � � � M ; M ;D � � � � � � 15 � � 15 � � � � 210 � � � � � � d) Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận 24 12� � � � � 5� � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word �12 330� � �12 � � ;� � A M � ; ,M� � � � � �5 � � � �5 �12 � ;B M � � � �5 330� � � � � � � � � 12 330� 330 � � � � � M� ; , � � � � � � � � � � � � 12 330 � � �12 330� � � � ; � � � ; C M � ,M� � � � � � � � � � 5 � � � � �12 330� �12 � � ; � � � ;M D M � , � 2� � � � � � �5 � �5 � 12 � � 12 330� 330 � � � � � � � � M ; M ;, � � 3� 4� � � � � � � � � � � � 330� � � � � � Lời giải: Giả sử M ( xM ; yM ) �( H ) suy xM yM = 1(*) � xM2 � x = a) Ta có M suy yM = � 6� � � �9 � 42� � � � � � � � M 1� 4; ; M 4;� 2� � � � � � � � � � 42 � 1� =� � � � 42� � � � � � � b) Từ phương trình (H) có a2 = 9, b2 = nên a= 3, b= 6,c = a2 + b2 = 15 Suy F1(- 15;0); F2( 15;0) uuuu r uuuu r Ta có: F1M = (xM + 15; yM ); F2M = (xM - 15; yM ) Điểm M nhìn hai tiêu điểm (H) góc vng nên uuuu r uuuu r F1M F2M = � (xM + 15)(xM - 15) + yM2 = � yM2 = 15- xM2 vào (*) ta xM 15- xM 63 12 suy yM = � = 1� xM = � 5 Vậy có bốn điểm thỏa mãn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � 63 12� � 63 12� � 63 � � � � � ;� � � � M 1� ; ; , M2� , M 3� � � � � � � � � 5� � 5� � �5 � �5 � � 63 12 � � � ;và M � � � � � 5� � � 12� � � � � 5� � � xM = 0(l) � c 15 x �� c) Ta có MF1 = a+ xM nên = 3+ - 18 210 � a M xM = � yM = � � 15 � � 18 � 18 210� � � � � � ; ;Vậy có điểm: M � M � � � � � � � � 15 � 15 � d) Phương trình hai tiệm cận : d1 : y = � 210 � � � � � � 6 x; d2 : y =x 3 Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận x - yM M 1+ � + x + yM M 1+ = 24 6xM - 3yM + 6xM + 3yM = Mặt khác ( *) � (**) � ( 6xM - 3yM )( 24 30 ( **) ) 6xM + 3yM = 54> suy 6xM - 3yM + 6xM + 3yM = 24 30 12 330 � xM = � � yM = � 5 �12 330� � �12 � ; � � � ;M Vậy có bốn điểm M � , � 2� � � � � �5 � � �5 � 12 � M4� ;� � � � 12 330� 330 � � � � � � M 3� ; , � � � � � � � � � � � � 330� � thỏa mãn yêu cầu toán � � � � §7 ĐƯỜNG PARABOL A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 24 suy http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Định nghĩa: Cho điểm cố định F đường thẳng cố định  không qua F Parabol(P) tập hợp điểm M cách điểm F đường thẳng  Điểm F gọi tiêu điểm parabol Đường thẳng  gọi đường chuẩn parabol p = d( F ;D ) gọi tham số tiêu parabol ( x; y ) 2.Phương trình tắc parabol: � p � p ;0� � D : x =- ( p> 0) Với F � � � � � � � M ( x; y) �( P) � y2 = 2px (3) (3) gọi phương trình tắc parabol Hình 3.5 3.Hình dạng tính chất parabol: � � p � ;0� + Tiêu điểm F � � � � � � + Phương trình đường chuẩn: D : x =- p + Gốc tọa độ O gọi đỉnh parabol + Ox gọi trục đối xứng + M ( xM ; yM ) thuộc (P) thì: MF = d( M ;D ) = xM + p B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG Xác định yếu tố parabol biết phương trình tắc 1.Phương pháp giải Từ phương trình tắc parabol ta xác định đại lượng p từ ta suy yếu tố cần tìm Các ví dụ Ví dụ Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x a) Tìm tiêu điểm A F ( 2;0) B F ( 3;0) C F ( 4;0) D F ( 1;0) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Đường chuẩn (P) A 2x+ 1= B 3x+ 1= C 4x+ 1= D x+ 1= Lời giải: Từ phương trình (P) có 2p= nên p= Suy (P) có tiêu điểm F ( 1;0) đường chuẩn x+ 1=  DẠNG Viết phương trình tắc (E), (H), (P) Phương pháp giải Ta thiết lập phương trình từ giải thiết tốn để tìm p parabol từ viết phương trình tắc Các ví dụ Ví dụ Viết phương trình tắc parabol (P) a) (P) có tiêu điểm F ( 0;5) A y2 = 5x B y2 = 10x C y2 = 30x D y2 = 20x b) Khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng D : x + y - 12 = 2 A y2 = 32x B y2 = 64x C y2 = 32x y2 = 64x D y2 = 16x y2 = 64x Lời giải: Gọi phương trình tắc parabol (P) là: y2 = 2px a) Do tọa độ tiêu điểm F ( 0;5) nên p = � p = 10 Vậy phương trình (P) : y2 = 20x � p � ;0� � b) Ta có tọa độ tiêu điểm F � � � � � � � Khoảng cách từ F đến đường thẳng D 2 nên: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word d( F ;D ) = p - 12 2 suy p= 16 p= 32 =2 Vậy phương trình (P): y2 = 32x y2 = 64x  DẠNG Xác định điểm nằm parabol thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm M thuộc parabol có phương trình tắc y2 = 2px ta làm sau  Giả sử M ( xM ; yM ) , điểm M �( P) � yM = 2pxM ta thu phương trình thứ  Từ điều kiện tốn ta thu phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn xM , yM ta tìm tọa độ điểm M Các ví dụ: Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P): y2 = 8x có tiêu điểm F a) Tìm (P) điểm M cách F khoảng ( ) ( A M 1;2 ( ) B M 1;- 2 ) ( ) C M 1;2 , M 1;- 2 ( ) ( ) D M 2;2 , M 2;- 2 b) Tìm điểm M (P) cho SD OMF = A M ( 8;8) B M ( 3;8) C M ( 8;3) D M ( 3;3) c) Tìm điểm A nằm parabol điểm B nằm đường thẳng D : 4x- 3y + = cho đoạn AB ngắn � 209 153� � ; � A A ( 1;3) , B� � � � 200 50 � � � 153� � ; � B A ( 2;3) , B� � � � 50 � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word � � � � 209 153� � ;3� , B� ; � C A � � � � � � � 200 50 � � � � � � 209 � ;3� D A ( 4;3) , B� � � 200 � � � Lời giải: a) Giả sử M ( xM ; yM ) �( P) suy yM2 = 8xM (*) Từ phương trình (P) có p= nên F ( 2;0) p Ta có FM = + xM suy xM = kết hợp (*) ta có yM = �2 2 ( ) ( ) Vậy có hai điểm thỏa mãn M 1;2 , M 1;- 2 � a2 � � � M � P � M ; a� � ( ) b) Ta có với a�0 � � � � �8 � SD OMF = � OF.d( M ;OF) = � a= Vậy điểm M cần tìm M ( 8;8) c) Với điểm A �( P) , B �D ta ln có AB �d( A ;D ) a2 � � a - 3.a+ � A �( P) � A � ; a� � với a�0, a- 3) + 1 ( � � � � �8 � d( A ;D ) = = � 10 10 � � ;3� �và B hình chiếu A lên D Suy AB nhỏ A � � � � � � r Đường thẳng qua A vng góc với D nhận u( 3;4) làm vectơ pháp tuyến � 9� � x- � + 4( y - 3) = hay 24x + 32y - 123 = nên có phương trình 3� � � � � 8� � 209 � x= � � 4x- 3y + = � 200 � �� Do tọa độ điểm B nghiệm hệ � � 24x + 32y - 123 = � 153 � � y= � � 50 � � � � � � 209 153� ;3� , B� ; �thỏa mãn yêu cầu toán Vậy A � � � � � � 200 50 � � � � � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ... cách từ M đến hai đường tiệm cận x - yM M 1+ � + x + yM M 1+ = 24 6xM - 3yM + 6xM + 3yM = Mặt khác ( *) � (**) � ( 6xM - 3yM )( 24 30 ( **) ) 6xM + 3yM = 54> suy 6xM - 3yM + 6xM + 3yM = 24 30 12... � p � ;0� + Tiêu điểm F � � � � � � + Phương trình đường chuẩn: D : x =- p + Gốc tọa độ O gọi đỉnh parabol + Ox gọi trục đối xứng + M ( xM ; yM ) thuộc (P) thì: MF = d( M ;D ) = xM + p B CÁC... ảo 2b= 14 e) viết phương trình đường tiệm cận (H) A y = � x B y = � x C y = � x Lời giải: a) Ta có a2 = 6, b2 = nên a= 6, b= 2, c = a2 + b2 = 10 Do ta có hypebol có: ( Tọa độ đỉnh A1 - ) 6;0 ;