OXY ĐƯỜNG HYPEBOL (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

Xác định các yếu tố của hypebol khi biết phương trình chính tắc của chúng.. Từ phương trình chính tắc của hypebol ta xác định các đại lượng ,a b và b = -c a ta tìm được c từ đó ta suy ra

§6 ĐƯỜNG HYPEBOL

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F F với1, 2

F F = c c > và hằng số a c< Hypebol là tập hợp các

điểm M thỏa mãn MF1- MF2 =2a Kí hiệu (H)

Ta gọi : F F là tiêu điểm của (H) Khoảng cách 1, 2 F F1 2=2c

là tiêu cự của (H)

2.Phương trình chính tắc của hypebol:

Với F1(- c;0 ,) F c2( );0

( ; ) ( ) x22 y22 1

� � - = với b2= -c2 a2 (2)

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

3.Hình dạng và tính chất của (H):

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c;0), tiêu điểm phải F c2( );0

+ Các đỉnh : A1(- a;0 ,) A a2( );0

+ Trục Ox gọi là trục thực, Trục Oy gọi là trục ảo của hypebol Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.

+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của

hypebol

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x= �a y, =� gọi là hình chữ nhật b

cơ sở Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệp cận của hypebol và có phương trình là y b x

a

=�

+ Tâm sai : e c 1

a

= >

+ M x y thuộc (H) thì: ( M; M) MF1 a ex M a c x M ,MF2 a ex M a c x M

-B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Hình 3.4

 DẠNG 1 Xác định các yếu tố của hypebol khi biết phương trình chính tắc của chúng.

1.Phương pháp giải

Từ phương trình chính tắc của hypebol ta xác định các đại lượng ,a b và

b = -c a ta tìm được c từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm.

2 Các ví dụ.

Ví dụ 1.Cho hypebol 2 2 1

y

a) Xác định tọa độ các đỉnh

A A1(- 8;0 ;) (A2 8;0) B A1(- 3;0 ;) (A2 3;0)

C A1(- 6;0 ;) (A2 6;0) D A1(- 7;0 ;) (A2 7;0)

b) Xác định các tiêu điểm

A F1(- 6;0 ;) F2( )6;0 B F1(- 10;0 ;) F2(10;0)

C F1(- 8;0 ;) F2( )8;0 D F1(- 5;0 ;) F2( )5;0

c); tính tâm sai

A 8

6

6

6

6

e=

d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo

A Độ dài trục thực a=2 6, độ dài trục ảo b=4 2

B Độ dài trục thực a= 6, độ dài trục ảo b=2 2

C Độ dài trục thực a=6 6, độ dài trục ảo b=8 2

D Độ dài trục thực a=3 6, độ dài trục ảo b=6 2

e) viết phương trình các đường tiệm cận của (H)

3

3

y= � x

3

3

y= � x

cho hypebol5x2- 4y2=20

a) Xác định tọa độ các đỉnh

A A1(- 8;0 ;) (A2 8;0) B A1(- 2;0 ;) A2(2;0)

C A1(- 6;0 ;) (A2 6;0) D A1(- 7;0 ;) (A2 7;0)

b) Xác định các tiêu điểm

A F1(- 3;0 ;) F2( )3;0 B F1(- 10;0 ;) F2(10;0)

C F1(- 8;0 ;) F2( )8;0 D F1(- 5;0 ;) F2( )5;0

c); tính tâm sai

A 3

2

2

6

6

e=

d) tính độ dài trục thực, độ dài trục ảo

A Độ dài trục thực 2a=3, độ dài trục ảo 2b=2 5

B Độ dài trục thực a=2, độ dài trục ảo b= 5

C Độ dài trục thực 2a=8, độ dài trục ảo 2b=7

D Độ dài trục thực 2a=12, độ dài trục ảo 2b=14

e) viết phương trình các đường tiệm cận của (H)

3

2

2

2

y= � x

Lời giải:

a) Ta có a2=6,b2= nên 8 a= 6,b=2 2,c= a2+b2=10

Do đó ta có hypebol có:

Tọa độ các đỉnh là A1(- 6;0 ;) (A2 6;0)

Tiêu điểm là F1(- 10;0 ;) F2(10;0)

Tâm sai của (H) là 10

6

c e a

= =

Độ dài trục thực 2a=2 6, độ dài trục ảo 2b=4 2

Đường tiệm cận có phương trình là 2

3

b

a

b) Viết lại phương trình (H) là: 2 2 1

y x

- = , có a2=4,b2= nên5

a= b= c= a +b =

Do đó ta có hypebol có:

Tọa độ các đỉnh là A1(- 2;0 ;) A2(2;0)

Tiêu điểm là F1(- 3;0 ;) F2( )3;0

Tâm sai của (H) là 3

2

c e a

= =

Độ dài trục thực 2a= , độ dài trục ảo 24 b=2 5

Đường tiệm cận có phương trình là 5

2

y= � x

 DẠNG 2 Viết phương trình chính tắc của hypebol.

1 Phương pháp giải

Để viết phương trình chính tắc của hypebol ta làm như sau:

+ Gọi phương trình chính tắc hypebol là x22 y22 1 ,(a b 0)

a - b = >

+ Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm các đại lượng ,a b của hypebol từ đó viết được

phương trình chính tắc của nó

2 Các ví dụ.

Ví dụ 1 Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp

sau:

a) (H) có một tiêu điểm tọa độ là (- 4;0) và độ dài trục ảo bằng 28

A 2 2 1

y

1

y

1

y

1

y

b) (H) có tiêu cự bằng 10 và đường tiệm cận là 4

3

y= � x

A 2 2 1

12 16

y

1

y

1

25 16

y

1

9 16

y

c) (H) có tâm sai bằng 13

3 và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 48

A 2 2 1

18 9

y

1

12 8

y

1

10 8

y

1

18 8

y

d) (H) đi qua hai điểm M( 2;2 2) và N -( 1;- 3)

A 2 2 1

y x

2 2

1

5

y x

2 2

1

5

y x

2 2

1

5

y x

e) (H) đi qua M -( 2;1) và góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60 0

A

2 2

1

11 11

3

y

2 2

1 1 1 3

y

C

2 2

1

11 11

3

y

và

2 2

1 1 1 3

y

y

Lời giải:

: Gọi phương trình chính tắc của (H) là: x22 y22 1

a - b = với

b = -c a

a) (H) có một tiêu điểm tọa độ là (- 4;0) suy ra c=4; độ dài trục ảo bằng 28 suy ra 2b= 28�b2=7,a2= -c2 b2=9

Vậy phương trình (H) là 2 2 1

y

b) (H) có tiêu cự bằng 10 suy ra 2c=10�a2+ =b2 25 (1); đường tiệm cận là

4

3

y=� x suy ra 4

3

b

a= hay

2 16 2

9

b = a (2)

Thế (2) vào (1) 2 16 2 25 2 9 2 16

9

Vậy phương trình (H) là 2 2 1

9 16

y

c) Tâm sai bằng 13

3 suy ra

+

= � = hay 4a2=9b2 (3)

Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 24 suy ra 2 2a b=48�ab=12(4)

Từ (3) và (4) suy ra a2=18;b2=8

Vậy phương trình (H) là 2 2 1

18 8

y x

d) (H) đi qua hai điểm M( 2;2 2) và N -( 1;- 3) nên ta có hệ

2

2

5

a

b

�

Vậy phương trình (H) là

2 2

1

5

y

e) M(- 2;1) ( )�H nên 42 12 1

a - b = (*)

Phương trình hai đường tiệm cận là:

1:y b x

a

D = hay bx ay- = ; 0 2:y b x

a

D =- hay bx ay+ =0

Vì góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60 nên 0

0

cos60 b a

-= + Hay

2

2 2 2 2 2 2

+ Với b2=3a2 thay vào (*) được 2 11, 2 11

3

Suy ra phương trình hypebol là (H):

2 2

1

11 11 3

y x

+ Với a2=3b2 thay vào (*) được 2 2 1

1,

3

Suy ra phương trình hypebol là (H):

2 2

1 1 1 3

y x

Vậy có có hai hypebol thỏa mãn có phương trình là

2 2

1

11 11 3

y x

- = và

2 2

1 1 1 3

y x

- = .

 DẠNG 3 Xác định điểm nằm trên hypebol thỏa mãn điều kiện cho trước.

1 Phương pháp giải.

Để xác định tọa độ điểm M thuộc hypebol có phương trình chính tắc là

( )H :x22 y22 1,a 0,b 0

a - b = > > ta làm như sau

 Giả sử M x y , điểm ( M; M) ( ) x2M2 y M22 1

� � - = ta thu được phương trình thứ nhất

 Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn x M,y ta tìm được tọa độ của điểm M M

2 Các ví dụ:

Ví dụ 1 Cho hypebol (H): 2 2 1

y x

- = có tiêu điểm F và 1 F 2

Tìm điểm M trên (H) trong trường hợp sau:

a) Điểm M có hoành độ là 4

A 4; 42

3

M��� -� ����

42 4;

3

M���� ����

C 1 4; 42 ; 2 4; 42

M ���� �����M ��� -� �����

M ���� �����M ��� -� �����

b) Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông

A 63 12;

M���� ����

B 63 12;

M����- ����

C 63; 12

M���� - ����

D 1 63 12;

M ���� ����

63 12;

M ����- ����

63; 12

M ���� - ����

63; 12

M ����- - ����

c) Khoảng cách hai điểm M và F bằng 31

A 18 ; 210

5 15

M����- ����

B 18 ; 210

5 15

M����- - ����

C 1 18 ; 210

5 15

M ����- ����

18 210

; 5 15

M ����- - ����

D 1

1 210

; 5 15

M ����- ����

; 5 15

M ����- - ����

d) Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng 24 2

5

A 12; 330

5 5

M���� ����

12; 330

5 5

M���� - ����

B 12; 330

5 5

M���� - ����

12; 330 5 5

M����- ����

C 12; 330

5 5

M����- ����

12 330

; 5 5

M���� ����

D 1

12 330

; 5 5

M ���� ����

12 330

; 5 5

M ���� - ����

12 330

; 5 5

M ����- ����

12 330

; 5 5

M ����- - ����

Lời giải:

Giả sử M x y( M; M) ( )�H suy ra 2 2 1

- = (*)

a) Ta có x = suy ra M 4

M M

x

y =� ���� - ���=�

�

M ��� ���M ��� ���

b) Từ phương trình (H) có a2=9,b2= nên 6 a=3,b= 6,c= a2+b2= 15 Suy ra F1(- 15;0); ( 15;0)F2

Ta có: F Muuuur1 =(x M + 15;y M);F Muuuur2 =(x M- 15;y M)

Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông nên

uuuur uuuur

thế vào (*) ta được

M

x

5

M

y =�

Vậy có bốn điểm thỏa mãn là

63 12;

M ���� ����

63 12;

M ����- ����

63; 12

M ���� - ����

63; 12

M ����- - ����

c) Ta có MF1 a c x M

a

0( ) 15

3

5 15

M M

x

�

�

�

�

Vậy có 2 điểm: 1 18 ; 210

5 15

M ����- ����

18 210

; 5 15

M ����- - ����

d) Phương trình hai tiệm cận là : 1: 6 ; :2 6

d y= x d y=- x

Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng 24 2

5 suy ra

( )

5

24 30

5

Mặt khác ( )* �( 6x M - 3y M)( 6x M +3y M)=54 0> suy ra

5

M

y

Vậy có bốn điểm 1 12; 330

5 5

M ���� ����

12; 330

5 5

M ���� - ����

12; 330 5 5

M ����- ����

4

12; 330

5 5

M ����- - ����

� � thỏa mãn yêu cầu bài toán

§7 ĐƯỜNG PARABOL

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa: Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định  không đi qua F.

Parabol(P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng 

Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol.

Đường thẳng  được gọi là đường chuẩn của parabol

( ; )

p d F= D được gọi là tham số tiêu của parabol.

2.Phương trình chính tắc của parabol:

Với ;0

2

p

F� �� �� �� �� �

� � và : ( 0)

2

p

D =- >

( ; ) ( ) 2 2

M x y �P �y = px (3)

(3) được gọi là phương trình chính tắc của parabol

3.Hình dạng và tính chất của parabol:

+ Tiêu điểm ;0

2

p

F� �� �� �� �� �

� �

+ Phương trình đường chuẩn: :

2

p x

D =-+ Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol

+ Ox được gọi là trục đối xứng

+ M x y thuộc (P) thì: ( M; M) ( ; )

2

M

p

MF=d M D =x +

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG 1 Xác định các yếu tố của parabol khi biết phương trình chính tắc.

1.Phương pháp giải

Từ phương trình chính tắc của parabol ta xác định các đại lượng p từ đó

ta suy ra được các yếu tố cần tìm

2 Các ví dụ.

Ví dụ 1 Cho parabol (P) có phương trình y2=4x

a) Tìm tiêu điểm

A F(2;0) B F( )3;0 C F(4;0) D F( )1;0

(x y; )

Hình 3.5

b) Đường chuẩn của (P).

A 2x+ =1 0 B 3x+ =1 0 C 4x+ =1 0 D x+ =1 0

Lời giải:

Từ phương trình của (P) có 2p= nên 4 p=2

Suy ra (P) có tiêu điểm là F( )1;0 và đường chuẩn là x+ =1 0.

 DẠNG 2 Viết phương trình chính tắc của (E), (H), (P).

1 Phương pháp giải

Ta thiết lập phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm p của parabol từ

đó viết được phương trình chính tắc của nó

2 Các ví dụ.

Ví dụ 1 Viết phương trình chính tắc của parabol (P)

a) (P) có tiêu điểm là F( )0;5

A y2=5x B y2=10x C y2=30x D y2=20x

b) Khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường thẳng :D x y+ - 12 0= là 2 2

C y2=32x hoặc y2=64x D y2=16x hoặc y2=64x

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2=2px

a) Do tọa độ tiêu điểm F( )0;5 nên 5 10

2

p= � =p

Vậy phương trình của (P) : y2=20x

b) Ta có tọa độ tiêu điểm ;0

2

p

F� �� �� �� �� �

� � Khoảng cách từ F đến đường thẳng D bằng 2 2 nên:

( )

12 2

2

p

d F

-D = = suy ra p=16 hoặc p=32. Vậy phương trình của (P): y2=32x hoặc y2=64x

 DẠNG 3 Xác định điểm nằm trên parabol thỏa mãn điều kiện cho trước.

1 Phương pháp giải.

Để xác định tọa độ điểm M thuộc parabol có phương trình chính tắc là

y = px ta làm như sau

 Giả sử M x y , điểm ( M; M) M�( )P �y2M =2px M ta thu được phương trình thứ

nhất

 Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn x M,y ta tìm được tọa độ của điểm M M

2 Các ví dụ:

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol (P): y2=8x có tiêu điểm F

a) Tìm trên (P) điểm M cách F một khoảng là 3

A M(1;2 2) B M(1; 2 2- )

C M1(1;2 2 ,) M2(1; 2 2- ) D M1(2;2 2 ,) M2(2; 2 2- )

b) Tìm điểm M trên (P) sao cho SDOMF =8

A M( )8;8 B M( )3;8 C M( )8;3 D M( )3;3

c) Tìm một điểm A nằm trên parabol và một điểm B nằm trên đường thẳng :4x 3y 5 0

D - + = sao cho đoạn AB ngắn nhất

A ( )1;3 , 209 153;

200 50

A B���� ����

8 50

A B���� ����

C 9;3 , 209 153;

A� � ���� ����B��� �����

200

A B���� ����

Lời giải:

a) Giả sử M x y( M; M) ( )�P suy ra y2M =8x M (*)

Từ phương trình (P) có p= nên 4 F(2;0)

Ta có

p

FM = +x suy ra x = kết hợp (*) ta có M 1 y = � M 2 2

Vậy có hai điểm thỏa mãn là M1(1;2 2 ,) M2(1; 2 2- )

b) Ta có ( ) 2;

8

a

M�P �M���� a���

�

� � với a�0

1

2

OMF

SD = � OF d M OF = � =a

Vậy điểm M cần tìm là M( )8;8

c) Với mọi điểm A�( )P B, �D ta luôn có AB d A� ( ;D)

8

a

A�P � �A��� a����

� � với a� , khi đó 0

2

2

4 3 5

;

a

d A

Suy ra AB nhỏ nhất khi và chỉ khi 9;3

8

A� �� �� �� �� và B là hình chiếu của A lên D Đường thẳng đi qua A vuông góc với D nhận ur(3;4) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 3 9 4( 3) 0

8

�- �+ - =

� � hay 24x+32y- 123 0=

Do đó tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

209

50

x

y

�

� =

�

� Vậy 9;3 , 209 153;

A� � ���� ����B��� �����

� � � � thỏa mãn yêu cầu bài toán.