Thông tin tài liệu
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC 0 BẤT KỲ TỪ ĐẾN 180 BÀI 1 Định nghĩa a ( 00 £ a £ 1800 ) ta xác định điểm M nửa đường tròn · M ( x0 ; y0 ) đơn vị cho xOM = a giả sử điểm M có tọa độ y Khi ta có định nghĩa: · sin góc a y0, kí hiệu sin a = y0 ; Với góc · cosin góc a x0, kí hiệu cosa = x0 ; y0 ( x0 ¹ 0) , x · tang góc a kí hiệu y0 ; x0 · cotang góc a x0 ( y0 ¹ 0) , y0 tan a = M y0 a x0 -1 cot a = kí hiệu x O x0 y0 Tính chất · Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM = a · xON = 180 - a Ta có yM = yN = y0, xM = - xN = x0 Do y sin a = sin( 1800 - a ) cosa = - cos( 1800 - a ) y0 N tan a = - tan( 1800 - a ) M cot a = - cot( 1800 - a ) x a - x0 x0 O Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị a lượng giác 00 300 450 600 900 1800 sina 2 1 cosa tana cota P 2 2 1 3 1 3 - P 0 P Trong bảng kí hiệu " P" để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn: sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 = cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = - Góc hai vectơ a) Định nghĩa r r r uur r Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA = a uur r r 0 · OB = b Góc AOB với số đo từ đến 180 gọi góc hai vectơ a r r r r r r r a, b a, b = 900 b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b Nếu ta nói r r r r r r a b vng góc với nhau, kí hiệu a ^ b b ^ a r A b r a r r B a b ( ) b) Chú ý Từ định nghĩa ta có r r r r a, b = b, a ( ) O ( ) ( ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 0 Câu Giá trị cos45 + sin45 bao nhiêu? A B C Câu Giá trị tan30 + cot30 bao nhiêu? 1+ A B C D Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? D A sin150O = tan150O = - C B cos150O = O D cot150 = o o o o Câu Tính giá trị biểu thức P = cos30 cos60 - sin30 sin60 A P = B P= C P = o o D P = o o Câu Tính giá trị biểu thức P = sin30 cos60 + sin60 cos30 A P = B P = C P = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O A sin45 + cos45 = D P = - O O B sin30 + cos60 = O O O O C sin60 + cos150 = D sin120 + cos30 = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O A sin0 + cos0 = O O O B sin90 + cos90 = sin60O + cos60O = O C sin180 + cos180 =- D Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? O O A cos45 = sin45 +1 O O B cos45 = sin135 O O C cos30 = sin120 O O D sin60 = cos120 µ Câu Tam giác ABC vng A có góc B = 30 Khẳng định sau sai? 1 cosC = sin B = 2 A B C D Câu 10 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? 3 · · · cosBAH = sin BAH = sin ABC = sin ·AHC = 2 A B C D cosB = sinC = Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A C sin( 180°- a ) =- cosa sin( 180°- a ) = sin a B D sin( 180°- a ) =- sin a sin( 180°- a ) = cosa Câu 12 Cho a b hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin a = sin b B cosa = - cosb C tan a =- tan b D cot a = cot b Câu 13 Tính giá trị biểu thức P = sin30°cos15°+ sin150°cos165° P= A B P = C D P = Câu 14 Cho hai góc a b với a + b = 180° Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a P =- A P = B P = C P = - D P = P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C ) Câu 15 Cho tam giác ABC Tính P = P = P = P = A B C D P = cos A.cos( B +C ) - sin A.sin( B +C ) Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P = P = P = P = A B C D b Câu 17 Cho hai góc nhọn a phụ Hệ thức sau sai? A sin a = - cosb B cosa = sin b C tan a = cot b D cot a = tan b 2 2 Câu 18 Tính giá trị biểu thức S = sin 15°+ cos 20°+ sin 75°+ cos 110° A S = B S = C S = D S = Câu 19 Cho hai góc a b với a + b = 90° Tính giá trị biểu thức P = sin a cosb + sin b cosa A P = C P = - D P = Câu 20 Cho hai góc a b với a + b = 90° Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a A P = B P = B P = C P = - D P = Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21 Cho a góc tù Khẳng định sau đúng? A sin a < B cosa > C tan a < D cot a > Câu 22 Cho hai góc nhọn a b a < b Khẳng định sau sai? A cosa < cosb B sin a < sin b C cot a > cot b D tan a + tan b > Câu 23 Khẳng định sau sai? A cos75°> cos50° B sin80°> sin50° C tan45°< tan60° D cos30°= sin60° Câu 24 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin100° B cos95°> cos100° C tan85°< tan125° D cos145°> cos125° Câu 25 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin150° C cos90°30¢> cos100° B sin90°15¢< sin90°30¢ D cos150°> cos120° Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 2 Câu 26 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos a + sin a = 1? a a a a cos2 + sin2 = cos2 + sin2 = 2 3 A B ỉ 2a a a 5ỗ cos + sin2 ữ ữ= cos2 + sin2 = ỗ ỗ ứ 5ữ 4 C D è a a a = P = 3sin2 + 5cos2 Giá trị 3 ? Câu 27 Cho biết 105 107 109 111 P= P= P= P= 25 25 25 25 A B C D 6sin a - 7cosa P= 6cosa + 7sin a ? Câu 28 Cho biết tan a = - Giá trị 5 P= P= P =- P =- 3 3 A B C D sin Câu 29 Cho biết 19 P = 13 A cot a + 3tan a P= 2cot a + tan a ? Giá trị 19 25 25 P= P= P = 13 13 13 B C D cosa =- Câu 30 Cho biết cot a = Giá trị P = 2cos a + 5sin a cosa +1 ? 10 100 50 101 P= P= P= P= 26 26 26 26 A B C D 0 Câu 31 Cho biết 3cosa - sin a = , < a < 90 Giá trị tana 4 tan a = tan a = tan a = tan a = 4 A B C D 0 Câu 32 Cho biết 2cosa + 2sin a = , < a < 90 Tính giá trị cot a A cot a = cot a = cot a = B C D Câu 33 Cho biết sin a + cosa = a Tính giá trị sin a cosa A sin a cosa = a C a - 2 B sin a cosa = 2a sin a cosa = cot a = D sin a cosa = a2 - 11 cosa + sin a = 2 Giá trị P = tan a + cot a bao Câu 34 Cho biết nhiêu ? 11 P= P= P= P= 4 4 A B C D sin a - cosa = Câu 35 Cho biết nhiêu ? A 15 P= B P= 4 Giá trị P = sin a + cos a bao 17 C 19 P= D 21 P= Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36 Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau O 120 ? uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uur uuuur uuur MN , NP MO,ON MN ,OP MN , MP A B C D uuur uuur uuu r uur uur uuu r P = cos AB, BC + cos BC,CA + cos CA, AB Câu 37 Cho tam giác ABC Tính ( ) ( ) ( ) ( ( A P= 3 P= B C ) P =- ( Câu 38 Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính A 30 ( ) ) ( P =- 3 D uuur uuu r AH , BA ) ) B 60 C 120 D 150 µ Câu 39 Tam giác ABC vng A có góc B = 50 Hệ thức sau sai? uuu r uuu r uuu r uuur AB, BC = 1300 BC, AC = 400 A B uuu r uur uuur uur AB, CB = 50 AC, CB = 400 C D uuur uur cos AC,CB Câu 40 Tam giác ABC vng A có BC = 2AC Tính uuur uur uuur uur 1 cos AC,CB = cos AC,CB = - 2 A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( uuur uur cos AC,CB = C ( ) uuur uur cos AC,CB = - ) D uuur uuu r uuu r uur uur uuu r AB, BC + BC,CA + CA, AB ( Câu 41 Cho tam giác ABC Tính tổng o A 180 o B 360 ( ) ) ( ) ( o C 270 o µ Câu 42 Cho tam giác ABC với A = 60 Tính tổng o A 120 ) o B 360 o C 270 ) o ( D 120 uuur uuu r uuu r uur AB, BC + BC,CA ) ( ) o D 240 o Câu 43 Tam giác ABC có góc A 100 có trực tâm H Tính tổng uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur HA, HB + HB, HC + HC, HA ( ) ( ) ( ) o A 360 o B 180 Câu 44 Cho hình vng ABCD Tính uuur uuu r cos AC, BA = A uuur uuu r cos AC, BA = C ( ) ( ) Câu 45 Cho hình vng o C 80 uuur uuu r cos AC, BA ( B D o D 160 ) uuur uuu r cos AC, BA =- ( ) uuur uuu r cos AC, BA =- ( ) uuu r uuur uuur uur uuu r uuur AB, DC ) +( AD,CB) +( CO, DC ) ABCD tâm O Tính tổng ( A 45 B 405 BAØI 2 C 315 D 225 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b rr , xác định cơng thức sau: số, kí hiệu ab rr r r r r ab = a b cos a, b ( ) Trường hợp rr ab= Chú ý r · Với a r r · Khi a = b r r r hai vectơ a b vectơ ta quy ước r r rr r r b khác vectơ ta có ab = Û a ^ b uu r rr a aa tích vơ hướng kí hiệu số gọi bình r a phương vơ hướng vectơ Ta có: r2 r r r2 a = a a cos00 = a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: r r r a Với ba vectơ , b, c số k ta có: rr rr = ba (tính chất giao hốn); · ab r r r rr rr a b+ c = ab + a.c · (tính chất phân phối); r r rr r r ka b = k ab = a kb · ; r2 r2 r · a ³ 0, a = Û a = ( ( ) ) ( ) ( ) Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra: r r r2 r r r2 a + b = a + 2ab +b ; · · ( ) r r r2 rr r2 2 +b ; ( a- b) = a - 2ab r r r r r r ( a+ b)( a- b) = a - b · Biểu thức tọa độ tích vơ hướng rr Trên mặt phẳng tọa độ rr là: tích vơ hướng ab Nhận xét Hai vectơ ( O;i; j ) , cho hai vectơ r ur a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) Khi rr ab = ab 1 + a2b2 r r a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) r khác vectơ vng góc với ab 1 + a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ r a = ( a1;a2 ) Độ dài vectơ tính theo cơng thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r r b = ( b1;b2 ) khác ta có r a = ( a1;a2 ) rr r r ab ab 1 + a2b2 cos a;b = r r = a12 + a22 b12 + b22 a b ( ) c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( xA ; yA ) B( xB ; yB ) tính theo cơng thức: AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng? A rr r r ab = a b rr B ab= rr - C ab= D rr r r ab =- a b r r r r r Câu Cho hai vectơ a b khác Xác định góc a hai vectơ a b rr r r ab =- a b A a = 180 B a = 0 C a = 90 D a = 45 r r r r rr a = 3, b = Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a.b = - Xác định góc r r a hai vectơ a b A a = 30 B a = 45 0 C a = 60 D a = 120 r r r r 2r r u = a- 3b r a = b =1 Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn hai vectơ r r r r r v = a+ b vng góc với Xác định góc a hai vectơ a b A a = 90 0 B a = 180 C a = 60 D a = 45 r r Câu Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai? r r 1ỉr r r r r r 1ỉr r r r ÷ a.b = ỗ a +b - a - b ữ a.b = ỗ a + b - a- b ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ 2 A B r r 1ær r r r r r 1ỉr r r r ữ a.b = ỗ a +b - a- b ữ a.b = ỗ a +b - a- b ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ è ø C D uuu r uuur Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.AC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur a2 a2 a2 uuu r uuur AB AC = AB AC = AB AC = 2 2 A AB.AC = 2a B C D uuu r uuu r Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.BC uuu r uuu r a2 uuu r uuu r uuu r uuu r a2 a2 uuu r uuu r AB.BC = AB.BC = AB.BC = 2 2 A AB.BC = a B C D Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề sau sai? uuu r uuu r a2 uuur uuur uuur uur uuu r uuur 1 GA.GB = AB.AC = a AC.CB = - a2 AB.AG = a2 2 A B C D Câu Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Mệnh đề sau sai? uuu r uuur a2 uuur uur a2 uuu r uuur uuur uuu r AB.AC = AC.CB = AB, HA = 1500 2 A AH BC = B C D uuu r uuu r Câu 10 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = a Tính AB.BC ( ) uuu r uuu r uuur uuu r a2 a2 AB.BC = AB.BC = 2 C D uuu r uuu r Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Tính BA.BC uuu r uuu r uuu r uuu r 2 A AB.BC =- a B AB.BC = a uuu r uuu r A BA.BC = b uuu r uuu r B BA.BC = c C Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = cm, uur uur uur uur A CA.CB = 13 B CA.CB = 15 C uuu r uuu r BA.BC = b2 + c2 uuu r uuu r 2 D BA.BC = b - c uur uur BC = cm, CA = cm Tính CA.CB uur uur uur uur CA.CB = 17 D CA.CB = 19 uuur uuur uuu r P = AB + AC BC BC = a , CA = b , AB = c Câu 13 Cho tam giác ABC có Tính ( ) c2 + b2 + a2 c2 + b2 - a2 P= 2 A P = b - c B C D Câu 14 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M trung điểm cạnh uuuu r uuu r BC Tính AM BC P= c2 + b2 uuuu r uuu r b2 - c2 AM BC = A uuuu r uuu r c2 + b2 + a2 AM BC = C P= uuuu r uuu r c2 + b2 AM BC = B uuuu r uuu r c2 + b2 - a2 AM BC = D Câu 15 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để tích uur uur uuu r OA +OB AB = vô hướng OAB A tam giác B tam giác OAB cân O C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vuông cân O ( ) Câu 16 Cho M , N , P , Q bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai? uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuuur uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur MN NP + PQ = MN NP + MN PQ A B MP.MN = - MN MP uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuuu r MN PQ MN + PQ = MN - PQ2 C MN PQ = PQ.MN D uuu r uuur Câu 17 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB.AC uuu r uuur uuu r uuur 2 uuu r uuur uuu r uuur AB.AC = a AB.AC = a2 2 2 A AB.AC = a B AB.AC = a C D uuur uuu r uur P = AC CD +CA Câu 18 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính ( ) ( )( ) ( ) 2 C P =- 3a D P = 2a uuur uuur uuu r uuu r uuu r P = AB + AC BC + BD + BA Câu 19 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính A P = - B P = 3a ( )( ) 2 B P = 2a C P = a D P =- 2a Câu 20 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua C uuu r uuu r Tính AE AB uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 A AE AB = 2a B AE AB = 3a C AE AB = 5a D AE.AB = 5a Câu 21 Cho hình vng ABCD cạnh Điểm M nằm đoạn thẳng A P = 2a 10 Ta có Từ ìï uuur ( 2) ïï AD = ( x - 2; y) Þ AD = ( x - 2) + y2 ¾¾ ® AD = BC Û ( x - 2) + y2 = 25 í uuu r ïï ỵï BC = ( 0;5) Þ BC = ( 1) ( 2) , ta có • Trường hợp 2: Vậy D ( 7;0) ộk =- 1( loaùi) ắắ đ D ( 7;0) ( - 2k - 2) +( 2k + 7) = 25 Û ê êk =- ê ë ìïï AD P BC í ïïỵ AD ¹ BC BÀI D ( 2;9) Làm tương tự ta D = ( 2;9) Chọn B CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Câu Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 µ = AB + AC - BC = + - = cos A 2AB.AC 2.5.8 Do đó, Chọn C µA = 60° Câu Theo định lí hàm cosin, ta có µ = 22 +12 - 2.2.1.cos60°= Þ BC = BC = AB2 + AC - 2AB.AC.cos A Câu Gọi trung điểm M, N ắắ đ MN Chn D AB, BC l đường trung bình D ABC Mà , suy MN = AC = ¾¾ ® MN = AC Theo định lí hàm cosin, ta có · AB2 = AC + BC - 2.AC.BC.cos ACB Û 92 = 62 + BC - 2.6.BC.cos60° Þ BC = 3+ Chọn A Câu Theo định lí hàm cosin, ta có µÞ AB2 = AC + BC - 2.AC.BC.cosC 50 ( 2) = ( 3) + BC - 3.BC.cos45° Chọn B 6+ Þ BC = Câu Theo định lí hàm sin, ta có AB AC AC = = ị AC = à sin45 sin60 sinC sin B Chọn A Câu Do hình thoi, có ABCD · · BAD = 60°Þ ABC = 120° Theo định lí hàm cosin, ta có · AC = AB2 + BC - 2.AB.BC.cos ABC = 12 +12 - 2.1.1.cos120°= Þ AC = Chọn A Câu Theo định lí hàm cosin, ta có : cosB = Do MC = 2MB ¾¾ ® BM = BC = Theo định lí hàm cosin, ta có ( ) AB2 + BC - AC + - = 2.AB.BC 2.4.6 = µ AM = AB2 + BM - 2.AB.BM cosB = 42 + 22 - 2.4.2 = 12 Þ AM = Chọn C Câu Theo định lí hàm cosin, ta có: AB2 + AC - BC · cosBAC = =2.AB.AC · · Þ BAC = 120°Þ BAD = 60° AB2 + BC - AC 2 · = Þ ABC = 45° 2.AB.BC Trong có · · · D ABD BAD = 60°, ABD = 45°Þ ADB = 75° · cos ABC = Chọn C Câu Do tam giác ABC vng A , có tỉ lệ cạnh góc vng 3: nên AB AB : AC là cạnh nhỏ tam giác 51 Ta có AB = Þ AC = AB AC Trong có đường cao AH D ABC 1 1 1 Þ = + = + Û = + Þ AB = 40 2 ö AH AB2 AC AB2 ỉ 32 AB 16 AB 2÷ ç AB ÷ ç ÷ ç è3 ø Câu 10 Ta có · MPQ · · · · · MPE = EPF = FPQ = = 30°Þ MPF = EPQ = 60° Theo định lí hàm cosin, ta có · ME = AM + AE - 2.AM AE cosMAE Chọn B = q2 + x2 - 2qx.cos30°= q2 + x2 - qx · MF = AM + AF - 2AM AF cosMAF = q2 + y2 - 2qy.cos60°= q2 + y2 - qy MQ2 = MP + PQ2 = q2 + m2 Chọn C Câu 11 Theo định lí hàm sin, ta có: OB AB AB · · · = Û OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB · · · sin30 ° sinOAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài lớn OB · · sinOAB = Û OAB = 90° Khi OB = Chọn D Câu 12 Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB · · · = Û OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB · · · sin30 ° sinOAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn · · sinOAB = Û OAB = 90° Khi OB = Tam giác vng OAB A Þ OA = OB2 - AB2 = 22 - 12 = Chọn B 52 Câu 13 Theo định lí hàm cosin, ta có Mà AB2 + AC - BC c2 + b2 - a2 · cosBAC = = 2.AB.AC 2bc b( b2 - a2 ) = c( a2 - c2 ) Û b3 - a2b = a2c- c3 Û - a2 ( b+ c) +( b3 + c3 ) = Û ( b+ c) ( b2 + c2 - a2 - bc) = Û b2 + c2 - a2 - bc = (do b> 0, c > ) Û b2 + c2 - a2 = bc Khi đó, Chọn C b2 + c2 - a2 · · cosBAC = = Þ BAC = 60° 2bc Câu 14 Ta có 2 2 BC = AB + AC = b + c Do phân giác AD · BAC 2 AB c c c b +c Þ BD = DC = DC = BC = AC b b+ c b+ c Theo định lí hàm cosin, ta có · BD = AB2 + AD - 2.AB.AD.cos ABD Û c2 ( b2 + c2 ) ( b+ c) = c2 + AD - 2c.AD.cos45° ỉ c2 ( b2 + c2 ) ữ ỗ2 2bc3 ữ ị AD - c 2.AD +ỗ c ữ = AD - c 2.AD + =0 ỗ 2 ữ ỗ ữ ữ ç ( b+ c) ø ( b+ c) è hay Chọn A 2bc 2bc la= b+ c b+ c Câu 15 Sau tàu hải lí, tàu hải lí Vậy tam C B 40 30 giác có ABC µ = 600 AB = 40, AC = 30 A Þ AD = Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta có a2 = b2 + c2 - 2bccos A = 302 + 402 - 2.30.40.cos600 = 900+1600- 1200 = 1300 Vậy (hải lí) BC = 1300 » 36 Sau giờ, hai tàu cách khoảng hải lí Chọn B 36 Câu 16 Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có ABC, AC AB = sin B sinC 53 Vì sinC = sin( a + b) nên Câu 17 Trong tam giác Suy Suy AB.sin b 40.sin700 AC = = » 41,47 m sin( a + b) sin1150 AHB , ta có · · ABC = 900 - ABH = 78041' ( AH · · tan ABH = = = ắắ đ ABH ằ 11019' BH 20 ) · · · ACB = 1800 - BAC + ABC = 56019' ABC , ta c ã AB CB AB.sin BAC = ắắ đ CB = » 17m · · · sin ACB sin BAC sin ACB Câu 18 Áp dụng định lí sin vào tam giác µ +b a=D Do AD = nên ABD, Chọn B ta có AD AB = sin b sin D µ = a - b = 630 - 480 = 150 D AB.sin b 24.sin480 = » 68,91 m sin( a - b) sin150 Trong tam giác vng ACD, có h = CD = AD.sin a » 61,4 m Câu 19 Từ hình vẽ, suy · BAC = 100 0 0 ·ABD = 1800 - BAD · · + ADB = 180 - ( 50 + 90 ) = 40 ( Chọn D ) Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có · BC AC BC.sin ABC 5.sin400 = ắắ đ AC = = ằ 18,5 m ã · · sin100 sin BAC sin ABC sin BAC Trong tam giác vuông , ADC CD · · sinCAD = ¾¾ ® CD = AC.sinCAD = 11,9 m AC Vậy Chọn B CH = CD + DH = 11,9 + = 18,9 m Câu 20 · tan AOB = 54 Áp dụng định lý sin tam giác Ta có Chọn C Tam giác OAB AB Þ AB = tan600.OB = 60 3m OB vuông ta B, có có AB Þ AB = tan600.OB = 60 3m OB Vậy chiếu cao tháp Chọn C h = AB +OC = 60 +1 m · tan AOB = ( Câu 21 Từ giả thiết, ta suy tam giác c= 70 Khi ( ABC có ) · · CAB = 600, ABC = 105030Â v ) +B +C = 1800 Û C µ = 1800 - A µ +B µ = 1800 - 165030¢= 14030¢ A Theo định lí sin, ta có Do AC = b = b c = sin B sinC hay b 70 = sin105 30¢ sin14030¢ 70.sin105030¢ » 269,4 m sin14030¢ Gọi khoảng cách từ đến mặt đất Tam giác vng có cạnh CH C ACH đối diện với góc nên CH AC 269,4 300 CH = = = 134,7 m 2 Vậy núi cao khoảng Chọn A 135 m Câu 22 Áp dụng công thức đường trung tuyến ta được: 2 b + c a ma2 = AC + AB2 BC 82 + 62 102 = = 25 4 Chọn D Þ ma = ma2 = Câu 23 trung điểm M Tam giác AC Þ AM = D BAM vuông AC a = 2 A Chọn D Þ BM = AB2 + AM = a2 + a a = Câu 24 Áp dụng hệ thức đường trung tuyến b2 + c2 a2 m = ta được: a 55 AC + AB2 BC 122 + 92 152 225 = = 4 Chọn A 15 Þ ma = Câu 25 Ta có: điểm đối xứng qua trung điểm C Þ C BD D B trung tuyến tam giác Þ AC D DAB BD = 2BC = 2AC = 15 Theo hệ thức trung tuyến ta có: ma2 = AB2 + AD BD BD Þ AD = 2AC + - AB2 Chọn C 2 Þ AD = ỉ 15 15 ÷ 2.ỗ ữ ỗ ữ + - = 144 ị AD = 12 ỗ ố2 ứ AC = Câu 26 Ta có: M trung điểm Trong tam giác ABM BC Þ BM = ta có: · cos AMB = BC = AM + BM - AB2 2AM BM · Û AM - 2AM BM cos AMB + BM - AB2 = éAM = 13 > (thoảmã n) ê 20 13 Û AM AM + = Û ê 13 ê 13 < (loaïi) êAM = ê 13 ë Þ AM = 13 Ta có: hai góc kề bù · · AMC AMB 13 26 ta có: · · Þ cos AMC = - cos AMB =Trong tam giác D AMC · AC = AM +CM - 2AM CM cos AMC 2 ổ 13ữ ữ ỗ = 13+16- 13.4.ỗ = 49 ị AC = ữ ỗ ç 26 ÷ è ø Câu 27* Ta có: 56 · BGC · BGN Chọn D hai góc kề bù mà · · BGC = 1200 Þ BGN = 1200 G trọng tâm tam giác D ABC ìï ïï BG = BM = ï Þ ïí ïï ïï GN = CN = 3 ỵï Trong tam giác ta có: D BGN · BN = GN + BG - 2GN BG.cosBGN Þ BN = 9+16- 2.3.4 = 13 Þ BN = 13 trung điểm Chọn N AB Þ AB = 2BN = 13 Câu 28** Ta có: ìï b2 + c2 a2 ïï m = = 81 ïï a ìï a2 = 292 Þ ïï ïï 2 ï a +c b = 144 Û íï b2 = 208 í mb = ïï ïï ïï ï c2 = 100 2 ïï m2 = a + b - c = 225 ïỵ ïï c ïỵ Ta có: cos A = D ìï a = 73 ïï ïïí b = 13 ïï ïï c = 10 ïỵ b2 + c2 - a2 208+100- 292 = = 2bc 2.4 13.10 13 Chọn C ỉ1 18 13 ÷ ÷ sin A = 1- cos2 A = 1- ỗ = ỗ ữ ữ ỗ 65 ố5 13ứ Din tớch tam giác 1 18 13 D ABC : SD ABC = bcsin A = 13.10 = 72 2 65 Câu 29* Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác: A b2 + c2 a2 ma2 = Mà: b2 + c2 = 2a2 Þ Chọn A 2a2 a2 3a2 a ma2 = = Þ ma = 4 Câu 30* Gọi giao điểm Ta có: O AC BD BO trung tuyến tam giác m BO = BD = 2 D ABC BA2 + BC AC m2 a2 + b2 n2 Þ BO2 = Û = Û m2 + n2 = 2( a2 + b2 ) 4 Chọn B 57 Câu 31** Gọi G Ta có: AM = trọng tâm tam giác D ABC AC + AB2 BC b2 + c2 a2 2( b2 + c2 ) a2 2 = Þ AG = AM = 4 9 BA2 + BC AC c2 + a2 b2 c2 + a2 b2 = Þ GN = BN = 4 18 36 Trong tam giác ta có: D AGN BN = · cos AGN = 2( b + c = 2 2 AG +GN - AN = 2.AG.GN ) - 2( b2 + c2 ) 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 18 36 Chọn D - ìï b2 + c2 ïï m = ïï a ïï 2 ïí m2 = a + c ïï b ïï 2 ïï m2 = a + b ïï c ïỵ 5ma2 = mb2 + mc2 - a2 c2 + a2 b2 b2 + 18 36 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 b2 = + 18 36 · Þ AGN = 900 Câu 32** Ta có: Mà: - a2 c2 + a2 b2 18 36 10c2 - 2( a2 + b2 ) 36.2 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 18 36 a2 b2 c2 ỉ a2 + c2 b2 a2 + b2 c2 b2 + c2 a2 ữ ữ ị 5ỗ = + ỗ ữ ỗ 4ữ 4 è ø Û 10b2 +10c2 - 5a2 = 2a2 + 2c2 - b2 + 2a2 + 2b2 - c2 tam giác vuông Chọn C D ABC Û b2 + c2 = a2 Þ Câu 33** Ta có: ìï b2 + c2 a2 ïï m = Þ ma2 + mb2 + mc2 = ( a2 + b2 + c2 ) ïï a 4 ïï 2 ï a +c b í mb = ïï ïï 2 a + b c ïï m2 = c ïï ïỵ 58 =0 Chọn D 4 2 2 2 2 GA + GB + GC = ( ma + mb + mc ) = ( a + b + c ) = ( a + b + c ) 9 Câu 34 Áp dụng định lí sin, ta có BC BC 10 = 2R Þ R = = = 10 · µ sin BAC 2.sin A 2.sin30 2 Chọn B Câu 35 Áp dụng định lí Cosin, ta có · BC = AB2 + AC - 2AB.AC.cos BAC = 32 + 62 - 2.3.6.cos600 = 27 Û BC = 27 Û BC + AB2 = AC Suy tam giác vuông bán kính Chọn A ABC B, AC R= = Câu 36 Đặt Áp dụng công thức Hê – rơng, ta có AB + BC +CA p= = 24 SD ABC = p( p- AB) ( p- BC ) ( p- CA ) = 24.( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 cm2 Vậy bán kính cần tìm SD ABC = Chọn C Câu 37 Xét tam giác Ta có AM ^ BC ABC suy AB.BC.CA AB.BC.CA 21.17.10 85 Þ R= = = cm 4R 4.SD ABC 4.84 cạnh a, gọi M trung điểm BC 1 a2 SD ABC = AM BC = AB2 - BM BC = 2 Vậy bán kính cần tính AB.BC.CA AB.BC.CA a3 a SD ABC = Þ R= = = 4R 4.SD ABC a2 4 Chọn C Câu 38 Tam giác vng có đường cao ABC A, AH Þ AB.AC = AH ( *) Mặt khác AB 3 = Û AB = AC AC 4 vào ( *) , ta æ 12ử ữ AC = ỗ ữ ç ÷ Û AC = ç è5 ø Suy AB = = Þ BC = AB2 + AC = 5 Vậy bán kính cần tìm BC R= = cm 59 Câu 39 Vì AD = 3 Tam giác trung điểm D có BC Þ AB = BD = DA = 3 Þ Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp ABD Þ AB2 + AC BC = 27 AD = tam giác ABD Chọn B 3 R= AB = 3 = 3 Câu 40** Xét tam giác vuụng ti cú BÂC BÂ, BBÂC ã Â= sinCBB ị B¢C = a.sin a BC Mà AB¢+ B¢C = AC Û AB¢= b- a.sin a BB¢2 = a2.cos2 a Tam giác vng có ABB¢ B¢, AB = BB¢2 + AB¢2 = ( b- a.sin a ) + a2.cos2 a = b2 - 2ab.sin a + a2 sin2 a + a2 cos2 a = a2 + b2 - 2absin a Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính AB a2 + b2 - 2absin a = 2R Û R = · 2cosa sin ACB Câu 41 Ta có Chọn B µ = 1.3.6.sin600 = SD ABC = AB.AC.sin A 2 Câu 42 Ta có ·ABC = 1800 - BAC · · · + ACB = 75°= ACB ( Suy tam giác ABC Diện tích tam giác Câu 43 Ta có ) cân ABC A SD ABC 21+17+10 p= = 24 nên AB = AC = · = AB.AC sin BAC = Chọn C Do Chọn D S = p( p- a) ( p- b) ( p- c) = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 Câu 44 Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB2 + AC - 2AB.AC cos A = 27 ắắ đ BC = 3 Ta có 1 µ = 3.6.sin600 = SD ABC = AB.AC.sin A 2 60 Lại có SDABC Câu 45 Gọi Chn C 2S = BC.ha ắắ đ = = BC chân đường cao xuất phát từ đỉnh H Tam giác vuông Chọn A Câu 46 Ta có AHC A , có · sin ACH = 21+17+10 p= = 24 AH · ¾¾ ® AH = AC.sin ACH = = AC Suy S = p( p- a) ( p- b) ( p- c) = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 Lại có Chọn C 1 168 S = bBB 'ơắ đ 84 = 17.BB ' ắắ đ BB ' = 2 17 Câu 47 Ta có Chọn D 1 · SD ABC = AB.AC.sin BAC Û 64 = 8.18.sin A Û sin A = 2 Câu 48 Diện tích tam giác ABD 1 a2 · SD ABD = AB.AD.sin BAD = aa 2.sin450 = 2 Vậy diện tích hình bình hành Chọn C ABCD a2 SABCD = 2.SD ABD = = a Câu 49* Vì trung điểm AC Þ F FC = AC = 15 cm Đường thẳng cắt suy trọng tâm tam giác CE G G ABC BF Khi d( B;( AC ) ) BF AB = = Þ d( G;( AC ) ) = d( B;( AC ) ) = = 10 cm 3 d( G;( AC ) ) GF Vậy diện tích tam giác GFC là: Chọn C 1 SD GFC = d( G;( AC ) ) FC = 10.15 = 75 cm 2 Câu 50* Xét tam giác đều, có độ dài cạnh a ABC Theo định lí sin, ta có BC a = 2R Û = 2.4 Û a = 8.sin600 = · sin60 sin BAC 61 Vậy diện tích cần tính 1 · SD ABC = AB.AC.sin BAC = sin600 = 12 cm2 2 ( Chọn C Câu 51* Ta có p= Suy ) AB + BC +CA + 3AB = 2 æ æ öæ2 - AB ö æ 3AB + 3ư 3AB - 3÷ + AB ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ S= ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ 2 2 ố ứỗ ố ứỗ ố ứỗ è ø Lại có S = BC.AH = Từ ta có ỉ ưỉ ưỉ ưỉ 3AB + 3ữ ỗ3AB - 3ữ ỗ2 - AB ữ ỗ2 + AB ữ ữ ữ ữ ữ ỗ =ỗ ữỗ ữỗ ữỗ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữố ữố ữ ỗ ç ç ç 2 2 è øè ø ø ø Chọn C éAB = 2 ê ( 9AB - 12)( 12- AB ) ơắ đ12 = ơắ đờ ờAB = 21 16 ë Câu 52* Diện tích tam giác ban đầu ABC 1 · · S = AC.BC.sin ACB = ab.sin ACB 2 Khi tăng cạnh lên lần cạnh lên lần diện tích tam giác BC AC lúc Chọn D ABC 1 · · SD ABC = ( 3AC ) ( 2BC ) sin ACB = .AC.BC.sin ACB = 6S 2 Câu 53* Diện tích tam giác ABC 1 · · SD ABC = AC.BC.sin ACB = ab.sin ACB 2 Vì khơng đổi nên suy · a, b ab sin ACB £ 1, " C SD ABC £ Dấu xảy · · "=" sin ACB = Û ACB = 900 Vậy giá trị lớn diện tích tam giác Chọn B ABC ab S= Câu 54* Vì (Áp dụng hệ qu ó cú trc) BM ^ CN ắắ đ 5a2 = b2 + c2 Trong tam giác , ta có ABC 2a2 a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A = 5a2 - 2bccos A ắắ đ bc = cos A 62 a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A = 5a2 - 2bccos A ắắ đ bc = 2a2 cos A Khi Chọn A 1 2a2 S = bcsin A = sin A = a tan A = 3 2 cos A Câu 55 Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB2 + AC - 2AB.AC cos A = 49 ắắ đ BC = Diện tích 1 S = AB.AC.sin A = 5.8 = 10 2 Lại có Chọn C S 2S S = pr ắắ đr = = = p AB + BC +CA Câu 56 Ta có Suy Lại có 21+ 17 + 10 p= = 24 S = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 S 84 S = pr ¾¾ ®r = = = p 24 Chọn C Câu 57 Diện tích tam giác cạnh a bằng: a2 S= Chọn C Lại có a2 S a S = pr ¾¾ ®r = = = 3a p Câu 58 Dùng Pitago tính , suy AC = AB + BC +CA p= = 12 Diện tích tam giác vng Lại có S S = AB.AC = 24 S = pr ắắ đ r = = cm p Chọn C Câu 59 Từ giả thiết, ta có Suy AC = AB = a BC = a ổ2+ AB + BC +CA ữ ữ ỗ p= = aỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ø 63 Diện tích tam giác vng a2 S = AB.AC = 2 Lại có Chọn C S a S = pr ắắ đr = = p 2+ Câu 60 Giả sử Suy AC = AB = a ắắ đ BC = a Ta có BC a R= = 2 ỉ AB + BC +CA + ữ ữ ỗ p= = aỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Din tớch tam giỏc vuông a2 S = AB.AC = 2 Lại có Vậy Chọn A R S a = 1+ S = pr ắắ đr = = r p 2+ 64 ... cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( xA ; yA ) B( xB ; yB ) tính theo cơng thức: AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu Cho a b hai vectơ. .. a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ r a = ( a1;a2 ) Độ dài vectơ tính theo công thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r r b = ( b1;b2 ) khác ta có r a... tâm O Tính tổng ( A 45 B 405 BAØI 2 C 315 D 225 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b rr , xác định cơng thức sau: số, kí hiệu ab
Ngày đăng: 30/11/2019, 23:10
Xem thêm: