400 câu trắc nghiệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng có lời giải

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC 0 BẤT KỲ TỪ ĐẾN 180 BÀI 1 Định nghĩa a ( 00 £ a £ 1800 ) ta xác định điểm M nửa đường tròn · M ( x0 ; y0 ) đơn vị cho xOM = a giả sử điểm M có tọa độ y Khi ta có định nghĩa: · sin góc a y0, kí hiệu sin a = y0 ; Với góc · cosin góc a x0, kí hiệu cosa = x0 ; y0 ( x0 ¹ 0) , x · tang góc a kí hiệu y0 ; x0 · cotang góc a x0 ( y0 ¹ 0) , y0 tan a = M y0 a x0 -1 cot a = kí hiệu x O x0 y0 Tính chất · Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM = a · xON = 180 - a Ta có yM = yN = y0, xM = - xN = x0 Do y sin a = sin( 1800 - a ) cosa = - cos( 1800 - a ) y0 N tan a = - tan( 1800 - a ) M cot a = - cot( 1800 - a ) x a - x0 x0 O Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị a lượng giác 00 300 450 600 900 1800 sina 2 1 cosa tana cota P 2 2 1 3 1 3 - P 0 P Trong bảng kí hiệu " P" để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn: sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 = cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = - Góc hai vectơ a) Định nghĩa r r r uur r Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA = a uur r r 0 · OB = b Góc AOB với số đo từ đến 180 gọi góc hai vectơ a r r r r r r r a, b a, b = 900 b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b Nếu ta nói r r r r r r a b vng góc với nhau, kí hiệu a ^ b b ^ a r A b r a r r B a b ( ) b) Chú ý Từ định nghĩa ta có r r r r a, b = b, a ( ) O ( ) ( ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 0 Câu Giá trị cos45 + sin45 bao nhiêu? A B C Câu Giá trị tan30 + cot30 bao nhiêu? 1+ A B C D Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? D A sin150O = tan150O = - C B cos150O = O D cot150 = o o o o Câu Tính giá trị biểu thức P = cos30 cos60 - sin30 sin60 A P = B P= C P = o o D P = o o Câu Tính giá trị biểu thức P = sin30 cos60 + sin60 cos30 A P = B P = C P = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O A sin45 + cos45 = D P = - O O B sin30 + cos60 = O O O O C sin60 + cos150 = D sin120 + cos30 = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O A sin0 + cos0 = O O O B sin90 + cos90 = sin60O + cos60O = O C sin180 + cos180 =- D Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? O O A cos45 = sin45 +1 O O B cos45 = sin135 O O C cos30 = sin120 O O D sin60 = cos120 µ Câu Tam giác ABC vng A có góc B = 30 Khẳng định sau sai? 1 cosC = sin B = 2 A B C D Câu 10 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? 3 · · · cosBAH = sin BAH = sin ABC = sin ·AHC = 2 A B C D cosB = sinC = Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A C sin( 180°- a ) =- cosa sin( 180°- a ) = sin a B D sin( 180°- a ) =- sin a sin( 180°- a ) = cosa Câu 12 Cho a b hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin a = sin b B cosa = - cosb C tan a =- tan b D cot a = cot b Câu 13 Tính giá trị biểu thức P = sin30°cos15°+ sin150°cos165° P= A B P = C D P = Câu 14 Cho hai góc a b với a + b = 180° Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a P =- A P = B P = C P = - D P = P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C ) Câu 15 Cho tam giác ABC Tính P = P = P = P = A B C D P = cos A.cos( B +C ) - sin A.sin( B +C ) Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P = P = P = P = A B C D b Câu 17 Cho hai góc nhọn a phụ Hệ thức sau sai? A sin a = - cosb B cosa = sin b C tan a = cot b D cot a = tan b 2 2 Câu 18 Tính giá trị biểu thức S = sin 15°+ cos 20°+ sin 75°+ cos 110° A S = B S = C S = D S = Câu 19 Cho hai góc a b với a + b = 90° Tính giá trị biểu thức P = sin a cosb + sin b cosa A P = C P = - D P = Câu 20 Cho hai góc a b với a + b = 90° Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a A P = B P = B P = C P = - D P = Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21 Cho a góc tù Khẳng định sau đúng? A sin a < B cosa > C tan a < D cot a > Câu 22 Cho hai góc nhọn a b a < b Khẳng định sau sai? A cosa < cosb B sin a < sin b C cot a > cot b D tan a + tan b > Câu 23 Khẳng định sau sai? A cos75°> cos50° B sin80°> sin50° C tan45°< tan60° D cos30°= sin60° Câu 24 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin100° B cos95°> cos100° C tan85°< tan125° D cos145°> cos125° Câu 25 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin150° C cos90°30¢> cos100° B sin90°15¢< sin90°30¢ D cos150°> cos120° Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 2 Câu 26 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos a + sin a = 1? a a a a cos2 + sin2 = cos2 + sin2 = 2 3 A B ỉ 2a a a 5ỗ cos + sin2 ữ ữ= cos2 + sin2 = ỗ ỗ ứ 5ữ 4 C D è a a a = P = 3sin2 + 5cos2 Giá trị 3 ? Câu 27 Cho biết 105 107 109 111 P= P= P= P= 25 25 25 25 A B C D 6sin a - 7cosa P= 6cosa + 7sin a ? Câu 28 Cho biết tan a = - Giá trị 5 P= P= P =- P =- 3 3 A B C D sin Câu 29 Cho biết 19 P = 13 A cot a + 3tan a P= 2cot a + tan a ? Giá trị 19 25 25 P= P= P = 13 13 13 B C D cosa =- Câu 30 Cho biết cot a = Giá trị P = 2cos a + 5sin a cosa +1 ? 10 100 50 101 P= P= P= P= 26 26 26 26 A B C D 0 Câu 31 Cho biết 3cosa - sin a = , < a < 90 Giá trị tana 4 tan a = tan a = tan a = tan a = 4 A B C D 0 Câu 32 Cho biết 2cosa + 2sin a = , < a < 90 Tính giá trị cot a A cot a = cot a = cot a = B C D Câu 33 Cho biết sin a + cosa = a Tính giá trị sin a cosa A sin a cosa = a C a - 2 B sin a cosa = 2a sin a cosa = cot a = D sin a cosa = a2 - 11 cosa + sin a = 2 Giá trị P = tan a + cot a bao Câu 34 Cho biết nhiêu ? 11 P= P= P= P= 4 4 A B C D sin a - cosa = Câu 35 Cho biết nhiêu ? A 15 P= B P= 4 Giá trị P = sin a + cos a bao 17 C 19 P= D 21 P= Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36 Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau O 120 ? uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uur uuuur uuur MN , NP MO,ON MN ,OP MN , MP A B C D uuur uuur uuu r uur uur uuu r P = cos AB, BC + cos BC,CA + cos CA, AB Câu 37 Cho tam giác ABC Tính ( ) ( ) ( ) ( ( A P= 3 P= B C ) P =- ( Câu 38 Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính A 30 ( ) ) ( P =- 3 D uuur uuu r AH , BA ) ) B 60 C 120 D 150 µ Câu 39 Tam giác ABC vng A có góc B = 50 Hệ thức sau sai? uuu r uuu r uuu r uuur AB, BC = 1300 BC, AC = 400 A B uuu r uur uuur uur AB, CB = 50 AC, CB = 400 C D uuur uur cos AC,CB Câu 40 Tam giác ABC vng A có BC = 2AC Tính uuur uur uuur uur 1 cos AC,CB = cos AC,CB = - 2 A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( uuur uur cos AC,CB = C ( ) uuur uur cos AC,CB = - ) D uuur uuu r uuu r uur uur uuu r AB, BC + BC,CA + CA, AB ( Câu 41 Cho tam giác ABC Tính tổng o A 180 o B 360 ( ) ) ( ) ( o C 270 o µ Câu 42 Cho tam giác ABC với A = 60 Tính tổng o A 120 ) o B 360 o C 270 ) o ( D 120 uuur uuu r uuu r uur AB, BC + BC,CA ) ( ) o D 240 o Câu 43 Tam giác ABC có góc A 100 có trực tâm H Tính tổng uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur HA, HB + HB, HC + HC, HA ( ) ( ) ( ) o A 360 o B 180 Câu 44 Cho hình vng ABCD Tính uuur uuu r cos AC, BA = A uuur uuu r cos AC, BA = C ( ) ( ) Câu 45 Cho hình vng o C 80 uuur uuu r cos AC, BA ( B D o D 160 ) uuur uuu r cos AC, BA =- ( ) uuur uuu r cos AC, BA =- ( ) uuu r uuur uuur uur uuu r uuur AB, DC ) +( AD,CB) +( CO, DC ) ABCD tâm O Tính tổng ( A 45 B 405 BAØI 2 C 315 D 225 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b rr , xác định cơng thức sau: số, kí hiệu ab rr r r r r ab = a b cos a, b ( ) Trường hợp rr ab= Chú ý r · Với a r r · Khi a = b r r r hai vectơ a b vectơ ta quy ước r r rr r r b khác vectơ ta có ab = Û a ^ b uu r rr a aa tích vơ hướng kí hiệu số gọi bình r a phương vơ hướng vectơ Ta có: r2 r r r2 a = a a cos00 = a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: r r r a Với ba vectơ , b, c số k ta có: rr rr = ba (tính chất giao hốn); · ab r r r rr rr a b+ c = ab + a.c · (tính chất phân phối); r r rr r r ka b = k ab = a kb · ; r2 r2 r · a ³ 0, a = Û a = ( ( ) ) ( ) ( ) Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra: r r r2 r r r2 a + b = a + 2ab +b ; · · ( ) r r r2 rr r2 2 +b ; ( a- b) = a - 2ab r r r r r r ( a+ b)( a- b) = a - b · Biểu thức tọa độ tích vơ hướng rr Trên mặt phẳng tọa độ rr là: tích vơ hướng ab Nhận xét Hai vectơ ( O;i; j ) , cho hai vectơ r ur a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) Khi rr ab = ab 1 + a2b2 r r a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) r khác vectơ vng góc với ab 1 + a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ r a = ( a1;a2 ) Độ dài vectơ tính theo cơng thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r r b = ( b1;b2 ) khác ta có r a = ( a1;a2 ) rr r r ab ab 1 + a2b2 cos a;b = r r = a12 + a22 b12 + b22 a b ( ) c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( xA ; yA ) B( xB ; yB ) tính theo cơng thức: AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng? A rr r r ab = a b rr B ab= rr - C ab= D rr r r ab =- a b r r r r r Câu Cho hai vectơ a b khác Xác định góc a hai vectơ a b rr r r ab =- a b A a = 180 B a = 0 C a = 90 D a = 45 r r r r rr a = 3, b = Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a.b = - Xác định góc r r a hai vectơ a b A a = 30 B a = 45 0 C a = 60 D a = 120 r r r r 2r r u = a- 3b r a = b =1 Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn hai vectơ r r r r r v = a+ b vng góc với Xác định góc a hai vectơ a b A a = 90 0 B a = 180 C a = 60 D a = 45 r r Câu Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai? r r 1ỉr r r r r r 1ỉr r r r ÷ a.b = ỗ a +b - a - b ữ a.b = ỗ a + b - a- b ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ 2 A B r r 1ær r r r r r 1ỉr r r r ữ a.b = ỗ a +b - a- b ữ a.b = ỗ a +b - a- b ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ è ø C D uuu r uuur Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.AC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur a2 a2 a2 uuu r uuur AB AC = AB AC = AB AC = 2 2 A AB.AC = 2a B C D uuu r uuu r Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.BC uuu r uuu r a2 uuu r uuu r uuu r uuu r a2 a2 uuu r uuu r AB.BC = AB.BC = AB.BC = 2 2 A AB.BC = a B C D Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề sau sai? uuu r uuu r a2 uuur uuur uuur uur uuu r uuur 1 GA.GB = AB.AC = a AC.CB = - a2 AB.AG = a2 2 A B C D Câu Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Mệnh đề sau sai? uuu r uuur a2 uuur uur a2 uuu r uuur uuur uuu r AB.AC = AC.CB = AB, HA = 1500 2 A AH BC = B C D uuu r uuu r Câu 10 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = a Tính AB.BC ( ) uuu r uuu r uuur uuu r a2 a2 AB.BC = AB.BC = 2 C D uuu r uuu r Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Tính BA.BC uuu r uuu r uuu r uuu r 2 A AB.BC =- a B AB.BC = a uuu r uuu r A BA.BC = b uuu r uuu r B BA.BC = c C Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = cm, uur uur uur uur A CA.CB = 13 B CA.CB = 15 C uuu r uuu r BA.BC = b2 + c2 uuu r uuu r 2 D BA.BC = b - c uur uur BC = cm, CA = cm Tính CA.CB uur uur uur uur CA.CB = 17 D CA.CB = 19 uuur uuur uuu r P = AB + AC BC BC = a , CA = b , AB = c Câu 13 Cho tam giác ABC có Tính ( ) c2 + b2 + a2 c2 + b2 - a2 P= 2 A P = b - c B C D Câu 14 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M trung điểm cạnh uuuu r uuu r BC Tính AM BC P= c2 + b2 uuuu r uuu r b2 - c2 AM BC = A uuuu r uuu r c2 + b2 + a2 AM BC = C P= uuuu r uuu r c2 + b2 AM BC = B uuuu r uuu r c2 + b2 - a2 AM BC = D Câu 15 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để tích uur uur uuu r OA +OB AB = vô hướng OAB A tam giác B tam giác OAB cân O C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vuông cân O ( ) Câu 16 Cho M , N , P , Q bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai? uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuuur uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur MN NP + PQ = MN NP + MN PQ A B MP.MN = - MN MP uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuuu r MN PQ MN + PQ = MN - PQ2 C MN PQ = PQ.MN D uuu r uuur Câu 17 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB.AC uuu r uuur uuu r uuur 2 uuu r uuur uuu r uuur AB.AC = a AB.AC = a2 2 2 A AB.AC = a B AB.AC = a C D uuur uuu r uur P = AC CD +CA Câu 18 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính ( ) ( )( ) ( ) 2 C P =- 3a D P = 2a uuur uuur uuu r uuu r uuu r P = AB + AC BC + BD + BA Câu 19 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính A P = - B P = 3a ( )( ) 2 B P = 2a C P = a D P =- 2a Câu 20 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua C uuu r uuu r Tính AE AB uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 A AE AB = 2a B AE AB = 3a C AE AB = 5a D AE.AB = 5a Câu 21 Cho hình vng ABCD cạnh Điểm M nằm đoạn thẳng A P = 2a 10 Ta có Từ ìï uuur ( 2) ïï AD = ( x - 2; y) Þ AD = ( x - 2) + y2 ¾¾ ® AD = BC Û ( x - 2) + y2 = 25 í uuu r ïï ỵï BC = ( 0;5) Þ BC = ( 1) ( 2) , ta có • Trường hợp 2: Vậy D ( 7;0) ộk =- 1( loaùi) ắắ đ D ( 7;0) ( - 2k - 2) +( 2k + 7) = 25 Û ê êk =- ê ë ìïï AD P BC í ïïỵ AD ¹ BC BÀI D ( 2;9) Làm tương tự ta D = ( 2;9) Chọn B CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Câu Theo định lí hàm cosin, ta có 2 2 2 µ = AB + AC - BC = + - = cos A 2AB.AC 2.5.8 Do đó, Chọn C µA = 60° Câu Theo định lí hàm cosin, ta có µ = 22 +12 - 2.2.1.cos60°= Þ BC = BC = AB2 + AC - 2AB.AC.cos A Câu Gọi trung điểm M, N ắắ đ MN Chn D AB, BC l đường trung bình D ABC Mà , suy MN = AC = ¾¾ ® MN = AC Theo định lí hàm cosin, ta có · AB2 = AC + BC - 2.AC.BC.cos ACB Û 92 = 62 + BC - 2.6.BC.cos60° Þ BC = 3+ Chọn A Câu Theo định lí hàm cosin, ta có µÞ AB2 = AC + BC - 2.AC.BC.cosC 50 ( 2) = ( 3) + BC - 3.BC.cos45° Chọn B 6+ Þ BC = Câu Theo định lí hàm sin, ta có AB AC AC = = ị AC = à sin45 sin60 sinC sin B Chọn A Câu Do hình thoi, có ABCD · · BAD = 60°Þ ABC = 120° Theo định lí hàm cosin, ta có · AC = AB2 + BC - 2.AB.BC.cos ABC = 12 +12 - 2.1.1.cos120°= Þ AC = Chọn A Câu Theo định lí hàm cosin, ta có : cosB = Do MC = 2MB ¾¾ ® BM = BC = Theo định lí hàm cosin, ta có ( ) AB2 + BC - AC + - = 2.AB.BC 2.4.6 = µ AM = AB2 + BM - 2.AB.BM cosB = 42 + 22 - 2.4.2 = 12 Þ AM = Chọn C Câu Theo định lí hàm cosin, ta có: AB2 + AC - BC · cosBAC = =2.AB.AC · · Þ BAC = 120°Þ BAD = 60° AB2 + BC - AC 2 · = Þ ABC = 45° 2.AB.BC Trong có · · · D ABD BAD = 60°, ABD = 45°Þ ADB = 75° · cos ABC = Chọn C Câu Do tam giác ABC vng A , có tỉ lệ cạnh góc vng 3: nên AB AB : AC là cạnh nhỏ tam giác 51 Ta có AB = Þ AC = AB AC Trong có đường cao AH D ABC 1 1 1 Þ = + = + Û = + Þ AB = 40 2 ö AH AB2 AC AB2 ỉ 32 AB 16 AB 2÷ ç AB ÷ ç ÷ ç è3 ø Câu 10 Ta có · MPQ · · · · · MPE = EPF = FPQ = = 30°Þ MPF = EPQ = 60° Theo định lí hàm cosin, ta có · ME = AM + AE - 2.AM AE cosMAE Chọn B = q2 + x2 - 2qx.cos30°= q2 + x2 - qx · MF = AM + AF - 2AM AF cosMAF = q2 + y2 - 2qy.cos60°= q2 + y2 - qy MQ2 = MP + PQ2 = q2 + m2 Chọn C Câu 11 Theo định lí hàm sin, ta có: OB AB AB · · · = Û OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB · · · sin30 ° sinOAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài lớn OB · · sinOAB = Û OAB = 90° Khi OB = Chọn D Câu 12 Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB · · · = Û OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB · · · sin30 ° sinOAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn · · sinOAB = Û OAB = 90° Khi OB = Tam giác vng OAB A Þ OA = OB2 - AB2 = 22 - 12 = Chọn B 52 Câu 13 Theo định lí hàm cosin, ta có Mà AB2 + AC - BC c2 + b2 - a2 · cosBAC = = 2.AB.AC 2bc b( b2 - a2 ) = c( a2 - c2 ) Û b3 - a2b = a2c- c3 Û - a2 ( b+ c) +( b3 + c3 ) = Û ( b+ c) ( b2 + c2 - a2 - bc) = Û b2 + c2 - a2 - bc = (do b> 0, c > ) Û b2 + c2 - a2 = bc Khi đó, Chọn C b2 + c2 - a2 · · cosBAC = = Þ BAC = 60° 2bc Câu 14 Ta có 2 2 BC = AB + AC = b + c Do phân giác AD · BAC 2 AB c c c b +c Þ BD = DC = DC = BC = AC b b+ c b+ c Theo định lí hàm cosin, ta có · BD = AB2 + AD - 2.AB.AD.cos ABD Û c2 ( b2 + c2 ) ( b+ c) = c2 + AD - 2c.AD.cos45° ỉ c2 ( b2 + c2 ) ữ ỗ2 2bc3 ữ ị AD - c 2.AD +ỗ c ữ = AD - c 2.AD + =0 ỗ 2 ữ ỗ ữ ữ ç ( b+ c) ø ( b+ c) è hay Chọn A 2bc 2bc la= b+ c b+ c Câu 15 Sau tàu hải lí, tàu hải lí Vậy tam C B 40 30 giác có ABC µ = 600 AB = 40, AC = 30 A Þ AD = Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta có a2 = b2 + c2 - 2bccos A = 302 + 402 - 2.30.40.cos600 = 900+1600- 1200 = 1300 Vậy (hải lí) BC = 1300 » 36 Sau giờ, hai tàu cách khoảng hải lí Chọn B 36 Câu 16 Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có ABC, AC AB = sin B sinC 53 Vì sinC = sin( a + b) nên Câu 17 Trong tam giác Suy Suy AB.sin b 40.sin700 AC = = » 41,47 m sin( a + b) sin1150 AHB , ta có · · ABC = 900 - ABH = 78041' ( AH · · tan ABH = = = ắắ đ ABH ằ 11019' BH 20 ) · · · ACB = 1800 - BAC + ABC = 56019' ABC , ta c ã AB CB AB.sin BAC = ắắ đ CB = » 17m · · · sin ACB sin BAC sin ACB Câu 18 Áp dụng định lí sin vào tam giác µ +b a=D Do AD = nên ABD, Chọn B ta có AD AB = sin b sin D µ = a - b = 630 - 480 = 150 D AB.sin b 24.sin480 = » 68,91 m sin( a - b) sin150 Trong tam giác vng ACD, có h = CD = AD.sin a » 61,4 m Câu 19 Từ hình vẽ, suy · BAC = 100 0 0 ·ABD = 1800 - BAD · · + ADB = 180 - ( 50 + 90 ) = 40 ( Chọn D ) Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có · BC AC BC.sin ABC 5.sin400 = ắắ đ AC = = ằ 18,5 m ã · · sin100 sin BAC sin ABC sin BAC Trong tam giác vuông , ADC CD · · sinCAD = ¾¾ ® CD = AC.sinCAD = 11,9 m AC Vậy Chọn B CH = CD + DH = 11,9 + = 18,9 m Câu 20 · tan AOB = 54 Áp dụng định lý sin tam giác Ta có Chọn C Tam giác OAB AB Þ AB = tan600.OB = 60 3m OB vuông ta B, có có AB Þ AB = tan600.OB = 60 3m OB Vậy chiếu cao tháp Chọn C h = AB +OC = 60 +1 m · tan AOB = ( Câu 21 Từ giả thiết, ta suy tam giác c= 70 Khi ( ABC có ) · · CAB = 600, ABC = 105030Â v ) +B +C = 1800 Û C µ = 1800 - A µ +B µ = 1800 - 165030¢= 14030¢ A Theo định lí sin, ta có Do AC = b = b c = sin B sinC hay b 70 = sin105 30¢ sin14030¢ 70.sin105030¢ » 269,4 m sin14030¢ Gọi khoảng cách từ đến mặt đất Tam giác vng có cạnh CH C ACH đối diện với góc nên CH AC 269,4 300 CH = = = 134,7 m 2 Vậy núi cao khoảng Chọn A 135 m Câu 22 Áp dụng công thức đường trung tuyến ta được: 2 b + c a ma2 = AC + AB2 BC 82 + 62 102 = = 25 4 Chọn D Þ ma = ma2 = Câu 23 trung điểm M Tam giác AC Þ AM = D BAM vuông AC a = 2 A Chọn D Þ BM = AB2 + AM = a2 + a a = Câu 24 Áp dụng hệ thức đường trung tuyến b2 + c2 a2 m = ta được: a 55 AC + AB2 BC 122 + 92 152 225 = = 4 Chọn A 15 Þ ma = Câu 25 Ta có: điểm đối xứng qua trung điểm C Þ C BD D B trung tuyến tam giác Þ AC D DAB BD = 2BC = 2AC = 15 Theo hệ thức trung tuyến ta có: ma2 = AB2 + AD BD BD Þ AD = 2AC + - AB2 Chọn C 2 Þ AD = ỉ 15 15 ÷ 2.ỗ ữ ỗ ữ + - = 144 ị AD = 12 ỗ ố2 ứ AC = Câu 26 Ta có: M trung điểm Trong tam giác ABM BC Þ BM = ta có: · cos AMB = BC = AM + BM - AB2 2AM BM · Û AM - 2AM BM cos AMB + BM - AB2 = éAM = 13 > (thoảmã n) ê 20 13 Û AM AM + = Û ê 13 ê 13 < (loaïi) êAM = ê 13 ë Þ AM = 13 Ta có: hai góc kề bù · · AMC AMB 13 26 ta có: · · Þ cos AMC = - cos AMB =Trong tam giác D AMC · AC = AM +CM - 2AM CM cos AMC 2 ổ 13ữ ữ ỗ = 13+16- 13.4.ỗ = 49 ị AC = ữ ỗ ç 26 ÷ è ø Câu 27* Ta có: 56 · BGC · BGN Chọn D hai góc kề bù mà · · BGC = 1200 Þ BGN = 1200 G trọng tâm tam giác D ABC ìï ïï BG = BM = ï Þ ïí ïï ïï GN = CN = 3 ỵï Trong tam giác ta có: D BGN · BN = GN + BG - 2GN BG.cosBGN Þ BN = 9+16- 2.3.4 = 13 Þ BN = 13 trung điểm Chọn N AB Þ AB = 2BN = 13 Câu 28** Ta có: ìï b2 + c2 a2 ïï m = = 81 ïï a ìï a2 = 292 Þ ïï ïï 2 ï a +c b = 144 Û íï b2 = 208 í mb = ïï ïï ïï ï c2 = 100 2 ïï m2 = a + b - c = 225 ïỵ ïï c ïỵ Ta có: cos A = D ìï a = 73 ïï ïïí b = 13 ïï ïï c = 10 ïỵ b2 + c2 - a2 208+100- 292 = = 2bc 2.4 13.10 13 Chọn C ỉ1 18 13 ÷ ÷ sin A = 1- cos2 A = 1- ỗ = ỗ ữ ữ ỗ 65 ố5 13ứ Din tớch tam giác 1 18 13 D ABC : SD ABC = bcsin A = 13.10 = 72 2 65 Câu 29* Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác: A b2 + c2 a2 ma2 = Mà: b2 + c2 = 2a2 Þ Chọn A 2a2 a2 3a2 a ma2 = = Þ ma = 4 Câu 30* Gọi giao điểm Ta có: O AC BD BO trung tuyến tam giác m BO = BD = 2 D ABC BA2 + BC AC m2 a2 + b2 n2 Þ BO2 = Û = Û m2 + n2 = 2( a2 + b2 ) 4 Chọn B 57 Câu 31** Gọi G Ta có: AM = trọng tâm tam giác D ABC AC + AB2 BC b2 + c2 a2 2( b2 + c2 ) a2 2 = Þ AG = AM = 4 9 BA2 + BC AC c2 + a2 b2 c2 + a2 b2 = Þ GN = BN = 4 18 36 Trong tam giác ta có: D AGN BN = · cos AGN = 2( b + c = 2 2 AG +GN - AN = 2.AG.GN ) - 2( b2 + c2 ) 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 18 36 Chọn D - ìï b2 + c2 ïï m = ïï a ïï 2 ïí m2 = a + c ïï b ïï 2 ïï m2 = a + b ïï c ïỵ 5ma2 = mb2 + mc2 - a2 c2 + a2 b2 b2 + 18 36 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 b2 = + 18 36 · Þ AGN = 900 Câu 32** Ta có: Mà: - a2 c2 + a2 b2 18 36 10c2 - 2( a2 + b2 ) 36.2 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 18 36 a2 b2 c2 ỉ a2 + c2 b2 a2 + b2 c2 b2 + c2 a2 ữ ữ ị 5ỗ = + ỗ ữ ỗ 4ữ 4 è ø Û 10b2 +10c2 - 5a2 = 2a2 + 2c2 - b2 + 2a2 + 2b2 - c2 tam giác vuông Chọn C D ABC Û b2 + c2 = a2 Þ Câu 33** Ta có: ìï b2 + c2 a2 ïï m = Þ ma2 + mb2 + mc2 = ( a2 + b2 + c2 ) ïï a 4 ïï 2 ï a +c b í mb = ïï ïï 2 a + b c ïï m2 = c ïï ïỵ 58 =0 Chọn D 4 2 2 2 2 GA + GB + GC = ( ma + mb + mc ) = ( a + b + c ) = ( a + b + c ) 9 Câu 34 Áp dụng định lí sin, ta có BC BC 10 = 2R Þ R = = = 10 · µ sin BAC 2.sin A 2.sin30 2 Chọn B Câu 35 Áp dụng định lí Cosin, ta có · BC = AB2 + AC - 2AB.AC.cos BAC = 32 + 62 - 2.3.6.cos600 = 27 Û BC = 27 Û BC + AB2 = AC Suy tam giác vuông bán kính Chọn A ABC B, AC R= = Câu 36 Đặt Áp dụng công thức Hê – rơng, ta có AB + BC +CA p= = 24 SD ABC = p( p- AB) ( p- BC ) ( p- CA ) = 24.( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 cm2 Vậy bán kính cần tìm SD ABC = Chọn C Câu 37 Xét tam giác Ta có AM ^ BC ABC suy AB.BC.CA AB.BC.CA 21.17.10 85 Þ R= = = cm 4R 4.SD ABC 4.84 cạnh a, gọi M trung điểm BC 1 a2 SD ABC = AM BC = AB2 - BM BC = 2 Vậy bán kính cần tính AB.BC.CA AB.BC.CA a3 a SD ABC = Þ R= = = 4R 4.SD ABC a2 4 Chọn C Câu 38 Tam giác vng có đường cao ABC A, AH Þ AB.AC = AH ( *) Mặt khác AB 3 = Û AB = AC AC 4 vào ( *) , ta æ 12ử ữ AC = ỗ ữ ç ÷ Û AC = ç è5 ø Suy AB = = Þ BC = AB2 + AC = 5 Vậy bán kính cần tìm BC R= = cm 59 Câu 39 Vì AD = 3 Tam giác trung điểm D có BC Þ AB = BD = DA = 3 Þ Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp ABD Þ AB2 + AC BC = 27 AD = tam giác ABD Chọn B 3 R= AB = 3 = 3 Câu 40** Xét tam giác vuụng ti cú BÂC BÂ, BBÂC ã Â= sinCBB ị B¢C = a.sin a BC Mà AB¢+ B¢C = AC Û AB¢= b- a.sin a BB¢2 = a2.cos2 a Tam giác vng có ABB¢ B¢, AB = BB¢2 + AB¢2 = ( b- a.sin a ) + a2.cos2 a = b2 - 2ab.sin a + a2 sin2 a + a2 cos2 a = a2 + b2 - 2absin a Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính AB a2 + b2 - 2absin a = 2R Û R = · 2cosa sin ACB Câu 41 Ta có Chọn B µ = 1.3.6.sin600 = SD ABC = AB.AC.sin A 2 Câu 42 Ta có ·ABC = 1800 - BAC · · · + ACB = 75°= ACB ( Suy tam giác ABC Diện tích tam giác Câu 43 Ta có ) cân ABC A SD ABC 21+17+10 p= = 24 nên AB = AC = · = AB.AC sin BAC = Chọn C Do Chọn D S = p( p- a) ( p- b) ( p- c) = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 Câu 44 Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB2 + AC - 2AB.AC cos A = 27 ắắ đ BC = 3 Ta có 1 µ = 3.6.sin600 = SD ABC = AB.AC.sin A 2 60 Lại có SDABC Câu 45 Gọi Chn C 2S = BC.ha ắắ đ = = BC chân đường cao xuất phát từ đỉnh H Tam giác vuông Chọn A Câu 46 Ta có AHC A , có · sin ACH = 21+17+10 p= = 24 AH · ¾¾ ® AH = AC.sin ACH = = AC Suy S = p( p- a) ( p- b) ( p- c) = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 Lại có Chọn C 1 168 S = bBB 'ơắ đ 84 = 17.BB ' ắắ đ BB ' = 2 17 Câu 47 Ta có Chọn D 1 · SD ABC = AB.AC.sin BAC Û 64 = 8.18.sin A Û sin A = 2 Câu 48 Diện tích tam giác ABD 1 a2 · SD ABD = AB.AD.sin BAD = aa 2.sin450 = 2 Vậy diện tích hình bình hành Chọn C ABCD a2 SABCD = 2.SD ABD = = a Câu 49* Vì trung điểm AC Þ F FC = AC = 15 cm Đường thẳng cắt suy trọng tâm tam giác CE G G ABC BF Khi d( B;( AC ) ) BF AB = = Þ d( G;( AC ) ) = d( B;( AC ) ) = = 10 cm 3 d( G;( AC ) ) GF Vậy diện tích tam giác GFC là: Chọn C 1 SD GFC = d( G;( AC ) ) FC = 10.15 = 75 cm 2 Câu 50* Xét tam giác đều, có độ dài cạnh a ABC Theo định lí sin, ta có BC a = 2R Û = 2.4 Û a = 8.sin600 = · sin60 sin BAC 61 Vậy diện tích cần tính 1 · SD ABC = AB.AC.sin BAC = sin600 = 12 cm2 2 ( Chọn C Câu 51* Ta có p= Suy ) AB + BC +CA + 3AB = 2 æ æ öæ2 - AB ö æ 3AB + 3ư 3AB - 3÷ + AB ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ S= ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ 2 2 ố ứỗ ố ứỗ ố ứỗ è ø Lại có S = BC.AH = Từ ta có ỉ ưỉ ưỉ ưỉ 3AB + 3ữ ỗ3AB - 3ữ ỗ2 - AB ữ ỗ2 + AB ữ ữ ữ ữ ữ ỗ =ỗ ữỗ ữỗ ữỗ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữố ữố ữ ỗ ç ç ç 2 2 è øè ø ø ø Chọn C éAB = 2 ê ( 9AB - 12)( 12- AB ) ơắ đ12 = ơắ đờ ờAB = 21 16 ë Câu 52* Diện tích tam giác ban đầu ABC 1 · · S = AC.BC.sin ACB = ab.sin ACB 2 Khi tăng cạnh lên lần cạnh lên lần diện tích tam giác BC AC lúc Chọn D ABC 1 · · SD ABC = ( 3AC ) ( 2BC ) sin ACB = .AC.BC.sin ACB = 6S 2 Câu 53* Diện tích tam giác ABC 1 · · SD ABC = AC.BC.sin ACB = ab.sin ACB 2 Vì khơng đổi nên suy · a, b ab sin ACB £ 1, " C SD ABC £ Dấu xảy · · "=" sin ACB = Û ACB = 900 Vậy giá trị lớn diện tích tam giác Chọn B ABC ab S= Câu 54* Vì (Áp dụng hệ qu ó cú trc) BM ^ CN ắắ đ 5a2 = b2 + c2 Trong tam giác , ta có ABC 2a2 a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A = 5a2 - 2bccos A ắắ đ bc = cos A 62 a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A = 5a2 - 2bccos A ắắ đ bc = 2a2 cos A Khi Chọn A 1 2a2 S = bcsin A = sin A = a tan A = 3 2 cos A Câu 55 Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB2 + AC - 2AB.AC cos A = 49 ắắ đ BC = Diện tích 1 S = AB.AC.sin A = 5.8 = 10 2 Lại có Chọn C S 2S S = pr ắắ đr = = = p AB + BC +CA Câu 56 Ta có Suy Lại có 21+ 17 + 10 p= = 24 S = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 S 84 S = pr ¾¾ ®r = = = p 24 Chọn C Câu 57 Diện tích tam giác cạnh a bằng: a2 S= Chọn C Lại có a2 S a S = pr ¾¾ ®r = = = 3a p Câu 58 Dùng Pitago tính , suy AC = AB + BC +CA p= = 12 Diện tích tam giác vng Lại có S S = AB.AC = 24 S = pr ắắ đ r = = cm p Chọn C Câu 59 Từ giả thiết, ta có Suy AC = AB = a BC = a ổ2+ AB + BC +CA ữ ữ ỗ p= = aỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ø 63 Diện tích tam giác vng a2 S = AB.AC = 2 Lại có Chọn C S a S = pr ắắ đr = = p 2+ Câu 60 Giả sử Suy AC = AB = a ắắ đ BC = a Ta có BC a R= = 2 ỉ AB + BC +CA + ữ ữ ỗ p= = aỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Din tớch tam giỏc vuông a2 S = AB.AC = 2 Lại có Vậy Chọn A R S a = 1+ S = pr ắắ đr = = r p 2+ 64 ... cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( xA ; yA ) B( xB ; yB ) tính theo cơng thức: AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu Cho a b hai vectơ. .. a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ r a = ( a1;a2 ) Độ dài vectơ tính theo công thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r r b = ( b1;b2 ) khác ta có r a... tâm O Tính tổng ( A 45 B 405 BAØI 2 C 315 D 225 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b rr , xác định cơng thức sau: số, kí hiệu ab