de thi hoc sinh gioi mon toan lop 10 tinh hai duong co loi giai

Nguoithay.vn Nguoithay.vn S GIÁO DC VÀ ÀO TO HI DNG KÌ THI CHN HC SINH GII TNH LP 10 THPT NM HC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thi gian làm bài: 180 phút ( thi gm 01 trang) Câu 1 (2,5 đim) a) Cho hàm s 2 32  y x x và hàm s   y x m . Tìm m đ đ th các hàm s đó ct nhau ti hai đim phân bit A, B đng thi khong cách t trung đim I ca đon thng AB đn các trc ta đ bng nhau. b) Gii bt phng trình: 2 11 0 24 43      x xx Câu 2 (2,5 đim) a) Trong mt phng ta đ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) . ng thng  là đng phân giác trong ca góc A có phng trình 2x y 1 0    ; Khong cách t C đn  gp 3 ln khong cách t B đn  . Tìm ta đ ca A và C bit C nm trên trc tung. b) Cho tam giác ABC vuông  A, gi  là góc gia hai đng trung tuyn BM và CN ca tam giác. Chng minh rng 3 sin 5  Câu 3 (2,5 đim) a) Cho tam giác ABC. Gi D, E ln lt là các đim tha mãn: 2 BD BC; 3  1 AE AC 4  . Tìm v trí ca đim K trên AD sao cho 3 đim B, K, E thng hàng. b) Cho tam giác ABC vuông  A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác đnh đim I tha mãn h thc: 2 2 2 b IB c IC 2a IA 0   ; Tìm đim M sao cho biu thc ( 2 2 2 2 2 2 b MB c MC 2a MA ) đt giá tr ln nht. Câu 4 (2,5 đim) a) Gii phng trình:     22 1 6 2 2 1 2 5 4    x x x x b) Cho x, y, z là các s thc dng tha mãn x y z xyz   . Chng minh rng: 2 22 11 1 1 1 1         y xz xyz x y z . …………………Ht…………………. H và tên thí sinh:………………………………S báo danh:………………………… Ch ký ca giám th 1:………………….Ch ký ca giám th 2:………………………  THI CHÍNH THC Nguoithay.vn Nguoithay.vn ÁP ÁN VÀ HNG DN CHM MÔN TOÁN KÌ THI CHN HC SINH GII TNH LP 10 THPT NM HC 2012 – 2013 Câu Ý Ni dung im 1 a Cho hàm s 2 32  y x x và hàm s   y x m . Tìm m đ đ th các hàm s đó ct nhau ti hai đim phân bit A, B đng thi trung đim ca đon thng AB cách đu các trc ta đ. 1,25 Yêu cu bài toán  PT sau có hai nghim phân bit 2 32    x x x m hay 2 2 2 0   x x m (*)có '0   m>1 0,25 Gi AB x ;x là 2 nghim ca (*), I là trung đim AB ta có AB I xx x1 2   ; II y x m m 1     0,25 Yêu cu bài toán II yx m 1 1   m 2;m 0    0,25 0,25 Kt hp K, kt lun 2m 0,25 b Gii bt phng trình: 2 11 0 24 43      x xx (1) 1,25 TX: 2 4 3 0 1 2;2 3 2              xx xx x 0,25 (1) 2 11 24 43      x xx Nu 12x thì 2 4 3 0 2 4     x x x , bt phng trình nghim đúng vi mi x: 12x 0,25 Nu 2 2 4 0 23 4 3 0              x x xx bt pt đã cho 2 2x 4 x 4x 3      0,25 22 4 16 16 4 3      x x x x 2 5 20 19 0   xx 55 x 2 ;x 2 55     0,25 Kt hp nghim, trng hp này ta có: 5 2 x 3 5    Tp nghim ca bpt đã cho: 5 (1;2) (2 ;3) 5  0,25 2 a Trong mt phng ta đ Oxy cho tam giác ABC có (1;2)B . ng thng  là đng phân giác trong ca góc A có phng trình 2x y 1 0   ; khong cách t C đn  gp 3 ln khong cách t B đn  . Tìm ta đ ca A và C bit C nm trên trc tung. 1,25 D(B;  )= 3 5 ; C(0:y 0 ) ; D(C;  )= 0 y1 5  , theo bài ra ta có 0,25 Nguoithay.vn Nguoithay.vn 0 00 y1 9 y 10;y 8 55       V h trc ta đ, đim B, chú ý C khác phía B đi vi  suy ra C(0;-8) 0,25 Gi B’(a;b) là đim đi xng vi B qua  thì B’nm trên AC. Do BB'  u (1; 2)   nên ta có: a 2b 3 0   ; Trung đim I ca BB’ phi thuc  nên có: 2a b 2 0   T đó ta có: a= -7/5; b=4/5 0,25 Theo đnh lý Ta - Let suy ra 3 CA CB' 2    7 44 A(x;y);CA x;y 8 ;CB' ; 55        0,25 T đó suy ra 21 26 A( ; ) 10 5  ;C(0;-8) 0,25 b Xét các tam giác vuông ABC vuông  A, gi  là góc gia hai đng trung tuyn BM và CN ca tam giác. Chng minh rng 3 sin 5  1,25 Gi a, b và c tng ng là đ dài các cnh đi din các góc A, B và C ca tam giác. Có 2 22 c CN b 4  2 22 b BM c 4  0,25 Gi G là trng tâm tam giác ABC, ta có 2 2 2 BG CG BC cosBGC 2BG.CG   = 22 2 2 2 2 2(b c ) (4c b )(4b c )   ; Do đó 22 2 2 2 2 2(b c ) cos (4c b )(4b c )    0,25 Có 22 2 2 2 2 2 2 2 2 5(b c ) (4c b )(4b c ) ;" " 4c b 4b c 2          bc 0,25 Do đó 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2(b c ) 2(b c ).2 4 cos 5(b c ) 5 (4c b )(4b c )        0,25 Hay 2 3 sin 1 cos 5      . Du bng có khi tam giác vuông cân đnh A 0,25 3 a Cho tam giác ABC. Gi D, E ln lt là các 21 BD BC;AE AC 34  . Tìm v trí ca đim K trên AD sao cho 3 đim B, K, E thng hàng. 1,25 G B A C M N Nguoithay.vn Nguoithay.vn Vì 1 1 3 AE AC BE BC BA(1) 4 4 4     Gi s AK x.AD BK x.BD (1 x)BA     0,25 Mà 2 BD BC 3  nên 2x AK x.AD BK BD (1 x)BA 3      0,25 Vì B, K, E thng hàng(B E ) nên có m sao cho BK mBE Do đó có: m 3m 2x BC BA BC (1 x)BA 4 4 3     Hay m 2x 3m BC 1 x BA 0 4 3 4                  0,25 0,25 Do BC;BA không cùng phng nên m 2x 3m 0&1 x 0 4 3 4      T đó suy ra 18 x ;m 39  Vy 1 AK AD 3  0,25 3 b Cho tam giác ABC vuông  A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác đnh đim I tha mãn h thc: 2 2 2 2a IA b IB c IC 0    ; Tìm đim M: biu thc 2 2 2 2 2 2 2a MA b MB c MC    đt giá tr ln nht. 1,25 K đng cao AH, ta có 22 b a.CH;c a.BH nên 22 b .BH c .CH  . Do đó: 22 b .BH c .CH 0 0,25 Suy ra 2 2 2 2 2 b .IB c .IC b .IH c .IH a .IH    0,25 Kt hp gi thit suy ra 22 2a .IA a .IH hay 2.IA IH Do đó đim I tha mãn gt là I tha mãn A là trung đim IH 0,25 Vi x, y, z tùy ý tha mãn: x.IA y.IB z.IC 0 (*) bình phng vô hng 2 v (*), chú ý rng 2 2 2 2IA.IB IA IB AB   ta có: 2 2 2 2 2 2 (x.IA y.IB z.IC )(x y z) xyc xzb yza       T đó có 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2a .IA b .IB c .IC ) 3b c    0,25 Mt khác 2 2 2 2 xMA x(IA IM) x(IM IA 2IA.IM)     Tng t cho yMB 2 ; zMC 2 ri cng các đng thc đó li ta có 2 2 2 2 2 2 2 xMA yMB zMC (x y z)IM xIA yIB zIC        Thay s có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a MA b MB c MC a IM 3b c 3b c       Du bng xy ra khi M trùng I 0,25 A B C H K A B C D E Nguoithay.vn Nguoithay.vn 4 a Gii phng trình:     22 1 6 2 2 1 2 5 4    x x x x (*) 1,25 K: 11 x ;x 22    0,25 (*) 2 2 2 2 2 2 (3x 1) (2x 1) 2(3x 1) 2x 1 1 (3x 1) (2x 1) (10x 8x)                  2 2 2 3x 1 2x 1 x 1      0,25 2 2 2x 1 2x 2(a) 2x 1 4x(b)          0,25 Gii(a) và đi chiu K có 1 nghim 46 x 2   0,25 Gii (b) vô nghim. Kt lun (*) có 1 nghim 46 x 2   0,25 b Cho x, y, z là các s thc dng tha mãn x y z xyz   . Chng minh rng: 2 22 11 1 1 1 1         y xz xyz x y z (I) 1,25 Gi thit suy ra: 1 1 1 1 xy yz zx    . Ta Có: 2 2 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 x x xy yz zx x y x z               1 2 1 1 ;" " y z 2 x y z          0,25 Vit hai BT tng t ri cng li ta đc: 2 22 11 1 1 1 1         y xz x y z 1 1 1 3 ;" " x y z x y z          0,25 Ta s CM: 1 1 1 3 xyz x y z             22 3 xy yz zx xyz x y z       0,25       2 2 2 x y y z z x 0       iu này luông đúng Du bng có khi và ch khi x=y=z 0,25 Vy (I) đc CM, du bng có khi và ch khi x=y=z= 3 0,25 Lu ý: Hc sinh làm theo cách khác đúng vn cho đim ti đa. . S GIÁO DC VÀ ÀO TO HI DNG KÌ THI CHN HC SINH GII TNH LP 10 THPT NM HC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN Thi gian làm bài: 180 phút ( thi gm 01 trang) Câu 1 (2,5 đim) a). KÌ THI CHN HC SINH GII TNH LP 10 THPT NM HC 2012 – 2013 Câu Ý Ni dung im 1 a Cho hàm s 2 32  y x x và hàm s   y x m . Tìm m đ đ th các hàm s đó ct nhau ti hai. …………………Ht…………………. H và tên thí sinh: ………………………………S báo danh:………………………… Ch ký ca giám th 1:………………….Ch ký ca giám th 2:………………………  THI CHÍNH THC Nguoithay.vn Nguoithay.vn