Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa (có đáp án chi tiết)

Së gd&®t thanh ho¸ ®Ò thi häc sinh giái líp 12 Tr−êng THPT HËu Léc I M«n: to¸n – b¶ng A Thêi gian: 180 phót Bµi1: ( 4 ®iÓm) Cho hµm sè y = −2 x + m x 2 − 2 x + 2 1. T×m c¸c tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè khi m = 3 2. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i mét ®iÓm xo 1 2 Bµi 4: ( 2 ®iÓm) T×m c¸c ®a thøc f(x) tho¶ m n: x.f(x-1) = (x-3) f(x) Bµi 5: ( 6 ®iÓm) 1. LËp ph−¬ng tr×nh cña Parabol (P) cã tiªu ®iÓm F(3;2) vµ ®Ønh S(2;1). 2. Cho tø diÖn OABC, ®Ønh S cã ba mÆt vu«ng. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O lªn ®¸y ABC. Chøng minh r»ng: a) 1 1 1 1 = + + 2 2 2 OH OA OB OC 2 b) S 2 ∆ABC = S 2 ∆OBC + S 2 ∆OAC + S 2 ∆OAB ®¸p ¸n ®Ò thi hsg líp 12 M«n: to¸n – b¶ng A Bµi1: 1) (1,5®iÓm): Víi m =3 ta cã: y = −2 x + 3 x 2 − 2 x + 2 TX§: D = R TiÖm cËn xiªn bªn ph¶i − 2x + 3 x 2 − 2x + 2 =1 a = lim x → +ω x [ (0,25®iÓm) ] b = lim − 2 x + 3 x 2 − 2 x + 2 − x = −3 (0,25 ®iÓm) Ta cã tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i y= x-3 TiÖm cËn xiªn bªn tr¸i (0,25®iÓm) x →+ ω − 2x + 3 x 2 − 2x + 2 = −5 x → −ω x a = lim [ (0,25®iÓm) ] b = lim − 2 x + 3 x 2 − 2 x + 2 + 5 x = 3 (0,25®iÓm) Ta cã tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i (0,25®iÓm) x →−ω y = -5x+3 y/(xo) = 0 2) (2,5 ®iÓm): Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i xo // y (xo) < 0 m( x0 − 1)  =0  − 2 + 2 x02 − 2 x0 + 2 2 x x − + 2 2  m= (1) 0 0  ⇔ ⇔ x0 − 1 m   0 ; 1 + sinx > 0 (0,25 ®iÓm) Ph−¬ng tr×nh ⇔ log cos x sin x ln(1 + cos x) = log sin x cos x ln(1 + sin x) ln sin x ln cos x ln(1 + cos x) = ln(1 + sin x) ln cos x ln sin x (ln sin x) 2 (ln cos x) 2 (*) ⇔ = ln(1 + sin x) ln(1 + cos x) (0,25 ®iÓm) ⇔ XÐt hµm sè: f (t ) = f / (t ) = ln 2 t ln(1 + t ) ln t [2(t ) ln(t ) − t ln t ] 0 ⇒ sin C ≤ (0,25 ®iÓm) 2k − 1 k (0,25 ®iÓm) DÊu b»ng x¶y ra ↔ a = b hay A = B (0,25 ®iÓm) 2k − 1 k (0,25 ®iÓm) ⇒ max(sin C ) = Bµi 4: Ta cã: x.f(x-1)= (x-3).f(x) (1) Cho x = 0 ⇒ f(0) = 0 (2) (0,25 ®iÓm) Cho x = 1 ⇒ f(1) = 0 (3) (0,25 ®iÓm) Cho x = 2 ⇒ f(2) = 0 (4) (0,25 ®iÓm) Tõ (2) ;(3); (4) ta suy ra f(x) chia hÕt cho x; x-1; x-2 (0,25 ®iÓm) Nªn f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) (0,25 ®iÓm) Thay vµo (1) ta ®−îc: x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x) (0,25 ®iÓm) ↔ P(x-1) = P(x) ; ∀x ⇒ P(x) = C h»ng sè VËy f(x) = x.(x-1).(x-2).C (0,25 ®iÓm) víi C lµ h»ng sè (0,25 ®iÓm) Bµi 5:1.(1 ®iÓm) §−êng th¼ng SF lµ trôc cña (P) cã ph−¬ng tr×nh: x – y - 1 = 0 (0,25 ®iÓm) §−êng chuÈn (∆) cña (P) cã ph−¬ng tr×nh: x + y - 1 = 0 (0,5 ®iÓm) Gäi ®iÓm M(x;y) ∈ (P) ↔ FM = d(M; ∆) ⇔ ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 = (0,25 ®iÓm) ( x + y − 1) 2 2 (0,5 ®iÓm) ↔ x2 + y2- 2xy - 10x - 6y + 25 = 0 (*) (0,25 ®iÓm) (*) lµ ph−¬ng tr×nh cña Parabol (P) nhËn ®iÓm S lµm ®Ønh vµ F lµ tiªu ®iÓm (0,25 ®iÓm) 2.(4®iÓm): Gäi A1=AH∩BC ; B1=BH∩AC C1= CH∩AB O (0,25®iÓm) Theo gi¶ thiÕt OA⊥(OBC) ⇒ OA⊥BC Vµ OH⊥(ABC) ⇒ OH⊥BC ⇒ BC⊥(OAH) ⇒ BC⊥AH (0,5®iÓm) A B1 H T−¬ng tù BH⊥AC; CH⊥AB ⇒ H lµ trùc t©m cña ∆ABC (0,25®iÓm) XÐt ∆ vu«ng AOA1 t¹i O ta cã: 1 1 1 = + 2 2 OH OA OA12 (1) ∆ OBC vu«ng t¹i O, ta cã: Tõ (1) vµ (2) ta cã: C C A B (0,25®iÓm) 1 1 1 = + 2 2 OA1 OB OC 2 (2) (0,25®iÓm) (0,5®iÓm) 1 1 1 1 = + + 2 2 2 OH OA OB OC 2 (®pcm) (3) Nh©n hai vÕ cña (3) víi 9.V2OABC ta cã: (0,25®iÓm) (0,25®iÓm) 9.V2OABC =OH2.(SABC)2= OA2. (SOBC)2= OB2. (SOAC)2 = OC2. (SOAB)2 (0,5®iÓm) Ta ®−îc: OH 2 ( S ABC ) 2 OA 2 .( S ABC ) 2 OB 2 .( S ABC ) 2 OC 2 .( S ABC ) 2 = + + OH 2 OA 2 OB 2 OC 2 (0,5 ®iÓm) ↔ S 2 ∆ABC = S 2 ∆OBC + S 2 ∆OAC + S 2 ∆OAB (®pcm) (0,5 ®iÓm) (Chó ý: c¸ch kh¸c cã thÓ chän hÖ to¹ ®é Oxyz gèc O) L−u ý: Nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c ®óng ®Òu cho ®iÓm tèi ®a thoe mçi ý, mçi bµi. ®Ò thi häc sinh giái khèi 12 Së GD & §T Thanh ho¸ Tr−êng THPT Qu¶ng X−¬ng 1 M«n: to¸n- b¶ng A - n¨m häc 2005 - 2006 (Thêi gian 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1: (4 ®iÓm) Cho hµm sè: y = 5 x4 − 3 x 2 + (C ) vµ ®iÓm M ∈ (C ) cã hoµnh ®é xM = a. Víi gi¸ trÞ 2 2 nµo cña a th× tiÕp tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t (C) 2 ®iÓm ph©n biÖt kh¸c M. 2. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 2m +1 =0 Cã nghiÖm tho m n: x2 +6x + 7 ≤ 0 C©u 2: (4 ®iÓm) 1.T×m GTLN vµ GTNN cña hµm sè f(x) trªn ®o¹n [-1; 2] biÕt f(0) = 1 (1) vµ f2(x).f’(x) = 1+ 2x +3x2 (2) sin 3 x. sin 3x + cos 3 x. cos 3x 1 =− π π tg ( x − 6 )tg ( x + 3 ) 8 2. C©u 3: (4 ®iÓm) log 2 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : 2. T×m: lim x 2 ( x →∞ 2+ 2 2 x − x − = x − 2 x − 3) ( 2 2 ) log ( + 2 3 3 x+2 3 x+3 − ) x x C©u 4: (4 ®iÓm) 1. Cho h×nh chãp S.ABC, ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A AB = a, c¸c c¹nh bªn SA = SB = SC = a vµ cïng t¹o víi ®¸y mét gãc α . X¸c ®Þnh cos α ®Ó thÓ tÝch h×nh chãp lín nhÊt. 2. TÝnh c¸c gãc cña ∆ABC biÕt sin 3A A−C A− B 3 = + sin + sin 2 2 2 2 1 C©u 5: (4 ®iÓm) π 1. TÝnh: 2 [ ] I = ∫ ln (1 + tg 2x )e x dx 0 2. Trªn trôc to¹ ®é Oxy: Cho parabol (P): y = − x2 vµ ®−êng th¼ng (∆) : 3x – 4y + 16 19 = 0. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn cã t©m I thuéc ®−êng th¼ng (∆) cã b¸n kÝnh nhá nhÊt vµ tiÕp xóc víi parabol (P) -------------------hÕt--------------------Hä tªn thÝ sinh: ................................................. 2 Sè b¸o danh: ............................ Së GD & §T Thanh ho¸ ®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái khèi 12 Tr−êng THPT Qu¶ng X−¬ng 1 M«n: to¸n- n¨m häc 2005 – 2006 C©u 1: (4 ®iÓm) 1> §iÓm M ∈ (C ) , xM = a ---> y M = 5 a4 − 3a 2 + ta cã Pt tiÕp tuyÕn víi (C) cã 2 2 0,5® d¹ng (∆) : y = y x' ( x − x M ) + y M víi y M' = 2a 3 − 6a M 5 a4 => (∆ ) y = (2a − 6a )( x − a ) + − 3a 2 + 2 2 3 Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (∆ ) vµ (C) lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 0,5® x4 a4 5 5 − 3x 2 + = (2a 3 − 6a )( x − a ) + − 3a 2 + ⇔ ( x − a ) 2 ( x 2 + 2ax + 3a 3 − 6) = 0 2 2 2 2 x = a ⇔ 2 2  g ( x) = x + 2ax + 3a − 6 = 0 0,5® Bµi to¸n trë thµnh t×m a ®Ó g(x)=0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c a ∆' g ( x ) = a 2 − (3a 2 − 6) > 0  a < 3 a 2 − 3 < 0 ⇔ 2 ⇔ ⇔ a ≠ 1 a ≠ ±1  g (a ) = 6a 2 − 6 ≠ 0 0,5® a < 3 VËy gi¸ trÞ a cÇn t×m  a ≠ ±1 2> pt (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 2m – 1 (x2 + 6x +5)(x2 + 6x + 8) = 2m – 1 §Æt t = x2 + 6x +5 = (x + 3)2 – 4 ≥ -4 0,5® Do x2 + 6x +7 ≤ 0 x2 + 6x +5 ≤ -2 => t ≤ -2 0,5® Bµi to¸n trë thµnh t×m m ®Ó pt: f(t) = t(t+3) = 2m-1 cã nghiÖm t ∈ [− 4;−2] f(t) sè giao ®iÓm cña ®å thÞ f(t) = t2 + 3t vµ ®−êng y= 2m - 1 4 y = 2m – 1 vÏ trªn ®o¹n [-4; -2] − 2 ≤ 2m − 1 ≤ 4 1 2 − ≤ m ≤ -2 5 2 o t -4 -2 3 0,5® 1 2 VËy ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm th× − ≤ m ≤ 5 2 0,5 ® C©u 2: (4 ®iÓm) 2 [ f ( x)]3 2 1> Tõ (2): f (x)f’(x) = 1 + 2x + 3x 3 = x + x 2 + x 3 + c (c lµ h»ng 0,5® sè) 1 , do ®ã hµm sè f ( x) = 3 3x 3 + 3x 2 + 3x + 1 3 + Tõ (1) : f(0) = 1 => c = XÐt g(x) = 3x3 + 3x2 + 3x + 1 víi 2 g’(x) = 9x + 6x + 3 = 0 1 3 g(-1) = 2, g(2) = 40, g(- ) = Do ®ã GTLN cña f(x) lµ 3  x = −1  ∈ [−1;2] lµ c¸c ®iÓm tíi h¹n x = − 1 3  2 => max(g(x)) = 40, min(g(x)) = - 2 9 40 vµ GTLN cña f(x) lµ 3 −2 π π π π 6 3 6 3 2> §K: cos( x − ) ≠ 0, cos( x + ) ≠ 0; tg ( x − ) ≠ 0; tg ( x + π π 0,5® x ∈ [-1; 2] π π π 0,5® 0,5® ≠ 0) 0,5® π Do tg ( x + ) = cot g  − ( x + ) = − cot g ( x − ) ⇒ tg ( x − ).tg ( x + = −1) 3 3  6 6 3 2 0,5® Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh 1 1 ⇔ (3 sin x − sin 3 x) sin 3 x + (3 cos x + cos 3 x) cos 3 x = 8 2 1 1 ⇔ 3(sin x sin 3 x + cos x cos s3 x) + cos 2 3x − sin 2 3 x = ⇔ 3 cos 2 x + cos 6 x = 2 2 1 1 π ⇔ 4 cos 3 2 x = ⇔ cos 2 x = ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z ) 2 2 6 sin 3 x. sin 3 x + cos 3 x. cos 3 x = NghiÖm x = π 6 + kπ (lo¹i v× tg ( x − π 6 0,5® 0,5® ) = 0) π NghiÖm x = − + kπ (k ∈ Z ) t/m c¸c ®k bµi to¸n 6 4 C©u 3: (4 ®iÓm) x − 2x − 2 > 0 x > 3 1> §K:  2 ⇔ x 2 − 2x − 3 > 0 ⇔  2  x < −1  x − 2 x − 3 > 0 pt log 8+ 4 3 ( x 2 − 2 x − 2) = log log 8+ 4 3 ( x − 2 x − 2) = log 7 + 4 2 ( x 2 − 2 x − 3)  x 2 − 2 x − 2 = (8 + 4 3 ) y ( x − 2 x − 3) = y ⇒  3  x 2 − 2 x − 3 = (7 + 4 3 ) y  x 2 − 2 x − 3 = t > 0 ®−a vÒ hÖ ®Æt  7 + 4 3 = a > 1 y 7+4 3 2 t + 1 = (a + 1) y ⇒ (a + 1) y = a y + 1  y t = a y a  a   1  ⇔1=  3 1 (t/m)  x = 1 − 11 + 4 3 < −1  2 (t/m) I = lim y →0 y2 0,5® vËy pt ® cho cã 2 nghiÖm x1 , x2 0,5® 1 2> ®Æt x = khi x → ∞ th× y → 0 y 1 + 2 y − 3 1 + 3y 0,5® 1 < 1 (do a a +1 > 1) Nªn hµm sè f(y) nghÞch biÕn ∀a > 1 vµ f(1) = 1 nªn y = 1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña pt (*) => x2 – 2x – 3 = a1 = 7 + 4 3 Gi¶i ra  0,5®  1 + 2 y − (1 + y ) 3 1 + 3 y − (1 + y )  = lim  −  y →0 y2 y2   5 0,5®   y 2 ( y + 3) − y2  + = lim  2 y →0  y 1 + 2 y + (1 + y ) y 2 (3 (1 + 3 y ) 2 + (1 + y )3 1 + 3 y + (1 + y ) 2 )    1 y+3  = lim − + y →0  1 + y + 1 + 2 y (1 + y ) 2 + (1 + y )3 1 + 3 y + 3 (1 + 3 y ) 2  1 1 = − +1 = 2 2 1 VËy I = 2 OA = OB = OC C©u 4: (4 ®iÓm) Gäi O lµ trung ®iÓm cña BC =>  => SO lµ SA = SB = SC = 0 trôc ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC => SO lµ ®−êng cao cña h×nh chãp S.ABC vµ gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y, gãc SBO = gãc SAO = SCO = α 1,0® 0,5® S + SO =asin α , AC = a 4 cos 2 α − 1 1 2 ( cos α > ) S ∆ABC = 1 a2 AB. AC = 2 2 a 4 cos 2 − 1 B O α C 0,5® a A + VS.ABC = a3 sin α 4 cos 2 α − 1 6 ¸p dông B§T c« si cho 2 sè d−¬ng 4 sin 2 α vµ 4 cos 2 α -1 > 0 a3 a 3 4 sin 2 α + 4 cos 2 α − 1 a 3 = 4 sin 2 α . 4 cos 2 α − 1 ≤ . 12 12 2 8 5 1 DÊu “=” x¶y ra 4 sin 2 α = 4 cos 2 α − 1 ⇒ cos α = > 2 2 2 V= 6 0,5® VËy cos α = 2. Do sin π 5 2 2 h×nh chãp cã thÓ tÝch lín nhÊt 0,5® 3A π 3A = cos( − ) nªn gt bµi to¸n trë thµnh 2 2 2 A B+C B−C 3 3A = ) + 2 sin( − ) cos 2 2 2 4 4 2 B−C 3 π 3A π 3A ⇔ 1 − 2 sin 2 ( − ) − 2 sin( − ) cos = 4 4 4 4 4 2 π 3A π 3A B −C 1 B −C 1 B−C  ⇔ 2 sin 2 ( − ) + sin( − ) cos + cos 2 )=0 + (1 − cos 2  4 4 4 4 4 4 4  2 4  cos( − π 3A 1 B−C B−C 1  ⇔ 2 sin( − ) + cos + sin 2 =0  4 4 2 4  2 4  0,5® 0,5® 2 (*) π 3A 1 B −C 2 B −C Do sin( − ) + cos = 0 nªn VT cña (*) kh«ng ©m  ≥ 0; sin 2  4 4 2  4 4 0,5®  B−C sin 4 = 0 Khi ®ã (*) dÊu “=” xÉy ra  sin( π − 3 A ) + 1 cos B − C = 0  4 4 2 4 0,5®  A = 100 0 Gi¶i hÖ trªn ta ®−îc:   B = C = 40 0 0,5® C©u 5: (4 ®iÓm) π π 2 1 x 1> Ta cã I = ∫ ln(1 + tg )dx + ∫ xdx = x 2 2 2 0 0 π TÝnh 2 2 0 + I1 = π π2 8 + I1 x π t ®Æt x = − t ⇒ = − ⇒ dx = − dt 2 2 4 2 2 x I 1 = ∫ ln(1 + tg )dx 2 0 §æi cËn: x = 0 => t = π π 2 ; x= π 2 => t = 0 7 0,5® t π 2 π t  2  2 )dt = ∫ ln I 1 = − ∫ ln 1 + tg ( − ) dt = ∫ ln(1 + dt t t 4 2   π 0 0 2 1 + tg 1 + tg 2 2 π 0 π 1 − tg 2 0,5® π 2 π t π π π2 π = ∫ ln 2dt − ∫ ln(1 + tg )dt = t ln 2 02 − I 1 = ln 2 − I 1 ⇒ I 1 = ln 2 ⇒ I = + ln 2 2 2 4 8 4 0 0 2 VËy I = π2 8 + π 4 0,5® ln 2 NhËn thÊy ®−êng th¼ng (∆) kh«ng cã ®iÓm chung víi parabol (P) Gäi (∆' ) lµ ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi Parabol (P) vµ song song víi dt (∆ ) (∆) => pt (∆' ) lµ 3x – 4y - + m = 0 ( m ≠ 19)  x 2 3x m = + − 16 4 4 cã nghiÖm hÖ pt:  − x = 3  8 4 (d) ( ∆' ) I1 H M1 I (I) M0 0,5®  x = −6 m = 9 (I) ⇔  9 4 pt ®t (∆' ) : 3x – 4y + 9 = 0. vµ to¹ ®é tiÕp ®iÓm M 0 (−6,− ) 9  M 0 (−6;− 4 ) + Gäi (d) lµ ®t qua ®iÓm M0 vµ vu«ng gãc vãi (∆ ) => (d)  → n d (4;3) ' => pt ®t (d) 4x + 3y + 123 =0 4 0,5® I lµ giao ®iÎm cña (d) vµ (∆) => to¹ ®é I lµ nghiÖm cña hÖ 36  x=− 3 x − 4 y + 19 = 0    5 ⇔  123  y = − 13 4 x + 3 y + 4 = 0  20 => I (− 36 13 ;− ) ⇒ M 0 I = 2 5 20 0,5® Pt ®−êng trßn t©m I, bk R = IM0 cã d¹ng (x + 36 2 13 ) + ( y + )2 = 4 5 20 8 Ta chøng minh: ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh trªn lµ ®−êng trßn cã bk nhá nhÊt so víi c¸c ®−êng trßn t/m ycbt. ThËt vËy: LÊy ®iÓm I1 bÊt k× trªn (∆ ) , M1 bÊt k× trªn parabol (P) H = I1M1 ∧ (∆' ) ta cã: I 1 M 1 ≥ I 1 H ≥ IM 0 => IM0 lµ nhá nhÊt Do ®ã ®−êng trßn bk IM0 lµ ®−êng trßn bk nhá nhÊt 2 2 36 13 VËy ®−êng trßn cÇn t×m:  x +  +  y +  = 4  5   20  9 0,5® THPT Qu¶ng X−¬ng 3 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Thanh Hãa kú thi häc sinh giái líp 12 THPT ----------------- ---------------------------------------------M«n thi To¸n b¶ng A Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò. ------------------------Bµi 1 (4 ®iÓm) 2 1. T×m trªn trôc hoµnh c¸c ®iÓm cã thÓ kÎ ®Õn ®å thÞ hµm sè y = x hai tiÕp x −1 0 tuyÕn t¹o víi nhau mét gãc 45 . 2. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ sinh ra bëi phÐp quay quanh trôc Ox cña h×nh giíi h¹n bëi: y = log 2 x ; x + y = 3; y = 0. Bµi 2 (4 ®iÓm)  x 2 − (m + 2 )x + 2m < 0 cã nghiÖm. 1. T×m m ®Ó hÖ  2  x + (m + 7 )x + 7 m < 0 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 2 − 2 x − 3 = x + 3 . Bµi 3 (4 ®iÓm) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0. 2. Trong tam gi¸c ABC, chøng minh r»ng: cos A + cos B + cos C + 1 13 ≤ . cos A + cos B + cos C 6 Bµi 4 (4 ®iÓm) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (x − 3)[log 3 (x − 5) + log 5 (x − 3)] = x + 2 . 2. TÝnh lim x →0 1 + 2 x 3 1 + 3x − 1 . x Bµi 5 (4 ®iÓm) 1. LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m I(1; -1; 1), biÕt r»ng qua ®−êng th¼ng 2 x + 2 y − z − 3 = 0 cã hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi nhau tiÕp xóc víi mÆt cÇu.  x − 2 y − 2z −1 = 0 2. Víi a, b, c d−¬ng vµ 1 ≤ α ∈ R, chøng minh r»ng: aα bα cα a α −1 bα −1 c α −1 + + ≥ + + bα + cα c α + a α a α + bα bα −1 + c α −1 c α −1 + a α −1 a α −1 + bα −1 ...........HÕt........... C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh ......................................... sè b¸o danh ......................... 1 THPT Qu¶ng X−¬ng 3 H−íng dÉn chÊm bµi thi häc sinh giái líp 12 THPT M«n: to¸n - b¶ng A (®¸p ¸n nµy cã 3 trang) Bµi ý Néi dung §iÓm • TX§ D = R\{1} M ∈ Ox ⇒ M(x0; 0), ®−êng th¼ng qua M víi hÖ sè gãc k cã ph−¬ng tr×nh: y = k(x – x0) (∆)  x2 = k ( x − x0 )   x −1 cã nghiÖm (∆) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ khi hÖ:  2  x − 2x = k  ( x − 1)2 x = 0 x2 x 2 − 2x  1 ⇒ x − 1 = (x − 1)2 (x − x0 ) ⇔ x[(x0 + 1)x − 2 x0 ] = 0 ⇒  x = 2 x0 Voi x0 ≠ −1 x0 + 1  0.5® • Víi x0 = 0 ⇒ k = 0, Víi x0 = − 4 x0 2 x0 ⇒k= x0 + 1 (x0 + 1)2 0.5® • §Ó tháa m n yªu cÇu bµi to¸n th×: tg 450 = I 4 x0 k1 − k 2 ...⇒ =±1 1 + k1k 2 (x0 + 1)2 ... x0 = 3 ± 2 2 • ⇒ M1( 3 + 2 2 ; 0), M2( 3 − 2 2 ; 0). 0.5® 0.5® Giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = log 2 x , vµ ®−êng th¼ng x +y = - 3 2 3 1 2  lµ A(2; 1) ⇒ V = π  ∫ log 2 xdx + ∫ (3 − x )2 dx  =V1+ V2 2 0.5®  2 2 1 1 • V1=π ∫ log 2 xdx =π log 2 e.∫ ln xdx =... y =π log 2 e.(2 ln 2 − 1) . 3 1 O 1 2 3 • V2 =π ∫ (3 − x )2 dx = ...= π x 2 • V=π[  x 2 − (m + 2 )x + 2m < 0  2  x + (m + 7 )x + 7 m < 0 1 3 0.5® 0.5® 1 + log 2 e.(2 ln 2 − 1) ] (®vtt) 3 0.5® (1) (2) • ∆1 = (m – 2)2 ≥ 0 vµ ∆2 = (m – 7)2 ≥ 0 ⇒ m = 2 hoÆc m = 7 th× hÖ 0.5® ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. II m ≠ 2 vµ m ≥ 0 th× tËp nghiÖm cña (1) lµ D1 ⊂ R+ vµ tËp m ≠ 7  1 • Víi  nghiÖm cña (2) lµ D2 ⊂ R- nªn hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. • Víi m < 0 tËp nghiÖm D1= (m; 2) vµ tËp nghiÖm D2= (-7; -m) ⇒ hÖ ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm. • HÖ ph−¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi m < 0. 2 0.5® 0.5® 0.5® THPT Qu¶ng X−¬ng 3 Bµi ý Néi dung • ⇔ x − (x + 3) − (x + x + 3 ) = 0 ⇔ (x + x + 3 )(x − x + 3 − 1) = 0 §iÓm 0.5® • 0.5® 2 x ≤ 0 1 − 13 x + 3 = −x ⇔  2 ⇔x= 2 x − x − 3 = 0 x ≥ 1 2 3 + 17 • x + 3 = x −1 ⇔  2 ⇔x= 2  x − 3x − 2 = 0 1− 13 3 + 17 vµ x = lµ nghiÖm. KÕt luËn: x = 2 2 ⇔ 2 cos 2 3x + 4 cos 3x + 3 − cos s 4 x = 0 ⇔ 2(cos 3x + 1) + 2 sin 2 2 x = 0 cos 3 x = −1 ⇔ sin 2 x = 0 1 π k 2π   x = 3 + 3 ⇔ x = l π  2 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® KL: NghiÖm x = π + 2kπ III 0.5® 3 C = t ⇒ 1< t ≤ 2 2 1 3 1 • XÐt f(t) = t + trªn (1; ], cã f’(t) = 1 − 2 > 0 ⇒ hµm sè ®ång 2 t t 3 biÕn trªn (1; ] 2 2 13 3 3 • ∀t ∈ (1; ] th× f(1) < f(t) ≤ f( ) = 2 2 6 1 13 ≤ • VËy cos A + cos B + cos C + cos A + cos B + cos C 6 3 DÊu b»ng x¶y ra khi: cos A + cos B + cos C = hay tam gi¸c ®Òu. 2 x+2 • Pt ⇔ log3 (x − 5) + log 5 (x − 3) = víi x > 5 x −3 • Hµm sè y = log3 (x − 5) + log 5 (x − 3) ®ång biÕn trªn (5; + ∞) 1 x+2 −5 • Hµm sè y = < 0 nghÞch biÕn trªn (5; + ∞) cã y’= x −3 (x − 3)2 A 2 B 2 • ®Æt cos A + cos B + cos C = 1+ 4 sin sin sin • ⇒ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 8 IV • L = lim x→0 3 3 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 3 ( • L2 = lim x →0 0.5® 0.5® 1 + 2 x 1 + 3x − 1 + 3 x + 1 + 3x − 1 x 3 1 + 3x − 1 1 + 2x −1 3 = lim = L1 + L 2 1 + 3x + lim x → 0 x→0 x x 2x 1 + 2x −1 3 lim 3 1 + 3 x =1 1 + 3x = 2 • L1 = lim x →0 x→0 x x 1 + 2x + 1 3 0.5® ) 3x 1 + 3x − 1 = lim =1 2 x →0  3 3  x x 1 + 3x + 1 + 3x + 1   • VËy L = 2 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 3 THPT Qu¶ng X−¬ng 3 Néi dung Bµi ý 2 x + 2 y − z − 3 = 0 x − 2 y − 2z −1 = 0 ( P) I ∉ ( P) ta nhËn thÊy  vµ (P) ⊥ (Q) (Q)  I ∈ (Q) •  1 §iÓm 0.5® • ⇒ hai mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu nhËn (Q) lµm mÆt ph¼ng ph©n gi¸c ⇒ 2 mÆt ph¼ng hai mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu còng lµ hai mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña gãc sinh bëi (P) vµ (Q). Nªn ph−¬ng tr×nh 2 mÆt ph¼ng hai mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu lµ:  x + 4y + z - 2 = 0 3x - 3z - 4 = 0 |2x + 4y – z -3| = |x – 2y -2z -1| ⇔  • B¸n kÝnh mÆt cÇu cÇn lËp: R = d(I/α) = 0. 5® 1− 4 +1− 2 4 = 3 3 0.5® • Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu cÇn lËp lµ: (x − 1)2 + ( y + 1)2 + (z − 1)2 = 16 9 0.5® Gi¶ sö a ≥ b ≥ c > 0   aα aα −1   bα bα −1   cα cα −1 ≥0     + − + − ⇔  α − α α −1 α −1   α α α −1 α −1   α α α −1 α −1  b +c  c +a c +a  a +b a +b  b +c 1 1  a   b  ⇔ aα −1  α − α −1 α −1  + bα −1  α − α −1 + α α α −1  b +c  c +a  b +c c +a 1   c + cα −1  α − α −1 α −1  ≥ 0 α a +b  a +b α −1 α −1 α −1 α −1 b (a − b ) + c (a − c ) α −1 c (b − c ) + a (b − a ) ⇔ aα −1 +b + bα + cα bα −1 + cα −1 cα + aα cα −1 + aα −1 V ( )( ) ( )( + cα −1 2 a ... )( ) ( (c α (c − a ) + bα −1 (c − a ) ≥ 0 )( + aα cα −1 + bα −1 )( ) )( ) ( )( ) )   +   1 1 + cα −1a α −1 (c − a ) α − α α α −1 α −1 α b + c bα −1 + aα −1  a +b a +b ( )( ) ( )( §iÒu nµy lu«n ®óng víi mäi a ≥ b ≥ c > 0 vµ α > 1, α ∈ R dÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c > 0. 4 0.5®   +   1 1 + bα −1cα −1 (b − c ) α − α α α −1 α −1 α a + b aα −1 + bα −1  c +a c +a ( 0.5® ) α −1  1 1 ⇔ aα −1bα −1 (a − b ) α − α α α −1 α −1 α c + a cα −1 + a α −1  b +c b +c ( 0.5® )   ≥ 0  0.5® §Ò thi häc sinh giái 12 (Thêi gian lµm bµi 180’) C©u 1: Chøng minh r»ng hµm sè y = x4- 6x2 + 4x + 6 lu«n lu«n cã 3 cùc trÞ ®ång thêi gèc to¹ ®é O lµ träng t©m cña c¸c tam gi¸c t¹o bëi 3 ®Ønh vµ 3 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè. C©u 2: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh. x+y = 4 z − 1 y + z = 4x − 1 z + x = 4y −1 C©u 3: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é §Ò c¸c vu«ng gãc oxy cho parab«n (P): y2 = 4x. M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn (P). M ≠ 0, T lµ mét ®iÓm trªn (P) sao cho T ≠ 0, OT vu«ng gãc víi OM. a. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn (P) th× ®−êng th¼ng MT lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. b. Chøng minh r»ng khi M di ®éng trªn (P) th× th× trung ®iÓm I cña MT ch¹y trªn 1 pa ra bol cè ®Þnh . C©u 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau: sinx + siny + sin (x+y) = C©u 5: Cho d y sè In = 4 nπ ∫π 2n 3 3 2 cos x dx , x n∈N* TÝnh nlim In → +∞ C©u 6: Cho 1 ≠ a > 0, chøng minh r»ng. 1+ 3 a ln a < a −1 a+3 a Ng−êi ra ®Ò :Ng« Quèc Kh¸nh Tr−êng PTTH Lam S¬n 1 §¸p ¸n C©u 1: (3 ®iÓm ) TËp x¸c ®Þnh: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + 6. y’ = 4x3 - 12x + 4 y’ = 0 g(x) = x3 - 3x + 1 = 0 (1) Ta cã g(x), liªn tôc g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3  g(- 2).g(- 1) < 0   g(-1).g( 1) < 0  g( 1).g( 2) < 0  g(x) liªn tôc nªn ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt tháa m n : - 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2 * Ta cã y = 1 y’.x- 3.(x2 - x - 2) 4 (1) Gäi c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) vµ G (x0,y0) lµ träng t©m tam gi¸c ABC. Theo §L Viet cã x1 + x2 + x3 = 0 (2) x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3) Tõ (2) suy ra x0 = x1 + x2 + x3 =0 3 Tõ (1) (2) (3) suy ra: y0 = 1 (y1+y2+y3) = -3 [( x12 + x22 + x32 )-(x1+x2+x3) - 6] 3 = -3 [(x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6] = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0 VËy G (0;0) ≡ 0(0;0) (§PCM) C©u 2: ( 2 ®iÓm) x+y = 4 z − 1 (1) y + z = 4x − 1 (2) z + x = 4y −1 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cosi tacã: (3) (2’) T−¬ng tù 4 x − 1 < 2x Tõ (1’) ;(2’) ; (3’) vµ (1) ; (2) ; (3) suy ra. 2(x+y+z) = 4 z − 1 + 4 x − 1 + 4 y − 1 < 2z + 2x + 2y Tõ (4) suy ra: 4z - 1 = 1 4x - 1 = 1 1 4 (4 z − 1) + 1 = 2z (1’) 2 4 y − 1 < 2y (3’) 4 z − 1 = (4 z − 1).1 < (I) (I) ®k x,y,z > 4y - 1 = 1 VËy hÖ (I) cã nghiÖm x = y = z = C©u 3: (P): y2 = 4x 2 1 2 x=y=z= (4) 1 nghiÖm ®óng (I) 2   y 12   y 22    víi y1,y2 ≠ 0; y1 ≠ y2.  M ; y ; y T ; a. (3®iÓm ) Gi¶ sö 1 2  4   4     2 2 y y OT⊥OM ⇔ OT.OM = 0 ⇔ 1 . 1 + y 1 .y 2 = 0 4 4 ⇔ y1 . y2 + 16 = 0 (1) y 12 xy - y1 4 = Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng MT: 2 2 y 2 - y1 y 2 y1 4 4 ⇔ 4x - y 12 = (y1 + y2). (y-y1) ⇔ 4x - (y1 + y2) y - 16 = 0 ⇔ 4(x- 4)- (y1 + y2) y= 0 Nªn ®−êng th¼ng MT lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh J (4;0) b. (3®iÓm) Gäi I (x0, y0) lµ trung ®iÓm MT th× ( ) 1 2 (1) y 1 + y 22 8 y +y y0 = 1 2 (2) 2 1 1 Tõ (1) suy ra x0 = [(y1+y2)2 - 2y1y2] = [(2y0)2 - 2 (-16)] 8 8 1 2 = . y0 + 4 ⇒ y02 = 2x0 - 8 2 x0 = Tõ ®ã ⇒ I ch¹y trªn parab«n (P) : y2 = 2x = 8 cè ®Þnh . C©u 4: (3 ®iÓm) sin x + sin y + sinz (x+y) = 3 3 2 (1) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpxki vµ tõ (1) ta cã . 27 3 3 2 ) = [sinx + siny + sinz (x+y)] =( 4 2 sin2(x+y)) = 3. [ 2 < (12 + 12+12).(sin2x + zin2y + 1 − cos 2 x 1 − cos 2 y + +sin2 (x+y)] 2 2 = 3.[1- cos (x+y) . cos (x-y) + 1 - cos2 (x+y)] = 3. [2-(cos (x+y)+ < 3 (2- 0 + 1 1 cos (x-y)2) + cos2 (x-y)] 2 4 1 27 1 )= (2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) + cos (x-y)2 > 0 4 4 2 Tõ (2) suy ra: (1) ⇔ cos2 (x-y) = 1 cos (x+y) + 1 cos (x-y) = 0 2 sinx = sin y = sin (x+y) = 3 3 2 π   x = 3 + 2kπ   y = π + 2nπ  3 ⇔ víi k , n ∈ Z 4n π cosx ∫ x dx 2n π C©u 5: (3 ®iÓm) In = Ta chøng minh: 0 < In < 4 nπ Ta cã: In = ∫ 2 nπ cos x dx = x 4 nπ ∫ 4 nπ 1 (1) 4 nπ 4 nπ d (sin x) sin x 4nπ 1 - ∫ sin x.d ( ) = x x x 2nπ 2 nπ 4 nπ sin x dx x2 2n sin x 1 * Ta cã: 2 < 2 ∀x ∈ [2nπ , 4nπ ] nªn x x 4 nπ dx 1 4nπ 1 1 1 =In < ∫ 2 = − + = (2) 2 n π x 4 n π 2 n π 4 n π x 2 nπ = ∫π 2 n −1 2 ( k +1)π * Ta cã: In = kΣ=n ( 2 k +1)π => JK = ∫π 2k sin x + x2 ∫π 2k sin x dx ®Æt JK = x2 2 ( k +1)π ∫π ( 2 k +1) sin x dx > x2 2 ( k +1)π ∫π 2k sin x dx x2 2 ( k +1)π 1 ∫πsin x ( x 2 − 2k 1 )dx >0 (3) (x + π )2 2 n −1 Ta l¹i cã: In = kΣ=n Jk do (3) nªn In > 0 Tõ (2) (4) suy ra 0 < In ≤ Ta l¹i cã Lim n → +∞ 1 4 nπ 1 = 0 nªn 4 nπ (4) ⇒ (1) ®óng Lim I n = 0 n→+∞ C©u 6: (3 ®iÓm) ln a 1+ 3 a < a −1 a+3 a (1) víi 1 ≠ a > 0 Trong hîp 1: a >1 (1) (a + 3 a )lna < (1 + 3 a ) (a-1) (2) 3(x3 +x) lnx < (1+x).(x3-1) x4 + x3 - x - 1 - 3 (x3+x)lnx > 0 (3) §Æt f(x) = x4 + x3 - x - 1 -3 (x3 + x)lnx (2) §Æt x = 3 a => x >1 ∀x > 1 ∀x > 1 x ∈[1;+ ∞ ) 1 x Ta cã f’(x) = 4 x3 + 3x2 - 1 - 3 [(3x2 + 1) lnx + (x3 + x) . ] = 4x3 - 4 - 3 (3x2 + 1) lnx 1 1 ) f(3)(x) = 3 ( 8x + 2 -6ln x - 9) x x 3 2 6(4 x − 3x − 1) 6( x − 1)(4 x + 4 x + 1 6 2 = f(4)(x) = 3.(8- − 3 ) = > 0 , ∀x > 1 x x x3 x3 f”(x) = 3.(4x2 - 3x - 6xln x - 4 Suy ra f(3)(x) ®ång biÕn nªn [1;+ ∞ ) f(3)(x) > f(3)(1) = 0 ... t−¬ng tù f’(x)> 0 víi ∀x > 1 ⇒ f(x)> f (1) = 0 víi ∀x >1 suy ra (3) ®óng. Tr−êng hîp 2: 0 < a < 1 ®Æt a = 1 , a1 > 1 quay vÒ tr−êng hîp 1. a1 Tµi liÖu tham kh¶o 1. Hµm sè - T¸c gi¶ : TrÇn Ph−¬ng 2. T¹p chÝ " Crux - Mathematicorum " . T¹p chÝ to¸n häc Ca na ®a 5 Kú thi häc sinh giái líp 12 – THPT N¨m häc 2005 - 2006 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Thanh ho¸ M«n thi : to¸n häc - b¶ng A (Thêi gian : 180 phót - kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §Ò chÝnh thøc Bµi 1: ( 4 ®iÓm ) Cho hµm sè : y = x + 1 + 1 x −1 (C) 1/ Kh¶o s¸t hµm sè . 2/ T×m nh÷ng ®iÓm trªn ®å thÞ (C) cã hoµnh ®é lín h¬n 1 sao cho tiÕp tuyÕn t¹i diÓm ®ã t¹o víi 2 ®−êng tiÖm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt . Bµi 2: (2 ®iÓm ) x 1 1 BiÖn luËn theo m sè nghiÖm d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh : ∫  t − dt = m − 1  t 2 Bµi 3: (2 ®iÓm ) Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x = 3 − x . 4 − x + 4 − x . 5 − x + 5 − x . 3 − x Bµi 4: (2 ®iÓm ) π T×m c¸c gi¸ trÞ thùc cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã ®óng 1 nghiÖm x ∈ 0;  :  4 (4 − 6m )Sin 3 x + 3(2m − 1)Sinx + 2(m − 2)Sin 2 xCosx − (4m − 3)Cosx = 0 Bµi 5: (2 ®iÓm ) T×m tam gi¸c ABC cã B = 2A vµ ba c¹nh cã sè ®o lµ ba sè nguyªn liªn tiÕp . Bµi 6: (2 ®iÓm ) T×m ®a thøc P(x ) cã bËc lín h¬n 1 tho¶ m n hÖ ®iÒu kiÖn sau : ( ) ( x + 2 ) x 2 − 4 P' ' ( x ) − 2 x( x + 2 )P' ( x ) + 12 P( x ) = 0 ; ∀x ∈ R  P(1) = 27  Bµi 7: (2 ®iÓm )  2 3+Cos 2 x −log 2 3 = 3 −( y + 4 ) Gi¶i hÖ sau :  2 2 y − y − 1 + ( y + 3) ≤ 8 Bµi 8: (2 ®iÓm ) Hai h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã chung chiÒu cao , ®Ønh cña h×nh chãp nµy trïng víi t©m cña ®¸y h×nh chãp kia. Mçi c¹nh bªn cña h×nh chãp nµy ®Òu c¾t mét c¹nh bªn cña h×nh chãp kia. C¹nh bªn l cña h×nh chãp thø nhÊt t¹o víi ®−êng cao mét gãc α .C¹nh bªn cña h×nh chãp thø 2 t¹o víi ®−êng cao mét gãc β . T×m thÓ tÝch phÇn chung cña hai h×nh chãp . Bµi 9: (2®iÓm ) Cho c¸c sè thùc a, b, c ≥ 2 chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau : Log b +c a 2 + Log c + a b 2 + Log a +b c 2 ≥ 3 ................................................................................................ Hä vµ tªn thÝ sinh : .................................................Sè b¸o danh ................... Thanh hãa; Ngµy 02 th¸ng 10 n¨m 2005 Lêi gi¶i chi tiÕt vµ biÓu ®iÓm ®Ò thi häc sinh giái to¸n khèi 12 Bµi ý Bµi 1 1 Lêi gi¶i chi tiÕt §iÓm a) TX§ : D = R b) Sù biÕn thiªn: 1 ; y’ = 0 cã 2 nghiÖm x = 0 ; x = 2 (x − 1)2 HS ®ång biÕn trªn (− ∞;0 ); (2;+∞ ) vµ nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (0;1); (1;2 ) Cùc trÞ : Cùc ®¹i t¹i x =0 vµ y CD = 0 • CBT: y ' = 1 − • • 1 ®iÓm Cùc tiÓu t¹i x=2 vµ y CT = 4 • Nh¸nh v« cùc vµ tiÖm cËn: TiÖm cËn ®øng x = 1; tiÖm cËn xiªn y = x+1 vµ Lim y = +∞; Lim y = −∞ x → +∞ x → −∞ ........................................................................................................ • BBT : o 1 2 −∞ x y’ + 0 - ‖ - 0 ......... +∞ + y c) §å thÞ : §å thÞ ®i qua gèc to¹ ®é O=(0;0) T©m ®èi xøng I=( 1;2 ) 1 ®iÓm y 1 O -1 2 x 1 1 a2 = a −1 a −1 a2 a 2 − 2a PTTT cña ( C ) t¹i M lµ: y − y (a ) = y ' (a )( x − a ) ⇔ y = − + x a ( ) a −1 (a − 1)2 (d) Gäi M = (a; y(a )) ∈ (C ); a > 0 th× y (a ) = a + 1 + 0.5 ®iÓm TiÖm cËn ®øng x = 1 ; TiÖm cËn xiªn y = x + 1 Giao ®iÓm cña 2 tiÖm cËn lµ I=( 1 ; 2 ) ........................................................................................................  2a  Giao ®iÓm cña d víi tiÖm cËn ®øng x = 1 lµ A = 1;   a − 1 Víi tiÖm cËn xiªn lµ : B = (2a − 1;2a ) 2 ; BI = 2 2 a − 1 , nªn AI .BI = 4 2 v× a > 1 Ta cã AI = a −1 L¹i cã ∠AIB = π suy ra 4 AB 2 = AI 2 + BI 2 − 2 AI .BICos .......... 0.5 ®iÓm π = AI 2 + BI 2 − 2 AI .BI 4 .......................................................................................................... Theo bÊt ®¼ng thøc C« si : AB 2 ≥ 2 AI .BI − 2 AI .BI = 2 − 2 AI .BI ( ( ) ⇔ AB ≥ 2 2 2 − 1 (1) §Æt p lµ chu vi tam gi¸c ABI th× : ( ) ) p = AB + AI + BI ≥ AB + 2 AI .BI ≥ 2 2 2 − 1 + 44 2 1 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra ⇔ AI = BI ⇔ a = 1 + 4 2 ........................................................................................................... 1 VËy Minp = 2 2 2 − 1 + 44 2 ⇔ a = 1 + 4 2 1  1  Hay ®iÓm cÇn t×m lµ M = 1 + 4 ;2 + 2 + 4  2 2  ( Bµi 2 ) x → +∞ x 0.5 ®iÓm ............ 0.5 ®iÓm x  t2 1 1 1 1 Ta cã ∫  t − dt = ∫ tdt − ∫ dt =  − Ln t  = x 2 − ln x − t t 2 1 2 2 1 1 1 1 PT ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi x 2 − ln x = m (1) 2 ............................................................................................................. Sè nghiÖm d−¬ng cña PT lµ sè giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng y = m vµ ®å thÞ 1 hµm sè f ( x ) = x 2 − ln x víi hoµnh ®é d−¬ng. 2 1 XÐt hµm sè : f ( x ) = x 2 − ln x trªn (0;+∞ ) 2 1 §¹o hµm y ' = x − ; y ' = 0 ⇔ x = ±1 x Lim y = Lim+ y = +∞ x ......... x 0.5 ®iÓm .......... 0.5 ®iÓm x →0 ........................................................................................................... BBT o 1 x −∞ +∞ y’ | o + y | +∞ +∞ ......... 1 2 ............................................................................................................ Tõ BBT ta ®−îc : 1 +/ Víi m < th× PT v« nghiÖm 2 1 +/ Víi m = th× PT cã nghiÖm d−¬ng duy nhÊt x = 1 2 1 +/ Víi m > th× ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d−¬ng ph©n biÖt 2 Bµi 3 .......... 0.5 ®iÓm §K : x ≤ 3 §Æt a = 3 − x ; b = 4 − x ; c = 5 − x Ta cã x = 3 − a 2 = 4 − b 2 = 5 − c 2 = ab + bc + ca ........................................................................................................... 3 − a 2 = ab + bc + ca (a + b )(c + a ) = 3   2 Do ®ã 4 − b = ab + bc + ca ⇔ (b + c )(a + b ) = 4 5 − c 2 = ab + bc + ca  (c + a )(b + c ) = 5   Nh©n vÕ víi vÕ c¸c PT ta ®−îc (a + b )(b + c )(c + a ) = 2 15 ( * ) ............................................................................................................  2 15 a + b = 5  2 15  Thay lÇn l−ît c¸c ph−¬ng tr×nh cña hÖ vµo PT ( * ) sÏ cã : b + c = 3  c + a = 2 15  4  Céng c¸c vÕ ph−¬ng tr×nh cña hÖ, cã PT míi vµ thay lÇn l−ît mçi PT cña hÖ vµo PT võa cã.Ta ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®· cho lµ: 671 x= 240 Bµi 4 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm ......... 0.5 ®iÓm ......... 1 ®iÓm NhËn thÊy Cosx=0 kh«ng tho¶ m n PT , b»ng c¸c chia c¶ 2 vÕ cho Cos 2 x ≠ 0 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh : (tgx − 1)(tg 2 x − 2mtgx + 4m − 3) = 0 §Æt tgx = t , ta cã PT : (t − 1)(t 2 − 2mt + 4m − 3) = 0 (1) .............................................................................................................  π §Ó PT ®· cho cã nghiÖm x ∈ 0;  th× PT (1) ph¶i cã nghiÖm 0 ≤ t ≤ 1  4 Do PT (1) lu«n cã 1 nghiÖm t = 1∈ [0;1] nªn PT t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 ChØ cã 1 nghiÖm t = 1 hoÆc kh«ng cã nghiÖm nµo thuéc ®o¹n [ 0 ; 1 ] ............................................................................................................. t2 −3 §Ó ý r»ng t = 2 kh«ng tho¶ m·n . Do ®ã f (t ) = =m 2t − 4 0.5 ®iÓm .......... 0.5 ®iÓm .......... XÐt f(t) trªn [0;1] ta cã : 1  t 2 − 4t + 3   ≥ 0; ∀t ∈ [0;1] f ' (t ) =  2  (t − 2)2   m ≥1 3 LËp b¶ng biÕn thiªn vµ tõ BBT ta ®−îc :  m < 4 Bµi 5 1 ®iÓm Ta chøng minh bæ ®Ò: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó tam gi¸c ABC cã B= 2A lµ b 2 = a 2 + ac (1) ThËt vËy: Theo ®Þnh lý C«Sin trong tam gi¸c Bµi 6 b 2 = a 2 + c 2 − 2acCosB = a 2 + ac ⇔ c − 2aCosB = a ⇔ c − a = 2aCosB ¸p dông ®Þnh lý Sin, ta ®−îc 2 RSinC − 2 RSinA = 4 RSinACosB ⇔ SinC − SinA = Sin( A + B ) + Sin( A − B ) ⇔ SinA = Sin(B − A) Do ®ã B = 2A vµ 0 < A, B < π .......................................................................................................... V× 3 c¹nh lµ 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn víi x ∈ N * vµ a < b, ta cã c¸c tr−êng hîp sau : a) NÕu a=x,b=x+1,c=x+2 : Khi ®ã tõ (1) ta ®−îc x=1 suy ra a=1,b=2,c=3. Kh«ng tho¶ m·n tÝnh chÊt c¹nh cña tam gi¸c b) NÕu a=x,b=x+2,c=x+1 : Tõ (1) ta cã PT x 2 − 3 x − 4 = 0 Suy ra a=4,b=6,c=5 ( tho¶ m·n ) c) NÕu a=x+1,b=x+2,c=x : T−¬ng tù th× x 2 − x − 3 = 0 , PT kh«ng cã nghiÖm nguyªn d−¬ng nªn kh«ng tho¶ m·n. VËy cã 1 tam gi¸c duy nhÊt tho¶ m·n bµi ra lµ tam gi¸c cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ : a = 4,b = 6,c =5 . Gi¶ sö ®a thøc cÇn t×m lµ: P(x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 ; a n ≠ 0 P' ( x ) = na n x n −1 + (n − 1)a n −1 x n −2 + ... + 2a 2 x + a1 P' ' ( x ) = n(n − 1)a n x n − 2 + (n − 1)(n − 2 )a n−1 x n−3 + ... + 2a 2 .......................................................................................................... Tõ yªu cÇu , ta cã ®iÒu kiÖn cÇn lµ : HÖ sè cña luü thõa bËc (n + 1) ph¶i b»ng 0. mµ hÖ sè ®ã lµ n(n − 1)a n − 2na n = n(n − 3)a n L¹i do a n ≠ 0; n > 1 nªn n(n − 3)a n = 0 ⇔ n = 3 ............................................................................................................ Do vËy ®a thøc ph¶i cã d¹ng P( x ) = a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 ; a3 ≠ 0 Thay ®a thøc vµo ®iÒu kiÖn (1) : (12a3 − 2a 2 )x 3 + (8a 2 − 24a3 − 2a1 )x 2 + (8a1 − 8a 2 − 48a3 )x + 12a0 − 16a 2 = 0; ∀x  6a 3 − a 2 = 0  a 2 = 6a 3 4a − 12a − a = 0  2  3 1 ⇔ a1 = 12a3 ⇔  a1 − a 2 − 6a3 = 0  a = 8a 3  0  3a 0 − 4a 2 = 0 ............................................................................................................. Nªn P( x ) = a 3 (x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8) MÆt kh¸c P(1) = 27 ; Suy ra 27a3 = 27 ⇔ a3 = 1 1 ®iÓm .......... 1 ®iÓm 0.5 ®iÓm .......... 0.5 ®iÓm .......... 0.5 ®iÓm .......... VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : P( x ) = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 Bµi 7 Víi ∀x ∈ R ta cã 3 − ( y + 4 ) = 2 3+Cos 2 x − Log 3 ≥ 2 2− Log 3 = 2 Log 3 = 3 2 2 2 ⇔ −( y + 4) ≥ 1 ⇔ y ≤ −5 (1) §¼ng thøc x¶y ra khi 1 + Cos 2 x = 0 ⇔ Cosx = 0 ⇔ x = π + kπ ; k ∈ Z (2) 2 ............................................................................................................... Víi ®iÒu kiÖn (1) th× 2 / y / − / y − 1 / + ( y + 3) 2 ≤ 8 trë thµnh : y 2 + 5 y ≤ 0 ⇔ −5 ≤ y ≤ 0 , kÕt hîp víi (1) ta cã y = - 5 (3) ............................................................................................................... KÕt hîp (1);(2) vµ (3) ta cã nghiÖm cña hÖ ®· cho lµ : π  x = + kπ ; k ∈ Z  2  y = −5 Bµi 8 0.5 ®iÓm §Æt 2 h×nh chãp tam gi¸c ®Òu lµ : O.ABC vµ O’.A’B’C’ víi O lµ t©m cña tam gi¸c ABC vµ O’ lµ t©m cña tam gi¸c A’B’C’. Theo bµi ra th× OO’ lµ ®−êng cao chung cña 2 h×nh chãp . §Æt D,E,F lµ c¸c giao ®iÓm cña c¸c cÆp c¹nh bªn t−¬ng øng cña 2 h×nh chãp . PhÇn thÓ tÝch chung cña 2 h×nh chãp lµ thÎ tÝch cña khèi ®a diÖn 1 3 .............................................................................................................. ∆OO ' C vu«ng t¹i O’ nªn OO ' = l cos α Do tÝnh ®èi xøng nªn OO’ ®i qua t©m I cña ∆DEF . Trong ∆IOE ta cã : OI = IE cot gα 1 ®iÓm .......... 0.5 ®iÓm ........... 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm ODEFO’. Ký hiÖu V lµ thÓ tÝch ®ã th× V = OO'.S ∆DEF Trong ∆IO ' E cã:: O' I = IE cot gα OO' l cos α = cot gα + cot gβ cot gα + cot gβ .............................................................................................................. 3 Tam gi¸c DEF ®Òu , ®−êng cao EJ = EI 2 2 DE 3 2 EJ 3 víi DE = DiÖn tÝch S ∆DEF = = EI 3 4 3 3l 2 3 cos 2 α Do ®ã S ∆DEF = 4(cot gα + cot gβ ) 2 ............................................................................................................. l 3 3 cos 3 α VËy thÓ tÝch phÇn chung cña 2 h×nh chãp lµ : V = 4(cot gα + cot gβ ) 2 Suy ra OO' = IE (cot gα + cot gβ ) ⇔ IE = ............ 0.5 ®iÓm ........... 0.5 ®iÓm ........... C' A' O 0.5 ®iÓm B' D I F E C A O' B Bµi 9 Log 2 a 2 Log 2 b 2 Log 2 c 2 + + ≥ 3 (1) Log 2 (b + c ) Log 2 (c + a ) Log 2 (a + b ) 1 1 Do a.b.c ≥ 2 nªn + ≤ 1 ⇔ a + b ≤ ab ,t−¬ng tù ta còng ®−îc : a b b + c ≤ bc & c + a ≤ ac 2 Log 2 a 2 Log 2 b 2 Log 2 c 2x 2y 2z Khi ®ã VT (1) ≥ (2) + + = + + Log 2 bc Log 2 ca Log 2 ab y + z z + x x + y Víi x = Log 2 a; y = Log 2 b; z = Log 2 c ............................................................................................................ 2x 2y 2z Ta chøng minh: + + ≥ 3; x, y, z ≥ 1 y+z z+x x+ y   2y  2x    2z + 2  +  ⇔  + 2  +  + 2  ≥ 9  x+ y  z+x  y+z  BÊt ®¼ng thøc ⇔  1 1 1   ≥ 9 ⇔ (2 x + 2 y + 2 z ). + +  x+ y y+ z z + x ............................................................................................................ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho vÕ tr¸i , ta ®−îc ®iÒu ph¶i chøng minh DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi  Log 2 a = Log 2 b = Log 2 c  x; y; z ≥ 1 ⇔a=b=c=2 ⇔  a=b=c=2  x = y = z Chó ý : NÕu thÝ sinh cã lêi gi¶i theo c¸c c¸ch kh¸c mµ ®óng vÉn cho ®iÓm theo biÓu ®iÓm cña tõng bµi . 1 ®iÓm ........... 0.5 ®iÓm .......... 0.5 ®iÓm Së gi¸o dôc ®µo t¹o Thanh ho¸ Tr−êng THPT BØm S¬n §Ò ®Ò nghÞ: b¶ng a §Ò thi chän häc sinh giái tØnh m«n to¸n líp 12 N¨m häc 2005 - 2006 (Thêi gian lµm bµi 180 phót) Bµi 1: (4 ®iÓm) 1) (§Ò 48 I2 trong 150 ®Ò tuyÓn sinh §¹i häc) T×m trªn ®å thÞ hµm sè y = x2 hai ®iÓm A vµ B ®èi xøng nhau qua ®−êng th¼ng x −1 y = x -1 2) (Tù s¸ng t¸c) Cho a, b, c ∈ R víi a ≠ 0 vµ m ∈N* tho¶ m n: a b c + + =0. m+4 m+2 m Chøng minh r»ng: §å thÞ hµm sè: y = ax4 + bx2 + c lu«n c¾t trôc ox t¹i Ýt nhÊt mét ®iÓm thuéc kho¶ng (0;1). Bµi 2: (5 ®iÓm) 1) (Tù s¸ng t¸c) T×m tæng tÊt c¶ c¸c nghiÖm x ∈ [1;100] cña ph−¬ng tr×nh: π π 3π 3 Sin4x + Sin4 ( x + ) + Sin4 (x + ) + sin 4 ( x + ) = Sin 4 4 x 4 2 4 2 2) ( To¸n häc tuæi trÎ n¨m 2003) Cho tam gi¸c ABC kh«ng cã gãc tï tho¶ m n hÖ thøc: 1 1 5 (cos 3 A + cos 3B) − (cos 2 A + cos 2 B) + cos A + cos B = 3 2 6 H y tÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ®ã. Bµi 3: (4 ®iÓm) 1) (To¸n Båi d−ìng gi¶i tÝch tæ hîp cña Hµn Liªn H¶i - Phan Huy Kh¶i) x5 T×m hä nguyªn hµm cña hµm sè f(x) = 4 x + 3x 2 + 2 2) (Tù s¸ng t¸c) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3x2 + 1 + log2006 4x 2 + 2 = x6 x 6 + x 2 +1 Bµi 4: (4 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy 1) ( §Ò thi tuyÓn sinh vµo §HXD - Hµ Néi n¨m häc 2000-2001) 1 Cho ®iÓm A(4;0) vµ ®−êng th¼ng ∆: 4x - 9 = 0. Chøng minh r»ng tËp hîp c¸c ®iÓm M cã tû sè kho¶ng c¸ch tõ ®ã ®Õn ®iÓm A vµ tõ ®ã ®Õn ®−êng th¼ng ∆ b»ng 4 lµ mét 3 Hypebol. H y viÕt ph−¬ng tr×nh cña Hypebol ®ã. 2) ( Chuyªn ®Ò vÒ h×nh häc gi¶i tÝch cña Cam Duy LÔ - TrÇn Kh¾c B¶o) Cho Parabol y2 = 2px (p > 0) vµ ®−êng th¼ng d di ®éng nh−ng lu«n ®i qua tiªu ®iÓm F cña Parabol. Gäi M, N lµ c¸c giao ®iÓm cña parabol víi ®−êng th¼ng d. Chøng minh r»ng ®−êng trßn ®−êng kÝnh MN lu«n tiÕp xóc víi mét ®−êng th¼ng cè ®Þnh. Bµi 5: (3 ®iÓm) (500 Bµi to¸n vÒ bÊt ®¼ng thøccña Phan Huy Kh¶i -TËp II) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi K lµ trung ®iÓm cña SC. MÆt ph¼ng qua AK c¾t c¸c c¹nh SB, SD lÇn l−ît t¹i M vµ N. Gäi V1, V thø tù lµ thÓ tÝch cña khèi chãp SAMKN vµ khèi chãp SABCD. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña tû sè V1 . V 2 ®¸p ¸n - thang ®iÓm kú thi chän läc häc sinh giái tØnh - m«n to¸n LíP12 Néi dung §iÓm Bµi 1: (4 ®iÓm) 1) (2 ®iÓm) Hai ®iÓm A, B ®èi xøng nhau qua ®−êng th¼ng y = x -1 nªn ®−êng th¼ng AB cã pt: y = -x + m x2 =-x +m =>Hoµnh ®é c¸c ®iÓm A, B lµ xA, xB chÝnh lµ nghiÖm pt: x−m 0,5 ®iÓm x A + xB m + 1 3m − 1 = ⇒ y I = −xI + m = 2 4 4 3m − 1 m + 1 −1 Ta ph¶i cã ®iÓm I thuéc ®−êng th¼ng y =x -1 => = 4 4 0,5 ®iÓm ⇔ g(x) = 2x2 - (m + 1)x + m = 0 Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB ta cã xI = ⇔ m = -1 Khi ®ã g(x) = 2x2 - 1= 0 ⇔ x = ± 0,5 ®iÓm 2 2 2 2 2 2 => yA = -xA-1 = -1+ ; Víi xB = => yB = -12 2 2 2 2 2 2 2 VËy hai ®iÓm cÇn t×m lµ A(- ; -1+ ) vµ B ( ; -1- ) 2 2 2 2 Víi xA = - 0,5 ®iÓm 2) (2 ®iÓm) XÐt hµm sè f(x) = ax m + 4 bx m + 2 cx m víi a ≠ 0 vµ m N* + + m+4 m+2 m Lµ hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm lµ: f’(x) = axm+3 + bxm+1 + cxm-1 víi ∀x∈R 0,5 ®iÓm a b c + + = 0 (do gi¶ thiÕt) m+4 m+2 m f (1) − f (0) =0 Theo ®Þnh lý Lagr¨ng: tån t¹i x0 ∈(0;1) sao cho f’(x0) = 1− 0 Ta tÝnh ®−îc f(0) = 0 vµ f(1) = => ax 0m + 3 +b0m +1 + c 0x −1 = 0 => x 0m −1 (ax 04 + b02 + c) = 0 0,5 ®iÓm => ax40 + bx20 + c = 0 Tøc lµ pt: ax4 + bx2 + c = 0 cã nghiÖm x0 ∈(0;1) Hay ®å thÞ hµm sè: y = ax4 + bx2 + c lu«n c¾t ox t¹i Ýt nhÊt 1 ®iÓm thuéc (0;1) Bµi 2: (5 ®iÓm) 1) (3 ®iÓm) Tr−íc hÕt biÕn ®æi vÕ tr¸i cña pt: Sö dông c«ng thøc Sin (α + Ta ®−îc: VT = Sin4x + cos4x + Sin4 (x+ π 4 ) + Cos4 (x+ = (Sin2x +Cos2x) - 2Sin2x Cos2x + 1 - 2Sin2 (x+ π 4 0,5 ®iÓm π 4 π 2 0,5 ®iÓm ) = cosα ) ).Cos(x+ π 4 ) 3 1 1 π 1 1 1 3 Sin22x +1 - Sin2(2x + ) = 2 - Sin22x - Cos22x = 2 - = 2 2 2 2 2 2 2 = 1- 3 3 Sin44x = ⇔ Sin24x = 1 ⇔ Cos 4x = 0 2 2 Nªn pt ® cho viÕt thµnh: π π 2 8 ⇔ 4x = + kπ ⇔ x = + k. π 0,5 ®iÓm víi k ∈ Z 4 §Ó x ∈ [1; 100] ta ph¶i cã: 1 ≤ π 8 + k. π 4 mµ k ∈ Z nªn k = 1, 2, 3 …….,126 Nªn tæng c¸c nghiÖm cÇn t×m lµ: S = 126 ≤ 100 ⇔ 8 ≤ (2k+1) π ≤ 800 π ∑8 (1 + 2k ) = k =1 Ta cã 1 ®iÓm π 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 126 ∑ (2k + 1) 8 k =1 126 ∑ (2k + 1) lµ tæng cña 126 sè h¹ng cña cÊp sè céng cã u1= 3 vµ u126 = k =1 253 VËy S = 0,5 ®iÓm π (3 + 253).126 8 . 2 = 2016π 2) (2 ®iÓm) 5 1 1 (Cos 3A + Cos 3B) - (Cos 2A + Cos 2B) + Cos A +CosB = 3 2 6 1 1 ⇔ (4 Cos3A - 3 CosA + 4 Cos3B - 3CosB) - (2Cos2A-1+2Cos2B3 2 5 1)+CosA+CosB = 6 4 4 1 (2) ⇔ ( Cos3A - Cos2A) + ( Cos3B - Cos2B) =3 3 6 4 XÐt hµm sè f(t) = t3 - t2 víi t ∈[0;1] ta cã: 3 Ta cã f’(t) = 4t2 - 2t; f’(t) = 0 ⇔ t 0 f’(t) 0 1 2 - 0 (1) 0,5 ®iÓm t=0 1 + 1 2 t = . Ta cã b»ng biÕn thiªn; 1 2 => Víi ∀t ∈[0;1] th× f(t) ≥ f( ) = - 1 12 0,5 ®iÓm f(t) − 1 12 V× ∆ABC kh«ng cã gãc tï nªn 0 ≤ CosA Cos A = 0 => A = 60 B = 600 Bµi 3: ( 4 ®iÓm) 0,5 ®iÓm => C = 600 1) (2 ®iÓm) x5 3x3 + 2 x = x − v× x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 2 ) (x2 + 1) x 4 + 3x 2 2 x 4 + 3x 2 + 2 3x3 + 2 x Ax + b Cx + D §Æt 4 = 2 + 2 Víi ∀x 2 x + 3x + 2 x + 2 x +1 Ta cã: 0,5 ®iÓm ⇔ 3x3 + 2x = (Ax + B) (x2 + 1) + (Cx + D) (x2 + 2) Víi ∀x Hay 3x3 + 2x = (A+C)x3 + (B + D)x2 + (A + 2C)x + B + 2D Víi ∀x => A + C = 3 B=D=0 B+D=0 => A + 2C = 2 B + 2D = 0 C = -1 tøc lµ A=4 3x3 + 2 x 4x −x + 2 = 2 4 2 x + 3x + 2 x + 2 x + 1 4x x + 2 x + 2 x +1 x2 4 xdx xdx x2 d ( x 2 + 2) 1 d ( x 2 + 1) => ∫f(x)dx = − ∫ 2 = − 2∫ 2 + ∫ 2 +∫ 2 2 x +2 x +1 2 x +2 2 x +1 => f(x) = x - VËy ∫ f(x)dx = 0,5 ®iÓm 2 1 x2 − 2 ln( x 2 + 2) + ln( x 2 + 1) + k víi k lµ h»ng sè 2 2 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 2) (2 ®iÓm) PT ® cho viÕt thµnh: log2006 §Æt: u = 4x2 + 2 > 0 4 x2 + 2 = x6 - 3x2 - 1 6 2 x + x +1 ta ®−îc pt: log2006 (1) u =v-u v v = x6 + x2 + 1> 0 ⇔ log2006u - log2006v = v- u (*) 0,5 ®iÓm - NÕu u > v th× VT (*) > 0 > VP (*) nªn kh«ng tho¶ m n. - NÕu u < v th× VT (*) < 0 < VP (*) nªn kh«ng tho¶ m n - XÐt u = v th× VT (*) = 0 VP (*) Do ®ã pt (*)⇔ x6 + x2 + 1 = 4x2 + 2 ⇔ x6 - 3x2 - 1= 0 (2) §Æt t = x2 ≥ 0 ta ®−îc pt: f(t) = t3 - 3t - 1 = 0 (3) 0,5 ®iÓm Ta cã f’(x) = 3t2 - 3; f’(t) = 0 ⇔ t = -1 t = 1. Ta cã b¶ng biÕn thiªn 5 t -∞ f’(t) -1 + f (t) 0 0 1 - 1 0 +∞ + h¬n n÷a f(2) = 1 +∞ -1 -3 -∞ 0,5 ®iÓm Do ®ã pt (3) cã nghiÖm víi t ≥ 0 vµ lµ nghiÖm duy nhÊt t ∈(0;2) §Æt t = 2 cos α víi 0 < α < ⇔ 4Cos3α - 3 Cosα = => α = π 9 π ta ®−îc 8 Cos3α - 6 Cos α - 1 = 0 2 1 1 π π hay cos 3α = ⇒ 3α = (Do 0 < α < ) 2 2 3 2 π π 9 9 ta cã t = x2 = 2 Cos . VËy pt ® cho cã 2 nghiÖm x = ± 2Cos 0,5 ®iÓm Bµi 4: (4 ®iÓm) 1) (2 ®iÓm): Gi¶ sö ®iÓm M (x;y) khi ®ã AM = ( x − 4) 2 + y 2 Ta cã 0,5 ®iÓm 4x − 9 Kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®−êng th¼ng ∆: 4x - 9 = 0 lµ d(M;∆) = 4 0.5 ®iÓm 4 AM = ⇔ 3 ( x − 4) 2 + y 2 = 4 x − 9 d ( M ; ∆) 3 ⇔ 7x - 9y = 63 2 2 0,5 ®iÓm x2 y2 ⇔ − =1 9 7 0,5 ®iÓm x2 y2 VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M cÇn t×m lµ Hypebol cã ph−¬ng tr×nh − = 1 9 7 2)( 2 ®iÓm): Parabol y2 = 2px ®−êng p 2 chuÈn lµ ∆: x = - . §−êng trßn ®−êng kÝnh MN cã t©m lµ trung ®iÓm I cña MN vµ b¸n kÝnh R= d y N1 MN 2 Gäi M1; N1, H thø tù lµ h×nh chiÕu H Cña c¸c ®iÓm M, N vµ I. Theo ®/n cña Parabol cã MM1 = MF 0,5 ®iÓm I O F M1 x M 0,5 ®iÓm NN1 = NF => MM1 + NN1 = MF + NF = MN. Mµ trong h×nh thang vu«ng MM1N1N th× MM1 + NN1 = 2 IH. Do ®ã IH= MN 2 0,5 ®iÓm 6 VËy ®−êng trßn ®−êng kÝnh MN lu«n tiÕp xóc víi ®−êng chuÈn cña Parabol Bµi 5: (3 ®iÓm): S V× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh => VSABC = VSADC = 0,5 ®iÓm 1 1 VSABCD = V. 2 2 SM SN = x, =y SB SD V SM SK x.V ⇒ VSAMK = . th× SAMK = VSABC SB SC 4 V => V1 = VSAMK + VSANK = (x + y) (1) 4 §Æt MÆt kh¸c V1 = VSAMN + VSMNK = K M P B C N A 0,5®iÓm D V V = x.y. + x.y. 2 4 3 xy.V => V1 = (2). 4 x (3) 3x − 1 1 Do x > 0 vµ y > 0 nªn tõ (3) => x > 3 SN x 1 1 Vµ y = ≤x≤1 ≤1⇒ ≤ 1 ⇔ 2x3 - 1 ≥ 0 (v× 3x-1) 0 => x ≥ do ®ã SD 3x − 1 2 2 V 1 3 3 3x 2 x Tõ (1) => 1 = (x + y) = xy = x. = 4 3x − 1 4(3x − 1) V 4 4 Tõ (1) (2) => x + y = 3xy => y = 0,5®iÓm 0,5 ®iÓm 0,5 ®iÓm 3x 2 3 x(3x − 2) 1 víi ≤ x ≤ 1 . Ta cã f’(x) = 4(3 x − 1) 2 2 4(3x − 1) 1 f’(x) = 0 ⇔ x = 0 kh«ng thuéc ®o¹n [ ;1 ] 2 2 x= => B¶ng biÕn thiªn 3 XÐt hµm sè f(x) = x 1 2 f’(x) f(x) 2 3 - 0 3/8 1 + 3/8 1 3 0,5 ®iÓm 7 1 3 1 1 V 3 ≤ f(x) ≤ víi ∀x ∈ [ ;1 ] hay ≤ 1 ≤ 3 8 2 3 V 8 V1 1 2 2 VËy Min ( ) = khi x = hay SM = SB 3 3 3 V 1  x=  M lµ trung ®iÓm cña SB V1 3  Vµ Max ( ) = khi 2⇔  8 V M ≡ B  x = 1 Suy ra 0,5 ®iÓm 8 Kú thi häc sinh giái líp 12 Së GD & §T Thanh Ho¸ Tr−êng THPT Mai Anh TuÊn N¨m häc 2005-2006 M«n: To¸n. B¶ng A-B (Thêi gian lµm bµi 180 phót) C©u I. (5 ®iÓm). Cho hµm sè y = x 2 − 2x + 2 x −1 1, Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè trªn. 2, Chøng minh ®−êng th¼ng (d): y x + = 1 cã ®óng hai ®iÓm mµ tõ mçi ®iÓm ®ã 2 −1 kÎ ®Õn (C) hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc. X¸c ®Þnh to¹ ®é hai ®iÓm ®ã. C©u II. (4 ®iÓm).  x + my = m 1, BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh  2 2 x + y = x Khi hÖ cã hai nghiÖm (x1;y1), (x2;y2) t×m m ®Ó P = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 lín nhÊt. 1− x 2 2, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 x2 1− 2 x −2 x2 = 1 1 − 2 x C©u III. (5 ®iÓm) 1, §−êng th¼ng (d) c¾t Parabol (P): y = − x 2 + 2 x + 3 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B lÇn l−ît cã hoµnh ®é x1; x2 gi¶ sö x1 ®pcm Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c, ®óng gi¸m kh¶o c¨n cø thµnh phÇn cho ®iÓm tèi ®a. Së GD&§T Thanh hãa Tr−êng thpt hËu léc 3 ®Ò xuÊt ng©n hµng ®Ò §Ò thi Häc sinh giái THPT – M«n To¸n B¶ng A --------o0o----------------------o0o-------------3 C©u 1: (6 ®iÓm) Cho hµm sè: y = x + 3x2 + 1. a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x3 + 3x2 = m3 + 3m2. c) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) kÎ tõ ®iÓm (1; 5). d) Trªn ®−êng th¼ng y = 9x – 4, t×m nh÷ng ®iÓm cã thÓ kÎ ®Õn (C) 3 tiÕp tuyÕn. C©u 2: (3 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 3 a) (7 + 5 2)cos x − (17 + 12 2)cos x = cos3x . b) x 2 − 3x + 1 = − 3 4 x + x2 + 1 . 3 C©u 3: (4 ®iÓm) a) T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: log m 11 + log 1 ( x 2 + mx + 10 + 4)log m (x 2 + mx + 12) ≥ 0 . 7 b) T×m m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi x. 1 + 2cosx+ 1 + sin2x≤ 2m – 1. C©u 4: (2,5 ®iÓm) a) X¸c ®Þnh a, b ®Ó hµm sè sau cã ®¹o hµm t¹i x = 0:  3 1 + ax − 3 cosx víi x < 0 f(x) =  . ln(1 + 2x) + b − 1 víi x ≥ 0 b) TÝnh tÝch ph©n: I= 1+ 5 2 ∫ 1+ − 2 x2 + 1 dx . 4 2 x − + + (x x 1)(1 2006 ) 5 C©u 5: (2,5 ®iÓm) x2 y2 x2 y2 Cho 2 elÝp (E1): + = 1 , (E2): + = 1 vµ parabol (P): y2 = 15 6 6 15 12x. a) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua giao ®iÓm cña 2 elÝp trªn. b) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña (E1) vµ (P). C©u 6: (2 ®iÓm) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ nöa lôc gi¸c ®Òu víi c¹nh a (a> 0). C¹nh SA vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA = a 3 . M lµ mét ®iÓm kh¸c B SM . trªn SB sao cho AM ⊥ MD. TÝnh tØ sè SB --------- Së GD&§T Thanh hãa Tr−êng thpt hËu léc 3 --------o0o------- ®Ò xuÊt ng©n hµng ®Ò §¸p ¸n ®Ò thi Häc sinh giái THPT – M«n To¸n B¶ng A ----------------o0o-------------- Chó ý: + §¸p ¸n gåm 5 trang. +NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c víi ®¸p ¸n mµ kÕt qu¶ ®óng th× cho ®iÓm tèi ®a. C©u 1 ý 1a Néi dung - TËp x¸c ®Þnh: D = R. - Sù biÕn thiªn: x = 0 + ChiÒu biÕn thiªn: y’ = 3x2 + 6x = 0 ⇔  .  x = −2 ⇒ Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; -2) vµ (0; +∞); hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (-2; 0). + Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm (0; 1) vµ ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm (-2; 5). + Giíi h¹n: lim y = ±∞ ⇒ ®å thÞ hµm sè kh«ng cã tiÖm ®iÓm 0,25 0,25 0,25 x →±∞ cËn. + TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uèn: y’’ = 6x + 6 = 0 ⇔ x = -1. ⇒ §å thÞ hµm sè låi trªn kho¶ng (-∞; -1), lâm trªn kho¶ng (-1; +∞) vµ cã ®iÓm uèn lµ (-1; 3). + B¶ng biÕn thiªn: x -∞ -2 -1 0 +∞ y’ + 0 0 + 5 +∞ y 3 -∞ 1 - §å thÞ: §å thÞ hµm sè ®i qua c¸c ®iÓm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) vµ (1; 5). NhËn ®iÓm uèn (-1; 3) lµm t©m ®èi xøng. 0,25 0,25 0,25 y 5 3 1 -3 1b 1c 1d -2 -1 0 1 x Ta cã: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1) ⇔ x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a ⇒ sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) chÝnh lµ sè giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) vµ ®−êng th¼ng y = a, tõ ®å thÞ ë c©u a ta cã: - Ph−¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm nÕu a > 5 hoÆc a < 1. - Ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm nÕu a = 5 hoÆc a = 1. - Ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm nÕu 1 < a < 5. XÐt hµm sè f(m) = m3 + 3m2 + 1 ⇒ f(m) còng cã ®å thÞ lµ (C), nªn tõ ®å thÞ ë c©u a ta cã: - a > 5 ⇔ m > 1; a = 5 ⇔ m = 1 hoÆc m = -2 - a < 1 ⇔ m < -3; a = 1 ⇔ m = -3 hoÆc m = 1. - 1 < a < 5 ⇔ -3 < m < 1 VËy ta cã: + Víi m > 1 hoÆc m < -3 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm. + Víi m = -3 hoÆc m = -2 hoÆc m = 1 hoÆc m = 2 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm. + Víi -3 < m < 1 vµ m ≠ -2, m ≠ 0 th× ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Gäi ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn kÎ tõ ®iÓm (1; 5) cã d¹ng: y = k(x – 1) + 5 ⇔ y = kx + 5 – k. V× lµ tiÕp tuyÕn cña (C) nªn ta cã:  x3 + 3x 2 + 1 = kx + 5 − k  x = −2, k = 0 ⇔   x = 1, k = 9 . 2   k = 3x + 6x ⇒ Cã 2 tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua ®iÓm (1; 5) lµ: y = 5 vµ y = 9x – 4. Gäi M (x0; 9x0 – 4) lµ ®iÓm trªn ®−êng th¼ng y = 9x – 4. ⇒ §−êng th¼ng ®i qua M cã ph−¬ng tr×nh d¹ng: y = k(x – x0) + 9x0 – 4. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 3 2  x + 3x + 1 = k(x − x 0 ) + 9x 0 − 4 . ⇒ Ta cã:  2 k 3x 6x = +  §Ó cã 3 tiÕp tuyÕn qua M th× hÖ trªn cÇn cã 3 nghiÖm ⇒ ph−¬ng tr×nh sau cÇn cã 3 nghiÖm ph©n biÖt: (x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + 5 – 9x0] = 0.   x 0 > 1/ 3  Tõ ®ã ta cã ®iÒu kiÖn cña x0 lµ:   x 0 < −5 . x ≠ 1  0 VËy c¸c ®iÓm M cÇn t×m cã to¹ ®é (x; 9x – 4) víi ®iÒu   x > 1/ 3  kiÖn:   x < −5 x ≠ 1  2 2a TËp x¸c ®Þnh: D = R. Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh: 3 (1 + 2)3 cos x − (1 + 2)4 cos x = 4 cos3 x − 3cos x 3 ⇔ (1 + 2)3cos x + 3cosx = 4 cos3 x + (1 + 2)4 cos x XÐt hµm sè f(t) = (1 + 2) + t , ta cã f(t) ®ång biÕn víi mäi t nªn ta cã: f(3cosx) = f(4cos3x) ⇔ 3cosx = 4cos3x π kπ ,k∈Z ⇔ cos3x = 0 ⇔ x = + 6 3 Ta cã: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > 0 x2 – 3x + 1 = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 t 2b x2 − x + 1 , t > 0. Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: §Æt t = x2 + x + 1 −3  t =  2 3 0 vµ m ≠ 1, x2 + mx + 10 ≥ 0. BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: 0,50 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,50 3b 1 − log7 ( x 2 + mx + 10 + 4)log11 (x 2 + mx + 12) ≥ 0 . (*) log11 m §Æt u = x2 + mx + 10, u ≥ 0. + Víi 0 < m < 1: (*) ⇔ f(u) = log7( u + 4)log11(u + 2) ≥ 1 Ta thÊy f(9) = 1 vµ f(u) lµ hµm ®ång biÕn nªn ta cã: f(u) ≥ f(9) ⇔ u ≥ 9 ⇔ x2 + mx + 10 ≥ 9 ⇔ x2 + mx + 1 ≥ 0 V× ph−¬ng tr×nh trªn cã ∆ = m2 – 4 < 0 víi 0 < m < 1 nªn ph−¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v« nghiÖm. + Víi m > 1: Ta cã: f(u) ≤ 1 = f(9) ⇔ 0 ≤ u ≤ 9 2 x + mx + 10 ≥ 0 (1) 2 . ⇔ 0 ≤ x + mx + 10 ≤ 9 ⇔  2 x + mx + 1 ≤ 0 (2) XÐt ph−¬ng tr×nh x2 + mx + 1 = 0 cã ∆ = m2 – 4. NÕu 1 < m < 2 ⇔ ∆ < 0 ⇒ (2) v« nghiÖm ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho v« nghiÖm. NÕu m > 2 ⇒ ∆ > 0 ⇒ ph−¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm ®Òu tho¶ m n (1) vµ (2) ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho cã nhiÒu h¬n mét nghiÖm. NÕu m = 2 ⇒ (2) cã nghiÖm duy nhÊt x = -1 ⇒ bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm duy nhÊt x = -1. VËy gi¸ trÞ cÇn t×m cña m lµ: m = -2. §Æt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx. Bµi to¸n trë thµnh: t×m m sao cho maxf(x) ≤ 2m – 1. Ta cã f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx §Æt t = sinx + cosx, − 2 ≤ t ≤ 2 . Ta cã: f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – 1 víi − 2 ≤ t ≤ 2 . XÐt sù biÕn thiªn cña g(t) ta cã: max g(t) = 4( 2 + 1)2 − 2 ; 2    0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25 0,75 V× f(x) ≥ 0 nªn ta cã: maxf(x) = max f 2 (x) = max g(t) = 2( 2 + 1) VËy ta cã: 2( 2 + 1) ≤ 2m − 1 ⇔ m ≥ 4 4a 3+2 2 . 2 Hµm sè cã ®¹o hµm t¹i x = 0 khi nã liªn tôc t¹i x = 0. 0,25 0,25 0,25 0,50 ⇔ lim− f(x) = lim+ f(x) = f(0) ⇔ b = 1 . x →0 x→0 1 + a∆x − 3 cos ∆x a = Ta l¹i cã: f '(0 − ) = lim− x→0 ∆x 3 ln(1 + 2 ∆x) = 2 ⇒ a = 6. Vµ f '(0 + ) = lim+ x→0 ∆x VËy hµm sè cã ®¹o hµm t¹i x = 0 khi a = 6 vµ b = 1. Chøng minh ®−îc: 3 4b I= 1+ 5 2 ∫ − 1+ 2 ⇔I= x +1 dx = 4 2 x − + + (x x 1)(1 2006 ) 5 2 1+ 5 2 ∫ − 1+ 5 2 §Æt x − 5 5a 5b 1+ 1 x2 1 (x − )2 + 1 x 1+ 5 2 ∫ − 1+ 2 x2 + 1 dx 4 2 − + x x 1 5 dx . π/4 1 π = tgt ⇒ I = ∫ dt = . x 2 −π / 4 To¹ ®é giao ®iÓm cña 2 elÝp (E1) vµ (E2) lµ nghiÖm cña hÖ  x2 y2  15 + 6 = 1 60 ph−¬ng tr×nh: ⇒ x2 + y2 =  2 2 7 x + y = 1  6 15 VËy ®−êng trßn ®i qua c¸c giao ®iÓm cña 2 elÝp lµ: 60 x2 + y2 = 7 Gäi ®−êng th¼ng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0), lµ tiÕp tuyÕn chung cña (E1) vµ (P). Ta cã: 15A 2 + 6B 2 + C = 0  C = 5A ⇔  2 C = −5A 6B = 2AC VËy cã 2 tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ: 3x ± 5y + 5 3 = 0 . 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,50 0,50 0,50 1,0 0,50 6 S H D A B 0,25 C §Æt h×nh chãp vµo hÖ trôc to¹ ®é nh− h×nh vÏ. Suy ra ta cã: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a 3 ) vµ a a 3  B=  ; ;0  . Suy ra ph−¬ng tr×nh cña SB lµ: 2 2  2x 2y z − a 3 = = a a 3 −a 3 Gäi M(x0; y0; z0) thuéc c¹nh SB, ta cã:  y 0 = 3x 0 .  = − z a 3 2 3x  0 0 uuuur uuuur MÆt kh¸c AM⊥DN ⇔ AM.DM = 0 3a ⇔ x02 – 2ax0 + y02 + z02 = 0 ⇔ x 0 = 8 uuu r  3a 3a 3 a 3  3 uur SM 3 ⇒ ⇔ M= ; ; SM = SB hay = .  8 8 4 4 SB 4   -----------------------------------------HÕt-------------------------------------------------- 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 ✂   ✄ ☎ THI H C SINH GI I L P 12 THPT ✁ S GD- T Thanh hóa Tr ng THPT H.Hóa 2 ✞ ✆ ✝ ✡ ✠ ✠ ☛ (Th i gian làm bài 180’- Không k th i gian phát ✟ ☞ ) MÔN THI: TOÁN ✍ 1 Bài 1. ( 2 i m) x2sin 2 khi x≠0 x Cho hàm s f(x) = 0 khi x=0 ✌ ✎ π 4 ∫π Ch ng minh r ng ✏ ✑ − ✍ 1 + x 2 sin xdx = f’(0). 4 Bài 2. ( 2 i m) Tính th tích v t th tròn xoay sinh b i mi n y=x2-6x+5 y=0 ✌ ✍ ✍ ✒ ✓ ✔ khi quay quanh tr c oy. Bài 3. ( 2 i m) Tìm m b t ph ng trình: mx2 + mx + m -2 ≥ 0 có nghi m x∈(1;2). Bài 4. ( 2 i m) Gi i và bi n lu n ph ng trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1) 4 x 2 − 3x − 1 theo tham s m. Bài 5. ( 2 i m) ✕ ✍ ✌ ✍ ✌ ✖ ư ơ ✙ ✍ ✌ ✚ ✙ ✒ ư ơ ✎ ✍ ✌ Gi i ph ✚ ư ng trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = - ơ ✍ 1 2 Bài 6. ( 2 i m) Ch ng minh r ng n u tam giác ABC có: 1 1 1 3 cos A + cos B + cos C + + + = + 2 3 thì sin A sin B sin C 2 Bài 7. ( 2 i m) 2 3x − 1 lim 2 Tìm gi i h n: x →0 sin 2 x Bài 8. ( 2 i m) Gi i và bi n lu n theo m b t ph ng trình: x 2 − (m + 1) x + m ≥ ( x − m) log 1 ( x + 3) ✌ ✏ ✑ ✛ ✌ ✔ u. ✍ ✌ ✜ ✢ ✍ ✌ ✚ ✙ ✒ ✖ ư ơ 3 ✍ Bài 9. ( 2 i m) ✌ x2 − y 2 = 1 và Trong m t ph ng oxy cho hypebol (H): 9 ✣ ✤ ✌ ư ✥ ng tròn (C): x2+y2=9. ✍ 1. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (H) k qua i m M(3;1). 2. Vi t ph ng trình ti p tuy n chung c a (H) và (C). Bài 10. ( 2 i m) ✛ ✛ ư ơ ✛ ✛ ư ơ ✛ ✛ ✦ ✧ ✌ ✦ ✍ ✌ x2 + y 2 = 1 và hai Cho elip (E): 4 ✌ ư ng th ng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0. (d1) c t ✥ ✤ ★ elip (E) t i A và C, (d2) c t elip (E) t i B và D. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a di n tích t giác ABCD. ✢ ★ ✩ Ngu n g c ✫ ✬ ✭ ✮ ✜ ✖ thi: T sáng tác. ✯ ✢ ✪ ✖ ✦ ✙ ✏ ✂   ☎ ÁP ÁN THI H C SINH GI I L P ✁ S GD- T Thanh hóa ✆ ✝ 12 THPT Tr ✞ ng THPT H.Hóa 2 ✟   ( NGÂN HÀNG ✁ THI ) MÔN THI : TOÁN ✍ 2 i m Bài 1 ✌ 1 ∆x 2 = lim ∆x sin 1 ∆x →0 ∆x ∆x 2 ∆x 2 sin f’(0)= ∆lim x →0 vì -∆x≤ ∆x sin 1 ≤∆x và ∆x 2 0,25 ∆x →0 1 = 0 ⇒ f’(0)=0 ∆x 2 ⇒ ∆lim ∆x sin x →0 (1) 0 ∫π M t khác: ✣ − ∫π 1 + x 2 sin xdx = − 4 0,50 π π 4 0,25 lim (-∆x)= lim (∆x)=0 ∆x →0 4 1 + x 2 sin xdx + ∫ 1 + x 2 sin xdx 0,25 0 4 ✂ ✣ t x=-t thì dx=-dt , v i x=-π/4 thì t=π/4, v i x=0 thì t=0 ✜ π 0 4 ∫π ⇒ − 0,25 ✜ π 1 + x 2 sin xdx = - ∫ π 4 1 + t 2 sin (− t )dt + ∫ 1 + x 2 sin xdx = 0 4 4 π π π π 4 4 4 4 = − ∫ 1 + t 2 sin tdt + 0 1 + x 2 sin xdx = − ∫ 1 + x 2 sin xdx + ∫ 0 ∫ 1 + x 2 sin xdx = 0 (2) 0 0 0,25 ✂ T (1) và (2) suy ra di u ph i ch ng minh. ✔ ✚ 0,25 ✏ ✍ Bài 2 2 i m ✌ y 1 O A -4 ☎ V th hàm s y=x2-6x+5 Cung AB có ph ng trình x = y + 4 − 3 Cung BC có ph ng trình x = y + 4 + 3 ✄ ✌ ✩ 5 C x 0,5 B ✎ ư ơ ư ⇒ Voy 3 = π ∫( y + 4 + 3) dy − π ∫ ( 0 2 −4 0,5 ơ 0 y + 4 − 3) 2 dy 0,5 −4 0 = 12π ∫ y + 4dy = 8π ( y + 4) −4 3 0 2  −4 = 64π 0,5 ✍ Bài 3 Gián ti p lo i b f(x) = mx2 + mx + m -2 -3 ó suy ra N u m≥0 thì nghi m c a BPT là: ✛ ✙ ✦ -30 ∀x ∈ R (2®iÓm) m > 0 Khi  ' 2 ∆ = m + 3m + 4 > 0 m > 0  =>m >1 m < −4   m >1  VËy m>1 th× f(x) cã tËp x¸c ®Þnh R 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi 3 (4®iÓm) π + k 2π (k∈ Z) 2 §Æt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey e sinx = y + 1(1) ta cã hÖ  y e = sin x + 1(2) §iÒu kiÖn sinx ≠ -1, x ≠ - 0,5 0,5 LÊy (1) trõ (2) ta cã ph−¬ng tr×nh esinx – ey = y-sinx 0,5 NÕu sinx > y th× esinx > ey Ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm 0,5 NÕu sinx < y th× esinx < ey Ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm 0,5 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi sinx=y thay vµo (2) ta cã: esinx=sinx+1 (3) 0,5 XÐt f(x)= ex-x-1 víi x ≠ -1 0,5 ' x f (x)= e – 1=0 x=1 VËy ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm sinx=0 =>x=k π Bµi 4 (2®iÓm) x = 1 + y (1)  Ta cã y = 1 + z (2)  z = 1 + x (3) (k∈ Z) 0,5 ®iÒu kiÖn x,y,z ≥ 1 NÕu (x,y,z) lµ mét nghiÖm cña hÖ gäi x= min(x,y,z) th× x ≤ y,x ≤ z (4) z ≤ 1+ y =x =>z ≤ x VËy z=x x ≤ y => x ≤ y =>1+ x ≤ 1+ z z ≤ y (5) Tõ (4) vµ (5) ta cã x=y=z nªn x=1+ x => x=y=z= 0,5 0,5 0,5 3+ 5 2 0,5 Bµi5 1 Dùng MM' ⊥ AD; NN' ⊥ AD (4®iÓm) (2®iÓm) ∆ DNN' vu«ng c©n nªn AM'=MM' Ta cã AM2= x2=2MM'2 =>MM'=AM'= x 2 2 x 2 2 => ∆ ⊥ c©n MM'A = ∆ ⊥ c©n NN'D =>AM'=DN'=>AN'=DM' M'N'= AD - 2AN'= x 2 x 2 )= x 2 - a M'N'=a - 2(a2 ∆ MM'N ⊥ t¹i M' nªn MN2 V× ∆ N'DN ⊥ c©n => N'D=N'N= =M'M2+M'N2= x2 x2 x2 +(M'N'2+N'N2)= +(x 2 -a)2 + 2 2 2 =3x2 -2ax 2 +a2 §Æt f(x)=3x2 -2ax 2 +a2 xÐt trªn [0, a 2 ) a 2 3 a 2 VËy f(x) nhá nhÊt khi x= 3 0,5 0,5 f'(x)= 6x- 2a 2 =0 x= 0,5 2  a 2 a 2  - 2a MN =3   3  3  2 2 +a2 2a 2 4a 2 2 a 2 a = +a = => MN= 2 3 3 3 0,5 2 XÐt ∆ ⊥ MM'D: MD2=MM'2+M'D2 2 2 (2®iÓm)  a 2 2  a 2 4 a 2 5a 2 1  a 2  + a −  = + =  =    2 3  3 2   2a 2 a2 DN2=x2= vµ MN2= 3 9 2 5a =>MN2+DN2= 9 9 9 9 0,5 5a 2 Ta l¹i cã MD =MN +DN = 9 2 2 2 VËy ∆ MDN ⊥ t¹i N =>MN ⊥ DB 2  a 2 2  x 2 5a 2  + = XÐt ∆ ⊥ AN'N ta cã AN =AN' +N'N =  a −  2 9 3 2   2 a a 2 2 2 5a nªn AM +MN = AM=x= MN= do ®ã 3 9 3 2 2 2 AN =AM +MN => ∆ AMN ⊥ t¹i M MN ⊥ AD VËy MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung 2 Bµi6 (2 ®iÓm) 2 0,5 0,5 2 0,5 §Æt sinx=a; siny=b; sinz=c th× a,b,c ∈  ,1 2  1 a − b b − c c − a (a − b)(b − c)(c − a ) + + = c a b abc 2 1  (a − b)(b − c)(c − a )  1  ≤ 1 − Ta chøng minh  ∀ a,b,c ∈  ,1 abc 2 2   a b 1 1 §Æt u= ; v= ; do ≤ a ≤ b ≤ c ≤ 1 th× ≤ u ≤ v ≤ 1 ta chøng c c 2 2 2 1  (v − u )(1 − u )(1 − v)  ≤ 1 − minh:  uv 2  1 1 (v − )(1 − )(1 − v) (v − u )(1 − u )(1 − v) 2 2 ta cã: ≤ 1 uv v 2 2 1 1 1  1  1 = 1+ -v- ≤ 1 + − 2 v = 1 −  2v 2 2 v  2 1 π π π 1 DÊu = khi u= ; v= hay x= ; y= ; z= 2 6 4 2 2 Ta cã Tµi liÖu tham kh¶o: 1. §Ò thi §¹i häc cña Bé gi¸o dôc xuÊt b¶n n¨m 1996. 2. B¸o to¸n häc vµ tuái trÎ n¨m 2000 0,5 0,5 0,5 0,5 ®Ò thi häc sinh giái líp 12 ( Thêi gian 180 phót) Gi¸o viªn:Lª ViÖt C−êng Cho hµm sè y = x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m Bµi 1:(4 ®iÓm) a). kh¶o s¸t hµm sè khi m=-1 b) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Cho ph−¬ng tr×nh x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x ) Bµi 2:(5 ®iÓm) a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi m = 12 b) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 2005 Bµi 3: (4 ®iÓm) TÝnh Bµi 4: (3 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh Lim x − >0 1 + 10 x .2006 1 + 100 x − 1 x log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2 Bµi 5: (4 ®iÓm) Cho tø diÖn ABCD, gäi R lµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn. G1, G2, G3, G4 lÇn l−ît lµ träng t©m c¸c mÆt BCD, ACD, ABD, ABC. §Æt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4. CMR: ABCD lµ tø diÖn ®Òu khi vµ chØ khi m1+m2+m3+m4 = 16R 3 h−íng dÉn s¬ l−îc to¸n HSG12 1b) Ph−¬ng tr×nh x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0 ⇔ (x-2m)(x2-3x-m)=0  x = 2m ⇔ 2  x − 3x − m = 0(2) Ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi ph−¬ng trinh(2) cã 2 7  m ≠ 0, m ≠ 4 (2m )2 − 3.2m − m ≠ 0 nghiÖm ph©n biÖt ≠ 2m ⇔  ⇔ ∆ = 9 + 4m > 0 m > − 9  4 Bµi 2:( 5 ®) a)(2 ®) Tõ ®iÒu kiÖn 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ VP ≥ 12( 5 − 4 + 4 − 4 ) = 12 VT ≤ 4 4 + 4 + 12 = 12 ⇒ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x=4 b). (3 ® ) Ph−¬ng tr×nh ® cho ⇔ f(x) = (x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x ) = m (2) XÐt hµm sè f(x) trªn [0;4] f(x)=f1(x)f2(x) víi f1(x) = x x + x + 12 cã f’1(x) = x + x 2 x + 1 2 x + 12 >0 ⇒ f1(x) ↑ trªn [0;4] vµ f1(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [0;4] f2(x) = 5 − x − 4 − x cã f’2(x) = −1 2 5− x + 1 2 4−x = −4 4− x + 5− x 2 5− x 4− x >0 ⇒ f2(x) ↑ trªn [0;4] vµ f2(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [0;4] ⇒ f(x) ↑ trªn [0;4] ⇒ Min[o;4] f(x) = f(0) = ( ) 12 5 − 4 vµ Max[o;4] f(x) =12 Tõ ®ã (2) cã nghiÖm ⇔ Min[o;4] f(x) ≤ m ≤ Max[o;4] f(x) ( ) ⇔ 12 5 − 4 ≤ m ≤ 12 lµ ®iÒu kiÖn ®Ó (1) cã nghiÖm Bµi 3:( 5 ®) Tr−íc hÕt ta chøng minh: a ≠ 0, n ∈ N, n ≥ 2 th× Lim n x −>0 1 + ax − 1 a = x n §Æt y = n 1 + ax khi ®ã x → 0 th× y → 1 vµ n Lim x − >0 1 + ax − 1 y −1 y −1 a = (2 ®) = a Lim = Lim n n x n y − >1 y − 1 y − >1 ( y −1)( y + .... + y + 1) Ta cã: Lim 2005 x − >0 = Lim 1 + 10 x .2006 1 + 100 x − 1 x 2005 x − >0 1 + 10 x .2006 1 + 100 x − 2006 1 + 10 x + 2006 1 + 100 x − 1 x 2006  2005 1 + 10 x − 1  1 + 100 x − 1  + Lim  x x   x − >0 = Lim 2006 1 + 100 x  x − >0 = 10 2005 + 100 2006 = 220560 2005.2006 (3 ®) x > 0 x > 0   2 C©u 4: Ph−¬ng tr×nh ® cho ⇔  ⇔  x2 + x + 1 2 + x +1 2 x = 2x − x = 32 x − x  Log 3  x x   2 + x +1 víi x>0, Minf(x) = 3 víi x=1 xÐt hµm sè y= x x 2 y= g(x)= 32 x− x víi x>0, Maxf(x) =3 víi x=1 ⇒ Ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm x=1. Bµi 5:( 4 ®) Gäi O vµ G lÇn l−ît lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp vµ träng t©m tø diÖn OA2 + OB2 + OC 2 + OD 2 = R 2 Ta cã:  GA + GB + GC + GD = O MÆt kh¸c: ( ) ( ) ( ) ( 4R2 = OG + GA + OG + GB + OG + GC + OG + GD 2 2 2 ) 2 (1 ®) ⇔ 4R2 = 40G2 +GA2+GB2+GC2+GD2 mµ GA2 = 9 2 9 2 9 2 9 2 2 2 2 m1 , GB = m2 ,GC = m3 ,GD = m4 16 16 16 16 ⇒ 4R2 = 40G2 + ⇒ 4R2 ≥ (1 ®) ( 9 2 2 2 2 m1 + m2 + m3 + m4 16 ( ) ) 9 2 2 2 2 m1 + m2 + m3 + m4 (1 ®) 16 Theo B§T “ Bunhiacopxki” ta cã (m1+ m 2 + m 3 + m 4 ) ≤ 4(m1 + m2 + m3 + m4) 2 ⇒ R2 ≥ 9 (m1 + m2 + m3 + m4 ) ≥ 9 (m1+ m 2 + m 3 + m 4 )2 ( 1 ®) 64 256 ⇔ m1 + m2 + m3 + m 4 ≤ 16 R 3 O ≡ G DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi :  ⇔ Tø diÖn ABCD m1 = m2 = m3 = m4 ®Òu (1®) Së GD & §T thanh hãa Tr−êng THPT tÜnh gia 3 =========***========= §Ò thi chän häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n Thêi gian: 180 phót C©u1: (6 ®iÓm) Cho hµm sè y= x3 + 4x2 + 4x +1. a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè. b) Cho M(x0;y0) trªn ®å thÞ. Mét ®−êng th¼ng d thay ®æi ®i qua M c¾t ®å thÞ t¹i M1 vµ M2 kh¸c M. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n M1M2. c) T×m a sao cho tån t¹i 2 tiÕp tuyÕn cïng hÖ sè gãc a cña ®å thÞ hµm sè, gäi c¸c tiÕp ®iÓm lµ M3 vµ M4. ViÕt ph−¬ng tr×ng ®−êng th¼ng chøa M3 vµ M4. C©u 2: ( 5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) tgxsin2x - 2sin2x = 3 (Cos2x + sinxcosx) b) 4 X = (2x2 – x +1)2x 2 (1) (2) C©u 3: ( 4 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n sau: π I= 2 ∫ sin 0 3 sin x dx x + cos 3 x C©u 4: ( 5 ®iÓm) Cho tø diÖn ABCD cã t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp O. T×m c¸c ®iÓm M trong kh«ng gian sao cho 4 träng t©m cña tø diÖn MBCD; MCDA; MDAB; MABC c¸ch ®Òu ®iÓm O. §¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái khèi 12 M«n: To¸n C©u 1: ( 6 ®iÓm) a) ( 2 ®iÓm) • TX§: D =R (0,25®) • ChiÒu biÕn thiªn: y’ = 3x2 + 8x + 4 y’ = 0 x = -2; x= - 2 3 2 3 2 3 Hµm sè ®ång biÕn (- ∞ ; -2) ∪ (− ;+∞) , nghÞch biÕn (−2;− ) (0.25). • Cùc ®¹i, cùc tiÓu: Cùc ®¹i t¹i :) xC§ = -2; yC§ = 1. 2 3 Cùc tiÓu t¹i: xCT = - ; yCT = - 5 27 Giíi h¹n lim y = +∞ ; xlim y = −∞ → −∞ x → +∞ (0.25®) • TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uèn: y’’ = 6x + 8 = 0 x= 4 3 4 3 4 3 Hµm s« låi tõ (- ∞;− ), lâm (- ; + ∞ ) 4 11 ) 3 27 §iÓm uèn: I(- ; (0.25®) • B¶ng biÕn thiªn: (0,5®) x -∞ y’ -2 + y 0 4 3 - - - - 2 3 0 +∞ + +∞ 1 11 27 −5 27 -∞ • §å thÞ (0,5 ®) 4 2 A -5 5 -2 -4 -6 b) ( 2®iÓm) Gäi d qua M cã hÖ s« gäc k : d: y=k(x-x0) + y0 (0,25®) Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ víi ®−êng th¼ng d lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x3 + 4x2 + 4x +1 = k(x-x0) + x03 + 4x02 + 4x0 +1 x=x0 x2 + ( 4 + x0)x + x02 + 4x0 + 4 – k = 0 (1) (0, 5 ®) Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) => x1, x2 lÇn l−ît lµ hoµnh ®é cña M1, M2 => xI = - x0 + 4 2 yI = y0 + k( I∈x= (0,75 ®) 3x0 + 4 ) 2 x0 + 4 2 Giíi h¹n: (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ∆ > 0 f(x0) ≠ 0 3x 0 + 8 x0 4 2 k> (0,5) k ≠ x0 2 + 8 x0 + 4 c) ( 2®) §Ó tháa m n YCBT: y’ = 3x2 + 8x + 4 = a cã 2 nghiÖm ph©n biÖt a> - 4 3 (0,25®) (0,25®) x 8 4 9 NhËn xÐt: x3 + 4x2 + 4x + 1 = (3x2 + 8x +4)( + )- 8x + 7 (0,5®) 9 Gäi M3(x3; y3), M4(x4; y4) y3 = a( x3 4 8 x3 + 7 + )− 8 9 9 y4 = a( x4 4 8x4 + 7 + )8 9 9 (0,5®) VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua M3; M4 lµ: x 8 4 9 y= a( + ) + 8x + 7 9 (0,5®) C©u 2: (4 ®) §/K : x ≠ π 2 + kπ (k ∈ z ) Chia 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho cos2x (0,25®) (1) tg3x -2tg2x = 3(1-tg2x+tgx) tgx=-1 (1®) π x=- + kπ (k ∈ z ) (0,5®) 4 tgx= ± 3 x= ± π 3 + kπ (k ∈ z ) (0,5®) VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh : π x=- + kπ (k ∈ z ) 4 x= ± a) (2) 2 2 x 2 π 3 −x + kπ (k ∈ z ) (0,25®) = 2x 2 − x + 1 (0.5®) 1 8 §Æt 2x2 – x = t (t ≥ − ) (0.25®) Ph−¬ng tr×nh trë thµnh: 2t = t + 1 2 t − t − 1 = 0 Kh¶o s¸t f(t) = 2 t − t − 1 (0.25®) f’(t) = 2tln2 – 1 =0 2t = α t f’(t) 1 =α ln 2 - 0 + f(t) Quan s¸t b¶n bݪn thiªn nhËn thÊy ph−¬ng tr×nh cã tèi ®a 2 nghiÖm t. (1® ) MÆt kh¸c f(0) = f(1) = 0 Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm t = 0; t= 1 1 2 x= 0 ; x= ± ; x=1 C©u 3: (4 ®) (0.25®) (0.25® ) π XÐt J= 2 ∫ sin 3 0 cos x dx x + cos 3 x (0.25®) π Ta CM ®−îc I = J (®Æt x= − t ) (0.75®) 2 I+J = π π 2 4 ∫ 0 dx = 2 sin x − sin x cos x + cos 2 x π 2 dtgx d cot gx ∫0 tg 2 x − tgx − 1 − π∫ cot g 2 x − cot gx + 1 (0.75®) 4 §Æt tgx(cotgx) = t 1 d (t − ) dt 2 I + J = 2∫ 2 =2 ∫ 1 3 0 t − t +1 0 (t − ) 2 + 2 4 1 §Æt t - (0.75®) 1 3 tgy = 2 2 => I + J = => I= 1 4π (0.75®) 3 3 2π (0.75) 3 3 C©u 4: ( 6 ®iÓm) (0.5®) §Æt x = OM + 4OG Gäi A’, B’, C’, D’ lÇn l−ît lµ träng t©m cña c¸c tø diÖn MBCD; MCDA; MDAB; MABC Ta cã 4OA' = OM + OB + OC + OD = OM + 4OG − OA = x − OA (1®) 4 OB' = x − OB 4OC ' = x − OC 4OD' = x − OD (1®) Ta cã: OA’ =OB’= OC’ = OD’ 2 2 2 ⇒ 16OA' = 16OB' = 16OC ' = 16OD' 2 ⇔ ( x − OA) 2 = ( x − OB) 2 = ( x − OC ) 2 = ( x − OD) 2 ⇔ xOA = xOB = xOC = xOD => x = 0 => OM + 4OM = O => GM = 5GO VËy cã 1 ®iÓm M tho¶ m n ®iÒu kiÖn ®Ò ra. (1.5®) (0.5®) (0.5®) Së GD & §T Thanh Ho¸ Tr−êng THPT N«ng cèng I ®Ò thi häc sinh giái khèi 12 (b¶ng a) m«n: to¸n thêi gian: 180' 1 3 1 3 Bµi 1:(4 ®iÓm). Cho hµm sè: y = x 3 + mx 2 − 2 x − 2m − (cm) 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1. 5 6 2. T×m m∈ (0; ) sao cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ (Cm), vµ c¸c ®−êng th¼ng: x=0; x=2; y=0 cã diÖn tÝch b»ng 4. Bµi 2: (4 ®iÓm). 1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: 3 tgx + 1 (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x). 2. gi¶i ph−¬ng tr×nh: log22 x + x.log7(x + 3)= log2x [ x + 2.log7(x + 3)] 2 Bµi 3: ( 4 ®iÓm). 1. T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm. a + a + sin x = sin x 2. T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt. x3 + 1 x x + 2(a − 1) x2 +1 x +1 + 4(1 − a ). + 4a − 6 = 0 x x Bµi 4( 4 ®iÓm). 1. Cho ABC nhän néi tiÕp trong ®−êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. Gäi R1, R2, R3 lÇn l−ît lµ c¸c b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c BOC, COA, AOB. Cho biÕt: R1+R2+R3 = 3R. TÝnh 3 gãc cña ABC 2. Cho (E): x2 + 4y2 = 4 . M lµ ®iÓm thay ®æi trªn ®−êng th¼ng y=2. Tõ M kÎ ®Õn (E) hai tiÕp tuyÕn. Gäi c¸c tiÕp ®iÓm lµ T1, T2. T×m vÞ trÝ cña M ®Ó ®−êng trßn t©m M tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng T1, T2 cã b¸n kÝnh nhá nhÊt. Bµi 5:( 4 ®iÓm). 1. Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh vµ d−¬ng trªn R tháa m n:  f '2 ( x) + 4 f ' ( x). f ( x) + f 2 ( x) = 0   f ( 0) = 1 T×m hµm sè f(x). 2. Cho tø diÖn ABCD cã träng t©m lµ G. C¸c ®−êng th¼ng AG, BG, CG, DG kÐo dµi lÇn l−ît c¾t mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ë A1, B1, C1, D1 CMR: GA1 + GB1 + GC1 + GD1 ≥ GA + GB + GC + GD §¸p ¸n vµ thang ®iÓm §¸p ¸n y= Bµi 1: 1.Khi m=1. Thang ®iÓm x3 7 + x 2 − 2x − 3 3 TX§ : D = R + y ' = x 2 + 2x − 2  x = −1 − 3 y' = 0⇔   x = −1 + 3 0,5 Hµm sè ®ång biÕn (-∞; -1- 3 ) ∪ (-1+ 3 ; +∞) Hµm sè nghÞch biÕn ( -1- 3 ;1+ 3 ) yCT = y(-1+ 3 ) = yC§ = y(-1- 3 ) = + y '' = 2 x + 2 ; y '' = 0 ⇔ x = −1. §å thÞ hµm sè låi trªn (-∞; -1) §å thÞ hµm sè lâm trªn (-1;-∞) 0.5 7 3 NhËn I(-1, − ) lµm ®iÓm uèn + Lim x → −∞ y = −∞ ; Lim x→ +∞ y = +∞ B¶ng biÕn thiªn x y’ y -∞ + -∞ -1- 3 0 C§ - -1+ 3 0 +∞ + 0,5 +∞ CT §å thÞ: 0.5 2. XÐt ph−¬ng tr×nh : x3 1 + mx 2 − 2 x − 2m − = 0 trªn [0; 2] 3 3 0.5 1 x3 + mx 2 − 2 x − 2m − = 0; f ' ( x) = x 2 + 2mx − 2. 3 3 Ph−¬ng tr×nh: f ' ( x) = 0 lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu x12 cho gi¸ trÞ x>0 0.5 t = 2 ↔ x = 1 t ≥ 2  + Ta cã : (1) ⇔  ⇔  f (t ) = t 2 + 2at + 1 = 0 2 (t − 2)(t + 2at + 1) = 0 t ≥ 2  + Do (*) nªn ®Ó ph−¬ng tr×nh ® cho cã 3 nghiÖm ph©n biÖt th× PT (1) ph¶i cã ®óng 1 nghiÖm t>2 NhËn xÐt: TÝnh a.c =1 vËy ®Ó ph−¬ng tr×nh (1) cã ®óng 1 nghiÖm t>2 th× (1) ph¶i cã nghiÖm c¸c tr−êng hîp sau: 0.5 ∆ = 0   VN 2 − > a   t1 = 2 < t 2 ↔ VN    5 t1 < 2 < t 2 f (2) < 0 ⇔ a < −   4   KÕt luËn: §Ó ph−¬ng tr×nh ® cho cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt th× : a< − 0.5 5 4 Bµi 4: 1. Theo ®Þnh lý hµm sè sin cho 0.5 BOC ta cã: a a 2 R sin A R = = 2 R1 ⇔ = 2 R1 ⇔ R1 = sin BOC sin 2 A sin 2 A 2 cos A R R T−¬ng tù cho COA, AOB : R2 = ; R3 = 2 cos B 2 cos C. 1 1 1 + VËy cã: + + = 6. (1) cos A cos B cos C + DÔ cã : 1 1 1 9 9 + + ≥ ≥ = 6 (Do cos A cos B cos C cos A + cos B + cos C 3 2 0.5 ABC 0.5 nhän). 3 2 + VËy (1) ⇔ CosA = CosB = CosC ⇔ A = B = C = 60 o + ( Ph¶i chøng minh : cos A + cos B + cos C ≤ ) 0.5 0.5 2 x + y 2 = 1 M ∈ ®−êng th¼ng y = 2 → M(a;2) 4 2. (E): + Gäi T1(x1,y1); T2(x2,y2) lµ c¸c tiÕp ®iÓm tiÕp tuyÕn t¹i T1, T2 lµ: x1 x + y. y1 = 1 4 x2 x + y. y 2 = 1 2 : 4 : 1 Do ; 1 2 0.5  a.x1  4 + 2 y1 = 1 ®i qua M(a, 2) ⇒   a.x 2 + 2 y = 1 2  4 NhËn xÐt : T1, T2 cã täa ®é tháa m¶n ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆: a.x + 2y =1 4 VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng T1, T2 lµ; ax + 8y – 4 =0. + §−êng trßn t©m M tiÕp xóc T1, T2 cã b¸n kÝnh lµ: R = d (M R= T1T2 )= a 2 + 12 a 2 + 64 a 2 + 12 a 2 + 64 0.5 + Ta t×m a ®Ó R nhá nhÊt : §Æt a 2 = t ≥ 0 → R = f (t ) = f ' (t ) = t + 116 2 (t + 64) 3 > 0 ∀t ≥ 0 ⇒ R min t + 12 t + 64 3 = f (0) = 2 ®¹t ®−îc khi : t=0 ⇔ a=0 + KÕt luËn: vËy ®iÓm M(0;2). 0.5 Bµi 5 : 1. Tõ: f ( x) + 4 f ( x) + f ( x) = 0 '2 ' 2  f ' ( x) = −2 + 3  f ( x)  ⇔ '  f ( x) = −2 − 3   f ( x)  f ' ( x) = (−2 + 3) f ( x) ⇔ '  f ( x) = (−2 − 3) f ( x) (1) ( do f ( x) > 0) (2) 0.5 + XÐt (1) Cã: ⇔ f ( x) e ( −2+ ∫ f ' ( x) dx = ∫ (−2 + 3 )dx f ( x) 3 ) x + C1 ⇔ ln f ( x) = (−2 + 3 ) x + C1 f (0) = 1 ⇔ e C1 = 1 ⇔ C1 = 0 do + VËy: f ( x) = e ( −2+ 3 ) x + XÐt (2) t−¬ng tù : ta ®−îc kÕt qu¶ : f ( x) = e ( −2− §¸p sè: f ( x) = e ( −2− 3 ) x. hoÆc f ( x) = e ( −2+ 3 ) x. 0.5 3 ) x. 0.5 2. Gäi O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD Cã: OA = OG + GA T−¬ng tù ta cã: 0.5 ⇒ OA = OG + GA + 2OG.GA 2 2 2 OB 2 = OG 2 + GB 2 + 2OG.GB OC 2 = OG 2 + GC 2 + 2OG.GC OD 2 = OG 2 + GD 2 + 2OG.GD 0.5 + Tõ trªn : ⇒ 4( R 2 − OG 2 ) = GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 + L¹i cã : GA.GA1= GB.GB1=GC.GC1=GD.GD1=R2 – OG2 VËy : GA1 + GB1 + GC1 + GD1 = ( R 2 − OG 2 )( = 1 1 1 1 + + + ) GA GB GC GD 0.5 1 1 1 1 1 (GA 2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 ).( + + + ) 4 GA GB GC GD + ¸p dông Bunhia vµ cosi cã: 1 1 1 1 1 (GA + GB + GC + GD) 2 ( + + + ) 16 GA GB GC GD ≥ GA + GB + GC + GD GA1 + GB1 + GC1 + GD1 ≥ 0.5 DÊu b»ng x¶y ra ⇔ GA = GB = GC = GD ⇔ Tø diÖn ABCD gÇn ®Òu hoÆc tø diÖn ABCD ®Òu 0.5 §Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n Thêi gian: 180 phót Gi¸o viªn thùc hiÖn: Lª V¨n Minh Lª V¨n Khëi C©u 1: (4 ®iÓm) Cho hµm sè: y = x 3 − 3x 2 + 1 (C) a) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C) b) BiÖn luËn theo k sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: y = x 3 − 3x 2 − kx − k = 0 (1) C©u 2: (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: e x + cos x ≥ x + 2 víi ∀x ≥ 0 b) T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm: 4x 2 − mx +1 − 2x 2 +1 = − x 2 + 2mx − 1 C©u 3: (5 ®iÓm) π  (1 + cos x)1+ sin x  ln ∫0  1 + sin x  dx 2 a) TÝnh: x b) T×m x ∈ Z tho¶ m n ∫ sin tdt = cos 2 x − 1 0 c) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c, d tho¶ m n: a 2004 + b 2004 = c 2004 + d 2004  2005 a + b 2005 = c 2005 + d 2005 Chøng minh r»ng: a 2006 + b 2006 = c 2006 + d 2006 C©u 4: (3,5 ®iÓm) Cho elÝp: y2 x2 y2 x2 (E) vµ Hypebol: + =1 + = 1 (H) (víi a, b, m, n > a2 b2 m2 n2 0) cã cïng chung tiªu ®iÓm F1 vµ F2: Chøng minh r»ng tiÕp tuyÕn cña (E) vµ (H) t¹i giao ®iÓm cña chóng vu«ng gãc víi nhau. C©u 5: (4,5 ®iÓm) Cho tø diÖn ®Òu ABCD, gäi (C) lµ mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. §iÓm M ∈ (C), gäi A1, B1, C1, D1 lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña M trªn c¸c mÆt ph¼ng (BCD); (ACD); (ABD); (ABC). a) T×m vÞ trÝ ®iÓm M ∈ (C) sao cho tæng: S = MA1 + MB1 + MC1 + MD1 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt. b) Chøng minh r»ng tån t¹i ®iÓm M ∈ (C) ®Ó 4 ®iÓm A1, B1, C1, D1 kh«ng ®ång ph¼ng: ®¸p ¸n §Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n Thêi gian: Gi¸o viªn thùc hiÖn: Lª V¨n Minh Lª V¨n Khëi C©u 2 (4 ®iÓm) C©u a: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng e x + cos x ≥ x + 2(1) víi ∀x ≥ 0 0,25 (1) ⇔ e x + cos x − x − 2 ≥ 0 víi ∀x ≥ 0 §Æt: f ( x) = e x + cos x − x − 2 Ta cã: f ' ( x) = e x − sin x − 1 0,25 f " ( x) = e x − cos x 0,25 V× x ≥ 0, e x ≥ 1 cßn cos x ≤ 1 ⇒ f " ( x) = e x − cos x ≥ 0 víi ∀x ≥ 0 0,25 VËy hµm sè f(x) = ®ång biÕn trªn [0,+∞ ) 0,25 f ' ( x) ≥ f ' (0) = e 0 − sin 0 − 1 = 0 ⇒ f ' ( x) ≥ 0 víi ∀x ≥ 0 hay f(x) ®ång biÕn [0,+∞ ) 0,25 f ( x) ≥ f (0) = e 0 + cos 0 − 0 − 2 = 0 f ( x) ≥ 0 ⇒ e x + cos x ≥ x + 2 0,25 víi ∀x ≥ 0 C©u b: (2 ®iÓm) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 4x 2 − mx +1 − 2x 2 +1 0,25 0,5 = − x 2 + 2mx − 1 = 0 (1) 2 − 2 mx + 2 − 2x 2 − 2 mx + 2 + 2 x 2 − 2mx + 2 = 2 x Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ 2 2 x ⇔ 22x 2 +1 = −2 x 2 + 2mx − 2 + x 2 + 1 2 +1 + x 2 + 1 (2) 0,25 XÐt hµm sè f (t ) = 2 t + t Ta cã f ' (t ) = 2 t ln 2 + 1 0,5 Ta cã f ' (t ) > 0∀t VËy hµm sè f (t) ®ång biÕn ∀ t 0,25 Tõ ®¼ng thøc (2) ⇒ 2 x 2 − 2mx + 2 = x 2 + 1 0,25 0,25 ⇔ x 2 − 2mx + 1 = 0 (3) Ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ⇔ Ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm ⇔ ∆' ≥ 0 ⇔ m2 - 1≥ 0 π C©u 3 (5 ®iÓm) C©u a: (2 ®iÓm) ⇔ m ≥1 TÝnh:  (1 + cos x)1+ sin x  ln ∫0  1 + sin x  dx 2 π π π 2 2 2 0 0 0 0,5 I = ∫ ln(1 + cos x)dx + ∫ sin x ln(1 + cos x)dx − ∫ ln(1 + sin x)dx (I)1 Chøng minh: I1 = I3 §Æt: x = π 2 ( I2 ) 0,25 x=0⇒t = − t ⇒ dx = dt : x= π π 2 (I3) π 2 π 2 ⇒t =0 π π 2 2 I1 = ∫ ln(1 + cos( − t ))dt = ∫ ln(1 + sin t )dt = ∫ ln(1 + sin x)dx = I 3 2 0 0 0 0,25 VËy I1 - I3 = 0 π 0,25 2 Ta tÝnh: I 2 = ∫ sin x ln(1 + cos x)dx 0 x=0⇒t =2 §Æt: t = 1 + cos x ⇒ dt = − sin xdx : u = ln t I 2 = ∫ ln tdt §Æt:  dv = dt 1 2 x= π 2 ⇒ t =1 0,25 1  du = dt t  v = t 0,25 2 I 2 = t ln t 12 − ∫ dt = (t ln t − t ) 12 1 I 2 = 2 ln 2 − 1 0,25 C©u c: (1,5 ®iÓm) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c, d tho¶ m n: 0,25 a 2004 + b 2004 = c 2004 + d 2004  2005 a + b 2005 = c 2005 + d 2005 Chøng minh r»ng: a 2006 + b 2006 = c 2006 + d 2006 §Æt: x = a 2004 , y = b 2004 , m = c 2004 , n = d 2004 , α =  x + y = m + n(1) Theo ®Ò ra ta cã:  α α α α  x + y = m + n ( 2) 2005 2006 ,β = 2004 2004 Tõ (1) vµ (2) ta cã: 0,25 x α + (m + n − x) α = m α + n α f ( x) = x α + (m + n − x) α = m α + n α ; α > 1 ; x > 0 XÐt hµm sè [ f ' ( x) = α x α −1 − (m + n − x)α −1 ] => f ' ( x) = 0 ⇔ x = m+n 2 Suy ra PT f(x) = 0 cã nhiÒu nhÊt 2 nghiÖm 0,25 0,25 0,25 x = m  y = m ⇒ y = n x = n mµ f (m) = f (n) = 0 ⇒  a = c VËy  hoÆc b = d a = d b = c  Tõ ®ã ta suy ra: a 2006 + b 2006 = c 2006 + d 2006 x C©u b: (1,5 ®iÓm) T×m x ∈ Z tho¶ m n ∫ sin tdt = cos 2 x − 1 0,25 0,5 0 x Ta cã: ∫ sin tdt = − cos t x 0 = − cos x + 1 0 VËy: cos 2 x − 1 = − cos x + 1 ⇒ cos 2 x + cos x − 2 = 0 cos x = 1 2 cos x + cos x − 3 = 0 ⇔  cos x = − 3 (loai ) 2  0,5 2 cos x = 1 ⇒ x = 2kπ v× x ∈ Z , k ∈ Z => k = 0 x=0 C©u 4 (3,5 ®iÓm) ElÝp: 0,5 nghiÖm ph−¬ng tr×nh x = 0 x2 y2 + = 1 (E) vµ Hypebol: a2 b2 y2 x2 + = 1 (H) cã chung m2 n2 tiªu ®iÓm F1(-c;0); F2(c;0) VËy c2 = a2 - b2 (a > b > 0) c2 = m2 + n2 (m,n > 0) VËy: a2 - b2 = m2 + n2 ⇒ a2 - m2 = b2 + n2 To¹ ®é giao ®iÓm cña (E) vµ (H) lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh: 0,25 0,25 0,25 x2 y2  2 + 2 = 1( E ) a b  2 2  x + y = 1( H )  m 2 n 2 Gi¶i ra ta ®−îc: x = ± am 0,5 b2 + n2 b 2 (a 2 + m 2 ) a2 − m2 b 2 (a 2 + m 2 ) 0,5 Cã 4 giao ®iÓm. Gi¶ sö 1 giao ®iÓm : 0,25 y = ±bn M ( am b2 + n2 ; b 2 (a 2 + m 2 ) bn a2 − m2 ) NhËn xÐt: b 2 (a 2 + m 2 ) 2 biÓu thøc c¨n b»ng nhau do a2 - m2 = b2 + n2 b2 + n2 =k; b 2 (a 2 + m 2 ) ®Æt: M (amk, bnk) Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña elÝp t¹i M cã d¹ng: amk bnk mk nk x + 2 y =1⇒ x+ y =1 2 a b a b (d1) Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña Hypebol t¹i M cã d¹ng: amk bnk ak bk x − 2 y =1⇒ x− y =1 2 m n m n 0,25 0,25 (d2) m n a b TiÕp tuyÕn (d1) cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn n1 = ( ; ) a m 0,25 b n TiÕp tuyÕn (d2) cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn n 2 = ( ;− ) Ta cã: n1 .n 2 = ma nb − = 0 ⇒ n1 ⊥ n 2 ⇒ d 1 ⊥d 2 ma nb VËy 2 ®−êng th¼ng (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau. T−¬ng tù 3 ®iÓm cßn l¹i ta còng cã c¸c tiÕp tuyÕn cña (H) vµ (E) vu«ng gãc víi nhau. C©u 5 C©u a: (2,5 ®iÓm) A (4,5 ®iÓm) Kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t. Gi¶ sö ®−êng th¼ng AM c¾t 0,25 0,25 0,25 mf (BCD) t¹i 1 ®iÓm n»m trong ∆ BCD. Ta cã: VMABCD = VMABC + VMACD B + VMADB H1 H3 H2 I D C2 D2 D1 H C B2 C1 B1 MÆt kh¸c: VMABCD = VABCD + VMBCD Gäi B lµ diÖn tÝch mét mÆt cña tø diÖn, h lµ ®−êng cao: 0,25 0,5 1 1 B( MB1 + MC1 + MD1 ) = B(h + MA1 ) 3 3 Ta cã tæng S = MA1 + MB1 + MC1 + MD1 = h + 2 MA1 0,25 V× h kh«ng ®æi S lín nhÊt khi MA1 lín nhÊt: 0,25 MA1 lín nhÊt ⇔ AM lµ ®−êng kÝnh cña (C): Max S = h + 2MA1 = h + 2MH = 2(h + MH) - h = 4R - h 0,25 Khi AM lµ ®−êng kÝnh: Ta cã 4 vÞ trÝ cña M ®Ó S lín nhÊt ®ã lµ: AM hoÆc BM, CM, DM lµ ®−êng kÝnh cña (C ) 0,25 Min S = h + 2MA1 Khi MA1 nhá nhÊt MA1 = 0 ⇒ M trïng víi c¸c ®Ønh B hoÆc C, hoÆc D. VËy min S = h khi M trïng víi c¸c ®iÓm A hoÆc B, C, D C©u b: (2 ®iÓm) Khi AM lµ ®−êng kÝnh cña mÆt cÇu (C) ®iÓm 0,25 0,25 0,5 A1 ≡ H t©m mÆt ph¼ng BCD. Gäi H1, H2, H3 lÇn l−ît lµ t©m cña c¸c mÆt ABC, ACD, ABD. I lµ t©m mÆt cÇu (C) Ta cã MD1 // IH1, MB1 // IH2, MC1 // IH3 0,5 ⇒ mf (B1D1C1) // mf (H1H2H3) 0,5 MÆt kh¸c (H1H2H3) // (BCD) (B1D1C1) // (BCD) v× A1 ≡ H ∈ (BCD) nªn 4 ®iÓm 0,5 C©u 1 (4 ®iÓm) A1,B1,C1,D1 kh«ng ®ång ph¼ng C©u a: (2 ®iÓm) Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè: y = x 3 − 3x 2 + 1 (C) + TËp x¸c ®Þnh: ∀x ∈ R 0,25 + ChiÒu biÕn thiªn: y ' = 3x 2 − 6 x 0,25  x1 = 0 x = 2  2 y' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x XÐt dÊu y' + 0,25 + 0 - 2 Hµm sè ®ång biÕn (−∞;0) ∪ (2;+∞) nghÞch biÕn (0;1) Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x1 = 0 gi¸ trÞ cùc ®¹i y(0) = 1 0,25 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x 2 = 0 gi¸ trÞ cùc tiÓu y(2) = -3 + §iÓm uèn y" = 6 x − 6 y" = 0 ⇔ x = 1 0,25 y" ®æi dÊu khi x ®i qua ®iÓm 1 ⇒ §å thÞ cã ®iÓm uèn U (1;-1) + Lim y = −∞ , x → −∞ Lim y = +∞ 0,25 x → +∞ B¶ng biÕn thiªn: x −∞ + y' y −∞ 0 0 1 - +∞ 2 0 + +∞ -3 + §å thÞ ®i qua c¸c ®iÓm: x -1 0 1 2 3 y -3 1 -1 -3 1 0,5 y 1 -1 1 2 x -1 -3 0,25 C©u b: (2 ®iÓm) BiÖn luËn theo k sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: y = x 3 − 3x 2 − kx − k = 0 (1) Ph−¬ng tr×nh (1) ⇔ x 3 − 3x 2 + 1 = k ( x + 1) + 1 0,25 §Æt: y = x 3 − 3x 2 + 1 (C) ®å thÞ võa kh¶o s¸t ë trªn y = k ( x + 1) + 1 (d) lµ ®−êng th¼ng quay xung quanh ®iÓm A (-1;1) cè ®Þnh §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) lµ hÖ cã 0,25 x 3 − 3x 2 + 1 = k ( x + 1) + 1(1) nghiÖm: 3 x 2 − 6 x = k ( 2) Thay (2) vµo (1) ta ®−îc x 3 − 3x 2 = (3 x 2 − 6 x)( x + 1) 2x 2 − 6x = 0 Víi :  x1 = 0  ⇔ x2 = 3   x3 = − 3 0,25  x1 = 0 k1 = 0  y = 1(d 1 )     x 2 = 3 ⇒ k 2 = 9 − 6 3 ⇒  y = (9 − 6 3 )( x + 1) + 1(d 2 )     x 3 = − 3 k 3 = 9 + 6 3  y = (9 + 6 3 )( x + 1) + 1(d 3 ) * BiÖn luËn: y 0,25 + Khi 9 − 6 3 < k < 0 hoÆc A k > 9 + 6 3 (d) c¾t (C) t¹i 3 d1 1 1 ®iÓm ⇒ ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm 2 x -1 + Khi k = 0 hoÆc k = 9 − 6 3 hoÆc k = 9 + 6 3 th× (d) vµ (C) cã hai ®iÓm chung 0,25 0,25 -3 d3 d2 ⇒ ph−¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm + Khi k < 9 − 6 3 hoÆc 0 < k < 9 + 6 3 th× (d) vµ (C) c¾t nhau t¹i 1 ®iÓm ⇒ ph−¬ng tr×nh (1) chØ cã 1 nghiÖm duy nhÊt 0,25 Së GD §T Thanh Hãa §Ò xuÊt ®Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n - B¶ng A Thêi gian lµm bµi: 180 phót Bµi 1: Cho ph−¬ng tr×nh: m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh trªn víi m=1. π 5π 2) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh ® cho cã ®óng 8 nghiÖm ph©n biÖt x ∈  − ;   2 2  Bµi 2: 1) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (Sinα)x + (tgα)x = (α)x (víi x lµ tham sè, 0 < x < π 2 ) 2) T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã ®óng 3 nghiÖm ph©n biÖt. 32-x - Sin a +1. logπ (x2 + 4x + 6) + ( 3) − x −4 x .logπ 2 1 =0 2( x − Sina + 1 + 1) 3 Bµi 3: Víi mäi ∆ABC, ∀k∈ 0,  . Chøng minh:  4 A− B B−C C−A π π π + Cos + Cos ≤ Cosk ( A − ) + Cosk ( B − ) + Cosk (C − ) Cos 2 2 2 3 3 3   a1 ; b1 > 0  1 a b ; ; voi { } { } ai +1 = bi + n n Bµi 4: XÐt hai d y sè: ai   1 bi +1 = ai + bi  (i=1, 2...) Chøng minh (a2006 + b2006)2 > 16039 Bµi 5: Cho tø diÖn ABCD 1) Gäi αi (i= 1, 2, …, 6) lµ ®é lín c¸c gãc nhÞ diÖn cã c¹nh lÇn l−ît lµ c¸c c¹nh cña tø diÖn 6 Chøng minh: ∑ Cosα i =1 i ≤ 2. 2) Gäi G lµ träng t©m cña tø diÖn; mÆt ph¼ng (α) quay quanh AG, c¾t DB t¹i M vµ c¾t DC t¹i N. Gäi V, V1 lÇn l−ît lµ thÓ tÝch cña tø diÖn ABCD vµ DAMN. Chøng minh: 4 V1 1 ≤ ≤ 9 V 2 3) Gäi diÖn tÝch c¸c mÆt ®èi diÖn víi c¸c ®Ønh A, B, C, D cña tø diÖn lÇn l−ît lµ: Sa, Sb, Sc, Sd. I lµ t©m h×nh cÇu néi tiÕp tø diÖn ABCD. Chøng minh: uur uur uur uur r Sa .IA + Sb .IB + Sc .IC + Sd .ID = 0 H−íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12 M«n: To¸n. B¶ng A C©u Bµi 1 1 Néi dung Cosx = 0 Víi m =1; Ph−¬ng tr×nh ⇔  §iÓm 5 3 1 2  4Cos x − 2Cosx − 2 = 0  π  x= 2 + kπ  ⇔  x = k 2π  2π + k 2π x = ± 3   Cosx = 0  ⇔ Cosx = 1  1 Cosx = −  2 2 2 2 Cosx = 0 Ph−¬ng tr×nh ⇔  2  4Cos x − 2Cosx + m − 3 = 0 * Cosx =0 Cã 2 nghiÖm: x = π ; x= 2 * Ycbt ⇔ 4Cosx - 2 Cosx +m - 3 =0 3π 2 0,5 2 Cosx = t (-1 ≤ t ≤ 1) ⇔ 2  f (t ) = 4 t − 2 t + m − 3 0,5  −1 < t1 < 0 < t2 < 1 : (a) Cã 2 nghiÖm t1, t2 tháa m n:  (b)  0 VP  ⇒ VËy ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm  x VP  nªn: Sinα CJ ⊥ SB (1) MÆt kh¸c CL ⊥ SB (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra SB ⊥ HO 0,5 ®iÓm V× OH trong mp(SAI) nªn OH ⊥ BC => OH ⊥ mp(SBC) 0,5 ®iÓm Hay OH lµ ®−êng th¼ng Hy. VËy Hy lu«n lu«n ®i qua ®iÓm O cè ®Þnh 0,5 ®iÓm b) (2 ®iÓm) XÐt ∆SIS' ta cã IA ⊥ SS', S'H ⊥ SI Do ®ã O lµ trùc t©m cña ∆SIS' 0,5 ®iÓm a2 Nªn AS.AS' = AI.AO => AS' = 2h 0,5 ®iÓm a2 a VËy SS' = SA + AS' = h+ ≥2 =a 2 2h 2 0,75 ®iÓm a2 a 2 DÊu "=" x¶y ra khi h= => h= 2h 2 0,25 ®iÓm Chó ý: 1)Bµi h×nh kh«ng cã h×nh vÏ th× kh«ng chÊm 2)NÕu häc sinh lµm c¸ch kh¸c mµ ®óng th× ng−êi chÊm cho ®iÓm t−¬ng øng phÇn ®óng ®ã. Së gd & §T thanh ho¸ K× thi häc sinh giá líp 12 Tr−êng thpt triÖu s¬n 3 ***************** M«n To¸n-B¶ng A (Thêi gian 180 phót,kh«ng kÓ giao ®Ò ) Ng−êi ra ®Ò: Vò §oµn KÕt ' Bµi 1 . Cho hµm sè : f(x) = x(x-1)(x-2)…(x-2006). TÝnh f (0). ( x 2 − 1) dx Bµi 2. TÝnh I = ∫ x4 + 1 0 1 Bµi 3 . T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh : cã nghiÖm duy nhÊt. 4 −m.2 +m2 −3=0 x x Bµi 4. Gi¶i ph−¬ng tr×nh : x +1=2 2x−1 . Bµi 5. T×m tæng c¸c nghiÖm thuéc [2;40] cña ph−¬ng tr×nh: 3 2 cos 2 sin 3 x + 1 x + cot g x = sin 2 x 2 abc Bµi 6. Cho ∆ ABC, Chøng minh r»ng (p-a)(p-b)(p-c) ≤ 8 a+b+c p = . víi 2 n Bµi 7. TÝnh L= nlim [(1+x)(1+x2)(1+x4)…(1+x2 )], víi x f(1)=0 ⇔ x0. VËy f(x) cïng dÊu víi (1-x). V× g(x)=2x-1 lµ hµm ®ång biÕn vµ g(0) =0 nªn g(x)>0 ⇔ x>0. VËy g(x) cïng dÊu víi x. f (x) 1− x ⇔ ≥ 0 ⇔ ≥ 0 ⇔0 < x ≤1. Suy ra BPT g(x) x 1.0 0.5 0.5 VËy tËp nghiÖm cña BPT lµ: (0;1] Bµi 9 Chän hÖ to¹ ®é Oxyz sao cho A=(-5;0;0), B=(5;0;0). Gäi M(x;y;z) lµ ®iÓm tho m n AM=3BM ⇔ AM2=9BM2 ⇔ (x+5)2+y2+z2=9(x-5)2+9 y2+9z2 ⇔ x2+y2+z2- 25 x +25 =0 2 2.0 0.5 1.0 (*) §©y lµ ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu. VËy quü tÝch ®iÓm M cÇn t×m lµ mÆt cÇu cã ph−¬ng tr×nh (*). Bµi 10 0.5 2.0 Cè ®Þnh n, víi 0 ≤ k ≤ n, xÐt d y sè {uk} (2n+k)! (2n−k)! . n!(n+k)! n!(n−k)! (2n+k +1)! (2n−k −1)! n n uk+1 =c2n+k+1.c2n−k−1 . n!(n+k +1)! n!(n−k −1)! Ta cã uk =c2n.c2n−k = n ⇒ n 0.5 uk+1 (2n + k +1)(n − k) = ≤ 1 uk (n + k +1)(2n − k) 1.0 ⇔ (2n+k+1)(n-k) ≤ (n+k+1)(2n-k) ⇔ 2nk+n ≥ 0 ®óng v× 0 ≤ k ≤ n. VËy {uk} lµ d y sè gi¶m. n n Suy ra víi k ≥ 0 ta cã uk= 2n+k 2n−k c .c ≤ (c2nn)2 =u0 --------HÕt------- (®pcm) 0.5 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o thanh ho¸ Céng hoµ x héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp – Tù do – H¹nh phóc ®Ò thi häc sinh giái líp 12 cÊp tØnh – b¶ng a M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 180 phót Bµi 1 (2®iÓm) x 2 + mx + n Cho hä ®−êng cong (C m ) : y = víi m + n ≠ −1 x −1 Chøng minh r»ng: NÕu ∃ a ®Ó ®−êng th¼ng ∆ : y=a kh«ng c¾t hä ®−êng cong (C m ) th× hä ®−êng cong cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu. Bµi 2 (2®iÓm) Chøng minh r»ng: π ∫e sin 2 x dx > 0 3π 2 Bµi 3 (2®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2x 13x + 2 =6 2 x − 5x + 3 2 x + x + 3 2 Bµi 4 (2®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x 2 + x + 5 = 5 Bµi 5 (2®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x − 3 3 sin x = cos 7 x Bµi 6 (2®iÓm) sin t , Cho hµm sè f (t ) =  1 + cos t, nÕu 0 < t ≤ /2 nÕu /2 < t <       Chøng minh r»ng: ∀∆ABC ta lu«n cã: f ( A) + f ( B) + f (C ) ≤ Bµi 7 (2®iÓm) Cho hµm sè f : Ν * → Ν * tho¶ m n 2 ®iÒu kiÖn i. f (1) = 2 ii. ∀n >1 th× f (1) + f (2) + ... + f (n) = n 2 f (n) H y x¸c ®Þnh c«ng thøc ®¬n gi¶n tÝnh f (n) ? Bµi 8 (2®iÓm) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 3 3 . 2 log 2 x + log 4 y + log 4 z = 2  log 3 y + log 9 x + log 9 z = 2 log z + log y + log x = 2 16 16  4 Bµi 9 (2®iÓm) Cho tø diÖn ABCD, chøng minh r»ng: ( AC + BD ) 2 + ( AD + BC ) 2 > ( AB + CD) 2 Bµi 10 (2®iÓm) C n1 C n2 (−1) n C nn 2.4.6...2n , ∀n ∈ Ν = Chøng minh r»ng: 1 − + + ... + 3 5 2n + 1 1.3.5...( 2n + 1) §¸p ¸n - thang ®iÓm ®Ò thi häc sinh giái cÊp tØnh – b¶ng a Néi dung Thang ®iÓm Bµi 1 ( 2 ®iÓm) V× m+n ≠ −1 nªn hä ®−êng cong (C m ) cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi m+n > -1. §−êng th¼ng ∆ kh«ng c¾t (C m ) nªn ph−¬ng tr×nh: x 2 + mx + n = a v« nghiÖm x −1 Nªn suy ra ph−¬ng tr×nh: x 2 − (a − m) x + n + a = 0 v« nghiÖm ⇒ ∆ = a 2 − 2a (m + 2) + m 2 − 4n < 0 cã nghiÖm a ⇒ ∆ ′a = 4m + 4n + 4 > 0 ⇒ m + n > -1 ⇒ (C m ) cã cùc ®¹i, cùc tiÓu Bµi 2 ( 2 ®iÓm) Bæ ®Ò: ∀ x>0 th× e x >x+1 ThËt vËy: §Æt f(x) = e x - x - 1 ∀x ≥ 0 Ta cã: f ′( x) = e x − 1 ≥ 0 , ∀x ≥ 0 ⇒ ∀x > 0 th× f(x) > f(0) = 0 ⇒ e x > x+1 ∀x >0 ¸p dông bæ ®Ò ta cã: ∀x ∈ (0, π ) ⇒ e sin x > 1+ sin 2 x 2 π ⇒ ∫ e sin x dx > 0 2 π ∫ (1 + sin 0 2 x)dx = 3π 2 Bµi 3 ( 2 ®iÓm) x ≠ 1 §iÒu kiÖn  3  x ≠ 2 NhËn thÊy x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm nªn ph−¬ng tr×nh 2 13 ⇔ + =6 3 3 2x + − 5 2x + + 1 x x t = 1 3 2 13 §Æt 2 x + = t ph−¬ng tr×nh trë thµnh: + = 6 ⇔  11 t = x t − 5 t +1  2 Víi t =1 th× ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 0.25 1.0 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 x = 2 11 Víi t = th× ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm  2 x = 2 3  x = 2 KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm  2 x = 3  Bµi 4 ( 2 ®iÓm) §iÒu kiÖn: x ≥ −5 §Æt x + 5 = t ≥ 0 ⇒ t 2 = x + 5 0.25 0.25 0.5 x 2 + t = 5 Ph−¬ng tr×nh trë thµnh:  t 2 − x = 5 x 2 + t = 5 ⇔ ( x + t )( x − t + 1) = 0  x ≤ 0  t = − x ≥ 0  1 − 21  x = 1 ± 21  2  x =  5 0 x x − − = 2   2 ⇔ ⇔ ⇔  t = x +1 ≥ 0 − 1 + 17  x ≥ −1   x = 2   x + x − 4 = 0 2    x = − 1 ± 17 2  1.25 Bµi 5 ( 2 ®iÓm) BiÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng ph−¬ng tr×nh ® cho cos x − cos 7 x − 3 3 sin x = 0 ⇔ 2 sin 3 x sin 4 x − 3 3 sin x = 0 ⇔ 2 sin 4 x sin x(3 − 4 sin 2 x) − 3 3 sin x = 0 [ ] 0.5 ⇔ sin x 2 sin 4 x(1 + 2 cos 2 x) − 3 3 = 0 0.25 sin x = 0  2 sin 4 x(1 + 2 cos 2 x) = 3 3  2 0.25 Gi¶i (1) ta ®−îc x=k π víi k ∈ Ζ 3 3 2 3 3 (3) ⇔ 4 sin 2 x cos 2 2 x + sin 4 x = 2 cos 2 2 x cos 2 2 x ¸p dông B§T C«si cho 3 sè: sin 2 2 x, , 2 2 Gi¶i (2): Ta cã (2) ⇔ sin 4 x cos 2 x + sin 4 x = ta ®−îc 1 = sin 2 2 x + (sin 2 x cos 2 2 x) 2 cos 2 2 x cos 2 2 x + ≥ 33 2 2 4 0.25 0.5 ⇒ sin 2 x cos 2 2 x ≤ sin 2 x cos 2 2 x ≤ do ®ã 4 sin 2 x cos 2 2 x + sin 4 x ≤ 2 3 3 2 3 3 +1< 3 3 2 0.25 suy ra (3) v« nghiÖm nªn (2) v« nghiÖm. KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x=k π víi k ∈ Ζ Bµi 6 ( 2 ®iÓm) Tr−êng hîp 1: Tam gi¸c ABC kh«ng tï, ta cã 3 3 2 3 3 ⇔ sin A + sin B + sin C ≤ 2 0.5 f ( A) + f ( B) + f (C ) ≤ 0.5 Chøng minh bÊt ®¼ng thøc trªn. Tr−êng hîp 2: Tam gi¸c ABC tï, kh«ng gi¶m tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö gãc C tï, ta cã: f ( A) + f ( B) + f (C ) ≤ 3 3 2 3 3 2 3 3 ⇔ sin A + sin B + sin C ≤ 2 V× ta cã nhËn xÐt: 1 + cos C ≤ sin C víi C lµ gãc tï. ⇔ sin A + sin B + 1 + cos C ≤ Chøng minh ë tr−êng hîp 1. Bµi 7 ( 2 ®iÓm) 2 3  f (1) + f (2) + ... + f (n − 1) + f (n) = n 2 f (n) Víi n ≥ 3 , theo gi¶ thiÕt:   f (1) + f (2) + ... + f (n − 1) = (n − 1) 2 f (n − 1) V× f (1) + f (2) = 4 f (2) ⇒ f (2) = ⇒ f (n) = n 2 f (n) − (n − 1) f (n − 1) n −1 ⇒ f ( n) = f (n − 1) n +1 (n − 1)(n − 2)...2 4 vËy víi n ≥ 3 ⇒ f (n) = f (2) = (n + 1)n...4 n(n + 1) 2 v× f (1) = 2; f (2) = tho¶ m n c«ng thøc trªn nªn 3 4 f ( n) = ∀n ∈ Ν * n(n + 1) Bµi 8 ( 2 ®iÓm) §iÒu kiÖn x,y,z>0 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 log 4 x 2 + log 4 y + log 4 z = 2  Víi ®iÒu kiÖn trªn hÖ ph−¬ng tr×nh ⇔ log 9 y 2 + log 9 x + log 9 z = 2  2 log 16 z + log 16 y + log 16 x = 2  log  ⇔  log   log 4 x 2 yz = 2 9 y 2 xz = 2 0.5 z 2 yx = 2 16 0.75  x 2 yz = 16  ⇔  y 2 xz = 81  z 2 yx = 256  2  x = 3  27 lµ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh ta ®−îc  y = 8  32  z = 3  0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 tr×nh. Bµi 9 ( 2 ®iÓm) 0.25 Gäi O,M,N,P,QlÇn l−ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh: CD, AC, CB, BD, DA Suy raMNPQ lµ h×nh b×nh hµnh vµ O kh«ng thuéc (MNPQ) Ta cã 0.5 (MO+OP) 2 +(NO+OQ) 2 >MP 2 +NQ 2 =2(PQ 2 +QM 2 )>(PQ+QM) 2 VËy: (MO+OP) 2 +(NO+OQ) 2 >(PQ+QM) 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (®pcm) ⇔ ( AC + BD ) + ( AD + BC ) > ( AB + CD ) Hay ( AD + BC ) 2 + ( BD + AC ) 2 >( AB+ CD) 2 Bµi 10 ( 2 ®iÓm) Ta cã (1 − x 2 ) n = 1 − C n1 x 2 + C 2n x 4 + ... + (−1) n C nn x 2 n ∀n ∈ Ν * 1 1 ⇒ ∫ (1 − x ) dx = ∫ (1 − C n1 x 2 + C 2n x 4 + ... + (−1) n C nn x 2 n )dx = 2 n 0.5 0 0 1 3 1 5 = 1 − C n1 + C n2 + ... + 1 TÝnh I n = ∫ (1 − x 2 ) n dx 0 (−1) n C nn 2n + 1 (1) π ®Æt x= cost, x = cos t , t ∈ 0,   0.5 0.25 2 ⇒ dx = − sin tdt π 2 ⇒ I n = ∫ sin 2 n +1 tdt 0 u = sin 2 n t dv = sin tdt ®Æt  π π 2 2 0 0 ⇒ I n = 2n ∫ cos 2 t sin 2 n −1 tdt = 2n ∫ (1 − sin 2 t ) sin 2 n −1 tdt = 2nI n −1 − 2nI n 2n 2.4...2n I0 I n −1 = ⇒ In = 2n + 1 3.5...( 2n + 1) 2.4.6...2n VËy In = 1.3.5...( 2n + 1) (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ®pcm L−u ý: C¸c c¸ch gi¶i kh¸c nÕu ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a PhÇn nhËn xÐt ë bµi 6 nÕu kh«ng chøng minh th× cho 0.25 ®iÓm §Ò thi häc sinh giái líp 12 M«n To¸n häc – Thêi gian lµm bµi 180 phót §Ò thi b¶ng A Bµi 1: Cho y = (-m + 1) x3 + 3( m + 1) x2 - 4 mx - m . a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn . b) Chøng minh víi mäi m ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua 3 ®iÓm cè ®Þnh th¼ng hµng . Bµi 2: T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh : x +1 m = - 1 cã y’ = 4 > 0 Tho m n víi ∀ x vËy m = -1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m . (0.25 ®iÓm) + m + 1 ≠ 0 = > m = - 1 . §Ó y’ ≥ 0 Tho m n víi ∀ x cÇn ®iÒu kiÖn m + 1 > 0  ' 2 ∆ = 9(m + 1) + 12m(m + 1) ≤ 0 m + 1 > 0 3 ⇔ m < −1 hoÆc m ≥ − ⇔ 7 (m + 1)(7 m + 3) ≤ 0 (0.50 ®iÓm) KÕt luËn: m ∈ (− ∞;−1] ∪ − ;+∞ . 3  7  (0.25 ®iÓm) b) Gäi (x0 ;y0) lµ ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ ®i qua víi ∀ m => m ( x03 + 302 − 4 x0 − 1) + x03 − 3x02 − y0 = 0 (*) §Ó ph−¬ng tr×nh (*) kh«ng phô thuéc m cÇn  x03 + 3x02 − 4 x0 − 1 = 0  3  x0 + 3x02 − y0 =0 XÐt ph−¬ng tr×nh x03 + 3 x02 − 4 x0 − 1 = 0 Gäi f(x) = x03 + 3x02 − 4 x0 − 1 = 0 lµ hµm sè liªn tôc trªn R + Cã f(0) .f(-1) ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã mét nghiÖm thuéc (-1; 0) (1.0 ®iÓm) + Cã f(1) .f(2) ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 cã mét nghiÖm thuéc (1; 2) + Cã f(-1) > 0 ; khi x → −∞ th× f(x) 2 1 ⇒ h( α ) > NÕu p > 0 ⇒ 1 + p > 1 ⇒  1 2  f (0) > 2  1   f (−1) > 2 1 NÕu p < 0 ⇒ 1 − p > 1 ⇒  ⇒ h( α ) > 1 2  f (0) > 2    p Chó ý : Max h(x) = max  f (− ) ; f (−1) ; f (1)  2   [− 1;1] p *) NÕu p = 0 ⇒ f(x) = x2 + q ; f(0) = f(- ) = q ; f(±1) = 1 + q 2 Gi¸ trÞ lín nhÊt cña h(x) lµ mét trong 2 gi¸ trÞ q ; 1 + q 1 2 1 1 NÕu q < - ⇒ q > 2 2 1 NÕu q = - ⇒ fx) = 2 1 2 1 2 NÕu q > − ⇒ 1 + q > ⇒ f (±1) > ⇒ h(α ) > ⇒ f (0) > 1 2 1 1 ⇒ h(α ) > 2 2 1 1 1 ≤ ⇒ max h( x) = ⇔ x = 0; x = ±1 còng lµ gi¸ 2 2 2 1 trÞ nhá nhÊt cña h(α) .VËy p = 0 ; q = - tho¶ m n bµi to¸n 2 x2 − 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25   x2 + 2y2 > 1 (I )   2x + y ≥ x 2 + 2 y 2   2) log x 2 + 2 y 2 (2 x + y ) ≥ 1(*) ⇔  αx 2 + 2 y 2 < 1 ( II )  2 2 0 < 2 x + y ≤ x + 2 y 0,5 Tr−êng hîp 1: NÕu (x;y) tho¶ m n (I) ta cã x2 +2y2 ≤ 2 xy ⇔ ( x − 1) 2 + ( 2 y − 1 2 2 )2 ≤ 9 . Theo bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpxki ta 8 cã 2  81 9 9 9 1  9 1 ⇒ 2x + y − ≤ ⇔ 2x + y ≤ ) ≤ ( 2y − (2 x + y − ) 2 = ( x − 1)2 + 16 4 4 2 4 2 2  2  0,5 ®óng víi mäi x ; y tho¶ m n (*) . DÊu “=” x¶y ra 9  2x + y =  2   x = 2 1  2y − 1 ⇔ ⇔ y = x −1 2 2   = 2 1  2  2 1 VËy x = 2 ; y = th× 2x + y lín nhÊt 2 0,5 Tr−êng hîp 2 : ( x ; y ) tho¶ m n (II) ⇒ 2x + y kh«ng ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt V× tõ (II) ⇒ 2 x + y ≤ x 2 + 2 y 2 < 1 cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (1) 0,5 cos x = 0  ⇔ cos x(4 cos 2 x − 2 cos x + m − 3) = 0 ⇔  2 4 cos x − 2 cos x + m − 3 = 0 (2)  2 π  cos x = 0  x = 2 + kπ 1 ⇔ 1) Víi m = 3 th× (1) ⇔  k ∈Z π cos x =   2 π x k = ± + 2  3  0,5 2) t = cos x ; t ≤ 1  XÐt ph−¬ng tr×nh (2) ⇔  0,5 0,25 4t − 2t + m − 3 = 0 (3) π VÏ ®å thÞ hµm sè y = cosx trªn  − ;2π   2  2 Y 3 y=t1 - π 2 O π 2 y=t2 π - 3π 2 2π x 0,25 π Sè nghiÖm cña (2) lµ sè giao ®iÓm cña y = t vµ y = cosx trªn  − ;2π   2  víi t lµ nghiÖm cña (3) . Ph−¬ng tr×nh (1) cã sè nghiÖm nhiÒu nhÊt trªn  π   − ;2π  khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (3) cã hai nghiÖm t1 < t2 tho¶ m n  2   ∆' > 0   f (0) > 0 13 0 < t1 < t2 0 ⇔ 3 < m < 4  1 0 < < 1 4  π 1) I = x sin x ∫ 1 + cos 2 0 x dx .§Æt t = π − x ⇒ x = 0 ⇒ t = π ; x = π ⇒ t = 0 0,5 0,5 dx = - dt ; sinx = sint ; cos2x = cos2t π π sin tdt π π π t sin tdt x sin xdx π sin xdx ⇒I =∫ −∫ =∫ −∫ 2 2 2 2 0 1 + cos t 0 1 + cos t 0 1 + cos x 0 1 + cos x π 0,5 π 4 dt sin xdx π2 ⇒ 2I = π ∫ = = = dx 2 π π ∫ 2 ∫0 2 2 −1 1 + t 0 1 + cos x 4 10) 11) 12) 13) 14) ⇒I= 1 0,5 π2 4 2) §Æt x = sint ; y = cost ⇒ sin 2 t + cos 2 t = 1 Ta cã sin5t = 16sin5t –20sin3t + 5sint Cos5t = 16cos5t – 20cos3t + 5cost ⇒sin5t = 16x5 –20x3 + 5x ; cos5t = 16y5 – 20y3 +5y ⇒ 16( x 5 + y 5 ) − 20( x 3 + y 3 ) + 5( x + y ) = sin 5t + cos 5t ≤ 2 π π π kπ 15) DÊu “=” x¶y ra ⇔ 5t + = + kπ ⇔ t = + 4 2 20 5 k ∈Z A K’ K D H 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 5 Dùng mf(P) ⊥ AB t¹i M . Gäi DK ; CH lµ c¸c ®−êng cao cña tam gi¸c DAB vµ tam gi¸c CAB . Do dt ∆DAB = dt∆CAB ⇒ DK’ = CH. Gäi C’ ; D’ lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña C ; D trªn (P) ⇒ MC’ = MD’ v× CH // (P) ; DK// (P) ⇒∆MC’D’ c©n t¹i M ⇒ MI’ ⊥ C’D’ ; I’ lµ trung ®iÓm C’D’ KÎ II’ // AB ; ( I ∈CD ) ; IK //MI’ ⇒ MKII’ lµ h×nh ch÷ nhËt. VËy IK lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AB vµ CD vµ I lµ trung ®iÓm CD *) Vai trß A ; B ; C ; D b×nh ®¼ng . B»ng c¸ch dùng t−¬ng tù mf(P’) ⊥ Cd ta chøng minh K’ lµ trung ®iÓm cña AB vµ I’K’ lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña AB vµ CD ⇒ I’≡ I ; K’≡ K Do ®ã tø diÖn ABCD cã c¸c ®−êng trung b×nh ®ång thêi lµ ®−êng vu«ng gãc chung 0,5 0,5 0,25 B P K D O I A Q C Gäi O lµ trung ®iÓm IK ⇒ OA = OB = OC = OD vËy O lµ t©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD *) VKBCD = VKACD ⇒ KI ∈ mf ph©n gi¸c cña gãc ph¼ng nhÞ diÖn c¹nh CD vµ AB . T−¬ng tù PQ ∈ mf ph©n gi¸c cña gãc ph¼ng nhÞ diÖn c¹nh AC vµ BD. V× 0,25 0,25 KI ∩ PQ = O ⇒ O c¸ch ®Òu c¸c mÆt cña tø diÖn ABCD . VËy O lµ t©m mÆt cÇu néi tiÕp tø diÖn ABCD 2) 0,25 A I D N Þ B C Gäi I ; J lµ trung ®iÓm AB vµ CD ; N lµ trung ®iÓm cña IJ . Víi M bÊt kú  ta cã 2 MI = MA + MB  ⇒ MA + MB + MC + MD = 2( MI + MJ ) = 4 MN 2MJ = MC + MD  ⇒ MA + MB + MC + MD = 4 MN bÐ nhÊt ⇔ M lµ h×nh chiÕu cña N trªn mÆt ph¼ng (P) 1,0 §Ò thi häc sinh giái líp 12 B¶ng A Thêi gian: 180 phót Bµi 1: (4 ®iÓm) 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè sau: x 2 − 4x + 4 . y= 1− x 2. TÝnh tÝch ph©n: Π x sin xdx . 2 + 1 cos x 0 Bµi 2: (4 ®iÓm) I=∫ Cho ph−¬ng tr×nh: a x3 − 1 = x2 + 2 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi a = 4. 2. T×m a ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm. Bµi 3: (4 ®iÓm) 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: tgx – 3cotg3x = 2tg2x. 2. Chøng minh r»ng ∆ABC ®Òu nÕu tho¶ m n: A B C tgA + tgB + tgC = cot g + cot g + cot g . 2 2 2 Bµi 4: (2 ®iÓm) x + 3 3 x+1 ) . T×m giíi h¹n: lim ( x→∞ x + 2 Bµi 5: (2 ®iÓm) 2x + 1 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 2x 2 − 6 x + 2 ≥ log 2 . (x − 1)2 Bµi 5: (4 ®iÓm) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é oxy. x2 y2 Cho elip (E) cã ph−¬ng tr×nh: + = 1 ; ®iÓm I(-1;-2) vµ ®−êng th¼ng 16 9 (d): x + y – 6 = 0. 1. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ®i qua I vµ c¾t (E) t¹i hai ®iÓm A, B sao cho I lµ trung ®iÓm AB. 2. T×m to¹ ®é ®iÓm M∈ (E) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn d lµ nhá nhÊt. ý Néi dung Thang ®iÓm H-íng dÉn chÊm ®Ò thi häc sinh giái líp 12 1 TËp x¸c ®Þnh: R\{1} Sù biÕn thiªn: 0.5 x = 0,y ( 0 ) = 4 − x 2 + 2x y’= = 0 ⇔ x =2 , y ( 2 ) = 0 (1 − x) 2 +, lim y = +∞; lim y = −∞ -> ®−êng th¼ng x=1 lµ tiÖm cËn [ x →1− 0.25 x →1+ ®øng. +, lim y = +∞; x→− ∞ lim y = −∞ x→ +∞ 1 x 2 − 4x + 4 = −x + 3 + → lim [y − (−x + 3)] = 1− x 1− x x →∞ 1 → ®−êng th¼ng y= - x+3 lµ tiÖm cËn xiªn. = lim x→∞ 1 − x B¶ng biÕn thiªn: Bµi 1 y= x y y’ -∞ +∞ 0 0 4 §å thÞ: 1 + +∞ +∞ 2 0 + 0.25 0 -∞ -∞ y 0.25 3 4 2 1 0 3 1 2 x 0.75 2 π TÝnh: I = x sin xdx ∫ 1 + cos 2 x 0 §Æt x = π − t x t 0 π π 0 dx = - dt I = -∫ Bµi 1 π (π − t ) sin t sin t = π dt dt − I ∫ 2 2 + + 1 cos t 1 cos t π 0 π π sin t →I= ∫ dt 2 0 1 + cos 2 t §Æt u = cost -> du = - sintdt t 0 π u 1 -1 1 π du →I= ∫ 2 −11 + u 2 π π §Æt u = tgv víi v∈ (− ; ) , du = (1+tg2v)dv 2 2 u -1 1 v π π 4 4 0 π 4 π π du (1 + tg 2 v )dv = = → = = dv I dv v ∫ 2 π 2 1 + u2 1 + tg 2 v − π π π π2 = ( + )= 2 4 4 4 4 0.75 0.5 π 4 − = π 4 0.75 §iÒu kiÖn: x ≥ 1 Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi : 1 0.25 a (x − 1)(x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1) − (x − 1) ⇔a x −1 x2 + x + 1 =1−( x −1 2 ) (do x 2 + x + 1 > 0) x + x +1 2 −3+2 3 x −1 ®iÒu kiÖn 0 ≤ t ≤ 3 x + x +1 2 ph−¬ng tr×nh trë thµnh: f(t) = t + at – 1 = 0 (1) Víi a = 4 ta cã: ph−¬ng tr×nh (1) lµ: t2 + 4t – 1 = 0 ®Æt t = ⇔[ 2 0.75 t = −2 − 5 ( lo ¹ i ) 0.75 −3 + 2 3 ] 3 x −1 Víi t =- 2 + 5 ta cã: t = 2 x + x +1 2 2 2 2 0.5 t x + t x +t = x – 1 t2x2 + (t2 – 1)x +t2 + 1 = 0 1 − t 2 ± − 3t 4 − 6 t 2 + 1 ⇔x= hiÓn nhi ª n tho¶ m n x ≥ 1 0.5 2 2t VËy víi a = 4 ph−¬ng tr×nh ® cho cã 2 nghiÖm: t = −2 + 5 Bµi 2 ⇔ x1, 2 = ∈ [ 0; 1 − t 2 ± − 3t 4 − 6 t 2 + 1 , víi t = 5 − 2 2t 2 0.25 Ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh: −3+2 3 ]=D 2 3 dÔ thÊy ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm t1, t2 tho¶ m n: t1 < 0 < t2 , do ®ã ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm t2 ∈ D t2 + at – 1 = 0 (1) cã nghiÖm t ∈ [0; ⇔ f( 2( 3 − 1) −3+2 3 )≥0⇔a≥ 3 −3+2 3 VËy tËp gi¸ trÞ cÇn t×m cña a lµ: [ 2( 3 − 1) −3+2 2 0.25 0.5 ;+ ∞ ) 0.25 §iÒu kiÖn: cos2x ≠ 0; cosx ≠ 0; sin3x ≠ 0 tgx – 3tg3x = 2tg2x 1 tgx – cotg3x = 2(tg2x + cotg3x) sin x cos 3x sin 2x cos 3x ) ⇔ − = 2( + cos x sin 3x cos 2x sin 3x - cos4x . cos2x = 2 cos2x (2cos22x - 1)(cos2x) +1 +cos2x = 0 1 cos32x = 2 ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn: cosx ≠ 0 cos2x ≠ 0 1 + cos 2 x ≠ 0 cos2x ≠ -1. 2 sin3x ≠ 0 sinx(3 – 4sin2x) ≠ 0 sin2x ≠ 0 3 sin2x ≠ 4 1−cos 2 x cos 2 x ≠1 ≠0 2 ⇔ 1−cos 2 x 3 ⇔ cos 2 x≠− 1 ≠ 2 2 4 1 => cos32x = - (tho¶ m n ®iÒu kiÖn) 2 α 1 cos2x = - 3 = cos α ⇔ x = ± + kπ 2 2 VËy ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm lµ: α 1 x = ± + kπ, k ∈ Z víi cos α = − 3 2 2 Bµi 3 { 0.25 1 { V× tgA, tgB, tgC x¸c ®Þnh nªn ∆ ABC kh«ng vu«ng 2 → tgA + tgB = −tgC ⇔ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 1 − tgAtgB B A + cot g A B C 2 2 cot g = tg( + ) = A B 2 2 2 cot g cot g − 1 2 2 A B C A B C ⇔ cot g + cot g + cot g = cot g . cot g . cot g 2 2 2 2 2 2 0.5 0.25 0.25 cot g 0.25 -> gi¶ thiÕt ®Ò cho t−¬ng t−¬ng víi: A B C tgA.tgB.tgC = cot g . cot g . cot g > 0 2 2 2 ∆ ABC nhän -> tgA, tgB, tgC lµ c¸c sè d−¬ng 0.25 sin A. sin B cos(A − B ) + cos C = cos A. cos B cos(A − B ) − cos C ta sÏ chøng minh ®−îc: ta cã: tgA.tgB = cos(A − B ) + cos C 1 + cos C ≥ (*) cos(A − B ) − cos C 1 − cos C 0.25 thËt vËy: 1- cosC > 0; cos(A-B) – cosC = 2cosA.cosB > 0. do ®ã (*) cos(A-B) - cos(A-B)cosC + cosC – cos2C ≥ cos(A-B) + cos(A-B)cosC – cosC – cos2C 0.25 cosC cos(A-B) – cosC ≤ 0 cos(A-B) – 1 ≤ 0 lu«n ®óng (v× cosC > 0) 1 + cos C C = cot g 2 1 − cos C 2 B t−¬ng tù: tgA.tgC ≥ cotg2 2 A tgB.tgC ≥ cotg2 2 A B C → tgA + tgB + tgC ≥ cot g + cot g + cot g 2 2 2 dÊu “=” x¶y ra khi: cos(A - B) = 1 cos(B - C) = 1 A = B = C cos(C - A) = 1 A B C VËy nÕu tgA + tgB + tgC = cot g + cot g + cot g 2 2 2 th× ∆ ABC lµ tam gi¸c ®Òu. VËy: tgA.tgB ≥ 0.25 0.25 0.25 x + 3 3x+1 1 + 1)3x+1 ) = lim ( x →∞ x + 2 x→∞ x + 2 ®Æt t = x + 2 ta cã x → ∞ ⇔ t → ∞ 1 1 x + 3 3 x+1 ) lim ( = lim{[(1 + ) t ]3 . } = e3 x →∞ x + 2 t →∞ 1 t (1 + )5 t 0.25 Bµi 4 lim ( 1.5 1 2 x ≠1 ) x> − 2x + 1 (®iÒu kiÖn (2x − 1) 2 2x + 1 − log 2 2 ⇔ 2(x − 1)2 − (2x + 1) ≥ log 2 (x − 1) 2 0.25 ⇔ 2(x − 1) 2 + log 2 [2(x − 1) 2 ] ≥ log 2 (2 x + 1) + 2x + 1 XÐt hµm sè: f(X) = X + log2X 1 → f ' (X ) = 1 + > 0 ∀x > 0 X ln 2 -> f(X) ®ång biÕn trªn R*+ ®Æt: X1=2x + 1 0.5 { 2x 2 − 6x + 2 ≥ log 2 Bµi 5 0.25 x> − { 1 2 X2= 2(x-1)2 => X1, X2 ∈ R*+ víi x ≠1 Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh f(X2) ≥ f(X1) ⇔ X 2 ≥ X 1 tøc lµ: 2(x-1)2 ≥ 2x+1 3+ 7 2 3− 7 ⇔ 2x 2 − 6 x + 1 ≥ 0 ⇔ x≤ 2 [ x≥ VËy bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho cã tËp nghiÖm lµ: 1 3− 7 3+ 7 (− ; ]∪[ ; + ∞) 2 2 2 0.5 0.5 0.25 Gi¶ sö ®−êng th¼ng ∆ lµ ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh cÇn 1 t×m. V× ∆ ®i qua I(-1; -2) nªn cã ph−¬ng tr×nh tham sè: x = −1+ at Bµi 6 {y = −2 + bt (a2+b2 ≠ 0 V× A, B lµ giao ®iÓm cña ∆ vµ (E) nªn: A(-1 + at1; -2 + bt1); B(-1 + at2; -2 + bt2) víi t1, t2 lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: (−1 + at ) 2 (−2 + bt ) 2 + =1 16 9 1 4 a 2b a2 b2 ⇔ ( + ) t 2 − 2( + ) t + + − 1 = 0 (*) 16 9 16 9 16 9 0.25 0.5 a2 b2 1 4 + )( + − 1) < 0 v× a2 + b2 ≠ 0 16 9 16 9 nªn ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt t1, t2 I lµ trung ®iÓm AB nªn: − 2 + a(t 1 + t 2 ) − 4 + b( t 1 + t 2 ) = −1 vµ = −2 ⇔ 2 2 b( t 1 + t 2 ) = 0 t1 + t2 = 0 (v× a2 + b2 ≠ 0 ) a(t 1 + t 2 ) = 0 a 2b + =0 t1 + t2 = 0 16 9 9a = -32b, chän b = -9 => a=32 => ®−êng th¼ng ∆ cã ph−¬ng tr×nh: x +1 y + 2 = 32 −9 ( 2 0.25 0.5 0.25 0.25 Gi¶ sö M(x0; y0). v× M∈ (E ) nªn: x 16 2 0 + y 9 2 0 0.5 = 1 x 0 =4 sin t x0 y0 = sin t vµ = cos t , Khi ®ã: y 0 =3 cos t ®Æt 4 3 4 sin t + 3 cos t − 6 5 cos( t − ϕ) − 6 → d ( M ,d ) = = 2 2 3 cos ϕ= 5 6 − 5 cos( t − ϕ) víi sin ϕ= 4 -> d ( M,d ) = 2 5 => d(M, d) nhá nhÊt cos(t - ϕ ) = 1 ⇔ t = ϕ + k 2 π { { 16 x 0 = 4 sin(ϕ + k 2π) = 4 sin ϕ = 5 9 y 0 = 3 cos(ϕ + k 2π) = 3 cos ϕ = 5 VËy ®iÓm cÇn t×m lµ: M( 16 9 ; ). 5 5 0.75 0.5 0.25 Së GD-§T Thanh Hãa Tr−êng THPT Thèng NhÊt §Ò Thi häc sinh giái Líp 12 M«n: To¸n Thêi gian: 180 Phót Gi¸o viªn ra ®Ò : TrÞnh V¨n Hïng Bµi 1 : (4®iÓm ) 2 + mx + 1 ( m lµ tham sè vµ |m |≠ 2) Cho ®−êng cong ( Cm) : y = x 2x + m T×m c¸c ®iÓm trªn trôc hoµnh mµ tõ ®ã vÏ ®−îc hai tiÕp tuyÕn víi ®−êng cong (Cm ) mµ chóng vu«ng gãc v¬Ý nhau. (Gi¶i tÝch - To¸n n©ng cao 12 T¸c gi¶ Phan Huy Kh¶i ) 1 b) Cho In = ∫ 0 e − nx 1 + e− x dx víi n lµ sè tù nhiªn T×m lim In n → +∞ ( To¸n n©ng cao líp 12 Phan Huy Kh¶i ) Bµi 2: (4 §iÓm ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh sau theo tham sè a x + 1 - a − x =1 ( To¸n båi d−ìng häc sinh : nhãm t¸c gi¶ Hµn Liªn H¶i , Phan Huy Kh¶i ) b) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 12x − 8 2x + 4 - 2 2 − x > 2 9x + 16 ( To¸n båi d−ìng häc sinh : nhãm t¸c gi¶ Hµn Liªn H¶i , Phan Huy Kh¶i ) Bµi 3 ( 4®iÓm ) a)Gi¶i Ph−¬ng tr×nh :2sin(3x+ ∏ ) = 1 + 8 sin 2x cos2 2x 4 b) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc thâa m n : 2sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos C 2 Chøng minh r»ng : tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu . ( B¸o To¸n häc tuæi trÎ 5/2004) Bµi 4(4®iÓm) : +cos A B +3cos 2 2 x n − nx + n −1 a)Cho n lµ sè nguyªn d−¬ng , h y t×m giíi h¹n A = lim x →1 ( x −1)2 ( To¸n båi d−ìng häc sinh : nhãm t¸c gi¶ Hµn Liªn H¶i , Phan Huy Kh¶i ) log 2 x + 3 = log(23 y ) b) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  y +3 (3x ) = log 2 log 2 (§¹i sè s¬ cÊp t¸c gi¶ TrÇn Ph−¬ng) Bµi 5 ( 4®iÓm) : a) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y ABCD lµ h×nh thang cã c¹nh AD =2 BC. Gäi M,N lµ hai trung ®iÓm cña SA , SB t−¬ng øng .MÆt ph¼ng (DMN ) c¾t SC t¹i P. TÝnh tØ sè ®iÓm P chia ®o¹n th¼ng CS . ( To¸n båi d−ìng häc sinh : nhãm t¸c gi¶ Hµn Liªn H¶i , Phan Huy Kh¶i ) b) Cho a,b,c lµ c¸c sè thùc lín h¬n 2 2 2 2 Chøng minh r»ng : logab+ c + logba + c + log ca + b ≥3 ( C¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc ,t¸c gi¶ TrÇn Ph−¬ng) .................................... HÕt ........................................... §¸p ¸n C©u 1 Gäi M(x0;0 ) lµ ®iÓm cÇn t×m . §−êng th¼ng ( ∆ )qua M cã hÖ sè gãc k cã ph−¬ng tr×nh y= k( x-x0) §Ó( ∆ ) lµ tiÕp tuyÕn cña ®−êng cong th× ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm kÐp (0,5®) x 2 + mx + 1 = k(x − x 0 ) 2x + m ( 1- 2k) x2+(m+2kx0-mk)x +1+mkx0=0 cã nghiÖm kÐp 1 − 2k ≠ 0   2 [k (2x 0 − m) + m] − 4(1 − 2k )(1 + mkx 0 ) = 0 1   ( 2) k≠ (I )  2 k 2 (2 x + m) 2 + 4k (2 − mx 0 ) + m − 4 = 0 (3) Bµi to¸n trë thµnh t×m ®iÒu kiÖn ®Ó (I) cã hai nghiÖn ph©n biÖt k1, k2 vµ k1.k2 = -1 (0,5®) thay (2) vµo (3) ta cã : (2x0-m) 2 +m2 + 12 ≠ 0 (4) V× (4) ®óng nªn hÖ (I) ⇔ (3) §iÒu kiÖn cÇn t×m lµ :  2x 0 + m ≠ 0 m    m2 − 4 x0 ≠ − ⇔  2 = −1  2 (2x 0 + m) 2 = 4 − m 2  (2 x 0 + m) ( 2x0 +m)2 = 4-m2 ( v× m 2) (5) NÕu m > 2 th× (5) v« nghiÖm NÕu m < 2 th× (5) cã hai nhghiÖm cÇn t×m víi x0 = VËy cã hai ®iÓm M(x0;0) cÇn t×m víi x0 = m± 4 2 e − nx e − ( n +1) x b) Ta cã x ∈ ( 0;1) th× : > ⇒ In > In+1 1 + e −x 1 + e −x e − nx > 0 ∀ x ∈ (0;1) In >0 ∀n MÆt kh¸c v× 1 + e −x m2 m± 4 2 m2 (0,5®) VËy {In} lµ d y ®¬n ®iÖu gi¶m vµ bÞ chÆn d−íi , nªn tån t¹i lim I n (0,5®) n →∞ 1 Ta cã In + In+1 = ∫ e + e −(n + x ) dx 1 + e− x − nx 0 e −1 - In-1 1− n 1 = ∫ e − ( n −1) x dx = 0 1 [e −( n −1) − 1] n −1 1− n In = (*) (0,5®) Râ rµng : lim I n = lim I n −1 n →∞ lim n → +∞ n →∞ e 1− n − 1 =0 nªn tõ (*) suy ra 2 lim I n = 0 n →+∞ 1− n lim I n = 0 (0,5®) n →+∞ Bµi 2: a) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh theo tham sè a: x + 1 - a − x =1 a−x≥0  ⇔  x +1 =1+ a − x x≤a  ⇔ 2 x − a = 2 a − x x≤a   a ⇔ x≥ 2  2 = − − f ( x ) 4 ( a 1) + a 2 − 4a = 0 4x  (2) (0,5®) (3) (4) Ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau: +) NÕu a < 0 khi ®ã a > a nªn hÖ (2) (3) (4) v« nghiÖm tøc lµ (1) v« 2 nghiÖm +) NÕu a=0 th× hÖ (2), (3), (4) cã nghiÖm duy nhÊt x=0 a  ≤x≤a (5)  +) NÕu a >0 th× ta cã  2 f ( x ) = 4 x 2 − 4(a − 1) x + a 2 − 4a (4) XÐt tam thøc f(x) cã f( a )= -2a < 0 vµ f(a) = a2 > 0 2 VËy theo ®Þnh lÝ ®¶o (4) cã hai nghiÖm x1,x2 tho m n x1< a < x2 < a KÕt luËn 2 (1®) +) NÕu a < 0 th× (1) v« nghiÖm +) NÕu a ≥0 th× (1) cã nghiÖm duy nhÊt x= a − 1 + 2a + 1 2 b) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 12x − 8 (1) 2x + 4 - 2 2 − x > 2 9x + 16 Nh©n biÓu thøc liªn hîp vÕ tr¸i ta cã ( Víi x ∈ [-2;2] ) 2( 6 x − 4) 6x − 4 > 2x + 4 + 2 2 − x 9x 2 + 16 ⇔ (3x − 2)[ 9 x 2 + 16 − 2( 2 x + 4 + 2 2 − x ] > 0 ⇔ (3x − 2)(9 x 2 + 8x − 32 − 16 8 − 2x 2 > 0 (0,5®) (0,5®) (0,5®) ⇔ (3x − 2)( x − 2 8 − 2x 2 )(8 + x + 2 8 − 2x 2 > 0 Do 8+x+2 8 − 2x 2 > 0 2  − ≤ < 2 x  3 ⇔ 4 2 < x ≤ 2  3 nªn (2) (3x-2) (x-2 8 − 2 x 2 ) > 0 TËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh T = [ -2; Bµi 3 ( 4®iÓm ) a)Gi¶i Ph−¬ng tr×nh :2sin(3x+ 2 4 2 )∪( ; 2] 3 3 (1®) ∏ ) = 1 + 8 sin 2x cos2 2x 4 ∏  sin(3x + ) ≥ 0 ( 2)  4 ⇔ ∏ 4 sin 2 (3x + ) = 1 + 8 sin 2 x cos 2 2x (3)  4 (0,5®) Gi¶i (2): ∏ ) ] = 1+ 8sin2x(1-sin22x) 2 ⇔ 2+ 2sin6x = 1+ 8sin 2x-8sin32x ⇔ 2+ 2(3sin2x-4sin32x) = 1+8sin2x-8sin32x ∏  + k∏ = x  1 12 ⇔ (k,l∈Z ) ⇔ sin2x =  5∏ 2 x = + l∏  12 (2) ⇔ 2[1-cos(6x + (0,5®) ∏ + k¶ vµo (2) ta cã : 12 ∏ k VT(2) = sin( + 3k ∏) = (−1) ≥ 0 khi k=2n ,n ∈ Z 2 ∏ + 2n¶ lµ nghiÖm cña (1). x= 12 5∏ +) Thay x= + l ∏ vµo (2) ta cã : 12 3∏ l +1 + 3l ∏) = (−1) ≥ 0 khi l=2m-1;m ∈Z VT(2) = sin( 12 5∏ x= + (2m − 1) ∏ lµ hä nghiÖm cña (1) 12 ∏ 5∏ + 2n¶ vµ x= VËy (1) cã hai hä nghiÖm : x= + (2m − 1) ∏ ; (n,m∈Z) 12 12 +)Thay x= b) Ta cã sinA +sin B = 2 sin (1®) A+B A−B C cos dÊu ( = ) x¶y ra khi vµ chØ khi ≤ 2 cos 2 2 2 1 C (sin A + sinB ) ≤ cos chØ khi A = B 2 2 5 A T−¬ng tù : (sin B + sinC ) ≤ 5 cos 2 2 3 B (sin C + sinA ) ≤ 3 cos 2 2 (1) (2) (3) Tõ (1), (2), (3), suy ra : 2sinA + 3sin B + 4 sin C ≤ 5cos §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi tam gi¸c ABC ®Òu. (1®) A B C +3cos +cos 2 2 2 (1®) Bµi 4 : x n − nx + n −1 x →1 ( x −1)2 a)Cho n lµ sè nguyªn d−¬ng , h y t×m giíi h¹n A = lim ta cã xk -1 = (x-1)(1+x+x2+ ……….+xk-1) (0,5®) (x −1) + (x −1) + .........+ (x −1) (x −1)(1+ x + x + ......+ x − n) = lim A = lim 2 x →1 x →1 x −1 (x −1) 2 n −1 2 n −1 n(n −1) (x −1)[1+ (x +1) + ....+ (1+ x + ......+ xn−2 )] 1 2 3 ....... ( n 1 ) A = lim = + + + + − = x →1 2 x −1 (0,5®) VËy : A = n (n − 1) 2 (0,5®) log 2 x + 3 = log(23 y ) b) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh  y +3 (3x ) = log 2 log 2 log2x +3 = 2(1+ log(23 y )) ( x +3) x ( y +3) y ⇒ log 2 + 2 log 3 = log 2 + 2 log 3  y +3 (3x ) = 2(1 + log2 ) log2 XÐt hµm sè : f(t) = log(2 t +3) + 2 log2t víi ®ång biÕn trªn (0; + ∞ ) (1) t∈(0; + ∞ ) (0,5®) (1) viÕt d−íi d¹ng f(x) = f(y) x=y ( 2)  (I)  x log 2 ( x + 3) = 2(1+ log 3 ) (3) (II) x (3) ⇔ x + 3 = 22(1+ log3 ) ⇔ x + 3 = 4.2log3x 2 ⇔ x + 3 = 4.2log3 log 2 x ..... 4 2 2 ⇔ x + 3 = 4.( x 2 ) log32 4 ⇔ x + 3 = 4.x log3 ⇔ x1−log3 + 3.x −log3 4 = 4 ( 4) 4 4 XÐt hµm sè q(x) = x1−log3 + 3.x −log3 trªn (0;+ ∞ ) nghÞch biÕn trªn (0;+ ∞ ) (0,5®) Nªn (4) cã nghiÖm th× lµ nghiÖm duy nhÊt , do g(1) =4 VËy x=1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña (4). x = y Khi ®ã hÖ (II) trë thµnh  ⇔ x = y =1 x =1 VËy hÖ ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm duy nhÊt x=y=1 Bµi5 : (0,5®) a) §Æt DA = a ; DC = b ; DS = c; Tõ gi¶ thiÕt ta ®−îc CB = a v× P trªn CS 2 nªn ®Æt: CP = x.CS M, N, P, D ë trªn cïng mÆt ph¼ng nªn DM, DN, DP ®ång ph¼ng ta cã: DN = αDM +βDP (1) V× M lµ trung ®iÓm cña SA nªn: DM = V× N lµ trung ®iÓm cña SB nªn: DN = DS + DA c + a = 2 2 DS + DB = 2 c+b+ 2 (2) a 2= a + b + c 4 2 2 (3) Ta cã: DP = DC + CP = b + xCS = b + x(c - b) DP = (1-x)b + xc Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ta cã: a b c α α + + = c + a + β(1 − x )b + β xc 4 2 2 2 2 ⇔ a b c α α a + β (1-x) b + ( + βx) c + + = 4 2 2 2 2 (4) (0,5®)  α 1  2=4  1 b(1 − x ) = 2  α 1  + βx =  2 2 1  α = 2  3 ⇔ β = 4  x = 1  3 VËy P trªn SC sao cho CP = log b + c b) Ta cã a2 = 1 1 CS hay P chia ®o¹n th¼ng CS theo tØ sè k=3 2 2 ln a 2 ln a 2 ln a ≥ = ln( b + c ) ln bc ln b + ln c (0,5®) log a c + a T−¬ng tù : log c2 a+ b VT(1) ≥ 2( ≥ b2 2 ln b ≥ ln a + ln c 2 ln c ln a + ln b ln a ln b ln c ) + + ln b + ln c ln a + ln c ln a + ln b Bæ ®Ò Víi x,y,z>0 th× ThËt vËy (*) ( (0,5®) y z x 3 + (*) + ≥ z + y x + z x+y 2 y z 3 x +1)+( +1) ≥ +3 +1) + ( z+y x+z 2 x+y [ (y+z) +(z+x) +(x+y) ]. ( 1 1 1 + + )≥9 z + y x + z x+y . ¸p dông bæ ®Ò ta cã : VT(1) ≥ 3 (**) Theo C«si th× (**) tho m n (0,5®) (§PCM) HÕt (0,5®) ®Ò thi hsg m«n to¸n 12 (thêi gian :180 phót) C©u 1 (2.0®) TÝnh tæng sau x x 1 x 1 1 tg + 2 tg 2 + ... + n tg n 2 2 2 2 2 2 Sn = C©u 2 (2.0 ®) TÝnh tÝch ph©n sau π 2 ∫ 0 sin xcox a cos 2 x + b 2 sin 2 x 2 (Víi a ≠ 0; b ≠ 0) dx  x + my = m  2 2 x + y = x C©u 3 (2.0 ®) Cho hÖ ph−¬ng tr×nh 1/ BiÖn luËn sè nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh theo m 2/ Khi hÖ cã hai nghiÖm (x1;y1);(x2;y2) t×m m ®Ó S = (x2-x1)2+(y2-y1)2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt C©u 4 (2.0 ®) Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3( 2 x 2 + 1 − 1) = x(1 + 3 x + 8 2 x 2 + 1 C©u 5 (2.0® ) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm 2 sin C©u 6 (2.0 ® ) 2 x + 3 cos T×m giíi h¹n sau 2 x ≥ m3sin 2 x L = Lim x→ π 3 2 1 − sin m + n + p x (1 − sin m x)(1 − sin n x)(1 − sin p x) (víi m ,n ,p lµ ba sè nguyªn d−¬ng cho tr−íc ) C©u7 (2.0®) Gi¶i vµ biÖn luËn theo tham sè m hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh sau  1 − 5 cos 4 3 x ≤ 2 log cos π 2  4  1 + sin x ≤ m  sin 2 x C©u 8 ( 2.0 ® ) Cho tø diÖn OABC cã OA ,OB ,OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. VÏ ®−êng cao OH cña tø diÖn . §Æt A = ∠CAB; B = ∠ABC ; C = ∠BCA α = ∠AOH ; β = ∠BOH ; γ = ∠COH Chøng minh r»ng sin 2 α sin 2 β sin 2 γ = = sin 2 A sin 2 B sin 2C C©u 9 (4.0® ) Cho h×nh chãp tam gi¸c SABC .BiÕt r»ng tån t¹i h×nh cÇu t©m O, b¸n kÝnh R ( O n»m trªn ®−êng cao h×nh chãp) tiÕp xóc víi c¶ 6 c¹nh h×nh chãp. 1/ Chøng minh r»ng SABC lµ h×nh chãp ®Òu. 2/ Cho SC =R 3 . TÝnh chiÒu cao h×nh chãp. ®¸p ¸n (®Ò thi hsg m«n to¸n 12) Ap dông : (ln u ) = / C©u 1 Do ®ã nÕu ®Æt cã 1 Pn = x 2n sin u u/ 1 x / x ) = − tg n n 2 2 2 x x x Pn = cos . cos 2 ... cos n ⇒ S n = −(ln Pn ) / 2 2 2 co (ln cos x x x x cos n . cos n −1 ... cos n 2 2 2 2 sin = ... = 1 1 sin x x 2n sin n 2 . /     1 1 x 1 . n sin x  = − cot gx + n cot g n S n = − ln x 2   2 2  sin n  2   do ®ã C©u 2 §Æt I lµ tÝch ph©n ® cho.XÐt 2 tr−êng hîp sau: π : TH 1 : TH 2 : 1 2 1 .∫ sin xd (sin x) = a 0 2a a = b⇒I = a ≠b Víi [ ] t = a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x ⇒ dt = − 2a 2 cos x sin x + 2b 2 sin x cos x dx = 2(b 2 − a 2 ) sin x cos xdx 1 2 2 b − a2 1 Kl : I = a+b ⇒I = ( b 2 )∫ a2 dt t = 1 1 b2 = t / 2 2 a2 b+a b −a C©u 3  x + m. y − m = 0 HÖ pt ⇔  1 2 1 2 ( x − 2 ) + y = 4 (1) (2) NhËn xÐt : (1) lµ pt d−êng th¼ng Dm: x+(y-1).m =0 ®i qua ®iÓm cè ®Þnh A(0;1) (2) lµ pt ®−êng trßn ( C) cã t©m I(1/2;0), b¸n kÝnh R=1/2 do ®ã sè nghiÖm cña pt chÝnh lµ sè giao ®iÓm cña Dmvµ (C) TiÕp tuyÕn cña (C) xuÊt ph¸t tõ A chÝnh lµ OA, (x=0) vµ d−êng th¼ng AB _ 2.tgα 4 §Æt ∠OAI = α ⇒ OB = OA .tg 2α = OA . = ( do tgα = 1) 2 1 − tg α 3 ___ ___ ___ ___ ___ MÆt kh¸c , OB lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña Dm vµ Ox nªn OB =m BiÖn luËn ./ m=0 hoÆc m=4/3 ,hpt cã nghiÖm duy nhÊt. ./ o 1,4. C©u 2: (2 ® ) Chøng minh Π 2 Π 2 n Cos .dx Sin n x.dx = ∫0 Cos n x + Sinn x ∫0 Cos n x + Sinn x Vµ suy ra gi¸ trÞ cña chóng . C©u 3 ( 2 ® ) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm ccña ph−¬ng tr×nh x4 + 4x + m + 4 x4 + 4 x + m = 6 C©u 4: ( 2 ® ) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh: x4 – (2m + 3 ) x2 + m + 5 = 0 Cã c¸c nghiÖm tho¶ mÉn: - 2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 2. C©u 5: (2®) T×m nghiÖm trªn kho¶ng ( 0 : Π ) cña ph−¬ng tr×nh 4 sin 2 3Π x − 3Cos 2 x = 1 + 2Cos 2 ( x − ) 2 4 C©u 6 (2®) Trong tam giÊc ABC cã c¸c gãc vµ c¸c c¹nh tho¶ m n: 1 + CosB = SinB 2a + c 4a 2 − c 2 (1) Chøng minh tam gi¸c lµ tam gi¸c c©n C©u 7: ( 2 ® ) T×m giíi h¹n E = x Lim1 ( C©u 8: (2®) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ( m n − ) (m,n ∈ Z + ) m n 1− x 1− x )  1 + 4 2 x − y 51− 2 x + y = 1 + 2 2 x − y +1 (1)  3 2  y + 4 x + 1 + ln( y + 2 x) = 0(2) C©u 9 (2®) Cho 2 ®−êng trßn (C1 ) : x2 + y2 – x – 6y + 8 = 0 (C2 ): x2 + y2 – 2mx – 1 = 0 T×m m ®Ó (C1 ) vµ ( C2 ) tiÕp xóc víi nhau Nãi râ lo¹i tiÕp xóc. C©u 10 (2®) Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè nguyªn, n ≥ 1 th× 1   1 +   n +1 n +1 1 > 1 +   n n Së GD&§T Thanh ho¸ Tr−êng THPT Thä Xu©n 4 H−íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12 THPT N¨m häc 2005-2006 M«n to¸n- b¶ng A H−íng dÉn chÊm §iÓm C©u 1 C©u 1: (0,5®) Π 1 + tg10 18 Ta cã: tg 550 = tg (450 + 100 ) = = 1 − tg100 1 − tg Π 18 1+ x XÐt hµm sè : f(x) = ta cã: 1− x 2 > 0 .VËy f(x) ®ång biÕn ∀ x ∈ (- ∞ ;1) hoÆc f’(x) = (1 − x) 2 0 ∀ x ∈ (1;+ ∞ ). Theo (1) ta cã tg550=f(tg 2 §Æt t= Ta cã: Π -x ⇒ dt = - dx. 2 Π 2 Cos xdx = n x + Sin n x ∫ Cos 0 Π 2 n 0 Π 2 n Π Π 1 )> f( )>f( ) =1,4 18 18 6 Π 2 ∫ 1 + tg Cos n ( Π − t )dt 2 Π Π Sin ( − t ) x + Cos n ( − t ) 2 2 = MÆt kh¸c: 0 Tõ(1) vµ (2): 3 (1) Π 2 Sin xdx Cos xdx Π = ∫ dx = . +∫ n n n n x + Sin x 0 Cos x + Sin x 0 2 ∫ Cos Π 2 n x4 + 4x + m + 4 x4 + 4 x + m = 6 (2) (0,5®) (0,5®) Π 2 Cos xdx Sin n xdx Π = ∫0 Cos n x + Sinn x ∫0 Cos n x + Sinn x = 4 n §Æt t= 4 x 4 + 4 x + m (t ≥ 0) ⇒ t2 = x 4 + 4 x + m (0,25®) n Π 2 n (0,5®) (0,5®) (0,5®) Sin tdt Sin n xdx =∫ = Cos nt + Sin nt ∫0 Cos n x + Sin n x 0 Π 2 (0,5®) (1) (2) (0,25®) 0,25® 0,25® t ≥ 0 ⇒ Ta cã:  2 ⇔ t=2. + − 6 = 0 t t  Tõ (2) 4 x 4 + 4 x + m = 2 ⇔ x4+4x+m=16. ⇔ -x4-4x+16=m §Æt: f(x)= -x4-4x+16 f’(x) = -4x3-4=-4(x3+1) f’(x)=0 ⇔ x=-1vµ f(-1)=19 Lim ∞ = - ∞ x B¶ng biÕn thiªn cña f(x) x -∞ -1 F’(x) + 0 19 F(x) 0,25® 0,25® 0,25® +∞ 0,25® -∞ -∞ Tõ b¶ng biÕn thiªn ta cã b¶ng biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña (1) nh− sau: m Sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) 0 +∞ 19 1 -∞ 2 0,5® 4 §©y lµ ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng §Æt t= x2 ≥ 0; khi ®ã ph−¬ng tr×nh ® cho cã d¹ng: t2 – (2m+3)t +m+5 = 0 (2). Ph−¬ng tr×nh ® cho cã 4 nghiÖm x1;x2;x3;x4 khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm d−¬ng t1 ; t2 d−¬ng.(0 t1 > 0  af (1) < 0  ⇔ af (0) > 0 ⇔ af (4) > 0   −m+3< 0   m+5 > 0 ⇔ − 7m + 9 > 0  (Kh«ng cã m tho¶ m n )  m>3  m > −5 m < 9  7 0,5® 0,5® 5 3Π   4   3Π ⇔ 2(1 − Cosx) − 3Cos 2 x = 1 + 1 + Cos (2 x − ) 2 ⇔ −2Cosx − 3Cos 2 x = − Sin 2 x ⇔ 3Cos 2 x − Sin2 x = −2Cosx Π  ⇔ Cos 2 x +  = Cos (Π − x) 6  Π ⇔ 2x + = ±(Π − x) +k2 Π 6 Ta cã: 4Sin 2 − 3Cos 2 x = 1 + 2Cos 2  x − x 2 5Π 2Π   x = 18 + k . 3 (2) ⇔  7Π x = − + k 2Π (3) 6  Do x ∈ (0; Π ) nªn ë hä ( 2 ) chØ lÊy ®−îc k = 0, k = 1 ë hä ( 3 ) chØ lÊy ®−îc k = 1 VËy c¸c nghiÖm ∈ (0; Π ) lµ: x1 = 6 1 + CosB = SinB 2a + c 4a 2 − c 2 5Π 17Π 5Π ; x2 = ; x3 = 8 18 6 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,5® 0,25® 0,25® ( 1) Ta cã: (1 + CosB ) 2 2a + c = Sin 2 B 2a − c 2   2 B  2Cos  2  = 1 + 2a + c ⇒ 1+  2a − c  2 Sin B .Cos B    2 2  B 4a ⇒ 1 + cot g 2 = 2 2a − c 1 4a ⇒ = B 2a − c Sin 2 2 B ⇒ 2a − c = 4a.Sin 2 2 B  ⇒ c = 2a1 − 2 Sin 2  2  ⇒ 2a.CosB = c (1) ⇒ 0,25® 0,25® 0,5® 0,25® ⇒ 4 RSinACosB = 2 RSinC ⇒ 2 SinACosB = SinC 0,25® ⇒ 2 SinACosB = Sin( A + B) ⇒ Sin( A − B) = 0 ⇒ A− B = 0 ( V× - Π < A − B < Π ) ⇒ A = B hay ∆ABC lµ tam gi¸c c©n t¹i C. 7 0,5® Ta cã:      E = lim  − −  = − n Ü →1 1 − x m 1 − x   1 − x 1 − x   1 m n 1  (m − (1 + x + x 2 + ... + x m −1 ) (n − (1 + x + x 2 + ... + x n −1 )    Lim − 1 x 1 − xm 1 − xn   2 2 m −1  (1 − x) + (1 − x ) + ... + (1 − x ) (1 − x) + (1 − x ) + ...(1 − x n −1 )   = x Lim1  − 1 − xm 1 − xn   = 0,5®  1 + (1 + x) + ... + (1 + x + ... + x m − 2 )   1 + (1 + x) + ... + (1 + x + ... + x n − 2 )  −  lim  x →1 1 + x + x 2 + ... + x m −1 1 + x + x 2 + ... + x n −1s    0,5® 1 + 2 + ... + (m − 1) 1 + 2 + ... + (n − 1) − m n m(m − 1) n(n − 1) m −1 n −1 m − n E= − = 2− 2= m n 2 2 2 E= 8 §Æt t = 2x – y ( ) 0,5® 0,5® 0,25®  1 + 4 2 x − y 51− 2 x + y = 1 + 2 2 x − y +1 (1) Khi ®ã hÖ (I):  2  y + 4 x + 1 + ln( y + 2 x) = 0(2) 3 Ta cã: (1) ⇔ (1 + 4t )5−t +1 = 1 + 2t +1  1 t  4 t  ⇔ 5  +    = 1 + 2.2t (3)  5   5   t  1 t 4  §Æt f (t ) = 5  +    ; g(t) = 1+2. 2t  5   5   0,25® 0,25® 0,25® Ta cã: f(t) lµ hµm sè gi¶m, g(t) lµ hµm sè t¨ng Vµ f(1) = g (1) Do ®ã: (3) ⇔ t = 1 ⇔ 2 x − y = 1 0,25® 2x = y + 1 2  y + 2 y + 3 + ln( y + y + 1) = 0 0,25®  VËy hÖ (I) ⇔  3 §Æt h(y) = y3 + 2y + 3 + ln ( y2+ y +1 ) Ta cã: h’(y) = 3y2 + 2 + = 3y2 + 2y +1 y + y +1 2 2 y2 + 4 y + 3 y2 + y + 1 2( y + 1) 2 + 1 = 3y + 2 >0 y + y +1 0,25® 2 h’(y) >0 ⇒ h(y) lµ hµm sè t¨ngvµ h(-1) = 0 2 x = y + 1 ⇔  y = −1 VËy (I) ⇔  9 x=0   y = −1 0,25® Ph−¬ng tr×nh cña ( C1) vµ ( C2 ) cã d¹ng sau: 2 (C1): 1 5  2  x −  + ( y − 3) = 2 4  0,25® (C2): (x-m)2 + y2 = m2 + 1 5 1 ; VËy ( C1) lµ ®−êng trßn víi t©m O1  ;3  vµ b¸n kÝnh R1 = 2  2 (C2) lµ ®−êng trßn víi t©m O2 (m,0) vµ b¸n kÝnh R2 = m + 1 0,25® 1 4m − 4m + 37 4m − 4m + 37 Ta cã: O1O2 = 9 +  m −  = = 0,25® 2 2  2 2 2 4 2 a, ( C1) vµ ( C2) tiÕp xóc ngoµi nÕu R1+R2 = O1O2 ⇔ 5 + 4m 2 + 4 = 4m 2 − 4m + 37 ⇔ 4m 2 + 9 + 2 20m 2 + 20 = 4m 2 − 4m + 37 5m 2 + 5 = 7 − m m≤7  ⇔ 2 2 5m + 5 = 49 − 14m + m m≤7  ⇔ 2 4m + 14m − 44 = 0 11 ⇔ m=2 hoÆc m = 2 ⇔ 0,5® (C1) vµ (C2) tiÕp xóc trong nÕu R1 − R2 = O1O2 b, ⇔ 5 − 4m 2 + 4 = 4m 2 − 4m + 37 (1) 0,25® 1 2 +) nÕu m > th× R2 > R1, do vËy tõ (1) ta cã 4m 2 + 4 − 5 = 4m 2 − 4m + 37 ⇔ 4m 2 + 9 − 2 20m 2 + 20 = 4m 2 − 4m + 37 ⇔ m − 7 = 5m 2 + 5 m≥7  (HÖ v« nghiÖm) ⇔ 2 4m + 14m − 44 = 0 1 +) nÕu m < th× R1 > R2 , lËp luËn t−¬ng tù trªn ta cã ®−îc hÖ 2 0,25® 0,25® v« nghiÖm. KÕt luËn: §Ó (C1) vµ (C2) tiÕp xóc víi nhau th× m = 2 hoÆc m = - 11 vµ khi ®ã mäi sù tiÕp xóc ®Òu lµ tiÕp xóc 2 ngoµi 10 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho n+1 sè gåm n  1  1 1 +  + ... + 1 +  + 1 14n442444n3 ≥ n sè h¹ ng n +1 0,25®  1   1  sè 1+ 1 vµ sè 1 ta cã: 1 + ...1 +  n +1 n 14n4244n3 n thõa sè 0,5® ⇔ n + 2 n +1  1  ≥ 1 +  n +1  n 1   ⇔ 1 +   n +1 n +1 n  1 ≥ 1 +   n 0,25® n DÊu ®¼ng thøc kh«ng thÓ x¶y ra v× 1 + n +1 1   1 VËy 1 +  > 1 +   n +1  1 ≠1 n 0,5® n n 0,5® [...]... a=b=c=2 x = y = z Chú ý : Nếu thí sinh có lời giải theo các cách khác mà đúng vẫn cho điểm theo biểu điểm của từng bài 1 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm Sở giáo dục đào tạo Thanh hoá Trờng THPT Bỉm Sơn Đề đề nghị: bảng a Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn toán lớp 12 Năm học 2005 - 2006 (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1: (4 điểm) 1) (Đề 48 I2 trong 150 đề tuyển sinh Đại học) Tìm trên đồ thị hàm số y = x2... trờng hợp 1 a1 Tài liệu tham khảo 1 Hàm số - Tác giả : Trần Phơng 2 Tạp chí " Crux - Mathematicorum " Tạp chí toán học Ca na đa 5 Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Năm học 2005 - 2006 Sở giáo dục và đào tạo Thanh hoá Môn thi : toán học - bảng A (Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Đề chính thức Bài 1: ( 4 điểm ) Cho hàm số : y = x + 1 + 1 x 1 (C) 1/ Khảo sát hàm số 2/ Tìm những điểm trên... chứng minh bất đẳng thức sau : Log b +c a 2 + Log c + a b 2 + Log a +b c 2 3 Họ và tên thí sinh : Số báo danh Thanh hóa; Ngày 02 tháng 10 năm 2005 Lời giải chi tiết và biểu điểm đề thi học sinh giỏi toán khối 12 Bài ý Bài 1 1 Lời giải chi tiết Điểm a) TXĐ : D = R b) Sự biến thi n: 1 ; y = 0 có 2 nghiệm x = 0 ; x = 2 (x 1)2 HS đồng biến trên ( ;0 ); (2;+ ) và nghịch biến trên... R, chứng minh rằng: a b c a 1 b 1 c 1 + + + + b + c c + a a + b b 1 + c 1 c 1 + a 1 a 1 + b 1 .Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh số báo danh 1 THPT Quảng Xơng 3 Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn: toán - bảng A (đáp án này có 3 trang) Bài ý Nội dung Điểm TXĐ D = R\{1} M Ox M(x0; 0), đờng thẳng qua M với hệ số góc k có phơng trình:... 0,5đ THPT Quảng Xơng 3 Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT - -Môn thi Toán bảng A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1 (4 điểm) 2 1 Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số y = x hai tiếp x 1 0 tuyến tạo với nhau một góc 45 2 Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình...Sở GD & ĐT Thanh hoá đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12 Trờng THPT Quảng Xơng 1 Môn: toán- năm học 2005 2006 Câu 1: (4 điểm) 1> Điểm M (C ) , xM = a -> y M = 5 a4 3a 2 + ta có Pt tiếp tuyến với (C) có 2 2 0,5đ dạng () : y = y x' ( x x M ) + y M với... cắt các cạnh SB, SD lần lợt tại M và N Gọi V1, V thứ tự là thể tích của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số V1 V 2 đáp án - thang điểm kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi tỉnh - môn toán LớP1 2 Nội dung Điểm Bài 1: (4 điểm) 1) (2 điểm) Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x -1 nên đờng thẳng AB có pt: y = -x + m x2 =-x +m =>Hoành độ các điểm A,... Bài 3: (4 điểm) 1) (Toán Bồi dỡng giải tích tổ hợp của Hàn Liên Hải - Phan Huy Khải) x5 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4 x + 3x 2 + 2 2) (Tự sáng tác) Giải phơng trình: 3x2 + 1 + log2006 4x 2 + 2 = x6 x 6 + x 2 +1 Bài 4: (4 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy 1) ( Đề thi tuyển sinh vào ĐHXD - Hà Nội năm học 2000-2001) 1 Cho điểm A(4;0) và đờng thẳng : 4x - 9 = 0 Chứng minh rằng tập hợp các điểm M... a 1 b +c b +c ( 0.5đ ) 0 0.5đ Đề thi học sinh giỏi 12 (Thời gian làm bài 180) Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x4- 6x2 + 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số Câu 2: Giải hệ phơng trình x+y = 4 z 1 y + z = 4x 1 z + x = 4y 1 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P):... (1) : (12a3 2a 2 )x 3 + (8a 2 24a3 2a1 )x 2 + (8a1 8a 2 48a3 )x + 12a0 16a 2 = 0; x 6a 3 a 2 = 0 a 2 = 6a 3 4a 12a a = 0 2 3 1 a1 = 12a3 a1 a 2 6a3 = 0 a = 8a 3 0 3a 0 4a 2 = 0 Nên P( x ) = a 3 (x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8) Mặt khác P(1) = 27 ; Suy ra 27a3 = 27 a3 = 1 1 điểm 1 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm Vậy đa thức cần tìm là : P( x ) = x 3 + 6 x 2 + 12 x + ... chí toán học Ca na đa Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Năm học 2005 - 2006 Sở giáo dục đào tạo Thanh hoá Môn thi : toán học - bảng A (Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao đề) Đề thức... GD&ĐT Thanh hóa Trờng thpt hậu lộc o0o - đề xuất ngân hàng đề Đáp án đề thi Học sinh giỏi THPT Môn Toán Bảng A o0o Chú ý: + Đáp án gồm trang +Nếu thí sinh làm cách khác với đáp. .. thí sinh : Số báo danh Thanh hóa; Ngày 02 tháng 10 năm 2005 Lời giải chi tiết biểu điểm đề thi học sinh giỏi toán khối 12 Bài ý Bài 1 Lời giải chi tiết Điểm a) TXĐ : D = R b) Sự biến thi n: