x x x2 x x x x2 y2 z xt a b ab 2 t 16 yz 12 3 u1 un 1 un un 1 u1 u2 u3 un UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi 22 tháng năm 2011 ================ Câu 1:(5 điểm) 1/ Cho hàm số y x 3x có đồ thị (T) Giả sử A, B, C ba điểm thẳng hàng (T), tiếp tuyến (T) điểm A, B, C cắt (T) điểm A’, B’, C’ (tương ứng khác A, B, C) Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng 2/ Cho hàm số y x 2n 1 2011x 2012 (1) , chứng minh với số nguyên dương n đồ thị hàm số (1) ln cắt trục hồnh điểm Câu 2:(5 điểm) 1/ Giải phương trình: log x log x log x log3 x log x log7 x x 2/ Giải phương trình: 5x 5x x2 x 1 x Câu 3:(3 điểm) Kí hiệu Ck tổ hợp chập k n phần tử k n; k, n , tính tổng sau: n 2009 2010 S C0 2C1 3C 2010 2010C 2010 2011C2010 2010 2010 Câu 4:(5 điểm) 1/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành, AD 4a a , cạnh bên hình chóp a Tìm cosin góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) thể tích khối chóp S.ABCD lớn 2/ Cho tứ diện ABCD có BAC 60 , CAD 1200 Gọi E chân đường phân giác góc A tam giác ABD Chứng minh tam giác ACE vuông Câu 5:(2 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x y Chứng minh rằng: cos x cos y cos xy …………………… HẾT…………………… (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 - (Thời gian làm 180’) ĐỀ SỐ Câu 1: Chứng minh hàm số y = x4- 6x2 + 4x + luôn có cực trị đồng thời gốc toạ độ O trọng tâm tam giác tạo đỉnh điểm cực trị đồ thị hàm số Câu 2: Giải hệ phương trình x+y = 4z 1 y+z= 4x z+x= 4y 1 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề vuông góc oxy cho parabơn (P): y2 = 4x M điểm di động (P) M 0, T điểm (P) cho T 0, OT vng góc với OM a Chứng minh M di động (P) đường thẳng MT ln qua điểm cố định b Chứng minh M di động (P) thì trung điểm I MT chạy pa bol cố định Câu 4: Giải phương trình sau: sinx + siny + sin (x+y) = n Câu 5: Cho dãy số In = 2n 3 cos x dx , x Tính lim In n Câu 6: Cho a > 0, chứng minh ln a 1 a < a 1 a a nN* ĐÁP ÁN Câu 1: (3 điểm ) Tập xác định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + y’ = 4x3 - 12x + y’ = g(x) = x3 - 3x + = (1) Ta có g(x), liên tục g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = g(- 2).g(-1) g(-1).g(1) g( 1).g( 2) g(x) liên tục nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn : - < x1 < -1 < x2 < < x3 < * Ta có y = y’.x- 3.(x2 - x - 2) (1) Gọi điểm cực trị A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) G (x0,y0) trọng tâm tam giác ABC Theo ĐL Viet có x1 + x2 + x3 = (2) x1 x2 + x2x3 = x3 x1 = -3 (3) x x x3 Từ (2) suy x0 = =0 Từ (1) (2) (3) suy ra: 2 y0 = (y1+y2+y3) = -3 ( x12 x2 x3 )-(x1+x2+x3) - 6 = -3 (x1 + x2 + x3)2 - (x1x2 + x2x3 + x3 x1) - 6 = -3 (0 - (-3) - 6) = Vậy G (0;0) 0(0;0) (ĐPCM) Câu 2: ( điểm) x+y = z (1) y + z = 4x (2) (I) đk x,y,z > z + x = 4y 1 (3) áp dụng bất đẳng thức cosi tacó: (4 z 1) z (4 z 1).1 < = 2z (1’) Tương tự x < 2x (2’) y < 2y (3’) Từ (1’) ;(2’) ; (3’) (1) ; (2) ; (3) suy 2(x+y+z) = z x y < 2z + 2x + 2y (4) Từ (4) suy ra: 4z - = 1 (I) 4x - = x=y=z= nghiệm (I) 4y - = 1 Vậy hệ (I) có nghiệm x = y = z = 2 Câu 3: (P): y = 4x y2 M ; y ; T y ; y với y1,y2 0; y1 y2 a (3điểm ) Giả sử 2 y y OTOM OT.OM y y 4 y1 y2 + 16 = (1) y x- y - y1 Phương trình đường thẳng MT: 2 y - y1 y y1 4 4x - y = (y1 + y2) (y-y1) 4x - (y1 + y2) y - 16 = 4(x- 4)- (y1 + y2) y= Nên đường thẳng MT qua điểm cố định J (4;0) b (3điểm) Gọi I (x0, y0) trung điểm MT x0 = y y (1) y y2 y0 = (2) 1 Từ (1) suy x0 = (y1+y2)2 - 2y1 y2 = (2y0)2 - (-16) 8 2 = y y = 2x0 - Từ I chạy parabơn (P) : y2 = 2x = cố định Câu 4: (3 điểm) 3 sin x + sin y + sinz (x+y) = (1) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki từ (1) ta có 27 3 ( ) = [sinx + siny + sinz (x+y)] < (12 + 12+12).(sin2x + zin2 y + sin2(x+y)) cos x cos y = +sin2 (x+y) 2 = 3.[1- cos (x+y) cos (x-y) + - cos2 (x+y)] 1 = 2-(cos (x+y)+ cos (x-y)2) + cos2 (x-y) 27 < (2- + ) = (2) (Do cos2 (x-y) < 1; (cos (x+y) + cos (x-y)2 > 4 Từ (2) suy ra: cos2 (x-y) = 1 (1) cos (x+y) + cos (x-y) = sinx = sin y = sin (x+y) = x 2k y 2n víi k , n Z 4n In Câu 5: (3 điểm) 2n Ta chứng minh: = 2n n = 2n sin x < x2 dx x x * Ta có: n In < 2n cos x dx = x * Ta có: In = k n => JK = 2k (1) 4n d (sin x) sin x 4n = x x 2n n 4n n sin x.d ( x ) 2n sin x dx x2 x 2n , 4n nên x2 4n 1 = 2n n 2n n n 1 ( k 1) ( k 1) cosx dx x < In < n Ta có: In 2k sin x + x2 sin x dx đặt JK = x2 ( k 1) ( k 1) sin x dx > x2 ( k 1) 2k ( k 1) (2) sin x dx x2 sin x ( x 2k )dx >0 (x )2 n 1 Ta lại có: In = Jk (3) nên In > (4) k n Từ (2) (4) suy < In 4n (1) = nên Lim I n n 4n Câu 6: (3 điểm) ln a 1 a < (1) với a > a 1 a3 a Trong hợp 1: a >1 (1) (a + a )lna < (1 + a ) (a-1) (2) Đặt x = 3 (2) 3(x +x) lnx < (1+x).(x -1) x > 3 x + x - x - - (x +x)lnx > (3) x > Đặt f(x) = x4 + x3 - x - -3 (x3 + x)lnx x 1;+ ) Ta lại có Lim n a => x >1 (3) Ta có f’(x) = x3 + 3x2 - - (3x2 + 1) lnx + (x3 + x) x = 4x3 - - (3x2 + 1) lnx 1 f”(x) = 3.(4x2 - 3x - 6xln x - ) f(3)(x) = ( 8x + -6ln x - 9) x x 6(4 x x 1) 6( x 1)(4 x x f(4)(x) = 3.(8- ) = = > , x > x x x3 x3 Suy f(3)(x) đồng biến nên [1;+ ) f(3)(x) > f(3)(1) = tương tự f’(x)> với x > f(x)> f (1) = với x >1 suy (3) Trường hợp 2: < a < đặt a = , a1 > quay trường hợp a1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài 1) ( điểm) ĐỀ KIỂM TRA MƠN TỐN LỚP 12 Thời gian : 45 phút (Dành cho lớp chuyên Anh) Cho hàm số y = x3 x 3x 3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Xác định m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : x3 – 6x2 + 9x – = 3m2 – 7m 3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết tiếp tuyến qua điểm A( 1; Bài 2) ( điểm) Cho hàm số y = ) x3 có đồ thị (C) x 1 Xác định m để đường thẳng d: y = m(x – 3) + cắt đồ thị (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh ĐÁP ÁN Bài 1) ( điểm) 1) (3 điểm) + TXĐ: D = R + lim y , lim y x x + y’ = x – 4x + , x 1 y y’ = x y +BBT x y’ y - + 0 - + + + - + Hàm số đồng biến khoảng (- ; 1) ( 3; + ), nghịch biến khoảng (1; 3) Điểm cực đại đồ thị (1,0), điểm cực tiểu đồ thị (3, ) 2 Suy điểm uốn đồ thị (2, ) 3 x + Điểm đặc biệt : x = y , y = x +y” = 2x – , y” = x = y + Đồ thị ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – BẢNG A Nội dung Thang điểm Bài ( điểm) Vì m+n 1 nên họ đường cong (C m ) có cực đại, cực tiểu m+n > -1 Đường thẳng khơng cắt (C m ) nên phương trình: x mx n a vô nghiệm x 1 Nên suy phương trình: x (a m) x n a vô nghiệm a 2a(m 2) m 4n < có nghiệm a 4m 4n > a 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 m n > -1 (C m ) có cực đại, cực tiểu Bài ( điểm) x x>0 e >x+1 Bổ đề: Thật vậy: Đặt f(x) = e x - x - x Ta có: f ( x) e x 1 , x x > f(x) > f(0) = e x > x+1 x >0 Áp dụng bổ đề ta có: x (0, ) e sin x > 1 sin x 0.25 0.5 0.25 e sin x 3 dx > (1 sin x)dx 1.0 Bài ( điểm) x Điều kiện x Nhận thấy x nghiệm nên phương trình 13 6 3 2x 2x x x t 13 11 Đặt x t phương trình trở thành: t t t 1 x Với t =1 phương trình vơ nghiệm 0.25 0.5 0.5 0.25 x 11 Với t phương trình có nghiệm x x Kết luận: Phương trình có nghiệm x 0.25 Bài ( điểm) Điều kiện: x 5 Đặt x t t x 0.25 x t Phương trình trở thành: t x x t ( x t )( x t 1) x t x 21 x 21 x x x 5 t x 1 17 x 1 x x x x 17 0.25 0.5 1.25 Bài ( điểm) Biến đổi tương đương phương trình cho cos x cos x 3 sin x sin 3x sin x 3 sin x sin x sin x(3 sin x) 3 sin x sin x sin x(1 cos x) 3 0.5 sin x 2 sin x(1 cos x) 3 0.25 Giải (1) ta x=k với k 0.25 3 3 sin x cos 2 x sin x (3) cos 2 x cos 2 x , Áp dụng BĐT Côsi cho số: sin 2 x, 2 0.25 Giải (2): Ta có (2) sin 4x cos 2x sin 4x ta sin 2 x (sin x cos 2 x) cos 2 x cos 2 x 33 2 0.5 sin x cos 2 x sin x cos 2 x 3 sin x cos 2 x sin x 3 1< 3 suy (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm Kết luận: Phương trình có nghiệm x=k với k Bài ( điểm) Trường hợp 1: Tam giác ABC khơng tù, ta có 3 3 sin A sin B sin C 0.25 f ( A) f ( B) f (C ) 0.5 Chứng minh bất đẳng thức Trường hợp 2: Tam giác ABC tù, khơng giảm tính tổng qt giả sử góc C tù, ta có: f ( A) f ( B) f (C ) 0.5 3 3 3 sin A sin B sin C Vì ta có nhận xét: cos C sin C với C góc tù 0.25 Chứng minh trường hợp Bài ( điểm) 0.5 sin A sin B cos C f (1) f (2) f (n 1) f (n) n f (n) Với n , theo giả thiết: f (1) f (2) f (n 1) (n 1) f (n 1) f (n) n f (n) (n 1) f (n 1) n 1 f ( n) f (n 1) n 1 (n 1)(n 2) với n f (n) f (2) (n 1)n n(n 1) f (1) 2; f (2) thoả mãn công thức nên f ( n) n * n(n 1) Vì f (1) f (2) f (2) f (2) Bài ( điểm) Điều kiện x,y,z>0 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 log x log y log z Với điều kiện hệ phương trình log y log x log z log 16 z log 16 y log 16 x log x yz log y xz log 16 z yx x yz 16 y xz 81 z yx 256 0.5 0.5 0.75 x 27 Giải hệ phương trình ta y nghiệm hệ phương 32 z trình Bài ( điểm) Gọi O,M,N,P,Qlần lượt trung điểm cạnh: CD, AC, CB, BD, DA Suy raMNPQ hình bình hành O khơng thuộc (MNPQ) Ta có (MO+OP) +(NO+OQ) >MP +NQ =2(PQ +QM )>(PQ+QM) Vậy: (MO+OP) +(NO+OQ) >(PQ+QM) 1 1 1 2 2 2 2 (đpcm) ( AC BD) ( AD BC ) > ( AB CD) Hay ( AD BC ) ( BD AC ) >( AB+ CD)2 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 Bài 10 ( điểm) Ta có (1 x ) n C n x C 2n x (1) n C nn x 2n n * 1 0 n n (1 x ) n dx (1 C n x C x (1) n C n x n )dx = = C n C n2 Tính I n = (1 x ) n dx n (1) n C n 2n (1) 0.5 đặt x= cost, x cos t , t 0, 2 dx sin tdt I n sin n 1 tdt 0.5 0.25 u sin t dv sin tdt 2n đặt 2 0 I n 2n cos t sin n 1 tdt 2n (1 sin t ) sin n 1 tdt 2nI n 1 2nI n In Vậy 2n 2.4 2n I n 1 I0 2n 3.5 (2n 1) 2.4.6 2n In= 1.3.5 (2n 1) (2) Từ (1) (2) đpcm Lưu ý: Các cách giải khác cho điểm tối đa Phần nhận xét không chứng minh cho 0.25 điểm SỞ GD-ĐT THANH HĨA TRƯỜNG THPT THỐNG NHẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn: Toán Thời gian: 180 Phút Giáo viên đề : Trịnh Văn Hùng Bài : (4điểm ) mx Cho đường cong ( Cm) : y x ( m tham số |m | 2) 2x m Tìm điểm trục hồnh mà từ vẽ hai tiếp tuyến với đường cong (C m ) mà chúng vng góc vơí (Giải tích - Tốn nâng cao 12 Tác giả Phan Huy Khải ) nx b) Cho In = e x dx với n số tự nhiên 01 e Tìm lim In n ( Toán nâng cao lớp 12 Phan Huy Khải ) Bài 2: (4 Điểm ) a) Giải biện luận phương trình sau theo tham số a x - a x =1 ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Giải bất phương trình 12x 2x - 2 x 9x 16 ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) Bài ( 4điểm ) a)Giải Phương trình :2sin(3x+ ) = sin 2x cos2 2x b) Tam giác ABC có góc thõa mãn : 2sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos C Chứng minh : tam giác ABC tam giác ( Báo Toán học tuổi trẻ 5/2004) Bài 4(4điểm) : +cos A B +3cos 2 x n nx n 1 x 1 ( x 1)2 a)Cho n số nguyên dương , tìm giới hạn A = lim ( Tốn bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) log x log (23 y ) b) Giải hệ phương trình y3 (3x ) log log (Đại số sơ cấp tác giả Trần Phương) Bài ( 4điểm) : a) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình thang có cạnh AD =2 BC Gọi M,N hai trung điểm SA , SB tương ứng Mặt phẳng (DMN ) cắt SC P Tính tỉ số điểm P chia đoạn thẳng CS ( Toán bồi dưỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Cho a,b,c số thực lớn 2 2 b Chứng minh : log a c + log a c + log c b 3 b a ( Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,tác giả Trần Phương) Hết ĐÁP ÁN Câu Gọi M(x0;0 ) điểm cần tìm Đường thẳng ( )qua M có hệ số góc k có phương trình y= k( x-x0) Để( ) tiếp tuyến đường cong phương trình sau có nghiệm kép (0,5đ) x mx k(x x ) 2x m ( 1- 2k) x2+(m+2kx0-mk)x +1+mkx0=0 có nghiệm kép 2k [k (2x m) m] 4(1 2k )(1 mkx ) k (2) (I ) k (2x m) 4k (2 mx ) m (3) Bài tốn trở thành tìm điều kiện để (I) có hai nghiện phân biệt k1, k2 k1.k2 = -1 (0,5đ) thay (2) vào (3) ta có : (2x0-m) +m2 + 12 (4) Vì (4) nên hệ (I) (3) Điều kiện cần tìm : 2x m m m2 x0 1 2 ( x m) (2x m) m ( 2x0 +m)2 = 4-m2 ( m 2) (5) Nếu m > (5) vơ nghiệm Nếu m < (5) có hai nhghiệm cần tìm với x0 = Vậy có hai điểm M(x0;0) cần tìm với x0 = m± e nx e ( n 1) x b) Ta có x ( 0;1) : > In > In+1 e x e x m2 m± m2 (0,5đ) Mặt khác e nx > x (0;1) e x In >0 n Vậy {In} dãy đơn điệu giảm bị chặn , nên tồn lim I n (0,5đ) n Ta có In + In+1 = e In = e (n x ) dx e x nx e 1 n - In-1 1 n = e ( n 1) x dx = e ( n 1) 1 n 1 (*) (0,5đ) Rõ ràng : lim I n = lim I n 1 n n e 1 n =0 nên từ (*) suy lim I n = lim n n 1 n lim I n = (0,5đ) n Bài 2: a) Giải biện luận phương trình theo tham số a: x - a x =1 ax0 x 1 1 a x xa 2x a a x xa a x 2 f ( x ) 4x 4(a 1) a 4a (2) (3) (4) Ta xét trường hợp sau: +) Nếu a < a > a nên hệ (2) (3) (4) vô nghiệm tức (1) vô nghiệm +) Nếu a=0 hệ (2), (3), (4) có nghiệm x=0 a xa (5) +) Nếu a >0 ta có f ( x ) 4x 4(a 1) x a 4a (4) Xét tam thức f(x) có f( a )= -2a < f(a) = a2 > (0,5đ) Vậy theo định lí đảo (4) có hai nghiệm x1,x2 thỗ mãn x1< a < x2 < a (1đ) Kết luận +) Nếu a < (1) vơ nghiệm +) Nếu a 0 (1) có nghiệm x= a 2a b) Giải bất phương trình 12x (1) 2x - 2 x 9x 16 Nhân biểu thức liên hợp vế trái ta có ( Với x [-2;2] ) 2(6x 4) 6x 2x 2 x 9x 16 (3x 2)[ 9x 16 2( 2x 2 x ] (3x 2)(9x 8x 32 16 2x (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (3x 2)(x 2x )(8 x 2x Do 8+x+2 2x 2x 4 x nên (2) (3x-2) (x-2 2x ) Tập nghiệm bất phương trình T = [ -2; Bài ( 4điểm ) a)Giải Phương trình :2sin(3x+ 2 )( ; 2] 3 ) = sin 2x cos2 2x sin(3x ) (2) 4 sin (3x ) sin 2x cos 2x (3) Giải (2): ) ] = 1+ 8sin2x(1-sin22x) 2+ 2sin6x = 1+ 8sin 2x-8sin32x 2+ 2(3sin2x-4sin32x) = 1+8sin2x-8sin32x (2) 2[1-cos(6x + (1đ) (0,5đ) sin2x = x k 12 5 x 12 (k,lZ ) (0,5đ) + kả vào (2) ta có : 12 k VT(2) = sin( 3k ) (1) k=2n ,n Z x= + 2nả nghiệm (1) 12 5 +) Thay x= vào (2) ta có : 12 3 1 VT(2) = sin( 3 ) (1) l=2m-1;m Z 12 5 (2m 1) họ nghiệm (1) x= 12 5 (2m 1) ; (n,mZ) Vậy (1) có hai họ nghiệm : x= + 2nả x= 12 12 +)Thay x= b) Ta có sinA +sin B = sin (1đ) AB AB C cos cos dấu ( = ) xảy 2 C (sin A + sinB ) cos A = B 2 A Tương tự : (sin B + sinC ) cos 2 B (sin C + sinA ) cos 2 (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3), suy : 2sinA + 3sin B + sin C 5cos Đẳng thức xảy tam giác ABC A B C +3cos +cos 2 (1đ) (1đ) Bài : x n nx n 1 x 1 ( x 1)2 a)Cho n số nguyên dương , tìm giới hạn A = lim ta có xk -1 = (x-1)(1+x+x2+ ……….+xk-1) (0,5đ) (0,5đ) ( x 1)(1 x x x n 1 n ) ( x 1) ( x 1) ( x n 1 1) lim x 1 x 1 ( x 1) x 1 A lim ( x 1)[1 ( x 1) (1 x x n )] n (n 1) A lim . (n 1) x 1 x 1 Vậy : A = n (n 1) (0,5đ) log x log (23 y ) b) Giải hệ phương trình y3 (3x ) log log x log 3 2(1 log (23 y )) ( x 3) x ( y 3) y log log log log y 3 (3x ) 2(1 log ) log t Xét hàm số : f(t) = log ( t 3) log với đồng biến (0; + ) (1) t(0; + ) (0,5đ) (1) viết dạng f(x) = f(y) xy (2) (I) x log (x 3) 2(1 log ) (3) (II) x (3) x 22(1log3 ) x 4.2log3x x 4.2log3 log x 2 x 4.(x )log3 x 4.x log3 x1log3 3.x log3 (4) 4 Xét hàm số q(x) = x1log3 3.x log3 (0;+ ) nghịch biến (0;+ ) Nên (4) có nghiệm nghiệm , g(1) =4 Vậy x=1 nghiệm (4) x y x y 1 Khi hệ (II) trở thành x 1 (0,5đ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x=y=1 (0,5đ) Bài5 : a) Đặt DA = a ; DC = b ; DS = c; Từ giả thiết ta CB = a P CS nên đặt: CP = x.CS M, N, P, D mặt phẳng nên DM, DN, DP đồng phẳng ta có: DN = DM +DP (1) Vì M trung điểm SA nên: DM = Vì N trung điểm SB nên: DN = DS DA c a = 2 DS DB = (2) a 2= a + b + c 2 cb (3) Ta có: DP = DC + CP = b + xCS = b + x(c - b) DP = (1-x)b + xc Từ (1), (2), (3) (4) ta có: a b c + + = c + a + (1 x)b + xc 2 2 (4) (0,5đ) a b c + + = a + (1-x) b + ( + x) c 2 2 24 b(1 x ) x 2 x Vậy P SC cho CP = b) Ta có log bc a2 1 CS hay P chia đoạn thẳng CS theo tỉ số k=2 ln a ln a ln a ln( b c) ln bc ln b ln c (0,5đ) Tương tự : log a b log a c a c2 VT(1) 2( b2 ln b ln a ln c ln c ln a ln b ln a ln b ln c + + ) ln b + ln c ln a + ln c ln a + ln b Bổ đề Với x,y,z>0 Thật (*) ( (0,5đ) y z x ≥ (*) + + z + y x+ z x+y y z x +1) + ( +1)+( +1) ≥ +3 x+z z+y x+y [ (y+z) +(z+x) +(x+y) ] ( 1 + + )9 z + y x + z x+y (0,5đ) áp dụng bổ đề ta có : VT(1) (**) Theo Cơsi (**) thỗ mãn (ĐPCM) (0,5đ) Hết ... ab 2 t 16 yz 12 3 u1 un 1 un un 1 u1 u2 u3 un UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời... x x a3 = V a 12 a dấu “=” x = 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Mơn Tốn học – Thời gian làm 180 phút Đề thi bảng A Bài... Thanh sin sin /.Hết SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH Trường THPT Cao lãnh NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm biểu