Tuyển tập đề thi HSG toán lớp 9 cấp thành phố

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Ngày thi: 31/03/2014 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 ( 0,5 điểm) 1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 2014 a b c    và 1 1 1 1 2014 a b c    . Tìm giá trị của biểu thức 2013 2013 2013 1 1 1 . M a b c    2) Tìm số từ nhiên n để 2 2 6 2 5 12 n n   là số nguyên tố. Bài 2 ( 5,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 2 2 2 1 2 0 x x x      2) Giải hệ phương trình 2 2 4 4 2 2 2 4 5 2 9 5 4 2 x y z xy x y z z x y             Bài 3( 2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn: 0 4;0 4;0 4; a b c       và 6. a b c    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 . P a b c ab bc ca       Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tia AI cắt đường tròn (O) tại M ( điểm M khác điểm A). a) Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân. b) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại điểm N ( N khác điểm điểm M) và cắt cạnh BC tại P. Chứng minh  . 2 BAC IP IN  , chứng minh các điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn. Bài 5 (2,0 điểm) 1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5 2 1 x y   2) Cho các lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó. Các tia AP, BP, CP, DP, EP, FP cắt các cạnh của lục giác này lần lượt các điểm 1 2 3 4 5 6 , , , , , M M M M M M ( các điểm này lần lượt khác các điểm A, B, C, D, E, F). Chứng minh lục giác 1 2 3 4 5 6 M M M M M M có ít nhất một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1. ĐỀ CHÍNH THỨC . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Ngày thi: 31/03/2014 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 ( 0,5. Giải phương trình 2 2 2 2 1 2 0 x x x      2) Giải hệ phương trình 2 2 4 4 2 2 2 4 5 2 9 5 4 2 x y z xy x y z z x y             Bài 3( 2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực. tròn. Bài 5 (2,0 điểm) 1) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn 5 2 1 x y   2) Cho các lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó. Các tia AP, BP, CP, DP, EP,