Các bài toán liên quan tới định lí Vi-et rất thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp THCS và thi vào lớp 10. ở bài viết này chúng ta cùng ôn tập những bài toán cơ bản nhất.. Chứng tỏ phư[r]
(1)ĐỊNH LÍ VI-ET THUẬN
Các tốn liên quan tới định lí Vi-et thường gặp kì thi tốt nghiệp THCS thi vào lớp 10
ở viết ôn tập toán Trước hết ta nhớ lại định li Vi-et thuận :
“Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2 x1 + x2 = - b/a x1x2 = c/a ”
Chú ý : Nhiều bạn sử dụng định lí quên giả thiết a ≠ Δ ≥ nên dẫn
tới sai lầm đáng tiếc
Thí dụ : Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 - x - = 1) Tính x12 + x22
2) Chứng minh Q = x12 + x22 + x14 + x24 chia hết cho
Giải : Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Δ = > (hoặc a.c = -1 < 0)
Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = x1x2 = -1 1) x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 12 - 2(-1) =
2) Q = (x12 + x22) + (x12 + x22)2 - 2x12x22 = + 32 - 2(-1)2 = 10 => Q chia hết cho Chú ý : Các bạn giỏi chứng minh Q = x12001 + x22001 + x12003 + x22003 chia hết cho (Đề thi HSG lớp tỉnh Nam Định)
Thí dụ : Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x2 - (m + 1)x + m2 - 2m + = Tìm m để F = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
Giải : Trước hết, phương trình có nghiệm tương đương với Δ ≥ tương đương với (m +
1)2 - 4(m2 - 2m + 2) ≥ hay 3m2 + 10 - ≥ hay ≤ m ≤ 7/3
Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = m + x1x2 = m2 - 2m + Do F = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (m + 1)2 - 2(m2 - 2m + 2) = -m2 + 6m - = -(m - 3)2 +
Với 1≤ m ≤ - ≤ m - ≤ - 2/3 => (m - 3)2 ≤ => -(m - 3)2 ≥ -4 => F = -(m - 3)2 + ≥
Vì F = tương đương với m = 1, nên F đạt giá trị nhỏ m =
Chú ý : Nếu bạn “quên” điều kiện Δ ≥ dẫn đến F khơng có giá trị nhỏ !
Thí dụ : Tìm số nguyên m cho phương trình mx2 - 2(m + 3)x + m + = có nghiệm x1, x2 thỏa mãn : F = 1/ x1 + 1/ x2 số nguyên
Giải : Phương trình có nghiệm x1, x2
Theo định lí Vi-et x1 + x2 = 2(m + 3)/m x1.x2 = (m + 2)/m Do : F = 1/x1 + 1/x2 = 2(m + 3)/(m + 2) = + 2/(m + 2) Ta thấy F số nguyên hay m + ước
(2)Thí dụ : Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phân biệt phương trình : x2 - (m + 3)x + 2m - = mà hệ thức không phụ thuộc m
Giải : Ta có Δ = (m + 3)2 - 4(2m - 5) = m2 - 2m + 14 = (m - 1)2 + 13 > với m Chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm x1 x2 Theo định lí Vi-et :
Khử m ta có : 2(x1+x2) - x1x2 = 11
Thí dụ : Tìm m để phương trình : x2 - mx + m2 - = có nghiệm gấp đơi nghiệm
Giải : Phương trình có nghiệm x1, x2
Tương đương với Δ ≥ hay m2 - 4(m2 - 7) ≥ hay 28 ≥ 3m2
Theo định lí Vi-et ta có :
Giả sử x1 = 2x2 :
Khử x2 phép ta có :
2.(m/2)2 = m2 - tương đương với 2m2 = 9m2 - 63 hay m>sup>2 - m = - m = (thoả mãn) Vậy có giá trị m thỏa mãn m = m = -3
Thí dụ : Cho phương trình : x2 - mx + m2 - = 1) Tìm m để phương trình có nghiệm dương phân biệt 2) Tim m để phương trình có nghiệm nghiệm dương
Giải :
1) Phương trình có nghiệm dương phân biệt
2) Phương trình có nghiệm nghiệm dương khả sau : Khả : = x1 < x2
Khả : x1 < < x2 Khả : < x1 = x2
Tóm lại : Phương trình có nghiệm nghiệm dương m =
Các bạn làm thêm số tập :
1 Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + m2 + 3m + =
(3)b) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m
2 Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m - 15 = 0. Gọi nghiệm phương trình x1, x2
a) Tìm m cho x1 + 5x2 =
b) Tìm số nguyên m cho : F = 1/x1 + 1/x2 số nguyên