Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất2014
Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong giảng dạy mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm chắn kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh, biết lựa chọn phương pháp học vào giải toán điều cần thiết Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số dạng tốn phổ biến quan trọng chương trình phổ thông, thường gặp đề tuyển sinh đại học – cao đẳng chuyên đề hay gặp đề thi chọn học sinh giỏi phổ thông Các giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đa dạng phong phú Cả lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển tư cho học sinh Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc nhiều vào đặc thù toán Đứng trước toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski…Vì việc lựa chọn phương pháp giải toán với toán quan trọng Trong viết tập trung vào vấn đề: “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT” Việc lựa chọn cơng cụ hình học vào giải toán đại số cách nhìn mẻ Nội dung phương pháp nhìn tốn đại số theo quan điểm hình học, giải tốn đỏi hỏi phải tọa độ hóa tốn đại số Như vậy, việc chọn hệ trục tọa độ quan trọng Việc chọn hệ trục tọa độ hợp lý giúp cho việc giải tốn nhanh gọn, sáng Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu liên quan khác,… - Phương pháp quan sát: Quan sát trình dạy học trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm - Mục lục - Mở đầu - Nội dung - Thực nghiệm sư phạm - Tài liệu tham khảo Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến PHẦN 2: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ THUYẾT Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc mặt phẳng a) Định nghĩa: x 'Ox , y 'Oy Ox ,Oy Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng vng góc với Trên r r i,j Oxy chọn véc tơ đơn vị Như ta có hệ trục toạ độ Đề-các vng góc b) Toạ độ điểm véc tơ - Cho điểm (Oxy ) M r r i,j tùy ý mặt phẳng Vì hai véctơ khơng đồng phẳng nên có uuur r r OM = xi + yj (x ; y ) (x ; y ) số cho: Bộ hai số hoàn toàn xác định M (x ; y ) M M điểm gọi toạ độ điểm , ký hiệu uuur r r Oxy a M OM = a - Cho mặt phẳng Khi tồn điểm cho Gọi r (x ; y ) (x ; y ) Oxy M a toạ độ điểm Khi hai số gọi toạ độ véc tơ hệ trục r a = (x ; y ) ký hiệu c) Các phép tính véc tơ r r a = (a1; a ), b = (b1;b2 ) k Cho hai véctơ số thực Các phép tính véctơ phép cộng, phép trừ, phép nhân véctơ với số, tích vơ hướng hai véctơ xác định sau: r r a ± b = (a1 ± b1;a ± b2 ) r ka = (ka1; ka ) rr a b = a1b1 + a 2b2 d) Các cơng thức độ dài, góc, khoảng cách: r r a = (a1; a ), b = (b1;b2 ) a Cho hai véctơ gọi góc tạo hai véctơ i) Độ dài véctơ: r 2 a = a1 + a uuu r A B = A B = (x B - x A ) + (y B - y A ) A (x A ; y A ), B (x B ; y B ) ii) Khoảng cách hai điểm : rr a1a + b1b2 a b cos a = r r = 2 a b a1 + a b12 + b2 iii) Góc hai véctơ: Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến e) Phương trình đường thẳng d - Phương trình đường thẳng qua điểm a (x - x ) + b(y - y ) = pháp tuyến là: - Khoảng cách từ điểm M (x ; y ) M (x ; y ) đến đường thẳng d (M ; d ) = nhận véctơ d : ax + by + c = r n = (a;b) làm véctơ là: ax + by + c a + b2 f) Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn tâm I (a;b) , bán kính R là: (x - a )2 + (y - b)2 = R Một số bất đẳng hình học a) Bất đẳng thức véctơ r r r r r r a - b £ a+b £ a + b i) - Dấu “=” bên trái xảy r r a ,b - Dấu “=” bên phải xảy r r r r - a b ££ b a r r a,b r r a b ii) - Dấu “=” bên trái xảy r r a ,b r r a,b ngược hướng hướng ngược hướng r r a =0 r r a =0 r r a =0 r r a =0 hoặc r r b =0 r r b =0 r r b =0 r r b =0 - Dấu “=” bên phải xảy hướng hoặc b) Bất đẳng thức tam giác: A, B ,C A B + BC ³ A C Với ba điểm ta ln có Dấu “=” xảy A, B ,C theo thứ tự thẳng hàng A, B Tổng quát: Trong tất đường gấp khúc nối điểm cho trước đoạn thẳng AB c) Cho điểm H Ỵ d có độ dài nhỏ M nằm đường thẳng ) ngắn H d Khi độ dài đoạn thẳng hình chiếu vng góc M MH (với đường thẳng d II BÀI TẬP Phương pháp: + Biến đổi hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng tọa độ để xác định véctơ, điểm, đường có tọa độ từ điều kiện biểu thức ban đầu Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến + Chuyển toán từ dạng đại số dạng hình học tọa độ, giải tốn phương pháp hình học từ suy kết dạng đại số Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f (x ) = x - x + + x2 - 3x + với xỴ ¡ Giải: Viết lại hàm số dạng: 2 ổ 1ữ ổ ử ỗ ữ f (x ) = ỗx - ữ + ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ 2ữ ỗ ứ ố ø è ÷ Hàm số xác định ¡ Xột trờn h trc ta ổ ỗ ỗx ỗ ç è Oxy 3ư ÷ ÷+ ÷ ÷ ứ ữ ổử ỗ1 ữ ỗ ữ ỗ ữ è2 ÷ ø Cách 1: Chọn r ỉ 3ử r ổ ữ ỗ ỗ u = ỗ- x + ; ữv = ỗx ; ữ ỗ ỗ ữ ç ç 2 ø ÷ ç ç è è 1ư ÷ ; ÷ ÷ ÷ 2ø ÷ ị ổ 1ữ r r ỗ u + v = ỗ - ữ+ ữ ỗ ỗ2 2ữ ữ ỗ ố ứ ổ ỗ1 ữ ỗ + 3ữ = ữ ỗ ỗ ữ ữ ç è2 ø r r r r f (x ) = u + v ³ u + v = Khi Dấu xảy véctơ Vậy f (x ) = Cách 2: Gọi x = r r u, v 3- r r Û u = kv (k > 0) Û ìk = ï ï ï í ïx = - ù ù ợ ổ ữ ổ 1ữ ử ỗ1 ữ B ỗ ; - ữC (x , 0) ỗ ; ỗ Aỗ , ữ ỗ ữ ỗ 2ữ ữ ỗ ữ ỗ2 ữ ỗ è ø è ø 2 ỉ 1ư ổ ữ ữ+ ỗ ữ ỗx - ữ ỗ ữ AC = ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ 2ứ ỗ ữ ố ố ứ ổ ỗ BC = ỗx ỗ ỗ ỗ ố 3ử ữ ữ+ ữ ữ ứ ữ ổử ỗ1 ữ ỗ ữ ữ ỗ2 ứ ố ữ v Nờn ta cú: f (x ) = A C + BC Theo bất đẳng thức tam giác ta có: ỉ 1ử ữ ỗ A C + BC A B = ỗ - ữ + ữ ỗ ữ ỗ2 2ứ ữ ỗ ố ổ1 ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ố 2 3ư ÷ ÷= ÷ ÷ ø ÷ Nên f (x ) ³ 2, " x Î ¡ Trần Mạnh Hân Vậy Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến f (x ) = C giao điểm AB trục Ox , từ x = 3- Bình luận: - Nếu áp dụng phương pháp hàm số việc xét biến thiên gặp khó khăn để f '(x ) = tìm nghiệm phương trình dẫn tới việc giải phương trình bậc - Về cách chọn điểm chọn vectơ 1: r r r r u+v u, v + Cách 1: Việc chọn vectơ cần phải khéo léo để cho số đồng thời dấu “=” phải xảy + Cách 2: Câu hỏi đặt lại chọn cặp điểm ỉ ỉ 1÷ ữ ỗ ỗ1 A ỗ ; ữB ỗ ; - ữ , ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ2 ứ ố 2ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ø A B , BC phải cặp điểm khác, biểu thức tính khoảng cách chọn ỉ ổ 1ử ữ ỗ ữ ỗ1 A ỗ ; ữB ỗ ; ữ , ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ2 ứ ố 2 ứ ữ ỗ ữ ỗ ố thỡ thu c phớa so với trục Ox Khi để tìm giá trị nhỏ cách chọn điểm giao điểm AB ' f (x ) = A C + BC B' đối xứng với trục Ox B qua Ox Nên ta chọn điểm , tức không đổi, ta Lúc A C + BC mà khơng A B nằm tốn s di hn ổ 1ữ ỗ B ' ç ;- ÷ ÷ ç ç2 2÷ ÷ ç è ø M ỉ 1ư ÷ ç B ç ;- ÷ ÷ ç ÷ ç 2ø ữ ỗ2 ố - M rng bi toỏn: + Thứ nhất: Liệu hệ số biểu thức có phải khơng? Nếu thay x2 - x + x2 - x x2 - x - biểu thức hay sao? Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách độ dài véctơ nên biểu thức dấu phải dương + Thứ hai: Hệ số x2 hai biểu thức hàm số có thiết phải khơng? Nếu khơng sao? Ví dụ: f (x ) = x - x + + 2x - x + Trả lời: Do áp dụng: “Trong tất đường gấp khúc nối điểm đoạn thẳng AB A, B cho trước có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách điểm đầu cuối không Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến A (m , n ), B ( p, q) A (x + m , n ), B (x + p, q) A, B đổi, nên cặp điểm phải có dạng hoặc A (m , y + n ), B ( p, y + q) A (x , y ), B (x + p, y + q) m , n , p, q (trong giá trị C không đổi) Và với điểm thay đổi áp dụng cơng thức khoảng cách để tính A C , BC x2 ta hệ số + Thứ ba: Khi thay hàm số lớn nhỏ hay không? f (x ) = x - x + - Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số f (x ) x2 - 3x + đạt giá trị đạt giá trị lớn Nếu muốn ỉ ỉ 1ử ữ ỗ ữ ỗ1 A ỗ ; ữB ç ; ÷ , ÷ ç ç ÷ ç 2ữ ữ ỗ2 ứ ố ữ ỗ ữ ỗ è ø tìm giá trị lớn hàm số ta chọn cho phía so f (x ) = A C - BC £ A B Ox với trục ta có Từ ta tìm giá trị lớn hàm số + Thứ tư: Ta tìm thêm giá trị lớn hàm số không? Trả lời: Nếu giới hạn biến hàm số x lại tập D ta tìm giá trị lớn Các vấn đề áp dụng trình bày qua tốn Bài 2: Tìm giá trị lớn hàm số: f (x ) = x - 2px + 2p + x - 2qx + 2q ,( p, q hai số cho trước) Giải: p + q > TH1: Xét Trên mặt phẳng tọa độ Oxy f ( x ) = ( x - p )2 + p + Rõ ràng có: A (x - p; p ); B (x - q, - q ) xét điểm Khi : (x - q)2 + q = OA + OB OA + OB ³ A B A B = (q - p)2 + ( p + q )2 Mà khơng đổi với vị trí A B Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến ( (q - p)2 + p + q f (x ) ³ Vậy ta ln có ) A,O, B Dấu "=" xảy theo thứ tự thẳng hàng uuu r uuu r OA = (x - p; p ), BO = (q - x ; q ) Ta có Khi Û A,O , B theo thứ tự thẳng hàng p qp + pq x- p = Û x= q- x q p + q Do độ dài đoạn AB khơng đổi với vị trí A, B nên ta có: ỉp + pqư ÷ çq ÷ f (x ) = f ç ÷= A B = ( p - q)2 + ( p + q )2 ỗ ỗ p + |q| ữ ữ ữ ỗ ố ứ TH2: Xột | p | + | q |= Û p = q = f (x ) = x Û f (x ) = 0, x = Lúc f (x ) = ( p - q)2 + ( p + q )2 Vì vậy, với trường hợp ta có: a, b, c, h x , y, z Bài 3: Cho bốn số dương cho trước ba số thực thay đổi cho ax + by + cz = k , k ( số cho trước) Tìm giá trị nhỏ hàm số: f (x , y , z ) = a h + x + b h + y + c h + z (1) Giải: Trên hệ trục Ouv , lấy điểm: A (ah, ax ), B ((a + b)h; ax + by ), C ( (a + b + c )h; ax + by + cz ) Ta có: Vậy OA = a h + x ; A B = b h + y , BC = c h + z f (x ; y ; z ) = OA + A B + BC , (2) OA + A B + BC Và C ((a + b + c )h; k ) độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O (0; 0) Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến Từ (2) suy : f (x ; y ; z ) ³ OC = k + h (a + b + c )2 , Dấu "=" (3) xảy ta tự thẳng hàng Û Û O , A, B , C (3) theo thứ k ax ax + by ax + by + cz Û x =y =z = = = ah ah + bh ah + bh + ch a + b+ c Nh vy: ổ k k k fỗ ; ; ỗ ỗa + b + c a + b + c a + b + è ÷= k + (a + b + c )2 h ÷ ÷ c÷ ø (4) Từ (3) (4), ta có: f (x ; y ; z ) = k + (a + b + c )2 h x =y =z = k a + b+ c Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : f (x ) = x - 2x + + x + 2x + miền ì ü ï ï D = ï x | - £ x £ 1ï í ý ù ù ù ù ợ ỵ Phõn tớch: Nếu làm ta tìm giá trị nhỏ mà khơng tìm giá trị lớn Với ta sử dụng định lí: “Mọi hàm số liên tục đoạn có giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn đó” Giải: Viết lại hàm số dạng: f (x ) = + (x - 1)2 + Xét hệ trục tọa độ + (x + 1)2 Ouv , xét điểm cố định M (1;1 - x ) điểm chuyển động - Khi ££ x £ 1- x £ ta M N (2;2) giới hạn đoạn thẳng M 0M với M (1; 0), M 1(1; ) OM = + (x - 1)2 , MN = + ( x + 1) Do: Trần Mạnh Hân f (x ) = OM + MN Suy f (x ) + Vậy Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến ON Nên f (x ) ³ ON ³ đạt GTNN M 0M O, M , N + Và ;1] M Ỵ [M 0M ] max f (x ) = + x Î [- Vậy M (1;1) Dễ dàng tìm max f (x ) = max (OM + MN ) x Ỵ [- ;1] theo thứ tự thẳng hàng hay hay M giao điểm x = = max{OM + M 0N ;OM + M 1N } = + f (x ) = x =1 x Ỵ [- ; ;1] x = Bình luận: - Bài sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình khơng khó f '(x ) = - Sử dụng phương pháp giảng dạy phù hợp với chương trình lớp 10, phần hệ trục tọa độ mặt phẳng x, y Bài 5: Cho số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x - 1)2 + y + (x + 1)2 + y + y - (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006) Phân tích: M (x - 1; - y ), N (x + 1; y ) Hai thức làm ta nghĩ tới tọa độ điểm sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai thức Tuy nhiên cần khéo léo chọn để dấu xảy Giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , xét điểm OM + ON = (x - 1)2 + y + M (x - 1; - y ) N (x + 1; y ) , (x + 1)2 + y Ta Do OM + ON ³ MN Đẳng thức xảy (x - 1)2 + y + nên M ,O, N (x + 1)2 + y ³ + y theo thứ tự thẳng hàng Từ ta x = A ³ + y + y - = f (y ) Do Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến Ta tìm giá trị nhỏ + Nếu hai trường hợp: f (y ) = + y + - y y< f '(y ) = f (y ) ta 2y 1+ y 3 - 1; f '(y ) = Û y = Bảng biến thiên Từ suy ra: + Nếu Vậy y³ f (y ) ³ + , tương tự ta A ³ 2+ x = 0, y = Khi 3, " y < A =2+ x, y nên giá trị nhỏ A Bình luận: Nếu chọn cặp điểm 2+ Dấu xảy 3 f (y ) = + y + y - ³ > + với số thực 3 y= M (x - 1; y ), N (x + 1; y ) 2+ MN = nhỏ khơng có dấu “=” xảy Vì vậy, việc chọn tọa độ phải tinh tế Bài 6: Với xỴ ¡ , tìm giá trị nhỏ hàm số: f (x ) = 2x - 2x + + 2x + ( + 1)x + + 2x - ( - 1)x + Giải: Phân tích vế trái: 2 f (x ) = (x - 1) + x + æ ỗ ữ ỗx + ữ + ữ ỗ ç ÷ ÷ è ø ỉ 1ư çx + ữ + ữ ỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố ổ ỗ ỗx ỗ ỗ ố 3ữ ữ+ ữ ữ ữ ứ ổ 1ử ỗx + ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ 2ứ ố 10 Trn Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến 2 æ 1ư ỉ 1ư 1 ÷ ÷ (x + y + z ) + ỗ + + ữ = 81(x + y + z )2 + ỗ + + ữ - 80(x + y + z )2 ỗ ç ÷ çx y z ø çx y z ÷ ÷ ÷ è è ø Ta có ỉ 1ư ÷ ³ 18(x + y + z ) ç + + ÷ 80(x + y + z )2 162 - 80 = 82 ỗ ỗx y z ÷ ÷ è ø r r r r r r u + v + w ³ u+v+w Áp dụng bất đẳng thức Ta A³ 82 Dấu "= " xảy véctơ r r r u, v, w Bài 10: Cho số thực dương biểu thức : P = a, b, c hướng thỏa mãn a + 2b2 + ab x + y + z =1 x =y =z = hay ab + bc + ca = abc b + 2c + bc Tìm giá trị nhỏ c + 2a ca Giải: P = Ta có + + b a Trong hệ trục tọa độ Khi ta có + + c b Oxy + 2 a c , xét ba véctơ ö ö r ỉ 2÷r ỉ ÷ r ỉ ữ ỗ1 ỗ ; ữv = ỗ1 ; ữw = ç1 ; ÷ ç ç u =ç ; ; ÷ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗb a ữ ỗc ça ÷ ç ç ç è ø è b ÷ ø è c ÷ ø r a + 2b2 r b2 + 2c r c + 2a u = ;v = ;w = ab bc ca r ỉ 1 r r 2ư r r ữ ỗ1 r ữ u + v + w = 3ổ + + ỗ1 u + v + w =ỗ + + ; + + ữ ỗ ỗ ữ ỗa b ỗa b c a b c ứ ữ ỗ ố ố 1ữ ữ= ữ c÷ ø ; ab + bc + ca = abc Û Vì 1 + + =1 a b c r r r r r r u + v + w ³ u+v+w Áp dụng bất đẳng thức ta : P ³ 14 Trần Mạnh Hân Vì ba véctơ khác r nên dấu "=" xảy véctơ Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến r r r u, v, w hướng ab + bc + ca = abc Vậy P = a =b =c = Bình luận: Đây dạng đề thi Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2000 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ hàm số : f (x ) = x +2+ 2 16 32 x x+ + 5 x - 4x + 10 + 2 x - x+ 5 Giải: 2 2.f (x ) = x + + ỉ 16 ỉư ữ + ỗ8 ữ + ỗx ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ứ ố5 ứ è (4 - x) 2 +2 + ổ ữ ổử ỗx - ữ + ỗ8 ữ ỗ ữ ỗ5 ữ ữ ỗ 5ữ ỗ ứ è ø è ÷ Ta có : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét véctơ : r r r 16 r a = (x ;2), b = (x ; ), c = (4 - x ;2), d = (x - ; ) 5 5 2 r ỉ 16 ỉư r 2 ữ + ỗ8 ữ ỗx ữ ỗ ữ a = x + ,b = ỗ ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ứ ố5 ứ ố Ta có : , f (x ) = Khi : r 2ử r r ổ ỗa + b + c + d ữ ữ ỗ ứ 2ố Du xảy r ìa ï ïr í ïb ï ï ỵ r r a,c hướng ì x = k (4 - x ) ï ï ï ï = 2k ï r ï ï = kc r Û ï x - 16 = l æ - ữ ỗx ữ ỗ ữ ù = ld ỗ ữ 5ứ ù ố ù ù8 ù ï = 8l ï ï5 ï ỵ Vậy 2 r ổ ổử r 2 ỗx - ữ + ỗ8 ữ ữ ỗ ữ c = (x - 2) + , d = ỗ ữ ç ÷ ÷ ÷ ç ø è5 ø è f ( x ) = + 2 r r ( ar + cr + b + d ) = + 2 r r b,d hướng, tức : ìk =l =1 ï ï í ïx =2 ï ỵ x = Bình luận: Trong này, việc chọn tọa độ mang ý nghĩa định Nếu chọn hệ tọa độ hợp lý thấy lời giải gọn gàng Qua toán này, ta nhận 15 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến thấy sở trực quan hình học phần giảm nhẹ độ khó tốn Vận dụng hình học toán đại số, giúp học sinh đỡ phải tính tốn cồng kềnh phức tạp n Bài 12: Cho x i , y i (i = 1, 2, , n ) n P =å số thực thỏa mãn : i =1 åy i =1 i =1 Tìm giá trị x i2 + y i2 i =1 nhỏ biểu thức å 2n n xi + Giải: Xét mặt phẳng tọa độ Gọi Mk điểm có tọa độ Nói riêng điểm x + y =1 Gọi H : k ỉk ữ M k ỗồ x i ; y i ữk = 1, 2, , n , ỗ ữ ỗ ữ ỗi =1 ố ứ i =1 n ổn ữ M n ỗồ x i ; y i ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗi =1 ố ø i =1 æk M k - 1M k = çå x i ç ç ç è i =1 Dễ thấy: Oxy n å i =1 mà ÷ ÷ å1 x i ø + ÷ ÷ i= k- chân đường vng góc kẻ từ x + y =1 OH = , 2 n xi + ồy i =1 i =1 ổk ỗ y ỗồ i ỗ ỗ ố i =1 O nờn Mn s nằm đường thẳng: ÷ ÷ å1 y i ø = x k2 + y k2 (k = 1, 2, , n ) ÷ ÷ i= k- đến đường thẳng Khi ta ln có: OM + M 1M + + M n - 1M n ³ OH , Dấu "=" xảy Û y1 x1 = y2 x2 Û O , M 1, M 2, , M n = = yn xn P ³ hay 2 theo thứ tự thẳng hàng Mn º H = t an 450 = Û x = x = = x n = y = y = = y n = 2n 16 Trần Mạnh Hân P = Vậy Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến 2 x i = yi = , (i = 1, 2, , n ) 2n Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số : f (x ; y ) = x + y miền D = { (x ; y ) | x - 2y + ³ 0; x + y + ³ 0;2x - y + £ 0} Giải: D Miền miền tam giác A (0; 4), B (- 4;2),C (- 2; 0) Gọi M (x ; y ) Ỵ D biên Ta có + D A BC M A BC tính biên, với nằm miền nằm OM = x + y Suy : f (x ; y ) = OM ³ OH OH = d (O ; A C ) = , với H 2.0 - + 22 + 12 chân đường cao hạ từ = O + Bài 14: Cho số thực biểu thức : } x = - 4; y = a, b, c, d { max f (x ; y ) = AC f (x ; y ) £ max { OA ;OB ;OC } = max 4; 20;2 = 20 Vậy xuống f (x ; y ) = ; thỏa mãn điều kiện P = - a - 2b + M º B 5 hay x = - 4; y = x =- a + b2 = c + d = 5 - c - 2d + ;y = 5 Tìm giá trị lớn - ac - bd Giải: Nếu gọi M (a ;b), N (c; d ), P (1;2) từ điều kiện điểm nằm đường tròn tâm O bán kính a + b2 = c + d = 5 ta thấy M,N,P 17 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến Và biểu thức viết thành a + b2 + - a - 2b + 2 P = = = ( 2 (a - 1)2 + (b - 2)2 + c2 + d + - c - 2d + 2 (c - 1)2 + (d - 2)2 + a + b2 + c + d - 2ac - 2bd (a - c )2 + (b - d )2 ) (MP + NP + MN ) MNP Vế trái giá trị chu vi tam giác Sử tính chất : "Trong tam giác nội tiếp đường trịn, giác có chu vi diện tích lớn nhất" Nên P đạt giác trị lớn tam giác nội tiếp đường trịn bán kính P £ Vậy : 30 Tức Vậy Bài 15: Cho Khi ta chu vi ỉ 1- - + ỗMỗ ; ỗ ỗ 2 ỗ ố - 1- - 2+ ,b = 2 max P = D MNP 15 Dấu “ = ” xảy a= MNP dụng tam 30 a, b, c, d a= ,c = ö 3÷ ÷N , ÷ ÷ ÷ ø ỉ 1+ - 2- 3ữ ỗữ ỗ ; ữ ỗ ữ ỗ 2 ữ ỗ ố ứ - 1+ - 2,d = 2 - 1- - 2+ ,b = 2 ,c = - 1+ - 2,d = 2 bốn số thực thỏa mãn điều kiện sau : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức : 3 ì a + b2 + = 2(a + b) ï ï í ï c + d + 73 = 14(c + d ) ï ï ỵ P = (a - c )2 + (b - d )2 Giải: 18 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến Từ điều kiện ta có : ì (a - a )2 + (b - 1)2 = ï ï í ï (c - 7)2 + (d - 7)2 = 25 ï ï ỵ Oxy Trong mặt phẳng tọa độ , ta xét điểm M (a ;b), N (c;d ) M,N , từ điều kiện ta thấy hai điểm nằm hai đường tròn O1(1;1) tâm O (7;7) bán kính đường trịn tâm bán kính Và ta có MN = (a - c )2 + (b - d )2 O 1, O G, E cắt đường tròn bé cắt F, H đường trịn lớn Khi tính ta cỏc im : Ni ổ ỗ Gỗ ç ç ç è Ta có ;1 ỉ ổ ổ 2ử ỗ ữ ỗ ữE + ;1 + ữ F ỗ7 - ;7 - ữ H ỗ7 + ;7 + ữ ữ ỗ ữ ç ÷ ; , ÷ ç ÷ ç ÷ ç ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ứ ç 2 ø 2 ø ç 2 ứ ữ ố ữ ỗ ữ ố ữ ố , O1O £ O1M + MN + NO Û O1E + EF + FO2 £ O1M + MN + NO2 Û EF £ MN Và (do O1E = O1M ; FO = NO ) MN £ O1M + O1O + O2N = GO1 + O1O + O 2H = GH Suy Lại có EF £ MN £ GH nên ta có EF £ MN £ GH EF = 2(6 - 2)2 = 36(3 - 2);GH = 2(6 + 2)2 = 36(3 + 2) Từ suy ra: Vậy nên EF £ MN £ GH 36(3 - 2) ££ P P = 36(3 - 2) max P = 36(3 + 2) khi 36(3 + 2) M º E,N º F M º G, N º H a =b = 7- hay a =b = 1- hay 2 ,c = d = + 2 ,c = d = + 2 19 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến Bài 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f (x ) = x + - 4- x miền D = { x | - £ x £ 4} Phân tích: Bài tốn sử dụng tính chất tương đối đồ thị hai hàm số liên tục sử dụng tính chất miền giá trị hàm số Với " x ÎD , ta đặt ìu = x + ï ï ï Þ í ïv = 1- x ï ï î Tức là, xét hệ tọa độ Ouv ì u2 + v2 = ï ï (*) í ï u ³ 0, v ³ ï ỵ u, v thuộc phần đường tròn tâm O bán kính góc phần tư thứ Ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số (*) f (u ; v ) = u - v với điều kiện Giải: y = f (x ) giá trị tùy ý hàm số D miền xác định Tức hệ sau có nghiệm: Gọi a ì x + 1- 4- x = a ï ï (1) í ï - ££ x ï ï ỵ Đặt ìu = x + ï ï ï í ïv = 4- x ï ï ỵ ìu - v = a ï ï ï ï u + v2 = í ï ï u ³ 0, v ³ ï ï ỵ hệ (1) có nghiệm hệ sau có nghiệm : (2) Với ý : Đồ thị hàm số a đơn vị u- v =a Hệ (2) có nghiệm đường thẳng thẳng u - v =- Vậy ta có u- v= max f (x ) = Û x = suy từ đồ thị hàm số u- v =a cắt cung Từ suy - f (x ) = - » AB ££ a u- v =0 tịnh tiến lên , tức nằm hai đường Û x = - 20 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến Bình luận: - Bài sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình khơng khó f '(x ) = - Sử dụng phương pháp dạy cho học sinh lớp 10 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f (x ) = x + - x2 + x - x2 Phân tích: Khi đặt miền y = - x2 ³ D = { x | - £ x £ 2} tốn trở thành : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số f (x , y ) = x + y + xy Điều kiện xác định nửa đường tròn tâm O thỏa mãn ì x2 + y2 = ï ï í ïy ³ ï ï ỵ bán kính lấy phía trục hồnh m y = f (x ) Giải: Gọi giá trị tùy ý hàm số D Tức hệ sau có nghiệm: miền ì ï x + - x2 + x - x2 = m ï ï (1) í ï - ££ x ï ï ỵ Đặt y = - x (y ³ 0) nghiệm: sau có ì x + y + xy = m ï ï ï ï x + y2 = (2) í ï ïy ³ ï ï ỵ x+y+ Suy : hệ (1) có nghiệm hệ (x + y ) - = mÛ (x + y )2 + 2(x + y ) - - 2m= (3) Coi (3) phương trình bậc hai ẩn D ' = + 2m³ Û m³ - x+y Phương trình (3) có nghiệm Hệ (2) có nghiệm hai hệ sau có nghiệm : 21 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến ìx + y = - 1+ ï ï ï ï 2 íx + y = ï ïy ³ ï ï ï ỵ (*) Hệ (*) có nghiệm đường hai đường x + y =2 x + y = - 1+ x + y =- - Tương tự, hệ (**) có nghiệm - Kết luận: Hệ (1) có nghiệm Vậy: x= + 2m 1- + 2m (**) cắt nửa đường trịn, tức nằm Ta suy ra: + 2m£Û 2 - £ - 1+ f (x ) = - ì x + y = - 1ï ï ï ï 2 íx + y = ï ïy ³ ï ï ï ỵ + 2m - ££ m + 2 ££ m - 2 ££ m + 2 ; max f (x ) = + 2 x = Bình luận: Như toán tưởng chừng tầm cách giải thơng thường lại thật gọn nhẹ với phương pháp sử dụng, nhìn tốn đốn mắt hình học Bài 18: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f (x ; y ) = x - y miền { } D = (x ; y ) | (x - 6)2 + (y - 3)2 ³ 25, x + (y - 4)2 £ 25, - 2x + y £ 4, x ³ 0, y ³ Giải: Miền xác định Gọi a D biểu diễn miền tô đậm hình vẽ giá trị tùy ý f (x ; y ) D Điều có nghĩa hệ sau có nghiệm: ìx - y = a ï ï ï ï (x - 6)2 + (y - 3)2 ³ 25, ï ï ï ï x + (y - 4)2 £ 25, í ï ï - 2x + y £ 4, ï ï ï ï x ³ 0, y ³ ï ï ỵ 22 Trần Mạnh Hân Û Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến đồ thị hàm số ì x + (y - 4)2 = 25 ï ï ï ï - 2x + y = í ï ï x ³ 0, y ³ ï ï ỵ Giải hệ: Đường thẳng Đường trịn x - y =a x - y =a x - y =- 4- cắt miền D qua cắt miền qua D suy tạo độ điểm A (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25 Đường thẳng Khi đó: x- y =a B a =- 4- A ( 5;2 + 4) cắt trục hoành B (2; 0), C (10; 0) a = x- y =2 hai vị trí giới hạn mà đường thẳng x- y =a Từ suy ra: max f (x ; y ) = x = 2; y = f (x ; y ) = - - x = 5; y = + III BÀI TẬP ÁP DỤNG Xin đưa số tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy bạn bè đồng nghiệp tham khảo, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số toán chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Tìm giá trị lớn hàm số: f (x ) = x - 2x + + Bài 2: Cho a, b, c > a + b+ c =2 x + 4x + - ££ x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a + ab + b2 + b + bc + c + Bài 3: Tìm giá trị lớn hàm số: c + ca + a y = f (x ) = x - 4x + 29 - x - 4x + ¡ Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f (x ) = x + - 4- x miền D = { x | - £ x £ 4} Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f (x ) = x + + 4- x miền D = { x | - £ x £ 4} Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: 23 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến y = f (x ) = + x + 6- x - (3 + x )(6 - x ) miền D = { x | - £ x £ 6} Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f (x ) = x + Bài 8: Cho hàm số x - x2 miền D = { x | £ x £ 1} f (x ) = A sin x + B cos x ,(A + B ¹ 0) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số + 3a , " x, a Ỵ ¡ cos 3x + a cos 3x + 1 + £ cos 3x b) Chứng minh Bài 9: Tìm giá trị lớn hàm số: f (x ; y ) = x + y + 2x + 12y + 37 + x + y - 6x + 6y + 18 (x + 6)2 + 100 + f (x ; y ) = (x + 1) + Bài 10: Tìm giá trị lớn hàm số Bài 11: Tìm giá trị nhỏ hàm số Bài 12: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x - 2px + 2p + y = a2 + x + x - 2qx + 2q ,( p ¹ q ) a + (c - x )2 ( f (x ) = x + 1993 + Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số miền xác định " x, y, z Ỵ ¡ Bài 14: Chứng minh x + xy + y + Bài 15: Chứng minh Bài 16: Chứng minh Bài 17: Chứng minh * + " x, y Ỵ ¡ 1995 - x ) ta có: y + yz + z + " a, b, c, d Ỵ ¡ ta có z + zx + x ³ 3(x + y + z ) (a + c )2 + (b + d )2 £ a + b2 + c2 + d (x + y )(1 - xy ) £ 2 (1 + x )(1 + y ) ta có: " a, b, c, x , y , z Ỵ ¡ ta có: ax + by + cz £ a + b2 + c x + y + z a) 24 Trần Mạnh Hân b) Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến a + b2 + c + x2 + y2 + z2 ³ Bài 18: Cho ba số thực x , y, z (a + x )2 + (b + y )2 + (c + z )2 đôi khác Chứng minh rằng: x- y + x2 1+ y2 y- z + + y2 + z2 Bài 19: Chứng minh với số thực a) b) a + b2 - 2a - 2b + 37 + a2 + + a + 2a + + 1+ x2 1+ z2 ta ln có a + b2 + 6a - 6b + 18 ³ a - 2a + b2 + + Bài 20: Chứng minh a, b x- z > b2 - 6b + 18 ³ " a, b, c, d Ỵ ¡ a - 2ab + b2 + + ta có: b2 - 2bc + c + + c - 2cd + d + + d - 10d + 26 ³ Bài 21: Chứng minh " a, b, c Ỵ ¡ , abc = ta có: bc ca ab + + ³ 2 ab+ a c bc+ ba ca + cb 2 (Trích đề thi ĐH Nơng nghiệp I năm 2000) Bài 22: Cho x , y , u, v Ỵ ¡ : u + v = x + y = Chứng minh rằng: u (x - y ) + v (x + y ) ³ Bài 23: Chứng minh a) b) " x, y Ỵ ¡ cos2 x cos2 y + sin (x - y ) + ta có: sin x sin y + sin (x - y ) ³ cos x + cos4 y + sin x + sin y ³ sin x + 2 - sin x + sin x - sin x £ c) Bài 24: Chứng minh " a, b ³³ c ta có: c(a - c ) + c(b - c ) £ ab 25 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến Bài 25: Chứng minh Bài 26: Chứng minh Bài 27: Chứng minh Bài 28: Cho n số thực a1 + (1 - a )2 + " a, b, c Ỵ ¡ ta có: a + b2 + c ³ abc(a + b + c ) ì x + xy + y = ï " x, y, z Ỵ ¡ : ï í ï y + yz + z = 16 ï ù ợ " x ẻ [0;1] a1, a 2, , an ta có: x + 1- x + ta có: x + xy + yz + zx £ 1- x £ 2+ Chứng minh rằng: a + (1 - a )2 + + an - + (1 - an )2 + a n + (1 - a1)2 ³ n 26 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến PHẦN 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm để kiểm chứng khả ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Tổ chức thực nghiệm a) Hình thức thực nghiệm: Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo nội dung đề cập phần Sau cho học sinh lớp chọn làm thực nghiệm đo kết thực nghiệm b) Đối tượng thực nghiệm Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm 1) 20 em học sinh cịn lại (nhóm 2) năm học 2013-2014 trường THPT Nguyễn Hữu Tiến – Hà Nam Trong nhóm nhóm thực nghiệm nhóm nhóm đối chứng Chọn học sinh nhóm có lực học tương đương Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm nội dung: Sử dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đánh giá kết thực nghiệm a) Đề kiểm tra: Phát phiếu kiểm tra khả giải tập học sinh: Thời gian 45’ Bài (3đ): Tìm giá trị lớn hàm số: y = f (x ) = x - 4x + 29 - x - 4x + ¡ Bài (4đ): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f (x ) = x + + Bài (3đ): Cho a, b, c > 4- x a + b+ c =2 miền D = { x | - £ x £ 4} Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a + ab + b2 + b + bc + c + c + ca + a b) Kết kiểm tra Điểm Lớp Nhóm (TN) Nhóm (ĐC) 10 Số 1 1 20 20 x = Điểm trung bình: Trong đó: xi : 1 k (n 1x + n 2x + + x k n k ) = å n i x i n n i =1 điểm kiểm tra 27 Trần Mạnh Hân Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến ni : n: tần số giá trị xi số học sinh tham gia ( Kết thu được: x TN = 7, 05; x §C = 5, n = 20 ) Kết luận Dựa kết thực nghiệm thấy kết nhóm thực nghiệm cao lớp đối chứng Số học sinh đạt điểm cao nhóm thực nghiệm vượt trội so với nhóm đối chứng Trong thực tế giảng dạy thấy phương pháp dạy cho học sinh học lớp 10 – học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) phương pháp tọa độ mặt phẳng mức độ (phần hình học) 28 ... BÀI TẬP ÁP DỤNG Xin đưa số tập áp dụng phương pháp tọa độ để quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp tham khảo, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số toán chứng minh bất đẳng thức Bài 1: Tìm giá trị lớn hàm số:... bản, học sinh giỏi sử dụng phương pháp để giải số toán đề thi đại học đề thi học sinh giỏi Ngoài ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Phương pháp tọa độ cịn có nhiều ứng dụng: chứng minh bất... tìm giá trị lớn hàm số + Thứ tư: Ta tìm thêm giá trị lớn hàm số khơng? Trả lời: Nếu giới hạn biến hàm số x lại tập D ta tìm giá trị lớn Các vấn đề áp dụng trình bày qua tốn Bài 2: Tìm giá trị lớn