Về phương pháp lặp landweber tìm nghiệm bài toán đặt không chỉnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ————oOo———— NGÔ THỤY KHUYÊN VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP LANDWEBER TÌM NGHIỆM BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2014 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG TP HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Văn Kính Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách khoa, ĐHQG Tp HCM, ngày tháng năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Tp HCM, ngày tháng năm 2014 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên : Ngô Thụy Khuyên Phái : Nữ Ngày sinh : 29/09/1984 Nơi sinh : Đồng Nai Chuyên ngành : Toán ứng dụng MSHV : 12240574 I TÊN ĐỀ TÀI: VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP LANDWEBER TÌM NGHIỆM BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: • Nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh phương pháp lặp Landweber • Nghiên cứu vấn đề gia tốc phương pháp lặp Landweber để giải tốn tuyến tính đặt khơng chỉnh • Áp dụng cho toán cụ thể III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 20/01/2014 IV - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 20/06/2014 V - CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS Nguyễn Văn Kính CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO PGS TS NGUYỄN VĂN KÍNH TRƯỞNG KHOA: LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn bày tỏ lịng kính trọng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Kính, Trưởng khoa Khoa học - Đại học Công nghiệp Thực phẩm TP Hồ Chí Minh Thầy ln quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện giúp tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến tất Thầy Cơ mơn Tốn ứng dụng - Khoa Khoa học ứng dụng, phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy tạo điều kiện cho tơi học tập, nghiên cứu suốt khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn tới tập thể bạn khóa 2012 lớp cao học Tốn ứng dụng, người thân gia đình đồng hành, chia sẻ, động viên lúc tơi gặp khó khăn ln giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn Ngô Thụy Khuyên i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn hồn tồn tơi thực Các đoạn trích dẫn số liệu sử dụng luận văn dẫn nguồn có độ xác cao phạm vi hiểu biết Tác giả Ngô Thụy Khuyên ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Bảng ký hiệu v Lời nói đầu vi CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Phổ toán tử tuyến tính liên tục 1.1.1 Toán tử liên hợp 1.1.2 Toán tử tự liên hợp 1.1.3 Toán tử chiếu 1.1.4 Phổ toán tử tuyến tính liên tục 1.1.5 Phổ toán tử tự liên hợp 1.2 Đạo hàm Fréchet 1.3 Toán tử ngược Moore-Penrose 1.4 Bài toán đặt chỉnh, tốn đặt khơng chỉnh 1.5 Phương pháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp chỉnh Tikhonov 1.6 Phương pháp lặp Landweber điều 1 2 10 12 20 PHƯƠNG PHÁP NỬA LẶP LANDWEBER TÌM NGHIỆM BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH 28 2.1 Phương pháp nửa lặp Landweber cho tốn tuyến tính 28 2.2 Phương pháp ν 43 iii ỨNG DỤNG 46 Kết luận 52 Phụ lục 53 Tài liệu tham khảo 59 iv BẢNG KÝ HIỆU C[a,b] L2[a,b] o (.) O (.) sup inf lim ⊕ L (X) Không gian hàm liên tục [a, b] Khơng gian hàm bình phương khả tích [a, b] Đại lượng vô bé bậc cao Đại lượng vô bé bậc Cận Cận Giới hạn Tổng trực tiếp Tập tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X v LỜI NÓI ĐẦU Trong lĩnh vực khoa học - kỹ thuật, đặc biệt toán học có nhiều tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Đối với loại tốn khơng thể dùng phương pháp thơng thường để tìm nghiệm gần chúng, mà phải sử dụng phương pháp biến phân đặc biệt Luận văn nghiên cứu phương pháp lặp Landweber để tìm nghiệm tốn đặt khơng chỉnh tuyến tính Ngồi lời nói đầu, mục lục, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, tác giả trình bày số khái niệm kết biết giải tích hàm liên quan đến nội dung nghiên cứu luận văn: phổ tốn tử tuyến tính liên tục, đạo hàm Fréchet, toán tử ngược Moore – Penrose, khái niệm toán đặt chỉnh toán đặt không chỉnh, phương pháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp lặp Landweber Chương : PHƯƠNG PHÁP NỬA LẶP LANDWEBER TÌM NGHIỆM BÀI TỐN TUYẾN TÍNH ĐẶT KHƠNG CHỈNH Chương nghiên cứu gia tốc phương pháp lặp Landweber, đánh giá chứng minh hội tụ Bên cạnh đó, chương tác giả trình bày ví dụ cho phương pháp nửa lặp cụ thể phương pháp ν Chương : MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trình bày so sánh phương pháp lặp Landweber với số phương pháp khác giải phương trình Fredholm loại cụ thể Ngồi ra, tác giả cịn trình bày kết ứng dụng phương pháp lặp Landweber việc khử nhòe cho ảnh Luận văn thực với nổ lực tác giả, trình độ có hạn thời gian nên khơng tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận thơng cảm, đóng góp ý kiến quý Thầy Cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện vi Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Phổ tốn tử tuyến tính liên tục Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.1.1 [2] Giả sử X, Y không gian Hilbert xác định trường số K R C T : X −→Y toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, tốn tử liên hợp T ∗ : Y −→ X toán tử tuyến tính liên tục xác định cơng thức T ∗ y, x = y, T x , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y Nhận xét: • Tương tự ta định nghĩa toán tử liên hợp T ∗ , kí hiệu T ∗∗ = (T ∗ )∗ Nếu X, Y không gian Hilbert T : X −→Y tốn tử tuyến tính liên tục T ∗∗ = T • Cho X, Y không gian Hilbert T : X −→Y tốn tử tuyến tính liên tục, ta kí hiệu N (T ) = KerT = T −1 (0) = {x ∈ X : T x = 0} , R (T ) = ImT = T (X) = {y ∈ Y : y = T x, ∀x ∈ X} Khi N (T ) khơng gian đóng X R (T ) không gian Y Định lý 1.1.1 [2] Cho X, Y hai không gian Hilbert, T : X −→ Y tốn tử tuyến tính liên tục Khi (i) R(T )⊥ = N (T ∗ ) N (T )⊥ = R (T ∗ ), (ii) X = N (T ) ⊕ R (T ∗ ) Y = N (T ∗ ) ⊕ R (T ) Chứng minh Từ Định lý 2.2.1, ta có b λ−2ν d (Eλ x, x) ≤ C, < a < b < 1, a với x = F + y C số dương không phụ thuộc vào a, b Cho a → ta có điều phải chứng minh ✷ Chiều ngược lại định lý đúng, tức F + y − xk = o k −2ν , k → ∞ F + y ∈ Xν (xem [6] ) 45 Chương ỨNG DỤNG Xét tốn đặt khơng chỉnh có nhiều ứng dụng toán phát sinh từ kĩ thuật Một sơi dây đàn hồi có độ dài l, giả sử đầu mút dây bị giữ chặt điểm x = x = l Ở vị trí cân bằng, dây trùng với trục Ox, ≤ x ≤ l Giả sử x = α đặt lực thẳng đứng pα lên dây Khi đó, sợi dây bị lệch khỏi vị trí cân có dạng hình Hình Giải tốn tìm lực p để dây có độ võng u dẫn đến việc xét phương trình l u (x) = G (x, ξ) p (ξ) dξ, x(l−ξ) T0 l , ξ(l−ξ) T0 l , 0≤x≤ξ , với T0 lực căng dây khơng ξ giá trị riêng khác toán tử tự liên hợp K ∗ K, {vn }n∈N hệ vectơ riêng trực giao đầy đủ với vectơ riêng K ∗ K {un }n∈N Kvn xác định sau un := Kv Khi hệ (σn , , un ) gọi n hệ kỳ dị Định lý Lebesgue (hội tụ bị chặn) Giả sử (i) fn hàm đo A tồn hàm g khả tích A cho |fn (x)| ≤ g (x) , ∀n ∈ N ∗ , ∀x ∈ A, (ii) lim fn (x) = f (x) với x ∈ A n→+∞ Khi đó, ta có f dµ = lim fn dµ n→+∞ A A 53 Spline Tập đa thức định nghĩa đoạn kề để nối lại với tạo nên đường cong liên tục gọi đa thức riêng phần (piecewise polynomials) Một spline S : [a, b] −→ IR, hàm đa thức riêng phần (piecewisepolynomial) với hệ số thực khoảng thời gian [a, b] gồm k khoảng [ti−1 , ti ] với a = t0 < t1 < < tk−1 < tk = b Ví dụ Cho hàm g(t) bao gồm ba đa thức a(t), b(t), c(t) sau :   t ∈ [0, 1]  a (t) = t , g (t) = b (t) = 34 − t − 32 , t ∈ [1, 2]   c (t) = (3 − t)2 , t ∈ [2, 3] Có thể kiểm chứng g(t) liên tục [0, 3], nên đường cong chỗ nối trơn g(t) ví dụ hàm Spline Giá hàm số Định nghĩa 3.0.3 Giả sử f : X −→ R, giá hàm số f (the support of function), ký hiệu supp(f) tập hợp điểm mà hàm số không lấy giá trị 0, tức supp (f ) = {x ∈ X : f (x) = 0} Code Matlab n = 50; N = n + 1; h = 1/n; h2 = h2 ; t = 2/3; A = zeros(N, N ); s = 1; 54 k1 = 4; nu = 0.5; nu1 = 9/8; k2 = 47; k = 29; f ori = : N A(i, i) = (pi2 ) ∗ h2 ∗ ((i2 − i + 0.25) ∗ h − (i − t)); f orj = : i − A(i, j) = (pi2 ) ∗ h2 ∗ (j − 0.5) ∗ ((i − 0.5) ∗ h − 1); end end A = A + tril(A, −1) ; norm(A) bp = zeros(N, 1); f ori = : n st = i ∗ h; bp(i) = (7 ∗ st6 − 18 ∗ st5 + 15 ∗ st4 − ∗ st3 + st) ∗ (pi2 )/3; ep = random( N ormal , 0, 0.01, N, 1); end norm(ep) b = bp + ep; xc g = zeros(N, 1); X = zeros(N, N ); d = A ∗ b; r = b; normr2 = d ∗ d; f orcg = : k1 − Ad = A ∗ d; alpha = normr2/(Ad ∗ Ad); xc g = xc g + alpha ∗ d; r = r − alpha ∗ Ad; s = A ∗ r; normr2n ew = s ∗ s; beta = normr2n ew/normr2; normr2 = normr2n ew; d = s + beta ∗ d; X(:, cg + 1) = xc g; end 55 K = 825; X2 = zeros(N, N ); AT = A ; xld = zeros(N, 1); x0 = xld; i = 0; f orld = : K(end) l = AT ∗ (b − A ∗ xld); xld = xld + l; end X2(:, ld) = xld; xbk = zeros(N, 1); X3 = zeros(N, N ); d = A ∗ b; r = d; f orbk = : k − alpha = 4∗(bk +nu)∗(bk +nu+0.5)/(bk +2∗nu)/(bk +2∗nu+0.5); beta = (bk + nu) ∗ (bk + 1) ∗ (bk + 0.5)/(bk + ∗ nu)/(bk + ∗ nu + 0.5)/(bk + nu + 1); Ad = A ∗ d; AAd = A ∗ Ad; xbk = xbk + alpha ∗ d; r = r − alpha ∗ AAd; d = r + beta ∗ d; X3(:, bk + 1) = xbk; end xbk2 = zeros(N, 1); X4 = zeros(N, N ); d1 = A ∗ b; r1 = d1; f orbk1 = : k2 − alpha1 = ∗ (bk1 + nu1) ∗ (bk1 + nu1 + 0.5)/(bk1 + ∗ nu1)/(bk1 + ∗ nu1 + 0.5); beta1 = (bk1 + nu1) ∗ (bk1 + 1) ∗ (bk1 + 0.5)/(bk1 + ∗ nu1)/(bk1 + ∗ nu1 + 0.5)/(bk1 + nu1 + 1); Ad1 = A ∗ d1; AAd1 = A ∗ Ad1; xbk2 = xbk2 + alpha1 ∗ d1; r1 = r1 − alpha1 ∗ AAd1; 56 d1 = r1 + beta1 ∗ d1; X4(:, bk + 1) = xbk2; end x0 = 0; [U,s,V] = csvd(A); lambda = 0.05; omega = V ∗ x0 ; if (min(lambda) < 0) error( Illegalregularizationparameterlambda ) end m = size(U, 1); n = size(V, 1); [p,ps] = size(s); beta = U (:, : p) ∗ b; zeta = s(:, 1) ∗ beta; xl ambda = zeros(N, 1); rho = zeros(1, 1); eta = zeros(1, 1); if (ps == 1) f ori = : xl ambda(:, i) = V (:, : p) ∗ (zeta./(s.2 + lambda(i)2 )); rho(i) = lambda(i)2 ∗ norm(beta./(s.2 + lambda(i)2 )); eta(i) = norm(xl ambda(:, i)); end end g = inline( 10 ∗ (−7 ∗ q.4 + 12 ∗ q.3 − ∗ q.2 + q) ); i = : 51; p = (i − 1)/50; plot(p, g(p), b ); holdon i = : 51; p = i/50; plot(p, abs(xc g(i)), : ); holdon i = : 51; p = i/50; plot(p, abs(xbk(i)), − ); holdon 57 i = : 51; p = i/50; plot(p, abs(xl ambda(i)), −− ); 58 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXBĐHQG HN, 2007 [2] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, NXBGD,1978 [3] Andreas Kirsh,An Introduction to Mathematical Theory of Inverser Problems, United States of America, 1996 [4] C W Groetsch,Elements of Applicable Functional Analysis, United States of America, 1982 [5] Heinz W Engl, Martin Hanke and Andreas Neubauer,Regularization of Inverse Problems, Kluwer,2002 [6] Martin Hanke, Accelerated Landweber iterations for the solution of ill-posed equation, Numer Math 60, 341 373, (1991) [7] P C Hansen, Regularization Tools: A Matlab package for analysis and solution of discrete ill-posed problems, Numerical Algorithms, 46 (2007) 59 ... Fréchet, toán tử ngược Moore – Penrose, khái niệm tốn đặt chỉnh tốn đặt khơng chỉnh, phương pháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp lặp Landweber Chương : PHƯƠNG PHÁP NỬA LẶP LANDWEBER TÌM NGHIỆM BÀI... 1.3 Toán tử ngược Moore-Penrose 1.4 Bài toán đặt chỉnh, toán đặt không chỉnh 1.5 Phương pháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp chỉnh Tikhonov 1.6 Phương pháp lặp. .. số bước lặp lớn để phép lặp thỏa mãn nguyên lý phân kỳ (xem [5]) 27 Chương PHƯƠNG PHÁP NỬA LẶP LANDWEBER TÌM NGHIỆM BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH Số bước lặp để tìm nghiệm phương pháp lặp Landweber