Về phương pháp điểm bất động cho bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN VĂN TÚ VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN VĂN TÚ VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Lê Dũng Mưu HÀ NỘI, 2015 i Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Lê Dũng Mưu người thầy tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy, cô phòng sau đại học thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn tới BGH, đồng nghiệp trường THPT Lương Tài người thân gia đình động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả mặt suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù tác giả cố gắng trình thực luận văn, nhiên khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong đóng góp ý kiến quý thầy cô, để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 07 năm 2015 Học viên Nguyễn Văn Tú ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Văn Tú iii Các kí hiệu chữ viết tắt H Không gian Hilbert thực ∅ Tập rỗng ∀x Với x ∃x Tồn x B (O, R) Hình cầu đóng tâm O bán kính R C⊂H C tập thực H C⊆H C tập H x := y x định nghĩa y x, y Tích vô hướng hai véctơ x Chuẩn véctơ x {xn } Dãy phần tử x1 , x2 , F :C→H Ánh xạ F từ C vào H Fix(T) Tập điểm bất động ánh xạ T domF Miền hữu hiệu ánh xạ F ∇f Đạo hàm hàm f PC (x) Tập hình chiếu x lên tập C NC (x) Nón pháp tuyến tập C điểm x VI(C, F) Bất ĐT biến phân xác định tập C ánh xạ F Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Các kí hiệu chữ viết tắt iii Mục lục iii Mở đầu Chương Điểm bất động ánh xạ co ánh xạ không giãn 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert 1.1.2 Không gian Hilbert 12 1.2 Ánh xạ co ánh xạ không giãn không gian Hilbert 16 1.3 Sự tồn điểm bất động 19 1.3.1 Bài toán điểm bất động 19 1.3.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach 20 1.3.3 Phương phán lặp Mann 25 1.3.4 Phương pháp lặp Halpern 26 iv v Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân 28 2.1 Phát biểu toán ví dụ 28 2.2 Sự tồn nghiệm toán (VI) 31 2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh 37 2.3.1 Tính co ánh xạ nghiệm 38 2.3.2 Mô tả thuật toán hội tụ 43 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 48 2.4.1 Thuật toán 48 2.4.2 Kết hợp nguyên lý ánh xạ co thuật toán điểm gần kề 50 2.4.3 Mô tả thuật toán 52 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, Bài toán bất đẳng thức biến phân nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu mà hướng nghiên cứu xây dựng phương pháp giải toán cách tiếp cận điểm bất động Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, với giúp đỡ tận tình GS TSKH Lê Dũng Mưu, tác giả chọn nghiên cứu đề tài: "Về phương pháp điểm bất động cho toán bất đẳng thức biến phân" Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có chương: Chương 1: Điểm bất động ánh xạ co ánh xạ không giãn Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân theo cách tiếp cận điểm bất động dựa nguyên lý ánh xạ co Banach, phương pháp lặp Mann, Hapern cho ánh xạ không giãn không gian Hilbert định lý điểm bất động Brouwer để nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng hợp lại kiến thức điểm bất động ánh xạ co, ánh xạ không giãn không gian Hilbert Tiếp đến giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân, cụ thể tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân, phương pháp giải lớp số toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh, đơn điệu dựa phương pháp điểm bất động Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Không gian Hilbert, định lý điểm bất động ánh xạ co, ánh xạ không giãn, bất đẳng thức biến phân Phạm vi nghiên cứu: Các báo, sách tài liệu có liên quan đến việc nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân cách tiếp cận điểm bất động Phương pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ giải tích hàm, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết tối ưu để nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân Đóng góp Tổng hợp lại kiến thức định lý điểm bất động cho ánh xạ co, ánh xạ không giãn, định lý điểm bất động Brouwer không gian Hilbert Trình bày phương pháp tính điểm bất động theo nguyên lý ánh xạ co Banach, theo phương pháp lặp Mann, Hapern Trình bày kiến thức bất đẳng thức biến phân đặc biệt sâu vào nghiên cứu, trình bày cách tính điểm bất động cho toán bất đẳng thức biến phân 45 Như vậy, xk → x∗ k → +∞ Hơn nữa, sử dụng tính chất co ánh xạ nghiệm h, ta đạt xp+k − xk δ k (1 − δ p ) xk+1 − xk , ∀k, p ≤ 1−δ Cho p → +∞, ta xk − x∗ ≤ δ k+1 xk+1 − xk , ∀k = 0, 1, 2, 1−δ Nếu trường hợp Thuật toán 2.1 xảy xk+1 − xk ≤ ε (1 − δ) δk Và xk − x∗ ≤ ε Điều có nghĩa xk ε-nghiệm toán (VI) Định lý chứng minh Chú ý 2.2 Ta thấy hệ số co δ hàm số theo tham số quy L2 α δ nhỏ tham số quy α = Do vậy, thuật toán 2.1 β L2 hội tụ tốt chọn tham số quy α = β Sau ví dụ thuật toán giải theo ánh xạ co 1 Ví dụ 2.4 Xét ánh xạ F : C = ; → R xác định F (x) = x2 Khi đó, F ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β = Lipschitz với hệ số L = C Thật vậy, ∀x, x ∈ C ta có: F (x) − F (x ) , x − x = x2 − x , x − x = (x + x ) (x − x ) , x − x = (x + x ) (x − x )2 ≥ (x − x )2 , ∀x, x ∈ C 46 Ngoài ra, ∀x, x ∈ C ta lại có: |F (x) − F (x )| = x2 − x = |x + x | |x − x | ≤ |x − x | , ∀x, x ∈ C L2 Như vậy, = 1, ta chọn tham số quy α > Theo Định lý 2.6 2β với giả thiết ánh xạ F đơn điệu mạnh Lipschitz C ánh xạ 2β L2 + Trong trường hợp nghiệm h ánh xạ co với hệ số δ = − α α này, theo nguyên lý ánh xạ co Banach toán (VI) có nghiệm Sau đây, ta tìm ε-nghiệm toán (VI) Áp dụng Thuật toán 2.1 ta có: - Bước đầu: Chọn x0 = ∈ C, ε = , tham số quy α = > 1, 25 √ suy δ = - Bước lặp 0: Ta giải toán quy hoạch lồi mạnh: 2 1 x− + ,x − 2 x2 − x + x ∈ C Bài toán P (x0 ) có nghiệm x = x1 = |x1 − x0 | = x∈C P (x0 ) ∈ C Khi đó, ta 1 ε (1 − δ) √ − = ; = < 8 δ0 25 + Suy |x1 − x0 | > ε (1 − δ) δ0 Theo trường hợp Thuật toán ta chuyển sang bước lặp - Bước lặp 1: Ta giải toán quy hoạch lồi mạnh: 47 2 3 x− + ,x − 8 39 45 x2 − x + x∈C 64 512 Bài toán P (x1 ) có nghiệm x = x2 = |x2 − x1 | = x∈C P (x1 ) 39 ∈ C Khi đó, ta 128 39 ε (1 − δ) √ < − = ; = 128 128 δ1 128 25 + 3 Suy |x2 − x1 | > ε (1 − δ) δ Theo trường hợp Thuật toán ta chuyển sang bước lặp - Bước lặp 2: Ta giải toán quy hoạch lồi mạnh: 2 39 39 39 + ,x − x− 128 128 128 135369 8463 x+ x∈C x2 − 16384 2097152 Bài toán P (x2 ) có nghiệm x = x3 = |x2 − x1 | = x∈C , P (x2 ) 8463 ∈ C Khi đó, ta 32768 1521 ε (1 − δ) 16 1521 √ ; = > 32768 δ2 32768 75 + Suy |x3 − x2 | < ε (1 − δ) δ2 Theo trường hợp Thuật toán dừng đồng thời x2 = ε-nghiệm toán (VI) 39 ∈ C 128 48 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Trong mục dùng thuật toán điểm gần kề kết hợp với nguyên lý ánh xạ co Banach giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Ta nhắc lại rằng: Định nghĩa 2.3 Ánh xạ đa trị T : C → 2H gọi 1) Đơn điệu C u − v, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ C, ∀u ∈ T (x) , v ∈ T (y) 2) Đơn điệu cực đại C T đơn điệu đồ thị T không tập thực đồ thị ánh xạ đơn điệu khác Ví dụ 2.5 Ánh xạ NC (.) với C lồi, đóng ánh xạ đơn điệu cực đại 2.4.1 Thuật toán Rockafellar R.T phát triển thuật toán điểm gần kề cho toán tìm không điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T không gian Hilbert H Bài toán: Tìm x∗ ∈ C : ∈ T (x∗ ) (2.17) Khi T (x) = F (x) + NC (x) toán (2.17) trở toán VI(C, F) Thật vậy, ta có: ∈ T (x∗ ) ⇔ ∈ F (x∗ ) + NC (x∗ ) ⇔ −F (x∗ ) ∈ NC (x∗ ) ⇔ F (x∗ ) , x − x∗ ≥ ∀x ∈ C 49 Mệnh đề 2.2 Giả sử T : C → H ánh xạ đơn điệu, đơn trị liên tục Khi đó, T ánh xạ đơn điệu cực đại Cho T ánh xạ đơn điệu cực đại, với ck > 0, ta đặt: Pk := (I + ck T )−1 , đây, I ánh xạ đồng Mối quan hệ ánh xạ đơn điệu cực đại T ánh xạ Pk trình bày định lý Định lý 2.8 Cho ánh xạ đa trị T : C → 2H Khi đó, T ánh xạ đơn điệu cực đại Pk ánh xạ đơn trị, không giãn domPk = H Từ Định lý 2.8 , ta nhận thấy T ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại ánh xạ Pk ánh xạ đơn trị không giãn Ta giả sử giả thiết Định lý 2.8 thỏa mãn x điểm bất động ánh xạ Pk khi: x = Pk (x) = (I + ck T )−1 (x) ⇔ x ∈ (I + ck T ) (x) = x + ck T (x) ⇔ ∈ T (x) Do đó, x không điểm ánh xạ T Vậy x không điểm ánh xạ đơn điệu cực đại T x điểm bất động ánh xạ Pk Như vậy, thay tìm không điểm ánh xạ đa trị T ta tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Pk , với ck > Khi đó, thuật toán điểm gần kề cho toán (VI) trình bày đơn giản sau: Thuật toán 2.2 50 - Bước đầu 0: Chọn dãy số {ck } thỏa mãn ck > c > với k = 0, 1, 2, , tìm x0 ∈ C - Bước lặp k (k = 0, 1, 2, ) Xây dựng điểm xk+1 thông qua công thức: xk+1 := Pk (xk ) = (I + ck T )−1 (xk ) Trong trường hợp đặc biệt thuật toán ck = c > 0, ∀k = 0, 1, 2, ánh xạ đơn điệu cực đại T với C tập bị chặn, Martinet dãy {xk } hội tụ yếu tới điểm x∗ cho ∈ T (x∗ ) Trong trường hợp ck > c > C tập lồi, đóng, khác rỗng, Rockafellar dãy điểm {xk } hội tụ yếu tới điểm x∗ cho ∈ T (x∗ ) Sự hội tụ thuật toán điểm gần kề phát biểu thông qua Định lý sau: Định lý 2.9 Cho T : C → H ánh xạ đơn điệu cực đại Khi đó, T có không điểm dãy điểm {xk } hội tụ yếu tới x∗ cho ∈ T (x∗ ) , T không điểm dãy điểm {xk } không bị chặn 2.4.2 Kết hợp nguyên lý ánh xạ co thuật toán điểm gần kề Sơ phương pháp Từ Thuật toán 2.2 , ta viết xk+1 = (I + ck T )−1 (xk ) , dạng xk ∈ (I + ck T ) (xk+1 ) 51 Thay T (xk+1 ) F (xk+1 ) + NC (xk+1 ) , ta được: [xk − xk+1 − ck F (xk+1 )] ∩ NC (xk+1 ) = ∅ Điều chứng tỏ rằng: xk+1 + ck F (xk+1 ) − xk , x − xk+1 ≥ 0, ∀x ∈ C (2.18) Đặt Fk (x) := x + ck F (x) − xk Khi đó, (2.18) viết dạng sau: tk+1 , x − xk+1 ≥ 0, ∀x ∈ C, (V Ik ) với tk+1 = Fk (xk+1 ) Do vậy, xk+1 nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (V Ik ) với ánh xạ giá Fk Rõ ràng, F đơn điệu Fk đơn điệu mạnh với hệ số β = 1, F L-Lipschitz Fk Lipschitz với số Lk = + ck L Như vậy, điểm xk thuật toán điểm gần kề nghiệm toán (V Ik ) với ánh xạ giá Fk (x) := x + ck F (x) − xk Vậy ta vận dụng Thuật toán 2.1 miêu tả toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh để giải toán (V Ik ) Với x ∈ C, ta đặt: s (x) := arg F (x) , y − x + α y − x 2 y∈C , (2.19) α > Chú ý C tập lồi, đóng hàm mục tiêu lồi mạnh nên toán (2.19) có nghiệm với x ∈ C domFk = domF, ∀k = 0, 1, 2, 52 Theo Bổ đề 2.1, nghiệm toán (V Ik ) điểm bất động ánh xạ s Điểm bất động tính thông qua nguyên lý ánh xạ co Banach Trên thực tế giải toán (V Ik ) để tìm nghiệm xấp xỉ Ta chọn sai số εk > cho nghiệm toán (V Ik ) ∞ đơn điệu mạnh thỏa mãn εk k → ∞ εk < +∞ Khi đó, k=1 thay tính xác nghiệm xk+1 toán (V Ik ), ta tính xấp xỉ nghiệm xk,j+1 cho xk,j+1 − xk+1 ≤ εk , ∀k Chú ý 2.3 Theo Thuật toán 2.1 áp dụng cho toán (V Ik ), tham số hóa quy α phải thỏa mãn: 1 α > L2k = (1 + ck L)2 2 Để đảm bảo hội tụ cho thuật toán điểm gần kề, dãy {ck } thỏa mãn ck > c > với k Do c số dương tùy ý nên ta chọn ck > đủ nhỏ cho Lk = + ck L < √ Do đó, ta lấy α ≥ Nếu Pk (xk ) = xk xk nghiệm xác toán (V I) Do đó, thuật toán trình bày sau ta gọi xk ε-nghiệm toán (V I) Pk (xk ) − xk ≤ ε 2.4.3 Mô tả thuật toán Trong phần này, kết hợp phương pháp lặp Banach vào thuật toán điểm gần kề để giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Cụ 53 thể, ta sử dụng Thuật toán 2.1 để giải xấp xỉ toán phụ (V Ik ) phương pháp điểm gần kề Cho dãy số dương εk > cho ∞ εk εk < +∞ 0, k=0 - Nếu tìm số Lipschitz L F ta chọn dãy số dương ck > c > cho + ck L < 1, ∀k chẳng hạn, ta chọn ck = L+1 - Nếu số Lipschitz khó xác định chọn dãy số dương {ck } đủ nhỏ Chọn sai số ε > đặt δk := 1− 2βk L2k + 2, α α βk = 1, Lk = + ck L Thuật toán 2.3 Lấy x0 ∈ C Bước lặp k, k = 0, 1, 2, (vòng lặp ngoài) • Bước lặp Lấy α ≥ Đặt xk,0 := xk , j := • Bước lặp (vòng lặp trong) Giải toán quy hoạch toàn phương lồi mạnh α x − xk,j 2 + Fk (xk,j ) , x − xk,j x ∈ C , (2.20) 54 để có nghiệm xk,j+1 - Trường hợp (Điều kiện dừng vòng lặp trong) Nếu δkj+1 xk,1 − xk,0 ≤ εk , − δk ta đặt xk+1 := xk,j+1 + Nếu xk+1 − xk + εk ≤ ε, (2.21) dừng xk+1 ε-nghiệm toán (VI) + Nếu xk+1 − xk + εk > ε, tăng k lên chuyển Bước lặp k - Trường hợp Nếu δkj+1 xk,1 − xk,0 > εk , − δk ta tăng j lên trở lại Bước Chú ý 2.4 Bài toán Thuật toán 2.3 toán (2.20) Đây toán quy hoạch toàn phương lồi mạnh Ta đưa toán dạng x − xk,j − Fk (xk,j ) α x∈C Giải toán thực chất tìm hình chiếu điểm xk,j − Fk (xk,j ) α tập lồi, đóng C 55 Chú ý 2.5 Giả sử vòng lặp Thuật toán 2.3 dừng bước lặp j, ta có xk+1 = xk,j+1 Khi đó, xk+1 = PC xk,j − Fk (xk,j ) α Từ Fk (x) = x + ck F (x) − xk Suy xk+1 = PC ck xk + − xk,j − fk,j , α α α fk,j = F (xk,j ) Khi α = 1, ta có xk+1 = PC (xk − ck fk,j ) Định lý 2.10 Nếu Thuật toán 2.3 dừng bước lặp k xk+1 ε-nghiệm toán (V I) Chứng minh Giả sử Thuật toán 2.3 dừng Bước lặp k, ta có δkj+1 xk,1 − xk,0 ≤ εk − δk Kết hợp điều với Thuật toán lặp Banach 2.1, ta có xk+1 εnghiệm toán (V I) Mặt khác, theo thuật toán điểm gần kề, xk+1 ε-nghiệm toán (V I) xk+1 − Pk (xk ) ≤ εk Tức xk+1 − (I + ck Tk )−1 (xk ) ≤ εk , (2.22) 56   Fk (x) + NC (x) , x ∈ domF, Tk (x) :=  ∅, x∈ / domF Từ (2.21) (2.22) suy Pk (xk ) − xk ≤ xk+1 − xk + xk+1 − Pk (xk ) < ε − εk + εk = ε Do vậy, xk+1 ε-nghiệm toán (V I) Định lý chứng minh Kết luận chương Chương trình bày nội dung tồn nghiệm toán (VI), thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh, bất đẳng thức biến phân đơn điệu 57 Kết luận Luận văn đề cập đến vấn đề sau: • Nhắc lại kiến thức không gian Hilbert: định nghĩa, tính chất, ví dụ; đồng thời trình bày ánh xạ co, ánh xạ không giãn không gian Hilbert; toán điểm bất động, tồn điểm bất động thông qua nguyên lý ánh xạ co Banach số phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ phương pháp lặp Mann, Halpern • Phát biểu toán bất đẳng thức biến phân, ví dụ tồn nghiệm toán (VI) • Giải toán (VI) đơn điệu mạnh cách xây dựng ánh xạ nghiệm mà từ đó, toán (VI) quy việc tìm điểm bất động ánh xạ thông qua kỹ thuật hiệu chỉnh (chỉ cách chọn tham số thích hợp để ánh xạ nghiệm có tính chất co) • Kết hợp nguyên lý ánh xạ co Banach thuật toán điểm gần kề để giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 58 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1 ] Nguyễn Phụ Hy(2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [2 ] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà(2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư Phạm Tài liệu tiếng Anh [3 ] Fukushima, M (1992), Equivalent differentiable optimization problems and descent methods for asymmetric variational inequality problems, Mathematical Programming, Vol 53, pp 99-110 [4 ] Halpern, B (1967), Fixed points of nonexpanding maps, Bull Amer Math Soc 73, pp 957 – 961 [5 ] Kinderlehrer, D and Stampacchia, G (1980), An Introduction to Vari-ational Inequalities and Their Applications, Academic Pree, New York [6 ] Konnov, I (2001), Combined Relexation Methods For Variational Inqualities, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 495, Springer, Berlin [7 ] Mann, W R (1953), Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc 4, pp 506 – 510 59 [8 ] Nikaido, K and Takahashi, W (2003), Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroup, J Math Anal, 279, pp 372 – 379 [9 ] Rockafellar R T (1976), Monotone operators and the proximal point algorithm, SIAM J Control and Optimi, Vol 14, pp 877 – 887 [...]... Halpern 28 Chương 2 Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong chương này, chúng ta sẽ đi trình bày về phương pháp điểm bất động để giải bài toán bất đẳng thức biến phân (VI), cụ thể là dùng nguyên lý ánh xạ co Banach giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và kết hợp với dùng ánh xạ điểm gần kề để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu Các kiến thức trong chương này chủ yếu được lấy từ các... [5], [6], [9] 2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau: Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H, F : C → H là ánh xạ liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân( viết tắt là (VI)) là bài toán: Tìm điểm x∗ ∈ C : F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Tập nghiệm của bài toán (VI) kí hiệu là Sol (V I (C, F )) Ví dụ 2.1 Cho ánh xạ F : [0; 4] → R... PC (y) Dùng bất đẳng thức Schwarz, ta có: PC (x) − PC (y) 2 ≤ x − y PC (x) − PC (y) Suy ra PC (x) − PC (y) ≤ x − y Định lý được chứng minh 1.3 Sự tồn tại điểm bất động 1.3.1 Bài toán điểm bất động Định nghĩa 1.9 Phần tử x∗ ∈ C trong không gian Hilbert H được gọi là điểm bất động của ánh xạ T : C → H nếu T x∗ = x∗ Kí hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là F ix (T ) Bài toán điểm bất động được phát... một điểm, tức là F ix (T ) = {x∗ } thì dãy {xn } hội tụ yếu đến x∗ Kết luận chương Trong Chương 1, chúng ta đã nhắc lại các kết quả quan trọng về không gian Hilbert, ánh xạ co, ánh xạ không giãn Đồng thời, chương này cũng trình bày về sự tồn tại điểm bất động, các phương pháp lặp xấp xỉ điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co Banach, phương pháp lặp Mann, Halpern 28 Chương 2 Bài toán bất đẳng thức biến. .. ∀x ∈ C Như vậy, ta được: f (x) ≥ f (x∗ ) , ∀x ∈ C Mệnh đề sau đây cho ta thấy mối liên hệ giữa bài toán (VI) và bài toán điểm bất động (1.12) 30 Mệnh đề 2.1 Giả sử ánh xạ F được xác định bởi: F (x) := x − T (x) , ∀x ∈ C Khi đó, bài toán (VI) tương đương với bài toán điểm bất động (1.12) Chứng minh (⇒) Giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (VI) và F (x) := x − T (x) , tức là F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x... bởi F (x) = x − 2 Bài toán (VI) là: 29 Tìm x∗ ∈ [0; 4] sao cho x∗ − 2, x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ [0; 4] Ta chứng tỏ rằng Sol (V I (C, F )) = {2} Thật vậy, hiển nhiên x∗ = 2 là một nghiệm của bài toán (VI); nếu 0 ≤ x∗ < 2 thì bài toán chỉ thỏa mãn khi x ≤ x∗ ; nếu 2 < x∗ ≤ 4 thì bài toán chỉ thoả mãn khi x ≥ x∗ Điều đó chứng tỏ rằng, x∗ = 2 là nghiệm của bài toán (VI) Ví dụ 2.2 Xét bài toán tối ưu (OP ) :... tụ mạnh về một điểm bất động của ánh xạ T Để tìm điểm bất động của ánh xạ T trên C, Alber đã đề xuất phương pháp sau: xn+1 = PC (xn − µn (I − T ) xn ) , n = 0, 1, 2, , x0 ∈ C 27 trong đó, I là toán tử đơn vị trong H và ông đã chứng minh được rằng nếu dãy số thực dương {µn } được chọn sao cho µn → 0 khi n → ∞ và dãy {xn } bị chặn thì 1) Tồn tại một điểm tụ yếu x∗ ∈ C của {xn } 2) Tất cả các điểm tụ... trong không gian Hilbert H Định lý 2.1 (Định lý Brouwer) Cho C ⊆ H là một tập lồi, compact và ánh xạ Φ : C → C liên tục trên C Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm bất động của ánh xạ Φ trên C Định lý 2.2 Nếu C ⊆ H là một tập lồi, compact và F liên tục trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) có nghiệm hay Sol (V I (C, F )) = ∅ Chứng minh Xét bài toán F (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Ta có điều tương đương... không hội tụ đến điểm bất động duy nhất x∗ = 3 ∈ R của ánh xạ T 25 1.3.3 Phương phán lặp Mann Năm 1953 Mann đã đưa ra một dãy lặp hội tụ mạnh đến điểm bất động của ánh xạ T Định lý 1.10 Cho T là một toán tử liên tục từ tập compact [a, b] vào chính nó Khi đó, dãy {xn } trong [a, b] được xác định bởi: n x0 ∈ [a, b] , xn+1 = T xn , xn = i=1 xi , n = 0, 1, 2, i (1.13) hội tụ đến một điểm bất động của T Hầu...9 Chương 1 Điểm bất động của ánh xạ co và ánh xạ không giãn Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực: định nghĩa, tính chất, ví dụ; định nghĩa tập lồi, tập đóng, hàm lồi, ánh xạ co và ánh xạ không giãn Tiếp đó là một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co Banach, phương pháp lặp Mann, Halpern Các kiến thức trong chương