Về toán tử tựa không giãn với bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN XN THÙY VỀ TỐN TỬ TỰA-KHƠNG GIÃN VỚI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN XN THÙY VỀ TỐN TỬ TỰA-KHƠNG GIÃN VỚI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc Gia Hà Nội hướng dẫn Thầy giáo GS TSKH Lê Dũng Mưu Sự định hướng Thầy nghiên cứu, tận tình Thầy học tập hết tình yêu thương Thầy dành cho em sống, thứ quý giá mà em may mắn có Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến với Thầy Em xin bày tỏ biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Khoa Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học tạo hội cho em làm luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy, Cơ giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội nhiệt tình giảng dạy em suốt năm học vừa qua Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong ý kiến đóng góp từ Thầy, Cơ giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 09 tháng 10 năm 2017 Nguyễn Xuân Thùy Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi, hàm lồi nón pháp tuyến 1.2 Hàm nửa liên tục 12 1.3 Hàm khả vi phân 13 1.4 Tính đơn điệu kiểu-Lipschitz cho song hàm 16 1.5 Toán tử chiếu bất đẳng thức biến phân 18 1.6 Dãy hội tụ yếu, ánh xạ nửa-đóng ánh xạ tựa-khơng giãn 22 ÁNH XẠ TỰA-KHƠNG GIÃN VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ VÀ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 26 2.1 Định nghĩa ánh xạ tựa-không giãn tập lồi 26 2.2 Ánh xạ tựa-khơng giãn ΦF với tốn V IP (C, F ) 27 VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ 35 3.1 Định nghĩa ánh xạ 35 3.2 Tính chất ánh xạ 36 KẾT LUẬN 46 Tài liệu tham khảo 47 LỜI MỞ ĐẦU Cho H khơng gian Hilbert thực với tích chuẩn ký hiệu ·, · · Gọi C tập lồi, đóng khác rỗng H Một ánh xạ T : C −→ C gọi không giãn C , T (x) − T (y) ≤ x − y với x, y ∈ C Ánh xạ T gọi tựa-không giãn ([1]) C T (x) − p ≤ x − p với x ∈ C với điểm bất động p T T có điểm bất động Rõ ràng, với ánh xạ (toán tử) khơng giãn có điểm bất động tựa-khơng giãn, điều ngược lại không Các ánh xạ tựa-không giãn nghiên cứu nhiều tác giả số phương pháp nghiệm số tốn đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ tựa-không giãn phát triển tài liệu chuyên khảo [4] báo [1, 6, 8, 13, 16] Nói chung, cách tiếp cận dựa điểm bất động ánh xạ không giãn không giãn suy rộng sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học Trong [5], Combettes cộng giới thiệu ánh xạ khơng giãn Pf , gọi tốn tử xấp xỉ, xác định bởi, với x ∈ H, y − z, z − x ≥ ∀y ∈ C}, r r > f : C × C −→ R Với giả thiết f đơn Pf (x) := {z ∈ C : f (z, y) + điệu, nửa liên tục dưới, lồi C đối số thứ hai nửa liên tục (hemicontinuous) C đối số thứ nhất, họ chứng minh Pf đơn trị, khơng giãn C Hơn nữa, nhóm tác giả tập điểm bất động Pf trùng với tập nghiệm toán cân Tìm x∗ ∈ C : f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C EP (C, f ) MỤC LỤC Liên quan đến toán EP (C, f ), có cơng thức đơn giản, bao hàm nhiều tốn tối ưu hóa, điểm bất động Kakutani, mơ hình cân Nash bất đẳng thức biến phân, xem trường hợp đặc biệt (xem [2, 3, 14]) Toán tử xấp xỉ Pf trở thành công cụ hữu hiệu cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu, toán cân số chủ đề có liên quan Tuy nhiên, nói chung song hàm giả đơn điệu, tốn tử khơng khơng giãn, chí giá trị khơng lồi Luận văn nghiên cứu ánh xạ tựa-khơng giãn với tốn bất đẳng thức biến phân dựa báo [18] Với nội dung nghiên cứu này, phần lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương Kết tập trung Chương Chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn phần đầu trình bày kiến thức cần thiết giải tích lồi giải tích hàm để sử dụng cho chương tập lồi, hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, hàm khả vi phân, vv Phần tiếp theo, luận văn trình bày khái niệm tính đơn điệu, kiểu-Lipschitz cho song hàm, toán tử chiếu, bất đẳng thức biến phân, ánh xạ nửa-đóng ánh xạ tựa-không giãn không gian Hilbert thực Chương Ánh xạ tựa-khơng giãn với điều kiện Lipschitz tốn bất đẳng thức biến phân Trong chương này, ta định nghĩa ánh xạ tựa-không giãn (được ký hiệu ΦF ) với ánh xạ thỏa mãn điều kiện Lipschitz Sau đó, ta xét trường hợp đặc biệt ΦF xảy bất đẳng thức biến phân song hàm f (x, y) := F (x), y − x ánh xạ ΦF xác định ΦF (x) = PC (x − λF (PC (x − λF (x)))) Qua đó, ta nghiên cứu số tính chất liên quan đến tập điểm bất động tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân MỤC LỤC Chương Về ánh xạ tựa-không giãn không điều kiện Lipschitz Trong chương này, nghiên cứu ánh xạ tựa-không giãn LFω mà khơng đòi hỏi điều kiện Lipschitz ánh xạ F Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết giải tích lồi giải tích hàm nhằm phục vụ cho Chương Chương Tài liệu tham khảo cho chương [1], [5], [18], [22] [23] 1.1 Tập lồi, hàm lồi nón pháp tuyến Trong phần này, ta ký hiệu Rn không gian Euclide n-chiều trường số thực R Mỗi véc tơ x ∈ Rn gồm n tọa độ số thực Với hai véc tơ x = (x1 , , xn )T y = (y1 , , yn )T thuộc Rn , ta nhắc lại n x, y := xk yk k=1 gọi tích vơ hướng hai véc tơ x y Chuẩn Euclide phần tử x khoảng cách Euclide hai phần tử x y định nghĩa sau: x, x , x := d(x, y) := x − y Ký hiệu R := [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực mở rộng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc tơ) a, b Rn tập hợp tất véc tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1} Đoạn thẳng nối hai điểm a, b Rn tập hợp tất véc tơ x ∈ Rn có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C Định nghĩa 1.1.1 chứa đoạn thẳng qua hai điểm Nói khác đi, tập C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta gọi x tổ hợp lồi điểm (véc tơ) x1 , x2 , , xk k k x= λj x j với λj > 0; ∀j = 1, , k; j=1 Ví dụ 1.1.2 λj = j=1 Một số ví dụ tập lồi (1) Tập rỗng ∅ Rn tập lồi Rn (2) Tập Ω = {x ∈ Rn | x ≤ 1} tập lồi Lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Descartes Cụ thể, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.3 Cho A, B tập lồi Rn C tập lồi Rm Khi đó, tập sau lồi: A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B}; αA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B; α, β ∈ R}; A × C := {x ∈ Rn+m |x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C} Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong bất đẳng thức biến phân, tối ưu hoá, lý thuyết trò chơi nhiều chun ngành tốn ứng dụng khác, khái niệm nón có vai trò quan trọng Cho C tập Rn Định nghĩa 1.1.4 Tập C gọi nón (1) ∀λ > 0, ∀x ∈ C =⇒ λx ∈ C (2) Một nón C gọi nón lồi C đồng thời tập lồi (3) Một nón lồi gọi nón nhọn khơng chứa đường thẳng Khi đó, ta nói O đỉnh nón Nếu nón lồi lại tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Ví dụ 1.1.5 Một ví dụ điển hình nón lồi đa diện, thường sử dụng, tập hợp nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính có dạng: {x|Ax ≥ 0}, với A ma trận thực cấp hữu hạn (số dòng số cột hữu hạn) Mệnh đề 1.1.6 Một tập C nón lồi có tính chất sau: (1) λC ⊆ C, (2) C + C ⊆ C với λ > 0; Giả sử C nón lồi Do C nón, nên ta có (1) Từ C tập lồi, nên với x, y ∈ C , (x + y) ∈ C Vậy theo (1) ta có x + y ∈ C Chứng minh Ngược lại, giả sử ta có (1) (2) Từ (1) suy C nón Giả sử x, y ∈ C λ ∈ [0, 1] Từ (1) suy λx ∈ C (1 − λ)y ∈ C Theo (2) Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Trong Chương 2, ta nghiên cứu ánh xạ tựa-không giãn ΦF với ánh xạ F giả đơn điệu thỏa mãn điều kiện Lipschitz Tuy nhiên, điều kiện lúc thỏa mãn Trong chương này, nghiên cứu ánh xạ tựa-khơng giãn mà khơng đòi hỏi điều kiện Lipschitz ánh xạ F Tài liệu tham khảo chương [18] [20] 3.1 Định nghĩa ánh xạ Cho ω ∈ (0, 1) số cố định, ta định nghĩa ánh xạ LFω : C −→ C xác định x LFω (x) := x = y PC (x − κg) x = y, (3.1) với x ∈ C , y := argmin g ∈ ∂2 F (z), x − z , F (x), t − x + κ := F (z), x − z g 35 t−x 2 :t∈C , với z := (1 − ω m )x + ω m y Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ m số nguyên không âm nhỏ α thỏa mãn F [(1 − ω α )x + ω α y], x − [(1 − ω α )x + ω α y] − x−y − F [(1 − ω )x + ω y], y − [(1 − ω )x + ω y] ≥ α 3.2 α α α Tính chất ánh xạ Giả sử ánh xạ F : C −→ H thỏa mãn điều kiện Định lý 3.1 (P2 ) F giả đơn điệu C ; (P4 ) F liên tục yếu C ; (P5 ) Tập nghiệm Sol(C, F ) toán bất đẳng thức biến phân V IP (C, F ) Tìm x∗ ∈ C : F (x∗ ), y − x∗ ≥ ∀y ∈ C, V IP (C, F ) khác rỗng Khi đó, ánh xạ LFω (3.1) định nghĩa tốt khẳng định sau đúng: (a) Nếu x = y x∗ ∈ Sol(C, F ) LFω (x) − x∗ < x − x∗ ; (b) Với x ∈ C x∗ ∈ Sol(C, F ), ta có LFω (x) − x∗ ≤ x − x∗ ; (c) F ix(LFω ) = Sol(C, F ); (d) LFω nửa-đóng 0, tức là, với dãy {xn } C ta có xn x LFω (xn ) − xn −→ =⇒ x ∈ F ix(LFω ) Để chứng minh Định lý 3.1, ta cần sử dụng Bổ đề sau Bổ đề 3.2 ([20] Mệnh đề 4.3) Cho ∆ ⊆ H tập lồi mở chứa C f : ∆ × ∆ −→ R song hàm thỏa mãn điều kiện: f (x, ·) 36 Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ nửa liên tục dưới, lồi, khả vi phân C f (x, x) = với x ∈ C ; f liên tục yếu liên kết ∆ × ∆ Cho x, z ∈ ∆ {xn }, {zn } hai dãy ∆ hội tụ yếu đến x, z Khi đó, với > 0, tồn γ > n ∈ N cho ∂2 f (zn , xn ) ⊂ ∂2 f (z, x) + B, γ với n ≥ n , B hình cầu đơn vị đóng H Bây giờ, ta chứng minh Định lý 3.1 (a) Trước hết, ta số m hữu hạn Giả sử ngược lại, với số nguyên không âm m zm = (1 − ω m )x + ω m y, ta có x−y Qua giới hạn m −→ ∞, từ zm −→ x m −→ ∞, ta suy F (zm ), x − zm − F (zm ), y − zm < − F (x), y − x ≤ x−y 2 (3.2) Hơn nữa, từ y = argmin F (x), t − x + t−x 2 :t∈C , nên theo (2.2) ta có F (x), t − x − F (x), y − x ≥ x − y, t − y Bây giờ, chọn t = x ∈ C , ta − F (x), y − x ≥ x − y Kết hợp với (3.2) ta thu x−y 37 x−y ≤ 2 ∀t ∈ C (3.3) Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Điều trái với giả thiết x = y Ta có (1 − ω m ) F (z), x − z + ω m F (z), y − z ≥ ≥ F (z), (1 − ω m )x + ω m y − z = F (z), z − z = 0, điều kéo theo F (z), x − z ≥ ω m [ F (z), x − z − F (z), y − z ] ωm x − y ≥ 2 > (3.4) Nếu ∈ ∂2 F (z), x − z F (z), t − z − F (z), x − z ≥ ∀t ∈ C Chọn t = z ∈ C , ta F (z), x − z ≤ 0, điều mâu thuẫn với (3.4) Suy ∈ / ∂2 F (z), x − z Khi đó, từ g ∈ ∂2 F (z), x − z ta có g = 0, κ= F (z), x − z > 0, F (z), x − z > g (3.5) Lấy x∗ ∈ Sol(C, F ) z ∈ C , F (x∗ ), z − x∗ ≥ Bằng cách sử dụng tính giả đơn điệu F , ta thu F (z), x∗ − z ≤ (3.6) Từ g ∈ ∂2 F (z), x − z , ta suy F (z), t − z − F (z), x − z ≥ g, t − x ∀t ∈ C Thay t = x∗ ∈ C vào bất đẳng thức trên, sau sử dụng (3.6), ta nhận g, x − x∗ ≥ F (z), x − z − F (z), x∗ − z ≥ F (z), x − z 38 (3.7) Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHƠNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Do tốn tử chiếu PC khơng giãn, nên theo (3.7) (3.5), ta có LFω (x) − x∗ = PC (x − κg) − PC (x∗ ) ≤ x − κg − x∗ 2 = x − x∗ + κ2 g − 2κ g, x − x∗ ≤ x − x∗ + κ2 g − 2κ F (z), x − z = x − x∗ + κ2 g − 2κ2 g = x − x∗ − (κ g )2 < x − x∗ (3.8) Suy LFω (x) − x∗ < x − x∗ (b) Do LFω (x) = x x = y , kết hợp với phần (a) ta có LFω (x) − x∗ ≤ x − x∗ (c) Nếu x ∈ Sol(C, F ) F (x), t − x ≥ với t ∈ C Từ F (x), x − x = 0, kéo theo t − x : t ∈ C = x Theo định nghĩa LFω , ta có LFω (x) = x, nghĩa x ∈ F ix(LFω ) Từ y = argmin F (x), t − x + đó, ta có Sol(C, F ) ⊆ F ix(LFω ) Ngược lại, giả sử x ∈ F ix(LFω ), LFω (x) = x Nếu x = y theo phần (a), ta có LFω (x) − x∗ < x − x∗ , x∗ ∈ Sol(C, F ) Điều mâu thuẫn với LFω (x) = x Do đó, x = y Từ (3.3), ta thấy F (x), t − x ≥ với t ∈ C , tức là, x ∈ Sol(C, F ) Từ đó, ta có F ix(LFω ) ⊆ Sol(C, F ) 39 Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Kết hợp với Sol(C, F ) ⊆ F ix(LFω ), ta nhận F ix(LFω ) = Sol(C, F ) (d) Giả sử dãy {xn } ⊂ C , xn x LFω (xn ) − xn −→ Ta chứng minh x ∈ F ix(LFω ) Trước hết, ta thấy C tập đóng lồi, {xn } ⊂ C xn nên kéo theo x ∈ C Từ xn x x, ta có dãy {xn } bị chặn Do đó, theo phần (b), dãy {LFω (xn )} bị chặn Bây giờ, ta xét hai trường hợp sau: Giả sử tồn dãy {xnj } dãy {xn } Trường hợp cho LFω (xnj ) = xnj với j Trong trường hợp này, ta có xnj ∈ F ix(LFω ) = Sol(C, F ) Suy F (xnj ), y − xnj ≥ với y ∈ C (3.9) Hơn nữa, dãy {xnj } hội tụ yếu đến x, nên theo (3.9) ta có F (x), y − x ≥ với y ∈ C, hay x ∈ Sol(C, F ) = F ix(LFω ) Giả sử có dãy dãy {xn }, đơn Trường hợp giản ta ký hiệu {xn }, cho LFω (xn ) = xn với n Giả sử {mn } dãy số nguyên không âm nhỏ cho F [(1 − ω mn )xn + ω mn yn ], xn − [(1 − ω mn )xn + ω mn yn ] − − F [(1 − ω mn )xn + ω mn yn ], yn − [(1 − ω mn )xn + ω mn yn ] ≥ xn − yn ≥ 2 , 40 Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ với n, đó, yn = argmin t − xn F (xn ), t − xn + :t∈C , zn = (1 − ωn )xn + ωn yn , với ωn = ω mn Theo (3.8), ta có LFω (xn ) − x∗ ≤ xn − x∗ − (κn gn )2 , đây, gn ∈ ∂2 F (zn ), xn − zn κn = F (zn ), xn − zn gn Suy (κn gn )2 ≤ xn − x∗ − LFω (xn ) − x∗ ≤ ( xn − x∗ + LFω (xn ) − x∗ ) xn − LFω (xn ) Bằng cách sử dụng bất đẳng thức LFω (xn ) − xn −→ 0, đồng thời kết hợp với tính bị chặn dãy {xn } {LFω (xn )}, ta suy lim κn gn = (3.10) n→∞ Tiếp theo, ta {yn } dãy bị chặn Do yn = argmin F (xn ), t − xn + t − xn 2 :t∈C , kéo theo F (xn ), t−xn + t−xn 2 ≥ F (xn ), yn −xn + yn −xn Cho t = xn , bất phương trình trở thành F (xn ), yn − xn + 41 yn − xn 2 ≤ ∀t ∈ C Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Bây giờ, với χn ∈ ∂2 F (xn ), xn − xn , từ yn ∈ C , ta có F (xn ), yn − xn ≥ χn , yn − xn , hay F (xn ), yn − xn + yn − xn Do đó, ta có χn , yn − xn + ≥ χn , yn − xn + yn − xn 2 yn − x n ≤ Điều kéo theo − χn y n − x n + yn − xn 2 ≤ Biến đổi tương đương ta thu y n − x n ≤ χn Theo Bổ đề 3.2, xn (3.11) x, nên {χn } dãy bị chặn Điều kết hợp với tính bị chặn dãy {xn } (3.11), suy dãy {yn } bị chặn Hơn nữa, dãy {zn } tổ hợp lồi dãy {xn } {yn } nên {zn } dãy bị chặn Khi đó, tồn dãy {zn }, đơn giản ta kí hiệu dãy {zn }, hội tụ yếu đến z ∈ C Mặt khác, gn ∈ ∂2 F (zn ), xn − zn sử dụng Bổ đề 3.2, ta suy {gn } dãy bị chặn Lại κn = F (zn ), xn − zn , gn ta viết F (zn ), xn − zn = κn gn = (κn gn ) gn Vì thế, qua giới hạn n −→ ∞ kết hợp với (3.10) ta thu F (zn ), xn − zn −→ n −→ ∞ Theo (3.4), ta có F (zn ), xn − zn 42 ωn x n − yn ≥ 2 (3.12) Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Qua giới hạn n −→ ∞ (3.12), với ý F (zn ), xn −zn −→ n −→ ∞, ta nhận lim ωn xn − yn n−→∞ = (3.13) Từ (3.3), ta suy F (xn ), t−xn − F (xn ), yn −xn ≥ xn −yn , t−yn ∀t ∈ C (3.14) Đến đây, ta cần phân biệt hai trường hợp sau: Trường hợp 2.1 Nếu lim sup ωn > 0, n−→∞ tồn ω dãy {ωnj } dãy {ωn } cho ωnj −→ ω Khi đó, theo (3.13), ta thu lim j−→∞ Mà xnj x, nên ta có ynj xnj − ynj = x Theo (3.14), ta có F (xnj ), t − xnj − F (xnj ), ynj − xnj ≥ xnj − ynj , t − ynj ∀t ∈ C (3.15) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta | xnj − ynj , t − ynj | ≤ xnj − ynj t − ynj (3.16) Do dãy {ynj } bị chặn xnj − ynj −→ nên theo (3.16), ta có lim xnj − ynj , t − ynj = j−→∞ Vì thế, dựa vào hội tụ yếu hai dãy {xnj }, {ynj } đến x sử dụng (3.15), ta thu F (x), t − x ≥ với Do x ∈ Sol(C, F ) = F ix(LFω ) 43 t ∈ C Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Trường hợp 2.2 Nếu lim ωn = 0, n−→∞ trường hợp này, dãy {yn } bị chặn, khơng tính tổng y n −→ ∞ Do ωn = ω mn −→ 0, quát, ta giả sử yn suy mn > với n đủ lớn F (zn ), xn − zn − F (zn ), yn − zn < xn − yn 2 , (3.17) zn = (1 − ω mn −1 )xn + ω mn −1 yn Trong (3.14), chọn t = xn , ta − F (xn ), yn − xn ≥ xn − yn (3.18) Kết hợp (3.17) (3.18), ta có F (zn ), xn − zn − F (zn ), yn − zn < − F (xn ), yn − xn (3.19) Do ωn −→ nhờ vào tính bị chặn dãy {xn } {yn }, ta viết ωn xn − yn −→ ω zn − xn = Từ xn kéo theo zn x x Mà yn zn − xn −→ 0, y , nên theo (3.19) ta suy − F (x), y − x ≤ − F (x), y − x Do F (x), y − x ≥ (3.20) F (xn ), yn − xn ≤ (3.21) Từ (3.18), cho ta Do xn x, yn y từ (3.21), ta có F (x), y − x ≤ 44 Chương VỀ ÁNH XẠ TỰA-KHÔNG GIÃN KHÔNG ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Kết hợp với (3.20), ta thu F (x), y − x = Từ (3.18), với ý lim F (xn ), yn − xn = F (x), y − x = 0, n−→∞ cho ta lim n−→∞ Do xn x, nên yn xn − yn = x Từ xn − yn −→ tính bị chặn dãy {yn }, kéo theo lim xn − yn , t − yn = n−→∞ Cuối cùng, để hoàn thành việc chứng minh, ta dựa vào hội tụ yếu hai dãy {xn }, {yn } đến x sử dụng (3.14), ta thu F (x), t − x ≥ với hay x ∈ Sol(C, F ) = F ix(LFω ) Vậy LFω nửa-đóng Định lý chứng minh hoàn toàn 45 t ∈ C, KẾT LUẬN Luận văn “Về tốn tử tựa-khơng giãn với toán bất đẳng thức biến phân” trình bày số vấn đề sau: Hệ thống lại kiến thức giải tích lồi giải tích hàm Ngồi ra, luận văn trình bày khái niệm tính đơn điệu, kiểu-Lipschitz cho song hàm, ánh xạ nửa-đóng ánh xạ tựa-không giãn không gian Hilbert thực Trình bày khái niệm ánh xạ ΦF LFω với ánh xạ F giả đơn điệu có khơng có điều kiện Lipschitz Trình bày số tính chất ánh xạ tính tựa-khơng giãn, tính nửa-đóng Đặc biệt, luận văn tập điểm bất động ánh xạ ΦF LFω trùng với tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân Qua đó, cho phép ánh xạ tựa-khơng giãn áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 46 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., Oregan D., Sahu D R (2000), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Bigi G., Castellani M., Pappalardo M., Passacantando M (2013), “Existence and solution methods for equilibria”, European J Oper Res., 227, pp 1-11 [3] Blum E., Oettli W (1994), “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems”, Math Stud., 63, pp 123-145 [4] Cegielski A (2012), Iterative Methods for Fixed Point Problems in Hilbert Spaces, Springer, Berlin, Heidelberg [5] Combettes P L., Hirstoaga S A (2005), “Equilibrium programming in Hilbert spaces”, J Nonlinear Convex Anal, 6, pp 117-136 [6] Ghosh M K., Debnath L (1997), “Convergence of Ishikawa iterates of quasi-nonexpansive mappings”, J Math Anal Appl., 207, pp 96-103 [7] Ioffee A D., Tihomirov V M (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holland, Amsterdam et al [8] Ishikawa S (1974), “Fixed points by a new iteration method”, Proc Amer Math Soc., 44, pp 147-150 [9] Iusem A N., Svaiter B F (1992), “A variant of Korpelevichs method for variational inequalities with a new search strategy”, Optimization, 42, pp 309-321 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [10] Khobotov E N (1987), “Modication of the extragradient method for solving variational inequalities and certain optimization problem”, USSR Comput Math and Math Phy., 27, pp 120-127 [11] Korpelevich G M (1976), “The extragradient method for finding saddle points and other problems”, Ekonomika i Matematcheskie Metody, 12, pp 747-756 [12] Mastroeni G (2004), “Gap functions for equilibrium problems”, J Glob Optim, 27, pp 411-426 [13] Moore C (November 1998), Iterative aproximation of fixed points of demicontractive maps, The Abdus Salam Intern Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy, Scientific Report, IC/98/214 [14] Muu L D., Oettli W (1992), “Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria”, Nonlinear Anal., 18, pp 1159-1166 [15] Muu L D., Quoc T D (2009), “Regularization algorithms for solving monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilibrium model”, J Optim Theory Appl., 142, pp 185-204 [16] Petryshyn W V and Williamson T E (1973), “Strong and weak convergence of the sequence of successive approximations for quasinonexpansive mappings”, J Math Anal Appl., 43, pp 459-497 [17] Tran D Q., Muu L D., Nguyen V H (2008), “Extragradient algorithms extended to equilibrium problems”, Optimization, 57, pp 749776 [18] Tran Viet Anh, Le Dung Muu (2018), “Quasi-Nonexpansive Mappings Involving Pseudomonotone Bifunctions on Convex Sets”, Journal of Convex Analysis, 25(4), pp 1-xx [19] Rockafellar T R (1970), Convex Analysis, Princeton University Press 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [20] Vuong P T., Strodiot J J., Nguyen V H (2012), “Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems”, J Optim Theory Appl., 155, pp 605-627 [21] Wang Y J., XIU N H., Zhang J Z (2003), “Modied extragradient method for variational inequalities and verication of solution existence”, J Optim Theory Appl., 119, pp 167-183 [22] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2015), Nhập mơn Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [23] Nguyễn Hồng, Lê Văn Hạp (1997), Giáo trình Giải tích hàm, Trung tâm đào tạo từ xa, Đại học Huế 49 ... song hàm, toán tử chiếu, bất đẳng thức biến phân, ánh xạ nửa-đóng ánh xạ tựa- không giãn không gian Hilbert thực Chương Ánh xạ tựa- không giãn với điều kiện Lipschitz toán bất đẳng thức biến phân Trong... 1.5 Toán tử chiếu bất đẳng thức biến phân 18 1.6 Dãy hội tụ yếu, ánh xạ nửa-đóng ánh xạ tựa- khơng giãn 22 ÁNH XẠ TỰA-KHƠNG GIÃN VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ VÀ BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN... − p ≤ x − p với x ∈ C với điểm bất động p T T có điểm bất động Rõ ràng, với ánh xạ (tốn tử) khơng giãn có điểm bất động tựa- không giãn, điều ngược lại không Các ánh xạ tựa- không giãn nghiên cứu