Phương pháp gradient cải biên kéo dài giải bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LANH PHƯƠNG PHÁP GRADIENT CẢI BIÊN KÉO DÀI GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn người tận tình hướng dẫn thời gian qua để hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán phòng Sau đại học Trường đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn cao học Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Lanh LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành hướng dẫn thầy GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn với cố gắng thân Trong trình thực có tham khảo số tài liệu (như nêu mục tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn kết trình tìm hiểu, tham khảo học tập thân, không trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Lanh Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Kiến thức 1.1 Bất đẳng thức biến phân toán bù 1.2 Toán tử đơn điệu đơn điệu tổng quát 1.3 Phép chiếu metric 11 1.4 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov 14 1.5 Thuật toán điểm gần kề 15 1.6 Phương pháp gradient kéo dài 17 Phương pháp gradient cải biên kéo dài 19 2.1 Đặt toán 19 2.2 Thuật toán 19 2.3 Sự hội tụ dãy lặp 20 2.4 2.3.1 Sự hội tụ mạnh tính giả đơn điệu 20 2.3.2 Cận cho điểm cuối 28 2.3.3 Sự hội tụ yếu tính đơn điệu 30 Tốc độ hội tụ dãy lặp 34 2.4.1 Tốc độ hội tụ R – tuyến tính 35 2.4.2 Tốc độ hội tụ Q – tuyến tính 45 Phương pháp gradient kéo dài 49 3.1 Đặt toán 49 3.2 Thuật toán 49 3.3 Sự hội tụ dãy lặp 50 3.4 Phân tích sâu 55 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Danh mục kí hiệu N: tập số tự nhiên R: tập số thực C: tập số phức ∈, ∈: / thuộc, không thuộc phần tử tập hợp ∅, ⊂: tập rỗng, tập H: không gian Hilbert thực l2 : không gian dãy bình phương khả tổng Rn : không gian Euclide n chiều Rn+ : ortang không âm Rn Rn×m : không gian ma trận cấp n × m xk : dãy phần tử x1 , x2 , x3 , x : chuẩn véctơ x x, y : tích vô hướng véctơ x y ∩, ×: giao, tích Decart F : U → V : ánh xạ từ U vào V B (u, r): hình cầu mở tâm u, bán kính r B (u, r): hình cầu đóng tâm u, bán kính r V I (K, F ): bất đẳng thức biến phân xác định tập K ánh xạ F CP (K, F ): toán bù xác định nón K ánh xạ F LCP (M, q): toán bù tuyến tính xác định ma trận M véctơ q Sol (K, F ): tập nghiệm V I (K, F ) CP (K, F ) Sol (K, q): tập nghiệm LCP (M, q) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức biến phân toán điểm cân đóng vai trò quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế Khái niệm toán tử đơn điệu đưa từ đầu năm 1960 P.Hartman Stampacchia nghiên cứu bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu cách độc lập Bất đẳng thức biến phân đơn điệu sử dụng nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng loại phương trình elliptic, parabolic nhiều toán tối ưu, lí thuyết cân Chúng trở thành công cụ hữu hiệu cho việc giải toán xử lý tính toán cho nhiều toán Cho đến nay, bất đẳng thức biến phân đơn điệu chủ đề quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Phương pháp tìm nghiệm khác đề xuất cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu: phương pháp chiếu metric, phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, phương pháp điểm gần kề, phương pháp gradient kéo dài, Phương pháp gradient cải biên kéo dài có hai phương pháp chiếu liên tiếp cho bước Nó lấy tên từ đánh giá kéo dài trường véctơ bất đẳng thức biến phân phép chiếu kéo dài, bắt nguồn từ trường hợp bất đẳng thức biến phân đối xứng Trong trường hợp đó, bất đẳng thức biến phân biểu diễn điều kiện tối ưu toán tối ưu trơn đánh giá thêm trường véctơ tương ứng với giá trị kéo dài gradient hàm mục tiêu (cho nên tính từ gradient kéo dài sử dụng) Mặc dù điều chắn đòi hỏi lượng tính toán gấp đôi lần lặp, lợi ích đáng kể thuật toán thu được sử dụng cho lớp toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Để đảm bảo hội tụ phương pháp gradient cải biên kéo dài, người ta phải giả thiết trường véctơ liên tục Lipschitz ước tính số Lipschitz phải đưa cách tường minh Mục tiêu luận văn vận dụng thuật toán để giải bất đẳng thức biến phân không đơn điệu Để làm điều này, nghiên cứu phạm vi ứng dụng phương pháp gradient cải biên kéo dài, thuật toán để đề xuất sửa đổi hợp lý để có kết tốt hội tụ tốc độ hội tụ dãy lặp Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, giúp đỡ tận tình thầy GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, chọn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp gradient cải biên kéo dài giải toán bất đẳng thức biến phân” Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức Chương 2: Phương pháp gradient cải biên kéo dài Chương 3: Phương pháp gradient kéo dài Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp gradient cải biên kéo dài giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu không gian Hilbert Sự hội tụ tốc độ hội tụ dãy lặp sinh phương pháp bảo đảm Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm đọc tài liệu liên quan đến bất đẳng thức biến phân thuật toán giải Trình bày khái niệm kết có liên quan đến bất đẳng thức biến phân Giới thiệu phương pháp gradient cải biên kéo dài giải toán bất đẳng thức biến phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: phương pháp gradient cải biên kéo dài cho bất đẳng thức biến phân vấn đề liên quan Phạm vi nghiên cứu: Các báo, sách tài liệu có liên quan đến phương pháp gradient cải biên kéo dài giải toán bất đẳng thức biến phân Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm, lý thuyết tối ưu để làm công cụ cho việc xây dựng thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân Dự kiến đóng góp Đưa tổng quan phương pháp giải bất đẳng thức biến phân thông qua phép chiếu biến dạng Chương Kiến thức 1.1 Bất đẳng thức biến phân toán bù Trước hết, ta nhắc lại toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Cho K tập khác rỗng không gian Hilbert (H, , ) F : K → H ánh xạ đơn trị Bất đẳng thức biến phân định nghĩa K F , kí hiệu V I (K, F ), toán: Tìm véctơ u∗ ∈ K cho F (u∗ ) , u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ K (1.1) u∗ gọi nghiệm V I (K, F ) Tập tất nghiệm kí hiệu Sol (K, F ) Để nhắc lại nhiều lần, ta giả thiết K tập lồi, đóng F ánh xạ liên tục Khi K nón, nghĩa u ∈ K τ u ∈ K với τ ≥ 0, công thức (1.1) rút gọn toán biết đến tên toán bù với µ = √ − β ∈ (0, 1) Bất đẳng thức (2.45) cho thấy uk hội tụ theo chuẩn tới u∗ với tốc độ hội tụ Q – tuyến tính Định lý 2.9 (Xem [9, Định lý 4.2]) Nếu F đơn điệu mạnh dãy uk sinh Thuật toán 2.1 hội tụ theo chuẩn tới nghiệm V I (K, F ) Chứng minh Theo giả thiết, V I (K, F ) có nghiệm áp dụng Định lý 2.8 Phương pháp gradient cải biên kéo dài với độ dài bước khác xem xét chương Định lý 2.1 – 2.4 đưa hội tụ dãy lặp Định lý 2.7 chứng minh tốc độ hội tụ R – tuyến tính giả thiết quy, Định lý 2.8 cho thấy tốc độ hội tụ mạnh Q – tuyến tính xảy trường hợp giả đơn điệu mạnh Chương viết dựa nội dung báo "A modified extragradient method for infinite-dimensional variational inequalities", Accepted for publication in Acta Mathematica Vietnamica Phạm Duy Khánh 48 Chương Phương pháp gradient kéo dài 3.1 Đặt toán Bây giờ, ta trình bày phương pháp gradient kéo dài cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Ý tưởng sử dụng độ dài bước hình thành dãy không khả tổng giảm dần số thực dương để đến lý thuyết cho phương pháp tìm nghiệm toán tối ưu không trơn, lồi 3.2 Thuật toán Trong Định nghĩa 1.1, giả thiết K ⊂ H tập khác rỗng, lồi, đóng Thuật toán 3.1 Dữ liệu: Cho u0 ∈ K, {αk }∞ k=0 ⊂ R+ cho 49 ∞ αk = +∞, lim αk = (3.1) k→∞ k=0 Bước 0: Đặt k = Bước 1: Nếu uk = PK uk − αk F uk dừng lại Bước 2: Tính _k u = PK uk − αk F uk _k uk+1 = PK uk − αk F u , , (3.2) thay k k + 1; quay lại bước Nếu việc tính toán dừng lại bước k đặt uk = uk , ∀k ≥ k + Do đó, kết Thuật toán 3.1 dãy lặp vô hạn 3.3 Sự hội tụ dãy lặp Sự hội tụ tốc độ hôi tụ uk biết đến định lý sau Định lý 3.1 (Xem [10, Định lý 3.2]) Nếu F : K → H liên tục Lipschitz giả đơn điệu mạnh K Định nghĩa 1.3 (b) V I (K, F ) có nghiệm u∗ dãy uk sinh Thuật toán 3.1 hội tụ theo chuẩn tới u∗ Hơn nữa, tồn số k0 ∈ N cho γαk < 1, ∀k ≥ k0 k k+1 u ∗ −u (1 − γαj ) uk0 − u∗ , ≤ j=k0 50 (3.3) γ số giả đơn điệu mạnh F Hơn k (1 − γαj ) = lim k→∞ (3.4) j=k0 Chứng minh Cho L > số Lipschitz F Lặp lại cách chứng minh Định lý 2.8, ta bất đẳng thức uk+1 − u∗ ≤ uk − u∗ _k uk − u − − αk2 L2 _k − 2γαk u − u∗ Khi αk → 0, ∃k0 ∈ N cho 2γαk ≤ − αk2 L2 , ∀k ≥ k0 Do vậy, với k ≥ k0 ta có γαk ≤ uk+1 − u∗ − 21 αk2 L < ≤ uk − u∗ ≤ uk − u∗ ≤ uk − u∗ Cộng bất đẳng thức uk+1 − u∗ _k uk − u − 2γαk − γαk _k _k + u − u∗ uk − u _k + u − u∗ 2 − γαk uk − u∗ ≤ uk − u∗ (3.5) − γαk uk − u∗ (3.5) từ k0 đến n > k, ta n n+1 u ∗ −u k0 ∗ ≤ u −u γαk uk − u∗ − k=k0 Do n γαk uk − u∗ ≤ uk0 − u∗ 2 với k ≥ k0 (3.5) nên ta có khẳng định − un+1 − u∗ k=k0 Vì uk+1 − u∗ ≤ uk − u∗ sau 51 n γ n ∗ n u −u αk k=k0 γαk uk − u∗ ≤ k=k0 ≤ uk0 − u∗ 2 − un+1 − u∗ ≤ uk0 − u∗ n αk = +∞ (3.1) γ > 0, điều có nghĩa lim un − u∗ = Mà n→∞ k=k0 Do vậy, dãy uk hội tụ theo chuẩn tới u∗ Ta chứng minh (3.3) Với k ≥ k0 , từ (3.5), ta có uk+1 − u∗ ≤ (1 − γαk ) uk − u∗ ≤ (1 − γαk ) (1 − γαk−1 ) uk−1 − u∗ k (1 − γαj ) uk0 − u∗ ≤ j=k0 Suy uk+1 − u∗ k (1 − γαj ) uk0 − u∗ (3.3) chứng ≤ j=k0 minh Từ (3.4), ta có − γαj ≤ k (1 − γαj ) ≤ j=k0 , ∀j ≥ k0 ; + γαj 1 ≤ k (1 + γαj ) j=k0 → k → ∞ k 1+γ αj j=k0 Bây giờ, ta minh họa kết cách xét toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh vô hạn chiều 52 Ví dụ 3.1 Cho H = l2 không gian Hilbert bao gồm phần tử dãy bình phương khả tổng, nghĩa ∞ H= |ui |2 < +∞ u = (u1 , u2 , , ui , ) : i=1 Tích chuẩn H tính sau ∞ u, v = 1/ ∞ ui vi u = i=1 ui i=1 với u = (u1 , u2 , , ui , ) v = (v1 , v2 , , vi , ) H Cho β α, β ∈ R mà β > α > > định nghĩa Kα = {u ∈ H : u ≤ α} , Fβ (u) = (β − u ) u Với α β đóng vai trò tham số Nhận xét Sol (Kα , Fβ ) = {0} Toán tử Fβ liên tục Lipschitz giả đơn điệu mạnh K Hiển nhiên, với u, v ∈ Kα , ta có Fβ (u) − Fβ (v) = (β − u ) u − (β − v ) v = β (u − v) − u (u − v) − ( u − v ) v ≤β u−v + u u−v +| u − v | v ≤β u−v +α u−v + u−v α = (β + 2α) u − v Điều có nghĩa là, Fβ liên tục Lipschitz Kα với số Lipschitz L := β + 2α Giả sử u, v ∈ Kα mà Fβ (u) , v − u ≥ Vì u ≤ α < β 53 nên u, v − u ≥ Do Fβ (v) , v − u = (β − v ) v, v − u ≥ (β − v ) ( v, v − u , u, v − u ) ≥ (β − α) u − v Vì thế, Fβ giả đơn điệu mạnh Kα với số γ := β − α Hơn nữa, Fβ không đơn điệu mạnh không đơn điệu Kα Điều cho β , 0, , 0, thấy, chọn u = , v = (α, 0, , 0, ) ∈ Kα cần ý Fβ (u) − Fβ (v) , u − v = β −α < Cho u0 ∈ Kα định nghĩa dãy {αk } sau αk = , ∀k ∈N k+1 (3.6) Sử dụng Định lý 3.1, ta khẳng định dãy lặp uk sinh Thuật toán 3.1 hội tụ theo chuẩn tới 0, nghiệm toán V I (Kα , Fβ ) Như chứng minh Định lý 3.1, ta chọn k0 ∈ N cho 2γαk ≤ − αk2 L2 , ∀k ≥ k0 (3.7) Dễ thấy bất đẳng thức (3.7) cho với k0 = β + 2α β−α+ 2β + 4βα + 5α2 Từ (3.3) (3.6), ta có k k u ≤ 1− j=k0 β−α j+1 54 uk0 , ∀k ≥ k0 3.4 Phân tích sâu Trong phần này, thấy tính giả đơn điệu mạnh F hai điều kiện (3.1) quan trọng Định lý 3.1 ∞ αk = +∞ (3.1) Bắt đầu với việc phân tích điều kiện k=0 Ví dụ 3.2 Đặt K = R F (u) = u Rõ ràng F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh K Sol (K, F ) = {0} Chọn u0 = ∈ K định nghĩa dãy {αk } sau αk = , ∀k ∈ N (k + 1)2 (3.8) ∞ αk < +∞, khẳng định (3.1) vi phạm Dãy lặp Vì k=0 k trình bày (3.2) cho u uk+1 = PK uk − αk F PK uk − αk F uk = uk − αk F uk − αk F uk = uk − αk uk − αk uk = − αk + αk2 uk Vì u0 = nên (3.8) trở thành k k+1 u k − αj + = j=0 αj2 1− = j=0 1 + , ∀k ∈ N (j + 1)2 (j + 1)4 Do đó, dãy số thực uk giảm bị chặn Vậy uk hội tụ Lưu ý k j=0 1 1− + (j + 1) (j + 1)4 55 k ≥ 1− j=1 (j + 1)2 k = j (j + 2) (j + 1)2 j=1 = k+2 (k + 1) Cho k → ∞, ta lim uk = u∗ với u∗ ≥ 21 Do vậy, uk không hội tụ k→∞ ∞ tới nghiệm toán V I (K, F ) Vì vậy, tổng αk = +∞ k=0 không giảm công thức Định lý 3.1 Tiếp theo, ta phân tích điền kiện thứ (3.1) Ví dụ 3.3 Cho K, F, u0 giống Ví dụ 3.2 cho αk = với ∞ k ∈ N Ở đây, αk = +∞ {αk } không hội tới Nhờ tính k=0 toán Ví dụ 3.2, ta có uk = với k ∈ N nên uk không hội tụ tới nghiệm toán V I (K, F ) Điều kiện lim αk = k→∞ bỏ qua công thức Định lý 3.1 Cuối cùng, ta thấy giả thiết đơn điệu mạnh F Định lý 3.1 quan trọng Trong ví dụ tiếp theo, F đơn điệu (giả đơn điệu) K dãy uk trình bày Thuật toán 3.1 không tiến đến nghiệm bất đẳng thức biến phân Ví dụ 3.4 Đặt K = R2 F (u) = (−u2 , u1 )T với u = (u1 , u2 )T ∈ K Rõ ràng F liên tục Lipschitz đơn điệu K Sol (K, F ) = (0, 0)T Cho u0 = u01 , u02 T αk = điểm K\ (0, 0)T , ∀k ∈ N k+1 Dãy thỏa mãn (3.1) Để thấy F không giả đơn điệu mạnh K với số γ > 0, chọn u = (1, 0)T , v = (2, 0)T ý 56 F (u) , v − u = 0, F (v) , v − u = Dãy lặp uk (3.2) T cho u0 = u01 , u02   k+1   u1 =   =  uk+1 (k + 1)2 1− (k + 1)2 1− uk k+1 uk2 − uk k+1 uk1 + (3.9) với k = 0, 1, 2, Từ (3.9), ta có uk+1 = uk+1 uk1 = = uk 2 + uk+1 + uk2 1− 1− = u 1− 1 + (k + 1) (k + 1)4 1 + (k + 1) (k + 1)4 k j=0 1 + (j + 1) (j + 1)4 Đi đến giới hạn k → ∞, ta lim uk = µ u0 , với k→∞ k µ = lim k→∞ j=0 1 1− + (j + 1)2 (j + 1)4 √ ≥ (3.10) ( Xem đối số Ví dụ 3.2) Do uk không hội tụ tới nghiệm V I (K, F ) Ta chứng minh tập hợp điểm dãy uk đường tròn S := u ∈ R2 : u = µ u0 Với k ∈ N, cho z k = uk1 + iuk2 số phức sinh uk Để có tính chất trên, cho thấy tập hợp điểm z k đường tròn S := z ∈: z = µ z 57 mặt phẳng phức Từ (3.9), ta có i 1 i k k u + + i − − 2 u2 k+1 k+1 (k + 1) (k + 1) i i k k 1− − u + i − + − 2 u2 k+1 k+1 (k + 1) (k + 1) i 1− − uk1 + iuk2 k+1 (k + 1) uk+1 + iuk+1 = 1− = = Đặt ak = − i − , ta có z k+1 = ak zk Điều có nghĩa k+1 (k + 1) k z k+1 = aj z Với k ≥ 1, ta viết ak dạng mũ ak = rk eiθk , với j=0 rk = |ak | = 1− 1 , + (k + 1) (k + 1)4 −(k + 1)−1 − (k + 1)−2 θk = arctan π ∈ − ,0 Do k k z k+1 e rj = a0 ωk i − rj z = a0 z e ωk i θi e , (3.11) j=1 j=1 k − θj θ ∈ (−π, π] đối số z a0 = −i, ωk = j=1 Vì −(k + 1)−1 − (k + 1)−2 θk = arctan =− +O k+2 k2 , nên lim θk = lim ωk = −∞ k→∞ k→∞ Cho z = a0 µ z eiθ tùy ý S Với m ∈ N tồn − km ∈ N mà ωkm ≤ θ − θ −2mπ < ωkm −1 Do − ωkm − θ − θ −2mπ ≤ |ωkm − ωkm −1 | = |θkm | 58 − Vì θkm → nên ωkm − θ − θ −2mπ → m → ∞ Điều có − nghĩa là, ωkm + 2mπ → θ − θ m → ∞ Do − lim e m→∞ ωkm i (ωkm +2mπ)i = lim e m→∞ =e θ− θ i Từ (3.10), ta có km lim m→∞ km rj j=1 1− = lim m→∞ j=0 1 + (j + 1)2 (j + 1)4 − θ− θ i Từ (3.11) cách chọn z, ta có lim z km +1 = a0 µe m→∞ = µ − e θ i = z Như vậy, ta chứng minh tập hợp điểm z k đường tròn S Ví dụ 3.4 cho ta thấy Thuật toán 3.1, tính giả đơn điệu mạnh bất đẳng thức biến phân không thích hợp với phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Dựa ý tưởng việc chọn độ dài bước để giải toán tối ưu không vi phân, phương pháp gradient kéo dài giải bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Sự hội tụ dãy lặp phạm vi ứng dụng phương pháp làm rõ định lý bốn ví dụ 59 KẾT LUẬN Luận văn nêu toán bất đẳng thức biến phân số phương pháp giải thông thường phương pháp chiếu, phương pháp điểm gần kề, Chương trình bày chi tiết phương pháp gradient cải biên kéo dài toán liên quan hai loại tốc độ hội tụ Chương nêu phương pháp gradient kéo dài giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh không gian Hilbert 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Y Censor, A Giball, and S Reich, The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space J Optim Theory Appl 148 (2011), 318-335 [2] J.P Crouzeix, S Schaible, Generalized monotone affine maps SIAM J Matrix Anal Appl 17 (1996), 992-997 90C26 (26B25) [3] F Facchinei and J-S Pang, Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Vols I and II, Springer-Verlag, New York, 2003 [4] E.M Gafni, D.P Bertsekas, Two-metric projection methods for constrained optimization SIAM J Control Optim 22 (1984), 936-964 [5] O Guler, On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization SIAM J Control Optim 29 (1991), 403-419 [6] P Hartman, A Wintner, On the local behavior of non parabolic partial differential equations Amer J Math 85 (1953), 449-476 [7] S Karamardian, S Schaible, Seven kind of monotone maps J Optim Theory Appl 66 (1990), 37-46 [8] P.D Khanh, "A modified extragradient method for infinite-dimensional variational inequalities", Accepted for pulication in Acta Mathematica Vietnamica [9] P.D Khanh, "On the convergence rate of a modified extragradient method for pseudomonotone variational inequalities", Submitted to 61 Journal of Nonlinear and Convex Analysis on October 25, 2012 [10] P.D Khanh, "A new extragradient method for strongly pseudomonotone variational inequalities", Submitted to Numerical Functional Analysis and Optimization on January 24, 2015 [11] D Kinderlehrer and G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, 1980 [12] M.A Noor, Proximal methods for mixed variational inequalities J Optim Theory Appl 115 (2002), 447-452 [13] J.M Ortega, W.C Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, New York, 1970 [14] R.T Rockafellar, Monotone operators and the proximal point algorithm SIAM J Control Optim 14 (1976), 877-898 [15] N.N Tam, J-C Yao, and N.D Yen, Solution methods for pseudomonotone variational inequalities J Optim Theory Appl 138 (2008), 253-273 [16] N Thanh Hao, Tikhonov regularization algorithm for pseudomonotone variational inequalities Acta Math Vietnam 31 (2006), 283-289 [17] P Tseng, On linear convergence of iterative methods for the variational inequality problem J Compt Appl Math 60 (1995), 237-252 [18] J.-C Yao, Multi-valued variational inequalities with K - pseudomonotone operators J Optim Theory Appl 83 (1994), 391-403 62 [...]... toán bất đẳng thức biến phân và trình bày khái niệm cơ bản của bất đẳng thức biến phân liên quan đến ánh xạ giả đơn điệu Ta nhắc lại bốn phương pháp tìm nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân và một số kết quả về sự hội tụ của dãy lặp đến nghiệm của bài toán 18 Chương 2 Phương pháp gradient cải biên kéo dài 2.1 Đặt bài toán Xét bài toán V I (K, F ) được phát biểu trong Định nghĩa 1.1, với K là... như bài toán đơn điệu mạnh Lịch sử chú ý đến việc mở rộng nghiên cứu bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Thú vị hơn, sự nghiên cứu rộng rãi gần đây về bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu dẫn đến sự hiểu biết sâu sắc hơn về bất đẳng thức biến phân đơn điệu Xét bài toán V I (K, F ) trong không gian Hilbert thực H Kí hiệu ánh xạ đồng nhất của H là I và đặt Fε = F + εI với mọi ε > 0 Để giải. .. 1.4 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov Một trong những ý tưởng cơ bản thường được khai thác khi tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là sự thay thế của bài toán ban đầu bởi dãy các bài toán dễ hơn theo nghĩa nào đó Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov (viết tắt là TRM) là một ý tưởng được thực hiện đơn giản nhất Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov được định nghĩa cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu vì bài toán. .. toán điểm gần kề thì tồn tại u ∈ Sol (K, F ) thỏa mãn _ lim uk = u k→∞ 1.6 Phương pháp gradient kéo dài Có một phương pháp giải cho V I (K, F ) mà thực hiện hai phép chiếu cho mỗi lần lặp đó là phương pháp gradient kéo dài (viết tắt là EGM) Đây là phương pháp lấy tên từ việc mở rộng đánh giá của ánh xạ (và mở rộng phép chiếu) cho mỗi lần lặp Lợi ích của phương pháp này là có thể sử dụng bất đẳng thức. .. phương pháp gradient kéo dài cổ điển của Korpelevich, độ dài bước αk trong mỗi bước lặp của phương pháp gradient cải biên kéo dài thay đổi từng bước một Số αk , k ∈ N nằm trong đoạn [a, b] ⊂ 0, L1 Khi a = b = α, các bước là cố định Phương pháp gradient cải biên kéo dài trong danh mục của phương pháp gradient kéo dài cổ điển đã được nhắc lại trong Thuật toán 1.1 trong phần 1.6 2.3 2.3.1 Sự hội tụ của dãy... Lipschitz L > 0 Phương pháp gradient cải biên kéo dài để giải V I (K, F ) được mô tả như sau 2.2 Thuật toán 1 Dữ liệu: u0 ∈ K và {αk }∞ k=0 ⊂ [a, b] với 0 < a ≤ b < L Bước 0: Cho k = 0 Bước 1: Nếu uk = PK uk − αk F uk 19 thì dừng Bước 2: Đặt _k u = PK uk − αk F uk , _k uk+1 = PK uk − αk F u , (2.1) thay k bởi k + 1 và quay lại bước 1 Chú ý 2.1 Không giống như phương pháp gradient kéo dài cổ điển của... lồi, đóng K thì u∗ ∈ Sol (K, F ) khi và chỉ khi F (u) , u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ K Kết quả trên được gọi là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Nó là sự tổng quát của bổ đề Minty cổ điển 1.3 Phép chiếu metric Để giải bài toán (1.1) ta sử dụng phương pháp chiếu Nội dung của phương pháp này dựa trên phép chiếu từ mọi điểm của không gian lên tập K Mệnh đề 1.3 (Xem [11, Chương 1, Bổ đề 2.1]) Cho... ε↓0 đường kính của tập con Ω ⊂ Rn 1.5 Thuật toán điểm gần kề Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov khả năng tính toán bị hạn chế Cụ thể là, khi εk → 0 làm đảo lộn sự gần đúng của bài toán ban đầu do đó có nhiều khó khăn hơn khi giải thậm chí là không đúng Thuật toán điểm gần kề (viết tắt là PPA) đã giải quyết những khó khăn như vậy Thuât 15 toán điểm gần kề cho bài toán V I (K, F ) được mô tả như sau Chọn u0... 0 và PK (v) − PK (u) , PK (u) − u ≥ 0 Cộng bất đẳng thức lại với nhau và sắp xếp lại số hạng, ta được PK (u) − PK (v) , u − v ≥ PK (u) − PK (v) 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, PK (u) − PK (v) u − v ≥ PK (u) − PK (v) , u − v Do vậy, khẳng định (b) được chứng minh Trở lại bài toán V I (K, F ), từ Định lý 1.1, ta có thể biểu thị nghiệm của bất đẳng thức qua phép chiếu metric Hệ quả 1.2 Cho K... và lồi trong H Vì F là giả đơn điệu trên K nên bài toán V I (KB , F ) có một nghiệm (áp dụng [18, Định lý 2.3]) PK uk − αk F uk PK uk − αk F uk ≤ L−1 R + R, ⊂ B Vì vậy, ta có PK uk − αk F uk = PKB uk − αk F uk và uk+1 = PK uk − αk PK uk − αk F uk = PKB uk − αk PKB uk − αk F uk 27 Suy ra uk là dãy sinh bởi phương pháp gradient cải biên kéo dài trong giải phương trình V I (KB , F ) Vì Sol (KB , F ) khác