Chủ đề 5 bài toán về góc

CHỦ ĐỀ 5 BÀI TOÁN VỀ GÓC Vấn đề 1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1 Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng , lần lượt song song với a và b Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng và không thay đổi Do đó ta có định nghĩa Định nghĩa Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b 2 Cách xác định góc giữa hai đường t.

CHỦ ĐỀ 5: BÀI TỐN VỀ GĨC Vấn đề 1: GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa góc hai đường thẳng Trong không gian cho đường thẳng a, b Từ điểm O ta vẽ đường thẳng a ′ , b′ song song với a b Ta nhận thấy điểm O thay đổi góc đường thẳng a ′ b′ không thay đổi Do ta có định nghĩa: Định nghĩa: Góc đường thẳng a b khơng gian góc đường thẳng a ′ b′ qua điểm song song với a b Cách xác định góc hai đường thẳng Để xác định góc đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại r r r r Nếu u vecto phương đường thẳng a v vecto phương đường thẳng b u; v = α ( ) góc đường thẳng a b α ≤ α ≤ 90° 180° − α 90° < α ≤ 180° Nếu đường thẳng a b song song trùng góc chúng 0° Góc đường thẳng góc có số đo ≤ α ≤ 90° Phương pháp tính góc hai đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng không gian cần nhớ công thức sau: · ■ Định lý hàm số cosin tam giác ABC: cos BAC = · Tương tự ta có: cos ABC = AB2 + AC − BC 2.AB.AC BA + BC − AC CA + CB2 − AB2 · cos ACB = 2.BA.B C 2.CA.CB uuu r uuu r · = ( AB2 + AC − BC ) Chú ý: AB.AC = AB.AC cos BAC uuu r uuu r ■ Tính góc hai đường thẳng AB CD ta tính góc hai vectơ AB CD dựa vào công thức uuu r uuu r uuu r uuu r AB.CD uuu r uuu r AB.CD cos AB;CD = uuu r uuu r ⇒ cos ( AB; CD ) = uuu r uuu r từ suy góc hai đường thẳng AB CD AB CD AB CD ( ) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) SA = a Gọi M, N trung điểm AB SC Tính cosin góc hai đường thẳng AN CM Lời giải Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy AM = CE = a ( ) ( ) · · AE = ϕ = AN; Khi AE / /CM ⇒ AE;CM Mặt khác SC = SA + AC = 2a ⇒ độ dài đường trung tuyến AN AN = SC a = a.AE = CM = 2 Do ∆ABC nên CM ⊥ AM ⇒ AMCE hình chữ nhật Khi CE ⊥ AE mà CE ⊥ SA ⇒ CE ⊥ ( SAE ) ⇒ CE ⊥ SE ∆SEC vuông E có đường trung tuyến EN = SC = a AN + AE − NE 3 = > ⇒ cos ϕ = 2.AN.AE 4 uuu r uur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r Cách 2: Ta có: AN = AS + AC ; CM = AM − AC = AB − AC 2 · Ta có: cos NAE = ( ) uuu r uuur uur uuu r  uuu r uuu r  uuu r uuu r 1 a −3a 2 Khi AN.CM = AS + AC  AB − AC ÷ = AB.AC − AC = a cos 60° − = 2 2  ( Lại có: AN = ) SC a = a;CM = ⇒ cos ϕ = 2 −3a a a = Bình luận: Dựa vào hai cách làm ta thấy rằng, số trường hợp, việc sử dụng cơng cụ vectơ để tính góc hai đường thẳng giúp toán trở nên dễ ràng nhiều! Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = a; AC = a BC = a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AB Lời giải Cách 1: Gọi M, N, P trung điểm SA, SB AC Khi ( ) ( )  MP / /SC · AB = MP; · MN ⇒ SC;  N / /AB  Ta có: MN = AB a SC a = ; MP = = 2 2 Mặt khác ∆SAC vuông S ⇒ SP = BP = AC a = 2 BA + BC2 AC2 a − = a ⇒ BP = 2 Suy PN = PS2 + PB2 SB2 3a a − = ⇒ NP = 4 ( ) MN + MP − NP · · AB = 60° = − ⇒ NMP = 120° ⇒ ϕ = SC; 2.M N.MP uuu r uur uur uuu r uur uur uur uur uur uur uur uur Cách 2: Ta có: AB = SB − SA ⇒ AB.SC = SB − SA SC = SB.SC − SA.SC · Khi cos NMP = ( ) 1 a2 2 2 2 = ( SB + SC − AC ) − ( SA + SC − AB ) = − 2 −a Suy cos ( SC; AB ) = = ⇒ ( SC; AB ) = 60° a.a Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = x1 , CD = x ; AC = y1 , BD = y , BC = z1 , AD = z Tính góc hai đường thẳng BC AD Lời giải uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur uuu r BC.DA = BC DC + CD = CB.CD − CB.CD Ta có: ( ) 1 CB2 + CD2 − BD ) − ( CB2 + CA − AB2 ) = ( AB2 + CD − BD − CA ) ( 2 uuu r uuur BC.DA x + x + y − y 2 Khi cos ( BC; DA ) = = BC.DA 2z1z = α =   Đặc biệt: Nếu AB = CD = x; AC = BD = y BC = AD = z ta đặt β =  γ =  · AD ( BC; ) · ( AB;CD ) ta có: · BD ( AC; ) y2 − z2 x − y2 z2 − z2 cos α = ;cos β = ;cos γ = z2 x2 y2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh 2a, SA ⊥ ( ABCD ) SB = a Gọi M trung điểm AB N trung điểm BC Tính cosin góc đường thẳng SM DN Lời giải ■ Cách 1: Do SA ⊥ ( ABCD ) Ta có: SA = SB2 − AB2 = a Gọi E trung điểm AD I trung điểm AE Dễ thấy BNDE hình bình hành MI đường trung bình tam giác ABE Khi DN / /BE / /MI Tacó: AM = a; AI = AE a = 2 Mặt khác: SM = SA + AM = 2a ;SI = 5a 5a SM + MI − SI 10 · · DN) Do MI = AI + AM = cosSMI = = = cos(SM; 2.SM.MI uuu r uuur uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur ■ Cách 2: Ta có: SM.DN = SM SN − SD = SM.SN − SM.SD 2 ( ) 1 = ( SM + SN − MN ) − ( SM + SD − MD ) 2 AC = a 2,SD = 5a , MD = 5a 2 2 2 2 Mặt khác: SN = SA + AN = SA + AB + BN = 6a , MN = uuu r uuur Do SM.DN = 2a ⇒ cos ( SM; DN ) = 2a 2a 10 = = SM.DN a 2.a 5 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a; AD = a 2, SA ⊥ ( ABCD ) SA=2a a) Tính cosin góc hai đường thẳng BC SD b) Gọi I trung điểm CD Tính cosin góc hai đường thẳng SB AI Lời giải · BC) = (SD; · AD) = SDA · a) Do BC / /AD ⇒ (SD; AD · = ∆SAD vuông A ⇒ cosSDA = SD AD AD + SA 2 = b) Gọi M, K trung điểm AB SA MK đường trung bình tam giác SAB Khi MK / /SB , mặt khác MC / /AI · AI) = (MK; · CM) Suy (SB; Ta có: MK = SB SA + AB2 a MC = MB2 + BC2 = 3a ; ; KC = KA + AC2 = 2a = = 2 2 ( ) KM +MC2 − KC · · AI = cosKMC = =− ⇒ cos SB; Khi 2.KM.MC 5 uur uur uur ur uur uur ur uur uur Cách khác: Ta có: SB.AI = SB SI − SA = SB.SI − SB.SA ( = ) 1 SB2 + SI − IB2 ) − ( SB2 + SA − AB2 ) ( 2 25a 3a Do SB = 5a ;SI = SA + AD + DI = ; AI = AD + DI = = IB 2 2 2 uur uu r SB.AI a2 uur uu r a2 = = Suy SB.AI = ⇒ cos ( SB; AI ) = SB.AI a 3a · Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC = 60° Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SC tạo với đáy góc 30° Tính cosin góc a) SD BC b) DH SC, với H chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD) Lời giải · a) Do AB = BC = a , ABC = 60° ⇒ ∆ABC cạnh a Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cân S nên SH ⊥ AB ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Mặt khác  AB = ( SAB ) ∩ ( ABCD ) ( ) a · · , SC; ( ABC ) = SCH = 30° ∆ABC nên CH = a Ta có: SH = HC tan 30° = a · · Do ABC = 60° ⇒ BAD = 120° ⇒ HD = AH + AD − 2AH.AD cos120° = Suy SA = SH + HA = a , SD = SH + HD = a ( ) ( ) DS2 + DA − SA · · · = AD;SD Mặt khác AD / /BC ⇒ BC;SD , cosSDA = = 2.DS.DA ( ) · Do cos BC;SD = uur uuur uur uur uur uur uur uur uur b) Ta có SC.DH = SC SH − SD = SC.SH − SC.SD ( = ) 1 3a 2 2 2 SH + SC − HC − SC + SD − CD = − ( ) 2( ) uur uuur SC; DH 3a 2 = = Mặt khác: SC = SH + HC = a ⇒ cos ( SC; DH ) = SC.DH 14 a a  DH / /BI  Cách khác: Gọi I trung điểm CD ⇒  a , gọi M trung điểm SD  DH = BI =  MI/ / SC  a ⇒ SC a Lại có: BD = a ; SB = SH + HB2 = MI = = Do BM = BD + BS2 SD 5a MI2 + IB2 − MB2 17 · − = ⇒ cos MIB = = 4 2.IM.IB 14 ( ) 17 · Suy cos DH;SC = 14 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD = 2AB = 2CD = 2a SA ⊥ ( ABCD ) Biết SC tạo với đáy góc 60° Tính cosin góc giữa: a) BC SD b) AI SD với I trung điểm CD Lời giải a) Ta có: AC = AB2 + BC = a ) ( · · = 60° Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SC; ( ABC ) = SCA Khi SA = AC tan 60° = a ( ) ( ) · · = AD;SD Do AD / /BC ⇒ BC;SD · Mặt khác cos ADS = = 2a 6a + 4a AD AD   =   SD SA + AD 10 = cos(·BC;SD)  = b) Gọi E trung điểm AD ⇒ AE = DE = BC = a ⇒ ABCE hình vng cạnh a Do CE = AD ⇒ ∆ACD vuông C a uur uur ur uur uur ur uur uur uur 2 2 2 Lại có: AI.SD = SI − SA SD = SI.SD − SA.SD = SI + SD − DI − SA + SD − AD 2 Ta có: CD = CE + ED = a ⇒ ID = ( ) Trong AI = AC2 + CI = ( ) ( ) 5a 17a ⇒ SI = SA + AI = 2 uur uur 3a 3a = = Do AI.SD = 3a ⇒ cos ( AI;SD ) = AI.SD a 10 MI / /SD a 10 SC  Cách khác: Gọi M trung điểm SC ⇒  SD a 10 , AI = , AM = = a = MI =  2 IM + IA − AM · Khi MIA = = 2.IM.IA Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu điểm A′ xuống mặt đáy (ABC) trung với trung điểm BC Biết cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60° a) Tính tan góc tạo B′C′ A′C b) Cosin góc tạo CC′ AB Lời giải a) Gọi H trung điểm BC ( ) ( ) · ′C′; A′C = BC; · A′C = A · ′CH Ta có: BC/ / B′C′ ⇒ B ( ) · · ′H = 60° Mặt khác A′H ⊥ ( ABC ) ⇒ AA′; ( ABC ) = AA AH = a 3a ⇒ A′H = AH tan 60° = 2 · ′CH = Xét tam giác vuông A′HC ta có: tan A ( A′H = HC ) · ′; A′C = Vậy BC b) Do CC′ / /AA′ ⇒ (·CC′; AB ) = (·AA′; AB ) Ta có: A′A = AH + HA = a A′B = A′H + HB2 = Vậy cos ( CC′; AB ) = 2 a 10 · ′AB = AA′ + AB − A′B = ⇒ cos A 2.AA′.AB Vấn đề 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ■ Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 90° (hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a ′ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng khơng vượt 90° ■ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Cách tìm hình chiếu a ′ a mặt phẳng (P) ta làm sau: Tìm giao điểm M = a ∩ ( P ) Tìm điểm A tùy ý đường thẳng a ( A ≠ M ) xác định hình chiếu vng góc H A mặt · phẳng (P) Khi đó, a ′ đường thẳng qua hai điểm A M Ta có: β = (·a; ( P ) ) = AMH  HM cos β = AM  AH  Xét tam giác vng AMH ta có:  tan β = (trong d ( A; ( P ) ) khoảng cách từ điểm A MH   AH d ( A; ( P ) ) = sin β =  AM AM đến mặt phẳng (P))  Dạng 1: Góc cạnh bên mặt đáy Tìm góc cạnh bên SA mặt đáy (ABC) Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy (ABC) Như HA hình chiếu vng góc SA (ABC) ( ) · · · H Vậy SA; ( ABC ) = ( SA; HA ) = SA Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, có AB = a; BC = a Biết SA ⊥ ( ABC ) , SB tạo với đáy góc 60° M trung điểm BC a) Tính cosin góc SC mặt phẳng (ABC) b) Tính cosin góc SM mặt phẳng (ABC) Lời giải ) ( · · = 60° a) Do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SB; ( ABC ) = SBA · Do SA = AB tan SBA = a tan 60° = a · Ta có: AC = AB2 + BC = 2a; (·SC; ( ABC ) ) = SCA AC AC 2a · = = = Khi đó: cosSCA = SC SA + AC2 3a + 4a · b) Do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ (· SM; ( ABC ) ) = SMA = ϕ a 3 a Ta có: AM = AB + BM = a +  = ÷  ÷   Khi cos ϕ = 2 AM AM 133 = = 2 SM 19 SA + AM Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật có AB = a; AD = a Tam giác (SAB) thuộc mặt phẳng vng góc với đáy a) Tính góc SB, SC mặt phẳng (ABCD) b) Gọi I trung điểm BC Tính tan góc SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi H trung điểm AB ta có: SH ⊥ AB ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Mặt khác  AB = ( SAB ) ∩ ( ABCD ) Tam giác SAB cạnh 2a nên SH = a 3, HC = HB2 + BC = a ) ( · · = 60° Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SB; ( ABCD ) = SBH SH · ( ABCD ) = SCH · = = ) · tan SCH ( SC; HC 2 a a b) Ta có: HI = HB + BI = a +  ÷ = 2 2 ) ( SH a 15 · · · Mặt khác SI; ( ABCD ) = SIH SIH = =a 3: = SI Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy nửa lục giác cạnh a, AD = a Biết SA ⊥ ( ABCD ) đường thẳng SB tạo với đáy góc 45° a) Tính cosin góc tạo cạnh SC, SD mặt đáy (ABCD) b) Gọi I trung điểm CD, tính tan góc tạo SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi O trung điểm AD ⇒ OABC hình thoi cạnh a ⇒ CO = a = AD ⇒ ∆ACD vuông C · Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ (· SB; ( ABCD ) ) = SBA = 45° Do SA = AB tan 45° = a · AC = AD − CD2 = a ⇒ cos (·SC; ( ABC ) ) = cos SCA = AC AC a 3 = = = 2 2 SC SA + AC a + 3a ( ) · ( ABCD ) = cosSDA · cos SD; = AD SA + AD = a a 13 b) Ta có: AI = AC2 + CI = 3a +  ÷ = 2 SA · · = = Do tan ( SI; ( ABCD ) ) = tan SIA AI 13  Dạng 2: Góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao Tìm góc cạnh bên SB mặt phẳng (SHA) với ( SHA ) ⊥ ( ABH ) Dựng BK ⊥ AH , có BK ⊥ SH ⇒ BK ⊥ ( SHA ) Suy K hình chiếu vng góc B mặt phẳng (SAH) · Vậy (·SB; ( SAH ) ) = (·SB;SK ) = BSK Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB = a, AD = a 3,SA ⊥ ( ABCD ) Biết SC tạo với đáy góc 60° Tính cosin góc tạo bởi: a) SC mặt phẳng (SAB); SC mặt phẳng (SAD) b) SD mặt phẳng (SAC) Lời giải · Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ (· SC; ( ABCD ) ) = SCA = 60° Lại có: AC = AB2 + AD = 2a ⇒ SA = AC tan 60° = 2a SB = SA + AB2 = a 13   2 Khi SD = SA + AD = a 15  2 SC = SA + AC = 4a CB ⊥ SA · ⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ (·SC; ( SAB ) ) = CSB Do  CB ⊥ AB  · Mặt khác cos CSB = SB 13 = SC SD 15 · · Tương tự CD ⊥ ( SAD ) ⇒ (·SC; ( SAD ) ) = CSD cosSCD = = SC Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, BD = a 3,SA ⊥ ( ABCD ) Biết SC tạo với đáy góc 60° Tính tan góc tạo bởi: a) SC mặt phẳng (SAB) b) SD mặt phẳng (SAC) Lời giải a) Ta có: AC ⊥ BD O Khi OA = OC,OB = OD Câu 21: Gọi H trung điểm BC SH ⊥ ( ABC ) AH = HB = BC a = Lại có: 2 a a ⇒ SH = SB2 − HB2 = 2 SH · · = = Góc SA (ABC) SAH , tan SAH HA · Do SAH = 60° Chọn C Câu 22: Do SAB tam giác nên H trung điểm cạnh AB Ta có: SH ⊥ AD mà ABCD hình vng nên AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ ( SBA ) Trong tam giác SAB dựng đường cao BK ⇒ K trung điểm SA · Lại có: AD ⊥ BK ⇒ BK ⊥ ( SAD ) ⇒ α = BDK Đặt AB = a ⇒ BD = a 2; BK = Do sin α = a BK a Chọn D = :a = BD BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) Câu 23: Do  BD ⊥ SA Do góc BD (SAC) 90°  IK / /SA Mặt khác  (tính chất đường trung bình)  KJ / / SC Suy ( IJK ) / / ( SAC ) ⇒ BD ⊥ ( IJK ) Vậy góc BD (IJK) 60° ⇒ C sai Chọn C  BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAH ) Câu 24: Ta có   BC ⊥ AH BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAK ) ⇒ điểm S, A, H, K đồng phẳng Tương tự  BC ⊥ SK BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ SC Lại có:  BH ⊥ AC  BH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( BHK ) ⇒ SC ⊥ HK Khi   BK ⊥ SC Mặt khác HK ⊥ BC ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ Số đo góc HK (SBC) 90° Chọn B Câu 25: Do CC′ ⊥ ( ABCD ) ⇒ góc A′C (ABCD) · ′AC ⇒ tan α = CC′ = Chọn B C AC Câu 26: Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC Mặt khác ABCD hình chữ nhật nên BC ⊥ AB · Suy BC ⊥ ( SAB ) ⇒ góc SC (SAB) α = CSB Khi tan α = BC BC a = = = Chọn C SB SA + AB2 a Câu 27: Gọi O tâm hình vng ABCD SO ⊥ ( ABCD ) Gọi H trung điểm OC Do M, H trung điểm SA, OC ⇒ MH đường trung bình ∆SAO ⇒ MH / /SO · ⇒ MH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MNH = 45° Lại có: AC = a 3a a ⇒ HC = AC = ; CN = Do đó: HN = HC2 + CN − 2CH.CN.cos 45° = ∆MHN vuông cân H ⇒ HM = HN = ⇒ SO = 2MH = a 10 a 10 a 10 Chọn C  BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAH ) Câu 28: Ta có   BC ⊥ AH BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAK ) ⇒ điểm S, A, H, K đồng phẳng Tương tự  BC ⊥ SK BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ SC Lại có:  BH ⊥ AC  BH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( BHK ) ⇒ α = 90° Chọn D Khi   BK ⊥ SC Câu 29: Ta có SM ⊥ ( ABCD ) Dựng NK ⊥ MC góc  NK ⊥ SM ⇒ NK ⊥ ( SMC ) Khi   NK ⊥ CM Lại có: SM = a a ; MN = BD = 2 ⇒ SN = SM + MN = a Mặt khác CM = BM + CB2 = SAMN a ;SABCD = a a2 a2 3a = AM.AN = ;SBMC = SDNC = ⇒ S NMC = SABCD − SAMN − SMBC − SNCD = 8 Khi NK = 2SNMC NK = ⇒ sin ϕ = = Chọn D CM 10 SN Câu 30: Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )  BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ ( SAB ) Khi   BC ⊥ AB Dựng AK ⊥ SB ⇒ AK ⊥ ( SBC ) Do AD / /BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( D; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) = AK = a SD = SH + HD = SH + AH + AD = a Khi sin (·SD; ( SAB ) ) = d ( D; ( SBC ) ) SD = Chọn D BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ AP Câu 31: Ta có  BC ⊥ AB Lại có: AP ⊥ SB ⇒ AP ⊥ ( SBC ) ⇒ AP ⊥ SC Tương tự AQ ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( APQ ) Dựng AN ⊥ SC · Gọi I = CM ∩ NQ ⇒ CN ⊥ ( APQ ) ; (· CM; ( APQ ) ) = CIN · Ta có cos NCI = SC + CM − SM 2.SC.CM Trong SC = a 5;SM = a CM = SC2 + CD2 SD 10 · − = a ⇒ cos NCI = 10 · · · ⇒ sin NCI = − cos NCI = = cos CIN = cos ϕ Chọn A 10 ( ) ( ) · Câu 32: Do d1 ⊥ ( α ) , d ⊥ ( β ) ⇒ ( α ) ; ( β ) = d· ;d Chọn B Câu 33: Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC BC ⊥ ( SBA ) ⇒ góc mặt phẳng (SBC) Mặt khác BC ⊥ AB ⇒  BC ⊥ SBC ∩ ABC ( ) ( )  mặt · phẳng (ABC) góc SBA Chọn B Câu 34: Dựng AK ⊥ BC , tam giác ABC nên AK = AB = a BC ⊥ ( SKA ) SA ⊥ BC ⇒ ⇒ góc tạo hai mặt phẳng Lại có:  AK ⊥ BC BC ⊥ ( SBC ) ∩ ( ABC ) · (SBC) (ABC) góc SKA · = Mặt khác tan SKA SA · = ⇒ SKA ≈ 49, 6° Chọn B AK Câu 35: ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD O BD ⊥ ( SOA ) Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SA ⇒  BD = ( SBD ) ∩ ( ABC ) Suy SA a · · ⇒ tan SOA = = =1 ( SBD ) ; ( ABCD ) ) = SOA (· AO a · Vậy (· = 45° Chọn C ( SBD ) ; ( ABCD ) ) = SOA Câu 36: Ta có cơng thức: S′ = Scos ϕ Trong ϕ góc mặt phẳng (P) (ABC) Do đó: SA′B′C′ = SABC cos ϕ Chọn B Câu 37: Do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆ABC hình chiếu ∆SBC mặt phẳng ( ) · khác ϕ = ( SBC ) ; ( ABC ) Ta có cơng thức: SABC = SSBC cos ϕ Chọn A (ABC) Mặt Câu 38: ABCD hình vng nên AC ⊥ BD O Lại có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ ( SOA ) · Do (· Chọn A ( SBD ) ; ( ABCD ) ) = SOA Câu 39: Gọi d = ( SAB ) ∩ ( SCD ) Do AB / /CD ⇒ d / /AB / /CD Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AB Lại có: AD ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SAD ) Vì d / /AB ⇒ d ⊥ ( SAD ) ⇒ góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc SA SD Chọn A Câu 40: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AB Lại có: AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SAD ) Do góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) 90° Chọn C Câu 41: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD Mặt khác CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SDA ) · Mà CD = ( SCD ) ∩ ( ABCD ) ⇒ (· ( SCD ) ; ( ABCD ) ) = SDA · = Lại có: tan SDA SA · = ⇒ SAD = 60° Chọn B AD Câu 42: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD Mặt khác CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SDA ) ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SAD ) ⇒ góc hai mặt phẳng (SCD) (SAD) 90° Chọn A Câu 43: ABCD hình vng nên BD ⊥ AC Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD Do BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC Lại có: OH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( BHD ) Mà SC = ( SBC ) ∩ ( SCD ) ⇒ góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) góc BH DH Chọn D a · Câu 44: Ta có (· = ϕ , ∆SBC nên SM = ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = SMO Lại có: AM = ⇒ tan ϕ = a AM a ⇒ OM = = SO SM − OM = = 2 Chọn A OM OM Câu 45: Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ CD Dựng OK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SKO ) ⇒ góc mặt bên (SCD) mặt phẳng đáy · chóp SKO ∆SCD cạnh a ⇒ SK = · Do tan SKO = a AD a ;OK = = 2 SO SK − OK = = Chọn C OK OK Câu 46: Tam giác ABC vuông cân B nên AC = AB Suy AB = a Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC ) ( · · Do BC ⊥ ( SBA ) ⇒ ( SBC ) ; ( ABC ) = SBA · = Lại có: tan SBA SA a · = = ⇒ SBA = 60° Chọn A AB a SA ⊥ ( BAD ) · ⇒ (· SAB ) ; ( SAD ) = BAD Câu 47:  SA = SAB ∩ SAD ( ) ( )  ( ) · Do AB = AD = BD = 2a ⇒ ∆ABD nên BAD = 60° Vậy (· ( SAB ) ; ( SAD ) ) = 60° Chọn A Câu 48: Do ( ABCD ) / / ( A′B′C′D′ ) Do ( (·A′BD ) ; ( A′B′C′) ) = ( (·A′BD ) ; ( ABC ) ) = ϕ Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ AO ⊥ BD Mặt khác BD ⊥ AA′ ⇒ BD ⊥ ( A′AO ) · ′OA Do ϕ = A AA′ = a AA′ a tan ϕ = =  Đặt AB = a ⇒  OA a a suy OA =  ⇒ tan ϕ = ⇒ ϕ ≈ 54°44′ Chọn A · Câu 49: SA ⊥ ( CAB ) ⇒ (· ( SAC ) ; ( SAB ) ) = CAB · Do tam giác ABC nên CAB = 60° Chọn C Câu 50: Do ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD Mặt khác SC ⊥ ( ABCD ) ⇒ SC ⊥ BD Do BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAC ) Vậy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBD) 90° Chọn C Câu 51: Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ CD Dựng OK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SKO ) ⇒ góc mặt bên (SCD) mặt phẳng đáy · chóp SKO =ϕ Đặt AB = AD = a ⇒ SC = 2a Ta có: OK = AD a a = ;CK = 2 ⇒ SK = SC2 − CK = Khi cos ϕ = a 15 OK = ⇒ ϕ ≈ 75°2′ Chọn A SK 15 Câu 52: Dựng MK ⊥ CD , SM ⊥ ( ABCD ) ⇒ SM ⊥ CD CD = ( SCD ) ∩ ( ABCD ) Khi ta có:  CD ⊥ ( SKM ) ) ( · ⇒ (· SCD ) ; ( ABCD ) = SKM =ϕ Do ∆SAB nên SM = ⇒ tan ϕ = a , MK = AD = a AM = ⇒ ϕ ≈ 40°53′ Chọn C MK SOBC = SSBC cos ϕ  Câu 53: Ta có SOAB = SSAB cos ϕ với ϕ = 30° góc tạo mặt bên mặt đáy S  OAC = SSAC cos ϕ Do diện tích đáy Sđ = Sxq cos ϕ = 90.cos 30° ≈ 78cm Chọn D Câu 54: Gọi O tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ BD Mặt khác BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( MBD ) ⊥ ( SAC ) nên góc hai mặt phẳng (MBD) (SAC) 90° Chọn C Câu 55: Ta có BD = ( SBD ) ∩ ( ABCD ) Dựng AH ⊥ BD , mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD ) ( · · Do BD ⊥ ( SHA ) ⇒ ( SBD ) ; ( ABCD ) = SHA Lại có: AH = AB.AD AB2 + AD = 2a SA · ⇒ tan SHA = = AH Chọn A Câu 56: Ta có ( ABC ) / / ( A′B′C′ ) ( ) ( ⇒ (· A′BC ) ; ( A′B′C′ ) = (· A′BC ) ; ( ABC ) ) → BC ⊥ ( A′AB ) Lại có AB ⊥ BC mà AA′ ⊥ BC  Khi ( (·A′BC) ; ( ABC ) ) = (·A′B; AB) = A· ′BA · ′BA = Tam giác A′AB vuông A, có cos A AB · ′BA = 60° = ⇒A ′ AB Vậy ϕ = 60° Chọn D Câu 57: Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Gọi M, N trung điểm BC, BM Ta có AM ⊥ BC mà HN / /AM ⇒ HN ⊥ BC ) ( · · Lại có SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SHN ) ⇒ ( SBC ) ; ( ABC ) = SNH Tam giác SHN vng H, có · tan SNH = SH AM a a · = SH : = : = ⇒ SNH ≈ 63°26′ HN 2 Vậy ϕ ≈ 63°26′ Chọn D Câu 58: Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có MA ⊥ BD ; AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( MAO ) Khi · ( (·MBD ) ; ( ABCD ) ) = (·MO; OA ) = MOA Tam giác MAO vng A, có · tan MOA = MA AA′ · = = ⇒ MOA ≈ 35°15′ Chọn A OA AC Câu 59: Gọi M trung điểm AB ⇒ ADCM hình vng Khi AC = a ; AM ⊥ AB AB = 2a ⇒ AC ⊥ BC ) ( · · Mà SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBC ) ; ( ABCD ) = SCA · Tam giác SAC vng S, có tan SCA = Vậy tan (· ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = SA = AC 2 Chọn B Câu 60: Ta có SA đường cao ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB Lại có ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA;  ( SAC ) ∩ ( ABC ) = AC Suy · ( (·SAB) ; ( SAC ) ) = (·AB; AC) = BAC · = Tam giác ABC vuông B, có tan BAC ( BC = AB ) · ⇒ BAC = 30°  → (· SAB ) ; ( SAC ) = 30° Chọn D Câu 61: Ta có SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ( SBC ) ∩ ( SAB ) = SB Lại có ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC ;  ( ABCD ) ∩ ( SAB ) = AB · Suy (· ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = (·SB; AB ) = SBA · = Tam giác SAB vng A, có tan SBA SA = AB ) ( · ⇒ SBA = 60°  → (· SBC ) ; ( ABCD ) = 60° Chọn B Câu 62: Gọi M trung điểm BC  ∆ABC cân A  → AM ⊥ BC (1)  ∆BCD cân D  → DM ⊥ BC (2) ) ( · · Từ (1), (2) suy BC ⊥ ( ADM ) ⇒ ( ABC ) ; ( BCD ) = AMD Tam giác ABM vuông M ⇒ AM = AB2 − BM = a 2 Tam giác BDM vuông M ⇒ DM = BD − BM = a 2 Xét tam giác ADM có AM = DM = · Suy cos AMD = Vậy a a ; AD = 2 AM + DM − AD · = − ⇒ AMD = 120° 2.AM.DM ( (·ABC) ; ( BCD ) ) = 180° −120° = 60° Chọn B Câu 63: Kẻ AH ⊥ BD ( H ∈ BD ) mà SA ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SAH ) ( SAH ) ∩ ( SBD ) = SH · ⇒ (· SBD ) ; ( ABCD ) = SHA Ta có  ( SAH ) ∩ ( ABCD ) = AH ) ( Tam giác ABD vuông A, có AH = AB.AD AB2 + AD · = Tam giác SAH vng A, có tan SHA = a SA = Chọn C AH Câu 64: Chọn ϕ = 60° Gọi O tâm hình vng ABCD ( ) · ( ABCD ) = (·SA; AO ) = SAO · ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA; = 60° · Tam giác SAO vng O, có tan SAO = SO a ⇒ SO = OA → AB ⊥ ( SMO ) Gọi M trung điểm AB  Suy · =α ( (·SAB) ; ( ABCD ) ) = (·SM;OM ) = SMO · = Tam giác SMO vng O, có tan SMO SO = OM ⇒ tan α = tan ϕ Chọn B  AB = Câu 65: Chọn AA′ = 4AB = 2AD = ⇒ AA ′ = 4;   AD = Kẻ AH ⊥ BD ( H ∈ BD ) mà AA′ ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( A′AH ) ( A′AH ) ∩ ( A′BD ) = A′H ⇒ (· ( A′BD ) ; ( ABCD ) ) = A· ′AH Ta có  ′ ( A AH ) ∩ ( ABCD ) = AH Tam giác ABD vng A, có AH = AB.AD AB + AD · = Tam giác A′AH vng A, có tan SHA = 5 A′A = Chọn A AH Câu 66: Gấp miếng bìa ta hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ Theo giả thiết, ta có AA′ = 30 , ABCD hình vng cạnh 10 Ta có AD ⊥ AB ; AA′ ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( ADD′A′ ) ( ) · ′AD ⇒ (· ABC′D′ ) ; ( ABCD ) = (·D′A; AD ) = D · ′AD = Tam giác D′AD vng D, có tan D DD′ =3 AD · ′AD = arctan = 71°33′ Vậy ϕ ≈ 71°33′ Chọn D Suy D Câu 67: Đặt SA = SB = SC = a ·  Tam giác SAB có ASB = 120°  → AB = ·  Tam giác SBC có BSC = 90°  → BC = ·  Tam giác SCA có CSA = 60°  → AC = Suy AC2 + BC2 = AB2 ⇒ ∆ABC vng C Do đó, hình chiếu H S (ABC) trung điểm AB Gọi M trung điểm BC ⇒ HM / /AC ⇒ HM ⊥ BC ( ) · · Mà SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SHM ) ⇒ ( SBC ) ; ( ABC ) = SMH · = Tam giác SHM vng H, có tan SMH SH =1 HM · Vậy SMH = 45°  → (· ( SBC ) ; ( ABC ) ) = 45° Chọn C Câu 68: Đặt SA = SB = SC = a ·  Tam giác SAB có ASB = 120°  → AB = ·  Tam giác SBC có BSC = 90°  → BC = ·  Tam giác SCA có CSA = 60°  → AC = Suy AC2 + BC2 = AB2 ⇒ ∆ABC vng C Do đó, hình chiếu H S (ABC) trung điểm AB Gọi M trung điểm AC ⇒ HM / /BC ⇒ HM ⊥ AC ) ( · · Mà SH ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( SHM ) ⇒ ( SAC ) ; ( ABC ) = SMH · = Tam giác SHM vng H, có tan SMH SH = HM ) ( · Vậy tan ( SBC ) ; ( ABC ) = Chọn A Câu 69: Kẻ OH ⊥ SC ( H ∈ SC ) mà BD ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( HBD ) Ta có ( HBD ) ∩ ( SCD ) = HD ; ( HBD ) ∩ ( SBC ) = HB Suy 60° · = ( (·SBC) ; ( SCD ) ) = (·BH; DH ) = BHD 180° − 60° = 120° ·  TH1 BHD = 60° mà BH = DH ⇒ ∆HBD ⇒ BH = a Tam giác SAB vuông A  → SB2 = SA + AB2 = x + a Tam giác SBC vuông B ⇒ ⇔ ( a 2) = 1 = + 2 BH SB BC2 1 +  → vô nghiệm (loại) x +a a a ·  TH2 BHD = 120° mà BH = DH ⇒ BH = a : = Tam giác SAB vuông A  → SB2 = SA + AB2 = x + a Tam giác SBC vuông B⇒ 1 1 = + ⇔ 2 BH SB BC a ( ) ) ( · · = 45° Câu 70: SA ⊥ ( AMN ) ⇒ ( SAM ) ; ( SAN ) = MAN · · · · · Lại có BAM + MAN + NAD = 90° ⇒ BAM + NAD = 45° · · tan BAM + tan NAD · · + NAD = Khi tan 45° = tan BAM · · − tan BAM.tan NAD ( ) = 1 + ⇒x=a Chọn A x +a a BM ND + a−x a−y a−x a−y ⇔ = AB AD ⇔ − = + BM ND a a a a 1− AB AD ⇔ a − ( a − x ) ( a − y ) = a ( 2a − x − y ) ⇔ 2a + xy = 2a ( x + y ) Chọn A ... α ) , d / / ( β ) Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề mệnh đề đúng? A Góc ( α ) ( β ) góc d d B Góc ( α ) ( β ) góc d1 d C Góc ( α ) ( β ) góc d1 d D Góc ( α ) ( β ) góc d d Câu 33: Cho hình chóp... ABCD có cạnh AB, BC, BD vng góc với đôi Khẳng định sau đúng? · A Góc CD (ABD) góc CDB · B Góc AC (BCD) góc ACB · C Góc CD (ABC) góc DBC · D Góc AC (ABD) góc CAB Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có... 60° B ϕ ≈ 54 °23′ C ϕ = 45? ? D ϕ ≈ 63°26′ Câu 58 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh a M trung điểm AA′ Góc hai mặt phẳng (ABCD) (MBD) gần góc nhất? A 35? ? B 42° C 50 ° D 60° Câu 59 : Cho hình