Hình 11 phần 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG góc

CHUYÊN ĐỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN BÀI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN – HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ + Phát biểu tích vơ hướng hai vectơ, góc hai đường thẳng  Kĩ + Chứng minh đẳng thức vectơ, biểu diễn vectơ theo vectơ không trùng phương với + Nắm phương pháp chứng minh phương hai vectơ, tìm điều kiện ba vectơ đồng phẳng + Tính góc hai đường thẳng Vận dụng tích vơ hướng hai vectơ để giải tốn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM A VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các định nghĩa a) Vectơ đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu điểm cuối) uuur +) Ký hiệu vectơ: AB (điểm đầu A, điểm cuối B) hay r r u r a, x, y , +) Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ +) Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Sự phương hai vectơ r r r  a phương b �0 trùng r r �  k � � : a  k b Hai vectơ gọi phương giá r r r  a hướng chúng song song trùng b �0 r r Hai vectơ phương hướng ngược � k �� : a  k b r r r hướng  a ngược hướng b �0 Hai vectơ hai vectơ hướng có r r � k �� : a  k b độ dài Hai vectơ đối hai vectơ ngược hướng  Ba điểm A, B, C thẳng hàng uuur uuur � k ��: AB  k AC có độ dài b) Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối c) d) e) f) Các quy tắc tính tốn với vectơ g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng) uuu r uuur uuur AB  BC  AC Quy tắc ba điểm (mở rộng) uuuur uuuuur uuuuuu r uuuuuuur uuuur uuu r AX  X X  X X  X n 1 X n  X n B  AB h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ) uuu r uuu r uuu r OB  OA  AB i) Quy tắc hình bình hành uuu r uuur uuur Nếu tứ giác ABCD hình bình hành AB  AD  AC B C D hình j) Quy tắc hình hộp Nếu ABCD A���� hộp uuuu r uuur uuur uuur AC �  AB  AD  AA� r k) Phép nhân số k với vectơ a r Ta có k a vectơ xác định sau r + hướng với a k �0 Trang r + ngược hướng với a k  r r + có độ dài ka  k a Một số hệ thức vectơ hay dùng l) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng uu r uur r I trung điểm đoạn thẳng AB � IA  IB  uuu r uuur uur OA  OB  2OI (với O điểm bất kỳ) m) Hệ thức trọng tâm tam giác uuu r uuu r uuur r G trọng tâm tam giác ABC � GA  GB  GC  uuu r uuu r uuur uuur � OA  OB  OC  3OG (với O điểm bất kỳ) uuur uuuu r � AG  AM (với M trung điểm cạnh BC) n) Hệ thức trọng tâm tứ diện G trọng tâm tứ diện ABCD uuu r uuu r uuur uuur r � GA  GB  GC  GD  uuu r uuu r uuur uuur uuur � OA  OB  OC  OD  4OG (với điểm O bất kỳ) uuur uuur � AG  AA�(với A�là trọng tâm BCD ) uuuu r uuur r � GM  GN  (với M, N trung điểm cặp cạnh đối diện) Sự đồng phẳng ba vectơ o) Định nghĩa Trong không gian, ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Hệ Nếu có mặt phẳng chứa vectơ đồng thời song song với giá hai vectơ ba vectơ đồng phẳng p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Ứng dụng: r r Trong không gian cho hai vectơ a, b không phương Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng r uuu r uuur uuur vectơ c � AB, AC , AD r r r uuu r uuur uuur Khi đó, a, b c đồng phẳng tồn cặp số đồng phẳng � AB  m.AC  n.AD r r r  m; n  cho c  ma  nb (cặp số  m; n  nêu nhất) q) Phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng r r r Cho ba vectơ a, b c không đồng phẳng r Với vectơ x , ta tìm số Trang  m; n; p  r r r r cho x  m.a  n.b  p.c Tích vơ hướng hai vectơ rr r r r r r r r r a) Nếu a �0 b �0 a.b  a b cos( a, b) r r r r rr b) Nếu a �0 b �0 a.b  Chú ý: Bình phương vơ hướng vectơ: r2 r a a Một số ứng dụng tích vơ hướng r r r r r r rr a) Nếu a �0 b �0 ta có a  b � a.b  b) Cơng thức tính cơsin góc hợp hai r vectơ khác rr r r a.b cos a, b  r r a.b   c) Công thức tính độ dài đoạn thẳng uuu r uuu r2 AB  AB  AB B HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Góc hai vectơ khơng gian Nhận xét: r r Định nghĩa: Trong không gian, cho u v hai vectơ a) Nếu ar vectơ phương đường r r khác Lấy điểm A bất kì, gọi B C hai điểm thẳng d vectơ k a với k �0 uuu r r uuur r vectơ phương d cho Khi ta gọi AB  u , AC  v   � � �180� góc hai vectơ r r BAC 0��BAC u v r r không gian, kí hiệu  u , v   Vectơ phương đường thẳng r r Vectơ a khác gọi vectơ phương đường r thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d b) Một đường thẳng không gian hoàn toàn xác định biết điểm A thuộc d r vectơ phương a c) Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương r r Chú ý Giả sử u , v vectơ phương đường thẳng a b r r Đặt u , v      0�� �90� � � Khi  a, b   � 180�  90�  �180� � +) Nếu a//b a �b � a, b   0� Trang Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a�và b�cùng qua điểm song song với a b +) 0��� a, b  �90� Nhận xét a) Nếu hai đường thẳng a, b có r r vectơ phương u, v rr a  b � u.v  a / /b � �c b b) � ca � Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90� Kí hiệu: Đường thẳng a b vng góc với kí hiệu a  b SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Vectơ đoạn thẳng có hướng hướng Định nghĩa Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng ngược hướng Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng đối VECTƠ Một số hệ thức vectơ trọng tâm TRONG KHƠNG Các phép tốn vectơ GIAN Quy tắc điểm: I trọng tâm hệ n điểm Phép trừ: khơng phương đồng phẳng tồn cặp số cho Sự đồng đẳng ba vectơ Nếu ABCD hình bình hành Nếu hình hộp Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vectơ khơng gian Bài tốn Xác định vectơ chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp giải Vận dụng kiến thức sau  Định nghĩa khái niệm liên quan đến vectơ;  Tính chất hình học đa giác học;  Các quy tắc tính tốn với vectơ;  Một số hệ thức vectơ hay dùng;  Các tính chất hình hình học cụ thể Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Chứng minh uuur uuur uuur uuur uuuu r AC  BD  AD  BC  2MN Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuur Ta có AC  BD  AD  BC uuur uuur uuur uuur � AC  AD  BC  BD uuur uuur � DC  DC (đẳng thức đúng) Do M, N trung điểm cạnh AB CD uuuu r uuuu r � �AM  BM  nên �uuur uuur �NC  ND  uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuur Do AD  BC  AM  MN  NB  BM  MN  ND     uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r  AM  BM  NB  ND  2MN  2MN     uuur uuur uuur uuur uuuu r Vậy AC  BD  AD  BC  2MN Trang Ví dụ mẫu B C D Sử dụng đỉnh hình hộp làm điểm đầu điểm cuối Ví dụ Cho hình hộp ABCD A���� vectơ uuu r uuur uuur uuur a) Hãy kể tên vectơ vectơ AB, AC , AD, AA� uuur b) Hãy kể tên vectơ ln có độ dài độ dài vectơ BC Hướng dẫn giải +) +) +) +) a) Ta có uuu r uuur uuuur uuuur AB  DC  A�� B  D�� C uuur uuuur AC  A�� C uuur uuur uuuur uuuur AD  BC  A�� D  B�� C uuur uuur uuuu r uuuur AA�  BB�  CC �  DD � b) Từ tính chất hình bình hành, ta suy uuur vectơ ln có độ dài độ dài vectơ BC uuur uuu r uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur BC , CB, AD, DA, A�� D , D� A� , B �� C ,C� B� Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành uur uuu r uur uuu r a) Chứng minh SA  SC  SB  SD uur uuu r uur uuu r2 b) Nếu ABCD hình chữ nhật SA  SC  SB  SD Hướng dẫn giải a) Gọi O tâm hình bình hành ABCD O trung điểm đường chéo AC BD uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r Do SA  SC  SO SB  SD  2SO uur uuu r uur uuu r Vậy SA  SC  SB  SD uur uuu r uuu r uuu r uuu r2 uuu r uuu r b) Ta có SA  SO  OA  SO  OA  2SO.OA ,  uuu r2 uuu r uuur SC  SO  OC    uuu r uuur uuu r uuur  SO  OC  2SO.OC uur uuu r2 uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur Suy SA  SC  2SO  OA  OC  2SO OA  OC     uuu r uuu r2 uuu r uuur uuu r uuur r  SO  OA (vì OA OC hai vectơ đối nên OA  OC  )   SO  OA2  uur uuu r2 Tương tự SB  SD   SO  OB  Mà ABCD hình chữ nhật nên OA  OB uur uuu r uur uuu r2 Suy SA  SC  SB  SD Trang Bài toán Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải  Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, sử dụng cách sau + Chứng minh ba vectơ có giá song song với mặt phẳng + Chứng minh hai vectơ có giá song song với mặt phẳng chứa giá vectơ lại r r r + Biến đổi vectơ để đẳng thức dạng c  m.a  n.b  Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng uuur uuur � k ��: AB  k AC uuur uuur uuuu r � k ��: k MA    k  MB  MC Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M N điểm cạnh AD BC cho uuu r uuur uuuu r AM  2MD, BC  NC Chứng minh ba vectơ AB, CD, MN đồng phẳng Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuu r uuur � MN  MA  AB  BN � r uuuu r uuur uuur Ta có �uuuu 2MN  MD  DC  CN � �   uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuu r uuur Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta 3MN  MA  2MD  BN  2CN  AB  DC       uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r r uuur uuur r Do MA  MD  0, BN  2CN  nên MN  AB  CD 3 uuu r uuur uuuu r Vậy AB, CD, MN đồng phẳng Ví dụ mẫu uuur r uuu r r uuur r B C có AA� Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC A���  a, AB  b, AC  c Hãy phân tích vectơ uuuu r uuuu r r r r B� C , BC �qua vectơ a, b, c Hướng dẫn giải uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur r r r Ta có B� C  B� B  BC   AA�  AC  AB  a  b  c uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur r r r BC �  BC  CC �  AC  AB  AA�  a b c Trang Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm M N cho uuur uuur uuur uuur MS  2MA NC  2 NB Chứng minh ba vectơ uuu r uuuu r uuu r AB, MN , SC đồng phẳng Hướng dẫn giải uuur uuur r uuur uuur r Từ giả thiết ta có MS  2MA  0; CN  BN  uuuu r uuur uuu r uuur � MN  MS  SC  CN � u u u u r u u u r uuu r uuur Lại có � MN  MA  AB  BN � �   Cộng vế theo vế ta uuuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r 3MN  MS  2MA  CN  BN  SC  AB  SC  AB    uuu r uuuu r uuu r Vậy AB, MN , SC đồng phẳng  , B� , C �lần lượt thuộc tia SA, SB, SC cho Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Lấy điểm A� SA  a.SA� , SB  b.SB� , SC  c.SC � , a, b, c số thay đổi Chứng minh mặt phẳng B C  qua trọng tâm tam giác ABC  A��� a bc  Hướng dẫn giải uur uuu r ur uuur uuu r uuur Từ giả thiết ta suy SA  a.SA� , S B  b.SB� , SC  c.SC � uur uur uuu r uuu r Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có SA  SB  SC  3SG uuu r uuu r uuur uuur G � A��� B C  � SG  x.SA�  y.SB�  z.SC �với x  y  z  uuu r uuu r uuur uuur � 3SG  x.SA�  y.SB�  z.SC �với x  y  z  uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur � a.SA�  b.SB�  c.SC �  x.SA�  y.SB�  3z.SC � uuu r uuur uuur r �  a  3x  SA�   b  y  SB�   c  3z  SC � 0 uuu r uuur uuur � a  3x  b  y  c  z  (do SA� , SB� , SC �khơng đồng phẳng) B C  ta có a  x  b  y  c  3z  (với x  y  z  ) +) Nếu G � A��� Do a  b  c  +) Nếu a  b  c  , ta đặt x  x yz  a b c , y  , z  3 abc  a  x  b  y  c  3z  BC  Do G � A��� Trang Ví dụ Cho tứ diện ABCD, M N điểm thuộc AB CD cho uuur uuur uuur uuur I, J, K AD, MN , BC thuộc cho MA  2 MB, ND  2 NC ; điểm uu r uur uuur uuu r uuur uuur IA  k ID, JM  k JN , KB  k KC Chứng minh điểm I , J , K thẳng hàng Hướng dẫn giải uuu r uuur uuuu r OA  2OB uuur uuur Ta có MA  2 MB nên với điểm O OM  Tương tự, ta uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuur OD  2.OC uur OA  k OD uuur OB  k OC uuu r OM  k ON ON  , OI  , OK  , OJ  1 k 1 k 1 k uuu r r uuu r uuur uuur 1 uuu OA  2OB  k OD  2k OC Ta có OJ  1 k uur uuur 1  � �1  k  OI    k  OK � � 1 k   uur uuur uur uuur OI  2OK  OI  OK 3 r uuur uuu r r uuu r uu r uuu r uur uuu uu Suy OI  OJ  OK  OJ  � JI  JK  � IJ  JK 3 3        Suy I , J , K thẳng hàng , CB�� D B C D Gọi G, G�lần lượt trọng tâm tam giác BDA� Ví dụ Cho hình hộp ABCD A���� , C �thẳng hàng Chứng minh điểm A, G, G� Hướng dẫn giải uuu r r uuur r uuur r Đặt AB  a, AD  b, AA� c uuuu r r r r Ta có AC �  a  b  c (quy tắc hình hộp) Trang 10 � BC  � ABC   BC  A� � B � A� BC  ; A� B  BC nên � Do �A� A� BA   góc hợp hai mặt � �AB � ABC  ; AB  BC phẳng (A'BC) (ABC) Xét A'BC vng A ta có tan   A� A a   BA a Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, SA  a SA   ABC  , AB  BC  a Góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) A 45° B 30° C 60° D 90° Hướng dẫn giải Ta có  SAC  � SBC   SC Gọi F trung điểm AC BF   SAC  � Dựng BK  SC K � SC   BKF  � � KB, KF   BKF  SAC  ,  SBC    � a a FK SA FC.SA a Dễ thấy CFK ∽ CSA �  � FK    FC SC SC a �  FB  BFK vng F có tan BKF FK a 2  � BKF �  60o a Vậy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 60° Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi  góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Nếu tan   góc (SAC) (SBC) A 30° B 90° C 60° D 45° Hướng dẫn giải Trang 58 Gọi O tâm đáy K hình chiếu vng góc O SC �BD  AC Do � nên BD   SAC  � BD  SO �BD  SA �   Suy góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) góc SOA Ta có tan   SA  � SA  OA  a OA �SC  BD Do � nên SC  BK �SC  OK � Suy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) BKO �  Ta có tan BKO BO BO   OK d A, SC   2 BO SA AC  2 2  2  SA2  AC �  60o Suy BKO Chọn C Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác (SAB) vng góc với (ABCD) Gọi  góc tạo (SAC) (SCD) Giá trị cos A B C D Hướng dẫn giải Trang 59 Gọi H, M trung điểm AB, CD Vì SAB tam giác (SAB) vng góc với (ABCD) nên SH   ABCD  Kẻ AK  SC  K �SC  , DI  SC  I �SC  , IP / / AK  P �AC  Suy   � IP, ID  Ta có HC  HD  a a SM CD a 14 , SC  SD  a 2, SM  � DI   2 SD a 14 a 3a CI  SK  CD  DI  � CK  4 CI a 14 KI 2a CPI ∽ CAK � IP  AK  , AP  AC  CK 12 CK CSA  SCD � AK  DI  Áp dụng định lí cơsin, ta có APD có PD  AP  AD  AP AD.cos 45o  a IP  ID  DP � IPD có cos PID   2.IP.ID Vậy cos   Chọn C Bài tốn Xác định góc hai mặt phẳng cách dùng đinh lý hình chiếu Phương pháp giải Dùng định lý diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác H (P) S' diện tích hình chiếu H (P')  góc  S cos  hay cos   (P) (P') S � S� S Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng AA', BB', CC' thỏa mãn diện tích tam giác MNP a2 Góc hai mặt phẳng (MNP) (ABCD) A 60° B 30° C 45° D 120° Hướng dẫn giải Trang 60 Gọi  số đo góc hai mặt phẳng (MNP) (ABCD) Ta có hình chiếu vng góc tam giác MNP lên (ABCD) ABC Áp dụng công thức hình chiếu diện tích ta có S � ABC  SMNP cos  � 1 AB.BC  a cos  � cos   �   60o 2 Vậy góc hai mặt phẳng (MNP) (ABCD) 60° Chọn A Ví dụ Cho tam giác ABC vng cân A có AB  a, đường thẳng d vng góc với (ABC) điểm A ta lấy điểm D Góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) trường hợp DBC tam giác A arccos B arccos C arccos D arccos Hướng dẫn giải Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) Theo cơng thức diện tích hình chiếu đa giác, ta có: S ABC  SDBC cos  Mà S DBC  1 a2 DB.DC.sin 60o  a 2.a  2 2 Mặt khác S ABC  Suy cos   1 AB AC  a 2 SABC 3  �   arccos S DBC 3 Chọn B �  120o , Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a, BAC  a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB'I vuông A Côsin góc cạnh bên BB� hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) A 15 10 B 30 10 C 10 30 D 15 30 Hướng dẫn giải Áp dụng định lý Cơsin cho ABC ta có: BC  AB  AC  AB AC.cos A  a  a  2a cos120o  3a Trang 61 Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có: 2 a 13a �a � 5a B� A  2a ; AI  a  � � ; B� I  3a   4 �2 � 2 2 Ta có: B� A2  AI  2a  Ta có: S AB�I  S ABC  5a 13a   B� I � AB� I vuông A 4 1 a a 10 � AI AB  a  2 a2 a sin120o  Gọi  góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) a2 S 30  Ta có cos   ABC   S ABI � a 10 10 10 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA   ABCD  , gọi O tâm hình vng ABCD Khẳng định sau sai? A Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) góc � ABS � B Góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) góc SOA � C Góc hai mặt phẳng (SAD) (ABCD) góc SDA D  SAC    SBD  Câu Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy (ABC), tam giác ABC vng cân A có đường cao AH  H �BC  Gọi O hình chiếu vng góc A lên (SBC) Khẳng định sau đúng? A SA   ABC  B  SAH    SBC  C O �SC � D Góc (SBC) (ABC) SBA Câu Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích tam giác ABC Gọi M, N, P thuộc cạnh AA', BB', CC' diện tích tam giác MNP 10 Góc hai mặt phẳng (ABC) (MNP) A 60° B 30° C 90° D 45° Trang 62 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB  2a, AD  DC  a SA   ABCD  Tan góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) A B C D Câu Lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh đáy a Gọi M điểm cạnh AA' cho AM  3a Tan góc hợp hai mặt phẳng (MBC) (ABC) A B C Câu Cho hình chóp S.ABC có chiều cao a, thể tích D 3a Góc tạo mặt bên mặt đáy A 75° B 60° C 45° D 30° Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A Cạnh bên SA vng góc mặt phẳng đáy SA  a Biết AB  AD  DC  2a Góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) A  B  C  D  12 Câu Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi  góc tạo hai mặt phẳng (SAC)và (SCD) Giá trị cos A 21 B 21 14 C 21 D 21 Câu Cho lăng trụ đứng OAB.O'A'B' có đáy tam giác vuông cân OA  OB  a, AA�  a Gọi M, P trung điểm cạnh OA, AA' Diện tích thiết diện cắt lăng trụ (B'MP) a 15 A 12 5a 15 B 12 5a 15 C a 15 D Trang 63 ĐÁP ÁN Dạng Góc hai đường thẳng 1- D Câu 2- D 3- B 4- C 5- D 6- D 7- C 8- B 9- C 10- B � �AD   ABB1 A1  � AD  BB1 � � AD, BB1   90o Ta có � �BB1 � ABB1 A1  Câu D nên góc hai đường thẳng BA' B'D' góc Vì BD / / B�� hai đường thẳng BA' BD Ta có ABCD.A'B'C'D' hình lập phương nên A'BD tam giác Khi góc hai đường thẳng BA' BD � ABD  60o Câu Gọi K trung điểm AB Vì ABCD hình vng nên KI / / AC Suy góc AC IJ góc KI IJ Ta có IK  1 AC ; IJ  B� C ; KJ  AB� 2 Vì ABCD.A'B'C'D' hình lập phương nên AC  B� C  AB� � KI  IJ  JK �  60o Suy IJK tam giác đều, nên KIJ Vậy góc AC IJ 60° Câu Gọi H trung điểm SB ta có SC / / HI Góc đường thẳng AI SC góc đường thẳng AI HI AH  SB  AB  SA2 a  ; 2 a2 AI  AB  BI  a   a 2 HI  SC  2 SA2  AC a  3a   a; AI  AH  HI 2 HI Suy tam giác AHI vuông H , cos � AIH   AI Trang 64 Vậy côsin góc đường thẳng AI SC cos � AIH  Câu Vì tứ diện OABC có OA  OB  OC  a; OA, OB, OC vng góc với đơi nên ta dựng hình lập phương AMNP.OBDC (như hình vẽ) với I trung điểm BC ;  I   OD �BC Cạnh hình lập phương a nên AB  AN  NB  a tam giác ABN Dễ thấy OI / / AN nên góc hai đường thẳng AB OI góc AB AN 60° Câu Gọi E trung điểm BD �AB / / NE Vì � nên góc hai đường thẳng AB CD góc CD / / ME � hai đường thẳng NE ME Trong tam giác MNE ta có: a a 3a   ME  NE  MN 4   � cos MEN   a ME.NE 2 2 �  120o Suy MEN Vậy góc hai đường thẳng AB CD 60° Câu Gọi P trung điểm AC, ta có PM / / CD PN / / AB suy AB, CD   � PM , PN  � Dễ thấy PM  PN  a Xét PMN ta có: �  cos MPN PM  PN  MN a  a  3a   PM PN 2.a.a �  120o � MPN Suy � AB, CD   180o  120o  60o Câu Gọi N trung điểm AC Khi AB / / MN nên � DM , AB   � DM , MN  Trang 65 Dễ dàng tính DM  DN  a a MN  2 Trong tam giác DMN, ta có: a2 DM  MN  DN � cos DMN    DM MN a a 2 � Vì cos DMN  3  nên cos � DM , MN   Vậy cos � DM , AB   6 Câu Gọi M, N, P trung điểm BC, SB, SA Góc AB SC góc PN MN Ta có: MN  a a  NP; PC  BP  � PM  PC  CM 2 2 �a � �a � a  � � �2 � � � � � � � �2 � �  60o Vậy góc AB SC 60° Suy MNP tam giác � MNP Câu 10 uuur r uuu r r uuur r Đặt AD  a, AB  b, AC  c r r r r r r r r r o Khi đó, ta có a  b  c  m a, b  b, c  c, a  60       rr rr rr m Ta có a.b  b.c  c.a  Vì M, N trung điểm AB CD nên uuuu r uuur uuur r r r MN  AD  BC  a  c  b 2       r r r r r r m2 r r2 r2 m MN  a  b  c  2a.c  2a.b  2b.c  � MN  2 uuuu r uuur uuuu r uuur r r r r r m MN BC � MN BC  a  c  b b  c  � cos  MN , BC   uuuu r uuur  2 MN BC    m2 2  m m Vậy góc hai đường thẳng MN BC 45° Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng 1- C 2- A 3- A 4- D 11- B HƯỚNG DẨN GIẢI CHI TIẾT 5- C 6- A 7- D 8- A 9- B 10- B Câu Trang 66 Từ giả thiết ta có SA   ABCD  Suy AC hình chiếu SC mặt phẳng (ABCD) � Do � SC ,  ABCD    � SC , AC   SCA Câu �AB  BC � AB   BCD  Từ giả thiết ta có � �AB  CD Do � AC ,  BCD    � AC , BC   � ACB Câu Vì SA vng góc với đáy nên: � SC ,  ABCD    � SC , AC   SCA � Trong hình vng ABCD có AC  a Theo giả thiết, ta có SA  2a Suy SAC vuông cân A �  45o Vậy SCA Câu � Ta có � SC ,  ABCD    � SC , OC   SCO Xét tam giác vng SCO có: OC � cos SCO   SC � SCO 61o52� Câu   ABC  nên AB hình chiếu vng góc AB' Vì BB� (ABC) �� Suy � AB� ,  ABC    � AB� , AB   B AB Tam giác ABB' vuông B nên: � � tan BAB  BB� AA� � �   � BAB  60o AB AB Câu Do hình chóp S.ABC nên ta có SG   ABC  với G trọng tâm ABC Trang 67 � Do góc SA mặt phẳng (ABC) SAG Gọi F trung điểm BC ta có AF  Suy AG  3a 2 AF  a 3 Xét SAG vuông G ta có: �  cos SAG AG a 3 �  30o   � SAG SA 2a Vậy góc SA mặt phẳng (ABC) 30° Câu �BC  AB � � BC   SAB  nên góc  CSB Ta có � BC  SA � Ta có tan   BC 10 5a  � SB  � SA  a SB 10 � Góc SO (ABCD) góc SOA  � SOA �  SA  �  60o Ta có tan SOA AO a 2 a Câu Dựng MN / / AB  N �BD  , AB   BCD  M trung điểm AD nên MN   BCD  N trung điểm DB Suy CN hình chiếu vng góc CM mặt phẳng (BCD) Vậy góc CM mặt phẳng (BCD) góc hai đường thẳng CN CM �  MN  a  tan � CM , CN   tan MCN Ta có: CN a 3 Câu Gọi  O  AC �BD � SO   ABCD  Gọi H trung điểm OD Xét SOD có MH đường trung bình nên MH / / SO Suy MH   ABCD  Hình chiếu đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD) BH Trang 68 � � Suy � ( MBH góc nhọn) BM ,  ABCD    � BM , BH   MBH Xét tam giác vng ABD có: BD  AB  AD  � BH   2a    2a   2a 3 2a OD  BD  2a BD  Xét tam giác vng SOD có: SO  SD  OD   2a    2a   2a a MH 1 2a �   Suy MH  SO  Ta có tan MBH  BH 2a 2 Câu 10 � Ta có góc SB mặt phẳng (SAC) góc BSO Xét SOB vng O có SO  SA2  OA2  Vậy a , SB  SA2  AB  a 2 a SO �  �  30o cos BSO   � BSO SB a 2 Câu 11 SH  HC  a  a2 a  a Vì SA  AB  a � AH  Vì SA2  AH  SH nên SAB vuông cân A hay SA  AB �  SAB    ABCD  �  SAB  � ABCD   AB � SA   ABCD  Ta có � �SA  AB � Hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) AC � � � � tan   tan SCA �  SA  a  Suy  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA AC a 2 Dạng Góc hai mặt phẳng 1- C 2- B 3- A 4- A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 5- C 6- C 7- A 8- D 9- B Câu Trang 69 �  SAD  � ABCD   AD � � � Ta có: �AB  AD, AB � ABCD  �   SAD  ,  ABCD    SAB � �SA  AD, SA � SAD  Vậy đáp án C sai Câu �  SAB  � SAC   SA � � SA   ABC   SAC    ABC  Ta có � �  SAB    ABC  � Gọi H trung điểm BC � AH  BC mà BC  SA � BC   SAH  �  SBC    SAH  Khi O hình chiếu vng góc A lên (SBC) � � D sai Suy O �SH �  SBC  ,  ABC    SHA Câu Có ABC hình chiếu  MNP lên mặt phẳng (ABC)  S cos  với Theo cơng thức diện tích hình chiếu có S � S�  S ABC ; S  S MNP   �  ABC  ;  MNP   Suy cos   S�   Suy   60o S 10 Câu Ta có  SBC  � ABCD   BC Dễ dàng chứng minh được: AC  BC � � BC   SAC  � BC  SC � �  SBC  ,  ABCD    SCA �  tan SCA SA a   AC a 2 Câu Gọi D trung điểm BC Ta có  MBC  � ABC   BC ; BC  AD; BC  AM � BC   AMD  � Do   � DM , AD   MDA  MBC  ,  ABC    � Trang 70 Vì tam giác MAD vuông A nên tan   AM 3a   AD a Câu Gọi M trung điểm BC, suy AM  BC (vì ABC đều) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy SO   ABC  SO  a � Khi góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC) góc SMO 3V 3a Ta có VS ABC  SO.S ABC � S ABC  S ABC   3a SO a Mặt khác S ABC  AB  3a � AB  3a Xét ABC có OM  1 AM  3a  a 3 �  SO  a  � SMO �  45o Xét SOM vuông O nên tan SMO OM a Câu Gọi M trung điểm AB Ta có tứ giác ADCM hình vng CM   SAB  Trong (SAB) kẻ MK  SB K � Khi đó, ta có SB   CMK  nên �  SAB  ;  SBC    MKC Từ BMK ∽ BSA ta suy MK  SA.BM � MK  SB �  Trong MKC vng M có tan MKC MC  MK �  Suy MKC Câu Gọi H hình chiếu O cạnh SC ta có �    SDC  ,  SAC    OHD � OHD vuông O OD  a; OH  Vậy cos   a 7a nên DH  2 OH 21  DH Câu Trang 71 Gọi R giao điểm MP OO', Q giao điểm B'R với OB Thiết diện tứ giác MPB'Q, ta có OQ RO a   � OQ  O� B� RO� 3 Tứ giác AMQB hình chiếu vng góc tứ giác PMQB' mặt phẳng (OAB) nên S PMQB� S AMQB cos  với  góc tạo hai mặt phẳng (OAB) (MPB'Q) Ta có: S AMQB  SOAB  SOMQ  2 a  a  a 12 12 �MQ  OH � MQ   OHR  � MQ  HR Hạ OH  MQ, ta có: � �MQ  OR � � Vậy   OHR ( OHR nhọn) OH OH �  Ta có: cos   cos OHR  RH OH  OR  a 13 a2 a2  13  Vậy S PMQB� 15 5a 15 12 Trang 72 ... 2cm C 3cm D 6cm Trang 27 ĐÁP ÁN Dạng Vecto không gian 1-B 2-C 3- C 4-D 5–C –A 7–B 8–C 9–C 10 - C 11 – A 12 – D 13 – D 14 - B 15 – A 16 – B 17 – A 18 – B 19 – A 20 – B 21 – C 22 – A 23 – D 24 – C... vng góc với đường thẳng song song với B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với C Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại D Một đường thẳng. .. Dạng Hai đường thẳng vng góc Bài tốn Tính góc hai đường thẳng (chứng minh hai đường thẳng vng góc hình lăng trụ hình hộp) Phương pháp giải  Để tính số đo góc hai đường thẳng  d1  Ví dụ Cho hình