Hình 11 phần 4 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG góc với mặt PHẲNG – HAI mặt PHẲNG VUÔNG góc

BÀI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG – HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng, điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc + Nắm định lý ba đường vng góc + Phát biểu vận dụng cách tìm thiết diện quan hệ vng góc  Kĩ + Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng + Chứng minh hai mặt phẳng vng góc + Xác định thiết diện giải tốn liên quan đến chu vi diện tích thiết diện I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng ( α ) d vng góc với đường thằng a thuộc mặt phẳng ( α ) Kí hiệu: d ⊥ ( α ) hay ( α ) ⊥ d d ⊥ ( α ) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ ( α ) Định lí Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng d ⊥ a d ⊥ b  ⇒ a ⊥ (α)  a ⊂ ( α ) , b ⊂ ( α ) a ∩ b = M Hệ Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh cịn lại tam giác Tính chất Tính chất 1: Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Tính chất 2: Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Có đường thẳng d qua B vuông góc với ( α ) Có mặt phẳng ( α ) qua A vng góc với d Trang Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB Tính chất 3:  Một mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng song song đường thẳng  Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Tính chất 4:  Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt phẳng  Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất 5: Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng Nếu đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với Phép chiếu vng góc Cho đường thẳng d ⊥ ( α ) Phép chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng ( α ) gọi phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( α ) M ′ hình chiếu M lên ( α ) Định lí ba đường vng góc Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng ( α ) b đường thẳng không thuộc ( α ) đồng thời không vuông góc với ( α ) Gọi b′ hình chiếu b ( α ) Khi a ⊥ b ⇔ a ⊥ b′ Trang Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng ( α )  Nếu d vng góc với mặt phẳng ( α ) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng ( α ) 90°  Nếu d không vuông góc với mặt phẳng ( α ) góc d với hình chiếu d ′ ( α ) gọi góc đường thẳng d vả mặt phẳng ( α ) Hai mặt phẳng vng góc Định nghĩa Hai mặt phẳng vng góc với góc chúng 90° ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ (¼ ( P ) , ( Q ) ) = 90° Tính chất  Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng a ⊂ ( P ) ⇒ ( P) ⊥ ( Q)  a ⊥ ( Q )  Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng ( P ) ⊥ ( Q )  a ⊂ ( P ) ⇒ a ⊥ ( Q)  b = ( P ) ∩ ( Q ) a ⊥ b   Cho hai mặt phẳng ( P ) ( Q ) vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng ( P ) dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( Q ) đường thẳng nằm ( P ) A∈( P)  ( P ) ⊥ ( Q ) ⇒ a ⊂ ( P )   A∈ a ⊥ ( Q) Trang  Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng ( P ) ⊥ ( R )  ⇒ ∆ ⊥ ( R) ( Q ) ⊥ ( R )  ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với hai mặt đáy - Các mặt bên hình chữ nhật - Các mặt bên vng góc với hai đáy Lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi lăng trụ Hình hộp chữ nhật Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Tất mặt hình chữ nhật Đường chéo d = a + b + c với a, b, c kích thước Hình lập phương hình hộp chữ nhật có đáy mặt bên hình vng Hình chóp hình chóp cụt Hình chóp Hình chóp hình chóp có đáy đa giác chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy +) Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc +) Các mặt bên hình chóp tam giác cân +) Các mặt bên hình chóp tạo với đáy góc Hình chóp cụt Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Định nghĩa Trang Định lí ba đường a2 vng góc Hai đường thẳng vng góc Định lí Hệ Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt phẳng Tính chất Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song mặt phẳng Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Bài tốn 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải Cách Chứng minh đường thẳng d vng Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam góc với hai đường thẳng cắt chứa giác vuông B, cạnh bên SA vng góc với dáy mặt phẳng ( P ) Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) Hướng dẫn giải Ta có tam giác ABC vng B nên BC ⊥ AB Do SA ⊥ ( ABC ) nên BC ⊥ SA  BC ⊥ AB  BC ⊥ SA  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) Ta có:   AB ∩ SA = { A}  AB, SA ⊂ ( SAB )  Cách Chứng minh d song song với a mà a ⊥ ( P) Cách Chứng minh d ⊥ ( Q ) ( Q ) // ( P ) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng ( ABC ) Chứng minh a) BC ⊥ ( OAH ) b) H trực tâm ∆ABC Hướng dẫn giải OA ⊥ OB ⇒ OA ⊥ ( OBC ) ⇒ OA ⊥ BC a) Ta có  OA ⊥ OC OH ⊥ ( ABC ) Mà  nên OH ⊥ BC  BC ⊂ ( ABC ) Trang Vậy BC ⊥ ( OAH ) b) Do OH ⊥ ( ABC ) nên OH ⊥ AC ( 1) OB ⊥ OA Ta có  nên OB ⊥ ( OAC ) ⇒ OB ⊥ AC ( ) OB ⊥ OC Từ ( 1) ( ) suy AC ⊥ ( OBH ) ⇒ AC ⊥ BH Mặt khác BC ⊥ ( OAH ) ⇒ AH ⊥ BC Vậy H trực tâm tam giác ABC Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy Gọi H , K hình chiếu A lên SB, SD a) Chứng minh AK ⊥ ( SCD ) b) Chứng minh AH ⊥ ( SBC ) c) Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) Hướng dẫn giải a) Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ CD ⊥ SA ABCD hình chữ nhật nên CD ⊥ AD Suy CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AK Ta lại có AK ⊥ SD Suy AK ⊥ ( SCD ) b) Ta có CB ⊥ SA (do SA vng góc với đáy) CB ⊥ AB (do ABCD hình chữ nhật) Suy CB ⊥ ( SAB ) Mà AH ⊂ ( SAB ) nên CB ⊥ AH Ta lại có AH ⊥ SB Suy AH ⊥ ( SBC ) c) Ta có AK ⊥ ( SCD ) suy AK ⊥ SC AH ⊥ ( SCB ) suy AH ⊥ SC Suy SC ⊥ ( AHK ) Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, có SA vng góc ( ABCD ) Gọi H K hình chiếu vng góc A lên cạnh SB SD Chứng minh HK ⊥ ( SAC ) Hướng dẫn giải Xét ∆SAB vuông A, đường cao AH Trang Ta có SA2 = SH SB ⇒ SH SA2 = ( 1) SB SB Xét ∆SAD vng A, đường cao AK Ta có SA2 = SK SD ⇒ SK SA2 = ( 2) SD SD  SB = SA2 + AB  2 Mà  SD = SA + AD ⇒ SB = SD ( 3)  AB = AD  Từ ( 1) , ( ) ( 3) suy SH SK = ⇒ HK //BD SB SD Lại có BD ⊥ AC (tính chất hình thoi) mà SA ⊥ ( ABCD ) , BD ⊂ ( ABCD ) ⇒ BD ⊥ SA Suy BD ⊥ ( SAC ) mà HK //BD nên HK ⊥ ( SAC ) Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ a) Chứng minh AC ′ ⊥ ( A′BD ) b) Chứng minh AC ′ ⊥ ( CB′D′ ) Hướng dẫn giải a) Gọi O, I tâm hình vuông ABCD, AA′B′B  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( ACC ′A′ ) ⇒ BD ⊥ AC ′ ( 1) Ta có   BD ⊥ AA′  BA′ ⊥ AB′ ⇒ BA′ ⊥ ( AB′C ′D ) ⇒ BA′ ⊥ AC ′ ( )   BA′ ⊥ B′C ′ Từ ( 1) ( ) , ta có AC ′ ⊥ ( A′BD )  BD //B′D′  BD // ( CB′D′ ) ⇒ ⇒ ( A′BD ) // ( CB′D′ ) b) Ta có   A′B //CD′  A′B // ( CB′D′ ) Mà AC ′ ⊥ ( A′BD ) nên AC ′ ⊥ ( CB′D′ ) Trang Bài tốn 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải Chọn mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng b, sau Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi a ⊥ P ( ) chứng minh H , K hình chiếu A lên SC , SD a ⊥ b Từ suy Chứng minh HK ⊥ SC Hướng dẫn giải Ta có CD ⊥ AD, CD ⊥ SA Suy CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AK Mà AK ⊥ SD nên AK ⊥ ( SDC ) ⇒ AK ⊥ SC Mặt khác AH ⊥ SC nên SC ⊥ ( AHK ) Suy HK ⊥ SC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, SA ⊥ ( ACBD ) , AD = 2a, AB = BC = a Chứng minh CD ⊥ SC Hướng dẫn giải Ta có: SA ⊥ ( ABCD )   ⇒ SA ⊥ CD ( 1) CD ⊂ ( ABCD )  Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do ·ACI = 45° Mặt khác, ∆CID tam giác vuông cân · I nên DCI = 45° Suy ·ACD = 90° hay AC ⊥ CD ( ) Từ ( 1) ( ) suy CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ SC Trang Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC hình tam giác vng A có Chú ý: Cách khác để chứng SA ⊥ ( ABC ) Chứng minh AC ⊥ SB minh Hướng dẫn giải Vì SA ⊥ ( ABC ) nên AB hình chiếu vng góc SB ( ABC ) hai đường thẳng vng góc: Sử dụng định lý ba đường vng góc Mặt khác theo giả thiết AC ⊥ AB Suy AC ⊥ SB (theo định lý ba đường vng góc) Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB = AC , DB = DC Chứng minh AD ⊥ BC Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm BC Vì ∆ABC cân A ∆DBC cân D nên ta có AH ⊥ BC ; DH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( ADH ) ⇒ AD ⊥ BC Ví dụ Trong mặt phẳng ( P ) cho ∆BCD Gọi M trung điểm CD, G điểm thuộc đoạn thẳng BM Lấy điểm A nằm ngồi ( P ) cho G hình chiếu vng góc A ( P ) Chứng AB ⊥ CD Hướng dẫn giải Vì AG ⊥ ( BCD ) nên BG hình chiếu vng góc AB ( BCD ) Mặt khác theo giả thiết BG ⊥ CD suy AB ⊥ CD (theo định lý ba đường vng góc) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Khẳng định sau đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với B Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Trang 10 Suy CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH ( ) Từ (1) (2) suy AH ⊥ ( SCD ) Do d ( A, ( SCD ) ) = AH Xét ∆ABC vuông B có: AC = AB + BC = 2a Xét ∆SAC vng A có: SA = AC.tan 45o = 2a Xét ∆SAD vng A có: 1 2a 21 = 2+ = ⇔ AH = 2 AH SA AD 12a Vậy d ( B, ( SCD ) ) = AH = 2a 21 Câu 25 Ta có: AM ⊥ BC ( ∆ABC đều); AM ⊥ SB ( SB ⊥ ( ABC ) ) Do AM ⊥ ( SBC ) Trong mặt phẳng ( SBM ) , kẻ BH ⊥ SM Mà BH ⊥ AM nên BH ⊥ ( SAM ) Suy d ( B, ( SAM ) ) = BH Xét ∆SBM vng B có: 1 1 17 2a 17 = 2+ = + = ⇒ BH = 2 BH SB BM 4a a 4a 17 Câu 26 Ta có: BC = 3a ⇒ HB = a Lại có B ' H = BB '2 − HB = a Dựng HE ⊥ AC ; HF ⊥ B ' E Suy HF ⊥ ( B ' AC ) ⇒ d ( H , ( B ' AC ) ) = HF Ta có Suy HE CH = = ⇒ HE = 2a AB BC 1 = + ⇒ HF = 2 HF HE B'H2 Mặt khác d ( B, ( B ' AC ) ) d ( H , ( B ' AC ) ) = HE.B ' H HE + B ' H 2 = 2a BC = HC Do d ( B, ( B ' AC ) ) = HF = a Câu 27 Trang 66 Ta có: AB ⁄⁄CD ⇒ AB ⁄⁄ ( A ' CD ) Khi đó: d ( B, ( A ' CD ) ) = d ( A, ( A ' CD ) ) Gọi O tâm hình vng ADD ' A ' Vì CD ⊥ AA ' CD ⊥ AD nên CD ⊥ ( ADD ' A ') Suy CD ⊥ AO Mà AO ⊥ A ' D nên AO ⊥ ( A ' CD ) Suy d ( A, ( A ' CD ) ) = AO = Vậy d ( B, ( A ' CD ) ) = AD ' a = 2 a Câu 28 Kẻ BH ⊥ AC ( H ∈ AC ) Lại có BH ⊥ AA ' ( AA ' ⊥ ( ABCD ) ) Suy BH ⊥ ( ACC ' A ') ⇒ d ( B; ( ACC ' A ' ) ) = BH Xét ∆ABC vuông B có: 1 2a = + = ⇒ BH = 2 BH AB BC 4a Vậy d ( B; ( ACC ' A ' ) ) = 2a Câu 29 Kẻ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK ) Trong mặt phẳng ( SOK ) : Kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH · Vì ∆ABD có AB = AD, BAD = 60o nên ∆ABD a Suy BD = a ⇒ BO = Suy AO = AB − BO = a − a2 = a Trong ∆OBC vng O có: 1 13 a 39 = + = ⇒ OK = 2 OK OB OC 3a 13 Trong ∆SOK vng O có: 1 16 a = + = ⇒ OH = 2 OH OS OK 3a Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH = a Trang 67 Câu 30 Kẻ OK ⊥ BC ( K ∈ BC ) , OH ⊥ SK ( H ∈ SK ) Ta có: AD ⁄⁄BC ⇒ AD ⁄⁄ ( SBC ) Khi d ( AD, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) (với M giao điểm AD OK) Kẻ MN ⁄⁄OH ( N ∈ SK ) Ta có ( SOK ) ⊥ ( SBC ) theo giao tuyến SK nên OH ⊥ ( SBC ) Suy MN ⊥ ( SBC ) Suy d ( AD, ( SBC ) ) = d ( M , ( SBC ) ) = MN = 2OH = a Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài tốn Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b trường hợp a ⊥ b Phương pháp giải Dựng mặt phẳng ( α ) chứa b vng góc với a Ví dụ Cho hình chóp S ABC đáy ABC tam giác A vuông B, AB = a, BC = 2a ; cạnh bên SA vuông Dựng AB ⊥ b b góc với đáy SA = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC Hướng dẫn giải AB đoạn vng góc chung a b  AB ⊥ SA Suy AB đoạn vng góc Ta có:   AB ⊥ BC chung SA BC Vậy d ( SA, BC ) = AB = a Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a; cạnh bên SA vng góc với đáy; SC hợp với đáy góc 45o Tính khoảng cách hai dường thẳng SC BD Trang 68 Hướng dẫn giải Ta có: AC hình chiếu vng góc SC lên ( ABCD ) · Suy (·SC , ( ABCD ) ) = SCA = 45o  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ SC Lại có:   BD ⊥ SA Gọi { O} = AC ∩ BD Dựng OH ⊥ SC H OH ⊥ SC Ta có:  Suy OH la đoạn vng góc chung BD SC OH ⊥ BD Suy d ( BD, SC ) = OH Xét tam giác OHC vuông H có: OH = OC sin 45o = 2a a = 2 Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng ( SBC ) vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA,BC Hướng dẫn giải AB a a Kẻ AH ⊥ BC ( 1) Ta có AH = = , SH = 2 Vì SA ⊥ ( ABC ) , BC ⊂ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC ( ) Từ ( 1) ( ) suy BC ⊥ ( SHA ) Trong ( SAH ) , kẻ HK ⊥ SA ( K ∈ SA ) Suy HK đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo SA BC Xét tam giác SHA vng H có Vậy d ( SA, BC ) = 1 16 a = + = ⇒ HK = 2 HK HS HA 3a a Bài toán Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b khơng vng góc • Phương pháp giải Cách Dựng mặt phẳng ( α ) chưa b song song với a Chọn điểm M thích hợp a, dựng MH ⊥ ( α ) H Qua H, dựng đường thẳng a '/ / a , cắt b B Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A AB đoạn vng góc chung a b Trang 69 Cách Dựng mặt phẳng ( α ) vng góc với a M Dựng hình chiếu b’ b lên ( α ) Dựng hình chiếu vng góc H M lên b’ Từ H, dựng đượng thẳng song song với a, cắt b B Qua B, dựng đường thẳng song song với MH, cắt a A AB đoạn vng góc chung a b • Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) SA = AB = a, BC = a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD Hướng dẫn giải Ví CD ⁄⁄ ( SAB ) nên d ( CD, SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) Ta có: AD ⊥ AB AD ⊥ SA Suy AD ⊥ ( SAB ) Khi d ( D, ( SAB ) ) = DA = a Vậy d ( CD; SB ) = a Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a, mặt bên ACC’A’ hình vng Gọi M, N, P trung điểm AC , CC ', A ' B ' H hình chiếu A lên BC Tính khoảng cách hai đường thẳng MP HN Hướng dẫn giải Trang 70 Ta xét cặp mặt phẳng song song chứa MP NH Xét tam giác ABC vuông ta A có: 1 1 a = + = + = ⇒ AH = 2 2 2 AH AB AC AB BC − AB 3a Kẻ MK ⁄⁄BC ( K ∈ AB ) , PQ ⁄⁄B ' C ' ( Q ∈ A ' C ' ) Ta có PM ⊂ ( MKPQ ) HN ⊂ ( BCC ' B ') Do MK ⁄⁄BC MQ ⁄⁄CC ' nên ( MKPQ ) ⁄⁄ ( BCC ' B ') Khi d ( MP, NH ) = d ( ( MKPQ ) , ( BCC ' B ' ) )  AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ ( BCC ' B ') Do   AH ⊥ CC ' ( CC ' ⊥ ( ABC ) , AH ⊂ ( ABC ) ) Suy AH ⊥ ( KMQP ) { I } = AH ∩ KM Vậy d ( MP, NH ) = d ( ( MPKQ ) , ( BCC ' B ' ) ) = IH = AH a = Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hai đường thẳng d1 d chéo Mệnh đề sau đúng? A Khoảng cách d1 d khoảng cách từ điểm A d1 đến d B Khoảng cách d1 d khoảng cách từ điểm B d đến d1 C Khoảng cách d1 d độ dài đoạn AB với AB vng góc với d1 d D Khoảng cách d1 d khoảng cách từ điểm A d1 đến mặt phẳng ( P ) chứa d d1 song song với ( P ) Câu 2: Mệnh đề sau đúng? A Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nằm mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng B Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng C Một đường thẳng đường vơng góc chung hai đường thẳng chéo vng góc với hai đường thẳng D Hai đường thẳng chéo có vơ số đường vng góc chung Câu 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD A a B 2a C 3a D a Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SH = a Khoảng cách hai đường thẳng DM SC Trang 71 A 57 a 19 B 3a 19 C 3a D a · Câu 5: Hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = AA ' = AD = a ·A ' AB = ·A ' AD = BAD = 60o Khoảng cách hai đường thẳng chứa cạnh đối diện tứ diện A ' ABD A a 2a B C 3a D a Câu 6: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng ( SBC ) vuông góc với mặt đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA BC A a 2a B C a D a Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy SA vng góc với đáy, ABCD hình vng cạnh a Biết góc SB mặt đáy 60o Khoảng cách hai đường thẳng BD SC 10a A 10a 10 B C 30a 10 30a D Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có tam giác ABC vng cân A, AB = a, CC ' = 2a Khoảng cách hai đường thẳng AA1 BC1 A a 6a B C 3a D a 2 Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có tam giác ABC vng cân A, AB = a, CC ' = 2a Khoảng cách hai đường thẳng AC BC1 A 5a B 5a C 5a D a Câu 10: Cho hình chóp tam giác S ABC có tất cạnh a Khoảng cách hai dường thẳng SA BC A a 2 B a C a D a Câu 11: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau, OA = a, OB = a 2, OC = 2a Khoảng cách hai đường thẳng OA BC A Câu 2a 5 12: B Cho hình 2a 3 chóp S ABCD C có a đáy ABCD D a hình thang vng A D, SA ⊥ ( ABCD ) , AD = DC = SA = a Khoảng cách hai đường thẳng AD SB A a 2 B a C a D a Câu 13: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng BB ' CD Trang 72 B a A a C a 2 D a Câu 14: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AA ' BD A a B a C a 2 D a Câu 15: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = HB Góc hai đường thẳng SC mặt phẳng ( ABC ) 60o Khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a A a 42 B a 42 C a 24 a 42 D Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác ABC vng A, AB = a, BC = a Khoảng cách hai đường thẳng AA ' BC ' B a A a C a D a Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có mặt bên ( SAB ) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy, ABCD hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a Khoảng cách hai đường thẳng AC SD A 17a 17 B 17a 17 17a 34 C D 17 a 17 · Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi tam O, cạnh a, góc BCD = 60o , có SO vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SO = a Khoảng cách hai đường thẳng AD SB A 57 a 19 B 57 a 19 C 57 a 19 D 57 a Câu 19: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng ( ABC ) trọng tâm tam giác ABC góc cạnh bên mặt đáy 60o Khoảng cách hai đường thẳng BC A ' B ' A a B a 2a C D 2a Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng ( ABC ) trọng tâm tam giác ABC góc cạnh bên mặt đáy 60o Khoảng cách hai đường thẳng BC AA ' A 3a B a C 3a D 3a ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 2-B 3-B 4-B 5-B 6-D 7-C 8-D 9-B 10-A Trang 73 11-B 12-C Lời giải chi tiết 13-B 14-C 15-D 16-D 17-B 18-C 19-A 20-C Câu Gọi K trung điểm CD CD ⊥ AK ⇒ CD ⊥ ( ABK ) Suy  CD ⊥ BK Dựng HK ⊥ AB ⇒ HK = d ( AB; CD ) Xét tam giác BHK vng H, ta có  a   a 2 a HK = BK − BH =  ÷ ÷ − ÷ =   2 2 Vậy d ( AB; CD ) = a Nhận xét: Đối với tứ diện cạnh a khoảng cách giửa cặp cạnh đối diện a Suy Câu  DM ⊥ NC ⇒ DM ⊥ ( SHC ) ⇒ DM ⊥ SC Ta thấy   DM ⊥ SH · Ta có: ∆MAD = ∆NDC ⇒ ·ADM = DCN ⇒ MD ⊥ NC Do SH ⊥ ( ABCD ) nên MD ⊥ SH ⇒ MD ⊥ ( SHC ) Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) Suy HK đoạn vng góc chung DM SC nên d ( DM , SC ) = HK Ta có: HC = CD 2a = HK = CN Do d ( DM , SC ) = SH HC SH + HC 2 = 3a 19 3a 19 Câu Trang 74 · Vì AB = AA ' = AD = a ·A ' AB = ·A ' AD = BAD = 60o nên tứ diện A ' ABD tứ diện cạnh a khoảng cách hai đường thẳng chứa cạnh đối diện tứ diện A ' ABD 2a (theo kết câu 3) Câu Gọi H trung điểm BC nên BC a a = , SH ⊥ ( ABC ) , SH = 2 AH = Gọi K hình chiếu vng góc H SA ⇒ HK ⊥ SA Ta có: BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ HK ⇒ d ( SA; BC ) = HK Xét tam giác SHA vng H Ta có 1 16 a = + = ⇒ HK = 2 HK SH AH 3a Vậy d ( SA; BC ) = a Câu · Do SA ⊥ ( ABCD ) nên (·SB; ( ABCD ) ) = SBA = 60o Do tam giác SAC vuông A nên · SA = AB.tan SBA = a Gọi O tâm hình vng ABCD  BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) Ta có:   BD ⊥ SA Trong mặt phẳng ( SAC ) , dựng OH ⊥ SC Suy d ( BD; SC ) = OH Dựng AK ⁄⁄OH ⇒ OH = AK Xét tam giác SAC vuông A: 1 30a = + = ⇒ AK = 2 AK AS AC 6a Vậy d ( BD; SC ) = 30a 10 Câu Do BB1 ⁄⁄AA1 nên AA1 ⁄⁄ ( BCC1 B1 ) Trang 75 Suy d ( AA1 ; BC1 ) = d ( AA1 ; ( BCCC1 ) ) = d ( A; ( BCCC1 ) ) Do ( BCCC1 ) ⊥ ( ABC ) , dựng AH ⊥ BC , ( H ∈ BC ) Suy AH ⊥ ( BCC1 B1 ) Xét tam giác ABC vuông A : AH = Vậy d ( AA1 ; BC1 ) = a BC = 2 a Câu Gọi O giao điểm AB1 A1 B Do AC ⁄⁄A1C1 nên AC ⁄⁄ ( BA1C1 ) Suy d ( AC ; BC1 ) = d ( AC ; BA1C1 ) = d ( A; ( BA1C1 ) ) = d ( B1 ; ( BA1C1 ) ) (do O ∈ ( BA1C1 ) O trung điểm AB1 ) Dựng B1 H ⊥ A1 B ( 1)  A1C1 ⊥ A1 B1 ⇒ A1C1 ⊥ ( ABB1 A1 ) Ta có:   A1C1 ⊥ AA1 ⇒ A1C1 ⊥ B1 H ( ) Từ (1) (2) ta có: B1 H ⊥ ( A1 BC1 ) ⇒ d ( B1 ; ( A1BC1 ) ) = B1H Xét tam giác A1 BB1 vuông B1 : 1 5a = + = ⇒ B1 H = 2 B1 H ( A1B1 ) ( BB1 ) 4a Vậy d ( BC1 ; AC ) = 5a Câu 10 Gọi I, K trung điểm BC SA Ta có: BC ⊥ SI ( ∆SBC đều) BC ⊥ AI ( ∆ABC đều) Do BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ IK ( 1) Mặt khác SI = IA ⇒ ∆SAI cân I Có IK đường trung tuyến nên IK ⊥ AB ( ) Từ (1) (2) suy IK đoạn vng góc chung cùa SA BC Do d ( SA; BC ) = IK Xét ∆AKI vng K có: Trang 76  a   a 2 a IK = AI − AK =  ÷ ÷ − ÷ =   2 2 Vậy d ( SA; BC ) = a Câu 11 Kẻ OH ⊥ BC ( H ∈ BC ) ( 1) Ta có: OA ⊥ OB OA ⊥ OC Suy OA ⊥ ( OBC ) ⇒ OA ⊥ OH ( ) Từ (1) (2) suy OH đoạn vng góc chung cùa OA BC Do d ( OA; BC ) = OH Xét ∆OBC vng O có: 1 2a = + = ⇒ OH = 2 OH OB OC 4a Vậy d ( OA; BC ) = 2a Câu 12 Kẻ AH ⊥ SB ( H ∈ SB ) ( 1) Ta có: AD ⊥ AB AD ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) ) Suy AD ⊥ ( SAB ) ⇒ AD ⊥ AH ( ) Từ (1) (2) suy AH đoạn vuông góc chung cùa AD SB Do d ( AD; SB ) = AH Xét ∆SAB vuông A có: 1 a = + = ⇒ AH = AH SA SB 3a Vậy d ( AD; SB ) = a Câu 13 Ta có BC ⊥ BB ' BC ⊥ CD Suy BC đoạn vng góc chung BB ' CD Do d ( BB '; CD ) = BC = a Câu 14 Gọi O tâm hình vng ABCD Trang 77 Ta có: AO ⊥ BD AO ⊥ AA ' Suy AO đoạn vuông góc chung AA ' BD Do d ( AA '; BD ) = AO = AC a = 2 Câu 15 · Ta có (·SC , ( ABC ) ) = (·SC , HC ) = SCH = 60o ∆ABC nên CI = Ta có BH = a với I trung điểm AB a a a ; BI = ⇒ IH = Suy CH = IH + IC = 7a ∆SCH vng H có SH = HC.tan 60o = 21a Kẻ Ax ⁄⁄BC Gọi N K hình chiếu vng góc H Ax SN Suy BC ⁄⁄ ( SAN ) Ta có: BA = 3 AH nên d ( SA, BC ) = d ( B, ( SAN ) ) = d ( H , ( SAN ) ) 2 Ta có Ax ⊥ ( SHN ) nên Ax ⊥ HK Do HK ⊥ ( SAN ) Suy d ( H , ( SAN ) ) = HK AH = 2a a , HN = AH sin 60o = 3 HK = SH HN SH + HN Vậy d ( SA, BC ) = = a 42 12 a 42 HK = Câu 16 Vì AA ' ⁄⁄ ( BCC ' B ') nên d ( AA '; BC ') = d ( AA '; ( BCC ' B ' ) ) = d ( A; ( BCC ' B ' ) ) Kẻ AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) Mà AH ⊥ BB ' ( BB ' ⊥ ( ABC ) ) Suy AH ⊥ ( BCC ' B ') Do d ( A; ( BCC ' B ' ) ) = AH Xét ∆ABC vng A có: AC = BC − AB = a Trang 78 1 a = + = ⇒ AH = 2 AH AB AC 2a Vậy d ( AA '; BC ') = a Câu 17 Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, H trung điểm AB Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) SH ⊥ AB nên SH ⊥ ( ABCD ) Gọi I giao điểm HD AC ⇒ ID = IH Gọi G trọng tâm ∆SAB Suy IG ⁄⁄SD ⇒ SD ⁄⁄ ( AGC ) ⇒ d ( SD; AC ) = d ( SD; ( AGC ) ) = d ( D; ( AGC ) ) = 2d ( H ; ( AGC ) ) Dựng HK ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( GHK ) Dựng HP ⊥ GK ⇒ HP ⊥ ( GAC ) Suy d ( H ; ( GAC ) ) = HP Ta có AH = AB a BC a a = ; HO = = a; SH = ⇒ HG = SH = 2 2 Xét tam giác GHK vuông H: 1 1 1 17 = + = + + = 2 2 2 HP HK HG HA HO HG a Suy HP = 17a 17 Vậy d ( SD; AC ) = 17 a 17 Câu 18 Ta có: SB ⊂ ( SBC ) AD / / ( SBC ) Do d ( AD, SB ) = d ( AD, ( SBC ) ) Qua O kẻ MN ⊥ BC ( M ∈ AD, N ∈ BC ) Ta có: BC ⊥ MN BC ⊥ SO (vì SO ⊥ ( ABCD ) ), suy BC ⊥ ( SMN ) Mà BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SBC ) theo giao tuyến SN Kẻ MH ⊥ SN ( H ∈ SN ) ⇒ MH ⊥ ( SBC ) Khi ta có d ( AD, SB ) = d ( M , ( SBC ) ) = MH Trang 79 Ta có S ∆SMN = ⇒ MH = 1 MN SO = MH SN 2 MN SO = SN MN SO SO + ON ˆ = 60o suy tam giác ∆BCD d ( D, BC ) = a = MN Do tam giác BCD có CD = CB = a BCD Vậy d ( AD, SB ) = d ( M , ( SBC ) ) = MH = 2a 57 19 Câu 19 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, theo giả thiết A ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ (·AA '; ( ABC ) ) = ·A ' AG = 60o Xét tam giác A ' AG vuông G: a A ' G = AG.tan ·A ' AG = tan 60o = a Do BC ⁄⁄ ( A ' B ' C ' ) nên d ( BC ; A ' B ') = d ( BC ; ( A ' B ' C ' ) ) = A ' G = a Vậy d ( BC ; A ' B ' ) = a Câu 20 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Theo giả thiết A ' G ⊥ ( ABC ) , suy (·AA '; ( ABC ) ) = ·A ' AG = 60o Xét tam giác A ' AG vuông G: a A ' G = AG.tan ·A ' AG = tan 60o = a Gọi M trung điểm BC  BC ⊥ AM ⇒ ⇒ BC ⊥ ( A ' AM )  BC ⊥ A ' G Dựng MN ⊥ AA ' ⇒ d ( BC ; AA ' ) = MN Xét tam giác AMN vuông N: 3a a 3a · Vậy d ( BC ; AA ') = MN = AM sin NAM = sin 60o = 4 Trang 80 ... vng góc giải toán thiết diện 1–D 2–B 3–A 4? ??A 11 – B 12 – C 13 – A 14 – C 21 – D 22 - A 23 – A 24 – C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 5–B 15 – D 25 – D –A 16 – A 7–B 17 – D 8–D 18 – B 9–C 19 – C 10 – C... đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt phẳng Tính chất Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với. .. góc với đường thẳng song song đường thẳng  Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Tính chất 4:  Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song mặt