HÌNH 11 PHẦN 1 PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP DỜI HÌNH

CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH – PHÉP TỊNH TIẾN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa phép biến hình, số thuật ngữ kí hiệu liên quan + Nắm định nghĩa phép tịnh tiến + Biết vẽ ảnh xác định ảnh hình qua phép tịnh tiến + Nắm tính chất phép tịnh tiến  Kĩ + Biết vận dụng định nghĩa tính chất phép biến hình phép tịnh tiến để xác định ảnh điểm, đường thẳng,… cho trước + Biết vận dụng phép tịnh tiến để giải số tốn quỹ tích Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phép biến hình Định nghĩa Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng Kí hiệu Phép biến hình F viết F  M   M ' hay M '  F  M  Ví dụ Hình chiếu điểm A lên đường Khi M’ gọi ảnh M qua phép biến hình F hình biến điểm A thành H thẳng d điểm H Khi ta có phép biến Nếu � hình mặt phẳng ta kí hiệu �'  F  � tập hợp điểm ảnh M thuộc � Khi ta nói F biến hình � thành hình �' hay �' từ ảnh hình � qua phép biến hình F Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành F  A  H gọi phép chiếu vng gọi phép đồng góc lên đường thẳng d Phép tịnh tiến Định nghĩa r Trong mặt phẳng cho vectơ u Phép biến hình biến uuuuu r r điểm M thành điểm M’ cho MM '  u gọi r phép tịnh tiến theo vectơ u , kí hiệu Tur uuuuu r r Như Tur  M   M ' � MM '  u Nhận xét Tính chất  Phép tịnh tiến theo vectơ-khơng uuuuuu r uuuur r r T M  M '; T N  N '   a) Nếu u   M ' N '  MN u phép đồng Từ suy M 'N '  MN  Phép tịnh tiến xác định có b) Phép tịnh tiến biến: vectơ tịnh tiến, tức biết điểm đầu,  Đường thẳng thành đường thẳng song song điểm cuối vectơ biết hướng trùng với độ dài vectơ  Đoạn thẳng thành đoạn thẳng  Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách  Tam giác thành tam giác hai điểm  Góc thành góc  Đường trịn thành đường trịn bán kính Biểu thức tọa độ Trang Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  x; y vectơ Chú ý Nếu quên công thức ta cần cho uuuuu r r r MM '  u, từ suy tọa độ tương ứng u a;b Gọi điểm M ' x'; y' ảnh điểm M  x; y qua r phép tịnh tiến theo vectơ u �x'  x  a Khi � �y'  y  b HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC: PHÉP TỊNH TIẾN Định nghĩa uuuuu r r Tur  M   M ' � MM '  u Biểu thức tọa độ u M  x; y �� � M ' x'; y' Tr �x'  x  a � �y'  y b Tính chất � Tur  M   M ';Tur  N   N '� uuuuuu r uuuu r �� M 'N '  MN � M 'N '  MN � Phép tịnh tiến biến:  Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với  Đoạn thẳng thành đoạn thẳng  Tam giác thành tam giác  Góc thành góc  Đường trịn thành đường trịn bán kính II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phép biến hình Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chứng tỏ quy tắc đặt tương ứng điểm M  x; y với điểm M ' y; x phép biến hình Hướng dẫn giải Với điểm M  x; y , theo quy tắc tồn điểm M’ cho F  M   M ' y; x Như vậy, với điểm M ln tồn ảnh M’ (1) Giả sử qua quy tắc trên, điểm M  x; y có hai ảnh M ' x'; y' M '' x''; y'' Trang �x'  y �x''  y Ta có � � �y'   x �y''   x Suy x' x''; y' y'' M ' M ''  2 Từ (1) (2), suy ra: quy tắc phép biến hình �x'   x Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình sau: F  M  x; y   M ' x'; y' với � �y'  y  a) Xác định ảnh điểm M  1;2 qua phép biến hình F b) Xác định phương trình đường thẳng  ' ảnh đường thẳng  : x  y  1 qua phép biến hình F c) Xác định phương trình đường trịn  C ' ảnh đường tròn  C  qua phép biến hình F:  C  : x2  y2  2x  4y  1 Hướng dẫn giải �x'   x  1 � M ' 1;3 a) M ' x'; y'  F  M  � � �y'  y   2  b) M  x; y � F  M   M ' x' y' � ' �x'   x �x   x' �� Suy � �y'  y  �y  y' Lúc M   x'; y' 1 � nên   x'   y' 1  1 �  x' y'  � x' y'  Vậy  ': x' y'  ảnh đường thẳng  qua phép biến hình F c) Gọi M  x; y � C  � F  M   M ' x'; y' � C ' �x'   x �x   x' �� Suy � �y'  y  �y  y' Mà M � C  nên   x'   y' 1  2 x'  4 y' 1  1 �  x'   y'  2x' 6y'  2 2 2 Vậy  C ' : x  y  2x  6y   ảnh đường tròn  C  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Quy tắc phép biến hình? A Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, M khác O M ứng với M’ cho uuuu r uuuur r OM  OM '  B Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O M ứng với M’ cho tam giác OMM’ tam giác vuông cân đỉnh O C Điểm O cho trước ứng với điểm O, cịn M khác O M ứng với M’ cho tam giác MM’ tam giác D Điểm O cho trước đặt tương ứng với O, M khác O M ứng với M’ cho OM '  2OM Trang Câu 2: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M  xM ; yM  , điểm M ' x'; y' theo công thức �x'  xM  F :� Ảnh điểm A 1;2 qua phép biến hình F là: �y'  yM  A A' 1;4 B A' 2;0 C A' 1;2 D A' 0;4 Câu 3: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M  xM ; yM  với điểm M ' x'; y' theo cơng thức �x'  xM Tính độ dài đoạn thẳng PQ với P, Q tương ứng ảnh điểm A 1;2 B 1;2 qua � �y'  yM  phép biến hình F A PQ  B PQ  C PQ  D PQ  Câu 4: Cho phép biến hình F đặt tương ứng điểm M  xM ; yM  với điểm M ' x'; y' theo công thức �x'  xM  x2 y2 F :� Viết phương trình elip  E ' ảnh elip  E  :   qua phép biến hình F �y'  yM  A  E ' : C  E '  x  1  x  1 :  y 1  1 y2  1 B  E ' : D  E '  x  1  x  1 :  y 1   1 y2 1 Dạng 2: Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Phương pháp giải r Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  x; y vectơ Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v   2;3 r u a;b Gọi điểm M ' x'; y' ảnh điểm Hãy tìm ảnh điểm A 1;1 , B 4;3 qua phép r r tịnh tiến theo vectơ v M  x; y qua phép tịnh tiến theo vectơ u Hướng dẫn giải �x'  x  a Khi đó: � �x'  x  �y'  y  b Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Tvr � �y'  y  Ta có điểm A 1;1 �x'  1  2 A' x'; y'  Tvr  A � � �y'  1 �x'  1 �� � A' 1;2 �y'  Tương tự ta có ảnh B điểm B' 2;6 Ví dụ mẫu Trang r Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v   1; 3 đường thẳng d có phương trình 2x  3y  Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến Tvr Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Lấy điểm M  x; y tùy ý thuộc d, ta có: 2x  3y    *  �x'  x  �x  x' �� Gọi M ' x'; y'  Tvr  M  � � �y'  y  �y  y' Thay vào (*) ta phương trình: 2 x' 1  3 y' 3   � 2x' 3y'  Vậy ảnh d đường thẳng d': 2x  3y   Cách 2: Sử dụng tính chất phép tịnh tiến Do d'  Tvr  d nên d’ song song trùng với d, phương trình đường thẳng d’ có dạng 2x  3y  c   **  Lấy điểm M  1;1 �d Khi M '  Tvr  M    1 1;1 3   0; 2 Do M '�d' nên 2.0 3. 2  c  � c  6 Vậy ảnh d đường thẳng d': 2x  3y   Cách 3: Để viết phương trình d’ ta lấy hai điểm phân biệt M, N thuộc d, tìm tọa độ ảnh M’, N’ tương ứng chúng qua Tvr Khi d’ qua hai điểm M’ N’ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn  C  có phương trình x2  y2  2x  4y   Tìm ảnh r  C  qua phép tịnh tiến theo vectơ v   2; 3 Hướng dẫn giải Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ 2 Lấy điểm M  x; y tùy ý thuộc đường tròn  C  , ta có: x  y  2x  4y    *  �x'  x  �x  x' �� Gọi M ' x'; y'  Tvr  M  � � �y'  y �y  y' Thay vào phương trình (*), ta được:  x' 2   y' 3  2 x' 2  4 y' 3   � x'2  y'2  2x' 2y'  2 Vậy ảnh  C  đường tròn  C ' : x  y  2x  2y   Cách 2: Sử dụng tính chất phép tịnh tiến Dễ thấy  C  có tâm I  1;2 bán kính R  Trang Gọi C '  Tvr   C   I ' x'; y' ; R' tâm bán kính  C ' �x  1  Ta có � �y  2  1 Suy I ' 1;1 R'  R  Vậy phương trình đường trịn  C '  x  1   y  1  2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d :3x  y  Tìm phép tịnh tiến theo vectơ r v có giá song song với Oy biến d thành d’ qua điểm A 1;1 Hướng dẫn giải r r v   0;k  k �0 có giá song song với Oy nên v Lấy M  x; y �d � 3x  y    *  �x'  x �x  x' �� Gọi M ' x'; y'  Tvr  M  � � �y'  y k �y  y' k Thay vào (*), ta có 3x' y' k   hay Tvr  d  d':3x  y  k   Mà d’ qua A 1;1 nên k  5 r Vậy v   0;5 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : 2x  3y  d': 2x  3y  Tìm r tọa độ v có phương vng góc với d để Tvr  d  d ' Hướng dẫn giải r Đặt v   a;b , lấy điểm M  0;1 �d Giả sử M ' x'; y'  Tvr  M  �x'  a Ta có � thay vào d’ ta phương trình 2a  3b  �y'  1 b r Vectơ pháp tuyến đường thẳng d n  2;3 r Suy vectơ phương d u   3;2 rr r r Do v  u nên vu  � 3a  2b  � 16 a 2a  3b  � � � 13 �� Ta có hệ phương trình � 3a  2b  � 24 � b  � 13 r � 16 24 � Vậy v  � ; � 13 13 � � Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 3;3 Ảnh điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ r v   1;3 là: A A' 2;6 B A' 2;0 C A' 4;0 D A' 2;0 uuur Câu 2: Cho ba điểm M  2;3 ;N  4;1 ; P  6;5 Ảnh N qua phép tịnh tiến theo vectơ MP là: A N ' 0;3 B N ' 3;7 C N ' 3;7 D N ' 3;0 Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M  10;1 M ' 3;8 Phép tịnh tiến theo r r vectơ v biến điểm M thành điểm M’, tọa độ vectơ v là: A  13;7 B  13; 7 C  13;7 D  13;7 r Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M  0;2 ,N  2;1 vectơ v 1;2 Phép tịnh tiến theo r vectơ v biến M, N thành hai điểm M’, N’ tương ứng Tính độ dài M’N’ A M 'N '  B M 'N '  C M 'N '  D M 'N '  Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC biết A 2;4 , B 5;1 ,C  1;2 Phép tịnh tiến theo uuur vectơ BC biến ABC thành A' B'C ' tương ứng điểm Trọng tâm G’ A' B'C ' là: A G ' 4;2 B G ' 4;2 C G ' 4;2 D G ' 4;4 Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường thẳng  ' ảnh đường thẳng r  : x  2y 1 qua phép tịnh tiến theo vectơ v 1;1 A  ': x  2y  B  ': x  2y   C  ': x  2y  1 D  ': x  2y   Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng song song d d’ có phương trình 3x  2y  3x  2y  1 Phép tịnh tiến theo vectơ sau biến đường thẳng d thành d’? r r r r A v   1; 2 B v   1; 2 C v   1; 1 D v   1; 1 Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường trịn r  C  : x2  y2  2x  4y 1 qua Tvr với v   1;2 là:  C ' ảnh đường tròn A  x  2  y2  B  x  2  y2  C x2  y2  2x   D 2x2  2y2  8x   r Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v   2;1 đường thẳng d : 2x  3y   0; d1 : 2x  3y  ur Biết vectơ w   a;b có phương vng góc với đường thẳng d để d1 ảnh d qua phép tịnh tiến Tuwr 2 Khi a  b bằng: A 13 B 16 13 C 8 13 D 13 Câu 10: Cho hình vng ABCD A 1;1 ,C  3;5 Phương trình ảnh đường trịn nội tiếp r uuur hình vuông ABCD qua phép tịnh tiến theo vectơ v  AC là: Trang A  x  3   y  5  B  x  1   y 1  16 C  x  2   y  1  D  x  3   y 5  16 2 2 2 2 ĐÁP ÁN Dạng 1: Phép biến hình –A Câu 1: uuuu r uuuur r Ta có OM OM � ' 2–D 3–B uuuuu r r MM ' –A M ' M Quy tắc đặt phép đồng Do chọn A Các quy tắc cịn lại khơng phép biến hình + Đáp án B, C khơng nói góc vng góc lượng giác nên tồn hai ảnh M + Yếu tố thẳng hàng hay không thẳng hàng đủ để thấy rõ ảnh M không Câu 2: �x'  xM  1 1 1 � A' 0;4 Theo cơng thức, ta có: � �y'  yM   2  Câu 3: uuur �x'  xM Theo cơng thức � , ta có: P  1;1 ,Q  1;3 � PQ   2;4 � PQ  �y'  yM  Câu 4: Gọi M  xM ; yM  � E  : xM2 yM2    1 �x'  xM  �xM  x' �� Với F  M   M ' x'; y' � E ' , theo công thức � �y'  yM  �yM  y' Thay vào (1) ta có  x' 1 Phương trình  E '  y' 1   x' 1 1  y' 1  1 Dạng 2: Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến 1–B –A 3–C –A –A –A 7–C 8–B 9–C 10 - A Câu 1: uuur r � �x  3 1 �xA'  xA  xvr r T A  A ' x ; y � AA '  v � � � A' � A' 2;0  A A Ta có v   � y     �yA'  yA  yvr �A' Câu 2: uuur Ta có MP   4;2 uuur Gọi N ' x'; y' ảnh N  4;1 qua phép tịnh tiến theo vectơ MP �x'  x  a Áp dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến � , ta có: �y'  y  b �x'  4 �x  �� � �y'  1 �y  Trang Vậy N ' 0;3 Câu 3: uuuuu r Ta có MM '   13;7 uuuuu r r r Tvr  M   M ' � MM '  v � v   13;7 Câu 4: � �Tvr  M   M ' � MN  M 'N '  Ta có � �Tvr  N   N '  2 0   1 2  Câu 5: uuu r Ta có tọa độ trọng tâm ABC G  2;1 ; BC   6;3 uur uur ur � �xG'  2  4 �xG'  xG  xuBC uur  G  G ' x ; y  � GG '  BC � TuBC � � G' 4;2 � � G' G' uuur �yG'  1  2 �yG'  yG  yBC Câu 6: Cách 1: Chọn A 1;0 � � Tvr  A  A' 2;1 � ' Chọn B 1;1 � � Tvr  B  B' 0;0 � ' Đường thẳng  ' đường thẳng A’B’ Đường thẳng  ' qua A' 2;1 r có vec tơ pháp tuyến n   1;2 có phương trình  ':1 x  2  2 y  1  � x  2y  Cách 2: Vì Tvr      ' nên  ',  hai đường thẳng phương Do  ' có dạng x  2y  m Chọn A 1;0 � � Tvr  A  A' 2; 1 � ' � m Vậy phương trình đường thẳng  ': x  2y  Cách 3: Sử dụng quỹ tích Lấy M  xM ; yM  � � xM  2yM  1  1 �x'  xM  �xM  x' �� Ta có Tvr  M   M ' x'; y' � ' � � �y'  yM  �yM  y' Thay vào (1) ta  x' 1  2 y' 1  1 � x' 2y'  Vậy  ': x  2y  Nhận xét: Sử dụng cách có tính tư cao hơn, nhanh áp dụng cho nhiều loại hình khác Câu 7: r Gọi v   a;b vectơ tịnh tiến biến d thành d’ Khi M  x; y �d biến thành điểm M ' x'; y' �d' Trang 10 Lấy hai điểm A x1; y1  , B x2; y2  mặt phẳng uuu r �AB  x  x  y  y � �  1  1 �F1  A  A1   y1; x1  �AB   x2  x1; y2  y1  � � �uuuur �� Xét � 2 �F1  B  B1   y2; x2  � � �A1B1   y1  y2; x2  x1 �A1B1   y1  y2    x2  x1  Suy A1B1  AB � F1 phép dời hình uuu r 2 � � � F A  A x ;2 y AB     1 �2 �   x2  x1; y2  y1  �AB   x2  x1    y2  y1  � �uuuuu �� r Xét � A B  x  x ;2 y  y   � �A2B2  4 x2  x1   4 y2  y1  �F2  B  B2  2x2;2y2  2 2 � � Khi x1 �x2 y1 �y2 F2 khơng phép dời hình Dạng 2: Xác định ảnh qua phép dời hình 1–D 2–B 3–C 4–B –A Câu 1: �x'  xM  1 � A' 0;4 Theo công thức, ta có: � �y'  yM   Câu 2: uuur Theo cơng thức, ta có: P  1;1 ;Q 1;3 � PQ   2;2 � PQ  2 Câu 3: Cách 1: Gọi M  xM ; yM  �d � xM  2yM  1  1 x' � xM  � �x'  2xM � �� Với F  M   M ' x'; y' , theo công thức, ta có: � �y'  2yM �y  y' �M �x' � �y' � Thay vào (1) ta có: � � 2� �  � x' 2y'  �2 � �2 � Vậy d': x  2y   Cách 2: Chọn A 1;0 �d, B 1;1 �d A ' � 2;0  d', F  B Ta có F  A  � B' 2; 2 d' d' A' B' Đường thẳng d’ qua A' 2;0 nhận vectơ phương uuuur A' B'   2;1 ur Chọn n'   1;2 làm vectơ pháp tuyến, suy d':1 x  2  2 y  0  � x  2y   Câu 4: Cách 1: Gọi M  xM ; yM  � C  �  xM  1   yM  2   1 2 �x'  xM �x  x' � �M Với F  M   M ' x'; y' , theo công thức: � �y'   yM �yM  y' Trang 29 Thay vào (1) ta có:  x  1    y  2  � M '� C ' :  x  1   y  2  2 2 Cách 2: Đường tròn  C  có tâm I  1;2 A 1;4 � C  Suy F  I   I ' 1;2 tâm  C ' F  A  A' 1;4 � C ' Vậy đường tròn  C ' :  x  1  C ' có tâm I ' 1;2 bán kính uuuur R  I ' A'  có phương trình là:   y  2  Câu 5: Gọi M  xM ; yM  � E  : xM2 yM2    1 �x'  xM  �xM  x' �� Với F  M   M ' x'; y' , theo công thức, ta có: � �y'  yM  �yM  y' Thay vào (1) ta được:  xM  1  y  1  M   x  1   y  1  Ta có M '� E ' nên phương trình  E ' 2 BÀI 4: PHÉP VỊ TỰ Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu định nghĩa phép vị tự, phép vị tự xác định biết tâm tỉ số vị tự + Nắm vững tính chất phép vị tự + Nắm vững cách tìm tâm vị tự hai đường tròn  Kĩ + Tìm ảnh điểm, ảnh hình qua phép vị tự, biết mối liên hệ phép vị tự với phép biến hình khác + Xác định tâm vị tự hai đường tròn I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Ví dụ Cho điểm I số thực k �0 Phép biến hình biến điểm uuur uuu r M thành M’ cho IM '  k.IM gọi phép vị tự tâm I, tỉ số k Kí hiệu: V I ;k uuur uuu r Vậy V I ;k  M   M ' � IM '  k.IM Biểu thức tọa độ Trang 30 Trong mặt phẳng tọa độ, cho I  x0; y0  M  x; y Phép vị tự tâm O, tỉ số � �x'  kx   1 k x0 Gọi M ' x'; y'  V I ;k  M  � �y'  ky   1 k y0 Nếu Tính chất V I ;k  M   M ';V I ;k  N   N ' biến ba điểm M, N, P thành điểm M’, N’, P’ Nhận xét uuuuuu r uuuur M 'N '  k.MN + Phép vị tự biến tâm vị tự thành M 'N '  k MN + Khi k  phép vị tự phép Phép vị tự tỉ số k: + Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự ba điểm + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đồng + Khi k  1, phép vị tự phép đối xứng qua tâm vị tự + M '  V O;k  M  Nếu M  V�  M ' 1� O; � � � k� cho, biến góc thành góc + Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính k R Tâm vị tự hai đường trịn Định lí: Với hai đường trịn ln có phép vị tự biến đường trịn thành đường tròn Tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường tròn Cho hai đường tròn  I ; R  I '; R' + Nếu I �I ' phép vị tự V� R' � �I ;� � � R� biến  I ; R thành  I '; R' + Nếu I �I ' R �R' phép vị tự  I ; R V� R' � O; � � � R� V� R' � O; � � � R� biến thành  I '; R' Ta gọi O tâm vị tự ngồi cịn O1 tâm vị tự hai đường tròn + Nếu I �I ' R  R' có V O1;1 biến  I ; R thành  I '; R' HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC PHÉP VỊ TỰ Phép vị tự tâm I, tỉ số k Kí hiệu: V I ;k uuur uuu r V I ;k  M   M ' � IM '  k.IM Trang 31 M ' x'; y'  V I ;k  M  , I  x0; y0  � �x'  kx   1 k x0 �� �y'  ky   1 k y0 Với k  1, V I ;1 , phép đồng Với k  1, V I ;1 , phép đối xứng tâm Tính chất uuuuuu r uuuur � �M 'N '  k.MN V I ;k  M   M ';V I ;k  N   N ' � � �M 'N '  k MN Phép vị tự V I ;k + Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự ba điểm + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác cho, biến góc thành góc + Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính k R Tâm vị tự hai đường tròn  I ; R ,  I '; R' + Nếu I �I ' phép vị tự V� R' � �I ;� � � R� biến  I ; R thành  I '; R' + Nếu I �I ' R �R' phép vị tự V� R' � O; � � � R� V� R' � O; � � � R� biến  I ; R thành  I '; R' + Nếu I �I ' R  R' có V O1;1 biến  I ; R thành  I '; R' II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định ảnh hình qua phép vị tự Phương pháp giải Dùng định nghĩa, tính chất biểu thức tọa độ Ví dụ Tìm ảnh A’ điểm A 3;4 qua phép vị tự phép vị tự tâm I  2;5 ,k  Hướng dẫn giải Ta có V I ;2  A  A' Áp dụng biểu thức tọa độ � �x'  kx   1 k x0 phép vị tự, ta có: � �y'  ky   1 k y0 Trang 32 �x'  2.3  1 2  � � A' 4;3 Suy ra: � �y'  2.4   1 2  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho M  3;5 , M ' 4;6 Tìm tâm I phép vị tự biến M thành M’ có tỉ số k  Hướng dẫn giải �   3   1 2 a � a  10 � �� � I  10;4 Ta có: V I ;2 : M � M ' � � b  5.2   1 2 b � � Ví dụ Cho d : x  2y   Tìm ảnh d’ d qua phép vị tự tâm I  2;1 có tỉ số k  Hướng dẫn giải uu r uur Ta có: V I ;2  d  d' � d / /d' � nd  nd'   1;2 M  1;1 �d � V I ;2  M   M '�d' � �x'  1.2   1 2 �x'  �� � M ' 0;1 Do � �y'  1.2   1 2 �y'  Vậy phương trình tổng quát d’ x  2 y  1  � x  2y   2 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn  C  : x  y  6x  4y  12  Tìm phương trình đường tròn  C ' ảnh  C  qua phép vị tự tâm tỉ số k   Hướng dẫn giải  C có tâm A 3;2 , bán kính R   C ' có tâm A' x'; y' , bán kính R'  r r uuu uu Vì A’ ảnh A qua phép vị tự tâm I, tỉ số k   � IA'   IA 2 uu r uur Mà IA   x' 2; y' 1 ; IA   1;3 �3 � 2 Suy A'� ; ��  C ' : x  y  3x  5y   �2 � Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hai đường thẳng cắt d d’ Có phép vị tự biến d thành đường thẳng d’? A B C D Vô số Câu 2: Cho hai đường tròn  O; R  O'; R' với tâm O O’ phân biệt Có phép vị tự biến  O; R thành  O'; R' ? Trang 33 A B C uur uur Câu 3: Cho 4IA  5IB Tỉ số vị tự k phép vị tự tâm I, biến A thành B là: A k  B k  C k  D Vô số D k  Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 3;2 Ảnh A qua phép vị tự tâm O tỉ số k  1 là: A  3;2 B  2;3 C  2;3 D  3;2 Câu 5: Tìm A để điểm A' 1;2 ảnh A qua phép vị tự tâm I  1;3 , k  2 là: � 7� 1; � B A� � 2� A A 1;13 7� � 1; � C A� 2� � D A 1;13 Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M  1;2 , M ' 2;4 số k  Phép vị tự tỉ số k  biến điểm M thành điểm M’ có tâm vị tự là: A I  4;8 B I  4;8 C I  4;8 D I  4;8 Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x  y   0, I  1;2 Ảnh d qua phép vị tự tâm I tỉ số k  2 là: A 2x  y   B 2x  y   C 2x  y   Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : D x  y  x y   d': 2x  y   Phép vị tự V O;k  d  d ' Tìm k A k  B k   C k  D k   Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  :  x  3   y  1  Ảnh đường tròn  C qua phép vị tự tâm I  1;2 tỉ số k  2 là: A x2  y2  6x  16y   B x2  y2  6x  6y   C  x  3   y  8  20 D  x  3   y  8  20 2 2 Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C ' :  x  3  y2  16 điểm I  1;2 Biết đường tròn  C ' ảnh đường tròn  C  qua phép vị tự tâm I, tỉ số k  2 Điểm sau thuộc đường tròn  C  ? A M  3;4 B N  2;3 C P  2;0 D Q 3;2 Dạng 2: Xác định tâm vị tự hai đường tròn Phương pháp giải Sử dụng cách tìm tâm vị tự hai đường trịn học Ví dụ mẫu Trang 34 Ví dụ Cho hai đường trịn  C  :  x  2   y  1   C ' :  x  8   y  4  16 Tìm tâm vị tự 2 2 hai đường tròn Hướng dẫn giải Đường trịn  C  có tâm I  1;2 , bán kính R  ; đường trịn  C ' có tâm I ' 8;4 , bán kính R'  Do I �I ' R �R' nên có hai phép vị tự V J ;2 V J ;2 biến  C  thành  C ' Gọi J  x; y tâm vị tự cần tìm uur uu r �  x  2  x �x  4 � �� � J  4;2 + Với k  J I '  2.J I � � y    y   y   � � + Tương tự với k  2 , tính J ' 4;2 Vậy tâm vị tự đường tròn J ' 4;2 tâm vị tự đường tròn J  4;2 Bài tập tự luyện dạng Câu 1:  C1 :  x  1 Trong mặt phẳng Oxy, A  2;3 hai đường tròn B  2;3 C  3;2 Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn  C ' :  x  10 cho   y  3  1; C2  :  x  4   y  3  Tâm vị tự ngồi hai đường trịn là: 2 D  1;3  C  :  x  3   y  3  đường tròn   y  7  Tâm vị tự biến  C  thành  C ' là: �36 27 � A � ; � �5 � 13 � � B � ;5� �2 � �32 24 � C � ; � �5 � � 13� 5; � D � � 2� ĐÁP ÁN Dạng Xác định ảnh hình qua phép vị tự 1–A Câu 1: 2–B 3–A 4–D 5–B 6–D 7–C –A 9–C 10 - B Khơng có phép vị tự biến d thành d’ qua phép vị tự, đường thẳng biến thành đường thẳng song song trùng với Câu 2: Phép vị tự có tâm trung điểm OO’, tỉ số vị tự 1 uu r uur uuu r uur �u IO '  k IO �IO'  k.IO � � V I ;k  C   C ' � � �� R k  �  � R  R '   �R'  k R � � R' Ta có O khác O’ nên k  1 I trung điểm OO’ Câu 3: uur uu r uu r uu r Ta có: 4IA  5IB � IB  IA Vậy tỉ số k  5 Trang 35 Câu 4: Áp dụng biểu thức tọa độ phép vị tự � �x'  kx   1 k x0 �x'  3 V O;1  A  A' � A': � �� �y'  2 �y'  ky   1 k y0 Vậy A' 3;2 Câu 5: Ta có: V I ;2  A  A' �x  � x. 2   1 2 � � � 7� � � � A� 1; � Áp dụng biểu thức tọa độ phép vị tự, ta có: � 2� y   y    �     � � � Câu 6: uuur uuu r Gọi I  x; y tâm vị tự Theo định nghĩa, ta có: IM '  2.IM � 2  x  2 1 x �x  � �� Suy � 4  y  2  y �y  � Vậy tâm vị tự I  4;8 Câu 7: V I ;2  d  d' nên d’ có dạng 2x  y  c  Chọn điểm M  2;0 �d �x'  Ta có: V I ;2  M   M ' x; y �d' � � �y'  2 Thế vào d’, ta có 10   c  � c  Vậy d': 2x  y   Câu 8: Ta có d : 2x  y   � d / /d' �x'  2k Chọn M  2;0 �d � V O;k  M   M ' x'; y' � � �y'  Do M '�d' nên 2.2k    � k  Câu 9: Đường trịn  C  có tâm I  8;1 Gọi  C ' ảnh  C  qua phép vị tự tâm I, tỉ số k  2 uur uu r �x'  3 � J ' 3;8 tâm đường tròn  C ' Ta có V I ;2  J   J ' x'; y' � IJ '  2IJ � � �y  Bán kính R'  k R  Vậy phương trình đường tròn  C '  x  3   y  8  20 2 Trang 36 Câu 10: Ta có đường trịn  C ' có tâm K ' 3;0 bán kính R'  Gọi K  x; y R tâm bán kính đường trịn  C  uuur uur V I ;2  C    C ' � V I ;2  K    K ' � IK '  2IK Khi � 3  2x  � �x  Vậy K  0;3 �x'  2 x  1 �� �� ��   2y  �y  � �y'  2 y  2 Lại có R'  k R � R  R'   k Vậy đường tròn  C  : x2   y  3  Ta thấy, thay tọa độ điểm N  2;3 vào đường tròn  C  thấy thỏa mãn Vậy N thuộc đường tròn  C  Dạng 2: Xác định tâm vị tự đường tròn –A –A Câu 1: Đường trịn  C1  có tâm I1  1;3 bán kính R1  Đường trịn  C2  có tâm I1  1;3 bán kính R2  Ta có I1 �I 2, R1 �R2 Gọi I tâm vị tự phép vị tự Ta có: V I ;k   C1     C2  � V I ;k  I1   I 2,k  uur uur R2  � II  2II1 � I  2;3 R1 Câu 2: Đường tròn  C  có tâm I  3;3 bán kính R  Đường trịn  C ' có tâm I ' 10;7 bán kính R'  Suy I �I ', R �R' Tỉ số vị tự k   uuur uuu r Ta có V O;k  I   I ' � O1I '  kO1I với O1  x; y tâm vị tự � � 36 x  10    x  3 x � � � � �� �� �x     y  3 �y  27 � � �36 27 � Vậy O1 � ; � �5 � BÀI 5: PHÉP ĐỒNG DẠNG Trang 37 Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu định nghĩa phép đồng dạng tỉ số đồng dạng, khái niệm hai hình đồng dạng + Hiểu tính chất phép đồng dạng ứng dụng thực tế + Nắm mối liên hệ phép đồng dạng với phép biến hình học  Kĩ + Tìm ảnh điểm, hình qua phép đồng dạng Trang 38 I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số Nhận xét k k  0 với hai điểm M, N ảnh M’, + Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số N’ tương ứng chúng, ta có M 'N '  kMN + Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số k Định lí + Nếu thực liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k Mọi phép đồng dạng tỉ số k k  0 hợp phép đồng dạng tỉ số p, ta phép đồng dạng tỉ thành phép vị tự tỉ số k phép dời số kp hình Tính chất Chú ý + Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng + Nếu phép đồng dạng biến tam giác ABC hàng bảo toàn thứ tự ba điểm thành tam giác A’B’C’ biến trọng tâm, + Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ tròn nội tiếp ABC thành trọng tâm, trực tâm, dài nhân lên với k (k tỉ số đồng dạng) tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp + Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số A' B'C ' k + Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác + Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn có n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh bán kính R'  kR + Biến góc thành góc Hai hình đồng dạng Hai tam giác đồng dạng với có Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến tam giác thành tam phép đồng dạng biến hình thành hình giác HỆ THỐNG HĨA KIẾN THỨC Phép đồng dạng gồm: + Phép vị tự + Phép dời hình:  Phép tịnh tiến  Phép đối xứng tâm  Phép đối xứng trục  Phép quay II CÁC DẠNG BÀI TẬP Trang 39 Dạng 1: Tìm ảnh điểm, hình qua phép đồng dạng Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa tính chất phép đồng dạng Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x  y   Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm I  1;1 , tỉ số k  phép quay tâm O góc Hướng dẫn giải Gọi d1 ảnh d qua phép vị tự tâm I  1;1 , tỉ số k  Vì d1 song song trùng với d nên phương trình d1 có dạng: x  y  c  Lấy M  1;1 thuộc d ảnh qua phép vị tự nói M ' x'; y' �d1 � � 1� x'  1 � 1 �  1 � � �x'  kx   1 k x0 � � 2� �� � Ta có: � y '  ky   k y 1�   �y'  1.1 � � 1 �  1 � � � 2� � �x'  � �y'  M ' O Vậy phương trình d1 : x  y  Ảnh d1 qua phép quay tâm O góc 45�là đường thẳng Oy Vậy phương trình d’ x  Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn  C  có phương trình  x  2   y  2  Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k  phép quay tâm O góc 90�sẽ biến  C  thành đường trịn đường tròn sau? A  x  2   y  2  B  x  1   y  1  C  x  2   y  1  D  x  1   y  1  2 2 2 2 Hướng dẫn giải Đường tròn  C  có tâm I  2;2 , bán kính R  Suy phép vị V� 1� O; � � � 2� tự biến  C  thành  C ' tâm I ' 1;1 , bán kinh R'  Phép quay Q O;90� biến  C ' thành  C '' có tâm I '' 1;1 , bán kính R''  R'  Vậy phương trình đường tròn  C ''  x  1   y  1  2 Trang 40 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Phép dời hình phép đồng dạng B Phép vị tự phép đồng dạng C Phép quay phép đồng dạng D Phép đồng dạng phép dời hình Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Phép vị tự phép đồng dạng B Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số C Phép dời hình phép vị tự D Phép quay phép dời hình Câu 3: Phép vị tự tỉ số k  2 phép đồng dạng tỉ số bao nhiêu? B 1 A D 2 C Câu 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A 4;3 Ảnh A có cách thực liên tiếp qua phép r vị tự tâm O tỉ số phép tịnh tiến theo vectơ v 3;2 là: A  1;5 B  8;5 C  5;8 D  8;6 Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x  y  Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp vị tự tâm O tỉ số k  2 phép đối xứng qua trục Oy biến d thành đường thẳng đường thẳng sau? A 2x  y  B 2x  y  C 4x  y  D 2x  y   Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường tròn  C   C ' có phương trình x2  y2  4y   x2  y2  2x  2y  14  Biết  C ' ảnh  C  qua phép đồng dạng tỉ số k, giá trị k bằng: A 3 B C 16 D 16 2 Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn  C  : x  y  6x  4y  23  Phương trình đường trịn  C ' ảnh đường tròn  C  qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép tịnh tiến r V 1� theo vectơ v 3;5 phép vị tự � O; � là: � � 3� A  C ' :  x  2   y  1  B  C ' :  x  2   y  1  36 C  C ' :  x  2   y  1  D  C ' :  x  2   y  1  2 2 2 2 Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M  0;3 Tìm tọa độ điểm M’ ảnh M qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc quay 90�và phép vị tự tâm O, tỉ số k  A M ' 15;0 B M ' 0;15 C M ' 0;15 D M ' 15;0 Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm N  6;0 Ảnh N qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc quay 90�và phép vị tự tâm O, tỉ số k  3 là: A N ' 18;0 B N ' 0;18 C N ' 0;18 D N ' 0;6 Trang 41 uur Câu 10: Cho ABC cạnh Qua ba phép đồng dạng liên tiếp: Phép tịnh tiến TuBC , phép quay Q B;60�  , phép vị tự V A;3 ABC biến thành A1BC 1 Diện tích A1BC 1 là: A B C D ĐÁP ÁN Dạng 1: Tìm ảnh điểm, hình qua phép đồng dạng 1–D 2–C 3–C 4–C 5–B –A 7–A –A 9–B 10 – B Câu 5: Tâm vị tự O thuộc đường thẳng d nên d  V O;2  d �x'   x �x   x' d'  �Oy  d có phương trình là: � �� �y'  y �y  y' Mà 2x  y  nên 2  x'  y'  � 2x' y'  Vậy qua phép đồng dạng đường thẳng d biến thành đường thẳng  d' có phương trình 2x  y  Câu 6:  C có tâm I  0;2 , bán kính R   C ' có tâm I  1;1 , bán kính R  Ta có  C ' ảnh  C  qua phép đồng dạng tỉ số k  k.3 � k  Câu 7: Đường tròn  C  có tâm I  3;2 bán kính R    23  r Tvr  I  3;2   I ' x'; y' với v   3;5 �x'  3  � I ' 6;3 Dựa vào biểu thức tọa độ phép tịnh tiến ta có � �y'  2   Ta có: R'  R  Vậy phương trình đường trịn  C ' :  x  2   y  1  2 Câu 8: Q O;90�  M  x; y   M1  x1; y1  ;V O;5  M1   M ' x'; y' OM  OM1 � �x  � � �1 � M1  3;0 Ta có Q O;90�  M   M1 � �  OM,OM1   90� �y1  � uuuur uuuur �x'  15 � M ' 15;0 Lại có V O;5  M1   M ' � OM '  5OM1 � � �y'  Vậy ảnh M qua phép đồng dạng M ' 15;0 Trang 42 Câu 9: Q O;90�  N  x; y   N1  x1; y1  ;V O;3  N1   N ' x'; y' ON  ON1 � �x  � � �1 � N  0;6 Ta có Q O;90�  N   N1 � �  ON,ON1   90� �y1  6 � uuuur uuuur �x'  � N ' 0;18 Lại có V O;3  N1   N ' � ON '  5ON1 � � �y'  18 Vậy ảnh N qua phép đồng dạng N ' 0;18 Câu 10: Do phép tịnh tiến phép quay bảo toàn khoảng cách điểm nên qua liên tiếp phép tịnh tiến uur TuBC  , phép vị tự V A;3 ,ABC biến thành A1BC , phép quay Q B;60� 1 A1B1  3AB  62 Vì A1BC  (đơn vị diện tích) 1 có cạnh nên SA B C  1 Trang 43 ... khẳng định sau: A Phép tịnh tiến phép dời hình B Phép đồng phép dời hình C Phép quay phép dời hình D Phép vị tự phép dời hình Câu 4: Xét hai phép biến hình sau: (1) Phép biến hình F1 biến điểm M ... (2) Phép biến hình F2 biến điểm M  x; y thành điểm M '' 2x;2y Phép biến hình hai phép biến hình phép dời hình? A Chỉ phép biến hình (1) B Chỉ phép biến hình (2) C Cả hai phép biến hình (1) ... Q B;60�  , phép vị tự V A;3 ABC biến thành A1BC 1 Diện tích A1BC 1 là: A B C D ĐÁP ÁN Dạng 1: Tìm ảnh điểm, hình qua phép đồng dạng 1? ??D 2–C 3–C 4–C 5–B –A 7–A –A 9–B 10 – B Câu 5: Tâm