Hình 11 phần 2 ĐƯỜNG THẲNG và mặt PHẲNG trong không gian, quan hệ song song

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ SONG SONG BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết cách xác định điểm, đường thẳng mặt phẳng không gian + Hiểu khái niệm giao tuyến, giao điểm, thiết diện  Kĩ + Xác định giao tuyến hai mặt phẳng không gian + Xác định giao điểm hai đường phẳng không gian Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm đầu Mặt phẳng: Mặt hồ nước yên lặng cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Mặt phẳng khơng có bề dày, khơng có giới hạn Biểu diễn mặt phẳng thường dùng hình bình hành miền góc có ghi tên mặt phẳng góc Kí hiệu mặt phẳng ta thường dùng chữ in hoa (A, B, C ) kí tự α , β , γ ,… đặt ngoặc (A), (B), (α), cần thiết Khi điểm A thuộc mặt phẳng (α) ta nói: A nằm mặt phẳng (α) hay mặt phẳng (α) chứa A, hay A thuộc (α) Kí hiệu: A ∈ ( α ) Khi điểm B không nằm mặt phẳng (α), kí hiệu B ∉(α ) Tính chất thừa nhận Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng Nếu có nhiều điểm thuộc mặt phẳng ta nói điểm đồng phẳng Dựa vào tính chất chứng minh điểm thẳng hàng Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác chúng Dựa vào tính chất chứng có đường thẳng chung chứa tất điểm minh điểm thẳng hàng Trang chung hai mặt phẳng Đường thẳng chung d hai mặt phẳng phân biệt ( α ) ( β ) gọi giao tuyến ( α ) ( β ) Kí hiệu d = ( α ) ∩ ( β ) Xác định mặt phẳng Cách 1: Qua ba điểm không thẳng hàng có mặt phẳng Cách 2: Qua đường thẳng điểm nằm ngồi có mặt phẳng Cách 3: Qua hai đường thẳng cắt có mặt phẳng Hình chóp Trong mặt phẳng ( α ) , cho đa giác lồi A1 A2 An Lấy điểm S nằm mặt phẳng ( α ) Lần lượt nối S với đỉnh A1 , A2 , , An để n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 Hình gồm đa giác A1 A2 An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp kí hiệu S A1 A2 An Ta gọi S đỉnh, đa giác A1 A2 An mặt đáy, tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi mặt bên hình chóp Các đoạn thẳng SA1 , SA2 , , SAn gọi cạnh bên, cạnh đa giác A1 A2 An cạnh đáy hình chóp Chú ý: Nếu đáy hình chóp tam giác ta gọi “hình chóp tam giác” hay “tứ diện” Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1:Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải Tìm giao tuyến mặt phẳng ( α ) ( β ) Ví dụ: Cho S điểm khơng thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) Hướng dẫn giải Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng  A ∈ ( α ) ⇒ A∈(α ) ∩ ( β )   A ∈ ( β )  B ∈ ( α ) ⇒ B ∈ ( a) ∩ ( β )   B ∈ ( β ) ⇒ AB = ( α ) ∩ ( β ) Chú ý Hai đường thẳng phân biệt cắt Ta có S ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) ( 1) chúng nằm mặt phẳng (địng Trong mặt phẳng (ABCD) có AC ∩ BD = { O} phẳng) không song song với Lại có O ∈ AC ⊂ ( ASC ) ⇒ O ∈ ( SAC )  O ∈ BD ⊂ ( SBD ) ⇒ O ∈ ( ABD ) ⇒ O ∈ ( SAC ) ∩ ( ABD ) ( 2) Từ (1) (2) suy SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) Ví dụ mẫu Ví dụ Trong mặt phẳng ( α ) cho tức giác ABCD có cặp cạnh đối khơng song song S ∉ ( α ) Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây: a) ( SAC ) ( SBD ) Trang b) ( SAB ) ( SCD ) c) ( SAD ) ( SBC ) Hướng dẫn giải a) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi { O} = AC ∩ DB Ta có S ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) ( 1) O ∈ AC ⊂ ( SAC ) ⇒ O ∈ ( SAC ) ⇒ O ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) Lại có  O ∈ BD ⊂ SBD ⇒ O ∈ SBD ( ) ( )  ( 2) Từ (1) (2) suy SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) b) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi { H } = AB ∩ CD Ta có S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD )  H ∈ AB ⊂ ( SAB ) ⇒ H ∈ ( SAB ) ⇒ H ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) Lại có   H ∈ CD ⊂ ( SCD ) ⇒ H ∈ ( SCD ) ( 4) Từ (3) (4) suy SH = ( SAB ) ∩ ( SCD ) c) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi { F } = AD ∩ CB Ta có S ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC ) ( 5)  F ∈ AD ⊂ ( SAD ) ⇒ F ∈ ( SAD ) ⇒ F ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC ) Lại có   F ∈ CB ⊂ ( SBC ) ⇒ F ∈ ( SBC ) ( 6) Từ (5) (6) suy SF = ( SAD ) ∩ ( SBC ) Chú ý: Đối với dạng tứ giác (hình bình hành, vng)… ta xác định giao hai đường chéo điểm thứ hai giao tuyến Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C, D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến (BCD) (MNP) Hướng dẫn giải Trang Trong mặt phẳng (ABC) gọi { E} = MN ∩ BC Ta thấy P ∈ ( BCD ) ∩ ( MNP ) ( 1)  E ∈ MN ⊂ ( MNP ) ⇒ E ∈ ( MNP ) ⇒ E ∈ ( MNP ) ∩ ( BCD ) Lại có   E ∈ BC ⊂ ( BCD ) ⇒ E ∈ ( BCD ) ( 2) Từ (1) (2) suy PE = ( MNP ) ∩ ( BCD ) Chú ý: A, B, C, D không thuộc mặt phẳng nghĩa A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Vì giả thiết cho MN khơng song song với BC, nên việc tìm điểm thứ hai giao tuyến cần tìm giao điểm MN BC Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Trên hai đoạn thẳng AB, AC lấy điểm M, N cho AM AN = = Tìm giao tuyến (DMN) (BCD) BM NC Hướng dẫn giải Trang Trong tam giác ∆ABC có  AM  BM = AM AN ⇒ ≠  BM NC  AN =  NC Nên MN BC không song song theo định lý Ta-lét Trong mặt phẳng (ABC) gọi { H } = MN ∩ BC Ta thấy D ∈ ( BCD ) ∩ ( DMN ) (1)  H ∈ MN ⊂ ( DMN ) ⇒ H ∈ ( DMN ) Lại có   H ∈ BC ⊂ ( BCD ) ⇒ H ∈ ( BCD ) ⇒ H ∈ ( DMN ) ∩ ( BCD ) ( 2) Từ (1) (2) suy DH = ( DMN ) ∩ ( BCD ) Chú ý: Vì đề không đưa giả thiết không song song mà lại cho tỉ lệ độ dài nên ta cần chứng minh MN BC không song song theo định lý Ta-lét Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD Tìm giao tuyến mặt phẳng (ACD) (GAB) Hướng dẫn giải Trang Ta có { A} ∈ ( GAB ) ∩ ( ACD ) Xét mặt phẳng (BCD) gọi { N } = BG ∩ CD  N ∈ BG ⊂ ( ABG ) ⇒ N ∈ ( ABG ) ⇒ ⇒ N ∈ ( ABG ) ∩ ( ACD )  N ∈ CD ⊂ ( ACD ) ⇒ N ∈ ( ACD ) Vậy ( ABG ) ∩ ( ACD ) = AN Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC, CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MBD) (ABN) Hướng dẫn giải Ta có { B} ∈ ( ABN ) ∩ ( MBD ) Vì M, N trung điểm AC, CD nên AN, DM hai trung tuyến tam giác ACD Gọi { G} = AN ∩ DM G ∈ AN ⊂ ( ABN ) ⇒ G ∈ ( ABN ) ⇒ ⇒ G ∈ ( ABN ) ∩ ( MBD ) Vậy ( ABN ) ∩ ( MBD ) = BG G ∈ DM ⊂ ( MBD ) ⇒ G ∈ ( MBD ) Trang Bài tập tự luyện dạng Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SBC) đường thẳng A SA B SD C SB D AC Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, gọi O giao điểm AC BD Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) đường thẳng A SA B SB C SC D SO Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, gọi O giao điểm AC BD Giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBD) đường thẳng A SA B SB C BD D SO Câu 4: Cho hình chóp S.ABC, gọi G trọng tâm tam giác ABC; M, N trung điềm BC, AC Giao tuyến (SAM) (SBN) A SG B SN C SM D Sx // AM // BN Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O, giao tuyến mặt (SAC) (SBD) A SC B SA C SB D SO Câu 6: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm CD AD, G trọng tâm tam giác ACD BG giao tuyến hai mặt phẳng nào? A (ABM) (BCN) B (ABM) (BDM) C (BCN) (ABC) D (BMN) (ABD) Câu 7: Cho tứ diện ABCD, gọi N K trung điềm AD BC NK giao tuyến mặt phẳng (BCA/) với mặt phẳng A (ABC) B (ABD) C (AKD) D (AKB) Câu 8: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm AD BC MN giao tuyến hai mặt phẳng nào? A (BMC) (AND) B (ABD) (ADN) C (BMC) (ACD) D (BMN) (ACD) Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành M, N trung điểm BC SD Giao tuyến hai mặt phẳng (AMN) (SCD) A đường thẳng NI với I giao điểm SC MN B đường thẳng NI với I giao điểm SC AM C đường thẳng NI với I giao điểm CD AM D đường thẳng NI với I giao điểm CD MN Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD với AC BD giao M, AB CD giao N Hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có giao tuyến A SA B SM C SN D MN Câu 11: Cho tứ diện ABCD có I, J trung điểm AC, BC Gọi K thuộc BD cho KD < KB Gọi E giao điểm JK CD, F giao điểm AD IE Giao tuyến (IJK) (ACD) A đường thẳng AI B đường thẳng IF C đường thẳng JE D đường thẳng IE Câu 12: Cho tứ diện ABCD M, N hai điểm thuộc hai cạnh AB, AC cho MN cắt BC I Khẳng định sau A Đường thẳng MN cắt đường thẳng CD Trang B Đường thẳng DN cắt đường thẳng AB C (AMN) điểm chung với (DBC) D ( DMN ) ∩ ( DBC ) = DI Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD tứ giác lồi với AB CD không song song Gọi I giao điểm hai đường thẳng AB CD Gọi d giao tuyến mặt phẳng (SAB) (SCO) Tìm d ? A d ≡ SI B d ≡ AC C d ≡ BD D d ≡ SO Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AD đáy lớn) Gọi O giao điểm AC BD, I giao điểm AB CD Giao tuyến (SAB) (SCO) A SI B SO C Sx // AB D Sy // AD Câu 15: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J K trung điểm AC, BC BD Giao tuyến hai mặt phẳng (ABD) (IJK) A khơng có B KI C đường thẳng qua K song song với AB D KD Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD tứ giác lồi Gọi o giao điểm AC BD Gọi c giao tuyến mặt phẳng (SAC) (SBD) Tìm c ? A c ≡ BD B c ≡ SO C c ≡ AC D c ≡ SA Câu 7: Cho hình chóp S.ABC Gọi M, N hai điểm thuộc vào cạnh AC BC, cho MN không song song AB Gọi đường thẳng a giao tuyến mặt phẳng (SMN) (SAB) Tìm a ? A a ≡ SO , với O giao điểm hai đường thẳng AM với BN B a ≡ MI , với I giao điểm hai đường thẳng MN với AB C a ≡ SQ , với Q giao điểm hai đường thẳng BM với AN D a ≡ SI , với I giao điểm hai đường thẳng MN với AB Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J điểm nằm AB, AD với I trung điểm AB (α) AJ = - Để chứng minh A giao điểm đường thẳng d AD Tìm giao điểm IJ mp (BCD) Hướng dẫn giải  A ∈ d mp ( α ) , ta phải chứng minh   A ∈ ( α ) Khi { A} = d ∩ ( α ) Trang 10 B Nếu hai mặt phẳng ( P) ( Q) song song với đường thẳng nằm mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng ( Q) C Nếu hai đường thẳng song song với nằm hai mặt phẳng phân biệt ( P) ( Q) ( P) ( P) ( Q) song song với D Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước ta vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước Câu 2: Có mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau? A vô số B C D Câu 3: Hãy chọn khẳng định sai A Nếu mặt phẳng ( P) chứa hai đường thẳng song song với mặt phẳng ( Q) ( P) ( Q) song song với B Nếu hai mặt phẳng song song đường thẳng nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng C Nếu hai mặt phẳng ( P) ( Q) song song mặt phẳng ( R) cắt ( P) phải cắt ( Q) giao tuyến chúng song song D Nếu đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng cịn lại Câu 4: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Kết sau đúng? A AD // ( BEF ) B ( AFD ) // ( BEC ) C ( ABD ) // ( EFC ) D EC // ( ABF ) Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J, K, L trung điểm SA, SB, SC, SD Mệnh đề sau đúng? A ( IJ K ) // ( BCD ) B ( IKL ) // SA C IK ⊂ ( SBC ) D J L // SC Câu 6: Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có mặt bên hình chữ nhật Gọi D′ trung điểm A′B′ CB′ song song với A AD′ B C′D′ C AC′ D ( AC′D′) Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA SD Trong khẳng định sau, khẳng định sai? MN // ( SBC ) A OM // SC B C ( OMN ) // ( SBC ) D ON ∩ CB ≠ ∅ Dạng 2: Tìm thiết diện nhờ quan hệ song song Trang 81 Phương pháp giải - Khi ( α ) // ( β ) đường thẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD (β) (α) song song với ta chuyển dạng thiết diện song song với đường thẳng ( α ) // ( β )  ( β ) ∩ ( γ ) = d ⇒ ( α ) ∩ ( γ ) = d′ // d, M ∈ d′  M ∈( α ) ∩( γ ) - Ta có  - Tìm đường thẳng d nằm (β) hình bình hành tâm O Tam giác SBD Một mặt phẳng ( P) song song với ( SBD ) qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A C) Tìm thiết diện ( P) hình chóp Hướng dẫn giải xét mặt phẳng có hình chóp mà chứa d, (α) // d nên cắt mặt phẳng chứa d (nếu có) theo giao tuyến song song với d Gọi { O} = AC ∩ DB Do SO nằm Mặt phẳng với (α) ( SBD ) ( SAC ) nên SO // ( α ) chứa SO có điểm chung ( SAC ) ∩ ( α ) = IK I, với IK // SO K ∈ SA Tương tự ( SAB) ∩ ( α ) = KE với KE // SB E ∈ AB ( SAD) ∩ ( α ) = KF với KF // SD F ∈ AD Suy thiết diện ( P) với hình chóp S.ABCD tam giác KEF EF AE AF AK KE KF = = = = = Ta có BD AB AD AS SB SD ⇒ ∆SBD đồng dạng với ∆KEF Tam giác SBD tam giác nên ∆KEF tam giác Vậy thiết diện ( P) hình chóp S.ABCD tam giác Trang 82 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ Gọi I, J, K trọng tâm tam giác ABC, ACC′, AB′C′ Chứng minh ( IJ K ) // ( BB′C ) Hướng dẫn giải Gọi M, N, P trung điểm BC;CC′; B′C′ Do I, J, K trọng tâm tam giác ABC, ACC′ nên AI AJ = = AM AN nên IJ // MN ⇒ IJ // ( BCC′B′ ) Tương tự Hay IK // ( BCC′B′ ) ⇒ ( IJ K ) // ( BCC′B′ ) ( IJ K ) // ( BB′C ) Ví dụ Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A′B′C′ có hai đáy hai tam giác vuông A A′ có S∆ABC AB = A′B′ Khi tỉ số diện tích S∆A′B′C′ bao nhiêu? Hướng dẫn giải AB.AC.sin A S∆ABC = = AB BC CA S∆A′B′C′ = = = A′B′.A′C′.sin A′ ′ ′ ′ Hai tam giác ABC A B C đồng dạng A′B′ B′C′ C′A′ nên Trang 83 Cách khác: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng nên S∆ABC   = ÷ = S∆A′B′C′   Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 10 Gọi M điểm SA cho SM = SA Một mặt phẳng ( α ) qua M song song với AB CD, cắt hình chóp theo tứ giác Tính diện tích tứ giác Hướng dẫn giải Qua M dựng đường thẳng song song AB cắt SB N Qua M dựng đường thẳng song song AD cắt SD Q Qua N dựng đường thẳng song song BC cắt SC P  MN // AB ⇒ MN // ( ABCD ) ⇒ ( MNPQ) // ( ABCD )  NP // BC ⇒ NP // ABCD ( )  Ta có  SMNPQ Ta có tỉ lệ diện tích SABCD 2  MN   SM  = ÷ = ÷ =  AB   SA  400 SABCD = 10.10 = 100 ⇔ SMNPQ = 100 = 9 Lại có Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thoi cạnh a, ∆SAD tam giác Gọi M ( P ) mặt phẳng qua M song song với ( SAD) Tính diện tích thiết diện điểm thuộc cạnh AB, AM = x, hình chóp cắt mặt phẳng ( P) Hướng dẫn giải Trang 84 Do ( P) qua M song song với ( SAD) nên cắt mặt hình chóp giao tuyến qua M song song với ( SAD) Do ABCD hình thoi tam giác SAD Nên thiết diện thu hình thang cân MNEF ( MN // EF ; MF = EN ) Ta có MN = a, EF SF MA x = = = ⇒ EF = x; MF = a − x BC SB AB a  MN − EF  FH = MF −  ( a − x) ÷ = 2   Đường cao FH hình thang cân Khi diện tích hình thang cân S= ( 2 a −x ) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Mệnh đề sau sai? A ( ABB′A′) // ( CDD′C′) C ( BA′D′) // ( ADC ) B ( BDA′) // ( D′B′C ) D ( ACD′) // ( A′C′B) Câu 2: Mệnh đề sau sai? A ( BA′C′) // ( ACD′) B ( ADD′A′) // ( BCC′B′ ) C ( BA′D ) // ( CB′D′) D ( ABA′) // ( CB′D′) Câu 3: Đặc điểm sau với hình lăng trụ? A Hình lăng trụ có tất mặt bên B Đáy hình lăng trụ hình bình hành C Hình lăng trụ có tất mặt bên hình bình hành D Hình lăng trụ có tất mặt hình bình hành Câu 4: Trong hình hộp (hoặc lăng trụ, hình chóp cụt) đoạn thẳng nối hai đỉnh mà hai đỉnh khơng nằm mặt hình hộp (hoặc hình lăng trụ, hình chóp cụt), gọi đường chéo Tìm mệnh đề Trang 85 A Hình lăng trụ tứ giác có đường chéo đồng quy B Hình lăng trụ có đường chéo đường chéo đồng quy C Hình chóp cụt có đường chéo đồng quy D Hình hộp có đường chéo đồng quy Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J, K, L trung điểm SA, SB, SC, SD Mệnh đề sau đúng? A ( IJ K ) // ( BCD ) B SA // ( IKL ) C IK ⊂ ( SBC ) D J L // SC Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (các đỉnh lấy theo thứ tự đó), AC cắt BD O cịn A′C′ cắt B′D′ ( AB′D′) song song với mặt phẳng đây? O′ Khi A ( A′OC′ ) B ( BDA′) C ( BDC′) D ( BCD ) ( IBD ) cắt hình Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, gọi I trung điểm A′B′ Mặt phẳng hộp theo thiết diện hình gì? A Hình chữ nhật B Hình thang C Hình bình hành D Tam giác Câu 8: Cho hình hộp ABCD.EFGH, gọi I, J tâm hình bình hành ABCD EFGH Khẳng định sau sai? A ( ABCD ) // ( EFGH ) B ( ABFE ) // ( DCGH ) C ( ACGE ) // ( BDHF ) D ( ABJ ) // ( GHI ) Câu 9: Phát biểu định lý Ta-lét không gian? A Ba mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ B Ba mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng C Ba mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ D Ba mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng tương ứng Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′, gọi M, N theo thứ tự trọng tâm tam giác ABC A′B′C′ Thiết diện tạo mặt phẳng ( AMN ) với hình lăng trụ cho A hình bình hành B hình tam giác vng C hình thang D hình tam giác cân Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, B′C′, DD′ Khẳng định sau sai? A mp ( MNP ) không song song với mp ( BDC′) B mp ( MNP ) cắt lập phương theo thiết diện lục giác Trang 86 C mp ( MNP ) qua tâm hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ D mp ( MNP ) qua trung điểm cạnh BB′ Câu 12: Cho hình vng ABCD tam giác SAB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M điểm di động đoạn AB Mặt phẳng (α) qua M song song với ( SBC ) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện A hình bình hành B hình vng.C hình tam giác D hình thang · ( P ) song Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC thỏa mãn AB = AC = 4, BAC = 30° Mặt phẳng song với ( ABC ) ( P ) hình chóp S.ABC cắt SA M cho SM = 2MA Diện tích thiết diện bao nhiêu? 16 25 14 A B C D Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy C hình thang cân với cạnh bên BC = 2, hai đáy AB = 6,CD = Mặt phẳng ( P ) song song với ( ABCD ) cắt cạnh SA M cho SA = 3SM Diện tích thiết diện A ( P) hình chóp S.ABCD bao nhiêu? B C D ( P ) Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O, AB = 8, SA = SB = Gọi mặt phẳng qua O song song với ( SAB) Tính diện tích thiết diện ( P ) A 12 B D 13 C 5 hình chóp S.ABCD SM = k ( k ∈ ¡ ,0 < k < 1) Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có M điểm di động cạnh SA cho SA Gọi (α) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( ABC ) Tìm k để mặt phẳng ( α ) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện có diện tích nửa diện tích tam giác ABC A k= k= B C k= k= D Trang 87 Câu 17: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất mặt bên hình vng cạnh a Các điểm M, N AD′, BD cho ( ) AM = DN = x < x < a Khi với giá trị x đường thẳng MN song song với mặt phẳng sau đây? A ( AD′C′B) B ( A′DC′B) C ( A′D′CB) D ( ADC′B′) THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ VÀ SỐ THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT SỐ VÀ SỐ THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ SỐ VÀ SỐ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Chứng minh hai mặt phẳng song song 1-A 2-A 3-A 4-B 5-A 6-D 7-D Câu Gọi hai đường thẳng chéo a b, c đường thẳng song song với a cắt b Gọi mặt phẳng ( α ) ≡ ( b,c) Do a // c ⇒ a // ( α ) Giả sử mặt phẳng Mặt khác ( β ) // ( α ) mà a // ( α ) ⇒ a // ( β ) b ⊂ ( α ) ⇒ b // ( β ) Có vơ số mặt phẳng ( β ) // ( α ) Nên có vô số mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo Câu Nếu mặt phẳng ( Q) ( P) chứa hai đường thẳng a b song song với mặt phẳng ( Q) ( P) a // b khơng song song với Câu Trang 88 Câu Ta có:  IK // AC, AC ⊂ ( ABCD ) IK // ( ABCD ) ⇒ ⇒ ( IJ K ) // ( BCD )   IJ // AB , AB ⊂ ABCD IJ // ABCD ( ) ( )   Chọn A Câu Gọi M trung điểm AB  B′M // AD′ ⇒ ( AC′D′ ) // ( B′CM ) ⇒ CB′ // ( AD′C′ )  ′ ′ D C // CM Ta có  Câu OM // SC ⇒ ( OMN ) // ( SBC )  ON // SB Ta có  Suy ON BC khơng thể cắt nên D sai Dạng Đặc điểm hình hộp, lăng trụ Tìm thiết diện nhờ quan hệ song song Trang 89 1-C 11-A 2-D 12-D 3-C 13-A 4-D 14-D 5-A 15-B 6-C 16-A 7-B 17-C 8-C 9-C 10-A Câu Ta có Mà ( BA′D′) ≡ ( BCD′A′) ( ADC ) ≡ ( ABCD ) ( BCA′D′) ∩ ( ABCD ) = BC, suy ( BA′D′) // ( ADC ) sai Câu  BA′ // CD′ ⇒ ( BA′C′ ) // ( ACD′ )  ′ ′ A C // AC Ta có   AD // BC ⇒ ( ADD′A′ ) // ( BCC′B′ )  ′ ′ AA // BB   BD // B′D′ ⇒ ( BA′D ) // ( CB′D′ )  ′ ′ A D // B C  Mặt khác B′ ∈ ( ABA′ ) ∩ ( CB′D′ ) ⇒ D sai Câu Ta lấy hình lăng trụ có đáy tam giác thường thấy câu cịn lại sai Câu Vì hình hộp hai đường chéo đồng phẳng tạo nên hình bình hành, nên chúng ln cắt trung điểm đường Câu  IK // AC ⇒ ( IJ K ) // ( BCD )  IJ // AB  Ta có Câu  BD // B′D′ ⊂ ( AB′D′ )   DC′ // AB′ ⊂ ( AB′D′ )  BD ∩ DC′ = { D} ( AB′D′) // ( BDC′ ) Ta có  nên Trang 90 Câu Gọi { J } = A′D′ ∩ ( IBD ) Ta có thiết diện mặt phẳng ( IBD ) hình hộp tứ giác IJDB ( ABCD ) // ( A′B′C′D′ )  ( IBD ) ∩ ( A′B′C′D′ ) = IJ ⇒ IJ // BD  ( IBD ) ∩ ( ABCD ) = BD Mặt khác  ⇒ IJDB hình thang Câu Ta có AC ∩ BD = { I } EG ∩ HF = { J } nên ( ACGE ) ∩ ( BDHF ) = IJ Nên C sai Câu Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Câu 10 Ta có N ∈ A′I ′ M ∈ AI ( A′I ′ trung tuyến ∆A′B′C′ AI trung tuyến ∆ABC ) Do mp Ta có ( AMN ) mp ( A′I ′IA) ( AA′I ′I ) ∩ ( A′B′C′ ) = A′I ′;( AA′I ′I ) ∩ ( ABC ) = AI ; Trang 91 ( AA′I ′I ) ∩ ( BCC′B′) = II ′ Vậy thiết diện tạo với mp ( A′I ′IA) hình lăng trụ ABC.A′B′C′ tứ giác AA′I ′I Mặt khác II ′ // CC′ (đường trung bình hình bình hành CC′B′B ) CC′ // AA′ (tính chất hình lăng trụ) Do II ′ // AA′ II ′ = CC′ (đường trung bình hình bình hành CC′B′B ) CC′ = AA′ (tính chất lăng trụ) Do II ′ = AA′ Vậy tứ giác AA′I ′I hình bình hành Câu 11 Gọi S, R, Q trung điểm AD, C′D′, BB′ Dễ thấy, MS // NR; PS // QN; MQ // PR ⇒ M, S, P, R, N, Q đồng phẳng Lại có MS // BD ⇒ MS // ( BDC′ ) ; PS // NQ // BC′ ⇒ PS // ( BDC′ ) Vậy ( MNP ) // ( BDC′) Câu 12 Gọi MN = ( α ) ∩ ( ABCD ) với N ∈ CD, ta có ( α ) // ( SBC ) ⇒ MN // BC  ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC Gọi NK = ( α ) ∩ ( SCD ) với K ∈ SD, ta có ( α ) // ( SBC ) ⇒ KN // SC  ( SBC ) ∩ ( SCD ) = SC MN // ( SAD ) Do MN // BC // AD nên Gọi KQ = ( α ) ∩ ( SAB) với Q ∈ SA, ta có KQ // AD Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (α) hình thang MNKQ có đáy MN QK Câu 13 Đường thẳng qua M song song với AB cắt SB N Trang 92 Đường thẳng qua N song song với BC cắt SC P  MN // AB ⇒ MN // ( ABC ) ⇒ ( MNP ) // ( ABC )   MP // AC ⇒ MP // ( ABC ) Ta có Gọi h1 đường cao ∆MNP ứng với đáy MN Gọi h2 đường cao ∆ABC ứng với đáy AB Dễ thấy ∆MNP đồng dạng ∆ABC ta có MN h1 SM = = = AB h2 SA S∆MNP h1.MN 2 = = = S∆ABC 3 h2.AB Ta có S∆ABC = Lại có 1 · AB.AC.sin BAC = 4.4.sin30° = 2 4 16 ⇒ S∆MNP = S∆ABC = = 9 Câu 14 Trong mặt phẳng ( SAD) ( SDC ) kẻ NP // DC, ( SBC ) kẻ MN // AD, kẻ PQ // BC Suy thiết diện Gọi CH ( P) đường hình chóp S.ABCD tứ giác MNPQ cao hình thang ABCD ta có CH = 22 − 12 = Suy SABCD = ( AB + DC ) CH = ( 4+ 6) 2 = Do MNPQ đồng dạng với ABCD theo tỷ số SMNPQ = k= nên 5 = 32 Câu 15 Qua O dựng đường thẳng PQ // AB Vậy P, Q trung điểm AD BC Qua P dựng đường thẳng PN // SA Vậy N trung điểm SD Trang 93 Qua Q dựng đường thẳng QM // SB Vậy M trung điểm SC Nối M N ⇒ thiết diện ( P ) hình chóp S.ABCD tứ giác MNPQ Vì PQ // CD; MN // CD ⇒ PQ // MN Vậy tứ giác MNPQ hình thang Ta có PQ = AB = 8; MN = 1 AB = 4; MQ = NP = SA = 2 Vậy MNPQ hình thang cân Gọi H chân đường cao hạ từ đỉnh M hình thang MNPQ Khi ta có HQ = PQ = ⇒ MH = MQ2 − HQ2 = Vậy diện tích thiết diện cần tìm S= ( MN + PQ) MH = Câu 16 Gọi N, P hai điểm thuộc SB, SC thỏa mãn MN // AB, MP // AC  MN // AB ⇒ MN // ( ABC ) ⇒ ( MNP ) // ( ABC )   MP // AC ⇒ MP // ( ABC ) Ta có Gọi h1 đường cao ∆MNP ứng với đáy MN Gọi h2 đường cao ∆ABC ứng với đáy AB Dễ thấy ∆MNP đồng dạng ∆ABC ta có MN h1 = = k AB h2 Vậy để thỏa mãn yêu cầu toán S∆MNP h1.MN 1 = = ⇔ k.k = ⇔ k = S∆ABC 2 h AB 2 Câu 17 Do tất mặt bên hình vng cạnh a nên theo tính chất hình hộp ta có ABCD hình vng cạnh a Suy BD = AD′ = a Qua N kẻ NK // AD với K ∈ AB Qua M kẻ MI // A′D′ với I ∈ AA′ BK BN BA − KA BD − ND KA ND = ⇔ = ⇔ = BA BD BA BD Ta có BA BD Trang 94 ND AM AI AI AK = = = ⇒ IK // A′B Mà BD AD′ AA′ Do AA′ AB Ta có I ∈ ( MNK ) MN ⊂ ( MNIK ) // ( A′D′CB) IM // KN // AD Suy Vậy MN song song với mặt phẳng ( A′D′CB) với < x < a Trang 95 ... Xác định mặt phẳng Cách 1: Qua ba điểm không thẳng hàng có mặt phẳng Cách 2: Qua đường thẳng điểm nằm có mặt phẳng Cách 3: Qua hai đường thẳng cắt có mặt phẳng Hình chóp Trong mặt phẳng ( α... quan hệ giao tuyến hai mặt phẳng quan hệ song song Trang 35  Kĩ + Chứng minh hai đường thẳng song song với + Biết cách xác định giao tuyến hai mặt phẳng dựa vào quan hệ song song Trang 36 I LÍ THUYẾT... AB BC Giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SIJ) đường thẳng song song với A đường thẳng AD B đường thẳng AB C đường thẳng AC D đường thẳng BD Câu 6: Cho tứ diện ABCD Có cặp đường thẳng chéo nhau? A