ứng dụng hình học giải tích trong không gian

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MỨC ĐỘ 8 9 10 ĐIỂM Phương pháp giải một số bài toán 1 Gắn tọa độ đối với hình chóp 1 1 Hình chóp có cạnh bên (SA) vuông góc với mặt đáy Đáy là tam giác đều  Gọi O là trung điểm BC Chọn hệ trục như hình vẽ,  Tọa độ các điểm là Đáy là tam giác cân tại A  Gọi O là trung điểm BC Chọn hệ trục như hình vẽ,  Tọa độ các điểm là Đáy là tam giác cân tại B  Gọi O là trung điểm AC Chọn hệ trục như hình.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 32 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MỨC ĐỘ 8-9-10 ĐIỂM Phương pháp giải số toán Gắn tọa độ hình chóp 1.1 Đáy tam giác  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB = a =  Tọa độ điểm là:     O(0;0;0), A  0; ;0 ÷÷, B  − ;0;0 ÷,      1   C  ; 0;0 ÷, S  0; ; OH { ÷ 2   = SA ÷  Đáy tam giác vng B  Chọn hệ trục hình vẽ, a = B ≡ O ( 0;0;0 )  Tọa độ điểm: , A ( 0; AB;0 ) , C ( BC ,0;0 ) ,   S  0; AB; { BH ÷ = SA   Đáy hình vng, hình chữ nhật  Chọn hệ trục hình vẽ, a = A ≡ O ( 0;0;0 ) B ( 0; AB;0 ) ,  Tọa độ , C ( AD; AB;0 ) , D ( AD;0;0 ) , S ( 0;0; SA ) Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy: Đáy tam giác cân A Đáy tam giác cân B  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ  Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a = trục hình vẽ, a =  Tọa độ điểm là: O 0;0; )  Tọa độ điểm: ( , O(0;0;0), A ( 0; OA; ) , B ( −OB;0; ) , A ( −OA; 0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) ,   C ( OC ; 0;0 ) , S  0; OA; OH { ÷ = SA   Đáy tam giác vuông A  Chọn hệ trục hình vẽ, a = A ≡ O ( 0;0;0 )  Tọa độ điểm: , B ( 0; OB;0 ) , C ( AC ; 0;0 ) , S ( 0;0; SA ) Đáy hình thoi  Chọn hệ trục hình vẽ, a = O ( 0; 0;0 ) A ( OA;0;0 ) ,  Tọa độ , B ( 0; OB;0 ) , C ( −OC ;0; )   D ( 0; −OD;0 ) , S  OA;0; OH { ÷ = SA     C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH { ÷ = SA   Đáy tam giác thường  Dựng đường cao BO ∆ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a = O 0;0; )  Tọa độ điểm: ( , A ( −OA; 0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) ,   C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH { ÷ = SA   Đáy hình thang vng  Chọn hệ trục hình vẽ, a = A ≡ O ( 0;0;0 )  Tọa độ , B ( 0; AB;0 ) , C ( AH ; AB; ) , D ( AD;0;0 ) , S ( 0;0; SA ) Trang 1.2 Đáy tam giác, mặt bên tam giác thường  Vẽ đường cao CO ∆ABC Chọn hệ trục hình, a = O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) ,  Ta có:   B ( 0; −OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , S  0; OH ; OK { ÷ = SH   Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác cân C (hoặc Đáy hình vng-hình chữ nhật đều), mặt bên tam giác cân S (hoặc đều)  Gọi O trung điểm BC, chọn hệ trục hình, a = O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) ,  Ta có: B ( 0; −OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , S ( 0;0; SO ) 1.3 Hình chóp tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục hình vẽ a = Tọa độ điểm:  AB   BC  A  0; ;0÷ B− ;0;0 ÷ ÷ O ( 0;0;0 ) ,  ,  ,  Dựng hệ trục hình, chọn a = A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( AB;0;0 )  Ta có:   C ( AB; AD;0 ) , D ( 0; AD;0 ) , S  AH ;0; { AK ÷ = SH   Hình chóp Hình chóp tứ giác Chọn hệ trục hình với a = Tọa độ điểm:    AB ÷ A ;0;0 ÷,  22 ÷  =OA  O ( 0;0;0 ) ,    AB ÷ B  0; ;0 ÷  22 ÷ = OB  ,  BC  C ;0;0 ÷  ,    AB ÷ S  0; ; OK { ÷  26 = SH ÷  =OH     AB ÷ C− ; 0;0 ÷,  14 2243 ÷  =− OA    AB ÷  D  0; − ;0 ÷ 22 ÷ S ( 0;0; SO )  =OB   Gắn tọa độ hình lăng trụ 2.1 Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( 0; AB;0 ) , C ( AD; AB;0 ) , D ( AD;0; ) A′ ( 0;0; AA′ ) , Lăng trụ đứng Lăng trụ đứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình với O ( 0;0;0 ) , A ( −OA;0;0 ) , , B′ ( 0; AB; AA′ ) , C ′ ( AD; AB; AA′) D′ ( AD; 0; AA′ ) , Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có: Trang B ( 0; OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , D ( 0; −OD; ) , A′ ( −OA;0; AA′ ) , B′ ( 0; OB; AA′ ) , C ′ ( OC ;0; CC ′ ) , D′ ( 0; −OD; DD′ ) Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 hình vẽ với a =  AB   AB  A  ;0;0 ÷, B  − ;0;0 ÷, Tọa độ điểm là: O ( 0;0;0 ) ,     C ( 0; OC;0 ) , O ( 0;0;0 ) , A ( OA;0;0 ) , B ( −OB;0;0 ) , C ( 0; OC ;0 ) ,  AB  ′ ′ B − ;0; BB ÷, A′ ( OA;0; AA′ ) , B′ ( −OB;0; BB′ ) , C ′ ( 0; OC; CC ′ ) A′ ( OA;0; AA′ ) ,   C ′ ( 0; OC ; CC ′ ) 2.2 Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm cạnh tam giác đáy thuộc cạnh đáy khơng chứa đỉnh  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A′, B′, C ′, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ uuur uuur uuuur nhau: AA′ = BB′ = CC ′  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A′, B′, C ′, D′, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ uuur uuur uuuur uuuur nhau: AA′ = BB′ = CC ′ = DD′ Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu (Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình vng A′B′C ′D′ điểm M thuộc đoạn OI cho MO = MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng 85 A 85 Câu ( MC ′D′) 17 13 B 65 ( MAB ) 85 C 85 (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình vng MO = A′B′C ′D′ M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho cosin góc tạo hai mặt phẳng ( MC ′D′) ( MAB) 13 A 65 Câu 13 D 65 85 B 85 85 C 85 MI (tham khảo hình vẽ) Khi 17 13 D 65 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ , có AB = a, AD = a 2, góc A′C mặt phẳng ( ABCD ) 30° Gọi H hình chiếu vng Trang góc A A′B K hình chiếu vng góc A A′D Tính góc hai mặt phẳng ( AHK ) ( ABB′A′) A 60° Câu B 45° C 90° D 30° (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông SAB ) ABCD ) cạnh a , SAB tam giác ( vng góc với ( Tính cos ϕ với ϕ góc tạp ( SAC ) ( SCD ) A Câu B C D (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC , biết MN = a Khi ( SBD ) giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng A Câu B ( A ' B ' CD ) B 30° ( ACC ' A ') C 45° D 75° (Sở Bắc Ninh -2019) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi vng góc uuur uuuu r OA = OB = OC = a Gọi M trung điểm cạnh AB Góc tạo hai vectơ BC OM A 135° Câu D (THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng -2019) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Góc hai mặt phẳng 60° A Câu C B 150° C 120° D 60° (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có ABCD ) độ dài đường chéo a SA vng góc với mặt phẳng ( Gọi α góc hai mặt phẳng A 30° Câu ( SBD ) ( ABCD ) Nếu tan α = góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBC ) B 60° C 45° D 90° (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB = a , SA = a Gọi G trọng tâm tam giác SCD Góc đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: A Câu 10 arccos B arccos 5 C arccos D arccos 15 (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có A′ ABC tứ diện cạnh a Gọi M , N trung điểm AA′ BB′ Tính tan góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( CMN ) Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B 2 C D 13 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018 ) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng Câu 11 ( ABC ) góc Gọi α , β , γ góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng (hình vẽ) Chun đề 32 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MỨC ĐỘ 8-9-10 ĐIỂM Phương pháp giải số tốn Gắn tọa độ hình chóp 1.1 Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy: Đáy tam giác  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, AB = a =  Tọa độ điểm là:     O(0;0;0), A  0; ;0 ÷÷, B  − ;0;0 ÷,      1   C  ; 0;0 ÷, S  0; ; OH { ÷ 2   = SA ÷  Đáy tam giác vuông B  Chọn hệ trục hình vẽ, a = B ≡ O ( 0;0;0 )  Tọa độ điểm: , A ( 0; AB;0 ) , C ( BC ,0;0 ) , Đáy tam giác cân A  Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục hình vẽ, a =  Tọa độ điểm là: O(0;0;0), A ( 0; OA; ) , B ( −OB;0; ) ,   C ( OC ; 0;0 ) , S  0; OA; OH { ÷ = SA   Đáy tam giác vuông A  Chọn hệ trục hình vẽ, a = A ≡ O ( 0;0;0 )  Tọa độ điểm: , B ( 0; OB;0 ) , C ( AC ; 0;0 ) , S ( 0;0; SA ) Đáy tam giác cân B  Gọi O trung điểm AC Chọn hệ trục hình vẽ, a = O 0;0; )  Tọa độ điểm: ( , A ( −OA; 0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) ,   C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH { ÷ = SA   Đáy tam giác thường  Dựng đường cao BO ∆ABC Chọn hệ trục hình vẽ, a = O 0;0; )  Tọa độ điểm: ( , A ( −OA; 0;0 ) , B ( 0, OB;0 ) , Trang   C ( OC ;0;0 ) , S  −OA;0; OH { ÷ = SA     S  0; AB; { BH ÷ = SA   Đáy hình vng, hình chữ nhật Đáy hình thoi Đáy hình thang vng  Chọn hệ trục hình vẽ, a = O ( 0; 0;0 ) A ( OA;0;0 ) ,  Tọa độ , B ( 0; OB;0 ) , C ( −OC ;0; )  Chọn hệ trục hình vẽ, a = A ≡ O ( 0;0;0 ) B ( 0; AB;0 ) ,  Tọa độ , C ( AD; AB;0 ) , D ( AD;0;0 ) , S ( 0;0; SA )  Chọn hệ trục hình vẽ, a = A ≡ O ( 0;0;0 )  Tọa độ , B ( 0; AB;0 ) , C ( AH ; AB;0 ) ,   D ( 0; −OD;0 ) , S  OA;0; OH { ÷ = SA   D ( AD;0; ) , S ( 0;0; SA ) 1.2 Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy Đáy tam giác, mặt bên tam giác thường Đáy tam giác cân C (hoặc đều), mặt bên tam giác cân S (hoặc đều)  Vẽ đường cao CO ∆ABC Chọn hệ trục hình, a = O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) ,  Ta có: Đáy hình vng-hình chữ nhật  Gọi O trung điểm BC, chọn hệ trục hình, a = O ( 0;0;0 ) , A ( 0; OA;0 ) ,  Ta có:   B ( 0; −OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , S  0; OH ; OK B ( 0; −OB;0 ) , C ( OC ;0;0 ) , S ( 0;0; SO ) { ÷  = SH  Dựng hệ trục hình, chọn a = A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ( AB;0;0 )  Ta có:   C ( AB; AD;0 ) , D ( 0; AD;0 ) , S  AH ;0; { AK ÷ = SH    1.3 Hình chóp Hình chóp tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy Dựng hệ trục hình vẽ a = Tọa độ điểm:  AB   BC  A  0; ;0÷ B− ;0;0 ÷ ÷ O ( 0;0;0 ) ,  ,  ,  BC  C ;0;0 ÷  ,    AB ÷ S  0; ; OK { ÷  26 = SH ÷  =OH  Trang Hình chóp tứ giác TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 O ( 0;0;0 ) , Chọn hệ trục hình với a = Tọa độ điểm:    AB ÷ A ;0;0 ÷,  22 ÷  =OA     AB ÷ B  0; ;0 ÷ 2  ÷ = OB  ,    AB ÷ C− ; 0;0 ÷,  14 2243 ÷  =− OA    AB ÷  D  0; − ;0 ÷ 2  ÷ S ( 0;0; SO ) =OB   Gắn tọa độ hình lăng trụ 2.1 Lăng trụ đứng Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Dựng hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm: A ≡ O ( 0;0;0 ) , Lăng trụ đứng đáy hình thoi Gọi O tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục hình với O ( 0;0;0 ) , B ( 0; AB;0 ) , C ( AD; AB;0 ) D ( AD; 0;0 ) A ( −OA;0;0 ) , , B ( 0; OB;0 ) , C ( OC;0; ) , , A′ ( 0;0; AA′ ) , B′ ( 0; AB; AA′ ) , C ′ ( AD; AB; AA′) D′ ( AD; 0; AA′ ) , D ( 0; −OD;0 ) , A′ ( −OA;0; AA′ ) , B′ ( 0; OB; AA′ ) , C ′ ( OC ;0; CC ′ ) , D′ ( 0; −OD; DD′ ) Lăng trụ tam giác Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có:  AB  A  ;0;0 ÷, O ( 0;0;0 ) ,    AB  B  − ;0;0 ÷,   C ( 0; OC;0 ) , A′ ( OA;0; AA′ ) ,  AB  B′  − ;0; BB′ ÷,   C ′ ( 0; OC; CC ′ ) Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO tam giác ABC chọn hệ trục hình vẽ với a = Tọa độ điểm là: O ( 0;0;0 ) , A ( OA;0;0 ) , B ( −OB;0;0 ) , C ( 0; OC ;0 ) , A′ ( OA;0; AA′ ) , B′ ( −OB;0; BB′ ) , C ′ ( 0; OC; CC ′ ) 2.2 Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy tam giác đều, hình chiếu đỉnh mặt phẳng đối diện trung điểm cạnh tam giác đáy Lăng trụ nghiêng có đáy hình vng hình chữ nhật, hình chiếu đỉnh điểm thuộc cạnh đáy khơng chứa đỉnh Trang  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A′, B′, C ′, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thông qua hệ thức vectơ uuur uuur uuuur nhau: AA′ = BB′ = CC ′  Dựng hệ trục hình vẽ, ta dễ dàng xác định điểm O, A′, B′, C ′, D′, A  Tìm tọa độ điểm cịn lại thơng qua hệ thức vectơ uuur uuur uuuur uuuur nhau: AA′ = BB′ = CC ′ = DD′ Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm GĨC Câu ′ ′ ′ ′ (Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD A B C D có tâm O Gọi I tâm hình vng A′B′C ′D′ điểm M thuộc đoạn OI cho MO = MI (tham khảo hình vẽ) Khi sin góc tạo hai mặt phẳng 85 A 85 ( MC ′D′) ( MAB ) 17 13 B 65 85 C 85 Lời giải 13 D 65 Chọn C Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ, cạnh hình lập phương , ta tọa độ điểm sau : 1 1 M ; ; ÷  2  , C ′ ( 0;1; ) , D′ ( 1;1;0 ) A ( 1;0;1) , B ( 0;0;1) Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Khi r r n( MC′D′) = ( 0;1;3) ; n( MAB ) = ( 0;5;3) 5.1 + 3.3 85 = · = 2 2 cos ( ( MAB ) , ( MC ′D′ ) ) +3 +3 85 nên Suy Câu sin (· ( MAB ) , ( MC ′D′) )  85  85 = −  ÷ ÷ =  85  85 (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình vng A′B′C ′D′ M điểm thuộc đoạn thẳng OI cho ′ ′ góc tạo hai mặt phẳng ( MC D ) ( MAB) 13 A 65 85 B 85 MO = 85 C 85 MI (tham khảo hình vẽ) Khi cosin 17 13 D 65 Lời giải Không tính tổng quát ta đặt cạnh khối lập phương ′ ′ ′ Chọn hệ trục tọa độ cho A (0;0;0), B (1;0;0), D (0;1;0) A(0;0;1) (như hình vẽ) 1 1 M  ; ; ÷  2 3 Khi ta có: Trang uuu r uuur  1  uuu r uuur  1 r AB = (1; 0;0), MA =  ; ; − ÷ ⇒  AB, MA =  0; − ; ÷⇒ n1 = (0; −4;3) 2 2 3  Suy ra: VTPT mặt phẳng ( MAB ) uuuur uuuur  1  uuuur uuuur  1  r D′C ′ = (1; 0; 0), MD′ =  ; − ; ÷ ⇒  D′C ′, MD′ =  0; ; − ÷ ⇒ n2 = (0; 2; −3)  2 3  2 VTPT mặt ′ ′ phẳng ( MC D ) ′ ′ cosin góc hai mặt phẳng ( MAB) ( MC D ) bằng: r r n1.n2 0.0 − 4.2 + 3.( −3) r r 17 13 cos( n1 , n2 ) = r r = = n1 n2 65 02 + ( −4) + 32 + 2 + (−3) Câu (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ , có AB = a, AD = a 2, góc A′C mặt phẳng ( ABCD ) 30° Gọi H hình chiếu vng góc ( AHK ) A A′B K hình chiếu vng góc A A′D Tính góc hai mặt phẳng ( ABB′A′) A 60° B 45° C 90° Lời giải D 30° Do ABCD A′B′C ′D′ hình hộp chữ nhật nên A ' C ' hình chiếu vng góc A ' C · ' C ' = 300 ( ABCD) ⇒ ( A ' C , ( ABCD )) = ( A ' C , A ' C ') = CA · ' C ' = CC ' ⇒ CC ' = a AC = AB + AD = a 3; tan CA A'C ' Ta có Kết hợp với giả thiết ta ABB ' A ' hình vng có H tâm Gọi E , F hình chiếu vng góc K A ' D '& A ' A Ta có Trang 10 1 a A ' K = A ' A2 − AK = a ; = + ⇒ AK = ; 2 AK A ' A AD Thiết lập hệ tọa độ Oxyz hình vẽ, gốc O ≡ B′ Khi đó: 1     1   M  0; ;1÷ N  ;0;1÷ P  1; ;0 ÷ Q 1;1; ÷ 2  , 2 ,  ,  uuuu r 1  uuuu r  1 MN =  ; − ; ÷ uuur MQ = 1; ; − ÷  2  , MP = ( 1;0; − 1) ,  2 Suy Câu 37 VMNPQ = r uuur uuuu r uuuu  MN , MP  MQ =  6 12 ⇒ a = 1; b = 12 ⇒ a + b = 13 Trong không gian Oxyz ,tập hợp tất điểm thỏa mãn khối đa diện tích A B x+y+z£2 C Lời giải x- + y + z £ D Chọn D Tập điểm độ Trang 40 M ( x; y; z ) có tọa độ thỏa x+y+z £2 ( 2; 0;0) , ( - 2;0;0) , ( 0; 2;0) , ( 0; - 2;0) , ( 0;0; 2) , ( 0;0; - 2) bát diện tâm O , đỉnh có tọa TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tập điểm đỉnh có tọa độ M ( x; y; z ) có tọa độ thỏa x- + y + z £ bát diện tâm A ( 2;0;0) , ( 0;0;0) , ( 4;0;0) , ( 2; 2;0) , ( 2; - 2;0) , ( 2;0; 2) , ( 2;0; - 2) H ( 1;0;0) Giao hai bát diện bát diện có tâm , đỉnh là: O ( 0;0;0) A ( 2;0;0) B ( 1;0;1) C ( 1; - 1;0) D ( 1;1;0) E ( 1;0; - 1) , , , , , Ta có AD = 2, BH = V = .BH AD = 3 Thể tích khối đa diện: Câu 38 ′ (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D ' có AB = 1; AD = 2; AA = ′ Mặt phẳng ( P) qua C ′ cắt tia AB; AD; AA E; F ; G (khác A ) cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ Tổng AE + AF + AG A 18 B 17 C 15 Lời giải D 16 Chọn A ′ Trong không gian xây dựng hệ toạ độ Oxyz cho A ≡ O; B (1;0; 0); D (0; 2; 0); A (0;0;3) ′ Khi ta có C (1; 2;3) Giả sử mặt phẳng ( P) cắt trục Ox; Oy; Oz lần lươt E (a;0;0); F (0; b;0); G (0;0; c) , với a > 0; b > 0; c > x y z + + =1 Khi phương trình mặt phẳng ( P) a b c , ′ Do mặt phẳng ( P) qua C (1; 2;3) + + = ≥ 33 ⇔ abc ≥ 162 + + =1 abc Nên ta có a b c hay a b c Trang 41 1  a = b = c  1 + + =1 V = abc ≥ 27 a b c Mặt khác thể tích khối tứ diện AEFG , dấu " = " xảy  Tức a = 3; b = 6; c = Vậy tổng AE + AF + AG = 18 Câu 39 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi K trung điểm AB , gọi M , N hình chiếu vng góc K lên AD , AC Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN a A a B 3a C Lời giải 3a D Chọn D Coi a = , ta có: KC = , DH = ; AN = AC ; HK =   6    K ≡ O ( 0; 0; ) , A  0; ; ÷, C  ; 0;0 ÷ , D ; 0;  ÷ ÷  ÷       Chọn hệ trục Oxyz cho uuur uuur  3  AN = AC ⇒ N  ; ;0÷ 8 ÷   Ta có: Ta có: Tứ giác CDMN hình thang cân Do mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN mặt cầu ngoại tiếp tứ diện KCDN Giả sử mặt cầu ( S) ngoại tiếp tứ diện KCDN có phương trình: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) Trang 42 (1) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 d =   a = −  3a = −   b =  K ,C , D, N ∈( S ) ⇒  3⇔  a+ c =−4 c = −     3 d =  a + b = − 16 Vì Vậy Câu 40 R= ⇒ R = a + b2 + c − d = 3a (Chuyên Thái Bình -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN a 93 A 12 a 29 B 5a C 12 Lời giải a 37 D Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ 3 1     M ( 1;0;0 ) , N  ; ;0 ÷, C 1; ;0 ÷, S  0;0; ÷  2     I ( x; y ; z) Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN ⇒ MI = NI = CI = SI uuu r uur  1  uur   uur  3 MI = ( x − 1; y ; z ) , NI =  x − ; y − ; z ÷, CI =  x − 1; y − ; z ÷, SI =  x ; y ; z − ÷ 2       Ta có: Từ MI = NI = CI = SI ta có hệ: Trang 43 2  1  ( x − 1) + y + z =  x − ÷ +  y − ÷ + z 2  2 x =     2 1  1 1    2  x − ÷ +  y − ÷ + z = ( x − 1) +  y − ÷ + z ⇔  y = 2  2 2      ( x − 1) +  y −  + z = x + y +  z − ÷ z =  ÷  12  2      uuur  1  ⇒I ; ; ÷ ⇒ IM =  ; − ; − ÷ 4 12 12    4 ⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN là: Câu 41 R = IM = 93 12 A ( 5; 0; ) B ( 3; 4; ) (Chuyên KHTN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Với C điểm nằm trục Oz , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn A Ta có C ( 0;0; c ) B C Lời giải D E = ( 4; 2; ) Dễ thấy tam giác ABC cân C Gọi trung điểm AB Ta  AB ⊥ OC  OCE ) có mặt phẳng ( vng góc với AB (do  AB ⊥ CE ) mặt phẳng cố định Oxy ) Gọi K trực tâm tam giác OAB , A , B K nằm mặt phẳng ( nên uuur uuur x = OK AB =  x ( −2 ) + y.4 = ⇔     ⇔ r  uuur uuu K =  3; ;0 ÷ y =   x − =  BK OA =    Tìm  AB ⊥ ( OEC )  HK ⊥ AB ⇒  CA ⊥ ( BHK ) KH ⊥ ( CAB )  HK ⊥ CA Ta chứng minh  Trang 44 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy · KHE = 90° Suy H thuộc mặt cầu đường kính KE = + = ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) OCE ) thuộc mặt phẳng ( cố định Vậy H ln thuộc đường trịn cố định có bán kính Câu 42 R= (Chun Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A , B , C (không trùng O ) thay đổi trục Ox , Oy , Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam giác ABC thể ( ABC ) tiếp xúc với mặt cầu cố định, tích khối tứ diện OABC Biết mặt phẳng bán kính mặt cầu A B C Lời giải D S ABC S ABC = VOABC S ABC d ( O, ( ABC ) ) = d ( O, ( ABC ) ) Ta có S ABC = V nên d ( O, ( ABC ) ) = OABC Mà Vậy mặt phẳng Câu 43 ( ABC ) tiếp xúc mặt cầu tâm O , bán kính R = (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( d1 ) : x −1 y −1 z −1 x − y +1 z − x − y − z −1 = = = = = = ( d2 ) : ( d3 ) : −2 , 2 , −2 Mặt cầu bán kính nhỏ tâm A S = 10 I ( a; b; c ) (d ) (d ) (d ) , tiếp xúc với đường thẳng , , Tính S = a + 2b + 3c B S = 11 C S = 12 D S = 13 Lời giải Trang 45 B d2 I A C d3 d1 ur u1 = ( 2;1; − ) qua điểm có VTCP uu r ( d ) qua điểm B ( 3; − 1; ) có VTCP u2 = ( 1; 2; ) uu r ( d3 ) qua điểm C ( 4; 4;1) có VTCP u3 = ( 2; − 2;1) ur uu r uu r uu r uu r ur u1.u2 = u2 u3 = u3 u1 = Ta có , , ⇒ ( d1 ) ( d ) ( d3 ) , , đơi vng góc với ur uu r uuu r uu r uu r uuur uu r ur uuu r u1 , u2  AB ≠ u2 , u3  BC ≠ u3 , u1  CA ≠     ,  ,  ( d1 ) A ( 1;1;1) ⇒ ( d1 ) d d , ( ) , ( ) đôi chéo uuu r uuu r ur uuu r uu r AB = ( 2; − 2;1) AB u1 = d d d AB u2 = Lại có: ; nên ( ) , ( ) , ( ) chứa cạnh hình hộp chữ nhật hình vẽ I a; b; c ) d d d Vì mặt cầu tâm ( tiếp xúc với đường thẳng ( ) , ( ) , ( ) nên bán kính R = d ( I , d1 ) = d ( I , d ) = d ( I , d ) ⇔ R = d ( I , d1 ) = d ( I , d ) = d ( I , d ) uur ur uur uu r uur uu r   AI , u     BI , u    CI , u   3  ÷  ÷  ÷ ⇔ R2 =  = = ur uu r uu r ur uu r uu r2  ÷  ÷  ÷ u1 u2 u3 ÷  ÷  ÷ u = u = u =9       , với , uur ur uur AI = ( a − 1; b − 1; c − 1)  AI , u1  = ( −2b − c + 1; 2a + 2c − 4; a − 2b + 1) , uur uu r uur BI = ( a − 3; b + 1; c − )  BI , u2  = ( 2b − 2c + 6; − 2a + c + 4; 2a − b − ) , uur uu r uur CI = ( a − 4; b − 4; c − 1) CI , u3  = ( b + 2c − 6; − a + 2c + 2; −2 a − 2b + 16 ) , u u r u r 9 R =  AI , u  1    u u r u u r 2   R = BI , u  2   uur uu r uur ur uur uu r uur uu r 9 R = CI , u  3 ⇔ 27 R =  AI , u1  +  BI , u2  + CI , u3    ⇔ 27 R = 18 ( a + b2 + c ) − 126a − 54b − 54c + 423 2 7 3  243 243    ⇔ 27 R = 18  a − ÷ + 18  b − ÷ + 18  c − ÷ + ≥ 2 2 2 2    7 3 ⇒ Rmin = a= b=c= ⇒I ; ; ÷ 2 2 2, Trang 46 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Khi S = a + 2b + 3c = 11 Câu 44 Cho hình chóp S ABCD cs đáy hình thang vuông A B , AD = AB = BC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a Gọi E trung điểm cạnh AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE a A a 11 B a C Lời giải a D Chọn B Dễ tính AB = BC = AE = a uuu r r uuur r r uuu r Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz với O ≡ A , AB = i , AE = j , AS = 2k Khi ta có Gọi E ( 0;1;0 ) , C ( 1;1;0 ) , D ( 0; 2;0 ) , S ( 0;0; ) I ( a; b; c ) tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta có: IE = IC ⇔ a + ( b − 1) + c = ( a − 1) + ( b − 1) + c ⇔ 2a − = ⇔ a = IE = ID ⇔ a + ( b − 1) + c = a + ( b − ) + c ⇔ 2b − = ⇔ b = 2 IE = IS ⇔ a + ( b − 1) + c = a + b + ( c − ) ⇔ 4c − 2b − = ⇒ c = 2 2b + 3 = 1 3 11 I ; ; ÷ R = IE = Vậy  2  suy bán kính mặt cầu cần tìm Trang 47 Khi giá trị nhỏ biểu thức A 48 Câu 12 A ( AMC ) ( SBC ) D 48 B C B D C 55 D 10 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tang góc tạo hai mặt phẳng Trang 48 C Số khác Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang vng A B , AB = BC = a, AD = 2a Biết SA ⊥ ( ABCD), SA = a Gọi M N trung điểm SB CD Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SAC ) A 10 Câu 14 B 125 (Kinh Mơn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh bên SA = a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tan góc tạo hai mặt phẳng Câu 13 M = ( + cot α ) ( + cot β ) ( + cot γ ) ( AMC ) ( SBC ) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Câu 15 B C 5 D · · · Cho khối tứ diện ABCD có BC = , CD = , ABC = ADC = BCD = 90 Góc đường ( ABC ) ( ACD) thẳng AD BC 60 Cơsin góc hai phẳng 43 A 86 Câu 16 43 B 43 43 C 43 43 D 43 SA ⊥ ( ABCD ) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a , SA = a Gọi E F trung điểm SB , SD Côsin góc hợp bới hai mặt phẳng ( ABCD ) A Câu 17 ( AEF ) B C 3 D Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a, gọi α góc đường thẳng A ' B mặt phẳng A ( BB ' D ' D ) Tính sin α B C D Trang 49 Câu 18 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông A , AB = a , AC = a Hình ABC ) chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng ( trung điểm H BC , A′H = a Gọi ϕ góc hai đường thẳng A′B B′C Tính cos ϕ A Câu 19 cos ϕ = 48 B cos ϕ = C cos ϕ = D cos ϕ = 24 Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi, tam giác ABD Gọi M , N trung điểm BC C ' D ' , biết MN ⊥ B ' D Gọi α góc tạo đường thẳng MN mặt đáy ( ABCD ) , cos α bằng: 1 cos α = 10 A B C D Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH cos α = Câu 20 cos α = cos α = (Chuyên Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có kích thước AB = 4, AD = 3, AA′ = Khoảng cách hai đường thẳng AC ' B ' C A Câu 21 C B 30 D 19 (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật Biết A ( 0;0;0 ) , D ( 2; 0;0 ) , B ( 0; 4; ) , S ( 0; 0; ) Gọi M trung điểm CDM ) SB Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( A C Câu 22 d ( B, ( CDM ) ) = d ( B, ( CDM ) ) d B, CDM ) ) = 2 B ( ( = D d ( B, ( CDM ) ) = (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vuông cân, AB = AC = a , AA′ = h ( a, h > ) Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BC ′ theo a , h ah A a + 5h ah B 5a + h ah C 2a + h AB′ ah D a + h2 Câu 23 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi I trung điểm AB , hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm CI , góc SA mặt đáy 45 (hình vẽ bên) Gọi G trọng tâm tam giác SBC Khoảng cách hai đường thẳng SA CG Trang 50 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a 21 A 14 a 14 B a 77 C 22 a 21 D Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng 2018) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi K trung điểm DD′ Tính khoảng cách hai đường thẳng CK A′D 4a a 2a 3a A B C D Câu 25 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng n 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác · cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân với ASB = 120 nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN 327 a 79 A Câu 26 B 237a 79 237a 79 C 237a D 316 (Chun - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB = 1cm , AC = 3cm Tam giác SAB , SAC vuông B C Khối cầu ngoại tiếp 5π cm3 SAB ) hình chóp S ABC tích Tính khoảng cách từ C tới ( cm A Câu 27 cm B cm C cm D (Chuyên Lam Sơn 2019) Một phần sân trường định vị điểm A , B , C , D hình vẽ Trang 51 Bước đầu chúng lấy “ thăng bằng” để có độ cao, biết ABCD hình thang vng A B với độ dài AB = 25 m , AD = 15 m , BC = 18 m Do yêu cầu kĩ thuật, lát phẳng phần sân trường phải nước góc sân C nên người ta lấy độ cao điểm B , C , D xuống thấp so với độ cao A 10 cm , a cm , cm tương ứng Giá trị a số sau đây? A 15,7 cm Câu 28 B 17, cm C 18,1cm (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tứ diện OABC , có OA, OB, OC đơi vng góc OA = 5, OB = 2, OC = Gọi M , N trung điểm OB OC Gọi G trọng tâm ( AMN ) là: tam giác ABC Khoảng cách từ G đến mặt phẳng 20 20 A 129 B 129 C Câu 29 D 17,5cm D Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , gọi M trung điểm AB , ∆A ' CM cân A ' nằm mặt phẳng vng góc với đáy Biết thể tích khối lăng trụ a3 Khoảng cách hai đường thẳng AB CC ' a 57 A 19 Câu 30 2a 57 B 19 2a 39 C 13 2a 39 D (Sở Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang vng A D , SA ⊥ ( ABCD ) o Góc SB mặt phẳng đáy 45 , E trung điểm SD , AB = 2a , AD = DC = a Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( ACE ) 2a 4a A B C a 3a D Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH Câu 31 ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) qua điểm (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu A ( 1;0; −1) ( S ) cho AB, AC , AD đôi vng góc với Xét điểm B, C , D thuộc Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A 64 Trang 52 32 B 64 C D 32 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 32 ( S ) có tâm I ( −1;0; ) qua điểm (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu A ( 0;1;1) ( S ) cho AB , AC , AD đơi vng góc với Xét điểm B , C , D thuộc Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn A Câu 33 B 4 C D (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B( a;0;0) , D(0; a;0) , A′(0;0; b) với a, b > a + b = Gọi M trung điểm cạnh CC ′ Thể tích khối tứ diện BDA′M có giá trị lớn 64 32 A 27 B 27 C 27 D 27 Câu 34 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ cạnh a Gọi M , N MND ' ) trung điểm BC A′B′ Mặt phẳng ( chia khối lập phương thành hai khối H H đa diện, khối chứa điểm C gọi ( ) Tính thể tích khối ( ) 55a A 72 Câu 35 55a B 144 181a C 486 55a D 48 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ A chữ nhật có trùng với gốc tọa độ O đỉnh B ( m;0;0 ) , D ( 0; m;0 ) , A′ ( 0; 0; n ) với m, n > m + n = Gọi M trung điểm cạnh CC ′ Khi thể tích tứ diện BDA′M đạt giá trị lớn 64 75 245 A B 27 C 32 D 108 Câu 36 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có độ dài cạnh Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , C ′D′, DD′ Gọi thể tích khối tứ diện a MNPQ phân số tối giản b , với a, b ∈ ¥ * Tính a + b A B 25 C 13 Câu 37 Trong không gian Oxyz ,tập hợp tất điểm thỏa mãn x- + y + z £ A Câu 38 D 11 khối đa diện tích B C x+y+z£2 D (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D ' có AB = 1; AD = 2; AA′ = Mặt phẳng ( P) qua C ′ cắt tia AB; AD; AA′ E ; F ; G (khác A ) cho thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ Tổng AE + AF + AG A 18 B 17 C 15 D 16 Trang 53 Câu 39 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi K trung điểm AB , gọi M , N hình chiếu vng góc K lên AD , AC Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN a A Câu 40 a B 3a D (Chuyên Thái Bình -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAD tam giác nằm mặt phẳng với đáy Gọi M N trung điểm BC CD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CMN a 93 A 12 Câu 41 3a C a 29 B 5a C 12 a 37 D A 5; 0; ) (Chuyên KHTN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ( B ( 3; 4; ) Với C điểm nằm trục Oz , gọi H trực tâm tam giác ABC Khi C di động trục Oz H ln thuộc đường trịn cố định Bán kính đường trịn A Câu 42 B C D (Chuyên Vinh - 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A , B , C (không trùng O ) thay đổi trục Ox , Oy , Oz thỏa mãn điều kiện: tỉ số diện tích tam ABC ) giác ABC thể tích khối tứ diện OABC Biết mặt phẳng ( tiếp xúc với mặt cầu cố định, bán kính mặt cầu A B C D Câu 43 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( d1 ) : x −1 y −1 z −1 = = −2 , Mặt cầu bán kính nhỏ tâm S = a + 2b + 3c A S = 10 Câu 44 I ( a; b; c ) B S = 11 ( d2 ) : x − y +1 z − = = 2 , ( d3 ) : x − y − z −1 = = −2 d d d , tiếp xúc với đường thẳng ( ) , ( ) , ( ) Tính C S = 12 D S = 13 Cho hình chóp S ABCD cs đáy hình thang vuông A B , AD = AB = BC = 2a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a Gọi E trung điểm cạnh AD Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S CDE a A Trang 54 a 11 B a C a D ... phẳng (hình vẽ) Chun đề 32 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MỨC ĐỘ 8-9-10 ĐIỂM Phương pháp giải số toán Gắn tọa độ hình chóp 1.1 Hình chóp... 2.2a + +1 = 4a Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH Câu 31 ( S ) có tâm I ( −1; 2;1) qua điểm A ( 1;0; −1) (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu... = r r = ⇒ cos α = − sin α = 3 u.n ( ) Dạng Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải tốn tìm KHOẢNG CÁCH Câu 20 (Chun Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có kích thước