BÀI 1 hệ tọa độ TRONG KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững định nghĩa hệ trục tọa độ Oxyz không gian, khái niệm tọa độ điểm, tọa độ vectơ + Nắm vững biểu thức tọa độ phép toán vectơ tính chất + Nắm vững biểu thức tọa độ tích vơ hướng, tích có hướng hai vectơ ứng dụng + Nắm vững phương trình mặt cầu, điều kiện để phương trình phương trình mặt cầu  Kĩ + Biết tìm tọa độ điểm, vectơ Tính tổng, hiệu vectơ, tích vectơ với số + Tính tích vơ hướng hai vectơ ứng dụng: tính độ dài vectơ, tính khoảng cách hai điểm, tính góc hai vectơ; + Xác định tích có hướng hai vectơ vận dụng làm số tốn + Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hệ tọa độ không gian Hệ trục tọa độ Đề-các vng góc khơng gian gồm ba trục x'Ox, y'Oy, z'Oz vng góc với đôi rr r Gọi i, j , k vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Tọa độ vectơ r Trong không gian Oxyz, cho vectơ u Khi r r r r r u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Chú ý: r 1)  0 = ( 0;0;0 ) a1 = b1 r r  2) a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 a1 = kb1 r r r r  3) a phương b b ≠ ⇔ a = kb2 a = kb  ( ) Biểu thức tọa độ phép toán vectơ r r Cho hai vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) k số thực tùy ý Khi ta có: r r • a + b =  ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) r r • a − b =  ( a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) r • k a = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) rr • a.b =  ( a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 ) Ứng dụng tích vơ hướng: r r rr • a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a b + a b3 = • r2 r r a = a.a = a12 + a 22 + a 32 • r r2 a = a = a12 + a 22 + a 32 Trang • rr r r a1b1 + a b + a b3 a.b cos a; b = r r = a.b a1 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 ( ) r r r r Với a ≠ 0, b ≠ Tọa độ điểm Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý uuuu r r r r Khi M ( x; y; z) ⇔ OM = xi + y j + zk Chú ý: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (x; Tính chất y; z) ta có khẳng định sau: • Nếu A ( x A ; y A ; y A ) B ( x B ; y B ; y B ) uuur AB ( x B − x A ; y B − y A ; z C − z A ) uuur Khi AB = AB = ( xB − xA ) • M ≡ O ⇔ M ( 0; 0; ) + ( yB − yA ) + ( z B − z A ) • Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB  x + x B yA + yB zA + zB  I A ; ; ữ 2 ã M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = , tức M ( x; y;0 ) • M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = , tức M ( 0; y; z ) • M ∈ ( Oxz ) ⇔ y = , tức M ( x;0; z ) • M ∈ Ox ⇔ y = z = , tức M ( x;0;0 ) • Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC  x + x B + x C yA + y B + yC z A + z B + z C  G A ; ; ữ 3 ã M ∈ Oy ⇔ x = z = , tức M ( 0; y;0 ) • M ∈ Oz ⇔ x = y = , tức M ( 0;0; z ) • Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD  x + x B + x C + x D yA + yB + yC + yD z A + z B + zC + z D  G A ; ; ÷ 4   Tích có hướng hai vectơ Định nghĩa r r r Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ b = ( b1 ; b ; b3 ) Tích có hướng hai vectơ a b vectơ r r r r vng góc với hai vectơ a b , kí hiệu a , b  xác định sau: r r a a , b  =     b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2  ÷ b2  = ( a b3 − a 3b ;a 3b1 − a1b3 ; a1b − a b1 ) Tính chất r r r r r • a phương với b ⇔ a , b  = r r r r • a , b  vng góc với hai vectơ a b r r r r •  b , a  = − a , b  Trang • r r r r r r  a , b  = a b sin a ; b   ( ) Phương trình mặt cầu Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu tâm I ( a; b;c ) bán kính R có phương trình ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R 2 Ngược lại phương trình x + y + z + 2Ax + 2By + 2Cz + D = ( 1) Với A2 + B + C − D > phương trình mặt cầu tâm I ( − A; − B; −C ) có bán kính R = A2 + B + C − D Chú ý: Điều kiện để phương trình (1) phương trình mặt cầu là: A2 + B + C − D > Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Hệ tọa độ Đề-các vng góc Oxyz gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz phương Điểm O gốc tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz Các vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz Các mặt phẳng tọa độ: Tích có hướng HỆ TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN Tích có hướng hai Tọa độ vectơ Tọa độ điểm vectơ vectơ r r2 u = u = x + y2 + z2 uuur AB ( x B − x A ; y B − y A ;z C − z A ) Biểu thức tọa độ phép toán vectơ với k số thực II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tọa độ điểm, vectơ hệ trục Oxyz Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa khái niệm có liên quan đến điểm, vectơ: Tọa độ điểm, vectơ; độ dài vectơ, phép tốn vectơ để tính tổng, hiệu vectơ; tìm tọa độ trọng tâm tam giác, Ví dụ mẫu Trang r r r Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho a ( −2; 2;0 ) , b ( 2; 2;0 ) , c ( 2; 2; ) r r r Giá trị a + b + c A B C 11 D 11 Hướng dẫn giải r r r r r r 2 Ta có a + b + c = ( 2;6; ) nên a + b + c = + + = 44 = 11 Chọn D Ví dụ Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( 1; 2;3) , B ( −1;0;1) Trọng tâm G tam giác OAB có tọa độ là: A ( 0;1;1)  4 B  0; ; ÷  3 C ( 0; 2; ) D ( −2; −2; −2 ) Hướng dẫn giải 1−1 +  xG = =  2+0+0   4 = ⇒ G  0; ; ÷ Tọa độ trọng tâm tam giác là:  y G = 3  3  +1+  = z G = 3  Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A(1;2;3) mặt phẳng (Oyz) A M (0; 2;3) B N ( 1;0;3) C P ( 1;0;0 ) D Q ( 0; 2;0 ) Chú ý: Hình chiếu điểm M(x;y;z) lên mặt phẳng (Oyz) M′ ( 0; y; z ) Hướng dẫn giải Ta có M ( 0; 2;3) hình chiếu điểm A ( 1; 2;3) mặt phẳng (Oyz) Chọn A r r Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, góc hai vectơ i u = − 3;0;1 ( A 30o B 120o C 60o ) D 150o Hướng dẫn giải r r Ta có i = ( 1;0;0 ) u = − 3;0;1 , áp dụng cơng thức tính góc hai vectơ, rr rr i, u − 3 =− ta có: i, u = r r = 1.2 i.u ( ) ( ) rr o Suy góc hai vectơ cần tìm i, u = 150 ( ) Chọn D Trang r r r Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho vectơ a = ( 1; −2; ) , b = ( x0 ; y0 ; z0 ) ) phương với vectơ a r r Biết vectơ b tạo với tia Oy góc nhọn b = 21 Giá trị tổng x0 + y0 + z0 A −3 C −6 B D Hướng dẫn giải r r r r Ta có a, b phương nên ta có b = k.a = ( k; −2k; 4k ) ; ( k ≠ ) r Lại có b = 21 suy k = k + 4k + 16k = 21 ⇔   k = −1 r r Với k = ta có b = ( 1; −2; ) , suy góc b Oy thỏa mãn rr r b.j rr cos b, Oy = r r , b.j = −2 < b j r Suy góc tạo b Oy góc tù Suy k = không thỏa mãn r r Với k = −1 ta có b = ( −1; 2; −4 ) , suy góc b Oy thỏa mãn rr r b.j rr cos b, Oy = r r , b.j = > b j r Suy góc tạo b Oy góc nhọn Vậy k = −1 thỏa mãn r Do b = ( −1; 2; −4 ) Suy x0 + y0 + z0 = −1 + − = −3 ( ) ( ) Chọn A ( ) Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có A′ 3; −1;1 , hai đỉnh r B, C thuộc trục Oz AA′ = (C không trùng với O) Biết vectơ u = (a; b; 2) (với a, b ∈ ¡ ) vectơ phương đường thẳng A′C Tính T = a + b A T = B T = 16 C T = D T = Hướng dẫn giải Lấy M trung điểm BC  AM ⊥ BC Khi ta có  nên BC ⊥ A′M M;  AA′ ⊥ BC suy M hình chiếu A′ trục Oz ⇒ M ( 0;0;1) A′M = Mặt khác AM = A′M − AA′2 = Lại có ∆ABC nên AM = BC = ⇒ BC = ⇒ MC = Gọi C ( 0;0;c ) , c ≠ suy MC = c − Trang c = MC = ⇔ c − = ⇔  ( loại c = ) ⇒ C ( 0;0; ) c = uuuu r A′C = − 3;1;1 vectơ phương đường thẳng A′C r Suy u = −2 3; 2; vectơ phương A′C ( ) ( ) Vậy a = −2 3; b = Suy T = a + b = 16 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập r r r r r Câu 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = −i + j − 3k Tọa độ vectơ a A ( −2; −1; −3) B ( −3; 2; −1) C ( 2; −3; −1) D ( −1; 2; −3) r r r Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = (2; −3;3), b = ( 0; 2; −1) , c = ( 3; −1;5 ) r r r r Tọa độ vectơ u = 2a + 3b − 2c A ( 10; −2;13) B ( −2; 2; −7 ) C ( −2; −2;7 ) D (−2; 2;7) r Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, u vectơ phương trục Oy r r A u hướng với vectơ j = ( 0;1;0 ) r r B u phương với vectơ j = ( 0;1;0 ) r r C u hướng với vectơ i = ( 1;0;0 ) r r D u phương với vectơ i = ( 1;0;0 ) Câu 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( −2;1;3) Hình chiếu vng góc A lên trục Ox có tọa độ là: A ( 0;1;0 ) B ( −2;0;0 ) C ( 0;0;3) D ( 0;1;3) r r Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u = ( 2;3; −1) v = (5; −4; m) r r Tìm m để u ⊥ v A m = −2 B m = C m = D m = Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M ( x; y; z ) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) M ' ( x; y; −z ) B Nếu M' đối xứng với M qua Oy M ' ( x; y; −z ) C Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) M ' ( x; y; −z ) D Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O M ' ( 2x; 2y;0 ) Trang Câu 7: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ biết A ( 1;0;1) , B ( 2;1; ) , D ( 1; −1;1) , C ( 4;5; −5 ) Tọa độ điểm A' là: A A′ ( 4;6; −5 ) B A′ ( −3; 4; −1) C A′ ( 3;5; −6 ) D A′ ( 3;5;6 ) Bài tập nâng cao Câu 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD; có tọa độ ba đỉnh A ( 1; 2;1) , B ( 2;0; −1) , C ( 6;1;0 ) Biết hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D ( a; b;c ) , tính a + b + c A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A ( 1; 2;5 ) , B ( 3; 4;1) , C ( 2; 3; −3) Gọi G trọng tâm tam giác ABC M điểm thay đổi mp(Oxz) Độ dài GM ngắn A B C D Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 1;0;1) , B ( 0;1; −1) Hai điểm D, E thay đổi đoạn OA, OB cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích Khi DE ngắn trung điểm đoạn DE có tọa độ  2  ; ;0 ÷ A I  ÷  4   2  ; ;0 ÷ B I  ÷  3  1  C I  ; ;0 ÷ 3  1  D I  ; ;0 ÷ 4  Dạng 2: Tích có hướng ứng dụng Bài tốn Tìm vectơ tích có hướng Phương pháp giải Để tính tích có hướng hai vectơ, ta áp dụng cơng thức: r r a a , b =     b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2  ÷ b2  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) Ví dụ: Tính tích có hướng hai vectơ r r a = ( 1;0;1) , b = ( 2;1; −1) Hướng dẫn giải r r 0 1 1 0 a , b =  ; ; ÷ = ( −1;3;1)    −1 −1 2  Ví dụ mẫu r r Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = ( 2;1; −2 ) vectơ b = ( 1;0; ) Tìm r r r tọa độ vectơ c tích có hướng a b r r A c = ( 2;6; −1) B c = ( 4;6; −1) r C c = ( 4; −6; −1) r D c = ( 2; −6; −1) Hướng dẫn giải Trang r r r  −2 −2 2  c =  a , b  =  ; ; ÷ = ( 2; −6; −1) 0 2 1 0 Chọn D r r r Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a, b khác Kết luận sau sai? r r r r A  a ,3b  =  a , b  uur r r r C 3a ,3 b  =  a , b  uur r r r B  2a , b  =  a , b  r r r r r r D  a , b  = a b sin a , b ( ) Hướng dẫn giải uur r r r r r Ta có: 3a ,3 b  =  a ,3 b  =  a , b  (C sai) Chọn C Bài tốn Ứng dụng tích có hướng để chứng minh tính đồng phẳng Phương pháp giải r r r r r r • Ba vectơ a; b; c đồng phẳng ⇔ a, b  c = uuur uuur uuur • Bốn điểm Ạ B, C, D tạo thành tứ diện ⇔  AB, AC  AD ≠ Ví dụ mẫu r r r Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ a = ( 1; 2;1) , b = ( 0; 2; −1) , c = (m,1; 0) r r r Tìm giá trị thực tham số m để ba vectơ a; b; c đồng phẳng A m = B m = C m = − D m = Hướng dẫn giải r r Ta có  a , b  = ( −4;1; ) r r r r r r Ba vectơ a; b; c đồng phẳng ⇔ a, b  c = ⇔ −4m + = ⇔ m = Chọn D Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm A ( 0;0;3) , B ( 2; −1;0 ) , C ( 3; 2; ) , D ( 1;3;5 ) , E ( 4; 2;1) tạo thành hình chóp có đáy tứ giác Đỉnh hình chóp tương ứng A Điểm C B Điểm A C Điểm B D Điểm D Hướng dẫn giải Xét đáp án A, giả sử C đỉnh hình chóp, ta có: uuur uuur uuur uuur AB = ( 2; −1; −3) , AD = ( 1;3; ) , AE = ( 4; 2; −2 ) , AC = ( 3; 2;1) Trang 10 uuur uuur uuur   AB, AD  AE = 4.7 − 2.7 − 2.7 =   ⇒  uuur uuur uuur   AB, AD  AC = 3.7 − 2.7 + 1.7 = 14 Suy A, B, D, E đồng phẳng Vậy điểm C đỉnh hình chóp Chọn A Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) , D ( 2; −2;0 ) Có tất mặt phẳng phân biệt qua điểm O, A, B, C, D? A 10 B C D Hướng dẫn giải uuur uuur Ta có AB = ( −1; 2;0 ) , AD = ( 1; −2;0 ) , suy điểm A, B, D thẳng hàng Từ xác định vị trí điểm hệ trục độ Oxyz đếm trực tiếp ta có mặt phẳng qua điểm O, A, B, C, D là: ( OCB ) , ( OCA) , ( OCD ) , ( OAB ) , ( ABC ) Chọn C Bài toán Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích thể tích Phương pháp giải uuur uuur • Diện tích hình bình hành: SY ABCD =  AB, AD  uuur uuur • Tính diện tích tam giác: SVABC =  AB, AC  uuur uuur uuur • Tính thể tích hình hộp: VABCD.A′B′C′D′ =  AB, AC  AD • Tính thể tích tứ diện: VABCD = uuur uuur uuur  AB, AC  AD  6 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 2;1; ) , C ( −1;3;1) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A 10 B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải uuur uuur uuur Ta có: AB = ( 1; −1; ) , AC = ( −2;1;1) , BC = ( −3; 2; −1) Suy AB = AC = 6; BC = 14 Suy SABC = uuur uuur 35  AB, AC  =   Gọi RABC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có Trang 11 R ABC = AB.AC.BC 6 14 10 = = 4SABC 35 Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho A ( 2; 1; −1) , B ( 3;0;1) , C ( 2; −1;3) D nằm trục Oy Thể tích tứ diện ABCD Tọa độ D A D ( 0; −7;0 ) B D ( 0;8;0 ) C D ( 0; −7;0 ) D ( 0;8;0 ) D D ( 0;7;0 ) D ( 0; −8;0 ) Hướng dẫn giải Vì D ∈ Oy nên D ( 0; y;0 ) Khi Thể tích tứ diện ABCD V= uuur uuur uuur  AB, AC  AD = 4y −   Theo đề ra, ta có  y = −7 4y − = ⇔   y = Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tọa độ đỉnh a a  ′ A ( 0;0;0 ) , B ( 0; a;0 ) , C  ; ;0 ÷ ÷và A ( 0;0; 2a ) Gọi D trung điểm cạnh BB' M di động 2   cạnh AA' Diện tích nhỏ tam giác MDC' A a2 B a2 C a2 D a 15 Hướng dẫn giải uuur uuuu r a a  ; ;2a÷ Ta có CC′ = AA ′ ⇒ C′  ÷  2  Trang 12 uuur uuur CC′ = BB′ ⇒ B′ ( 0;a;2a) Điểm D trung điểm BB' nên D ( 0; a; a ) uuuu r  a a  uuuu r M (0;0; t ) với < t < 2a Ta có DC′ =  ; − ;,DM = ( 0; −a;t − a)  2 ÷   Ta có: 2 r uuuu r a ( 2t − 3a) + 6a2 a2  uuuu a 4t − 12at + 15a = DC′,DM  = = ≥  2 4 SMDC′ Suy minSVMDC′ = a2 t = a Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập r r Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = ( 2;1; −2 ) vectơ b = ( 1;0; ) Tìm tọa r r r độ vectơ c tích có hướng a b r r r r A c = ( 2;6; −1) B c = ( 4;6; −1) C c = ( 4; −6; −1) D c = ( 2; −6; −1) Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 1; −2;0 ) , B ( 1;0; −1) , c ( 0; −1; ) D ( 0;m;p) Hệ thức liên hệ m p để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng A m+ p = B 2m− 3p = C 2m+ p = D m+ 2p = Câu 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A ( 1;0;1) , B ( 2;1; ) , giao điểm hai  3 đường chéo I  ;0; ÷ Diện tích hình bình hành  2 A B C D Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 1;0; ) , B ( −2;1;3 ) , C ( 3; 2; ) , D ( 6;9; −5 ) Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD A ( 2;3;1) B ( −2;3;1) C ( 2;3; −1) D ( 2; −3;1) Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ với A ( −2;1;3) , C ( 2;3;5 ) , B ' ( 2; 4; −1) , D ' ( 0; 2;1) Tìm tọa độ điểm B A B ( 1; −3;3) B B ( −1;3;3) C C ( 1;3; −3) D B ( 1;3;3) Bài tập nâng cao Câu 6: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0; ) Có tất điểm M · · không gian thỏa mãn M không trùng với điểm A, B, C ·AMB = BMC = CMA = 90° ? Trang 13 A B C D Dạng 3: Phương trình mặt cầu Phương pháp giải Cách viết phương trình mặt cầu: • Mặt cầu tâm I ( a; b;c ) , bán kính R có phương trình ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R 2 Ví dụ: Phương trình mặt cầu tâm I ( 2; −1;1) , bán kính R = ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 1) = • 2 Xét phương trình: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( *) Ta có ( *) ⇔ ( x + 2ax ) + ( y2 + 2by ) + ( z + 2cz ) = −d ⇔ ( x + a ) + ( y + b ) + ( z + c ) = a + b + c − d 2 Điều kiện để phương trình (*) phương trình mặt cầu a + b + c > d  taâ mI ( −a; − b; −c) Khi (S) có  n kínhR = a2 + b2 + c2 − d  baù 2 2 Đặc biệt mặt cầu ( S ) : x + y + z = R (S) có  tâ mO ( 0;0;0)  n kínhR  bá Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z − 2x + 4y − 6z − = Xác định tọa độ tâm I mặt cầu (S) A I ( 1; −2;3) B I ( 1; −2;1) C I ( −1; 2;3) D I ( −1; 2; −3) Hướng dẫn giải  −2 −6  Tọa độ tâm mặt cầu (S) I =  ; ; ÷ = ( 1; −2;3)  −2 −2 −2  Chọn A Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ( S) : x + y2 + z − 2x + 6y − 6z − = Tính diện tích mặt cầu (S) A 100π B 120π C 9π D 42π Hướng dẫn giải Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; −3;3) , bán kính r = + + + = Trang 14 Vậy diện tích mặt cầu 4π r = 4π 52 = 100π Chọn A Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho điểm I ( 1; −2;3) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho AB = A  ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 16 B ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − ) = 20 C ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 25 D ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 2 2 2 2 2 Chú ý: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆: - Xác định điểm M ∈ ∆ uuuu r r  AM, u    - Áp dụng công thức: d ( A, ∆ ) = r u Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB ⇒ IH ⊥ AB H ⇒ IH = d ( I;( AB) ) = d ( I;Ox ) Lấy M ( 2;0;0 ) ∈ Ox ⇒ IH = d ( I,Ox ) uuu rr  IM,i   r  = = i Bán kính mặt cầu cần tìm R = IA = IH + HA = Vậy phương trình mặt cầu cần tìm  ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 16 2 Chọn A Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = hai 2 điểm A ( 4;3;1) , B ( 3;1;3) ; M điểm thay đổi (S) Gọi m, n giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = 2MA − MB2 Giá trị (m − n) A 64 B 60 C 68 D 48 Hướng dẫn giải Trang 15 Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; 2; −1) bán kính R = uuur uuu r r Lấy điểm E cho 2AE − BE = ⇔ E ( 5;5; −1) Ta có IE = Dễ thấy điểm E điểm nằm mặt cầu (S) uuur uuur uuur uuu r Khi P = 2MA − MB2 = ME − AE − ME − BE = ME + 2AE − BE ( ) ( ) P lớn nhỏ ME lớn nhỏ max ME = IE + R = 8; ME = IE − R = Do m = max P = 64 + 2AE − BE ; n = P = + 2AE − BE Suy m − n = 60 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I ( 1; −2;3) , M ( 0;1;5 ) Phương trình mặt cầu có tâm I qua M A ( x + 1) + ( y − ) + (z + 3) = 14 B ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 14 C ( x + 1) + ( y − ) + ( z + ) = 14 D ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − ) = 14 2 2 2 2 2 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1;1; ) , B ( 3; 2; −3) Mặt cầu (S) có tâm I thuộc Ox qua hai điểm A, B có phương trình A x + y + z − 8x + = B x + y + z + 8x + = C x + y + z − 4x + = D x + y + z − 8x − = Câu 3: Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng x + y + z − 4x + 2y − 2az + 10a = Tập hợp giá trị thực a để (S) có chu vi đường trịn lớn 2 8π A { 1;10} B { 2; −10} C { −1;11} D { 1; −11} Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A ( 1;0; −1) , B ( −3; −2;1) Gọi (S) mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng (Oxy), bán kính 11 qua hai điểm A, B Biết I có tung độ âm, phương trình mặt cầu (S) A x + y + z + 6y − = B x + y + z + 4y − = C x + y + z + 4y + = D x + y + z + 6y + = Bài tập nâng cao Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho A ( −2;0;0 ) ; B ( 0; −2;0 ) ; C ( 0;0; −2 ) D điểm khác O cho DA, DB, DC đơi vng góc Gọi I(a;b;c) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Giá trị biểu thức S=a+b+c A −4 B −1 C −2 D −3 Trang 16 ĐÁP ÁN Dạng Tìm tọa độ điểm, vectơ liên quan đến hệ trục Oxyz 1-D 2- B 3- B 4- B 5- A 6- C 5-D -C 7- C 8- C 9- B 10- A Dạng Tích có hướng ứng dụng 1-D 2- D 3- A 4- A Dạng 3: Phương trình mặt cầu 1-B 2- A -C -A -B Trang 17 ... mặt phẳng tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Tọa độ vectơ r Trong không gian Oxyz, cho vectơ u Khi r r r r r u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Chú ý: r 1)  0 = (... gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = −i + j − 3k Tọa độ vectơ a A ( −2; ? ?1; −3) B ( −3; 2; ? ?1) C ( 2; −3; ? ?1) D ( ? ?1; 2; −3) r r r Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a =... a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2  ÷ b2  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) Ví dụ: Tính tích có hướng hai vectơ r r a = ( 1; 0 ;1) , b = ( 2 ;1; ? ?1) Hướng dẫn giải r r 0 1 1 0 a , b