khoảng cách trong không gian

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề HHKG - KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+ Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Bài toán 1: Tính khoảng cách từ hình chiếu vng góc đỉnh đến mặt bên Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu đỉnh đến mặt phẳng bên Bước 1: Xác định giao tuyến d Bước 2: Từ hình chiếu vng góc đỉnh, DỰNG AH  d ( H �d ) AI  SH  I �SH  Bước 3: Dựng Khoảng cách cần tìm AI Với S đỉnh, A hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC) Hãy xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC) Ta có BC giao tuyến mp (SBC) (ABC) Từ hình chiếu đỉnh điểm A, dựng AH  BC H Dựng AI  SH I �BC  SA � BC   SAH  �  SBC    SAH  � BC  AH � Vì Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (SAH) theo giao tuyến SH có AI  SH AI  mp  SBC  � d  A, mp  SBC    AI nên  Bài tốn 2: Tính khoảng cách từ đểm đến mặt phẳng Thường sử dụng công thức sau: d  M , mp  P    MO AO d  A, mp  P   Cơng thức tính tỉ lệ khoảng cách: Ở cơng thức cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Câu B C có đáy ABC tam giác cạnh a (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho lăng trụ đứng ABC A��� � � AA  2a Gọi M trung điểm CC (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt A� BC  phẳng  Trang a A Câu 2 57a C 19 57 a 19 B 5a 5a C Trang 2 57a D 19 B C có tất cạnh a Gọi M (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� trung điểm AA�(tham khảo hình vẽ) C  AB� Khoảng cách từ M đến mặt phẳng a 21 a a A B C Câu 57a D 19 B C có đáy ABC tam giác cạnh (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� a A� A  2a Gọi M trung điểm A� A (tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ M đến C  AB� mặt phẳng A Câu 5a B a 21 D 14 B C có tất cạnh a Gọi M (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� A� BC  trung điểm CC �(tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 21a A 14 B 2a C 21a D 2a Câu (Mã 101 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông đỉnh B , AB  a , SA vng góc  SBC  với mặt phẳng đáy SA  2a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng 5a 5a 2a 5a A B C D Câu (Mã 102 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông đỉnh B , AB  a , SA vng góc  SBC  với mặt phẳng đáy SA  a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng a a a A B C D a Câu (Mã 103 - 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên)  SAC  Khoảng cách từ D đến mặt phẳng a A Câu a 21 B a 21 C 14 a 21 D 28 (Mã 101 -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên)  SBD  Khoảng cách từ A đến mặt phẳng Trang 21a A 14 Câu Câu 10 B 21a C 2a D 21a 28 o � (Đề Tham Khảo 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a , BAD  60 , SA  a SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách tứ B đến  SCD  bằng? 21a 15a 21a 15a A B C D (Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy ( minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD) A 21a 14 B 2a C 21a D 21a 28 Câu 11 (Mã 103 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt  SBC  phẳng đáy SA  a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng 6a 3a 5a 3a A B C D Câu 12 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách từ A BCD  đến mặt phẳng  Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a A Câu 13 Câu 14 a B (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hình chop S ABC có đáy tam giác vuông A , AB  a , AC  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng: 2a 57 B 19 2a C 19 2a 38 D 19 (Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khoảng cách d từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên theo a A Câu 16 D 2a SA   ABCD  (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp SABCD có , đáy ABCD hình chữ  SCD  bằng: nhật Biết AD  2a , SA  a Khoảng cách từ A đến 3a 2a 3a 2a A B C D a 57 A 19 Câu 15 3a C d 2a B d a C d a D d a (Chuyên Trần Phú Hải Phịng 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng SA   ABCD  cạnh a , SA  a Gọi M trung điểm cạnh SC Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng a A  SBD  a 10 B 10 a C a 10 D Câu 17 (THPT Gang Thép Thái Ngun 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB  a , AC  a ; SA vng góc với đáy, SA  2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt  SBC  phẳng 2a a a 2a A B C 19 D 19 Câu 18 (Chun Sơn La 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA  a SA vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  bằng: 2a 3a 21a 15a A B C D Câu 19 (Thpt Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD , cạnh đáy a , góc  SCD  mặt bên mặt đáy 60� Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng a a a a A B C D Câu 20 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy nửa lục giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD  2a có cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  với SA  a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  Trang A a Câu 21 a C B a a D (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC  a, AD  2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung a SH  Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng  SCD  điểm H AD A d 6a B d  a C d 6a D d 15a Câu 22 (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Cho tứ diện O ABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA  OB  OC  Khoảng cách từ O đến mp( ABC ) 1 A B C D Câu 23 (Thpt Cẩm Giàng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , � ABC  60� Cạnh bên SA vng góc với đáy, SC  2a Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  2a a 15 a 5a 30 A B C D Câu 24 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB  AD  2a; DC  a Điểm I trung điểm đoạn AD, hai mặt phẳng  SIB   SIC  vng góc với mặt phẳng  ABCD  Mặt phẳng  SBC  tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60� Tính khoảng cách từ D đến  SBC  theo a a 15 9a 15 2a 15 9a 15 A B 10 C D 20 Câu 25 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, AC  a, I trung điểm SC Hình chiếu vng góc S lên  ABC  trung điểm H BC Mặt phẳng  SAB  tạo với  SAB  A Câu 26 3a B 3a  ABC  góc 60� Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng C 5a (Chuyên Hưng n - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân, BA  BC  a � BAC  30� Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA  a Gọi D điểm đối xứng  SCD  với B qua AC Khoảng cách từ B đến mặt phẳng 2a 21 a a 21 A B C 14 Câu 27 Trang D 2a a 21 D (Chun Lam Sơn - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Tam ABCD  giác ABC tam giác đều, hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  trùng với TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ABCD  trọng tâm tam giác ABC Góc đường thẳng SD mặt phẳng  30� Tính SCD  khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  theo a a 21 A B a C a Câu 28 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú n - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, AB  a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a (minh họa hình vẽ bên ) Gọi M trung điểm CD , khoảng cách điểm M mặt phẳng ( SBD) a B 2a A Câu 29 a C a D (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình �  ABCD  thoi tâm O cạnh a có góc BAD  60 Đường thẳng SO vng góc với mặt đáy 3a SO  Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  3a A Câu 30 2a 21 D a B a C 3a D SA   ABCD  (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có , SA  a , ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD  2a Khoảng cách từ  SCD  điểm B đến mặt phẳng a a a a A B C D Câu 31 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a � � SBA  SCA  90 Biết góc đường thẳng SA mặt đáy 45 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) 15 a A Câu 32 15 a B 15 a C 51 a D (Chun Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA ( ABC ) ; góc đường thẳng SB mặt phẳng ABC 60� Gọi vng góc với mặt phẳng M trung điểm cạnh AB Khoảng cách từ B đến ( SMC ) Trang a 39 A 13 B a a D C a Câu 33 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O , cạnh AB  a, AD  a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD  trung điểm  ABCD  30� Khoảng cách từ C đến mặt phẳng đoạn OA Góc SC mặt phẳng  SAB  22a 22a 22a 22a A 44 B 11 C 11 D 44 Câu 34 (Sở Ninh Bình) Cho hình chóp S ABC có SA  a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ B đến mặt  SAC  phẳng a 42 a 42 a 42 a 42 A B 14 C 12 D Câu 35 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  2a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc  ABCD  45� Gọi M trung điểm SD , tính theo đường thẳng SC mặt phẳng a khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SAC  2a 1513 a 1315 2a 1315 a 1513 d d d d 89 89 89 89 A B C D Câu 36 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AD  AB  BC  2a , SA vng góc với đáy, góc SB mặt phẳng đáy 600 Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD  3a 30 3a 30 3a 30 A a B 20 C 10 D 40 Câu 37 B C D có đáy ABCD hình vng (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hình hộp ABCD A����  ABCD  trùng với O Biết tam cạnh a , tâm O Hình chiếu vng góc A�lên mặt phẳng A�  ABB�  C vuông cân A� giác AA� Tính khoảng cách h từ điểm D đến mặt phẳng a a a a h h h h A B C D Câu 38 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD  AB  2a Cạnh bên SA  2a vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm SB SD Tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng  AMN  A d  2a Trang B d 3a C d a D d  a TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Câu 39 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A SA   ABC  , biết AB  2a , AC  3a , SA  4a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  2a d 11 A B d 6a 29 29 C d 12a 61 61 a 43 D 12 Câu 40 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, cạnh AB  AD  a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy  ABCD  SBD  Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  a a a A B C D 2a Câu 41 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp SABC , có đáy tam giác vng A , �  30o  SAB    ABC  Khoảng cách từ A đến AB  4a , AC  3a Biết SA  2a , SAB  SBC  mặt phẳng 7a A 14 Câu 42 7a B 7a C 7a D B C có AB  a , AC  2a , (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� 0 �  120 �  90 BAC Gọi M trung điểm cạnh CC �thì BMA� Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng a A  BMA�  a B a C a D Dạng Khoảng cách đường thẳng với đường thẳng Ta có trường hợp sau đây: a) Giả sử a b hai đường thẳng chéo a  b - Ta dựng mặt phẳng ( ) chứa a vng góc với b B Trang - Trong ( ) dựng BA  a A , ta độ dài đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b b) Giả sử a b hai đường thẳng chéo khơng vng góc với Cách 1: - Ta dựng mặt phẳng ( ) a song song với b - Lấy điểm M tùy ý b dựng MM '  ( ) M ' - Từ M ' dựng b '/ / b cắt a A - Từ A dựng AB / / MM ' cắt b B , độ dài đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Cách 2: - Ta dựng mặt phẳng ( )  a O , ( ) cắt b I - Dựng hình chiếu vng góc b b ' ( ) - Trong mặt phẳng ( ) , vẽ OH  b ' , H �b ' - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A - Độ dài đoạn thẳng AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Câu B C D có cạnh a ( tham khảo hình vẽ (Đề Tham Khảo 2018) Cho lập phương ABCD A���� C bên ).Khoảng cách hai đường thẳng BD A�� A Câu Trang 10 3a B 2a C 3a D a (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A , AB  2a , AC  4a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA  a (hình minh họa) Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng SM BC TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Vì tứ diện ABCD có AB , AC , AD đơi vng góc với nhau, nên ta chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ (với A gốc tọa độ, đường thằng AC nằm trục Ax , AD nằm trục Ay AB nằm trục Az ) A  0;0;0  B  0;0;1 C  1; 0;0  D  0; 2;0  Từ suy ra: , B �Az , C �Ax , D �Ay 1� �1 I � ; 0; � � Vì I trung điểm BC nên �2 Từ đó, ta quay tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo hệ tọa độ không gian Axyz uur �1 uur uuur � � �uuur r AI  � ; 0; � , BD   0; 2; 1 � � AI , BD � � 1; ;1� uuu � � AB   0;0;1 2� �2 � �và Ta có uur uuur uuur  1   1.1 � � AI , BD AB � � d  AI , BD     uur uuur � � AI , BD 1� � �  1  � � � �2 � Ta có Câu 34 B C có đáy tam giác vng cân B , (Sở Yên Bái - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A���  a , M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường biết AB  BC  a , AA� C thẳng AM B� a A 2a B a C Lời giải a 15 D Chọn A Trang 91 MN // B� C � B� C //  AMN  Kẻ � d  d  B� C , MN   d  B� C ,  AMN    d  C ,  AMN    d  B,  AMN   Ta có tứ diện BAMN tứ diện vng 1 1 1 a �     2   �d  2 2 d BA BM BN a �a � �a � a �� � �2 � � � � Câu 35 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , o cạnh SA tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Khoảng cách hai đường thẳng SA CD 15a A 14a B 10a C Lời giải 5a D Chọn C Gọi O tâm mặt đáy, M trung điểm AB , H hình chiếu O SM � � SAO �  30o � SO  AO tan 30o  a  SA,  ABCD     SA, OA  SAO Ta có AB  OM , AB  SO � AB   SOM  � AB  OH SM  OH � OH   SAB  Ta có , mà O SOM OH Tam giác vng có đường cao nên 1 10a      � OH  2 OH SO OM 2a a 2a Vì Câu 36 Trang 92 CD //AB � d  CD, SA   d  CD,  SAB    d  C ,  SAB    2d  O,  SAB    2OH  10a (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a , SA vng SBC  góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng  mặt phẳng đáy 60�(minh họa hình đây) Gọi M , N trung điểm AB, AC TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khoảng cách hai đường thẳng SB MN 3a a 3a A B C Lời giải Chọn A D a Gọi E trung điểm BC , tam giác ABC � AE  BC , lại có SA  BC � BC  SE �  60�  SBC  � ABC   BC �   SBC  ,  ABC    SEA Mặt khác SA � SB // MP, MP � MNP  � SB //  MNP  Gọi P trung điểm � d  SB, MN   d  SB,  MNP    d  B,  MNP    d  A,  MNP   � � Gọi AE �MN  I � PIA  SEA  60�và AI  MN MN  AI , MN  PI � MN   API  �  PMN    API  Ta có  PMN  � API   PI , kẻ AH  PI � AH   PMN  � d  A,  PMN    AH Mà a a 3 3a � AIP  60� , AI  AE  � AH  AI sin � AIP   4 Xét API có 3a d  SB, MN   Vậy Câu 37 ABCD (Liên trường Nghệ An 2020) Cho tứ diện có � � � ABC  ADC  ACD  90 , BC  2a, CD  a , góc đường thẳng AB mặt phẳng  BCD  60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BD a A 31 2a B 31 2a C 31 Lời giải a D 31 Chọn C Trang 93 Gọi H chân đường cao tứ diện ABCD �BC  AB � BC  HB �  1 BC  AH � Ta có: CD  AD � � CD  HD �  2 CD  AH � Lại có: � Mà BCD  90� Từ ta suy HBCD hình chữ nhật � AB,  BCD   � ABH  60� Mặt khác: Suy ra: AH  HB.tan 60� a Chọn hệ trục Oxyz �H DBA hình vẽ     H  0; 0;0  A 0;0; a B  0; a;0  C  2a; a;0  D  2a;0;  Ta có: , , , , uuur uuu r uuur AC  2a; a;  a BD   2a; a;0  AB  0; a; a , , uuur uuur uuu r � AC , BD � AB 2a 3 2a 93 � � d  AC , BC     uuur uuur 2 31 � AC , BD �  a  2a   4a  � � Vậy     Câu 38 Trang 94     (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA  OB  a , OC  2a Gọi M trung điểm AB Khoảng cách hai đường thẳng OM AC 2a 2a 5a 2a A B C D Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 OM //  CAE  d  OM , AC   d  OM , (CAE )   d  O, (CAE )  Dựng AE //OM , Do Dựng OK  AE , ta có: �AE  OK � AE   COK  � �AE  OC  Vì CO   ABC    CAE    COK  nên  CAE  � COK   CK Kẻ OH  CK , OH   COK  Suy d  O, (CAE )   OH Ta có Mà AE � CAE  2 Xét tam giác OAB ta có : AB  OA  OB  a AB a OK  AM   2 Dễ thấy OKAM hình chữ nhật nên Xét tam giác COK ta có : 1 1 1   �   � OH  a 2 2 2 OH OK OC OH �a �  2a  � � �2 � Câu 39 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A , AB  a, AC  2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Gọi G trọng tâm ABC Khoảng cách hai đường thẳng SG BC 2a a 2a 4a A B C D Lời giải Chọn A  SAM  dựng Gọi M trung điểm BC Trong mp d  SG, BC   d  SG,  S � BC    d  G ,  S � BC   Do S� M / / SG Suy S� A SA  3a d  G,  S � BC    d  A,  S � BC   Vì AM  3GM nên � BC   S AH  Kẻ AH  BC ta có AK  S � H � AK  d  A,  S � BC   Kẻ 1 2a 1 6a   � AH    � AK  2 2 2 AB AC Suy AK S� A AH Ta có AH 2a d  G,  S � BC    AK  Do Trang 95 Câu 40 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành , góc �SBC  60� , góc �SCA  45� Tính khoảng cách d SA  SB  SC  11, góc �SAB  30� hai đường thẳng AB SD A 22 B 22 C Lời giải 22 D 11 Chọn B 2 Trong tam giác SAB ta có SB  SA  AB  2SA AB.cos 30�� AB  11 Trong tam giác SBC ta có SB  SC  11, �SBC  60�nên SBC suy BC  11 Trong tam giác SCA ta có SC  SA  11, �SCA  45� nên SCA vuông cân S suy AC  11 2 Xét tam giác ABC có BC  AC  AB ABC vuông C Gọi I hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABCD) SA  SB  SC nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , ABC vuông C nên I trung điểm AB SI  ( ABCD) � SI  CD (1) Vẽ IK  CD (2), IH  SK (3) Từ (1) (2) suy CD  ( SIK ) � CD  IH (4) Từ (3) (4) suy IH  ( SCD ) khoảng cách d ( I ,( SCD))  IH Ta lại có AB //CD suy khoảng cách d ( AB, SD)  d ( AB, ( SCD ))  d ( I , ( SCD))  IH Trong mặt phẳng đáy vẽ CJ  AB ta suy Trong tam giác SAB cân S có Trang 96 CA.CB 11  AB AB 11  IK SI  22 IK  SI SI  SA2  Trong tam giác SIK vng I ta có Câu 41 IK  CJ  IH  B C có cạnh bên a , (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� B, BC  a 3, AB  a Biết hình chiếu vng góc đỉnh A�lên đáy ABC tam giác vuông uu uu r uuur mặt đáy điểm M thoả mãn 3AM  AC Khoảng cách hai đường thẳng AA�và BC a 210 a 210 a 714 a 714 A 15 B 45 C 17 D 51 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A Dựng hình bình hành ABCD , tam giác ABC tam giác vng B nên ABCD hình chữ nhật BC / / AD � BC / /  A� AD  Suy d BC , AA� AD    d  C ,  A� AD     d  BC ,  A� Do  uuuu r uuur � � d C , A AD  d M , A AD     Mà 3AM  AC nên   MH  AD �  A� MH    A� AD   A� H Kẻ MK  A� H � MK   A� AD  � MK  d  M ,  A� AD   Kẻ 2a a 14 AC  AB  BC  2a � AM  AC  � A� M  A� A2  AM  3 Mặt khác ta có MH AM 1 a MH / / CD �   � MH  CD  AB  CD AC 3 3 Và 1 1 1 135 a 210   �   �  � MK  2 2 2 2 MK A� M MH MK MK 14a 45 �a 14 � �a � � � � � � � �� Suy a 210 a 210 d  BC , AA� AD    3d  M ,  A� AD    3MK     d  C ,  A� 45 15 Vậy Câu 42 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 9a a Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , độ dài cạnh bên lớn độ dài cạnh đáy Khoảng cách hai đường thẳng AB SD 2a 17 A 17 4a 17 B 17 4a 34 C 17 2a 34 D 17 Lời giải Chọn D Trang 97 Gọi O  AC �BD , M trung điểm SC Trong tam giác SAC , dựng đường trung trực đoạn thẳng SC cắt SO I , I tâm mặt cầu 9a R  SI  ngoại tiếp hình chóp S ABCD , bán kính Vì độ dài cạnh bên lớn độ dài cạnh đáy nên tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp thuộc đoạn SO Gọi x độ dài cạnh bên hình chóp Ta có SOC đồng dạng với SMI 9a x SI SM  �  SC SO x x  a2 Suy x2 � 9a x  a  2 x � 81a  x  a   x 2 � �x � � � � �x � �a � �x � 2 � � x  81a x  81a  � � � 81� � 81  � �x �a � �a � �� � � � �a � � � 9a x2  a2  �x � � � �a � khơng thỏa x  a �x � � � � x  3a �a � SO   3a   a  8a 2 Suy d  AB; SD   d  AB,  SDC    d  A;  SCD    2d  O;  SCD   d O,  SCD    OH Gọi E trung điểm CD , kẻ OH  SE ,  1 1 2 2a     � OH  2 OH SO OE 8a a 17 34a d  AB; SD   2OH  17 Câu 43 Trang 98 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  2a , AD  3a (tham khảo hình vẽ) Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng SCD  góc với mặt đáy; góc mặt phẳng  mặt đáy 45� Gọi H trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách hai đoạn thẳng SD CH 11a A 11 14a B 10a C 109 Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 85a D 17 Chọn B Cách 1: �  SAB    ABCD  �  SAB  � ABCD  � � SH  AB; SH � SAB  � SH   ABCD  Ta có: � CD HK  CD K Kẻ ( trung điểm ) � CD   SHK  � CD  SK �  45� � � SK ; HK   SKH  SCD  ;  ABCD    � � SHK vuông cân H � SH  HK  3a Kẻ d qua D song song với HC cắt AB E � ED  HC  a 10 � d  CH ; SD   d  CH ;  SED    d  H ;  SED   � ED  SHF   Kẻ HF  ED � HG   SED  � d  H ;  SED    HG Kẻ HG  SF 1 AD.EH  3a.2a  10a SHED  AD.EH  HF ED � HF  a 10 2 ED Ta có: Xét tam giác SHF vng H ta có: Trang 99 10a  18a 14a 9a   3a 1 � HG  SH HF   SH  HF HG SH HF � d  CH ; SD   14a Cách 2: �  SAB    ABCD  �  SAB  � ABCD  � � SH  AB; SH � SAB  � SH   ABCD  Ta có: � CD HK  CD K Kẻ ( trung điểm ) � CD   SHK  � CD  SK �  45� � � SK ; HK   SKH  SCD  ;  ABCD    � � SHK vuông cân H � SH  HK  3a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ H �O , tia Ox chứa HK , tia Oy chứa HA , tia Oz chứa HS H 0; 0;  C  3a;  a ;  D  3a; a;0  S  0; 0;3a  Khi đó:uuur  ; ; uuu r uu;ur HC   3a;  a ;  SD   3a; a;  3a  SH   0;0;  3a  Ta có: , , uuur uuu r 2 �� HC ; SD � � �  3a ;9a ;6a  uuur uuur uuu r � 6a  3a  SH � HC ; SD � � � d  CH ; SD   uuur uuu r 14a 2 2 2 � � HC ; SD a  a  a       � �  Dạng Khoảng cách đường với mặt, mặt với mặt Ở dạng toán quy dạng toán  Cho đường thẳng  mặt phẳng   song song với Khi khoảng cách từ điểm bất   kì  đến mặt phẳng   gọi khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng   d  ,      d  M ,     , M � Trang 100 Cho hai mặt phẳng  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt   phẳng đến mặt phẳn gọi khoảng cách hai mặt phẳng     d     ,      d  M ,      d  N ,     , M �   , N �   Câu (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AB  3a, AD  DC  a Gọi I trung điểm AD , biết hai  SBI   SCI  vng góc với đáy mặt phẳng  SBC  tạo với đáy góc mặt phảng 600 Tính theo a khoảng cách từ trung điểm cạnh SD đến mặt phẳng  SBC  a 17 a a a 15 A B 19 C 15 D 20 Lời giải Chọn B Kẻ IK  BC  K �BC  �   SBC  ;  ABCD    S�KI  600 MD a  � MD  Gọi M  AD �BC Ta có MA IK MI   BA MB Ta có MIK đồng dạng với MBA nên suy � IK  a 3a �  3a   � � � �2 �  15 2a 3a  15 Gọi N trung điểm SD Trang 101 Ta có d  N ,  SBC    1 d  D,  SBC    d  I ,  SBC   Từ I kẻ IH  SK suy Câu IH  d  I ,  SBC    IK sin 600  a 15 a 15 � d  N ,  SBC    20 (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A  ABCD  , AD  2a, SD  a Tính khoảng cách D , SD vng góc với mặt đáy  SAB  đường thẳng CD mặt phẳng a 2a a A B a C D Lời giải �AB  AD � AB   SAD  Ta có: �AB  SD nên DH � SAD   nên AB  DH Kẻ DH  SA H Do �DH  SA � DH   SAB  � DH  AB � Ta có: DC / /  SAB  Do DC / / AB nên  SAB  DH Vậy khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng 1   1  2    2a  4a a 2 2  SAD DH SD AD D Xét vng có: 2a 2a � DH  Khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng  SAB   Câu Trang 102  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d đường thẳng SB mặt  ACM  phẳng 3a 2a a d d d 3 A B d  a C D Lời giải Chọn C TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi O tâm hình vng Ta có: MO / / SB � SB / /( ACM ) � d ( SB, ( ACM ))  d ( B , ( ACM ))  d ( D, ( ACM )) ( O trung điểm BD ) �MI / / SA � MI  ( ABCD ) �� d ( D, ( ACM ))  2d ( I , ( ACM )) � Gọi I trung điểm AD Trong ( ABCD) kẻ IK  AC K Trong ( MIK ) kẻ IH  MK H (1) Ta có: AC  MI , AC  IK � AC  ( MIK ) � AC  IH (2) Từ (1) & (2) � IH  ( ACM ) � d ( I , ( ACM ))  IH IH= Trong tam giác MIK ta có: IM.IK IM +IK SA OD BD a MI   a, IK    � IH  2 4 Biết Vậy: Câu d ( SB,( ACM ))  a a� a a2 a2  2a OH  2a (THPT Lương Đắc Bằng - Thanh Hóa - 2018) Cho hình chóp O ABC có đường cao Gọi M N trung điểm OA OB Khoảng cách đường thẳng MN  ABC  bằng: a a a a A B C D Lời giải Trang 103 Ta có: Mà Câu MN //  ABC  � d  MN ;  ABC    d  M ;  ABC   AM d  M ;  ABC   1 a   � d  M ;  ABC    d  O;  ABC    OH  AO d  O;  ABC   2 B C D cạnh (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp - 2018) Cho hình lập phương ABCD A���� a Gọi I , J trung điểm BC AD Tính khoảng cách d hai mặt phẳng  AIA�   CJC �  a 3a d  2a d d A B d  2a C D Lời giải // CC � �AA� �AI // CJ � �AA� � �AI  A �AA� , AI � AIA�  �  AIA�  //  CJC �  Ta có: � � d   AIA�  ,  CJC �    d  I ,  CJC �  Kẻ IK  CJ   � CC �  IK � CC � �CJ  C � � CC � , CJ � CJC �   2 Lại có � IK   CJC �  hay d  I ,  CJC �    IK Từ   ,   suy 1 �   2 IK �a � a 1   �� �2 � IC IJ Xét tam giác CJI vuông I : IK Trang 104 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 � IK  a a � IK  Trang 105 ... khoảng cách d hai mặt phẳng  AIA�   CJC �  a 3a d  2a d d A B d  2a C D Trang 19 Chuyên đề KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+ Dạng Khoảng. .. Khi khoảng cách từ điểm bất   kì  đến mặt phẳng   gọi khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng   d  ,      d  M ,     , M � Cho hai mặt phẳng  song song với nhau, khoảng cách. .. tốn 2: Tính khoảng cách từ đểm đến mặt phẳng Thường sử dụng công thức sau: d  M , mp  P    MO AO d  A, mp  P   Cơng thức tính tỉ lệ khoảng cách: Ở cơng thức cần tính khoảng cách từ điểm