SKKN GIẢI NHANH bài TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG CÁCH QUY về KHOẢNG CÁCH TRONG tứ DIỆN VUÔNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐƠNG SƠN1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI NHANH BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG CÁCH QUY VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG TỨ DIỆN VUÔNG Người thực hiện: NGUYỄN THỊ HỒNG HƯỜNG Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán THANH HỐ NĂM 2021 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình Tốn lớp 11 nay, phần hình học khơng gian làm cho phần lớn học sinh cảm thấy chán nản, khó hiểu tiếp xúc với mơn học địi hỏi nhiều kỹ tư trừu tượng cao Một khó khăn mà học sinh hay gặp phải khác hình phẳng hình học khơng gian Khi xét quan hệ vng góc tốn liên quan, hình học phẳng, hình vẽ mang tính trực quan, hai đường thẳng vng góc cắt Nhưng toán quan hệ vng góc khơng gian, học sinh phải dựa định nghĩa, định lí hình biểu diễn để tìm lời giải nên học sinh gặp nhiều khó khăn Một tốn quan trọng quan hệ vng góc khơng gian tốn khoảng cách, xuất hầu hết đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi đề thi THPT quốc gia năm gần Mặc dù vậy, lại phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú, có khả tổng hợp kiến thức quan hệ song song lẫn quan hệ vuông góc khơng gian, tốn định tính, định lượng hình học phẳng Đặc biệt, với cách làm trắc nghiệm nay, yêu cầu học sinh phải làm nhanh xác Xuất phát từ lí tơi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Giúphọc sinh lớp 11 giải nhanh số tốn tính khoảng cách cách quy tốn tính khoảng cách tứ diện vng ” Mục đích nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy, cảm thấy học sinh lúng túng với loại tốn tính khoảng cách, đặc biệt khoảng cách đường thẳng mặt phẳng, khoảng cách hai đường chéo Sau lên chương trình lớp 12, em bế tắc lối nên hay đưa toán phương pháp dựng tọa độ Cách làm nhiều thời gian tính tốn, chưa kể số em tính khơng cẩn thận dễ dẫn đến tính sai Với nhiều năm kinh nghiệm, rút số kinh nghiệm nhỏ việc hướng dẫn, giúp học sinh giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo Một thao tác quan trọng mà học sinh cần phải có dựng tam diện vng Vì vậy, viết này, tập trung vào việc giúp học sinh dựng tam diện vng, từ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu tốn tính khoảng cách tứ diện vng Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp điều tra giáo dục - Phương pháp quan sát sư phạm - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 1.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng [1]1 - Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) - Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) kí hiệu là: d(M; (P)) = MH 1.2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song [1]2 - Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm đường thẳng a đến mặt phẳng (P) - Kí hiệu khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với là: d(a;(P)) d(a,(P)) = d(M,(P)) ví i M ∈ a 1.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo [1]3 - Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a,b) = MN 1.4 Tứ diện vng AB, AC , AD ABCD Tứ diện có đơi vng góc gọi tứ diện vng A đỉnh 1.5 Một số nhận xét - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng MI ∩ (P) = { N} - Nếu d(M,(P)) MN = d(I,(P)) IN Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng dạy học hình học khơng gian lớp 11 nói chung khoảng cách nói riêng trường THPT thể số điểm sau: Thứ nhất: Đối với giáo viên, để giúp học sinh nắm vững lý thuyết vận dụng lý thuyết vào giải tốn khoảng cách thường cần nhiều thời gian công sức Trong năm gần đây, đề thi THPT Quốc Gia, toán khoảng cách xuất nội dung khó, có tính phân loại cao dạng hình thức thi trắc nghiệm vào nên nội dung khó, rộng, gây khó khăn cho học sinh Vì nên nhiều giáo viên cịn có tâm lý ngại dạy toán Thứ hai: Đối với học sinh, để làm tốt tốn khoảng cách địi hỏi em phải nắm kiến thức hình học phẳng chứng minh hai tam giác nhau, định lý Pi-ta-go, hệ thức lượng tam giác vuông, định lý cosin khả tư trừu tượng, quan sát hình biểu diễn, tổng hợp, phân tích định nghĩa, định lí hình học khơng gian Trong đó, học sinh chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm nên em ngại phải suy nghĩ hay đầu tư sâu tự luận Đối với hầu hết học sinh, chí số học sinh giỏi cịn có tâm lý chán nản học toán khoảng cách Thứ ba: Bài “Khoảng cách” sách giáo khoa lớp 11 chương trình phân phối bốn tiết, hai tiết lí thuyết hai tiết tập Với thời lượng vậy, giáo viên khó vừa giảng dạy lí thuyết vừa giúp học sinh vận dụng lí thuyết vào giải tập Các ví dụ tốn đưa sách giáo khoa mang tính tổng quan, giới thiệu chưa rõ ràng, chi tiết theo bước cụ thể nên học sinh khó tiếp thu, cảm thấy lúng túng, em hiểu cách giải khơng biết nên đâu áp dụng để giải toán khác Qua kiểm tra thường xuyên, kiểm tra định kì lớp 11A9 thấy học sinh thường không làm tập phần này.Vì điểm kiểm tra thường thấp so với phần học khác Cụ thể kết kiểm tra 15 phút lớp 11A9 trước chưa đưa phương pháp sau: Lớp 11A9: ( Tổng số HS :46) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 0 10,8 20 43,4 15 32,6 13,2 Các biện pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Bài toán (Bài trang 105 SGK hình học 11 NXB Giáo Dục ) Cho tứ diện OABC vng góc O OA, OB, OC có mặt phẳng đơi vng góc Gọi ( ABC ) H hình chiếu Chứng minh rằng: Chứng minh: Gọi K 1 1 = + + 2 OH OA OB OC hình chiếu vng góc BC , H O hình chiếu vng góc O AK Ta có OA ⊥ ( OBC ) ⇒ OA ⊥ BC , OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( OAK ) ⇒ BC ⊥ OH OH ⊥ AK ⇒ OH ⊥ ( ABC ) mặt khác d ( O, ( ABC ) ) = OH nên , mà 1 1 1 = + = + + 2 2 OH OA OK OA OB OC 3.2 Các ví dụ Bài 1:Cho hình hộp chữ nhật AB = a, AD = 2a, AA ' = 3a ABCD A ' B ' C ' D ' có ba kích thước Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BD ) Phân tích: ABDA ' A Dễ thấy tứ diện vng Bài giải Vì ABDA ' tứ diện vuông A nên 1 1 = + + d ( A, ( A ' BD ) ) AD AB AA '2 d ( A, ( A ' BD ) ) = a Bài 2: Cho hình chóp · BAD = 600 SO = 3a S ABCD Đường thẳng SO có đáy hình thoi tâm O cạnh vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) a có góc ( ABCD ) Phân tích: Bước 1: Xác định tứ diện vng phù hợp OBCS tứ diện vuông O Bước 2: Quy đổi khoảng cách từ điểm A qua điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) Bài giải Tam giác ABD nên BD = a ⇒ BO = Vì mà AO a a , AO = OC = 2 cắt mặt phẳng AC = 2OC ( SBC ) C nên d ( A, ( SBC ) ) = 2.d ( O, ( SBC ) ) mà nên OBCS tứ diện vuông O 1 1 = + + ⇒ d ( O, ( SBC ) ) OC OB OS 3 d ( O, ( SBC ) ) = a ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = a Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ,đáy ABCD hình thoi cạnh a ·ABD = 600 SA = 2a ( SBC ) A , , Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Phân tích: Bước 1: Dựng tứ diện vng phù hợp Ta có ASBC vng đỉnh tứ diện vuông A A , việc dựng tứ diện ba đỉnh lại thuộc mặt phẳng ( SBC ) nhiều học sinh tương đối khó khăn Tuy nhiên dựng tứ diện vng điểm cịn lại thuộc mặt phẳng SC ta có OHBC ( SBC ) tương đối dễ Cụ thể gọi tứ diện vuông Bước 2: Quy đổi khoảng cách từ điểm A O H O mà ba đỉnh trung điểm qua điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) Bài giải H Gọi trung điểm ⇒ OH ⊥ ( ABCD ) SH = a, BO = Ta có AO Vì mà a a , CO = 2 cắt mặt phẳng AC = 2OC SC ( SBC ) C nên d ( A, ( SBC ) ) = 2.d ( O, ( SBC ) ) mà nên OBCH tứ diện vuông O 1 1 = + + 2 d ( O, ( SBC ) ) OC OB OH 2 ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = Vậy 57 a 19 57 a 19 Bài 4: Cho hình chóp tứ giác Tính khoảng cách AD SC S ABCD cạnh đáy cạnh bên a Phân tích: Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa SC song song với AD ,ta chọn mặt phẳng ( SBC ) ⇒ d ( AD, SC ) = d ( A, ( SBC ) ) Bước 2: Xác định tứ diện vuông phù hợp OBCS tứ diện vuông O Bước 3: Quy đổi khoảng cách từ điểm A qua điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) Bài giải O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Gọi SO = BO = OC = dàng tính Dễ a 2 AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, SC ) = d ( A, ( SBC ) ) Vì AO cắt mặt phẳng AC = 2OC ( SBC ) C mà nên d ( A, ( SBC ) ) = 2.d ( O, ( SBC ) ) mà OBCS tứ diện vuông O nên 1 1 = + + 2 d ( O, ( SBC ) ) OC OB OS 2 ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = 6 a ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = a Bài 5: Cho hình lập phương cách BC ' CD ' d ( AD, SC ) = hay ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a a Tính khoảng Phân tích: Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa BC ' song song với CD ' Ta chọn mặt ( BA ' C ') ⇒ d ( CD ', BC ' ) = d ( D ', ( A ' BC ' ) ) 10 Bước 2: Xác định tứ diện vuông phù hợp B ' A ' BC ' tứ diện vuông B' Bước 3: Quy đổi khoảng cách từ điểm D' qua điểm B' đến mặt phẳng ( A ' BC ') Bài giải Ta có CD '/ / ( BA ' C ' ) nên d ( CD ', BC ' ) = d ( D ', ( A ' BC ' ) ) Vì ( A ' BC ') ∩ BD ' = O nên mà DO ' = OC ' d ( D ', ( A ' BC ' ) ) = d ( B ', ( A ' BC ' ) ) B ' BC ' A ' tứ diện vuông B' 1 1 = + + 2 d ( B ', ( A ' BC ') ) B ' C ' B ' B B ' A '2 nên ⇒ d ( B ', ( A ' BC ') ) = a Bài :Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ,đáy ABCD hình vng a SA = a SC BD cạnh , Tính khoảng cách Phân tích: Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa ( ⇒ d ( SC , BD ) = d C , ( MBD ) BD song song với CS , ta chọn mặt ( BMD ) ) Bước 2: Xác định tứ diện vuông phù hợp AMBD A Ta có tam diện vng 11 Bước 3: Qui đổi khoảng cách từ điểm C qua điểm A đến mặt phẳng ( BDM ) Bài giải Gọi O = AC ∩ DB SA , , M trung điểm SC / / ( MBD ) ⇒ d ( SC , BD ) = d ( C , ( MBD ) ) = d ( A, ( MBD ) ) mà ABDM tứ diện vuông A nên 1 1 = + + d ( A, ( MBD ) ) AM AB AD ⇒ d ( A, ( MBD ) ) = a Bài 7:Cho hình lập phương cách BD ' CB ' ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Tính khoảng Phân tích: Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa ( B ' MC ) B 'C ( ⇒ d ( BD ', B ' C ) = d D ', ( MB ' C ) song song với BD ' ,ta chọn mặt ) Bước 2: Xác định tứ diện vuông phù hợp Ta có C ' CB ' M làtứ diện vuông C' Bước 3: Quy đổi khoảng cách từ điểm ( B ' CM ) D' qua điểm C' đến mặt phẳng Bài giải 12 Gọi O = B ' C ∩ BC ' M , trung điểm C 'D' D ' B / / ( MB ' C ) , ⇒ d ( BD ', B ' C ) = d ( D ', ( MB ' C ) ) = d ( C ', ( MB ' C ) ) diện vuông , mà C' C ' CMB ' tứ nên 1 1 = + + 2 d ( C ', ( CMB ') ) C ' M C ' C C ' B '2 ⇒ d ( C ', ( CMB ') ) = a 3.3 Bài tập áp dụng Bài 1:Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' ,cạnh bên AA ' = a ABC Tam giác ( A ' BC ) A BC = 2a A tam giác vng cân , Tính khoảng cách từ đến d ( B ', ( A ' BD ) ) = Đáp số: a 2 Bài 2: (A, A1-2014): Cho hình chóp cạnh a SD = , điểm cạnh Đáp số: 3a S ABCD , hình chiếu vng góc AB Tính theo 2a d ( A, ( SBD ) ) = a S khoảng cách từ có đáy ABCD lên mặt phẳng ( A hình vng ABCD đến mặt phẳng ) trung ( SBD ) 13 Bài 3:Cho hình chóp tứ giác đường thẳng AB d ( AB, ( SCD ) ) = Đáp số: ( SCD ) S ABCD có AB = SA = 2a Tính khoảng cách 2a Bài 4: (A-2011): Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân ( SAB ) ( SAC ) B AB = BC = 2a , ; hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng với 600 ( ABC ) BC , cắt Gọi AC M trung điểm N AB Biết góc hai mặt phẳng Tính khoảng cách hai đường thẳng d ( AB, SN ) = Đấp số: SM ; mặt phẳng qua AB SN ( SBC ) theo a và song song ( ABC ) a 39 13 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Với cách làm tơi vừa trình bày trên, giáo viên cần phân tích hướng giải gợi mở vấn đề cho học sinh, học sinh chủ động phát điểm mấu chốt toán để đưa tốn phức tạp toán đơn giản Sau dạy xong chủ đề: “Giúphọc sinh lớp 11 giải nhanh số tốn tính khoảng cách cách quy tốn tính khoảng cách tứ diện vng ” ,tơi cho học sinh làm kiểm tra 15 phút sau: Đề bài: Bài 1(3đ):Cho hình hộp chữ nhật AB = a, AD = 2a, AA ' = 3a ABCD A ' B ' C ' D ' Tính khoảng cách từ C có ba kích thước đến mặt phẳng ( A ' BD ) 14 Bài 2(4đ): Cho hình lập phương khoảng cách A 'C ' CD ' có cạnh a Tính S ABCD Bài 3(3đ):Cho hình chóp ABCD A ' B ' C ' D ' có SA ⊥ ( ABCD ) ABCD ,đáy hình vng ( SBD ) C a SA = a cạnh , Tính khoảng cách từ đến Kết kiểm tra thể cụ thể sau: Lớp 11A9: ( Tổng số học sinh :46) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 17,3 20 43,4 12 26,1 10,8 2,4 Qua bảng trên, thấy kết học tập lớp 11A9 sau học xong chủ đề có thay đổi rõ rệt Khi chưa áp dụng phương pháp mà tơi trình bày trên, có học sinh đạt điểm khá, phần đa cịn lại trung bình yếu Sau áp dụng phương pháp này, có tới học sinh đạt điểm giỏi, 20 học sinh đạt điểm khá, số lượng học sinh đạt điểm khá, giỏi, trung bình tăng lên, số lượng học sinh đạt điểm yếu, giảm xuống Đã có tới 60,7% học sinh đạt điểm khá, giỏi chứng tỏ em tiếp thu vận dụng tốt phương pháp này, giúp em rút ngắn thời gian tính tốn độ xác cao Trong q trình truyền đạt, tơi cảm thấy em hào hứng say mê hơn, khơng cịn cảm thấy sợ hải hay chán nản dẫn đến bỏ lần trước Giờ đây, làm đề tổng hợp, với loại tập khoảng cách em đón nhận dành khoảng thời gian hợp lý để đầu tư tìm hướng giải không khoanh tù mù trước Như vây, thành công bước đầu quan trọng cách làm cải thiện chất lượng học tập học sinh tạo hứng thú, say mê học sinh học phần kiến thức III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Bài tập tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo chương trình hình học 11 nói chung 15 đa dạng, phong phú phức tạp Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thân có hiệu vào đối tượng học sinh, giúp học sinh tính tốn nhanh trắc nghiệm yêu cầu người dạy người học phải không ngừng học hỏi tìm kiếm tri thức Riêng em học sinh phải cố gắng, chăm rèn luyện phát triển tư suy luận logic, phân tích vấn đề khái qt hố vấn đề, từ giải vấn đề cách khoa học, nhanh gọn bắt kịp với xu hướng học Trong khn khổ viết mình, tơi xin mạnh dạn đưa số tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo cách áp dụng tam diện vng giúp học sinh đưa toán cho toán Từ đó, giúp em giải tốn cách dễ dàng nhanh làm trắc nghịêm Kiến thức khoa học nói chung kiến thức tốn học nói riêng phong phú đa dạng Do đó, viết khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý đồng nghiệp độc giả để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Kiến nghị Đối với giáo viên :Trong học, cần thường xuyên kiểm tra học sinh định nghĩa, định lí, tính chất trọng tâm chương II chương III sách giáo khoa hình học 11 Trong học sinh làm tập, giáo viên cần quan sát đến chỗ ngồi em, đọc nháp em để định hướng, giúp đỡ, tháo gỡ khó khăn chỉnh sửa sai lầm làm Chuyên đề nên giảng dạy tiết tự chọn Đối với nhà trường: Trong buổi họp tổ chuyên mơn, giáo viên tổ chọn chủ đề mà giáo viên cịn gặp khó khăn giảng dạy học sinh cịn lúng túng, chưa biết cách để làm tập để trao đổi kinh nghiệm giảng dạy hệ thống tập hay lớp buổi họp XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày tháng 03 năm 2021 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Ký ghi rõ họ tên 16 Nguyễn Thị Hồng Hường TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]Sách giáo khoahình học 11 bản- Nhà xuất giáo dục [2] Sách tập hình học 11cơ bản- Nhà xuất giáo dục [3] Sách giải tốn hình học 11 Nhà xuất Hà Nội Lê Hồng Đức-Nhóm Cự Mơn [4] Phương pháp giải tốn hình khơng gian 11 NXB Đà Nẵng Nguyễn Văn Dự - Trần Quang Nghĩa - Nguyễn Anh Trường [5] Tổng hợp đề thi đại học mơn tốn từ năm 2010 đặc biệt tập trắc nghiệm theo hướng đổi thi Nguồn internet - Nguồn: Tailieu: text.123doc.org - Nguồn: http://tailieu.vn 17 18 MỤC LỤC Contents 19 ... số tốn tính khoảng cách cách quy tốn tính khoảng cách tứ diện vng ” Mục đích nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy, cảm thấy học sinh lúng túng với loại toán tính khoảng cách, đặc biệt khoảng cách đường... với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) a có góc ( ABCD ) Phân tích: Bước 1: Xác định tứ diện vuông phù hợp OBCS tứ diện vuông O Bước 2: Quy đổi khoảng cách từ điểm A qua... Xác định tứ diện vuông phù hợp OBCS tứ diện vuông O Bước 3: Quy đổi khoảng cách từ điểm A qua điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) Bài giải O = AC ∩ BD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Gọi SO = BO = OC = dàng tính Dễ