(SKKN 2022) các phương pháp giải nhanh bài toán tính khoảng cách, thể tích có liên quan đến yếu tố góc trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH, THỂ TÍCH CĨ LIÊN QUAN ĐẾN YẾU TỐ GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực hiện: Phạm Thị Nga Chức vụ: Tổ phó chun mơn SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2022 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài…… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu ……… 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN … …………… 2.3 Giải pháp .………………… 2.3.1 Hướng dẫn học sinh phân tích định nghĩa cách dựng hình để tìm cơng thức giải nhanh cho tốn theo dạng cụ thể 2.3.2 Phân loại dạng tốn hướng dẫn học sinh vận dụng cơng thức giải nhanh để giải toán từ dễ đến khó 2.3.2.1 Bài tốn khoảng cách, thể tích góc hai đường thẳng 2.3.2.2 Bài tốn tính khoảng cách, thể tích liên quan đến góc đường thẳng với mặt phẳng góc hai mặt phẳng 2.4 Hiệu …………………………… 18 2.4.1 Hiệu phương pháp công thức giải nhanh … 18 2.4.2 Thực nghiệm hiệu sáng kiến kinh nghiệm … 19 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 luận 3.2 Đề xuất kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm PHỤ LỤC Kết 20 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đề thi thử THPTQG, thi KSCL mơn Tốn 12 trường THPT, Sở GD&ĐT toàn quốc từ năm 2017- 2021 [2] Đề minh họa, đề thức THPTQG Bộ GD&ĐT từ năm 2017- 2020 đề thi học sinh giỏi tỉnh Sở giáo dục đào tạo tỉnh [3] Sách giáo khoa hình học 11, 12 Bộ Giáo dục Đào tạo - Nhóm tác giả: Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) –Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) - Khu Quốc Anh - Nguyễn Hà Thanh- Phạm Văn Viện - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [4] Bài tập hình học 12 – Tác giả: Văn Như Cương (Tổng chủ biên) – Phạm Khắc Ban – Lê Huy Hùng Tạ Mân – Nhà xuất Giáo dục Việt Nam năm 2006 [5] Website: toanmath.com [6] Tài liệu dạy thêm tập thể thầy giáo viên nhóm tốn trang facebook Strong Team toán VD-VDC tham gia biên soạn DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Thị Nga Chức vụ: Tổ phó chun mơn Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Lộc, huyện Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Nhìn nhận toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Sở GD ĐT Thanh Hóa Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C Năm học đánh giá xếp loại 2011 số Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ Một số sai lầm thường gặp áp dụng bất đẳng thức Cauchy Hướng dẫn học sinh giải tốn hình học tọa độ phẳng Oxy nhiều cách Sử dụng phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải tốn Sở GD ĐT Thanh Hóa Sở GD ĐT Thanh Hóa Sở GD ĐT Thanh Hóa C C C 2013 2014 2015 Sở GD ĐT Thanh Hóa C 2017 Sở GD ĐT Thanh Hóa C 2020 Sở GD ĐT Thanh Hóa C 2021 tính khoảng cách thể tích hình học không gian Phát triển tư cho học sinh thông qua việc xây dựng phương pháp giải tốn đếm chương trình THPT Giải pháp để giải nhanh tốn ngun hàm tích phân hàm ẩn chương trình THPT PHỤ LỤC Bài tập tương tự 3.2.1 Bài toán khoảng cách, thể tích góc hai đường thẳng x3 Hai cạnh đối MN  PQ  x MN , PQ tạo với góc 30 Tính khoảng cách hai đường thẳng MN , PQ Bài 1: Cho tứ diện MNPQ tích A d  MN , PQ   x B d  MN , PQ   3x d  MN , PQ   x C D d  MN , PQ   x Đáp án B 2.3.2.2 Bài tốn tính khoảng cách, thể tích liên quan đến góc đường thẳng với mặt phẳng góc hai mặt phẳng Dạng 1: Đề cho giả thiết mặt bên, cạnh bên hình Mức nhận biết thơng hiểu Bài 1: Một khối lăng trụ có đáy tam giác cạnh mặt đáy A a, cạnh bên C 3a 2b b, góc cạnh bên 600 Tính thể tích khối lăng trụ a 2b B a 2b D a 2b Đáp án C Bài 2: Một khối lăng trụ tứ giác có đáy hình thoi cạnh a, góc nhọn cạnh bên 450 , lăng trụ có 2a Góc góc cạnh bên mặt đáy 450 Tính thể tích khối A a3 B a3 C a3 D 2a Chọn đáp án: B Bài 3: Cho khối hộp chéo ABCD A ' B ' C ' D ' , ABCD a, 2a ; cạnh bên AA '  2a A 2a 3 tạo với mặt phẳng đáy góc B a3 C Dạng 2: Đề cho giả thiết mặt đáy, cạnh đáy hình Mức nhận biết thơng hiểu 300 Tính thể tích khối hộp a3 Chọn đáp án: B hình thoi có hai đường D 2a Bài 1: Xét khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp a3 A a3 B a3 C a3 D Đáp án A o · ABCD ABC D có đáy hình thoi cạnh a, BAD  120 o Gọi G trọng tâm tam giác ABD , góc tạo C G mặt đáy 30 Tính theo a thể tích khối hộp ABCD ABC D Bài 2: Cho hình hộp đứng A a3 B a3 C a3 12 D a3 Đáp án B Mức nhận vận dụng, vận dụng cao Bài 1: Cho hình chóp phẳng  SBC  khối chóp cách S ABC S ABC A khoảng a có đáy ABC SA   ABC  tam giác đều, hợp với mặt phẳng  ABC  góc Mặt 300 Thể tích 8a A 8a B 4a D 3a C 12 Đáp án A Bài 2: Cho hình chóp cạnh bên SC sin   A tạo với SABCD  ABCD  có đáy hình chữ nhật, góc Thể tích khối chóp SABCD 3a 3a B 60 tạo với AB  a , SA   ABCD  ,  SAB   góc thỏa mãn C 2a D 2a 3 Đáp án C S ABCD có đáy hình chữ nhật có AB  2a, AD  a Hình ( ABCD) trung điểm H AB; SC tạo với đáy góc 450 Tính Bài 3: Cho hình chóp chiếu S lên mặt phẳng khoảng cách từ A A đến mặt phẳng a ( SCD ) B a C a D a Đáp án C Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có mặt đáy ABC tam giác đều, độ dài cạnh  ABC  A H AB  2a Hình chiếu vng góc lên mặt phẳng AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 60 , tính theo a  ACCA phẳng h A 2a 21 h B a 39 13 h C trùng với trung điểm khoảng cách 2a 15 h cạnh từ điểm h D B đến mặt a 15 Đáp án D S ABCD Bài 5: Cho hình chóp có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu  ABCD  điểm H thuộc cạnh AB cho HB  HA  ABCD  góc 60 Tính khoảng cách từ trung điểm K Cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy HC đến mặt phẳng  SCD  vng góc S lên mặt phẳng a 13 A a 13 B C a 13 D a 13 Đáp án B Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có AB  3, BC  3 , góc · · BAD  BCD  90 , SA  SA vng góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD 66 , tính cotang góc mặt phẳng  SBD  mặt đáy 20 273 A 819 B 91 273 C 20 91 D Đáp án A S ABCD có đáy hình chữ nhật; AB  a; AD  2a Tam giác S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Góc đường thẳng SC mp Bài 7: Cho hình chóp SAB cân  ABCD  45 Gọi M  SAC  đến d A a 1513 89 trung điểm SD Tính theo a d B khoảng cách 2a 1315 89 d từ điểm M d C a 1315 89 d D 2a 1513 89 Đáp án A Bài 8: Cho tứ diện Biết góc hai mặt phẳng  P ABCD cạnh a Mặt phẳng  P   BCD  hai tứ diện ABCE BCDE A Đáp án C có số đo  thỏa mãn V1 ,V2 Tính tỉ số B chứa V1 V2 BC cắt cạnh AD E tan   Gọi thể tích C D DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GD&ĐT Giáo dục đào tạo HHKG Hình học khơng gian KSCL Khảo sát chất lượng SGK Sách giáo khoa SKKN Sáng kiến kinh nghiệm THPT Trung học phổ thông THPTQG Trung học phổ thông quốc gia TNKQ Trắc nghiệm khách quan VD-VDC Vận dụng- vận dụng cao   ·  BIH  ·  ;    Theo thức lượng tam giác vng BHI ta có: BH d  B;     BH d  B;     sin    , tan    BI BI HI HI Tóm lại để phục vụ cho mục đích tính nhanh tốn thể tích, khoảng cách liên quan đến góc gữa hai mặt phẳng    ,    ta có cơng thức (4) (5) sau: B     ,          ,   ·   ,     Với , I hình chiếu vng góc B lên đường thẳng  , ta có cơng thức (4) d  B;     sin    d  B;      IB.sin  IB Khi H hình chiếu vng góc B lên    I hình chiếu vng góc H lên đường thẳng  , ta có cơng thức (5) d  B;     tan    d  B;      HI tan  HI 3.2 Phân loại dạng toán hướng dẫn học sinh vận dụng công thức giải nhanh để giải tốn từ dễ đến khó Để học sinh vận dụng cách thành thục, linh hoạt hiệu cơng thức vào tốn khoảng cách, thể tích có liên quan đến góc, tơi phân loại biên tập hệ thống ví dụ mẫu tập tương tự phân tích hướng dẫn chi tiết giúp em hình thành phương pháp tư suy luận đồng thời giúp em phát nhanh lời giải kỹ tính tốn xác kết tốn 3.2.1 Bài tốn khoảng cách, thể tích góc hai đường thẳng Phương pháp giải: Đưa tốn góc, khoảng cách hai cạnh đối diện tứ diện dùng công thức (1) Với trắc nghiệm dễ khơng cần thiết vẽ hình mà áp dụng ln cơng thức Với tốn tự luận, học sinh chứng minh lại công thức để sử dụng cách dễ dàng VABCD  d  AB; CD  AB.CD.sin ·AB; CD (1) Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AB  2, CD  3, góc AB CD 30o , thể tích khối tứ diện ABCD Tính khoảng cách AB CD [1] Phân tích: Đây tốn tính khoảng cách biết góc hai cạnh đối diện thể tích tứ diện ABCD nên ta dùng cơng thức giải nhanh để giải tốn mà khơng cần hình vẽ Lời giải VABCD  d  AB; CD  AB.CD.sin ·AB; CD Ta có:     d  AB; CD   6VABCD 12  4 o · 2.3.sin 30 AB.CD.sin AB; CD   Nên Bài tập tương tự: Phụ lục 2.3.2.2 Bài tốn tính khoảng cách, thể tích liên quan đến góc đường thẳng với mặt phẳng góc hai mặt phẳng Các đề tốn hình học tính khoảng cách, thể tích góc thường có giả thiết hình chóp hình lăng trụ kèm theo kiện mặt đáy, số đo cạnh đáy mặt bên, số đo cạnh bên chóp lăng trụ Tuỳ vào tốn cụ thể để ta vận dụng cơng thức tính nhanh nói cho phù hợp Tơi tạm phân chia thành hai loại sau cho học sinh dễ nhận dạng tìm lời giải Dạng 1: Đề cho giả thiết cạnh bên, mặt bên hình Phương pháp giải: Với nhiều tốn trắc nghiệm dễ khơng cần thiết phải vẽ hình vận dụng công thức giải nhanh (2) (4)   ·d ,     Với O  d     , A  d , A khơng trùng với O , thì: d  A;     sin    d  A;      AO.sin  AO (2) B     ,          ,  ·   ,     I Với , hình chiếu vng góc B lên đường thẳng  , ta có cơng thức (4) d  B;     sin    d  B;      IB.sin  IB Mức thơng hiểu Ví dụ 2: Xét khối chóp S ABC , đáy ABC tam giác vng cân có AB  AC , cạnh bên SA  3a tao với mặt phẳng đáy góc 30 Biết thể tích khối chóp a Tính độ dài cạnh AB [1] Phân tích: Bài tốn cho biết cạnh bên và góc cạnh bên với mặt đáy nên áp dụng cơng thức (2) ta tính ln chiều cao khối chóp Lời giải d  S ;  ABC    SA.sin 30, S ABC  AB Cách 1: Ta có VS ABC  a nên 1 1 d  S ;  ABC   S ABC  a  SA.sin 30 AB  a3  3a AB  a3  AB  2a 3 Cách 2: Dựng hình đầy đủ Kẻ SH   ABC  ·  ·SA;  ABC    ·SA; AH   SAH  30o Xét SHA vng H ta có: SH  SA.sin 30 Khi theo giả thiết: 1 VS ABC  a  SH S ABC  a3  SA.sin 30 AB  a 3 1  3a AB  a  AB  2a Ví dụ 3: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 6cm,8cm,10cm, cạnh bên 14 cm , góc cạnh bên mặt đáy 300 Tính thể tích khối đó? [1] Phân tích: Bài tốn cho biết cạnh bên và góc cạnh bên với mặt đáy nên áp dụng ln cơng thức (2) ta tính ln chiều cao lăng trụ Lời giải Cách 1: Vận dụng công thức giải nhanh Xét lăng trụ A’B’C’ ABC có c  AB  6cm, b=AC  8cm, a=BC  10cm S  p  p  a   p  b   p  c   24 Theo cơng thức Hêrơng có diện tích ABC d  A ';  ABC    AA '.sin 30  14.0,5  7cm V  d  A ';  ABC   SABC  7.24  168cm3 nên Cách 2: Vẽ hình minh hoạ +) Xét lăng trụ A’B’C’ ABC có AB  6cm, AC  8cm, BC  10cm  BC  AC  AB nên ABC tam giác vng A có diện tích 1 SABC  AB AC  6.8  24 2 H +) Gọi hình chiếu A’  ABC  Xét tam giác A’ AH vng H có AA’  14cm , góc ·A’ AH  30o góc tạo cạnh bên AA’ mặt phẳng  ABC   A’H  AA’.sin30o  14.0,5  7cm +) Thể tích lăng trụ V  A’H SABC  7.24  168cm3 Đặc biệt: Với phương pháp giải toán hướng dẫn cho học sinh tự xây dựng công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều, tam giác nhằm phát triển tư khái quát hoá, tổng quát hoá đồng thời phục vụ cho trình thi trắc nghiệm tiết kiệm thời gian 10 Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có cạnh bên b mặt bên V  b3 sin  cos  tạo với mặt đáy góc  thể tích khối chóp Phân tích: Bài tốn cho khối chóp tứ giác biết cạnh bên góc cạnh bên với mặt đáy nên áp dụng công thức (2) ta tìm chiều cao, sau sử dụng hệ thức lượng tam giác để tính diện tích đáy Lời giải VS ABCD  d  S ;  ABCD   S ABCD Ta có: 1  SC.sin  SC ;  ABCD   AC.BD 2 2  a.sin   2OC   a.sin .a cos   a sin  cos  3 Áp dụng: Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh bên a , góc cạnh bên mặt đáy 60 [2] a3 A Lời giải a3 B 12 a3 C 12 a3 D 2 3   a3 VS ABCD  a sin  cos   a    3 2 12   Theo ví dụ ta có: Từ ta chứng minh cơng thức tính thể tích hình chóp tam giác S ABC , có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt đáy góc  3b3 sin  cos  VS ABC  Bài tập tương tự: Phụ lục Mức nhận vận dụng, vận dụng cao Đối với tốn mức vận dụng vận dụng cao, cơng thức nói có vai trị định hướng để suy luận tìm lời giải, đồng thời đem đến hướng giải tổng quát cho các tốn Tuy nhiên tốn mức khó nên đòi hỏi cao kiến thức tổng hợp học sinh; để giải thành công yêu cầu học sinh phải thục kiến thức kỹ khoảng cách, thể tích, góc nêu sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải tốn tính khoảng cách thể tích hình học không gian” Đặc biệt cần làm tốt khâu dựng hình để tìm lời giải nhanh hay 11 Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB  AD  a 2, BC  BD  a, CA  CD  x a3 Biết thể tích khối tứ diện 12 , khoảng cách từ B đến mặt phẳng a  ACD  Tính góc mặt phẳng  ACD   BCD  [1] Phân tích: Do đề cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng  ACD  a nên ta tìm hình chiếu M B lên giao tuyến CD   ACD    BCD  , tính BM dùng cơng thức (4) tính góc hai mặt phẳng  ACD   BCD  Để tính BM ta sử dụng giả thiết thể tích tứ diện ABCD độ dài cạnh tứ diện mà đề cho Lời giải Gọi M N trung điểm CD, AD Do ACD cân nên a3 a3 a2  d  B;  ACD   S ACD  VABCD   S ACD  12 CN  AD Ta có: 12 a2 a2 a2  x  a   CN AD  2 2 a2 a a2 a2  x2    x2   xa 2 2 Khi tam giác BCD nên a BM  Theo công thức (4) ta có: d  B;  ACD   sin ·BCD  ;  ACD     ·BCD  ;  ACD   90o BM Chú ý : Sau chứng minh x  a , không dùng công thức (4) ta làm cách khác sau: 2 2 2 2 2 Xét ADC có AC  CD  a  a  2a , AD  2a  AC  CD  AD  CA  CD Tương tự ta có CA  CB Suy CA  (CBD) Mà CA  (CAD )    BCD  ;  ACD    90 nên  Chú ý : Qua ví dụ ta thấy xét chóp A.BCD đỉnh A đáy  BCD  giả thiết BM giả thiết đáy Nhưng xét chóp B ACD đỉnh B đáy  ACD  giả thiết BM giả thiết mặt bên Vì đề cho khoảng cách a từ B đến mặt phẳng  ACD  nên ta dùng cơng thức (4) xếp vào 12 dạng tốn cho giả thiết mặt bên cạnh bên Do để giúp học sinh nhanh chóng nhận dạng tốn xác định công thức cần dùng yêu cầu em ghi nhớ điều sau Ghi nhớ 1: Khái niệm cạnh bên hay cạnh đáy mang tính tương đối cạnh cạnh bên hình chóp, hình lăng trụ lại cạnh đáy hình khác, điều quan trọng để nhận diện dạng tốn cơng thức sử dụng phải vào mối quan hệ đối tượng khoảng cách, tích góc mà đề cho Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD ABCD có đáy hình thoi cạnh a , góc ·ADC  120 , mặt bên DCC D hình chữ nhật tạo với đáy góc 60 Gọi M , N , P, K trung điểm AB, AD, CC , BB Cho biết AA  2a , tính thể tích khối đa diện MNPKA [2] Phân tích: Đề cho độ dài cạnh bên, góc mặt bên ( DD ' C ' C ) mặt đáy ( ABCD) hộp 60 nên ta có áp dụng cơng thức (4) để dựng tính khoảng cách hai đáy  A ' B ' C ' D '  ABCD  thể tích khối hộp ABCD ABCD Sau dùng tốn tỷ số thể tích để tính thể tích khối đa diện MNPKA Nhận thấy khối đa diện M NPKA khối chóp tứ giác có chung đáy với khối chóp khối đa diện B '.NPKA nên tỷ số thể tích tỷ số chiều cao Do cần tính thể tích khối P.NPKA cách tách thành hai khối A '.B ' KP P A ' B ' N hai khối chóp có hai đáy nằm mặt phẳng với mặt bên mặt đáy hình hộp ABCD ABC D nên có tỷ số thể tích tỷ số chiều cao tỷ số diện tích Lời giải Từ giả thiết tốn ta có ABBA hình chữ nhật, góc mặt phẳng  ABBA  đáy 60 Gọi Q trung điểm AB Gọi I , J giao điểm AK với MQ MB  AB  QM ( ABBA hình chữ nhật) Theo cơng thức (4) ta có đường cao hộp h  d  Q;  ABCD    QM sin   AA ' B ' B  ;  ABCD    2a.sin 60o  a 3 V  S ABCD h  a a  a3 2 Do thể tích hình hộp ABCD ABC D 1 S BKP S ABN PC  1 1 1 VB AKPN VA.BKP VP ABN  3      1   S BCCB S ABCD CC  4 V V V 13 MI đường trung bình hình thang ABKA nên AA  BK 3a MI   2 VM AKPN d  M ;  A ' KPN   JM MI      2 VB AKPN d  B ';  A ' KPN   JB BK Do V 3a3 9a VM AKPN        16 32 Từ ta có Chú ý : Nếu khơng dùng cơng thức (4) ta dựng hình đầy đủ để tính đường cao hộp sau Ta có AB  DM (do ADB tam giác M trung điểm AB ) ·  ABCD  ,  ABBA     DM , QM  , nên QMD  60 Từ suy  · QMD  120 Theo chứng minh ta có AB   DMQ  , gọi H hình chiếu Q QH  DM  QH   ABCD   QH  AB lên DM ta có  Khi đó, chiều cao hình hộp · ; QM  QM  a h  QH  d  Q; DM   QM sin DM Đến ta thấy rõ tính thấy ưu việt công thức giải nhanh cho ta định hướng để tìm lời giải, đồng thời cho kết nhanh xác tiết kiệm nhiều thời gian Mặt khác sau học sinh giải xong tốn tơi giúp em tự đúc rút kinh nghiệm để giải toán tỷ số thể tích sau: Ghi nhớ 2: Để giải tốt nhanh toán tính tỷ số thể tích, cần tận dụng triệt để tốn tỷ số chóp tam giác bị cắt mặt phẳng tỷ số khối chóp, khối lăng trụ có chung chiều cao; chung đáy hai đáy nằm mặt phẳng Dạng 2: Đề cho giả thiết mặt đáy, cạnh đáy hình Phương pháp giải: Với nhiều tốn trắc nghiệm dễ khơng cần thiết phải vẽ hình vận dụng công thức giải nhanh: Với A  d , d      O, H hình chiếu vng góc điểm A lên      d  A;     tan d· ;      d  A;      HO.tan d· ;    HO ta có cơng thức (3): Với B     ,          , I ; H hình chiếu vng góc     B lên đường thẳng  mặt phẳng    , ta có cơng thức (5) 14 tan ·   ,      d  B;     HI  d  B;      HI tan ·   ,     Mức thơng hiểu Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC tam giác vuông cân A, AB  a, SA  SB  SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABC ) 60o Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ( ABC ) [1] Phân tích: Khối chóp tam giác có cạnh bên nên hình chiếu chúng xuống mặt đáy hình chiếu S lên đáy trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp đáy Đề cho biết cạnh đáy, ta tính OA vận dụng cơng thức (3) ta tính d ( S ;( ABC )) Lời giải Cách 1: Vận dụng công thức (3) Gọi O hình chiếu S lên đáy  ABC  , SA  SB  SC  OA  OB  OC , mà ABC vuông cân A nên O trung điểm thức BC  AO  a BC  2 Theo cơng (3) ta có: a d ( S ;( ABC ))  AO.tan ·SA,  ABC    OA tan 60o  BC  2 Cách 1: Dựng hình đầy đủ Do ABC vuông A nên gọi O trung điểm BC O tâm đường trịn ngoại tiếp Mà SA  SB  SC  S nằm trục đường tròn ngoại tiếp ABC  SO  ( ABC )  d ( S ;( ABC ))  SO  SO  ( ABC )  SO  AO   SAO · · o o ( SA,( ABC ))  60 ( SA, AO )  60 vuông O a a  SO  OA tan 60o  BC  d ( S ;( ABC ))  2 Vậy Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có cạnh đáy a a tan  VS ABC   mặt bên tạo với mặt đáy góc chứng minh rằng: 15 Phân tích: Khối chóp tứ giác có chân đường cao trùng tâm O đáy Đề cho biết cạnh đáy, mặt bên SDC tam giác cân nên hình chiếu S lên DC trung điểm I DC theo công thức (5) ta tính chiều cao, thể tích chóp Lời giải Gọi O, I tâm đáy chóp tứ giác S ABCD trung điểm CD  SO   ABCD  , SI  CD, OI  a theo công a d  S ;  ABCD    OI tan ·  SCD  ,  ABCD    tan  thức (5) ta có: 1 a a tan  VS ABCD  d  S ;  ABCD   S ABCD  a tan   3 Vậy Áp dụng: Tính thể tích khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , góc mặt bên mặt đáy 45 [2] a3 a3 a3 A B C D a a tan  a VS ABCD   6 Chọn đáp án A Lời giải :Theo ví dụ ta có: Đặc biệt: Áp dụng phương pháp ta có kết sau Cho hình chóp tam giác S ABC , có cạnh đáy a cạnh bên a tan  VS ABC  12 tạo với mặt đáy góc  thì: Cho hình chóp tam giác S ABC , có cạnh đáy a mặt bên tạo a tan  VS ABC  24 với mặt đáy góc  thì: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , có cạnh đáy a cạnh bên a tan  VS ABC   tạo với mặt đáy góc thì: Bài tập tương tự: Phụ lục Mức nhận vận dụng, vận dụng cao Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A & B Hình chiếu vng góc S đáy trùng với trung điểm AB Biết AB  a, BC  2a, BD  a 10 Góc hai mặt ( SBD) & ( ABCD ) 600 Tính d khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) [2] Phân tích: Đề cho độ dài cạnh đáy hình chiếu vng góc đỉnh 16 S đáy trùng với trung điểm H AB, góc hai mặt ( SBD ) & ( ABCD ) 60 nên ta có áp dụng cơng thức (4) để dựng tính khoảng cách từ H đến  ABCD  Sau dùng kỹ thuật chuyển khoảng cách để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) thành tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD) Lời giải Gọi H trung điểm AB; K , I hình chiếu A H BD; G & J hình chiếu A & H lên CD; E giao điểm AB & CD Ta có 1 1 3a 3a      HI  2  AK  2 AB AD  a   3a  SH  ( ABCD) AK 10 10 Theo giả thiết, Góc hai mặt ( SBD) & ( ABCD ) 60 nên · SIH  600 3a SH  d  S ;  ABD    HI tan ·  SBD  ,  ABCD    HI tan 600  10 Nên Gọi P hình chiếu vng góc H SJ Khi HP  ( SDE ) AD  3a; BC  2a  EB  EA  2a  AE  3a  AD  G Ta có: trung 5 3a 15a 3a  HJ  AG   AG  6 12 ED điểm Từ ta có 1 1     2 2 HP SH HJ  3a   15 2a  675      HP  a 10   12  1216  Ta có 6 675 AE  HE  d ( A;( SDC ))  d ( H ;( SCD ))  a 5 1216 Do Ví dụ 2: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a , AD  2a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, góc SD với mặt đáy 60 Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng  SBD  theo a ? 17 Phân tích: Đề cho độ dài cạnh đáy cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, góc SD với mặt đáy 60 nên ta có áp dụng cơng thức (3) để dựng tính khoảng cách từ S đến  ABCD  Sau dùng kỹ thuật bảo tồn thể tích kỹ thuật chuyển khoảng cách để tính khoảng cách d  C ;( SBD )  Lời giải SA   ABCD   SA  d  S ;  ABCD   Vì   2a 3 ·  AD.tan SD;  ABCD   AD.tan 60  2a  VS BCD  VS ABCD  SB  SA2  AB  a 13 ; SD  SA2  AD  4a ; BD  AB  AD  a 3VS BCD a  S SBD Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng tam giác SAB cân S Góc SA mặt đáy 45 , góc  SAB  mặt đáy He  rong   S SBD  4a  d C ;  SBD    60 Khoảng cách đường thẳng CD SA a Tính thể tích khối chóp S ABCD [2] Phân tích: Đề cho đáy ABCD hình vng mặt bên tam giác SAB cân, cho góc SA mặt đáy 45 , góc  SAB  mặt đáy 60 , khoảng cách đường thẳng CD SA a chưa cho độ dài cạnh bên cạnh đáy nên ta áp dụng công thức (3) (5) để dựng tính d S ;  ABCD    x khoảng cách  Từ ta phương trình ẩn x Giải phương trình tìm x suy cơng thức tính thể tích Lời giải Gọi M , N trung điểm AB, CD H , K , E hình chiếu S , H , N lên  ABCD  , SM , SM Vì VSAB cân S nên H  MN ·  SA,  ABCD    SAH  450   ·  600   SAB  ;  ABCD    SMH CD / / AB  AB   SAB   d  CD; SA  d CD;  SAB    d  N ;  SAB    NE  a Ta có:  18 Đặt   · SH  d  S ;  ABCD    x  SA  d  S ;  ABCD   sin SA;  ABCD   x 2;   2x SM  d  S ;  ABCD   sin · SAB  ;  ABCD   NE VMNE : MN   2a  MA  a sin 600 Xét  VSAM : SA  SM  AM  a 2 2 Xét     x 2 2  2x    xa  3  1 8a 3 VS ABCD  SH S ABCD  a 2a  3 Ví dụ 4: (HSG - K12 – SGD - Lào Cai - 2020 - 2021) Cho hình chóp tứ giác S ABCD biết AB  a , góc hai mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABCD  60 Lấy điểm M , P thuộc cạnh AD , SC AM SP   cho AD , SC Gọi N giao điểm SD mặt phẳng  BMP  Tính thể tích khối đa diện S ABMNP [2] Phân tích: Đề cho chóp tứ giác cạnh AB  a góc hai mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABCD  60, từ dùng cơng thức (5) ta tính chiều cao chóp Sau dùng toán phân chia lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện S ABMNP Lời giải Gọi Q giao điểm CD BM , O tâm đáy, S ABCD hình chóp tứ giác nên SM  AD, SO   ABCD  Theo công thức (5) ta có a a  tan 60  SO  d  S ;  ABCD    OM tan   SAD  ;  ABCD   2 Q   MBP    SCD      MBP    SCD   PQ P   MBP    SCD   Lại có: Gọi N  SD  PQ  N  SD   BMP  Theo định lý Talet mặt phẳng  SDC  kẻ DK / / SC  DK QD DN DK PC   ;     PC QC SN SP SP 3 19 1 a a3  SO.S ABCD  a  3 VS ABCD Thể tích tứ diện S ABCD  S BCQ  S ABCD  a  AMB   DMQ (đvtt) Ta thấy (c – g – c) a d  P,  ABCD    d  S ,  ABCD    5 1 a a3  VP.QBC = d  P,  ABCD   S BQC  a  3 15 1 a a d  N ,  ABCD    d  S ,  ABCD     ; 4 1 a a a3 a2  V = d N , ABCD S  SMDQ  SMAB  AB AM    MDQ    N MDQ 3 96 3 a a 9a VPNBCDM  VP.BQC  VN DQM    15 96 160 (đvtt) Ta có : Vậy thể tích khối đa diện S ABMNP a 3 9a 3 53a 3 VS ABMNP  VS ABCD  VPNBCDM    160 480 (đvtt) Ghi nhớ 3: Để giải tốt toán phân chia lắp ghép khối đa diện, học sinh cần tận dụng triệt để khối chóp, khối lăng trụ có chung chiều cao chung đáy với hai đáy nằm mặt phẳng để sử dụng tỉ số thể tích tỉ số khoảng cách Bài tập tương tự: Phụ lục Hiệu 4.1 Hiệu phương pháp công thức giải nhanh Hiệu thứ nhất: Ưu điểm bật công thức giải nhanh cho ta định hướng để tìm lời giải, đồng thời cho kết nhanh xác tiết kiệm nhiều thời gian Với tốn khơng cần dựng hình Ngồi lời giải độc đáo sử dụng kiến thức dễ nhớ, ưu điểm lớn mà phương pháp đem lại giúp em học sinh hứng thú hơn, học tập cách tích cực hơn, rèn luyện tư linh hoạt sáng tạo, phẩm chất lực Hiệu thứ hai: Bài toán phân loại, phân dạng toán tìm cách giải chung cho mỡi loại tập Đồng thời nêu số ứng dụng tốn vào số vấn đề hình học có liên quan 2.4.2 Thực nghiệm hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng vào để dạy tiết tập, tiết dạy tự chọn, tiết dạy bồi dưỡng học sinh đại trà học sinh giỏi Để đánh giá hiệu sau q trình giảng dạy học tập tơi tiến hành kiểm tra đánh giá kiểm tra chuyên môn sau: Bài số 1: Lớp 11- Bài khảo sát chất lượng môn học bồi dưỡng lần 20 Lớp 12 - Bài khảo sát chất lượng môn học bồi dưỡng lần Bài số 2: Lớp 11- Bài khảo sát chất lượng học kỳ Lớp 12 - Bài khảo sát chất lượng lớp 12 Sở GD&ĐT Thanh Hóa Kết kiểm tra lớp không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Sĩ số(SS) S TL SL TL SL TL SL TL S TL L L 11A7 Bài số 12 29% 23 54% 12 0% SS 42 % % Bài số 12 29% 21 50% 14 0% % % 12A7 Bài số 15 34% 22 50% 9% 0% SS 44 % Bài số 13 29% 21 48% 16 0% % % Kết kiểm tra lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Sĩ số(SS) S TL SL TL S TL S TL SL TL L L L 11B5 Bài số 13% 23 51% 16 36% 0 0% SS 45 % Bài số 20% 24 53% 12 27% 0 0% % 12A2 Bài số 18% 24 55% 12 27% 0 0% SS 44 % Bài số 11 25% 25 57% 18% 0 0% % Thông qua hai bảng kết ta thấy thành tích học tập em học sinh hai khối lớp có thực nghiệm 11B5-K60,12A2-K58 khơng thực nghiệm 11B7-K60,12A7-K58 có khác biệt rõ rệt Kết thực nghiệm cho thấy tiến em học sinh lớp thực nghiệm, khơng có học sinh yếu, Các em giải tốt toán đặt cách linh hoạt sáng tạo Đứng trước toán em tỏ tự tin, chủ động linh hoạt để phân tích nhận định tốn nhằm lựa chọn cách giải thích hợp ngắn gọn Giờ học toán tiết kiểm tra em hào hứng chờ đợi, đặc biệt luyện tập em thi đua tìm lời giải hay, cách giải đẹp làm khơng khí học tập lớp sôi Đa số học sinh lớp 12A2 11B5 u thích mơn tốn, biết vận dụng sáng tạo vào môn học khác Các lực tư phẩm chất trí tuệ hình thành phát triển Đặc biệt kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2020-2021, lớp 12A2 có học sinh Tào Thị Thu An tham gia thi mơn tốn đạt giải nhì Trong kỳ thi tốt nghiệp THPTQG lớp 12A2 có học sinh đạt điểm tốn Điểm thi 21 tốt nghiệp trung bình mơn tốn lớp đạt 8,01 vượt tiêu nhà trường giao cho lớp KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm phương pháp giải tốn tính khoảng cách thể tích nói riêng tốn hình học khơng gian nói chung Cùng việc phân loại tập có phương pháp giải cụ thể hệ thống ví dụ điển hình, đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nên dễ dàng sử dụng giảng để giảng dạy cho tất em học sinh từ học lực yếu, trung bình đến học sinh giỏi luyện thi học sinh giỏi Giúp em nhận thức đầy đủ kiến thức, phương pháp có nhiều hội để rèn luyện kỹ sử dụng toán khoảng cách Mặt khác với hệ thống tập ví dụ minh họa hướng dẫn kèm theo nên sử dụng sáng kiến kinh nghiệm để làm tài liệu tham khảo cho em học sinh tự học, tự rèn luyện 3.2 Đề xuất kiến nghị Đây đề tài khó, nội dung chuyên đề rộng Trong khuôn khổ thời gian hạn hẹp, người viết nghiên cứu phạm vi nhỏ Đề tài cịn khai thác mở rộng thêm lớp toán: Phương pháp giải tốn hình học khơng gian cho khối trịn xoay toán ứng dụng thực tế Với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm, người viết phân loại tập ví dụ tốn điển phương pháp giải chung Rất mong góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Xác nhận Hiệu trưởng Thanh Hóa ngày 10 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm khơng chép nội dung người khác Người viết PHẠM THỊ NGA 22 ... biệt giúp học sinh có ? ?Các phương pháp giải nhanh tốn tính khoảng cách, thể tích có liên quan đến yếu tố góc hình học khơng gian? ?? góc hai đường thẳng, góc đường thẳng với mặt phẳng góc hai mặt... kỳ thi quan trọng; làm phong phú thêm kho tàng phương pháp giải toán sơ cấp Mặt khác, tốn tính khoảng cách, tính thể tích khối đa diện tốn tính khoảng cách, tính thể tích liên quan đến góc xuất... thức tính nhanh khoảng cách, thể tích cho tốn có liên quan đến yếu tố góc thực có nhiều ưu điểm hiệu rõ rệt Kỹ làm cho đa số học sinh hứng thú, dễ hiểu mà cịn nhanh chóng tính thể tích, khoảng cách,