SKKN định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ năng tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách trong không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TỐN VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP *** - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TỐN VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN MỤC LỤC Trang PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI III GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI .0 Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI III NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI .0 A CƠ SỞ LÝ THUYẾT B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG Một số toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Một số toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Một số tập tính khoảng cách hai đường thẳng chéo .0 Một số tập tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song .0 Một số tập tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Một số tập đề nghị IV HIỆU QUẢ ÁP DỤNG PHẦN III KẾT LUẬN Quá trình thực hiện đề tài Ý nghĩa của đề tài Khả ứng dụng, triển khai Hướng phát triển Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học THPT thì toán khoảnh cách dạng toán tương đối khó với đối tượng học sinh Đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi tốt nghiệp THPT năm gần thì tập về khoảng cách xuất hiện nhiều khiến đại phận học sinh cảm thấy bế tắc trình định hướng tìm lời giải lớp toán Trong chương trình SGK Hình học lớp 11 hiện hành, tốn tính khoảng cách trình bày hạn chế Chỉ có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải thích vắn tắt dễ mắc sai lầm Hơn nữa, số tiết phân phối chương trình cho phần (3 tiết) nên trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Với học sinh việc giải tập về khoảng cách nhiều thời gian thì với giáo viên việc phát triển tư duy, sáng tạo thông qua tập đó lại nhiều thời gian công sức Chính khó khăn đó cản trở đến trình truyền thụ kiến thức phát triển trí tuệ cho hoc sinh hoạt động giảng dạy Trong trình giảng dạy trường THPT Quỳ Hợp nhận thấy nhiều học sinh chưa có phương pháp giải lớp tốn này, cịn lúng túng nhầm lẫn trình làm Vì vậy xếp tập khoảng cách có tính hệ thống thì giúp học sinh có nền tảng kiến thức vững hơn,tự tin giải tập hình học không gian, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, sáng tạo cho em Với lý trên, chọn đề tài: ”Định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách không gian” nhằm cải thiện chất lượng dạy học trường THPT nói chung chất lượng dạy học trường THPT Quỳ Hợp nói riêng II MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Mục tiêu chung - Rèn luyện cho học sinh cách tư duy, cách phân tích kĩ giải tốn tạo toán - Rèn luyện cho em đức tính cần cù, chịu khó tìm tòi, sáng tạo đồng thời hình thành cho em thói quen tự học, tự nghiên cứu - Hình thành cho em thói quen biết khai thác vấn đề đơn giản của Toán học Mục tiêu cụ thể Xây dựng, xếp tập khoảng cách có tính hệ thống, thơng qua đó để phát huy tính tích cực, định hướng tư duy, cách phân tích tốn, rèn kỹ tính khỏng cách cho học sinh III GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI Về đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm giảng dạy, trao đổi với đồng nghiệp, tìm hiểu tài liệu, đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học, tốt nghiệpTHPT năm qua.Thực hành thông qua tiết dạy lớp, dạy ôn học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệpTHPT môn Tốn của nhà trường Về khơng gian Đang áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 11 lớp 12 của trường THPT Quỳ Hợp PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỞ CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Toán học môn học quan trọng để rèn luyện tư duy, rèn luyện kỹ vận dụng để giải số vấn đề xảy thực tế Vì vậy việc dạy học mơn Tốn dạy cho học sinh có lực trí tuệ, lực từ đó giúp học sinh học tập tiếp thu kiến thức khoa học biết cách vận dụng nó vào sống Dạy học mơn Tốn người thầy khơng dạy cho học sinh kiến thức tốn học (những cơng thức, định lý, định đề, tiên đề …) mà người thầy phải dạy cho học sinh có lực, trí tuệ để giải vấn đề nêu học tập sau Với phương pháp dạy học hiện đại hiện việc giúp học sinh lĩnh hội kiến thức, hình thành phát triển kỹ cần thiết cho học sinh, thầy giáo cần phải quan tâm đến việc rèn luyện kỹ suy luận logic, biết tổng hợp, khái quát hóa kiến thức học cách hệ thống để học sinh có khả vận dụng kiến thức học để tự giải vấn đề cách động sáng tạo Cơ sở thực tiễn Bài tốn tính khoảng cách mơn hình học khơng gian toán khó học sinh THPT mơn học có phần trừu tượng Dạng tốn liên quan đến thiết diện đa dạng thường xuyên có mặt đề thi học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp THPT hàng năm Việc giải tốn tính khoảng cách khơng hề đơn giản, yêu cầu người giải không nắm vững kiến thức mà phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo phải cần thực hành nhiều Mặt khác, sự tiến của khoa học kỹ thuật đòi hỏi người học liên tục cập nhật tri thức Trong năm gần đây, ngành giáo dục liên tục có thay đổi nhằm để phù hợp với xu của thời đại, điều đó thể hiện năm học thông qua hình thức thi trắc nghiệm liên môn Đối với hình thức thi này, người học phải nỗ lực không ngừng học tập tìm tòi cách giải mới; liên tục rèn luyện thì đạt kết cao II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Hình học không gian sự nối tiếp của hình học phẳng, khoảng cách không gian nằm chung đó Do vậy, trước học khoảng cách không gian học sinh phải nắm vững khái niệm, định lí liên quan với nó hình học phẳng.Ngồi cịn phải nắm vững kiến thức về quan hệ song song,quan hệ vuông góc mối quan hệ chúng không gian Một vấn đề quan trọng việc giải tập khoảng cách học sinh phải biết vẽ hình biểu diễn, xác định hình chiếu của điểm lên đường thẳng, hình chiếu của điểm lên mặt phẳng…Đây vấn đề gây nhiều khó khăn cho hoc sinh Khoảng cách không gian hình học phẳng có mối liên hệ khăng khít Ví dụ khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách hai đường thẳng song song giữ nguyên chuyển sang hình học khơng gian Tuy nhiên có nhiều tính chất, khái niệm mở rộng không gian khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với nó, khoảng cách hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo làm học sinh khó hình dung,hầu hết em cảm thấy mơ hồ không xác định hướng làm cho toán,dẫn đến tâm lý chán nán làm tập về vấn đề Tiến hành cho em làm kiểm tra 45 phút cho lớp thì kết thu là: Lớp Điểm < 3.5 3.5 Điểm < 5.0 5,0  Điểm 11A2 15% 55% 30% 11A1 5% 45% 50% Đối với giáo viên, dạy Khoảng cách mà đơn truyền thụ cho học sinh kiến thức sách giáo khoa thì gây nhiều khó khăn cho việc tiếp thu của em không mang lại hiệu cần đạt giáo dục Tuy nhiên ta biết xếp, xâu chuỗi kiến thức để phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú cho học sinh giải toán về khoảng cách thì tình trạng khắc phục cách đáng kể Vì vậy đề tài chứa đựng nhiều tiềm to lớn việc định hướng tư duy, cách phân tích tốn rèn kỹ nắng tính khoảng cách cho học sinh tạo hội cho học sinh phát triển lực sáng tạo của mình III NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng + Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng a d (M, ) = MH,, đó H hình chiếu của M  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng + Khoảng cách từ điểm đến đến mặt phẳng () d(O, ())  OH , đó H hình chiếu của O () Cách Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O () tính OH - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vuông góc với () - Tìm giao tuyến  của (P) () - Kẻ OH   ( H   ) Khi đó d(O, ())  OH Cách Sử dụng cơng thức thể tích Thể tích của khối chóp V  S.h  h  3V Theo cách này, để tính khoảng S cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S Cách Sử dụng phép trượt đỉnh Kết Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () M, N   thì d(M;())  d(N;()) Kết Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () điểm I M, N   (M, N không trùng với I) thì d(M;()) MI  d(N;()) NI Đặc biệt: + M trung điểm của NI thì d(M;())  d(N;()) + I trung điểm của MN thì d(M;())  d(N;()) Cách Sử dụng tính chất tứ diện vuông Cơ sở của phương pháp tính chất sau: Giả sử OABC tứ diện vuông O ( OA  OB, OB  OC, OC  OA ) H hình chiếu của O mặt phẳng (ABC) 1 1    2 OH OA OB OC Cách Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở của phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng cơng thức sau: + d(M;())  Ax  By  Cz  D với M(x ; y ; z ) , () : Ax  By  Cz  D  A  B2  C2   MA  u   + d(M, )  với  đường thẳng qua A có vectơ phương u u    u  u '.AA '  + d(,  ')    với  ' đường thẳng qua A ' có vtcp u ' u u' Chú ý: Để giải tốn hình học không gian phương pháp sử dụng tọa độ Đê -các không gian Oxyz, ta thường thực bước sau: Bước 1: Từ giả thiết tốn, lập hệ tọa độ thích hợp từ đó suy tọa độ điểm cần thiết Bước 2: Chuyển hẳn tốn sang hình học giải tích không gian cách: + Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định + Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy kết cần chứng minh + Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị, quỹ tích… Cách Sử dụng phương pháp vectơ Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa giả thiết kết luận của toán hình học cho ngôn ngữ “véc tơ” Bước 2: Thực hiện u cầu của tốn thơng qua việc tiến hành biến đổi hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc Bước 3: Chuyển kết luận “véc tơ” sang kết hình học tương ứng Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với + d (, ()) = d (M, ()), đó M điểm bất kì nằm  + Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () quy về việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song + d ( (), () ) = d (M, () ), đó M điểm bất kì nằm () + Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy về việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo + Đường thẳng  cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung của a, b + Nếu  cắt a, b I, J thì IJ gọi đoạn vuông góc chung của a, b + Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với nó + Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó * Đặc biệt + Nếu a  b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vuông góc với b, ta tìm giao điểm I của (P) với b Trong mp (P), hạ đường cao IH Khi đó d(a, b)  IH + Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB CD đoạn vuông góc chung của AB CD B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG Một số toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) SA = 3a Diện tích tam giác ABC 2a2,BC = a Tính khoảng cách từ S đến BC Nhận xét: Đây toán tính khoảng cách nên học sinh có khả giải quyết được bên mặt đáy 600 Gọi O tâm hình vng ABCD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB, SC Phân tích, định hướng: Ta thấy AB SC hai đường thẳng chéo nên khoảng cách AB SC độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung AB SC không đơn giản, đó ta thực tính khoảng cách AB mặt phẳng (SCD) song song với nó chứa đường thẳng SC Khi đó ta thực tính khoảng cách từ điểm tùy ý AB đến mặt phẳng (SCD), chẳng hạn điểm A Lúc ta cần xác định hình chiếu A lên mặt phẳng (SCD), việc làm gặp phức tạp phải chọn mặt phẳng qua A vuông góc với (SCD) Do đó ta thực đổi khoảng cách tính từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn giải: Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp Gọi M trung điểm CD, thì (SOM)  (SCD) (SOM)  (SCD) = SM Trong mặt phẳng (SOM), kẻ OK  SM (K  SM) thì OK  (SCD) Do đó d (O, (SCD)) = OK Từ tam giác vuông SAO ta tính AO = a a , SO = 2 Hình vuông có độ dài cạnh a nên OM = Từ tam giác SOM ta tính OK = a a 14 Mặt khác ta có AB // CD AB  (SCD) đó AB // (SCD) Vậy d (AB, CD) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) Mà AO  (SCD) = C nên d A ,  SCD  d O,  SCD   AC 2 OC 27  d (A, (SCD)) = d (O, (SCD)) = 2OK = a 42 Cách 2: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp kết hợp cơng thức thể tích Ta có AB // CD AB  (SCD) đó AB // (SCD) Vậy d (AB, CD) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)) Từ tam giác vng SAO ta tính AO = a a , SO = 2 Từ tam giác vng SOM ta tính OM = a a , SM = 2 1 a2 a ACD = Khi đó S∆SCD = SM.CD = VS.ACD = SOS 12 Vậy d (A, (SCD)) = 3VS.ACD a 42 = SSCD Cách 3: Phương pháp tọa độ không gian Từ giả thiết của toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với gốc tọa độ là: O (0; 0; 0), điểm có tọa độ a     a 6  a  a   a ;0;0  , B  0;  ;0  , C   ;0;0  , S  0;0 ;0  A  , D  0; 2 2               AB, SC AC   a 42   = d (AB, CD) =  AB, SC   Chú ý: Ta có thể thực tính cách khác sau: Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (SCD): Do đó d (A, (SCD)) = 3x - 3y - z + a = a 42 Bài 16 Cho hình hộp ABCD.ABCDcó AABD hình chóp đều AB = AA = a Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB AC Hướng dẫn giải: 28 a Tính thể tích khối hộp ABCD.ABCD Do AABD hình chóp đều, đó gọi G trọng tâm của tam giác ABD thì AG  (ABD) hay AG chiều cao của hình hộp Gọi O giao điểm của BD AC thì AG  a 3 Trong tam giác AAG ta có AG  AA  AG  Do đó SABCD = 2SABD = a a2 a3 VABCD.ABCD  AG.SABCD  2 b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB AC chéo Phân tích, định hướng: Ta thấy AB AC hai đường thẳng chéo nên khoảng cách AB AC độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung AB AC phức tạp, đó ta thực tính khoảng cách A C mặt phẳng (ABC) song song với nó chứa đường thẳng AB Khi đó ta thực tính khoảng cách từ điểm tùy ý AC đến mặt phẳng (ABC), chẳng hạn điểm H Lúc ta cần xác định hình chiếu K H lên mặt phẳng (AB C), đó ta cần chọn mặt phẳng qua H vuông góc với mặt phẳng (ABC), ta thực giải sau: Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp Gọi H giao điểm của BD AC Do AC // AC nên AC // (ABC) Do đó d (AC, AB) = d (AC, (ABC)) = d (H, (ABC)) 29 Kẻ HE // AG (E  AC) thì ta có mặt phẳng (BHE) vuông góc cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến BE Kẻ HK  BE (K  BE) thì HK  (ABC) hay d (H, (ABC)) = HK Trong tam giác BHE ta có: 11 1 a 22    HK = 2 = 2a HK BH HE 11 Cách 2: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp kết hợp công thức thể tích Phân tích, định hướng: Ta thấy AB AC hai đường thẳng chéo nên khoảng cách AB AC độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung AB AC phức tạp, đó ta thực tính khoảng cách A C mặt phẳng (ABC) song song với nó chứa đường thẳng AB Khi đó ta thực tính khoảng cách từ điểm tùy ý AC đến mặt phẳng (ABC), chẳng hạn điểm A Lúc ta cần xác định hình chiếu A lên mặt phẳng (ABC), nhiên việc xác định gặp phức tạp đó ta thực tính khoảng cách từ điểm B sau: Dễ thấy d (A, (ABC)) = d (B, (ABC)) a3 Ta có VB.ABC = VABCD.ABCD  12 Trong tam giác BHE ta có BE  BH  HE  a 33 a 11 Khi đó tam giác ABC có diện tích S∆ABC = BE AC  d (B, (ABC)) = 3VB.ABC a 22  SABC 11 Cách 3: Phương pháp tọa độ không gian: Từ giả thiết của tốn ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vng góc Oxyz với gố tọa độ O (0; 0; 0), tọa đọ điểm: a  a a 6  5a a   a a a  ;0; ;0; ; ; ;0;0  , A  A  , C   , B   6 3         30     A C, AB AC   a 22   Ta có d (AC, AB) = =  A C, AB 11   Chú ý: Ta có thể thực tính cách khác sau: Từ hệ tọa độ chọn ta có phương trình mặt phẳng (ABC): 2 y d (AC, AB) = d (AC, (ABC)) = d (A, (ABC)) = 3z = a 22 11 Một số tập tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Bài 17: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cạnh a Tính khoảng cách đường thẳng AB mặt phẳng (SCD) Nhận xét: Ta có AB// (SCD) nên khoảng cách từ AB đến (SCD) khoảng cách từ điểm A (hoặc điểm nằm AB) đến (SCD) Hướng dẫn giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Khi đó Ta tính được: , kẻ ; INCLUDEPICTURE "C:\\ Users\\admin\\AppData\\ Local\\Temp\\ FineReader11.00\\media\\ image9.jpeg" \* MERGEFORMATINET 31 Và ta có Vậy: Bài 18: Cho hình lập phương ABCD.A'B'CD' có cạnh a Tính khoảng cách đường thẳng BD mặt phẳng (CB'D') Nhận xét: Đây toán tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song nên ta có thể tính tương tự 17, ta có thể tính khoảng cách phương pháp tọa độ Hướng dẫn giải: Từ giả thiết của toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với A (0; 0; 0); B (1; INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\admin\\AppData\\Local\\Temp\\ 0; 0); D (0; 1; 0); A’ (0; FineReader11.00\\media\\image10.jpeg" \* 0; 1); C (1; l; 0); B' (l; 0; l); D' (0; 1; l); C’ (l; 1; l) MERGEFORMATINET = (0; -1; 1); = (-1; 0; 1) Mặt phẳng (CB'D') có véc tơ pháp tuyến Khi đó X+y+z-2=0 phương trình mặt = (-1; -1; -1) phẳng (CB'D') 32 Vậy: Một số tập tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Bài 19: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng    bất kì qua đường chéo B’D a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) b) Xác định vị trí của mặt phẳng    cho diện tích của thiết diện cắt mp    hình lập phương bé Phân tích, định hướng: Với hình lập phương ta ln chọn được hệ toạ độ thích hợp, đó tạo độ đỉnh biết nên việc tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) trở nên dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’ Lời giải: Chọn hệ toạ độ cho gốc A N z B C D H y A' B' x D' M C' toạ độ O  D '  0;0;0  A '  0;1;0  , B '  1;1;0  , C '  1;0;0  , A  0;1;1 , C  1;0;1 Gọi M điểm bất kì đoạn thẳng C’D’, tức M  x;0;0  ;  x  a) Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’)  d   ACD ' ,  A ' BC '   d  A ',  ACD '   Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x yz0  d   ACD ' ,  A ' BC '    d  A ',  ACD '    b) Giả sử    cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, hình lập phương có 33 mặt đối diện song song với nên    cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM DN//MB’ Vậy thiết diện hình bình hành DMB’N Gọi H hình chiếu của M DB’ Khi đó: S DMB ' N  DB ' MH  DB ' d  M , DB '  Ta có: DB '     MD; DB ' x2  x    d ( M , DB ')    DB ' S DMB ' N 1 3   2x  2x   2 x     2 2  Dấu đẳng thức xảy x  1  Nên diện tích S DMB ' N nhỏ M  ;0;0  , hay M trung điểm D’C’ 2    Hoàn toàn tương tự M  0; y;0   M  0; ;0    Vậy diện tích S DMB ' N nhỏ M trung điểm D’C’ M trung điểm D’A’ Bài 20: Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Tính theo a khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD ) Lời giải: Cách 1: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp Phân tích, định hướng: Khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) Tuy nhiên ta cần chọn điểm cho qua điểm đó có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' ) , đó nếu gọi O O lẩn lượt tâm hai hình vng ABCD A 'B'C'D' điểm O chính điểm thỏa mãn yêu cầu 34 Gọi O O lẩn lượt tâm của hai hình vuông ABCD A 'B'C'D' Dễ thấy ( AB' D' ) // (C ' BD) nên d ( (AB'D') , (C ' BD) ) = d (O, ( AB' D' ) ) Mặt khác mặt phẳng  A 'C'CA  qua O vuông góc cắt mặt phẳng ( AB' D' ) theo giao tuyến O'A , đó kẻ OK  O'A (K O'A ) thì OK  ( AB' D' ) Vậy d (O, ( AB' D' ) ) = OK Trong tam giác vuông O'OA ta có O'O = a OA = a a , suy OK = Cách 2: Phương pháp hình học khơng gian tởng hợp kết hợp công thức thể tích Phân tích, định hướng: Khoảng cách hai mặt phẳng ( AB ' D' ) (C ' BD) song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) Khác với cách giải 1, ta chọn điểm C' Ta có C'A  ( AB' D ' ) = O' nên d ( C,(AB'D') ) = d ( A,(AB'D') ) a3 a2 Mặt khác VA.BDA = SBDA = Vậy d ( A,(AB'D') ) = 3VA.BDA a = SBDA Cách 3: Phương pháp tọa độ không gian Phân tích, định hướng: Khoảng cách hai mặt phẳng ( AB ' D' ) (C ' BD) song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng (C ' BD) đến mặt phẳng ( AB' D ' ) ,ta chọn điểm B Từ giả thiết của toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với C (0; 0; 0), B (a; 0; 0), A (a; a; 0), C (0; 0; a) B (a; 0; a), D (0; a; a) Ta có phương trình mặt phẳng ( AB' D ' ) : x + y + z - 2a = Vậy d ( B,(AB'D') ) = a 35 Một số tập đề nghị Bài 1: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC cạnh a Biết đến đường thẳng AM (BCD) BCD tam giác đều M trung điểm của BD Tính khoảng cách từ C (ABCD), đáy ABCD hình chữ Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA nhật Biết AD = 2a, SA = a Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Bài K-D 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, cạnh BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết  SB = SB  2a SBC  300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài (K-D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm của đoạn thẳng A’C’,I giao điểm của AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) Bài 5: (K- B 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB  a, AD  a Hình chiếu vuông góc của điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích của khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Bài 6: (THPTQG-2019).Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a , mặt bên SAB tam giác đều nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SAC  Bài 7: (THPTQG-2020-Lần 1).Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh a Gọi M trung điểm của CC  Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  ABC  Bài 8.Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD  600 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD  a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc OA  OB  OC  Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN 36 Bài 10 (K- D 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' a Gọi M trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài 11: (K-A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm của cạnh AB AD; H giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Bài 12 (K- A 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 13 (THPTQG-2018).Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA  a Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB Bài 14: (THPTQG-2020-Lần 2).Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M trung điểm của BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SM Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), mặt đáy ABCD hình thang vuông có chiều cao AB = a Gọi I J trung điểm của AB CD Tính khoảng cách đường thẳng IJ (SAD) Bài 16: Cho hình thang vuông ABCD vuông A AD = 2a Trên đường thẳng vuông góc D với (ABCD) lấy điểm s với SD Tính khoảng cách đường thẳng DC (SAB) Bài 17: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A' B'C'D' có cạnh đáy a Gọi M, N, P trung điểm của AD, DC, A' D' Tính khoảng cách hai mặt phẳng (MNP) (ACC') Bài 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 4, AD = Mặt phẳng (ACD') tạo với mặt đáy góc 60° Tính khoảng cách hai mặt đáy của hình hộp IV HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Trong năm học vừa qua,giảng dạy áp dụng đề tài cho lớp 11A2, 11A1 37 thấy kết đạt sau: - Hầu hết học sinh hiểu, nắm chắc, khắc sâu kiến thức về phần học - Học sinh hứng thú giải tập Tạo khơng khí sơi nởi, có phát hiện mẻ có tính sáng tạo giờ học - Giáo viên nhàn trình lên lớp mà đạt mục đích của tiết dạy Chủ động khám phá tri thức với học sinh - Học sinh áp dụng làm tập khác đặc biệt với đề có tính phát hiện phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh - Tiến hành cho em làm kiểm tra 45 phút thì kết thu khả quan so với trước áp dụng đề tài, kết thống kê: Lớp Điểm < 3.5 3.5 Điểm < 5.0 5,0  Điểm 12A2 5% 25% 70% 12A1 0% 15% 85% 38 PHẦN III KẾT LUẬN Quá trình thực đề tài TT Thời gian Từ tháng đến tháng 5/ 2020 Nghiên cứu về khoảng cách, khảo sát em học sinh Chọn đề tài lớp 11A1 11A2 Từ tháng đến tháng 7/2020 Nghiên cứu thêm tài liệu, trao đổi Đề cương sáng với đồng nghiệp, tổng hợp sở kiến; Hệ thống lý thuyết hệ thống tập tập điển hình Từ tháng đến tháng 9/2020 Theo dõi sự tác Đưa vào dạy thực nghiệm ôn thi động của đề tài cho lớp 12A3 năm học 2020-2021 sự tiến của học ôn thi học sinh giỏi lớp 11 sinh Nghiên cứu thêm tài liệu Từ tháng 10 đến đề thi qua năm Dạy ôn thi Thống kê kết tháng 12/2020 THPTQG cho lớp 12A1, 12A2 (Là lớp 11A1, 11A1 khảo sát) Từ tháng 12/2020 đến tháng 2/2021 Nội dung cơng việc Hồn thiện đề tài Sản phẩm Đề tài thức Ý nghĩa đề tài - Giúp học sinh có nhìn tổng quát có hệ thống về tốn tính khoảng cách, từ đó có kĩ giải thành thạo toán thuộc chủ đề có thể ứng dụng chúng vào tốn tính thể tích số toán thực tế khác - Giải cách tương đối triệt để tốn về tính khoảng cách của đối tượng điểm, đường thẳng mặt phẳng - Thơng qua việc vẽ hình, tính tốn, tìm đường tối ưu để tính khoảng cách, tạo cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo tinh thần phương pháp của Bộ Giáo dục Đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, khắc phục tâm lí sợ tốn về hình học không gian 39 - Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ bồi dưỡng chuyên môn nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp số tốn tính khoảng cách Hi vọng đề tài nguồn tư liệu tham khảo cho quý thầy cô giáo trình giảng dạy tài liệu cho em học sinh học tập Khả ứng dụng, triển khai Với cách trình bày logic, khoa học, súc tích sở nền tảng kiến thức của toán THPT, đề tài có khả ứng dụng, triển khai buổi sinh hoạt Tổ chuyên môn, câu lạc tốn học, cho ơn thi học sinh giỏi, học sinh ôn thi đại học để nâng cao kiến thức cho học sinh Hướng phát triển Hướng phát triển của đề tài, tác giả sâu vào lớp toán khác liên quan đến chủ khoảng cách số toán về tính góc đối tượng hình học hay chứng minh đẳng thức hình học; toán về ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian,… Kiến nghị Mong đồng nghiệp người đọc góp ý thêm để đề tài ngày hoàn thiện phát triển thêm 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Thành Minh, Giải tốn hình học 11, NXB Giáo dục Sách GK, tập, nâng cao toán 11, 12- Bộ Giáo dục Đào tạo Đề thi THPTQG năm 2018, 2019, 2020 - Bộ Giáo dục Đào tạo Đề thi thử trường, Sở Giáo dục Đào tạo tồn quốc Báo tốn học t̉i trẻ; Các trang Web: mathscope.org; boxmath.vn; math.vn Hướng dẫn ôn thi THPT Quốc gia 2018, 2019, 2020 - Bộ Giáo dục ĐT Võ Đại Mau, Tuyển tập 170 tốn hình học khơng gian, NXB Trẻ 41 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP *** - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY, PHÂN TÍCH BÀI TỐN VÀ RÈN KỸ NĂNG TÍNH KHOẢNG CÁCH CHO HỌC SINH QUA BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG. .. của Toán học Mục tiêu cụ thể Xây dựng, xếp tập khoảng cách có tính hệ thống, thơng qua đó để phát huy tính tích cực, định hướng tư duy, cách phân tích tốn, rèn kỹ tính khỏng cách cho học. .. hướng tư duy, cách phân tích tốn rèn kỹ nắng tính khoảng cách cho học sinh tạo hội cho học sinh phát triển lực sáng tạo của mình III NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khoảng cách