(SKKN mới NHẤT) một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng HAI CÔNG THỨC tỉ số KHOẢNG CÁCH khi giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH KHI GIẢI BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực hiện: Lê Văn Tiến Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2020 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Mục lục……………………………………………………………………….i Các ký hiệu đề tài………………………………………………………ii Mở đầu…………………………………………………………………….1 1.1 Lí chọn đề tài…………………….……………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu………….……………………………………….1 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………….…………………………………1 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………….…………………………… Nội dung………………………………………………………………… 2.1 Cơ sở lý thuyết…………….……………………………………….… 2.1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng………………………2 2.1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng……………………… 2.1.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song………….… 2.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song………………………… 2.1.5 Đường vng góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau…………………………………………………………………….3 2.1.6 Hai công thức tỉ số khoảng cách……………………………………….4 2.2 Một số tốn hướng dẫn sử dụng cơng thức tỉ số khoảng cách giải toán……….……………………………………………………….5 2.3 Bài tập tương tự………………………………………………………14 2.4 Kết luận, kiến nghị………………….……………………………… 18 Tài liệu tham khảo………………….…………………………………19 i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com CÁC KÍ HIỆU TRONG ĐỀ TÀI  THPT – Trung học phổ thông ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Bài tốn hình học khơng gian nói chung, tốn tính khoảng cách hình học lớp 11 nói riêng, ln quan niệm tốn khó với hầu hết học sinh Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm gần đây, đặc biệt Bộ Giáo dục Đào tạo chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức trắc nghiệm mơn tốn tốn tính khoảng cách đề thi gây khó khăn, trở ngại làm thời gian học sinh Sự trở ngại nằm lý do, như: không nắm lý thuyết bản, vẽ hình khơng đúng, khơng dựng hình chiếu điểm hay đường thẳng mặt phẳng hay không xác định chân đường cao hình chóp… Đã có nhiều học sinh đặt câu hỏi: “Thưa thầy! Nếu khơng xác định hình chiếu điểm mặt phẳng, có tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khơng ” Về mặt lí luận tốn học, với câu hỏi thầy có đáp án làm thỏa lịng học sinh Tuy nhiên, đặt hướng mở để tiếp cận vấn đề Tôi thiết nghỉ, khơng phải xác định hình chiếu điểm mặt phẳng, tốn tính khoảng cách ngắn gọn nhiều, làm cho nhiều đối tượng học sinh giải toán Như biết, tốn tính khoảng cách cần xác định hình chiếu điểm mặt phẳng Nhưng công việc không dễ với nhiều học sinh, chưa nói đến việc xác định xong cịn phải dùng số kỹ năng, kiến thức để tính độ dài đoạn thẳng Với mong muốn làm đơn giản toán phức tạp, rút ngắn thời gian giải tốn để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm khách quan, làm cho nhiều học sinh giải tốn khoảng cách Vì vậy, việc đề cách tiếp cận đơn giản cho loại tốn tính khoảng cách; để có thêm phương tiện cơng cụ giải tốn việc hình thành chuyên đề giúp đồng nghiệp học sinh học tập, giảng dạy cần thiết Xuất phát từ lí nêu trên, tơi chọn vấn đề “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH giải tốn khoảng cách hình học khơng gian” Làm đề tài nghiên cứu khoa học 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu ứng dụng HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH giải tốn tính khoảng cách; hệ thống lại toán chương trình hướng dẫn cách tiếp cận tốn theo hướng đơn giản 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH tốn tính khoảng cách không gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa; Tổng hợp, phân loại tốn tính khoảng cách TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com NỘI DUNG 2.1 Lý thuyết sở Mục nhắc lại định nghĩa, tính chất Khoảng cách đặc biệt giới thiệu HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH để làm sở nghiên cứu mục 2.1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm đường thẳng Trong mặt phẳng , gọi chiếu vng góc Khi khoảng cách hai điểm gọi khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 2.1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm mặt phẳng mặt phẳng Gọi hình hình chiếu vng góc Khi khoảng cách hai điểm gọi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Kí hiệu: 2.1.3 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Định nghĩa: Cho đường thẳng cách đường thẳng mặt phẳng , kí hiệu đến mặt phẳng song song với mặt phẳng Khoảng khoảng cách từ điểm 2.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song , khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.1.5 Đường vng góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo *) Định nghĩa a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung b) Nếu đường vng góc chung cắt hai đường thẳng chéo độ dài đoạn thẳng gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo *) Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo Gọi mặt phẳng chứa vng góc Vì Gọi song song với mặt phẳng nên Do mặt phẳng chứa cắt điểm Gọi giao điểm , +) nên Mà Vậy cắt đồng thời vng góc với chung hình chiếu đường thẳng qua với Khi nằm mặt phẳng cắt đường thẳng Nhận thấy +) Đường thẳng cắt hai đường thẳng Chú ý Khi nên vng góc cắt đường thẳng nên Do vng góc với Gọi vng góc với , gọi giao điểm vng góc với đường thẳng , cắt đường thẳng đường vng góc chung đường vng góc mặt phẳng chứa Qua kẻ đường thẳng điểm Khi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nhận xét a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng 2.1.6 Hai cơng thức tỉ số khoảng cách  Công thức thứ Khi việc dựng khoảng cách từ điểm cách từ điểm phẳng gặp khó khăn biết trước hay tính đến mặt phẳng đến mặt phẳng Ta dịch chuyển việc tính khoảng tính khoảng cách từ điểm đến mặt Tức ta tìm số thực cho Để tìm số thực ta thường sử dụng kết sau Kết 1: Nếu Kết 2: Nếu Kết 3: Nếu thì TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  Cơng thức thứ hai Giả sử đó, đường cao tứ diện vng tứ diện tính theo công thức = + + Khi (1) A H C O D B Hay khoảng cách từ điểm cơng thức (1) Chứng minh Dựng Ta có Hai mặt phẳng đến mặt phẳng tính theo , dựng vng góc với theo giao tuyến AD có nên suy Trong tam giác vng OBC OAD có = + ; = + Vì = + + Đây công thức “đẹp” thường xuyên sử dụng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, nhiều trường hợp công thức tỏ thuận lợi Trong đề thi Đại học năm vừa qua có nhiều sử dụng công thức TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.2 Một số toán hướng dẫn sử dụng công thức tỉ số khoảng cách giải tốn Bài tốn 1( Bài tốn điển hình) Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh bên Gọi Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ; Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ; Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ; Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ; Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Lời giải Bình luận Bài tốn điển hình hướng dẫn học sinh giải tốn địi hỏi giáo viên phải giải chi tiết cách dựng hình chiếu điểm mặt phẳng cần tính khoảng cách cách sử dụng công thức tỉ số khoảng cách Ý 1, xem tảng ý cịn lại, đơn giản nên giáo viên hướng dẫn để đa số học sinh giải S H M K I L A D O B J N C Tính Dựng Khi Xét tam giác vng Ta có Suy , suy nên , ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vậy Tính Bình luận Rõ ràng việc xác định hình chiếu điểm mặt phẳng việc khơng dễ đại đa số học sinh Sau ta nhìn nhận cách giải tốn theo lý luận toán học cho toán Trong mặt phẳng gọi , dựng trung điểm Dựng , suy Suy Xét tam giác vuông cắt nên , suy Ta có Khi , ta có Vậy Bây hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ phẳng đến mặt tình mà học sinh khơng thể xác định hình chiếu điểm mặt phẳng Đối với toán này, ta hướng dẫn học sinh sử dụng Công thức tỉ số khoảng cách thứ Nhận thấy , suy Chúng ta nhận thấy việc tính khoảng cách từ từ đến mặt phẳng Công thức tỉ số lược bỏ nhiều bước phức tạp toán Những bước mà học sinh thực Cách đưa từ toán phức tạp tốn đơn giản tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Tính Bình luận: Việc xác định hình chiếu điểm mặt phẳng khó khăn với nhiều học sinh, Ý xác định hình chiếu điểm mặt phẳng điều với nhiều học sinh Và q trình giảng dạy tơi thấy có học sinh có ý tưởng để thực toán Sau đây, hướng dẫn học sinh sử dụng Công thức tỉ số khoảng cách thứ để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Do nên Tính khoảng cách từ Cách giải thường dùng Dựng đến mặt phẳng Do Khi Xét tam giác suy , ta có , ta có Vậy Sau Tôi hướng dẫn học sinh xử dụng Cơng thức tỉ số thứ hai để tính khoảng cách đến mặt phẳng Xét tứ diện vuông , gọi Ta có Vậy Bình luận Ta thấy dùng Cơng thức tỉ số thứ hai để tính khoảng cách học sinh khơng phải tìm hình chiếu mặt phẳng Việc làm đơn giản toán giảm thời gian giải toán, phù hợp cho thi trắc nghiệm Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Bình luận: Khi giảng dạy tốn này, nhận thấy nhiều học sinh không xác định hình chiếu điểm mặt phẳng Do đó, việc tính khoảng cách từ đến mặt phẳng em thực Bây cho học sinh cách sử dụng Công thức tỉ số thứ để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Câu hỏi đặt để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng , tính thơng qua điểm nào? Như biết, với tốn tính góc, tính khoảng cách, tính thể tích chân đường cao khối đa diện quan trọng Do đó, giải toán loại thường hướng đến chân đường cao khối đa diện Ta có, hai điểm Suy nằm đường thẳng cắt mặt phẳng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vậy Bài toán (Đề thi tuyển sinh đại học Khối D, năm 2007) Cho hình chóp có đáy hình thang Cạnh bên hình chiếu vng góc phẳng , vng góc với đáy Gọi Tính theo khoảng cách từ đến mặt Lời giải S M A H I A M D G G B D B C C Cách giải thường dùng Gọi trung điểm vng Ta có có ,vậy tam giác Vậy tam giác Trong vng dựng Ta có Trong Gọi vng , ta có Ta có Vậy Hai điểm nên Trong nên nằm đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng vuông ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Hai điểm nằm đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng nên Bình luận Trong cách giải này, việc xác định điểm hình chiếu điểm mặt phẳng khơng dễ Trong q trình dạy học, Tôi gặp số trường hợp em có học lực cịn xác định nhầm Vì không chứng minh tam giác vuông Hướng dẫn học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải tốn Sau đây, Tơi hướng dẫn học sinh sử dụng CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH THỨ để tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Khi sử dụng công thức này, học sinh khơng phải xác định điểm hình chiếu điểm mặt phẳng S M A D G B C N Để sử dụng Cơng thức tính thể tích thứ hai, Học sinh phải dựng tứ diện vuông Như vậy, ta kéo dài cắt Khi đó, tứ diện tứ diện vng Gọi , Ta có Bình luận Cách giải giúp học sinh tháo gỡ khó khăn việc dựng điểm hình chiếu điểm mặt phẳng Do đó, học sinh tiếp cận dễ dàng Bài toán ( Đề thi đại học Khối B năm 2014) Cho hình lăng trụ có đáy tam giác cạnh Hình chiếu vng góc mặt phẳng trung điểm cạnh , góc 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com mặt phẳng đáy 600 Tính theo đường thẳng điểm khoảng cách từ đến mặt phẳng A' C' I B' A K C 600 H B Lời giải Cách giải thường dùng Gọi trung điểm Theo đề ta có hình chiếu vng góc mặt phẳng mặt phẳng góc Có , nên góc Do Dựng Có mà hai mặt phẳng vng góc với theo giao tuyến , dựng Vậy Ta có , có Hai điểm có: nằm đường thẳng có giao điểm với mp Hướng dẫn học sinh sử dụng công thức tỉ số thể tích để giải tốn Để giải tốn này, ta thấy việc tính khoảng cách từ đến mấu chốt toán Tuy nhiên, sử dụng cách giải thơng thường phải xác định hình chiếu Sau đây, tơi hướng dẫn học sinh sử dụng Công thức tỉ số thứ hai để tính khoảng cách từ đến 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Xét tứ diện vng Gọi , ta có Hai điểm có: nằm đường thẳng có giao điểm với mp Bài toán ( Câu 40 - Đề minh họa TN THPT năm 2020 – Bộ Giáo Dục Đào Tạo) Cho hình chóp có đáy tam giác vng vng góc với mặt phẳng đáy (minh học hình vẽ) Gọi trung điểm Khoảng cách hai đường thẳng S A B M C A B C D Lời giải Sau so sánh hai cách giải toán Cách giải thường dùng S H A I M B N C Gọi trung điểm Ta có Khi 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kẻ Ta có Suy Bình luận: Với cách giải này, học sinh phải xác định hình chiếu Tuy nhiên công việc học sinh làm Sau hướng dẫn học sinh áp dùng CÔNG THỨC TỈ SỐ THỨ HAI để giải toán Lời giải S A M B N C Gọi trung điểm Khi Xét tứ diện Gọi Ta có , ta có , Vậy Bình luận: Rõ ràng áp dụng Cơng thức tỉ số thể tích thứ lời giải trở nên đơn giản có nhiều học sinh giải loại toán Bài toán (Đề thi tuyển sinh đại học Khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác vng , , cạnh bên a) Tính b) Tính Gọi trung điểm ; 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải C' A' a B' E C A a M B a) Gọi trung điểm Do Vì trung đểm nên Vì tứ diện tứ diện vng = Suy = b) Tính khoảng cách từ nên ta có: + + = đến mặt phẳng ta hướng dẫn học sinh tính khoảng cách từ đến mặt phẳng trước tứ diện vng, sau sử dụng Cơng thức tỉ số thứ tính khoảng cách từ Ta tính sau: Vì đường thẳng qua điểm nên có có giao điểm với mặt phẳng 2.3 Các tập tương tự 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài tập Cho hình lập phượng có cạnh Tính Lời giải D' C' A' B' O C D A B Vì , nên ta có Vì hai đểm nên ta có Tứ diện nằm đường thẳng có giao điểm với mp vng tại , suy Vậy Bài tập Cho lăng trụ có tất cạnh trung điểm Tính Lời giải C' Gọi A' O' B' M N P A C O B 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vì đề cho chưa có góc để có tứ diện vng, nên ta phải dựng thêm đường thẳng để có tứ diện vng Vì ABC nên ta nghĩ đến kẻ đường cao tam giác Gọi trung điểm Ta có tứ diện vng , gọi Ta có giao điểm với Vì , suy Muốn tính khoảng cách từ đến thơng qua khoảng cách từ Mặt phẳng vng góc Vì đến mặt phẳng mặt phẳng Ta có nên từ diện vng nên ta có có giao điểm với mặt phẳng đơi nên ta có Vậy Bài tập ( Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2007) Cho hình chóp , có đáy Cạnh bên hình chiếu vng góc hình thang, vng góc với đáy, Tính Lời giải , Gọi ? S K H D A B C M 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Gọi giao điểm thấy trung điểm Ta có với = trọng tâm tam giác Suy ; = giao điểm vng Dễ = = Từ = Tứ diện với = nên = + + = Suy Vậy Bài tập Cho hình lập phương có cạnh Gọi trung điểm Tính khoảng cách hai đường thẳng Lời giải D' A' C' K B' N A Gọi Ta có Gọi Khi P B trung điểm nên giao điểm C M D với , giao điểm = với = Suy Tứ diện vuông )= = nên = + + = 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Suy Vậy KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Nội dung chủ yếu đề tài trình bày kinh nghiệm nhận dạng, phân tích, định hướng tìm lời giải tốn tính khoảng cách dựa vào hai cơng thức tỉ số khoảng cách ứng dụng giải toán trắc nghiệm khách quan Những kết đạt đề tài Trình bày lý thuyết khoảng cách tính chất Trình bày hai cơng thức tỉ số khoảng cách 18 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Trình bày ứng dụng hai công thức tỉ số khoảng cách giải toán cách định hướng ứng dụng hai cơng thức tốn khoảng cách Đặc biệt, kết đạt đề tài là: Phương pháp sử dụng hai công thức tỉ số khoảng cách giải tốn phát triển dạng tốn tính khoảng cách chương trình THPT Kết đạt đề tài dùng làm tài cho giáo viên tham khảo dạy ôn tập, học sinh làm tài liệu học tập Do khả thời gian nghiên cứu có hạn, nên đề tài chưa đầy đủ khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy, bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 29 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Văn Tiến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, (2009), Sách giáo khoa Hình học lớp 11, NXB giáo dục [2] Hà Văn Chương, Phạm Hồng Danh, (2010), Giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng, NXB Đại học sư phạm [3] Đề minh họa TN THPT năm 2020 – Bộ Giáo Dục Đào Tạo 19 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... chung khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau…………………………………………………………………….3 2.1.6 Hai công thức tỉ số khoảng cách? ??…………………………………….4 2.2 Một số toán hướng dẫn sử dụng cơng thức tỉ số khoảng cách giải. .. chọn vấn đề “ Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng HAI CÔNG THỨC TỈ SỐ KHOẢNG CÁCH giải tốn khoảng cách hình học không gian? ?? Làm đề tài nghiên cứu khoa học 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục... Đại học năm vừa qua có nhiều sử dụng cơng thức TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.2 Một số tốn hướng dẫn sử dụng cơng thức tỉ số khoảng cách giải toán Bài toán 1( Bài tốn điển hình)