Phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là khoảng cách từ nó đến hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng ∆.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách từ nó đến hình chiếu vuông góc H của M lên mặt phẳng (P).

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) cắt nhau hoặc a ⊂ (P) thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.

Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Kí hiệu d((P),(Q)). d((P),(Q)) = d(A,(Q))Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) trùng nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến d((P),(Q)) = 0

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

MỘT SỐ CÔNG THỨC LIÊN QUAN

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Định lí cosin trong tam giác

Cho tam giác ABC, ta có:

AB 2 = BC 2 +CA 2 −2BC.CA.cosC

BC 2 = AC 2 +AB 2 −2CA.AB.cosA

Công thức tính diện tích tam giác

4R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác).

S = pp(p−AB)(p−BC)(p−CA) (p = AB+ BC +CA

S = p.r (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác).

Công thức trong hình học không gian Oxyz

* Với hai điểm A(x A ;y A ;z A ) và B(x B ;y B ;z B ) thì

* Khoảng cách giữa hai điểm A(x A ;y A ;z A ) và B(x B ;y B ;z B ) là

* Khoảng cách từ điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mặt phẳng (α) có phương trình Ax+By +Cz +D = 0 là d(M 0 ,(α)) = |Ax 0 +By 0 + Cz 0 +D|

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆ 0 , trong đó ∆ đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương ~u, còn ∆ 0 đi qua điểm M 0 0 và có vectơ chỉ phương u~ 0 là

+ Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0 0

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH VUÔNG GÓC

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc 7 1.3.2 Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh a ⊥ b ta thường sử dụng những phương pháp chứng minh sau:

Cách 1: Sử dụng các phương pháp hình học phẳng: góc nội tiếp, định lí Pitago đảo,

Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu: a ⊥b b//c ⇒a ⊥ c.

Cách 3: Tìm một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì a ⊥ b. a ⊥(P) b ⊂(P) ⇒a ⊥ b.

Cách 4: Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) thì suy ra a ⊥ b. a//(P) b ⊥(P) ⇒a ⊥ b.

Cách 5: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc.

Đường thẳng b là một phần của mặt phẳng (P), trong khi a 0 là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng này Đường thẳng b sẽ vuông góc với đường thẳng a 0 nếu và chỉ nếu nó vuông góc với đường thẳng a Do đó, nếu b vuông góc với hình chiếu a 0, thì b cũng sẽ vuông góc với đường xiên a.

1.3.2 Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Cách 1: Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng(P), ta phải chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P).

Cách 2: Hai mặt phẳng (Q) và (R) có giao tuyến a cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với (P).

Cách 3: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến b Một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với b thì a vuông góc với mặt phẳng (P).

Cách 4: Chứng minh đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng a song song với b, suy ra a vuông góc với (P). a//b b ⊥ (P) ⇒ a ⊥(P).

Cách 5: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng(Q), mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên a vuông góc với (P). a ⊥ (Q)(P)//(Q) ⇒ a ⊥ (P).

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 10 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta thường sử dụng hai phương pháp sau:

Cách 1: Ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. a ⊥ (P) a ⊂ (Q) ⇒ (Q) ⊥ (P).Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là 90 0

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Các nội dung chính được trình bày trong chương này được tham khảo từ tài liệu [3], [4], [5] và [8].

VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA

Bài toán khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 23 2.1.5 Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 25 2.2 VẬN DỤNG THỂ TÍCH, TỈ SỐ THỂ TÍCH HÌNH HỌC, TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG

Phương pháp chung: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q), để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn điểm A trên (P), sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (Q) xác định dễ nhất.

Bài tập 2.1.4.1 yêu cầu tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC) trong hình chóp SABC, với đáy ABC là tam giác đều có cạnh a M là trung điểm của AB, N là trung điểm của SA, và P là trung điểm của AC Mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy, tạo điều kiện cho việc xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng này.

Ta có M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AB, SA, AC nên M N,

M P theo thứ tự là đường trung bình của ∆ABS, ∆ACS Suy ra

Khi đó d((M N P),(SBC)) = d(P,(SBC)) Kẻ P H, AK lần lượt vuông góc với BC Vì (ABC) ⊥(SBC) nên P H ⊥ (SBC), suy ra

Tương tự AK = d(A,(SBC)) Lại có AP ∩(SBC) = C nên d(A,(SBC)) d(P,(SBC)) = AK

2 Mặt khác, ∆ABC là tam giác đều cạnh a nên

4 Bài toán 2.1.4.2.Cho hình lập phươngABCDA 0 B 0 C 0 D 0 có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB 0 C) và (A 0 C 0 D).

Gọi K và K 0 là tâm của hai hình vuông ABCD và A 0 B 0 C 0 Mặt phẳng (KK 0 D 0 D) là mặt phẳng trung trực của A 0 C 0 Ngoài ra, hai mặt phẳng (AB 0 C) và (A”C 0 D) song song với nhau, từ đó suy ra rằng (KK 0 D 0 D) vuông góc với (DA 0 C 0).

Kẻ KH vuông góc với giao tuyến DK 0 của hai mặt phẳng (KK 0 D 0 D) và (DA 0 C), dẫn đến KH ⊥ (A 0 C 0 D), từ đó suy ra rằng d((AB 0 C),(A 0 C 0 D)) = KH Đồng thời, trong tam giác KK 0 D vuông tại K, đường cao KH cũng được xác định.

3 2.1.5 Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Tính d(a,(α)) với (α) là mặt phẳng chứa b song song với a.

Để tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, bạn có thể áp dụng một trong các phương pháp sau.

Cách 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa b song song với a.

Bước 2: Chọn M trên a, dựng M H vuông góc với (α) tại H.

Bước 3: Từ điểm H dựng đường thẳng a1 song song với a và cắt b tại B.

Bước 4: Từ điểm B dựng đường thẳng song song với M H, cắt (α) tại A Khi đó đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Khi đó đoạn thẳng AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

Cách 3: Áp dụng cho trường hợp a ⊥ b Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa b, vuông góc với a tại A.

Bước 2: DựngAB ⊥ btạiB Khi đó đoạn thẳngAB là đoạn vuông góc chung của a và b.

Bài toán 2.1.5.1 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a√

2 Gọi I, K là trung điểm của AD, BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD.

Gọi O là tâm của hình vuông, ta có: OA = OB = OC = OD Theo đề bài SA = SB = SC = SD = a√

2 nên O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) Suy ra SO ⊥ (ABCD) Lại có

Suy ra (SBC) ⊥ (SIK) (vì BC ⊂ (SBC)) Lại có AD//BC suy ra AD//(SBC) nên d(AD, SB) = d(AD,(SBC)) = d(I,(SBC)) vì I ∈ AD.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên SK, ta có

OH ⊥BC ⇒ OH ⊥(SBC) ⇒d(O,(SBC)) = OH.

Xét ∆SAO vuông tại O ta có

Xét ∆SOK vuông tại O ta có

Mặt khác hai điểm I, O cùng nằm trên đường thẳng có giao điểm với

(SBC) tại K nên d(I,(SBC)) d(O,(SBC)) = IK

7 Bài toán 2.1.5.2 Cho lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng30 0 Hình chiếuH của

Ta có: AH ⊥ (A 1 B 1 C 1 ) nên góc giữa AA 1 và (A 1 B 1 C 1 ) là góc

AA\1H = 30 0 Xét ∆AHA1 ta có

2. Lại có: ∆A1B1C1 là tam giác đều cạnh a, H ∈ B1C1 và A1H = a√

2 nênA 1 H ⊥ B 1 C 1 Mặt khácAH ⊥ B 1 C 1 nênB 1 C 1 ⊥(AA 1 H) Kẻ đường cao HK của ∆AA1H thì HK chính là khoảng cách giữa AA1 và B1C1. Xét ∆AHA 1 vuông tại H, đường cao HK ta có

AA1.HK = A1H.AH ⇒ HK = A 1 H.AH

Bài toán 2.1.5.3 yêu cầu tính toán khoảng cách giữa các đường thẳng trong hình chóp SABCD, với đáy ABCD là hình vuông có tâm O và cạnh a, trong đó SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Cụ thể, cần tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng: SB và AD, SC và BD, SB và CD, SC và AD, cũng như SB và AC.

Ta có AD ⊥ AB vì tứ giác ABCD là hình vuông và AD ⊥ SA vì

SA ⊥ (ABCD) nên AD ⊥ (SAB).

Dựng AM ⊥ SB Khi đó,AM là đoạn vuông góc chung của SB vàAD suy ra d(SB, AD) =AM Xét ∆SAB vuông cân tại A ta có

Ta có BD ⊥ AC vì ABCD là hình vuông và BD ⊥ SA vì SA ⊥ (ABCD) suy ra BD ⊥ (SAC).

Dựng OH ⊥ SC Khi đó, OH là đoạn vuông góc chung của SC vàBD nên d(SC, BD) =OH Xét ∆SAC và ∆OHC, ta có

Ta có CD//AB ⇒CD//(SAB) Do đó d(CD, SB) =d(CD,(SAB)) = d(D,(SAB)) = a.

Vậy d(SB, CD) =a. d) Tính d(SC, AD)

Ta có AD//BC ⇒ AD//(SBC) Do đó d(AD, SC) =d(AD,(SBC)) =d(A,(SBC)) = AM = a√

Dựng Bx//AC suy raAC//(S, Bx) Do đó d(AC, SB) = d(AC,(S, Bx)) = d(A,(S, Bx)).

Hạ AE ⊥ Bx, ta được

Theo giao tuyến SE, ta có (S, Bx) ⊥ (SAE) Khi hạ AF ⊥ SE, ta suy ra AF ⊥ (S, Bx) Do đó, AF đại diện cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (S, Bx), tức là AF = d(SB, AC).

2 vì AOBE là hình chữ nhật. Xét ∆SAE vuông tại A, đường cao AF ta có

Bài toán 2.1.5.4 yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC trong chóp tam giác đều SABC, với cạnh đáy dài 3a và cạnh bên dài 2a Để giải bài toán, trước tiên cần xác định trọng tâm G của tam giác ABC Sau đó, áp dụng các công thức hình học để tính toán khoảng cách giữa hai đường thẳng này.

Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắtBC tạiM suy raAG ⊥BC. Hình chóp SABC đều mà G là trọng tâm của ∆ABC nên

BC ⊥ SG và BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM).

Trong ∆SAM, kẻ M N ⊥ SA (N ∈ SA) suy ra M N ⊥ BC (vì

M N ∩ (SAM)) Do đó M N là đoạn vuông góc chung của hai đường

M N.SA = SG.AM ⇒ M N = SG.AM

Bài toán 2.1.5.5 yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong tứ diện ABCD, với các cạnh AB = CD = a, AC = BD = b, và BC = AD = c Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Xét ∆CAB và ∆DAB, ta có

Do đó ∆CAB = ∆DAB (c-c-c).Cho nên hai đường trung tuyến CI và

DI tương ứng bằng nhau Suy ra ∆ICD cân tại I ⇒ IJ ⊥ CD.

Chứng minh rằng IJ vuông góc với AB, từ đó suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD, tức là d(AB, CD) = IJ Ngoài ra, BJ còn là đường trung tuyến của tam giác BCD.

4 Trong ∆BIJ vuông tại I ta có

Bài toán 2.1.5.6 yêu cầu giải quyết hình chóp SABC với cạnh SA = 2a, vuông góc với mặt phẳng (ABC), trong đó đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = a Gọi M là trung điểm của AC, nhiệm vụ là dựng đoạn vuông góc chung giữa SM và BC, đồng thời tính độ dài của đoạn vuông góc này.

Gọi N là trung điểm của AB suy ra BC//M N ⇒ BC//(SM N) Ta có

Do đó (SM N) ⊥(SAB) theo giao tuyến SN.

Kẻ BH ⊥ SN ⇒BH ⊥(SM N) Từ H dựng Hx//BC và cắt SM tại

E Từ E dựng Ey//BH và cắt BC tại F Khi đó EF là đoạn vuông góc chung của SM và BC Ta có ∆SAN và ∆BHN là hai tam giác vuông có hai góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng, suy ra

Mà EF BH là hình bình hành nên EF = BH hay d(SM, BC) = BH. Vậy khoảng cách giữa SM và BC bằng 2a√

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng một cách dễ dàng, không cần phải dựng hình chiếu, chúng ta có thể áp dụng một số kiến thức về thể tích và tỉ số thể tích hình học, đặc biệt là trong trường hợp tứ diện vuông Thể tích của tứ diện sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất hình học liên quan.

Tỉ số thể tích: Cho hình chóp SABC, trên cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A 0 , B 0 , C 0 Khi đó ta có

SC 0 Tính chất của tứ diện vuông: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA ⊥ OB, OB ⊥ OC, OC ⊥ OA) Khi đó đường cao OH của tứ diện

OABC được tính theo công thức

OC 2 Bài toán 2.2.1 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng(ABC), AD = AC = 4, AB = 3, BC = 5 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Dễ thấy ta có: AB 2 +AC 2 = BC 2 suy ra AB ⊥ AC Do đó

6AB.AC.AD = 8cm 2 Mặt khác ∆ACD vuông cân tại A nên DC = 4√

Do đó ∆BCD cân tại B Gọi I là trung điểm của CD, ta có

Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) bằng 6√

17 Bài toán 2.2.2 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√

2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

SB Lại có ∆SAB vuông tại A đường cao AH nên

S ∆SCD Mặt khác, ∆SCD vuông tại C (do AC 2 +CD 2 = AD 2 ) Do đó

Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) bằng a

3. Bài toán 2.2.3 Cho lăng trụ đứng ABCA 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA 0 = a√

2 Gọi M là trung điểm của BC.Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B 0 C.

Gọi E là trung điểm của BB 0 suy ra BE = 1

2 Ta có EM là đường trung bình trong ∆B 0 BC suy ra EM//CB 0 Mà EM ⊂ (AM E) nên B 0 C//(AM E) nên d(B 0 C, AM) = d(B 0 C,(AM E)) = d(C,(AM E)).

Ta có EB ⊥ (AM C) nên EB là đường cao của khối tứ diện CEAM.

S AEM Trong ∆AEB vuông tại B, ta có

2 Gọi H là hình chiếu của B lên AE Ta có

Lại có BM ⊥ (ABB 0 A 0 ) ⇒ BM ⊥ BH Xét ∆BHM vuông tại B

Cho nên d(AM, CB 0 ) = d(C,(AM E)) = 3VCAEM

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B 0 C bằng a√

7 Bài toán 2.2.4 [4, tr.152] Cho lăng trụ đứng ABCA 0 B 0 C 0 có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a√

3 và hình chiếu vuông góc củaA 0 lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC 0 B 0 ).

Xét ∆ABC vuông tại A ta có

∆ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên

Theo giả thiết, ta có A 0 H ⊥ (ABC) ⇒ A 0 H ⊥ AH Xét ∆A 0 AH vuông tại H nên

Vì A 0 H ⊥ (ABC) nên A 0 H ⊥ (A 0 B 0 C 0 ) Do đó A 0 H ⊥ A 0 B 0 Xét

Do đó ∆BB 0 H cân tại B 0 Gọi K là trung điểm của BH, ta có

14 Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC 0 B 0 ) bằng 3√

14 Bài tập 2.2.5 (Đề tuyển sinh Đại học khối D năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 , có cạnh là a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A 0 BD).

Xét tứ diện AA 0 BD ta có

Suy ra d(A,(A 0 BD)) = S ABD AA 0

Vì ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 là hình lập phương cạnh bằng a nên ∆A 0 BD là tam giác đều cạnh a√

2 Cho nên d(A,(A 0 BD)) = S ABD AA 0

Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A 0 BD) bằng a√

3 Bài tập 2.2.6 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), biết AC = AD = 4, AB = 3, BC = 5 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).

Gọi AH là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Dễ dàng ta thấy BC 2 = AB 2 +AC 2 = 25 nên ∆ABC vuông tại A Do đó tứ diện

ABCD đôi một vuông góc với nhau tại A nên theo tính chất của tứ diện vuông ta có

17 Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng 6√

Bài tập 2.2.7.Cho hình chópSABCD có đáyACBDlà hình thoi tâmO, cạnha,BAD\ = 60 0 , SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)và SO = 3a

4 a) Tính d(O,(SBC)), d(A,(SBC)). b) Tính d(AD, SB).

Vì ABCD là hình bình hành cạnh a có BAD\ = 60 0 nên ∆ABC là

8 Vì AO∩(SBC) tại C nên d(A,(SBC)) d(O,(SBC)) = AC

Vì AD//(SBC) nên d(AD, SB) = d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC)) = 3a

4 Bài tập 2.2.8 [7, tr 215] Cho hình lập phương ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 có cạnh bằng a Tính d(AC, DC 0 ).

Vì AC//A 0 C 0 nên AC//(DA 0 C 0 ) Do đó d(AC, DC 0 ) = d(AC,(DA 0 C 0 )) = d(A,(DA 0 C 0 )) =d(D 0 ,(DA 0 C 0 )).

Vì hai điểm A vàD 0 nằm trên đường thẳng có giao điểm với mặt phẳng

(DA 0 C 0 ) tại O nên ta có d(A,(DA 0 C 0 )) d(D 0 ,(DA 0 C 0 )) = AO

Do đó d(A,(DA 0 C 0 )) = d(D 0 ,(DA 0 C 0 )) Tứ diện D 0 DA 0 C 0 vuông tại D 0 nên

Bài tập 2.2.9 (Đề tuyển sinh Đại học khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABCA 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = a, cạnh bên AA 0 = a√

2 Gọi M là trung điểm của BC. a) Tính d(AM, B 0 C). b) Tính d(M,(AB 0 C)).

Gọi E là trung điểm của BB 0 khi đó M E//B 0 C suy raB 0 C//(AM E). Lại có E là trung điểm của BB 0 nên d(B 0 ,(AM E)) = d(B,(AM E)) Do đó d(AM, B 0 C) = d(B 0 C,(AM E)) = d(B 0 ,(AM E)) = d(B,(AM E)).

Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB0C), trước tiên cần xác định khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng này Sau đó, áp dụng công thức tỉ số khoảng cách sẽ giúp tính toán dễ dàng hơn Điều này có thể thực hiện được nhờ vào việc nhận diện tứ diện BB0AC là tứ diện vuông.

B Xét tứ diện BB 0 AC vuông tại B ta có

5 Vì đường thẳng qua hai điểm B,M có giao điểm với mặt phẳng (AB 0 C) tại C nên ta có d(M,(AB 0 C)) d(B,(AB 0 C)) = M C

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Để tính khoảng cách trong hình học không gian, có thể xây dựng hệ trục tọa độ Oxyz, chuyển đổi bài toán hình học thành bài toán tọa độ Phương pháp này đơn giản và hiệu quả, đặc biệt trong các bài toán trắc nghiệm Các bước thực hiện bao gồm xác định tọa độ các điểm và áp dụng công thức tính khoảng cách.

Để bắt đầu, hãy chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian và xác định tọa độ của các điểm liên quan Các trục Ox, Oy, Oz phải vuông góc với nhau, và trong trường hợp hình vẽ bài toán có chứa các cạnh vuông góc, nên ưu tiên chọn những cạnh đó làm trục tọa độ Hình vẽ minh họa sẽ giúp làm rõ hơn cho quá trình này.

Bước 2: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.

Bài toán 2.3.1 Cho hình lập phương ABCDA 0 B 0 C 0 D 0 có cạnh bằng a Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho AI = a

3 Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (B 0 DI).

Chọn hê trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có

.Khi đó mp (B 0 DI) nhận vectơ −→n(−3; 1; 2) là một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (B 0 DI) là

Vậy khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (B 0 DI) bằng 3a

√14. Bài toán 2.3.2 Cho hình chópSABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a SD vuông góc với mặt đáy,

SD = a Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ D là gốc tọa độ, A∈ Ox, C ∈ Oy,

Lấy a = 1 ta được −→n = (1; 1; 2) nên ta có phương trình

√6. Vậy khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) bằng a

((SBC),(ABCD)) =SBA[ = 60 ◦ Xét tam giác vuông SBA, ta có tan 60 ◦ = SA

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó

! nên ta có phương trình

Vậy khoảng cách từ điểm G tới mặt phẳng (SBC) bằng a√

3 Bài toán 2.3.4 Cho hình lăng trụ ABCA 0 B 0 C 0 các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 0 B và B 0 C 0 Giải

Vì các mặt bên của lăng trụ là hình vuông, nên các cạnh AB, BC và CA đều bằng nhau Gọi độ dài cạnh là a, ta có B0C0 = C0A0 = a Như vậy, các tam giác ABC và A0B0C0 là các tam giác đều với cạnh a Đặt O là trung điểm của AC và gắn hệ trục tọa độ theo hình vẽ.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa A 0 B và song song với B 0 C 0 , khi đó mặt phẳng (P)

Nên có phương trình mặt phẳng là

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng A 0 B và B 0 C 0 bằng a√

Bài toán 2.3.5 yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC trong hình chóp S.ABC, với đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, có độ dài cạnh AB bằng a và góc giữa các cạnh bên và mặt đáy là 60 độ.

Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC), ta có

\SAH = SBH\ = \SCH = 60 ◦ ⇒ AH = BH = CH.

Mà tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm của BC Xét tam giác vuông SHB, ta có tan 60 ◦ = SH

2 Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có

Vì H là trung điểm BC nên H a

2,0 Hoành độ và tung độ của S bằng với hoành độ và tung độ của H, do đó S a

! Gọi (P) là mặt phẳng chứa SC và song song với AB, khi đó

Nên ta có phương trình mặt phẳng là

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng a√

7 Bài toán 2.3.6 Cho hình chóp tứ giác đều E.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a√

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và EB.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AD và song song với EB, khi đó

Nên ta có phương trình mặt phẳng là

16 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và EB bằng a√