Về một lớp không gian các họ nhận giá trị trong không gian lồi địa phương

2 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các họ nhận giá trị không gian lồi địa phương không gian dãy Orlicz 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian dãy nhận giá trị không gian lồi địa phương 15 1.3 Các họ số khả tổng 17 1.4 Các họ nhận giá trị không gian lồi địa phương 20 1.5 Hàm Orlicz không gian dãy Orlicz 21 Không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz 23 2.1 Xây dựng không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz 23 2.2 Một số tích chất lớp khơng gian Kết luận 32 39 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Trong giải tích hàm, lớp khơng gian tuyến tính định chuẩn có vai trị quan trọng lớp khơng gian dãy Không gian dãy cổ điển xét với dãy nhận giá trị trường vô hướng, tính chất khơng gian dãy ví dụ điển hình giải tích hàm cổ điển Trong [6] sử dụng ý tưởng Orlicz tác giả J Lindenstrauss L Tzafriri xây dựng khơng gian tuyến tính định chuẩn dãy nhận giá trị vô hướng từ lớp hàm thực đặc biệt, mà chúng gọi hàm Orlicz Các tính chất không gian dãy Orlicz nghiên cứu sâu sắc thông qua cấu trúc hàm Orlicz J Lindenstrauss L Tzafriri Trong [4] tác giả xây dựng lớp không gian dãy Orlicz nhận giá trị không gian lồi địa phương đưa số tính chất chúng Một mở rộng tự nhiên dãy dãy suy rộng (hay gọi họ số) xuất nhiều giải tích (xem [8]) Cũng vậy, mở rộng tự nhiên họ số họ phần tử khơng gian định chuẩn trình bày [8] Mục đích luận văn xây dựng khơng gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz Vì vậy, lựa chọn đề tài: Về lớp không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương Nội dung luận văn viết thành chương Chương dành cho việc hệ thống lại khái niệm kết phục vụ cho việc xây dựng không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz như: không gian lồi địa phương; họ số bị chặn, họ số hội tụ tới không họ số khả tổng; họ bị chặn, họ hội tụ tới không họ khả tổng nhận giá trị không gian lồi địa phương; hàm Orlicz không gian dãy số xác định hàm Orlicz Chương trình bày kết nghiên cứu xây dựng cấu trúc lồi địa phương cho không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz số tính chất lớp khơng gian Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học cảm ơn thầy, giáo mơn Giải tích, Khoa Sư phạm Tốn học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp Tổ Tốn Trường THPT Hịa Hội, Bà Rịa-Vũng Tàu giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Cuối cùng, chân thành cảm ơn anh chị, bạn khóa học đặc biệt bạn lớp Cao học 22 Giải tích Trường Đại học Sài gòn cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2016 Bùi Quốc Trung CHƯƠNG CÁC HỌ NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ KHÔNG GIAN CÁC DÃY ORLICZ Chương nhằm mục đích trình bày số kiến thức chuẩn bị cần dùng sau, không gian lồi địa phương, không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương, hàm Orlicz không gian họ Orlicz 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục nhắc lại số kết tập định hướng, không gian định chuẩn, không gian Banach cần dùng sau Các kết tìm thấy [2] 1.1.1 Định nghĩa Tập I = ∅ gọi định hướng xác định quan hệ ">" thoả mãn tính chất: 1) Với m, n, p ∈ I cho m > n n > p m > p; 2) Với m ∈ I m > m; 3) Với m, n ∈ I tồn p ∈ I cho p > m, p > n Khi đó, tập I gọi định hướng quan hệ ">" ký hiệu (I, >) viết tắt I Ta dễ dàng có mệnh đề sau 1.1.2 Mệnh đề Cho I tập số tuỳ ý Ký hiệu F(I) = J ⊂ I : J hữu hạn Trên F(I) định nghĩa quan hệ bao hàm ” > ” sau với J, K ∈ F(I) : J > K ⇔ K ⊂ J Khi đó, F(I) với quan hệ bao hàm tập định hướng 1.1.3 Định nghĩa Giả sử I tập định hướng quan hệ ” > ” Khi đó, hàm S xác định I gọi lưới hay dãy suy rộng ký hiệu (S, I, >) viết tắt S Nếu miền giá trị S không gian tơpơ gọi lưới khơng gian tơpơ 1.1.4 Ví dụ 1) Nếu I tập số tự nhiên N với quan hệ thứ tự thông thường lưới xác định N dãy thơng thường 2) Nếu I tập số tùy ý S hàm xác định F(I) S lưới với quan hệ bao hàm 1.1.5 Định nghĩa Giả sử I tập định hướng quan hệ ” > ” (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, lưới (Sn , I, >) gọi hội tụ không gian tôpô đến điểm S tôpô τ , với lân cận U S tồn n0 ∈ I cho với n thuộc I mà n > no Sn ∈ U Khi đó, ký hiệu lim Sn = S hay Sn → S 1.1.6 Định nghĩa Cho hàm thực f : (a, b) → R Hàm f gọi lồi f λx + (1 − λ)y với x, y ∈ (a, b) λ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1) 1.1.7 Nhận xét Điều kiện (1.1) tương đương với điều kiện sau: f (t) − f (s) t−s với a < s < t < u < b f (u) − f (t) u−t (1.2) 1.1.8 Mệnh đề Cho f : (a, b) → R hàm lồi c ∈ (a, b) Khi đó, f (x) − f (c) hàm p : (a, b) \ {c} → R xác định p(x) = không x−c giảm Ngược lại, với c ∈ (a, b) hàm p khơng giảm f hàm lồi 1.1.9 Hệ Giả sử f hàm khả vi (a, b) Khi đó, f lồi f hàm đơn điệu tăng (a, b) 1.1.10 Hệ Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp (a, b) f (x) > với x ∈ (a, b) f hàm lồi 1.1.11 Ví dụ Từ hệ ta thấy hàm f (x) = ex lồi R y = xp hàm lồi (0, ∞) với p 1.1.12 Định nghĩa ([6]) Hàm M : [0, +∞) → R gọi hàm Orlicz 1) M hàm không giảm, liên tục; 2) M (0) = lim M (t) = ∞; t→∞ 3) M hàm lồi 1.1.13 Định nghĩa Hàm Orlicz M gọi suy biến tồn t > cho M (t) = 1.1.14 Ví dụ Các hàm M (t) = ; M (t) = tet hàm Orlicz 1.1.15 Định nghĩa Cho E khơng gian tuyến tính trường K Hàm : E → R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau: 1) x 0, với x ∈ E x = ⇔ x = 0; 2) λx = |λ| x , với λ ∈ K với x ∈ E ; 3) x + y x + y , với x, y ∈ E Khi (E, ) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Với tôpô sinh mêtric sinh chuẩn phép tốn cộng nhân vơ hướng E liên tục Cho E, F không gian định chuẩn Ký hiệu L(E, F ) tập hợp ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta biết L(E, F ) không gian định chuẩn với chuẩn f = sup f (x) , ∀f ∈ L(E, F ) x =1 Nếu F khơng gian Banach L(E, F ) khơng gian Banach Đặc biệt, L(E, K) := E ∗ không gian liên hợp thứ E không gian Banach Các lớp không gian Banach quen thuộc sau quan tâm nhiều luận văn 1.1.16 Ví dụ Giả sử K trường số thực số phức Ký hiệu l∞ = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) dãy bị chặn ; C = x = (xn ) ⊂ K : (xn ) dãy hội tụ ; C0 = x = (xn ) ⊂ K : lim xn = ; n→∞ ∞ |xn |p < ∞ , p lp = x = (xn ) ⊂ K : n=1 Với phép toán cộng dãy nhân số với dãy thông thường ta có l∞ (E) khơng gian tuyến tính C , C0 lp không gian l∞ Hơn lp ⊂ C0 ⊂ C ⊂ l∞ Ta biết l∞ không gian Banach với chuẩn xác định x = sup |xn |, ∀x ∈ l∞ (1.3) n Đặc biệt C0 , C khơng gian đóng l∞ , chúng khơng gian Banach với chuẩn Tuy nhiên lp khơng đóng l∞ Đối với lp , người ta xét chuẩn xác định công thức ∞ x p |xn |p = 1/p , ∀x ∈ lp (1.4) n=1 Khi đó, lp khơng gian Banach 1.1.17 Định nghĩa Không gian vectơ tôpô không gian vectơ với tơpơ cho phép tốn cộng nhân vơ hướng liên tục(hoặc định nghĩa là: Khơng gian vectơ X gọi khơng gian vectơ tơpơ cho tơpơ tương thích với cấu trúc đại số X cho điểm X tập đóng) 1.1.18 Định nghĩa Giả sử A tập không gian vectơ tôpô X a) Tập A gọi lồi với x, y ∈ A với t ∈ [0; 1], ta có t.x + (1 − t).y ∈ A; b) Tập A gọi cân αA ⊂ A với α ∈ K |α| < 1; c) Tập A gọi hút, với x ∈ X tồn λ > cho x ∈ µA với µ thỏa điều kiện |µ| ≥ λ d) Tập A gọi bị chặn với lân cận V tồn số s > cho A ⊂ tV với t > s 1.1.19 Nhận xét Tập A ⊂ X bị chặn bị hút lân cận ∈ X 1.1.20 Định nghĩa Không gian vectơ tơpơ gọi lồi địa phương có sở lân cận U gồm tập lồi 10 1.1.21 Mệnh đề Giả sử X khơng gian lồi địa phương Khi ∈ X có sở lân cận U thoả mãn: 1) U, V ∈ U có W ∈ U cho W ⊂ U ∩ V ; 2) αU ∈ U với α ∈ K, α = với U ∈ U; 3) Mọi U ∈ U lồi, cân hút Hơn nữa, không gian vectơ X có họ tập U (khơng rỗng) thoả mãn 1), 2) 3) khơng gian lồi địa phương với U sở lân cận 1.1.22 Nhận xét Mỗi (E, ) không gian định chuẩn không gian lồi địa phương Cở sở lân cận tập lồi hình cầu mở Bn = {x ∈ E : x < }, n = 1, 2, n 1.1.23 Định nghĩa 1) Không gian vectơ tôpô X gọi không gian khả định chuẩn X có chuẩn cho mêtric sinh chuẩn sinh tôpô X 2) Không gian vectơ tôpô X gọi bị chặn địa phương tồn lân cận tập bị chặn Người ta chứng minh kết sau: 1.1.24 Định lý Không gian véctơ tôpô khả định chuẩn lồi địa phương bị chặn địa phương Mệnh đề sau tồn tôpô lồi địa phương từ họ tập lồi, cân hút 1.1.25 Mệnh đề Nếu không gian véctơ E có họ U gồm tập lồi, cân hút E tồn tơpơ yếu cho hai phép toán E liên tục E trở thành không gian lồi địa phương Hơn nữa, sở E họ tập U = ε ∩ni=1 Vi , ε > 0, Vi ∈ U, i n 11 1.1.26 Mệnh đề Nếu tôpô lồi địa phương τ X nhận U làm sở lân cận điểm ∈ X tơpơ Hausdorff εU = U ∈U;ε>0 Sau ta trình bày kết cốt yếu xác định tôpô lồi địa phương thông qua họ nửa chuẩn Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm nửa chuẩn 1.1.27 Định nghĩa Cho X không gian vectơ Hàm p xác định X nhận giá trị thực gọi nửa chuẩn X với x, y ∈ X với λ ∈ K ta có N1 ) p(x) 0; N2 ) p(x + y) p(x) + p(y); N3 ) p(λx) = |λ|p(x) Nửa chuẩn p không gian vectơ X chuẩn X p(x) = suy x = Nếu p chuẩn X x ∈ X số p(x) thường kí hiệu ||x|| 1.1.28 Mệnh đề Nếu p nửa chuẩn khơng gian vectơ X với α > tập A = {x ∈ X : p(x) < α} B = {x ∈ X : p(x) α} lồi, cân hút 1.1.29 Nhận xét Giả sử P họ nửa chuẩn không gian vectơ X Khi đó, kết hợp Mệnh đề 1.1.25 Mệnh đề 1.1.28 ta có: Trên X tồn tôpô yếu cho X không gian vectơ tôpô p ∈ P liên tục Hơn nữa, X không gian lồi địa phương sở lân cận họ tập lồi có dạng U = {x ∈ X : sup pi (x) < ε, i = 1, , n}, ε > 0, pi ∈ P , n ∈ N 26 Đặt ρα = ρ1 + ρ2 Khi đó, ta có pα (xi + yi ) pα (xi + yi ) =M ρα ρ + ρ2 pα (xi ) + pα (yi ) ≤M ρ + ρ2 ρ1 pα (xi ) ρ2 pα (yi ) ≤M + ρ1 + ρ2 ρ ρ1 + ρ ρ2 ρ1 pα (xi ) pα (yi ) ρ2 ≤ M M + ρ + ρ2 ρ1 ρ1 + ρ2 ρ2 M Suy M i∈I < ρ1 ρ1 + ρ2 M i∈I pα (xi + yi ) ρα pα (xi ) ρ1 + ρ1 ρ1 + ρ2 M i∈I pα (yi ) < ∞ ρ2 Vì vậy, x + y ∈ lM (E) Nếu λ = λx = (0, 0, · · · , 0, · · · ) ∈ lM (E) Nếu λ = với ρ1 ρ= ta có |λ| M i∈I pα (λxi ) = ρ1 M i∈I |λ|pα (xi ) = ρ1 M i∈I pα (xi ) < ∞ ρ Suy λx ∈ lM (E) Do lM (E) khơng gian tuyến tính l∞ (E) Như vậy, lM (E) không gian lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn cảm sinh từ l∞ (E) Sau đây, trang bị tôpô lồi địa phương khác cho lM (E) 2.1.4 Định lý lM (E) không gian lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn Q = {qα : α ∈ Λ} cho bởi: qα (x) = inf ρα > : M i∈I với x ∈ lM (E) với α ∈ Λ pα (xi ) ≤1 ρα (2.4) 27 Chứng minh Ta chứng minh qα nửa chuẩn lM (E) Từ (2.4) suy với α ∈ Λ qα ≥ với x ∈ lM (E) Nếu x = xi = với i ∈ I nên qα (0) = inf{ρ > 0} = Tiếp theo ta với α ∈ Λ qα (λx) = |λ|qα (x) với x ∈ lM (E) λ ∈ K Trường hợp λ = x = hiển nhiên Nếu λ = x = qα (λx) = inf ρα > : M pα (λxi ) ≤1 ρα M |λ|pα (xi ) ≤1 ρα M pα (xi ) ≤1 ρα M pα (xi ) ≤1 ρα i∈I = inf ρα > : i∈I Đặt ρα = ρα Khi ta có |λ| qα (λx) = inf ρα |λ| : i∈I = |λ| inf ρα : i∈I =|λ|qα (x) Bây giờ, với α ∈ Λ x, y ∈ lM (E) ta đặt u = qα (x) = inf ρα : M pα (xi ) ≤1 ρα M pα (yi ) ≤1 ρα i∈I v = qα (y) = inf ρα : i∈I Khi M i∈I pα (xi ) ≤ qα (x) M i∈I pα (yi ) ≤ qα (y) 28 Giả sử t, s ∈ R cho s ≥ u t ≥ v Do M hàm không giảm nên ta có: M i∈I pα (xi ) ≤ s M pα (xi ) ≤1 qα (x) M pα (yi ) ≤ qα (y) i∈I M i∈I pα (yi ) ≤ t i∈I Mặt khác, với i ∈ I ta có s pα (xi ) t pα (yi ) pα (xi ) + pα (xi ) = + t+s s+t s s+t t Từ M hàm lồi suy ra: M pα (xi ) + pα (yi ) pα (xi + yi ) ≤M t+s t+s s pα (xi ) t pα (yi ) ≤ M + M s+t s s+t t s t ≤ + = s+t s+t Do s + t ∈ ρα : M i∈I pα (xi + yi ) ≤1 ρα Vì qα (x + y) = inf ρα : M i∈I pα (xi + yi ) ≤ ≤ s + t ρα (2.5) Vì (2.5) với s ≥ qα (x) t ≥ qα (y) nên suy qα (x + y) ≤ qα (x) + qα (y) Do ta kết luận qα nửa chuẩn Suy Q = {qα : α ∈ Λ} họ nửa chuẩn lM (E) Như vậy, lM (E) tồn tôpô lồi địa phương cho qα liên tục với α ∈ Λ 29 Ta cần bổ đề sau cho việc nghiên cứu tính Frechet khơng gian lM (E) 2.1.5 Bổ đề Nếu dãy (xk ) ⊂ lM (E), xk = (xki ) ⊂ E, k = 1, 2, hội tụ tới lM (E) lim xki = E với i ∈ I k→∞ Chứng minh Giả sử khẳng định không Khi đó, tồn i0 cho dãy (xki0 ) khơng hội tụ tới E Vì vậy, tồn dãy (kj ) α ∈ Λ k cho pα (xi0j ) r > Ta có k kj qα (x ) = inf ρα > : i∈I pα (xi j ) M ≤1 ρα Suy k i∈I k pα (xi0j ) pα (xi j ) r M ≥ M ≥ M qα (xkj ) qα (xkj ) qα (xkj ) (2.6) với kj Cho kj → ∞ với để ý qα (xkj ) → ta nhận r M → ∞ Mâu thuẫn với (2.6) Ta nhận điều cần chứng qα (xkj ) minh 2.1.6 Định lý Nếu E khơng gian Frechet lM (E) khơng gian Frechet Chứng minh Vì E khơng gian Frechet nên tôpô E sinh họ đếm nửa chuẩn P = {pk : k = 1, 2, } Hơn nữa, tôpô sinh mêtric: ∞ d(a, b) = k=1 pk (a − b) 2k + pk (a − b) với a, b ∈ E Khi đó, từ Định lý 2.1.4 ta có lM (E) khơng gian lồi địa phương sinh họ đếm nửa chuẩn Q = {qk : k = 1, 2, } 30 xác định qk (x) = inf ρk > : M i∈I pk (xi ) ≤1 ρk với x = (xi ) ∈ lM (E) Do đó, lM (E) không gian khả mêtric với ∞ D(x, y) = k=1 pk (a − b) 2k + pk (a − b) với x, y ∈ lM (E) Ta sẻ chứng minh tính đủ (lM (E), D) Giả sử, (xm )∞ m=1 dãy m Cauchy lM (E), xm = (xm i )i∈I Ta cần (x ) hội tụ tới x ∈ lM (E) theo nửa chuẩn qk Thật vậy, (xm ) dãy Cauchy nên m n qk (x − x ) = inf ρk > : i∈I n pk (xm i − xi ) ≤1 →0 M ρk (2.7) m, n → ∞ Vì vậy, nhờ Bổ đề 2.1.5, với k = 1, 2, với i ∈ I ta có n pk (xm i − xi ) → m, n → ∞ Do (xm ) dãy Cauchy Vì E đủ nên lim xm i = xi ∈ E m→∞ với i ∈ I Đặt x = (xi )i∈I Từ (2.7)suy với ε > tồn m0 cho m n qk (x − x ) = inf ρk > : i∈I n pk (xm i − xi ) ≤1 : i∈I pk (xm i − x) M ≤1 : 1/q ρ i∈I = inf ρ > : cα (x) ρ = cα (x) 32 2.1.8 Chú ý Nếu I = N kết kết trình bày [4] 2.2 Một số tích chất lớp khơng gian Mục nghiên cứu số tính chất lớp không gian không gian lM (E) Giả sử M hàm Orlicz, E không gian lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn P = {pα : α ∈ Λ} I tập số tùy ý Ký hiệu: hM (E) = x = (xi ) ⊂ E : M i∈I pα (xi ) < ∞, với ρ > 0, với α ∈ Λ ρ (2.11) 2.2.1 Định lý Nếu E khơng gian lồi địa phương hM (E) khơng gian đóng lM (E) Chứng minh Trước tiên ta chứng minh hM (E) không gian lM (E) Giả sử x, y ∈ hM (E) λ ∈ K Khi đó, λ = hiển nhiên λx ∈ hM (E) Nếu λ = với α ∈ Λ Với ρ > 0, đặt ρ = M i∈I pα (λxi ) = ρ M i∈I ρ ta có λ pα (xi ) < ∞ ρ Suy λx ∈ hM (E) Từ suy 2x, 2y ∈ hM (E) M i∈I pα (λ2xi ) < ∞ ρ M i∈I pα (λ2yi ) Từ tính lồi M ta có: pα (xi + yi ) pα (xi ) + pα (yi ) M ≤M ρ ρ pα (2xi ) pα (2yi ) =M + ρ ρ pα (2xi ) pα (2yi ) ≤ M + M < ∞ ρ ρ Vì x + y ∈ hM (E) Do ta kết luận hM (E) không gian lM (E) Tiếp theo ta chứng minh hM (E) đóng lM (E) Giả sử (xk ) dãy (suy rộng) hM (E) xk hội tụ tới x lM (E) Khi đó, với α ∈ Λ, với ε > tồn k0 cho pα (xk − x) = inf ρ > : M i∈I với k pα (xki − xi ) ρ < ε k0 Vì Mặt khác, xk0 pα (xki − xi ) M ε i∈I ∈ hM (E) nên pα (xki ) M < ∞ ε i∈I Do tính khơng giảm lồi hàm M ta có pα (xki − xi ) pα (xi ) M + ε ε k0 pα (xi − xi ) pα (xki ) 1 M + M ε ε 2 2 với n Từ (2.12), (2.13) (2.14) ta nhận (2.12) (2.13) pα (xn ) M ε M i∈I pα (xi ) < ∞ ε (2.14) 34 với α ∈ I Vì ε > tùy ý nên ta có x = (xi ) ∈ hM (E) Từ định lý ta nhận hệ sau: 2.2.2 Hệ Nếu E khơng gian Frechet hM (E) không gian Frechet Định lý sau mô tả không gian hM (E) lM (E) trường hợp M suy biến 2.2.3 Định lý Nếu M suy biến 1) lM (E) đẳng cấu với l∞ (E); 2) hM (E) đẳng cấu với C0 (E) Chứng minh 1) Từ Bổ đề 2.1.2 ta có lM (E) ⊂ l∞ (E) Giả sử M suy biến Khi đó, tồn t0 > cho M (t0 ) = Từ tính liên tục M lim M (t) = ∞ suy tồn T0 giá trị lớn cho M (T0 ) = t→∞ Giả sử x = (xi ) ∈ l∞ (E) Với α ∈ Λ, ta đặt kα = sup pα (xi ) < ∞ i∈I Lấy ρ = 2kα ta thu T0 pα (xi ) T0 pα (xi ) = ρ 2kα T0 Từ tính chất khơng giảm M (t) ta có M pα (xi ) ρ M T0 =0 với i Ta nhận M i∈I pα (xi ) = ρ Hay x = (xi ) ∈ lM (E) Vì l∞ (E) = lM (E) Khi đó, tồn song ánh l∞ (E) lM (E) 35 Để chứng minh lM (E) đẳng cấu với l∞ (E) ta phải nửa chuẩn chúng so sánh với Ta xét l∞ (E) với nửa chuẩn bα (x) = sup pα (xi ) i∈I Từ chứng minh ta có, với ρ = M i∈I 2kα T0 pα (xi ) =0 : i∈I 2kα 2bα (x) = T0 T0 Như vậy, 2bα (x) T0 qα (x) (2.15) với x ∈ lM (E) Nếu x ∈ lM (E) qα (x) = Khi i∈I M pα (xi ) qα (x) với x ∈ lM (E) x = Gọi T1 số lớn cho M (T1 ) = (T1 tồn tính liên tục M , lim M (t) = ∞ M (0) = 0) Ta có t→∞ M pα (xi ) qα (x) với i Do tính khơng giảm M nên pα (xi ) qα (x) T1 với i Ta thu bα (x) = sup pα (xi ) (2.16) T1 qα (x) i∈I với qα (x) = Nếu qα (x) = từ qα (x) = inf ρ > : M i∈I pα (xi ) ρ 1} = 36 suy pα (xi ) ρ M i∈I với ρ > Khi đó, pα (xi ) = từ lim M (t) = ∞ suy tồn t→∞ pα (xi ) ρ > 0, M > Mâu thuẫn với ρ pα (xi ) ρ M i∈I Vì pα (xi ) = với i, tức bα (x) = sup pα (xi ) = i∈I Vì vậy, bất đẳng thức (2.16) với x ∈ lM (E) Từ (2.15),(2.16) Định lý 1.1.42 ta có lM (E) đẳng cấu với l∞ (E) 2) Vì C0 (E) khơng gian đóng l∞ (E) hM (E) khơng gian đóng lM (E), M suy biến lM (E) đẳng cấu với l∞ (E) nên để chứng minh hM (E) đẳng cấu với C0 (E) ta cần hM (E) = C0 (E) M suy biến Giả sử x = (xi ) ∈ hM (E) Khi i∈I pα (xi ) ρ M Nếu x ∈ / C0 (E) tồn α ∈ Λ cho họ pα (xi ) < ∞ với ρ > i∈I không hội tụ tới Suy tồn tập vô hạn J ⊂ I cho pα (xj ) r > với j ∈ J Lấy ρ cho r ρ pα (xj ) ρ Khi i∈I M pα (xi ) ρ < ∞ Tuy nhiên, suy M pα (xj ) ρ pα (xi ) ρ pα (xi ) ρ i∈I với j Do họ M khả tổng họ M 2T0 r ρ pα (xj ) ρ 2T0 với j nên M (2T0 ) > không hội tụ tới Mâu thuẫn với Vì hM (E) ⊂ C0 (E) 37 Ngược lại, giả sử x = (xi ) ∈ C0 (E) Ta x ∈ hM (E) Thậy vậy, với ρ > tùy ý Khi đó, từ họ (xi ) hội tụ tới suy họ số ( pα (xi ) hội tụ tới với α ∈ Λ Do đó, với α ∈ Λ tồn J ∈ F(I) pα (xi ) cho pα (xi ) < ρT0 với i ∈ / J Hay < T0 với i ∈ / J Vì ρ pα (xi ) M( ) = với i ∈ / J Ta thu ρ M i∈I pα (xi ) = ρ pα (xi ) + ρ M i∈J = M i∈I\J pα (xi ) ρ pα (xi ) < ∞ ρ M i∈J Vì x = (xi ) ∈ hM (E) Do C0 (E) ⊂ hM (E) Từ ta có C0 (E) = hM (E) Ta nhắc lại với tập tùy ý I hàm ei : I → K xác định ei (j) = i = j i = j Giao họ không gian vectơ E không gian vectơ E Giao tất không gian vectơ E chứa M ⊂ E không gian vectơ bé chứa M , gọi bao tuyến tính M , kí hiệu span (M ) 2.2.4 Định lý Ta có span {ei : i ∈ I} = hM (E) Chứng minh Dễ dàng ei ∈ hM (E) với i ∈ I Do hM (E) khơng gian đóng lM (E) nên suy span {ei : i ∈ I} ⊂ hM (E) Giả sử x = (xi ) ∈ hM (E) với ε > ta có M i∈I pα (xi ) < ∞ ε (2.17) 38 Vì vậy, tồn J ∈ F(I) cho M i∈I\J pα (xi ) < ε xi ei ta có xJ ∈ span {ei : i ∈ I} Hơn từ 2.17 suy ra: Xét xJ = i∈J pα (xJ − x) = inf ρ > : M i∈I\J pα (xi ) ρ Như vậy, x ∈ span {ei : i ∈ I} Với I = N E = R ta nhận hệ sau: 2.2.5 Hệ hM (E) không gian khả ly ε 39 Kết luận Luận văn thu kết sau sau: Trình bày có hệ thống số kết không gian lồi địa phương; họ số bị chặn, họ số hội tụ tới không họ số khả tổng; họ bị chặn, họ hội tụ tới không họ khả tổng nhận giá trị không gian lồi địa phương; hàm Orlicz không gian dãy số xác định hàm Orlicz Xây dựng cấu trúc tuyến tính, cấu trúc tơpơ lồi địa phương cho không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz (Mục 2.1) Đưa số tính chất lớp không gian không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz (Mục 2.2) 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Huy Bảng (2003),Lý thuyết không gian dãy Orlicz, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I Tập II, NXB Giáo Dục [3] Trương Thị Thu Hiền (2014), Về không gian dãy nhận giá trị không gian định chuẩn xác định hàm Orlicz, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [4] Trần Thị Hằng (2015) Về không gian dãy nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Vinh [5] Nguyễn Thị Liên (2000),Không gian dãy nhận giá trị không gian lồi địa phương Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Vinh [6] J Lindenstrauss and L Tzafriri (1977), Classical Banach spaces I Sequence spaces, Springer-Verlag, Berlin-New York [7] R Meise and D Vogt(1997) Introduction to Functional Analysis, Claderon Press, Oxford [8] A Pietsch (1972) Nuclear Locally Convex Spaces, Springer- Verlag ... đích luận văn xây dựng không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz Vì vậy, lựa chọn đề tài: Về lớp không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương Nội dung luận... dãy nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz thực [4] Trong chương không gian lồi địa phương giả thiết Hausdorff 2.1 Xây dựng không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương. .. địa phương cho không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định hàm Orlicz (Mục 2.1) Đưa số tính chất lớp không gian không gian họ nhận giá trị không gian lồi địa phương xác định