Phương pháp lặp giải một lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ Phương pháp lặp giải lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert PHẠM THỊ THƠM thom.pt211308m@sis.hust.edu.vn Ngành Toán Tin Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Viện: Toán ứng dụng Tin học HÀ NỘI, 04/2022 Chữ kí GVHD i Lời cảm ơn Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, giảng viên Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Cơ tận tình dành nhiều thời gian tâm huyết hướng dẫn nghiên cứu suốt trình thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS Trịnh Ngọc Hải, giảng viên Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn q trình nghiên cứu Tóm tắt nội dung luận văn Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân tách không gian Hilbert số tốn có liên quan với phương pháp giải tốn, trình bày số kiến thức số tốn tử khơng gian Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hai cấp không gian Hilbert thực phương pháp giải tốn; trình bày số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp; chứng minh hội tụ phương pháp Trình bày số áp dụng giải tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn chấp nhận tách không gian Hilbert thực; đưa ví dụ số minh họa cho hội tụ dãy lặp số trường hợp đặc biệt Học viên Phạm Thị Thơm ii Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Danh sách bảng Danh sách hình vẽ Mở đầu Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân tách khơng gian Hilbert 1.1 Bài tốn bất đẳng thức biến phân 1.1.1 Toán tử đơn điệu phép chiếu mêtric 1.1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu gradient 16 Một ứng dụng thực tế bất đẳng thức biến phân 18 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách 21 1.2.1 Bài toán chấp nhận tách phương pháp chiếu CQ 21 1.2.2 Phương pháp chiếu CQ giải toán SVIP 22 1.2.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán 1.1.3 1.2 SVIP 24 iii Chương Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert thực 29 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 30 2.1.1 Phát biểu toán 30 2.1.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường 31 Phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán BSVIP 32 2.2.1 Bài toán giả thiết 32 2.2.2 Phương pháp hội tụ 33 Phương pháp tự thích nghi giải tốn BSVIP 34 2.3.1 Mô tả phương pháp 34 2.3.2 Sự hội tụ 36 2.2 2.3 Chương Áp dụng ví dụ minh họa 43 3.1 Nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách 43 3.2 Ví dụ minh họa 45 Kết luận 54 Danh mục cơng trình khoa học liên quan tới luận văn 55 Tài liệu tham khảo 56 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực Rn không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực ∀x với x x∈D x thuộc tập D x, y tích vơ hướng x y x chuẩn Euclide x A∗ toán tử liên hợp toán tử A I toán tử đồng Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T PC phép chiếu trực giao (mêtric) lên tập C VIP(F, C) toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F tập ràng buộc C SFP toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) SVIP toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) BVIP toán bất đẳng thức biến phân hai cấp (Bilevel Variational Inequality Problem) BSVIP toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split Variational Inequality Problem) ISM đơn điệu mạnh ngược (Inverse Strongly Monotone) ODEs phương trình vi phân (Ordinary Differential Equations) Danh sách bảng 1.1 Kết số Thuật tốn 1.2.7 cho Ví dụ 1.2.11 27 1.2 Kết số Thuật tốn 1.2.7 cho Ví dụ 1.2.11 28 3.1 Kết số cho Ví dụ 3.2.1 với αk = 3.2 Kết số cho Ví dụ 3.2.1 với αk = 3.3 Bảng so sánh Thuật toán 2.2.2 với Thuật toán 2.3.2 với √1 k+3 √ (k+3)2 47 47 giá trị x0 khác Ví dụ 3.2.1 3.4 48 Bảng so sánh Thuật toán 2.2.2 với Thuật toán 2.3.2 với giá trị αk khác Ví dụ 3.2.1 49 3.5 Kết số cho Ví dụ 3.2.2 với x0 = ( 31 , 21 , 12 , 31 ) 51 3.6 Kết số cho Ví dụ 3.2.2 với x0 = (1, 3, 1, 1) 51 3.7 Bảng so sánh Thuật toán 2.2.2 với Thuật toán 3.1.3 với giá trị x0 khác Ví dụ 3.2.3 53 Danh sách hình vẽ 1.1 Minh họa phép chiếu mêtric 13 1.2 Minh họa phép chiếu mêtric Ví dụ 1.1.9 13 3.1 So sánh thời gian tính tốn Thuật tốn 2.2.2 Thuật tốn 2.3.2 Ví dụ 3.2.1 với xấp xỉ ban đầu khác 48 3.2 So sánh thời gian tính tốn Thuật tốn 2.2.2 Thuật tốn 3.1.3 Ví dụ 3.2.3 với xấp xỉ ban đầu khác 53 Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ·, · chuẩn · , C tập con, lồi, đóng, khác rỗng H F : C → H ánh xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) không gian Hilbert thực H với ánh xạ F (thường gọi ánh xạ giá hay ánh xạ mục tiêu) tập ràng buộc C phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ với x ∈ C (VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân nhà toán học người Italia, Stampacchia (Lions Stampacchia, 1967 [25]; Stampacchia, 1964 [31]), nghiên cứu đưa vào cuối năm 60 đầu năm 70 kỷ trước Năm 1979, Smith [29] đưa tốn cân mạng giao thơng năm 1980, Dafermos [18] điểm cân toán nghiệm bất đẳng thức biến phân Bất đẳng thức biến phân công cụ quan trọng để nghiên cứu toán cân chẳng hạn toán cân mạng giao thơng kỹ thuật [28], tốn cân thị trường độc quyền nhóm kinh tế, tốn cân tài [27] tốn cân di cư [10, 22] Vì vai trị quan trọng bất đẳng thức biến phân lý thuyết toán học nhiều ứng dụng thực tế nên ln đề tài thời sự, nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu Trong năm gần đây, việc nghiên cứu tồn nghiệm xây dựng phương pháp giải bất đẳng thức biến phân thu nhiều kết hay, sâu sắc Bài toán chấp nhận tách (Split Feasibility Problem) tốn: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q, (SFP) đó, C Q tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn lần Censor Elfving đưa vào năm 1994 (xem [17]) nghiên cứu mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, khơi phục tín hiệu (xem [11, 12]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trò chơi Một mở rộng toán toán bất đẳng thức biến phân tách (Split Variational Inequality Problem) Bài toán bất đẳng thức biến phân tách phát biểu tường minh sau: Tìm x∗ ∈ C cho F1 (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C, (VIP1) y ∗ = Ax∗ ∈ Q cho F2 (y ∗ ), y − y ∗ ≥ ∀y ∈ Q, (VIP2) F1 : H1 −→ H1 F2 : H2 −→ H2 ánh xạ giá cho trước Ký hiệu tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VIP1) (VIP2) Sol(F1 , C) Sol(F2 , Q), tốn (VIP1) (VIP2) có dạng: Tìm x∗ ∈ Sol(F1 , C) cho Ax∗ ∈ Sol(F2 , Q) (SVIP) Đề tài luận văn nghiên cứu số phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (Bilevel Split Variational Inequality Problem) sau đây: Tìm x∗ ∈ Ω cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω, (BSVIP) 46 biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán chấp nhận tách tức VIP(I H1 − T, Γ) Mặt khác, F (x) = I H1 − T = 1 1 x1 , x2 , x3 , x4 nên dãy {xk } xác định Thuật toán 2.3.2 hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ tốn SFP với điều kiện tập nghiệm Γ = {x∗ ∈ C | Ax∗ ∈ Q} SFP khác rỗng Bây giờ, ta lấy xˆ ∈ Γ = {ˆ x ∈ C | Aˆ x ∈ Q} Khi đó, xˆ = (ˆ x1 , xˆ2 , xˆ3 , xˆ4 ) ∈ R4 , thỏa mãn:  xˆ1 + 2ˆ x2 − xˆ3 − xˆ4 ≤ 0, −2(ˆ x1 + 2ˆ x2 ) + 2(ˆ x2 + xˆ4 ) − (ˆ x1 − 2ˆ x4 ) − 3(−ˆ x3 + xˆ4 ) ≤ Nghiệm có chuẩn nhỏ hệ là: x∗ = (0, 0, 0, 0) ∈ R4 Áp dụng Thuật tốn 2.3.2 cho Ví dụ 3.2.1 với đầu vào thỏa mãn điều kiện Thuật toán 2.3.2 Thay đổi hệ số αk : Với αk = √1 , k+3 κk = 1, ρk = 0.5, βk = 0.5, λ = 0.1, x0 = (1, 3, 1, 1) ∈ R4 , điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ err, ta thu Bảng 3.1 Sau thời gian thực thi 0.309s ta nhận nghiệm xấp xỉ: x(80) = (9.888 × 10−5 , với sai số err = 10−3 5.358 × 10−4 , 5.843 × 10−4 , 5.861 × 10−4 ) 47 Bảng 3.1: Kết số cho Ví dụ 3.2.1 với αk = √1 k+3 k xk1 xk2 xk3 xk4 xk − x∗ 0.573 1.907 0.945 0.945 2.399 0.498 1.569 0.644 0.644 1.882 0.388 1.254 0.563 0.563 1.536 79 0.0001 80 Với αk = √ 0.00054 −5 9.888 × 10 , (k+3)2 5.358 × 10 0.00059 −4 0.00059 −4 5.843 × 10 0.001 −4 5.861 × 10 0.00099 κk = 1, ρk = 0.5, βk = 0.5, λ = 0.1 ta xét điểm x0 = (1, 3, 1, 1) ∈ R , điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ err, ta thu Bảng 3.2 Sau thời gian thực thi 1.07s ta nhận nghiệm xấp xỉ: x(274) = (0.00011, 0.00053, 0.00058, 0.00059) với sai số err = 10−3 Bảng 3.2: Kết số cho Ví dụ 3.2.1 với αk = √ (k+3)2 xk − x∗ k xk1 xk2 xk3 xk4 0.57417 1.90798 0.94507 0.94507 2.39924 0.35256 1.31399 0.86522 0.86524 1.82979 0.23479 0.97264 0.77475 0.77561 1.48425 273 0.00016 0.00052 0.00056 0.00063 0.00100 274 0.00015 0.0005 0.0005 0.00062 0.00099 Bây ta so sánh kết Thuật tốn 2.2.2 với Thuật tốn 2.3.2 với Ví dụ 3.2.1 tiêu chuẩn dừng sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm nhỏ sai số cho trước Cụ thể với Thuật toán 2.2.2 chọn tham số: αk = (k + 3)2 , µ = 1, ηk = k+1 , δk = 0.01, λk = 0.5, µk = 0.5, 2(k + 3) 48 điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Đối với Thuật toán 2.3.2 ta chọn tham số: αk = (k + 3)2 , κk = 1, ρk = 0.5, βk = 0.5, λ = 0.1, điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Kết bảng tính tốn với xấp xỉ ban đầu x0 khác Thuật toán 2.2.2 Thuật tốn 2.3.2 Thời gian (s) Số vịng lặp (k ) Thời gian (s) Số vòng lặp (k ) x0 = ( 13 , 12 , 12 , 13 ) 0.862 181 0.128 182 x0 = (−1, −2, 1, −1) 1.09 241 0.153 243 x0 = (1, 3, 1, 1) 1.28 270 0.218 274 Bảng 3.3: Bảng so sánh Thuật toán 2.2.2 với Thuật toán 2.3.2 với giá trị x0 khác Ví dụ 3.2.1 Hình 3.1: So sánh thời gian tính tốn Thuật tốn 2.2.2 Thuật tốn 2.3.2 Ví dụ 3.2.1 với xấp xỉ ban đầu khác Bảng tính tốn với dãy tham số αk khác 49 Với Thuật toán 2.2.2 ta chọn: x0 = (1, 3, 1, 1), µ = 1, ηk = k+1 , δk = 0.01, λk = 0.5, µk = 0.5, 2(k + 3) điều kiện dừng dãy lặp thỏa mãn xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Với Thuật toán 3.1.1 ta chọn: x0 = (1, 3, 1, 1), κk = 1, ρk = 0.5, βk = 0.5, λ = 0.1, điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Thuật toán 2.2.2 Thuật toán 2.3.2 Thời gian (s) Số vòng lặp (k ) Thời gian (s) Số vòng lặp (k ) αk = √ (k+3)3 3.26 688 0.606 707 αk = √ (k+3)2 1.28 270 0.218 274 0.374 80 0.047 80 αk = √1 k+3 Bảng 3.4: Bảng so sánh Thuật toán 2.2.2 với Thuật toán 2.3.2 với giá trị αk khác Ví dụ 3.2.1 Ví dụ 3.2.2 Cho H1 = H2 = R4 , ánh xạ T : H1 → H1 ánh xạ không, F (x) = I H1 − T với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 xét toán tử tuyến tính: A : R4 → R4 x → Ax = (x1 + 2x2 , x2 + x4 , x1 − 2x4 , −x3 + x4 ) Chọn C ⊂ R4 cho: C = {x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0} Chọn Q ⊂ R4 cho: Q = {y = (y1 , y2 , y3 , y4 ) ∈ R4 | − 2y1 + 2y2 − y3 − 3y4 = 0} 50 Các ánh xạ giá cho sau: F1 : R4 → R4 x → F1 (x) = I H1 (x) − PC (x) F2 : R4 → R4 x → F2 (x) = I H2 (x) − PQ (x) Vì F (x) = I H1 − T, F1 (x) = I H1 − PC (x), F2 (x) = I H2 − PQ (x) với T ánh xạ không nên toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (BSVIP) trở thành tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán chấp nhận tách (SFP) Lấy xˆ ∈ Γ = {ˆ x ∈ C : Aˆ x ∈ Q} Khi xˆ = (ˆ x1 , xˆ2 , xˆ3 , xˆ4 ) ∈ R4 thỏa mãn:  xˆ1 + 2ˆ x2 − xˆ3 − xˆ4 = 0, −2(ˆ x + 2ˆ x ) + 2(ˆ x + xˆ ) − (ˆ x − 2ˆ x ) − 3(−ˆ x + xˆ ) = 2 4 Nghiệm hệ xˆ = (α, β, 2α, 2β) ∈ R4 , α, β ∈ R Nghiệm có chuẩn nhỏ là: x∗ = (0, 0, 0, 0) ∈ R4 Áp dụng Thuật toán 3.1.1 với x0 = ( 13 , 12 , 12 , 31 ), αk = √1 , k+3 κk = 1, ρk = 0.5, βk = 0.5, λ = 0.1, điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Sau thời gian thực thi 0.018s ta nhận nghiệm xấp xỉ: x(16) = (0.00028, 0.00038, 0.00061, 0.00043) 51 Bảng 3.5: Kết số cho Ví dụ 3.2.2 với x0 = ( 13 , 12 , 12 , 31 ) k xk1 xk2 xk3 xk4 xk − x∗ 0.12581 0.18115 0.22639 0.15597 0.35245 0.05914 0.08303 0.11696 0.08175 0.17537 0.03165 0.04380 0.06569 0.04623 0.09682 15 0.00036 0.00050 0.00080 0.00056 0.00116 16 0.00028 0.00038 0.00061 0.00043 0.00088 Áp dụng Thuật toán 3.1.1 với x0 = (1, 3, 1, 1), αk = √1 , k+3 κk = 1, ρk = 0.5, βk = 0.5, λ = 0.1, điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Sau thời gian thực thi 0.036s ta nhận nghiệm xấp xỉ: x(21) = (8.91026 × 10−5 , 4.91656 × 10−4 , 5.36384 × 10−4 , 5.36030 × 10−4 ) Bảng 3.6: Kết số cho Ví dụ 3.2.2 với x0 = (1, 3, 1, 1) k xk1 xk2 xk3 xk4 xk − x∗ 0.26947 0.96457 0.57582 0.57433 1.29013 0.09742 0.40748 0.32522 0.32456 0.62181 0.04364 0.20462 0.18998 0.18973 0.34039 20 0.00011 21 8.91026 × 10 0.00062 −5 0.00067 −4 4.91656 × 10 0.00067 −4 5.36384 × 10 5.36030 × 10 0.00114 −4 0.00091 Ví dụ 3.2.3 Cho H1 = H2 = R4 , ánh xạ T : H1 → H1 ánh xạ không, F (x) = I H1 − T với x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 xét tốn tử tuyến tính: A : R4 → R4 x → Ax = (x1 + 2x2 , x2 + x4 , x1 − 2x4 , −x3 + x4 ) 52 Chọn C ⊂ R4 cho: C = {x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0} Chọn Q ⊂ R4 cho: Q = {y = (y1 , y2 , y3 , y4 ) ∈ R4 | − 2y1 + 2y2 − y3 − 3y4 = 0} F1 (x) = với x ∈ H1 , F2 (y) = với y ∈ H2 Vì F (x) = I H1 − T, F1 (x) = 0, F2 (x) = với T ánh xạ khơng nên tốn bất đẳng thức biến phân tách hai cấp (BSVIP) trở thành tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toàn chấp nhận tách (SFP) Lấy xˆ ∈ Γ = {ˆ x ∈ C : Aˆ x ∈ Q} Khi xˆ = (ˆ x1 , xˆ2 ,3 , xˆ4 ) ∈ R4 thỏa mãn:  xˆ1 + 2ˆ x2 − xˆ3 − xˆ4 = 0, −2(ˆ x + 2ˆ x ) + 2(ˆ x + xˆ ) − (ˆ x − 2ˆ x ) − 3(−ˆ x + xˆ ) = 2 4 Nghiệm hệ xˆ = (α, β, 2α, 2β) ∈ R4 , α, β ∈ R Nghiệm có chuẩn nhỏ là: x∗ = (0, 0, 0, 0) ∈ R4 Bây ta so sánh kết Thuật toán 2.2.2 với Thuật toán 3.1.3 với Ví dụ 3.2.3 tiêu chuẩn dừng sai số nghiệm xấp xỉ nghiệm nhỏ sai số cho trước Cụ thể với Thuật toán 2.2.2 chọn tham số: k+1 αk = , µ = 1, ηk = , δk = 0.01, λk = 0.5, µk = 0.5, 2(k + 3) (k + 3)2 điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Đối với Thuật toán 3.1.3 ta chọn tham số: αk = , κk = 1, ρk = 0.5, βk = 0.5, λ = 0.1, (k + 3)2 53 điều kiện dừng dãy lặp xk+1 − x∗ ≤ 10−3 Kết bảng tính tốn với xấp xỉ ban đầu x0 khác Thuật toán 2.2.2 Thuật toán 3.1.3 Thời gian (s) Số vòng lặp (k ) Thời gian (s) Số vòng lặp (k ) x0 = ( 13 , 12 , 12 , 13 ) 0.110 35 0.028 35 x0 = (−1, −2, 1, −1) 0.143 44 0.033 44 x0 = (1, 3, 1, 1) 0.150 50 0.036 50 Bảng 3.7: Bảng so sánh Thuật toán 2.2.2 với Thuật toán 3.1.3 với giá trị x0 khác Ví dụ 3.2.3 x0 = (13 , 12 , 12 , 13 ) Thu t toán 3.1.3 Thu t toán 2.2.2 100 x0 = (1, 3, 1, 1) Thu t toán 3.1.3 Thu t toán 2.2.2 100 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0.2 0.4 Th i gian tính tốn (s) (k) 0.0 0.0 0.2 0.4 Th i gian tính tốn (s) Thu t toán 3.1.3 Thu t toán 2.2.2 100 10 (k) (k) x0 = ( 1, 2, 1, 1) 0.0 0.2 0.4 Th i gian tính tốn (s) Hình 3.2: So sánh thời gian tính tốn Thuật tốn 2.2.2 Thuật tốn 3.1.3 Ví dụ 3.2.3 với xấp xỉ ban đầu khác 54 Kết luận Luận văn đạt mục tiêu đề “Nghiên cứu phương pháp lặp giải lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert thực; đưa tính tốn ví dụ minh họa.” Kết luận văn Luận văn trình bày phương pháp lặp giải lớp bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert thực, số áp dụng trường hợp đặc biệt Cụ thể: Giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân tách khơng gian Hilbert số tốn có liên quan với phương pháp giải tốn, trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực số tốn tử khơng gian Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân hai cấp không gian Hilbert thực phương pháp giải tốn; trình bày số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert thực; chứng minh hội tụ phương pháp Đưa ví dụ minh họa cho hội tụ phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp với toán tử đơn điệu mạnh ngược áp dụng giải toán trường hợp đặc biệt 55 Danh mục công trình khoa học liên quan tới luận văn Pham Thanh Hieu, Pham Thi Thom, “On The Strong Convergence For Iterative Methods To Find A Solution Of A Split Pseudomonotone Variational Inequaltity And A Split Feasibility Problem”, Scientific journal of Tan Trao University, DOI: 10.51453/2354-1431/2020/563 56 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long , Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [2] Nguyễn Thị Bạch Kim, Giáo trình Các phương pháp tối ưu, Nhà xuất Đại học Bách khoa Hà Nội, 2008 [3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình Tối ưu phi tuyến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 [4] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2018 Tiếng Anh [5] P.N Anh, “A new extragradient iteration algorithm for bilevel variational inequalities”, Acta Mathematica Vietnamica, 37, pp 95–107, 2012 [6] T.V Anh, “A strongly convergent subgradient extragradient-Halpern method for solving a class of bilevel pseudomonotone variational inequalities”, Vietnam J Math, 45, pp 317–332, 2017 57 [7] P.K Anh, T.V Anh, L.D Muu, “On bilevel split pseudomonotone variational inequality problems with applications”, Acta Math Vietnam, 42(3), pp 413–429, 2017 [8] P N Anh, L D Muu, V H Nguyen and J J Strodiot, “Using the Banach contraction principle to implement the proximal point method for multivalued monotone variational inequalities”, J Optim Theory Appl, 124, pp 285–306, 2005 [9] P N Anh and T Kuno, “A cutting hyperplane method for generalized monotone nonlipschitzian multivalued variational inequalities, in: Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes”, Eds: H G Bock, H X Phu, R Rannacher, and J P Schloder, Springer, 2012 [10] C Baiocchi, A Capelo, Variational and Quasivariational Inequalities Applications to Free Boundary Problems, J Wiley, New York, 1984 [11] C Byrne, “Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem”, Inverse Problems, 18(2), pp 441–453, 2002 [12] C Byrne, “A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction”, Inverse Problems, 18, pp 103– 120, 2004 [13] J.F Bonnans, A Festa, Error estimates for the Euler discretization of an optimal control problem with first-order state constraints, Applied Numerical Mathematics, 2021 [14] H.H Bauschke, P.L Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer, 2011 58 [15] C.E Chidume, Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations, Springer Verlag Series, Lecture Notes in Mathematics, ISBN 978-1-84882-189-7, 2009 [16] Y Censor, A Gibali and S Reich, “Algorithms for the split variational inequality problem”, Numer Algorithms, 59, pp 301–323, 2012 [17] Y Censor, T Elfving, “A multiprojection algorithm using Bregman projections in a product space”, Numer Algorithms, 8, pp 221–239, 1994 [18] S Dafermos, “Traffic equilibrium and variational inequalities”, Transportation Science, 14, pp 42–54, 1980 [19] K Goebel, W.A Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math 28 Cambridge: Cambridge University Press, 1990 [20] K Goebel, W.A Kirk, “Topics in Metric Fixed Point Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics”, Cambridge University Press, 28, 1990 [21] Pham Thanh Hieu, Pham Thi Thom, “On The Strong Convergence For Iterative Methods To Find A Solution Of A Split Pseudomonotone Variational Inequaltity And A Split Feasibility Problem”, Scientific journal of Tan Trao University, DOI: 10.51453/2354-1431/2020/563 [22] D Kinderlehrer, G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, 1980 [23] I.V Konnov, E Laitinen, Theory and Applications of Variational Inequalities, Preprint, Department of Mathematical Sciences, 2002 59 [24] E.V Khoroshilova, “Extragradient-type method for optimal control problem with linear constraints and convex objective function”, Optim Lett, 7, pp 1193–1214, 2013 [25] J.L Lions, G Stampacchia, “Variational inequalities”, Comm Pure Appl Math, 20, pp 493–519, 1967 [26] P.E Maingé, “Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization”, Set-Valued Anal, 16, pp 899–912, 2008 [27] A Nagurney, Network Economics: A Variational Inequality Approach, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1993 [28] M Pappalardo, M Passacantando, “Stability for equilibrium problems from variational inequalities to dynamical systems”, J Optim Theory Appl, 113, pp 567–582, 2002 [29] M.J Smith, “Existence, uniqueness, and stability of traffic equilibria”, Transportation Research, 13, pp 295–304, 1979 [30] M Solodov, “An explicit descent method for bilevel convex optimization”, J Convex Anal, 14, pp 227–237, 2007 [31] S Stampacchia, “Formes bilinéaires coercitives sur les ensembles convexes”, C R Acad Sci Paris, 258, pp 4413–4416, 1964 [32] Bing Tan, Songxiao Li, Xiaolong Qin, “Self-adaptive inertial single projection methods for variational inequalities involving non-Lipschitz and Lipschitz operators with their applications to optimal control problems”, Numerical Algorithms, 72(2), pp 467–481, 2016 60 [33] Ng.T.T Thuy, Ng.T Nghia (2022), “A new iterative method for solving the multipleset split variational inequality problem in Hilbert spaces”, Optimization, DOI: 10.1080/02331934.2022.2031193 [34] H.K Xu, “Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators”, J Math Anal Appl, 314, pp 631–643, 2006 ... Chương Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert thực Chương trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp không gian Hilbert. .. bất đẳng thức biến phân tách? ?? trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp với toán tử giả đơn điệu phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân tách hai cấp. .. toán bất đẳng thức biến phân hai cấp không gian Hilbert thực, nêu phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp không gian Hilbert thực Mục 2.2 trình bày phương pháp lặp