Không gian hilbert suy rộng và ứng dụng

1 LỜI MỞ ĐẦU Các khái niệm không gian Banach khơng gian Hilbert tốn tử chúng hữu dụng chưa đủ dùng Vật lí đại Trong học lượng tử chẳng hạn, ta cần đến khơng gian hàm có hàm mà tích phân tồn khơng gian chúng tích phân hai hàm khơng hội tụ Hiển nhiên, hàm coi phần tử không gian tiền Hilbert với tích vơ hướng tích phân tích tồn khơng gian Vì phải đưa mơ hình tổng qt hơn, khơng gian Hilbert suy rộng hay khơng gian Hilbert trang bị Và lí tơi chọn đề tài "KHƠNG GIAN HILBERT SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG" để nghiên cứu cho luận văn Nội dung luận văn trình bày chương Chương chương kiến thức chuẩn bị, chúng tơi giới thiệu sơ lược số kiến thức sở có liên quan số kết bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương Trong chương 2, đưa mơ hình tổng qt cho khơng gian Hilbert suy rộng hay không gian Hilbert trang bị bao gồm khái niệm, nghiên cứu tốn tử tuyến tính, phần tử ma trận toán tử Và chương 3, chúng tơi trình bày số ứng dụng Không gian Hlibert suy rộng vào Cơ học lượng tử 2 Chƣơng KHƠNG GIAN HILBERT TỐN TỬ TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.1 Khơng gian Banach khơng gian Hilbert 1.1.1 Khái niệm không gian định chuẩn Tập hợp L gọi khơng gian tuyến tính, xác định phép tốn cộng phép toán nhân phần tử L với số thỏa mãn điều kiện sau: 1) x y y x với x, y L 2) ( x y) z x (y z) với x, y, z L 3) Tồn (duy nhất) phần tử L cho với x L có x x 4) Với x L tồn (duy nhất) phần tử x L (phần tử đối x) cho x x 5) ( x y) x y với x, y L 6) ( 7) )x x với cặp số x ) x với cặp số ( x) ( , , x L x L 8) 1x x với x L Định nghĩa 1.1.1: Khơng gian tuyến tính L gọi khơng gian định chuẩn, có quy tắc đặt tương ứng phần tử x L với số thực không âm x (gọi chuẩn hay độ lớn x) cho điều kiện sau thỏa mãn: 1) x x=0 2) x y 3) x x y với cặp phần tử x y L x với số với phần tử x L 1.1.2 Dãy chuỗi không gian định chuẩn - khơng gian Banach Ta nói ta có dãy điểm không gian L, với số nguyên dương k lại có phần tử tương ứng x( k ) viết dạng x(1) , x(2) , , x( k ) , x( k ) L Dãy điểm Định nghĩa 1.1.2: Ta nói dãy điểm x( k ) giới hạn dãy), viết lim x( k ) a x( k ) k viết k phía dưới), hội tụ tới phần tử a (hay a x( k ) , a a (đôi không k Định nghĩa 1.1.3: Ta nói dãy điểm x( k ) x( k ) , x( k k bản, (không phụ thuộc l) l) k Dễ thấy dãy hội tụ (có giới hạn) Tuy nhiên, tồn khơng gian mà có có dãy khơng hội tụ Định nghĩa 1.1.4: Nếu không gian định chuẩn L dãy hội tụ ta nói L không gian định chuẩn đầy đủ hay không gian Banach Bây với dãy x( k ) không gian Banach L ta xét tổng vô hạn sau: x( k ) x(1) x(2) x( k ) (1.1.1) k Ta gọi tổng chuỗi Mỗi tổng hữu hạn s ( n) n x( k ) k gọi tổng riêng thứ n chuỗi (1.1.1) Cũng chuỗi số, ta có: Định nghĩa 1.1.5: Chuỗi (1.1.1) gọi hội tụ, dãy tổng riêng hội tụ Rõ ràng, điều kiện cần đủ để chuỗi (1.1.1) hội tụ lim k k l x(i ) (không phụ thuộc l ) i k Cùng với chuỗi (1.1.1), ta xét chuỗi số: x( k ) x(1) x(2) x( k ) (1.1.2) k Định nghĩa 1.1.6: Chuỗi (1.1.1) gọi hội tụ tuyệt đối, chuỗi (1.1.2) hội tụ 4 Định nghĩa 1.1.7: Khơng gian tuyến tính thực L gọi khơng gian tiền - Hilbert, tương ứng với cặp phần tử x, y L ta có số thực x, y (gọi tích vơ hướng x với y) cho điều kiện sau thỏa mãn : y, x với x, y L ; 1, x, y với x L , trường hợp đẳng thức xảy 2, x, x x =0; 3, x, y z x, y với số thực x, z , x, y, z L Từ điều kiện 1) 3) suy số x, y thực , x y, z y, z với x, z x, y, z L Đặc biệt, x, y x, y Định nghĩa 1.1.8: Khơng gian tuyến tính phức L gọi không gian tiền - Hilbert, tương ứng với cặp phần tử x, y L ta có số thực x, y (gọi tích vơ hướng x với y) cho điều kiện sau thỏa mãn : y, x với x, y L (Dấu * kí hiệu phép lấy liên hợp 1, x, y * phức) ; với x L , trường hợp đẳng thức xảy 2, x, x x =0; 3, x, y z x, y với số thực x, z , x, y, z L Từ điều kiện 1) 3) suy với số thực x, y , x y, z * x, z x, y, z L Đặc biệt, x, y * y, z x, y * x, y Bây giờ, với hai phần tử x, y( x 0) không gian tiền - Hilbert thực L, ta xét biểu thức f (t ) tx y, tx y với t biến số thực Theo điều kiện 2) định nghĩa 1.3.1 1.3.2 f (t ) với t Mặt khác, : f (t ) t x, x t x t2 x, y y, x 2t x, y y y, y tam thức bậc hai với hệ số thực hệ số t nên f t dương Do đó, phải có biệt thức x, y x ' không dương, tức là: y (1.1.3) Bất đẳng thức hiển nhiên x=0 Nó gọi bất đẳng thức Cauchy - Bunyakovsky Đây hệ thức có vai trị quan trọng để tìm nhều kết định lượng khơng gian tiền Hilbert Trong không gian phức,(1.1.3) thay : Re x, y x y (1.1.4) Bây ta tìm điều kiện để (1.3.1) điều kiện để bất đẳng thức x y trở thành đẳng thức (trong không gian thực) x, y Ta chứng minh (1.3.1) trở thành đẳng thức hai phần tử x, y phần tử nhân với số thực Giả sử điều kiện vừa nêu xảy ra, ví dụ y kx Khi đó: x, y x, kx k x, x k2 x x k2 x x 2 y , tức (1.3.1) trở thành đẳng thức Ngược lại, giả sử hai vế (1.3.1) Trước hết, xét trường hợp x Khi đó, tam thức: f t có biệt thức tx ' Khi f t y, tx x t2 y y 2t x, y y tx , nghĩa hai phần tử x, y phần tử nhân với số thực Cịn x ta có x y , nghĩa điều kiện phát biểu thỏa mãn 6 Định nghĩa 1.1.9: Không gian tiền - Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert 1.1.4 Hệ trực giao Bất đẳng thức Bessel đẳng thức Parseval Định nghĩa 1.1.10 : Hai phần tử x,y không gian tiền -Hilbert L gọi trực giao với x, y Hệ gồm số phần tử khác L gọi trực giao, hai phần tử hệ trực giao với Hệ phần tử gọi trực chuẩn, hệ trực giao, đồng thời phần tử có chuẩn Bây giả sử e(1) , e(2) , , e( k ) , hệ trực chuẩn không gian tiền- Hilbert L, x phần tử tùy ý L Với n đặt e( n) , x N biểu thức AN xn e( n ) Ta có AN x xn Xét Mặt khác : n N AN N xm e( m ) , x x m xn e( n ) , n N N xn x, e( n ) x, x n x m N n Do N xn m,n N xn xn * N xm * xn xm * xm m x xm * xn e( m ) , e( m ) N xm * e( m ) , x m x N xn n với N Từ suy n xn x (1.1.6) n Bất đẳng thức (1.1.6) có tên gọi bất đẳng thức Bessel Định nghĩa 1.1.11: Hệ trực giao gọi đầy đủ (còn gọi sở trực giao), phần tử x L biểu diễn dạng xk a( k ) (tổng hữu hạn chuỗi), xk số, a( k ) x k phần tử hệ 7 Định nghĩa 1.1.12 : Không gian tiền - Hilbert gọi khả ly có hệ trực giao đầy đủ đếm (nghĩa phần tử đánh số hết số nguyên dương) Mọi không gian tiền - Hilbert hữu hạn chiều không gian hilbert khả ly Trong không gian Hilbert vô hạn chiều, từ ta xét không gian khả ly Vì hệ trực giao thay hệ trực chuẩn, nên H khơng gian Hilbert khả ly có hệ trực chuẩn đầy đủ e(1) , e(2) , , e( k ) , phần tử H có dạng : xk a( k ) x (1.1.7) k Số hạng tử tổng số phần tử hệ trực chuẩn Các số xk gọi tọa độ x sở trực chuẩn e(1) , e(2) , , e( k ) , Dễ kiểm tra tọa độ thỏa mãn hệ thức : xk e( k ) , x (1.1.8) Từ suy chúng thỏa mãn bất đẳng thức Bessel Mặt khác, trường hợp AN nên thực chất ta có bất đẳng thức: N xn 2 x (1.1.9) n với tên gọi bất đẳng thức Parseval 1.2 Tốn tử tuyến tính 1.2.1 Khái niệm tốn tử tuyến tính Định nghĩa 1.2.1: Cho L, L' hai khơng gian tuyến tính Ánh xạ A từ L vào L' gọi toán tử tuyến tính, với cặp số , (thực hay phức tùy theo loại không gian) cặp phần tử x, y L có : A( x Ví dụ 1.2.1: Kí hiệu y) Ax+ By (1.2.1) tập hợp hàm giá trị phức có đạo hàm d cấp trục số thực Xét quy tắc D biến hàm f dx thành đạo hàm f ' Rõ ràng tốn tử tuyến tính, g) Df Dg ( f g) ' f ' g ' hay D( f Ví dụ 1.2.2: Trong không gian hàm giá trị phức xác định tồn khơng gian R xét hàm U cho trước ánh xạ A biến hàm f thành hàm theo quy tắc sau: Af có giá trị điểm (x,y,z) U(x,y,z) f(x,y,z), tức : (Af)(x,y,z)=U(x,y,z)f(x,y,z) 1.2.2 Tính liên tục chuẩn toán tử Trong trường hợp L L' hai không gian định chuẩn, người ta quan tâm đến tính liên tục ánh xạ nói chung từ L vào L' Tính chất định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.2: Ta nói ánh xạ f : L L ' liên tục điểm a, từ hệ thức xn a suy f ( xn ) f (a ) Nếu f liên tục điểm ta nói f liên tục 1.2.3 Khơng gian liên hợp Theo quy ước chung, tốn tử tuyến tính từ khơng gian tuyến tính L vào tập hợp số (thực hay phức tùy theo loại không gian L ) goi phiếm hàm tuyến tính Khơng gian phiếm hàm tuyến liên tục L kí hiệu L* gọi khơng gian liên hợp L Ở ta quan tâm đặc biệt đến trường hợp khơng gian Hlibert H Khi đó, chứng minh với f H * tồn phần tử a f H cho a f , x a f thỏa mãn hệ thức a f f ( x) với x H phần tử f Ngoài ta có a f g af ag Như đồng phiếm hàm f với phần tử a f H * với H 1.2.4 Toán tử liên hợp tự liên hợp Định nghĩa 1.2.3 : Cho A, B hai tốn tử khơng gian Hilbert L Nếu với cặp phần tử x, y L có: x, Ay Bx, y (1.2.3) ta nói B toán tử liên hợp A viết B=A* 9 Nếu A*=A ta nói A tốn tử tự liên hợp hay toán tử hermitic (theo họ nhà Toán học Pháp Charles Hermitic, 1822-1901) 1.2.5 Trị riêng vector riêng Cho A tốn tử khơng gian tuyến tính phức L Giả sử với số phức phần tử x L ta có Ax x Khi ta nói trị riêng, x vector riêng ứng với trị riêng A Trong trường hợp x hàm số ta nói hàm riêng A Tập hợp trị riêng tốn tử gọi phổ (chính xác phổ điểm) tốn tử Ví dụ 1.2.7: Trong không gian hàm giá trị phức xác định khả vi tồn khơng gian R , xét toán tử iaDx với a số x thực Phương trình tìm trị riêng hàm riêng toán tử là: ia ( x, y, z ) x Vì iaDx ia x ( x, y, z ), ( x, y, z ) R3 x hay ( x, y, z ) C1 ( y, z )e x a Tương tự, số thực iaDy ia y , i ( x, y, z ) C2 ( x, z )e muốn x , (1.2.6) hermitic (xem ví dụ 1.2.6) Từ (2.1.1) suy x i i ia y a y y x a x ( x số thực tùy ý) trị riêng toán tử hàm riêng tương ứng có dạng Đối với trường hợp biến z Do hàm riêng lúc ba toán tử trên, ứng với trị riêng y , z phải có dạng: ( x, y, z ) Ce i ( a xx yy z z) ( C số ) Nói cách khác, toán tử vector ia ia x , ia x , ia x có phổ gồm 10 vector thực  ( x , y , z ) hàm riêng tương ứng i   r   (r ) Ce a , r ( x, y, z) Ví dụ 1.2.8: Trong khơng gian hàm giá trị phức trục số, xét ˆ ( x) xf ( x) Phương toán tử xˆ phép nhân hàm số với biến x, tức xf trình tìm trị riêng vector riêng xˆ là: xf ( x) Với x (1.2.7 ) x0 f ( x) x0 (1.2.7) thỏa mãn f(x)=0 Tuy nhiên, u cầu hàm riêng phải khác khơng nên phải có f ( x0 ) Như vậy, xˆ nhận số thực x0 làm trị riêng hàm riêng tương ứng hàm khác x0 điểm cịn lại Trong khơng gian hàm giá trị phức xác định R , toán tử  vector rˆ với ba thành phần xˆ , yˆ , zˆ (các phép nhân với biến tương  ứng) nhận vector r0 ( x0 , y0 , z0 ) làm trị riêng hàm riêng tương ứng có dạng ( x, y, z) , với ( x, y, z ) ( x0 , y0 , z0 ) ( x0 , y0 , z0 ) Chú ý: Trong vật lý, hàm riêng tốn tử mơ tả mật độ phân phối xác suất nên chúng bắt buộc phải x0 (trong trường hợp hàm biến x) ( x0 , y0 , z0 ) trường hợp hàm ba biến Do đó, hàm riêng biến ứng với trị riêng x0 xˆ quy ước hàm x0 cho x0 ( x) (x x0 ) x "hàm delta'' hay ''hàm Dirac ''(theo tên nhà vật lý người Anh Paul Adrien Maurice Dirac,1902-1984, giải Nobel Vật lý 1933) xác định sau: : 0, x (0) x ( x)dx (x ( x)dx x ') f ( x)dx f ( x ') 11 với hàm f Cịn hàm riêng ba biến tốn tử vector ( xˆ , yˆ , zˆ ) ứng   với giá trị riêng ( x0 , y0 , z0 ) (r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) Theo quan điểm giải tích cổ điển gọi hàm Dirac khơng phải hàm Nó đối tượng nghiên cứu lí thuyết hàm suy rộng Ví dụ 1.2.9: Tìm trị riêng hàm riêng x không gian hàm biến Lời giải : Với f : R R x  f ( x) Ta có phương trình tìm trị riêng hàm riêng f : x f f x f ( x) f ( x) x2 f ( x) f ( x) x2 x R x ( 0) f ( x) , x Vậy trị riêng số khơng âm Với hàm riêng hàm x , khác x Ví dụ 1.2.10 : Trong không gian hàm giá trị thực trục số, tìm trị riêng hàm riêng tốn tử A cho sau : (Af)(x)=f(a-x) , a số Lời giải: Phương trình tìm trị riêng hàm riêng Af f ( Af )( x) ( f )( x) f (a x) f ( x) Đặt a x t x a t ta có 12 f (t ) f (t ) f (a t ) t f (a x) (1) f ( x) f ( x) f ( x) a, ; (1) f ( x) Đặt f (a x) Và f ( x) f( a x 1 f (a x) a ) f (x x a ) g ( x) a x) f ( x) (2) g(x a ) g( g( a ) (3) g(x Từ (2) (3) : Vậy g hàm chẵn b, f (a ; (1) Đặt f ( x a ) x) f ( x) g(x Từ (2) (3) g (t ) g ( t ) (t x) f ( x) x) x a ) a x) g ( x) f (a Và f ( x) a a ) (3) a a x ) 2 a g( x)(2) f( g( f ( x) : 13 a ) g(x g (t ) g( a g ( t ) (t x) x a ) Vậy g hàm lẻ Kết luận : A có hai trị riêng Ứng với ,hàm riêng hàm mà dịch đối số lượng a , hàm chẵn Ứng với ,hàm riêng hàm mà dịch đối số lượng a , hàm lẻ     Ví dụ 1.2.11 : Chứng minh cơng thức (r r0 ) f (r )dv f (r0 ) dấu rõ phép lấy tích phân bội tồn khơng gian ba chiều Lời giải : Ta có :  (r   r0 ) f (r )dv  f (r0 ) ( R2 (x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) f ( x, y, z ) dx) dydz R (y y0 ) ( z z0 )( R2 (x x0 ) f ( x, y, z )dx)dydz R (y y0 ) ( z z0 ) f ( x0 , y, z )dydz R2 ( R (y y0 ) ( z z0 ) f ( x0 , y, z )dy )dz R (z z0 ) f ( x0 , y0 , z )dz R f ( x0 , y0 , z0 )  f (r0 ) Bây ta chứng minh không gian tiền- Hlibert hai vector riêng ứng với hai trị riêng khác hermitic trực giao với Giả sử : (1.2.8) Ax x 14 (1.2.9) Ay y với ( y, Ax hay y, x x, y y, x Từ (1.2.9) ta có y, x y, Ax thực) y, x Do Từ (1.2.8) Ay, x y, x y, x Vì y, x ta có y, x nên phải có hay x,y trực giao với Có thể chứng minh hai tốn tử khơng gian giao hốn với có vector riêng chúng có vector riêng chung Chƣơng 2: KHÔNG GIAN HILBERT SUY RỘNG Khái niệm không gian Hilbert suy rộng Cho I khoảng trục số thực, C không gian tuyến tính hàm giá trị phức (kể hàm thơng thường suy rộng) xác định khả tích đoạn hữu hạn I Trên C ta xét tích vơ hướng suy rộng sau : c1 , c2 Ở c1* ( ) c2 ( )d (2.1.1) tích phân I Tính từ "suy rộng" có nghĩa tích vơ hướng nhận giá trị (trong trường hợp tích phân khơng hội tụ), chí biểu thức hình thức Kí hiệu K khơng gian C c1 , c2 có giá trị số cụ thể (trường hợp hàm khả tích với bình phương giá trị tuyệt đối) Khi đó, K khơng gian tiền - Hilbert Xét tập hợp có dạng: M a , I (2.1.2) a đối tượng (khác nhau) với chất tùy ý Tiếp theo, giả sử L tập hợp biểu thức hình thức có dạng l c( )a d (2.1.3) 15 c C (Ở dấu khơng thiết dấu tích phân, mà nói chung kí hiệu hình thức) Chính phần tử M coi phần tử L ta đồng a với ( )a d Trong L ta xác định phép cộng sau l1 l2 c1 ( )a d c2 ( )a d (c1 ( ) c2 ( ))a d (2.1.4) phép nhân với số phức l c( )a d (2.1.5) ( c( ))a d Khi L trở thành khơng gian tuyến tính đẳng cấu với C Phép đẳng cấu L C thực toán tử S : c l c( )a d Bây ta đưa vào L tích vơ hướng suy rộng đẳng thức sau: l1 , l2 c1 , c2 S 1l1 , S 1l2 (2.1.6) Kí hiệu H ảnh K qua tốn tử S Khi H khơng gian tiền Hilbert đẳng cấu với K Với c K tức l H , ta thấy đẳng thức (2.1.3 ) coi cơng thức khai triển phần tử H theo đối tượng bên H Định nghĩa 2.1.1 : Không gian L xét với tích vơ hướng suy rộng gọi không gian tiền - Hilbert suy rộng liên kết với C sở M Nếu K (và H) khơng gian Hilbert L gọi khơng gian Hilbert suy rộng Để phụ thuộc L C vào M ta viết L C M Nhận xét : Bản thân C coi không gian tiền - Hilbert suy rộng liên kết với sở gồm hàm suy rộng ( ) Thật , c( ) c( ) ( )d c( ) Như viết C C ( )d nên c c( ) d 16 2.2 Hệ đầy đủ không gian tiền - Hilbert suy rộng Định nghĩa 2.2.1: Giả sử J khoảng trục số với J ta có tương ứng phần tử b hệ b ,b L Ta nói hệ N b , J trực chuẩn , ( ' ') (2.2.1) Định nghĩa 2.2.2: Hệ trực chuẩn N b , gọi J đầy đủ, không gian tiền - Hilbert suy rộng L ' C N đẳng cấu với L ( đồng với L) Hiển nhiên M ví dụ hệ đầy đủ Định lí 2.2.1 : Nếu hệ N B:L L:l b , c( )b d J l' c( )b d đầy đủ ánh xạ (2.2.2 ) tốn tử tuyến tính L, nhận số thuộc khoảng J làm trị riêng vector riêng tương ứng phần tử b (Chú ý tích phân lấy khoảng J ) Nhận xét: Khi N đầy đủ, ta đồng L ' C với L, N phần tử a M biểu diễn dạng a c ( )b d Như , N coi sở L Ví dụ 2.2.1 : Trong khơng gian C với I=B ta xét hệ hàm ( x) a e i x a , a số dương, số thực tùy ý Vì * ( x) v ( x)dx i( e v) a a (tích phân tồn trục số) nên hệ Mặt khác, viết lại (2.3.4) thành : v ( ) x dx ( v) (2.3.4) trực giao * ( x) v ( x) dx gồm 17 ta công thức khai triển hàm thuộc Vậy hàm sở C theo hệ đầy đủ Ta biết với hàm khả tích với trục số tồn hàm c với tính chất vậy, cho : i x a c( ) d c ( x)d ( Biến đổi Fourier ) a đầy đủ, mở rộng biến đổi Fourier cho hàm ( x) Do thuộc C e Định lí 2.2.2: Nếu hệ N xạ T :C b , J L:c  l đầy đủ L ánh c( )b d phép biến đổi tuyến tính unitar ( bảo tồn tích vơ hướng ) từ C vào L 2.3 Dạng ma trận toán tử Cho I khoảng trục số e , I hệ đầy đủ không gian Hilbert suy rộng L A tốn tử L Khi số phức : A e , Ae (2.3.1) gọi phần tử ma trận toán tử A ứng với cặp trạng vector ( hay cặp trạng thái ) e , e Tương tự, e(1) , e(2) , , e( n ) , hệ trực chuẩn không gian Hilbert H A tốn tử H số phức : m An e( m) , Ae( n) (2.3.2) gọi phần tử ma trận A ứng với cặp vector e( m ) , e( n ) Rõ ràng số (2.3.1) (2.3.2) xác định hồn tồn tốn tử A Định lí 2.3.1 Tính hermitic toán tử A tương đương với đẳng thức m A n * n A m (trong trường hợp không gian Hilbert khả ly) với đẳng thức gian Hilbert suy rộng) A * A (trong trường hợp khơng 18 Định lí 2.3.2: Đối với tốn tử đơn vị ( hay toán tử đồng Ex=x ) ta có m An A ( mn trường hợp khơng gian Hilbert khả ly ) trường hợp không gian Hilbert suy rộng Định lí 2.3.3 : Với e(1) , e(2) , , e( n ) , e '(1) , e '(2) , , e '( n) , hai hệ trực chuẩn đầy đủ không gian Hilbert ( khả ly ) H kí hiệu m A n phần tử ma trận A ứng với hệ thứ p A q ' phần tử ma trận ứng với hệ thứ hai Khi e '( m) amn e( n ) n p Aq ' a pm * aqn m A n m, n Chƣơng : ỨNG DỤNG KHÔNG GIAN HILBERT SUY RỘNG VÀO CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 3.1 Không gian Cơ học lƣợng tử Trong học lượng tử, trạng thái hạt vi mô mô tả giá trị đại lượng vật lí đặc trưng, mà hàm trạng thái (hay hàm sóng) Đó hàm giá trị phức xác định tồn khơng gian ba chiều Khi khảo sát hạt phải có mặt cho dù khơng phải điểm cụ thể vùng khơng gian Vì trạng thái thực phải mơ tả hàm có tính chất tiến   dần đến nhanh (r ) , để tích ( x, y, z ) r phân bình phương giá trị tuyệt đối tồn (Thậm chí cịn giả thiết hàm khác vùng hữu hạn) Có thể coi hàm trạng thái thuộc không gian K 2.1 Tuy nhiên, mặt toán học, ta hạn chế việc xem xét hàm Lý tình sau Do đại lượng lượng tử nói chung không xác định cụ thể, nên chúng mơ tả biến số Vật Lí cổ điển, mà mơ tả tốn tử (tuyến tính) Đại lượng mơ tả tốn tử L hạt nhân giá trị hàm trạng thái hàm riêng ứng với giá trị riêng L Mặt khác ,các hàm riêng tốn tử mơ tả đại lượng vất lí 19 nói chung lại khơng khả tích bình phương giá trị tuyệt đối tồn khơng gian Điều có nghĩa trạng thái có ý nghĩa vật lí có đại lượng (thậm chí hầu hết) khơng thể có giá trị cụ thể Trạng thái mà đại lượng vật lí có giá trị cụ thể lí tưởng mà khơng "hiện thực hóa" (Đây điều mà người làm vật lí lượng tử cần khắc ghi trí nhớ, khơng muốn vướng phải hiểu lầm tai hại) Với lí vậy, khơng gian toán học hàm trạng thái cần phải mơ tả rộng sang hàm cần khả tích vùng hữu hạn (bị chặn) không gian mà khơng cần khả tích tồn khơng gian Hơn thế, số trường hợp ta phải xét đến hàm suy rộng, có hàm delta nói đến 1.2.5 Có thể coi không gian (không gian hàm trạng thái) Cơ học lượng tử không gian tiền - Hilbert C 2.1 Ta quy ước hàm mơ tả trạng thái hạt vi mơ với số phức khác, mơ tả trạng thái đó.Mặt hàm hàm khả tích với bình phương giá trị tuyệt đối ln chọn cho có: , * từ đầu ta coi  * (r )  (r )dv 1 3.2.Toán tử xung lƣợng Trong học lượng tử, xung lượng (hay động lượng) hạt  mơ tả tốn tử vector pˆ i gồm ba thành phần (ba hình chiếu ba trục tọa độ) pˆ x i x , pˆ y i y , pˆ z i z (trong h số Planck rút gọn) Như thấy ví dụ 1.2.7, vector thực ba chiều trị riêng toán tử này, hàm riêng tương  ứng với trị riêng p : 20  p  (r ) (2 ) e i  pr  (3.2.1) Vì phần hàm mũ với số mũ ảo có giá trị tuyệt đối nên hàm không khả tích với bình phương giá trị tuyệt đối tồn khơng gian, khơng thể chuẩn hóa theo nghĩa thơng thường Tuy nhiên, thấy trên, chúng chuẩn hóa sau:       ( p p ') (3.2.2) p * (r ) p (r )dv (Ở tích phân bội ba theo tồn khơng gian dv=dxdydz) Ngồi ra, vừa nói trên, hàm mô tả trạng thái thực hạt Nói cách khác, trạng thái với xung lượng xác định trạng thái giới hạn trạng thái thực Điều có nghĩa thực tế hạt khơng có xung lượng hồn tồn xác định, mà trạng thái với xung lượng xác định mà Điều thấy rõ ta xem hệ thức bất định phần sau Ta nhận xét hệ hàm (3.2.1) đầy đủ, nghĩa hàm thuộc khơng gian viết dạng :    (3.2.3) (r ) c( p) p (r )dw hay  (r ) i  pr  e  c( p)dw (2 ) (3.2.4) (Ở xét tích phân bội ba theo "không gian xung lượng", dw dpx dp y dpz ) Như khẳng định định lí 2.2.2 hệ thức (3.2.2) bảo đảm tính unitar biến đổi (3.2.3) (từ hàm c thành hàm ), tức (1) , (2) ảnh c1 , c2 (1) , (2) c1 , c2 Mở rộng công thức (2.2.3) cho trường hợp biến vector ba chiều (thay , ,   p, p ' , ), ta có : 21  c( p)  p ,  p   * (r ) (r )dv (3.2.5) hay  c( p ) i  pr (2 ) e  (r )dv (3.2.6) Ta nhận thấy công thức (3.2.4) (3.2.6) cơng thức xi ngược biến đổi Fourier ba chiều  (r ) Trong trường hợp  p0  (r ) i   p0 r (2 ) e    ( p0 p ) r     e (r )dv p * (r ) (2 )    Ngược lại, (r )dv (r r0 ) i  c( p )  c( p ) i  pr (2 ) e  (r  r0 )dv , ta có  p0  (r )dv  p0 ) i  pr0 (2 )  (p e Như ta thấy có "đối xứng chéo" hàm trạng thái   với biến r " hàm biểu diễn" chúng với biến p 3.3.Toán tử vị trí  Tốn tử vị trí tốn tử vector r gồm ba thành phần ba toán tử tọa độ xˆ, yˆ , zˆ , tương ứng phép nhân hàm trạng thái với x, y, z Như   thấy ví dụ 1.2.8 vector r0 trị riêng r , hàm riêng    (r r0 ) Vì ứng với r0 (r )           r1 , r2 r1 * ( r ) r2 ( r ) dv r1 ( r ) r2 ( r ) dv           (r r1 ) (r r2 )dv (r1 r2 ) r1 ( r ) r2 ( r ) dv nên hệ gồm hàm trực hàm ta có :    (r ) (r ') (r    (r r0 ) nên hệ hàm r0 (r ) chuẩn Mặt khác , với  r ')dv ' đầy đủ 22 yx , , nên hai thành phần khác tên tốn tử vị trí Vì xy giao hốn với Tiếp theo, i ( y ) y( i ) , nên thành x x phần toán tử xung lượng trục giao hốn với thành phần tốn tử vị trí trục khác Bây ta xét tương quan thành phần toán tử xung lượng thành phần tên tốn tử vị trí Ta có : pˆ x xˆ tức A, B i pˆ x xˆ AB i x (x ) i ˆˆ x xp hay +x pˆ x xˆ xpˆ x i x ˆˆ x xp i Với kí hiệu BA (gọi hốn tử A với B), ta có :   pˆ x , xˆ pˆ y , y pˆ z , z i (3.3.1) Các hệ thức chứng tỏ hai thành phần tên toán tử xung lượng vị trí khơng giao hốn với Nhận xét : Ta thấy hệ hàm riêng xˆ pˆ x khơng có hàm chung Điều có nghĩa hai đại lượng khơng đo đồng thời! Điều củng cố hệ thức bất định Heisenberg 3.4 Toán tử lƣợng Trong Cơ học cổ điển ta có biểu thức cho lượng tồn phần  p2 p2 động U , p p độ lớn xung lượng, tức 2m 2m U Trong học lượng tử, người ta chấp nhận nguyên lý Bohr (do Niels Bohr người Đan Mạch, 1885-1962, giải Nobel Vật Lí 1922, nêu ra): Mọi hệ thức liên hệ đại lượng vật lí Cơ học cổ điển giữ nguyên chuyển sang Cơ học lượng tử, với việc thay biến số toán tử Như vậy, kí hiệu tốn tử lượng Hˆ ta có : E Hˆ pˆ Uˆ 2m ( pˆ x2 2m pˆ y2 pˆ z2 ) Uˆ (3.4.1) 23 tốn tử Uˆ phép nhân hàm trạng thái với hàm  U (r ) U ( x, y, z) Toán tử lượng cịn gọi tốn tử Hamilton hay hamiltonian Do pˆ x2 i x nên pˆ 2 2 x 2 y x2 , z 2 Vì vậy: 2 ˆ U (3.4.2) 2m Bây ta xét phương trình tìm trị riêng hàm riêng tốn tử    năng, tức phương trình : U (r ) (r ) u (r ) Hˆ với u số Rõ ràng lấy u giá trị hàm U Nói cách khác, phổ Uˆ phụ thuộc vào toán cụ thể, tức phụ thuộc vào tương tác hạt với trường bên ngoài, tập hợp giá trị  hàm U xét toán Khi đó, điểm mà U (r ) u phải  có (r ) Như vậy, tập hợp giá trị U khoảng phổ Uˆ liên tục  Một điều bất ngờ mà ta thấy sau Hˆ phụ thuộc vào pˆ có phổ liên tục Uˆ thường có phổ liên tục Nhưng phổ Hˆ rời rạc 24 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn chúng tơi xây dựng mơ hình tổng qt cho không gian Hilbert suy rộng hay không gian Hilbert trang bị để nghiên cứu số ứng dụng lí thuyết tốn tử cho Cơ học lượng tử Cụ thể kết trình bày luận văn là: Chương đưa mơ hình tổng qt khơng gian Hilbert suy rộng, nghiên cứu tốn tử tuyến tính, phần tử ma trận tốn tử, đưa số định nghĩa, định lí chứng minh chúng Chương giới thiệu trình bày số ứng dụng Không gian Hilbert suy rộng vào Cơ học lượng tử