Sự ổn định cơ sở của không gian hilbert tuỳ ý

trờng đại học vinh khoa toán - - ổn định sở không gian hilbert tuỳ ý khoá luận tốt nghiệp đại học ngành s- phạm toán Ngời hớng dẫn khoa học: th.s kiều phơng chi Sinh viên thực hiện: nguyễn thị linh Lớp: 45 a toán vinh-2008 mục lục Trang lời nói đầu Ch-ơng I kiến thức chuÈn bÞ i họ số khả tổng ii Không gian định chuẩn, không gian Banach iii Kh«ng gian Hilbert 10 iv T«p« yÕu 16 v Toán tử tuyến tính liên tục 18 ch-¬ng ii ổn định sở không gian hilbert tuú ý 21 kÕt luËn 31 tµi liƯu tham kh¶o 32 lời nói đầu Sự ổn định sở Schauder không gian Banach đặc biệt không gian Hilbert khả li đ-ợc N.K.Bary đ-a nghiên cứu từ năm 1943 Bài toán đ-ợc đặt nh- sau: '' Cho xn n sở Schauder không gian Banach X vµ y n n1 lµ mét d·y cđa X Tìm điều kiện để dÃy y n n1 "gÇn" xn  n 1 cho y n n1 sở ?" Bài toán đà đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm giải Điều kiện "gần" đ-ợc nghiên cứu theo nhiều h-ớng khác Retherford (1969,1972) đà thu đ-ợc nhiều kết tốt toán cho sở Schauder không gian Banach không gian Hilbert Gần Kasimov tiếp tục giải toán cho lớp không gian Hilbert khả li Khoá luận tập trung nghiên cứu theo h-ớng toán cho lớp không gian Hilbert tuỳ ý Kết đà đ-a số điều kiện đủ để sở không gian Hilbert H tuỳ ý ổn định Ph-ơng pháp chứng minh dựa vào khái niệm họ khả tổng số ý t-ởng dựa kết nghiên cứu Retherford Kasimov Với mục đích khoá luận đ-ợc viết thành hai ch-ơng Ch-ơng I trình bày kiến thức cần cho việc chứng minh ch-ơng sau Trong ch-ơng đà trình bày lại khái niệm tính chất không gian Banach, Hilbert; họ số khả tổng, họ khả tổng không gian định chuẩn; tôpô yếu lý thuyết toán tử Ch-ơng II trình bày kết khoá luận Khoá luận đà đ-a mét sè ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ mét hä " gần " với sở trực chuẩn không gian Hilbert tuỳ ý sở không gian Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Th.S Kiều Ph-ơng Chi thời gian bận nghiên cứu sinh nh-ng tận tình giúp đỡ, h-ớng dẫn, giảng dạy em trình làm khoá luận Xin đ-ợc cảm ơn thầy cô giáo tổ Giải tích, thầy cô khoa toán, bạn bè ng-ời thân đà tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khoá luận Vinh, tháng - 2008 Sinh viên:Nguyễn Thị Linh Ch-ơng I kiến thức chuẩn bị I họ số khả tổng 1- L-ới không gian tôpô 1.1 Định nghĩa tập định h-ớng Tập D đ-ợc gọi định h-ớng đà xác định quan hệ " > " thoả m·n tÝnh chÊt: i Mäi m,n,p  D cho m > n , n > p th× m > p; ii NÕu m  D th× m >m; iii Mäi m,n  D, tån t¹i p  D cho p > m, p>n; Khi tập D đ-ợc gọi định h-ớng quan hệ " > " ký hiệu ( D, > ) viết tắt D Ta dễ dàng có mệnh đề sau 1.2 Mệnh đề Cho I tập số bất kú Ký hiÖu F ( I ) = { J I : J hữu hạn} Trên F ( I ) định nghĩa quan hệ bao hàm " > " nh- sau  J , K  F (I ) : J  K  J  K Khi ®ã F ( I ) víi quan hƯ bao hµm lµ tập định h-ớng 1.3 Định nghĩa l-ới Giả sử D tập định h-ớng quan hệ " > " Khi hàm S xác định D đ-ợc gọi l-ới hay dÃy suy rộng (sau nµy ta nãi gän lµ d·y) Ký hiƯu lµ (S, D, >) vắn tắt S Nếu miền giá trị l-ới không gian tôpô X S đ-ợc gọi l-ới không gian tô pô X 1.4 Định nghĩa l-ới hội tụ Giả sử D tập định h-ớng quan hệ " >", ( X, ) không gian tôpô Khi l-ới (Sn , D, > ) đ-ợc gọi hội tụ không gian tôpô đến điểm s tôpô với lân cận U s tån t¹i no  D cho  n  D mà n > no Sn U Ký hiÖu lim Sn = s, hay Sn  s 2- Các họ số khả tổng 1.5 Định nghĩa họ số khả tổng K tr-ờng số thực số phức Cho I tập số F ( I ) họ tập hữu hạn I Ta định h-ớng F ( I ) quan hệ bao hàm Giả sử [xi ,i I ] họ số, với J F ( I ) đặt x SJ = iJ i NÕu d·y suy réng ( l-íi ) {SJ , J  F ( I ) } héi tô th× ta nãi hä sè [xi ,i  I ] khả tổng Số s mà họ {sJ} hội tụ tới gäi lµ tỉng cđa hä [xi ,i  I ] vµ ký hiƯu lµ  x =s i iI  x =s vµ chØ   0,  J 1.6 NhËn xÐt Ta cã i iI  F ( I ) cho víi mäi J  F ( I ), J  J ta cã SJ  s   1.7 Bỉ ®Ị.[1] NÕu víi hä sè [xi ,i  I ] tån t¹i C  cho x i iJ th× x iJ i  4C C  J  F (I )  J  F ( I ) Chøng minh Đầu tiên ta giả sử [xi ,i I ] họ số thực Với J F ( I ) đặt J i J : xi  0 vµ J   i  J : xi  0 Ta cã  x x x  x i iJ iJ  i i iJ  iJ  i  x iJ  i  2C  J  F ( I ) TiÕp theo [xi ,i I ] họ số phức Khi hai họ [Rexi ,i I ] [Imxi ,i I ] tho¶ m·n gi¶ thiÕt cđa bỉ ®Ò Do vËy  x   Re x   Im x iJ i iJ i i iJ  2C  2C  4C  J  F ( I ) Bổ đề đ-ợc chứng minh 1.8 Mệnh đề.[1] Họ [xi ,i I ] khả tổng chØ tån t¹i C  cho x iJ i  C  J  F ( I ) Chứng minh Điều kiện cần Nếu [xi ,i I ] khả tổng có tổng s tồn J F ( I ) cho SJ  s   J  J Khi ®ã víi mäi  J  F ( I ) ta cã x iJ i   iJ  J  xi  s  s  xi  iJ J   s   xi  iJ  J xi  s  s   xi iJ  J  F ( I ) iJ VËy đặt C s xi Bổ đề 1.7 ta có iJ o x  4C  J  F ( I ) i iJ Điều kiện đủ Giả sử tồn C cho x iJ i  C  J F ( I ) Đặt C0 sup  xi :  iJ  J  F ( I )     Theo tÝnh chÊt cña cận tồn J1 , J , , J n , thuéc F ( I ) cho x iJ n i  C0  n Khi ®ã víi mäi J  J n   ta cã x iJ i   iJ  J n 1 xi   xi  C0  (C0  )  n n iJ n Nh- đặt Sn xi , n  1, 2, iJ n th× víi m  n ta cã Sm  Sn   iJ m J n xi  0 n n Chứng tỏ {Sn } dÃy Cauchy, vËy nªn nã héi tơ tíi s Ci cïng ta chØ  xi : i  I  cã tỉng lµ s Víi   chän n ®đ lín cho Sn  s   vµ   n Khi ®ã víi mäi  J  F ( I ), J  J n ta cã SJ  s   x S i n s  J Jn x i  Sn  s  J Jn        n 2 Vì lim S J s Mệnh đề đ-ợc chứng minh J Từ bổ đề mệnh đề ta thu đ-ợc định lý sau 1.9 Định lý.[1] Họ [xi ,i I ] khả tổng chØ hä  xi , i  I  khả tổng 1.10 Định nghĩa họ số bị chặn Giả sử [xi ,i I ] họ số Ta nói [xi ,i I ] bị chặn tån t¹i M > cho : xi < M ,víi mäi i  I Ký hiƯu m(I) = { [xi ,i  I ] : [xi ,i  I ] bị chặn} không gian họ số bị chặn Trên m(I) ta trang bị phép toán sau: +) Céng: Víi mäi x  [ xi , i  I ], y  [ yi , i I ] m( I ) ta định nghĩa x  y  [ xi  yi : i I ] m( I ) +) Nhân vô h-íng: Víi mäi x  [ xi , i  I ]  m( I ) ,  K ta ®Þnh nghÜa  x  [ xi : i  I ] m( I ) Khi dễ dàng kiểm tra đ-ợc phép toán hoàn toàn xác định với hai phép toán m(I) không gian tuyến tính 1.11 Định nghĩa họ số héi tơ tíi Gi¶ sư [ xi ,i  I ] họ số Ta nói [xi ,i  I ] héi tơ tíi nÕu víi mäi  > 0, tån t¹i Jo  F ( I ) cho xi <  ,  i  I \ Jo Ký hiÖu Co(I) =  [xi ,i  I ] : [xi ,i  I ] hội tụ tới không gian họ sè héi tơ tíi Râ rµng Co(I) lµ mét kh«ng gian tun tÝnh cđa m(I) 1.12 Ví dụ Cho p ta đặt lp(I) =  {xi }i  I  K :  iI p xi < gọi không gian họ số p-khả tổng Dễ dàng kiểm tra đ-ợc lp(I) không gian tuyến tính m(I) Trong tr-ờng hợp p = l2(I) không gian họ số bình ph-ơng khả tổng l2(I) = {xi }i  I  K :  iI xi cho f x   k x , x  E 10 1.21 Mệnh đề [1] Giả sử E F hai không gian định chuẩn Khi đó, đặt L( E, F ):={ f : E  F f tuyÕn tÝnh liªn tục } không gian định chuẩn với chuẩn xác định công thức f sup{ f x : x  1} Ngoµi ra, nÕu F lµ không gian Banach L( E, F ) không gian Banach Khi F  K th× L( E, K ) gọi không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục từ E vào K Không gian gọi không gian đối ngẫu không gian E vµ ký hiƯu lµ E* - hä khả tổng không gian định chuẩn 1.22 Định nghĩa Cho E không gian định chuẩn, [xi ,i I ] lµ mét hä E NÕu l-íi { sJ = x iJ i , J  F (I) } hội tụ lim sJ =s ta nói họ [xi ,i I ] khả tổng s đ-ợc gọi tổng Ký hiệu s= x iI i 1.23 Định nghĩa họ khả tổng tuyệt đối Họ [xi ,i I ] không gian định chuẩn E đ-ợc gọi khả tổng tuyệt ®èi nÕu hä sè [ xi , i  I ] họ khả tổng 1.24 Nhận xét Nếu E không gian Banach dễ dàng chứng minh đ-ợc họ khả tổng tuyệt đối khả tổng Ng-ợc lại, họ khả tổng tuyệt đối E khả tổng E không gian Banach III không gian Hilbert 1- Định nghĩa tính chất bản[1] 1.25 Dạng Hermite Giả sử E không gian véctơ tr-ờng K Dạng Hermite E ánh xạ : E E K thoả m·n: H1:  (x1 +x2,y) =  (x1 ,y)+  (x2,y); H2:  (x, y)   ( x, y); H3:  ( x, y)   ( x, y) víi mäi x, y  E;   K 18 Suy x  sup f X * , f Ta thu đ-ợc x sup f ( x)  f ( x)  x f ( x) , x  E f X * , f Tiếp theo với x E xác định phiếm hàm x : E* K xác định bëi x( f )  f ( x), f  X * Dễ dàng kiểm tra đ-ợc x tuyến tính Hơn x sup x( f ) sup f X * , f 1 f ( x)  x f X * , f 1 VËy x E** Khi ánh xạ xE x E** đẳng cự tuyến tính Định lý đ-ợc chứng minh Từ định lý ta xem nh- E  E** Khi ®ã ta cã định nghĩa sau 1.41 Định nghĩa Không gian định chuẩn E đ-ợc gọi phản xạ E E** 1.42 Định lý Không gian Hilbert phản xạ Chứng minh Giả sử H không gian Hilbert Theo Định lý Riesz ta có H đẳng cự tuyến tính với H * Hay H *  H Do ®ã  H *   H *  H * V - toán tử tuyến Tính liên tục 1- Phổ toán tử 1.43 Định nghĩa.[2] 1) Giả sử E không gian định chuẩn A L( E ) toán tử E Số K đ-ợc gọi giá trị phổ A , không tồn toán tử ng-ợc liên tơc cđa to¸n tư  I  A TËp tất giá trị phổ A đ-ợc gọi lµ phỉ cđa A vµ ký hiƯu  ( A) 2) Số ( A) đ-ợc gọi giá trị quy A Tập tất giá trị quy A đ-ợc gọi tập giải A ký hiệu ( A) Rõ ràng giá trị quy A I A đẳng cấu E 1.44 Định lý [2] Giả sử E không gian Banach, A L( E ) sè  tho¶ m·n   lim n A n n 19 Khi thuộc tập giải cđa A vµ  ( I  A) 1   n 0 An  n1 1.45 HƯ qu¶ [2] Nếu E không gian Banach, A L( E ) số thoả mÃn A thuộc tập giải A ( I  A)   1 n 0 An  n1 2- Toán tử compact 1.46 Định nghĩa Giả sử E F không gian định chuẩn ¸nh x¹ (to¸n tư) tun tÝnh A : E  F đ-ợc gọi toán tử compact ảnh A( B) hình cầu đơn vị B E compact t-ơng đối F (tức A( B) compact F ) 1.47 Định lý [1] Giả sử A L( E ) toán tử compact, ( A) Khi giá trị riêng A Nhận xét Từ định lý suy H không gian Hilbert A L( H ) , A compact giá trị riêng f g 1H- A đẳng cấu từ H vào H 1.48 Định lý.[1] Giả sử A : E F toán tử hai không gian Banach E F Khi Nếu A compact th× A chun mäi d·y héi tơ u E thµnh d·y héi tơ F  NÕu E phản xạ A chuyển dÃy hội tụ yếu E thành dÃy hội tụ F A compact Nhận xét Vì không gian Hilbert phản xạ nên f L( E ) chuyển d·y héi tơ u E thµnh d·y héi tơ f compact - Toán tử liên hợp Cho X , Y không gian định chuẩn A : X Y toán tử tuyến tính liên tục Với f Y * xét phiếm hàm g X đ-ợc xác định công thức: g ( x)  f ( Ax) 20 Khi g ánh xạ tuyến tính g ( x)  f ( Ax)  f Ax  f A x VËy g  X * Ta có định nghĩa sau 1.49 Định nghĩa Cho X , Y không gian định chuẩn A : X Y toán tử tuyến tính liên tơc To¸n tư A* : Y *  X * đ-ợc xác định ( A* f )( x) f ( Ax) : g ( x),  x  X đ-ợc gọi toán tử liên hợp toán tö A 1.50.NhËn xÐt 1) NÕu A  L( X ) th× A*  L( X * ) 2) NÕu H không gian Hilbert theo định lý Riesz ta cã nÕu A  L( H ) th× A* cã thĨ xem nh- thc vµo L( H ) vµ đ-ợc xác định Ax y x A* y , x, y H Hơn ta có A A* 1.51 Định lý.[1] (Schauder) Giả sử X Y hai không gian Banach A  L( X , Y ) Khi ®ã A L( X , Y ) toán tử compact A* toán tử compact 1.52 Hệ Cho H không gian Hilbert A L( H ) toán tử compact Khi toán tử liên hợp A* compact 21 Ch-ơng ổn định sở không gian Hilbert tuỳ ý Trong ch-ơng đ-a mét sè ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ mét cë së không gian Hilbert tuỳ ý ổn định Các kết lấy ý t-ởng từ tr-ờng hợp không gian Hilbert khả li, đà đ-ợc nghiên cứu [4] [5] Trong ch-ơng không giải thích thêm giả thiết I tập hợp có lực l-ợng đếm đ-ợc Chúng ta bắt đầu với số định lý ổn định 2.1 Định lý Cho ei iI sở trực chuẩn không gian Hilbert H vµ yi iI lµ mét hä không gian H thoả mÃn e y i iI i    Khi ®ã yi iI sở H Chứng minh Ta xét toán tử T : H H đ-ợc xác định bëi c«ng thøc sau T ( x)   x ei  yi ei , x  H () iI Ta chứng minh tồn ánh xạ ®¼ng cÊu tõ H  H chun hä ei iI thành họ yi iI Khi đó, theo Định lý 1.34 ta có ei iI sở H nên yi iI sở H Tr-ớc hết, ta chứng minh toán tử đ-ợc xác định công thức () toán tử T tuyến tÝnh liªn tơc tõ H  H Víi mäi x, y  H vµ  ,   K ta cã T (x  y)   x  y ei  yi ei iI    x ei  yi ei  y ei  yi ei  iI   x e iI   iI Ta suy T toán tử tuyến tính i  yi ei   y ei  yi ei iI x ei  yi ei    iI x ei  yi ei  T ( x)  T ( y) 22 L¹i cã T ( x)   x ei  yi ei iI   jI iI x ei  yi ei e j    x ei  yi ei e j 2 jI jI jI iI   x  ej  y j   x ej  y j  x  ej  yj 2 jI Kết hợp giả thiết ®Þnh lý ta cã  x  ej  yj T (x) 2  x jI Suy T (x)    x VËy T toán tử tuyến tính liên tục T Gọi T toán tử liên hợp T , T đ-ợc xác định công thức sau T ( x)   x ei  (ei  yi ), x  H () iI ThËt vËy, víi mäi x, y  H ta cã x T  ( y)  x  iI y ei (ei  yi ) ( tính liên tục tích vô h-ớng)  y ei x ei  yi iI   x ei  yi ei y , iI T ( x) y   iI x ei  yi ei y   x ei  yi ei y iI Suy x T  ( y)  T ( x) y , x, y  H 23 Vậy T xác định công thức () toán tử liên hợp T Từ đó, suy T   T    Ta thu đ-ợc S 1H - T đẳng cÊu tõ H  H , víi 1H : H H toán tử đồng Mặt khác S (ei )  (1H - T  ) (ei )  1H (ei ) - T  (ei ) i  I  ei   ei e j e j  y j  i  I  ei  ei  yi   yi i  I jI nh- từ nhận xét ban đầu suy yi iI sở H Định lý đ-ợc chứng minh 2.2.Định lý Cho ei iI sở trực chuẩn không gian Hilbert H yi iI họ không gian H tho¶ m·n  iI x ei  yi    , víi mäi x mµ x  Khi yi iI sở H Chøng minh Ta xÐt to¸n tư T : H H đ-ợc xác định công thức T ( x)   x ei  yi ei , x H iI Chứng minh nh- định lý 2.1 ta có T ánh xạ tuyến tính Mặt khác, theo giả thiết ta có iI x ei  yi x    1, x  Nh- vËy víi mäi x  , x  H ta cã T ( x)   iI x ei  yi ei   jI iI    x ei  yi ei e j x ei  yi ei e j   x ej  y j jI jI iI  x  jI x ej  yj x  x 2 24 Tõ ®ã suy víi x  , x  H ta cã T (x)    x (1) Vì (1) cho x nên T (x)    x , x  H Vậy T toán tử tuyến tính liên tục T Theo định lý 2.1 ta đà chứng minh đ-ợc toán tử liên hợp T đ-ợc xác định công thức T ( x)   x ei  (ei  yi ), x  H iI Khi ®ã ta cịng cã T   T    vµ nh- S 1H - T đẳng cấu tuyÕn tÝnh tõ H  H tho¶ m·n S (ei )  yi , i  I VËy yi iI sở H Định lý đ-ợc chứng minh 2.3.Nhận xét Từ hai định lý cho thấy giả thiết định lý 2.1 kéo theo giả thiết định lý 2.2 Ví dụ sau cho thấy định lý 2.2 thực mạnh định lý 2.1 Tức tồn họ thoả mÃn 2.2 mà không thoả mÃn 2.1 2.4 Ví dụ Ta xét ei iI họ l2(I) đ-ợc xác định ei i = với i ei  j  = , j  i Khi ei iI trở thành sở trực chuẩn l2(I) Xét họ yi iI đ-ợc xác định nh- sau yi ei , i I Khi đó, với x l2(I) mà x  ta cã  iI x ei  yi  iI x ei 2   x ei iI Suy yi iI thoả mÃn giả thiết định lý 2.2.Tuy nhiên ei  yi  , i  I 2  x  1 4 25 l2(I) không gian có số chiều đếm đ-ợc nên e y iI i i     iI VËy yi iI không thoả mÃn giả thiết định lý 2.1 Định lý sau cho kết ổn định tốt Định lý 2.2 2.5 Định lý Cho ei iI sở trực chuẩn không gian Hilbert H yi iI họ c độc lập tuyến tính không gian H Nếu với họ g j jI héi tơ u tíi ta cã hä   g j ei  yi  iI    jI héi tơ tíi th× yi iI sở H Chứng minh Cũng nh- định lý 2.1 ta xét toán tử T :H H đ-ợc xác định công thức T ( x)   x ei  yi ei , x  H iI toán tử tuyến tính Tr-ớc hết, ta chøng minh tån t¹i sè k  cho  iI x ei  yi  k víi x mà x Giả sử ng-ợc lại, tồn dÃy xn n mà xn n x  H : x  1 cho víi n cố định, ta có iI xn ei yi Xét dÃy g n n1 đ-ợc xác định g n  xn xn  gn  n n n2 (2) ,với n 1,2, Ta cã xn n  n  n   tõ ®ã suy g n n1 lµ mét d·y héi tơ tíi 0, víi f  LH  bÊt kú suy f g n  héi tơ tíi f 0 V× f tun tính nên f Từ suy f g n  héi tơ tíi Nh- vËy g n n1 héi tơ u tíi , theo gi¶ thiÕt suy 26    g n ei  yi  iI    n 1 héi tơ tíi (3) Tuy nhiªn  iI g n ei  yi xn  n iI  iI  ei  yi xn ei  yi n  xn ei  yi n iI (4) Tõ (2) vµ (4) ta suy  iI g n ei  yi   n  n víi n  1,2 n Điều mâu thuẫn (3).Vậy điều giả sử sai, tức tồn k cho víi x  , x  H ta cã T (x)   jI xn e j  y j  x  x ej  yj x  x  x ej  yj x jI 2 jI k x Tõ ®ã, ta cã T ( x)  k  x , x (5) Vì (5) cho x nên T (x)  x , x  H Nh- vËy T toán tử tuyến tính liên tục Bây giờ, giả sư g j jI héi tơ u tíi g Khi g j gjI họ hội tụ yếu tới Theo giả thiết định lý ta cã   g j  g ei  yi  iI    jI lµ mét hä héi tơ tíi Suy T (g j )  T (g)  T (g j  g)   iI g j  g ei  yi 27   g j  g ei  yi  iI T (g j )  T (g) Hay Nh- vËy T ®· chun hä héi tơ u bÊt kú g j jI thµnh hä héi tơ  T ( g j ) không gian phản xạ H nên theo Định lý 1.48 toán tử compact Do theo Định lý Schauder toán tử liên hợp T compact Với T toán tử liên hợp T , theo chứng minh định lí 2.1 T đ-ợc xác định T :H H T  ( x)   x ei  (ei  yi ), x  H iI B©y giê, ta chứng minh giá trị riêng T Thật vậy, giả sử ng-ợc lại, giá trị riêng T Tức tồn x H , x cho T  x   x V× ei iI sở trực chuẩn H nªn ta cã x   x ei ei iI Khi ®ã T  x   x   x ei  (ei  yi )   x ei ei  x ei ei   x ei yi =  x ei ei  x ei yi  iI  iI  iI iI iI iI (6) Theo giả thiết yi iI họ c độc lập tuyến tính nên từ (6) ta suy x ei  0, i  I Do ei iI sở nên ta có x mâu thuẫn x véctơ riêng T Vậy giá trị riêng T  , T  compact, v× vËy S  1H - T đẳng cấu từ H vào H vµ S ei   yi , i  I Vậy yi iI sở H Định lý đ-ợc chứng minh Ta nhận đ-ợc hệ sau 2.6 Hệ Cho ei iI sở trực chuẩn không gian Hilbert H Giả sử yi iI họ c độc lập tuyến tÝnh cđa H tho¶ m·n 28 e  yi i iI Khi yi iI sở H Chứng minh Giả sử g j jI héi tơ u tíi suy  g j jI họ số bị chặn, vËy  M  cho g j  M , j  I Theo gi¶ thiÕt, ta cã e iI  yi i   tøc với cho tr-ớc, tồn J  F ( I ) cho e iI \ J i  yi   2M (7) Với i J cố ®Þnh , ei  yi  H , theo ®Þnh lý Riesz f e  y lµ phiÕm hµm tuyÕn i i tính liên tục Lại g j jI hội tụ yếu tới , theo định nghĩa họ héi tô yÕu ta cã { f e  y ( g j ) } j  I héi tô tới với i J i i Nh- vậy, với i J tồn t¹i J i  F ( I ) cho g j ei  yi   , j  I \ J i J0 ®ã J số phần tử J Đặt J : J i iJ Khi ®ã ta cã g j ei  yi   , với j I \ J i J J0 (8) Nh- vậy, với j I \ J kết hợp (7) (8) ta cã  iI g j ei  yi   g j ei  yi iJ  J0     J0 M2  iI \ J g iI \ J  2M    j   g j ei  yi  ei  yi   2 29 Suy hä  iI g j ei  yi jI héi tơ tíi Theo định lý 2.5 ta có yi iI sở H 2.7 Hệ Cho ei iI sở trực chuẩn không gian Hilbert H Giả sử yi iI họ c độc lập tuyến tính H thoả mÃn  e y i iI   i Khi yi iI sở H e y Chứng minh Vì iI i nên theo Mệnh đề 1.8 ta có tồn C cho i víi mäi J  F ( I ) ta cã  e y i iJ C i V× vËy  e y iJ i i 2      ei  yi   C  iJ  víi mäi J  F ( I ) Cũng theo Mệnh đề 1.8  e y iI i i   Do theo hệ 2.6 ta nhận đ-ợc điều cần chøng minh Ta xÐt vÝ dơ sau cho thÊy hƯ 2.6 tr-ờng hợp riêng thực định lý 2.5 2.8 Ví dụ Xét không gian l2(I) Cho i iI lµ mét hä sè thùc cho i iI héi tơ tíi vµ  iI i   ( Chän  i  i I ) ei iI sở trực chuẩn l2(I) đ-ợc xác định nh- vÝ dơ 2.4, yi iI lµ mét hä H đ-ợc xác định nh- sau yi (1 i )ei , i  I Khi ®ã ta cã e iI i  yi   ei  (1  i )ei iI   i ei iI   iI i   30 Nh- vậy, họ yi iI không thoả mÃn giả thiÕt cđa hƯ qu¶ 2.6 nh-ng yi iI tho¶ m·n giả thiết định lý 2.5 Thật vậy, giả sử g j jI  l2(I) lµ mét hä héi tơ yếu tới Khi đó, tồn M cho gj   g j ei 2  M , j  I iI Tõ i iI héi tơ vỊ suy víi   tån t¹i I o  F ( I ) cho i 2M với i  I \ I Tõ ®ã, víi mäi j  I ta cã  iI \ I g j ei  yi   iI \ I    2M  g j i ei   2M  gj iI \ I g j ei iI \ I     i   2M iI  2M M   2 g j ei g j ei Mặt khác, với i  I , v× g j jI héi tơ yếu tới nên tồn I i F ( I ) cho g j ei  yi   I0 , j  I \ I i Đặt J : I i iI Khi ®ã víi mäi j  I \J ta cã  iI g j ei  yi  iI   I0  I0  I0   Nh- vËy, ta cã  iI g j ei  yi   g j ei  yi iI  Suy   g j ei  yi iI 2.5    2   iI \ I g j ei  yi   , j  I \ J jI héi tơ tíi Hay yi iI thoả mÃn giả thiết định lý 31 kết luận Khoá luận đà đ-a số điều kiện đủ để sở cở sở không gian Hilbert tuỳ ý ổn định Các kết đ-ợc trình bày ch-ơng II nh- định lý 2.1, định lý 2.2, định lý 2.5, hệ 2.6 hệ 2.7 tổng quát cho kết đ-ợc nghiên cứu Retherford, Kasimov, tr-ờng hợp không gian Hilbert khả li Các chứng minh phải dựa vào tính chất họ khả tổng Bài toán nghiên cứu ổn định sở không gian Banach không gian Hilbert toán đà có lịch sử lâu dài có nhiều kết tổng quan cho không gian Banach Hilbert khả li đ-ợc trình bày [7] Khoá luận đạt đ-ợc số kết cho tr-ờng hợp không gian Hilbert tổng quát Việc mở rộng số kết không gian Hilbert khả li lên không gian Hilbert không khả li khó khăn kỹ thuật chứng minh đặc biệt nh- quy nạp theo số tự nhiên tính chất tổng áp dụng tr-ờng hợp sở đếm đ-ợc Sau khoá luận, em hy vọng có thêm điều kiện để quan tâm nghiên cứu nhiều tới mảng vấn đề Mặc dù có nhiều cố gắng nh-ng không tránh khỏi sai sót, mong góp ý thầy cô bạn 32 tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê- Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập II, NXB Giáo dục, 2001 [2] Đỗ Văn L-u, Giải tích hàm, NXB Khoa häc vµ kü thuËt Hµ Néi, 1999 [3] Kieu Phuong Chi, Dinh Van Nhan and Nguyen Thi Linh, On the stability of basse in arbitrary Hilbert spaces, Submited in VNU.Science Journal [4] J.J Retherford and J.R.Holub, The stability of bases in Hilbert spaces, Jour Ang Math, 135-146 , 1971 [5] Sh.G Kasimov, On the stability of bases in Banach and Hilbert spaces, Uzbek Math Zn, 34-39 , 2002 [6] N Dunford and J.T Schwatz, Linear Operator, Part 1, NewYork and London, 1958 [7] I.Singer, Bases in Banach spaces,( I, II ),Springer - Verlag , 1981 ... H không gian Hilbert A L( H ) toán tử compact Khi toán tử liên hợp A* compact 21 Ch-ơng ổn định sở không gian Hilbert tuỳ ý Trong ch-ơng đ-a số điều kiện đủ để cở sở không gian Hilbert tuỳ ý. .. E, F ) không gian Banach Khi F K L( E, K ) gọi không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục từ E vào K Không gian gọi không gian đối ngẫu không gian E ký hiệu E* - họ khả tổng không gian định chuẩn... giả thiết định lý 31 kết luận Khoá luận đà đ-a số ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ mét c¬ së cë së không gian Hilbert tuỳ ý ổn định Các kết đ-ợc trình bày ch-ơng II nh- định lý 2.1, định lý 2.2, định lý 2.5, hệ