Khóa luận tốt nghiệp vấn đề cơ sở của không gian vectơ

Trong đó, không gian vectơ là một nội dung rất quan trọng vì nó cung cấp cho các bạn sinh viên những khái niệm, những kiến thức mở đầu về Đại số tuyến tính.. Trong đó I là phần tử đơn vị

MO DAU

1 Lý do chọn đề tài:

Đại số tuyến tính là một môn học rất quan trọng đối với sinh viên khoa

toán nói riêng và sinh viên học toán nói chung vì nó là nền tảng, cơ sở của rất nhiều môn toán khác như: hình học afn, hình học Euclide, hình học xạ ảnh

Trong đó, không gian vectơ là một nội dung rất quan trọng vì nó cung cấp cho các bạn sinh viên những khái niệm, những kiến thức mở đầu về Đại

số tuyến tính Chính vi lý do đó,em đã chọn đề tài: “Vấn đề cơ sở của không

gian vecto” dé lam dé tai khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu:

Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về không gian vectơ

Đưa ra một số dạng toán thường gặp về không gian vectơ và hệ thống các ví dụ minh hoạ cho mỗi dạng toán

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về không gian vectơ

Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết và một số đạng toán thường gặp về không gian vectơ

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Trình bày cơ sở lý thuyết về không gian vectơ

Đề xuất một số dạng toán thường gặp về không gian vectơ và ví dụ

minh họa

5 Các phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học

Nghiên cứu các tài liệu liên quan

PHAN A: NOI DUNG

CHUONG 1: CO SO LY THUYET

§1: KHONG GIAN VECTO

1.1 Định nghĩa không gian vectơ

Cho V là một tập hợp mà các phần tử được kí hiệu là z,Ø, z, và K

là một trường mà các phần tử được kí hiệu là ø,b,c,x,y,z ; Trên V ta có

+(Vj:VưeV :da'eV :ata'=a'ta=0

+(Va): at B=Bhta :Va,pev

+ (Vs): x(t B)=xatxB; VxEK: Va, Bev

+ (Vo): x+y)z=xz+ yưi VxyeK; VưeV

+): (xy)z=x(yz); Vx.y eK; Vớ eV

+(Vs): La=aiVaea

Trong đó I là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho lập thành một không gian vectơ trên trường K hay K- không gian vectơ

Phép nhân (.) gọi là phép nhân vectơ với vô hướng

- Khi K =¡ (tương ứng K=£ ) ta nói là không gian vectơ thực (tương ứng không gian vectơ phức)

- Các tiên đề (V)), (V2), (Vạ), (V¿) nói lên rằng với phép cộng vectơ, V

là một nhóm giao hoán Các tiên đề (Vs), (Vo), (V7) noi Lén rang phép nhân

vectơ với vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng các vô hướng,

phân phối đối với phép cộng vectơ và có tính chất kết hợp Tiên đề (Vạ) nói

lên rằng phép nhân với vô hướng được chuẩn hóa

Phép cong (+): f(x)+ g(x) =(a, +b, )x" +(G,_, +B, x" | + + (ay +By)

Phép nhan (.): Af(x) = a,x" +Aa, x"! + 4+ Aa,

c) Xét Cla,b] 1a tap hop tất cả các hàm số thực liên tục trén doan [a,b] Tổng của hai hàm số ƒeC[a,b] và g eC[a,b]là hàm số ƒ+geC[a,b] được

định nghia boi (f + g)(x) = f(x)+ g(x) va tich cua một số thực re¡ với hàm số

ƒ eC[a,b] là hàm số r.ƒ e C[a,b]được xác định bởi (r.ƒ)(x) =r.ƒ(x)

Khi đó, C[a,b] là một không gian vectơ trên ; đối với phép cộng và

phép nhân được định nghĩa ở trên

1.3 Một số tính chất của không gian vectơ

Giả sử V là không gian vectơ trên trường K Ta có các tính chất sau: a) Tính chất I: Vectơ 0 là duy nhất, đó là phần tử trung lập của phép cộng Ching minh: Thật vậy, giả sử tồn tại vectơ 0 eV là phần tử trung lập của phép cộng thỏa mãn điều kiện 0'+z=z+0'=ø; VaeV

Ta có: 0+0'=0 (nếu 0' là phân tử trung lập)

0+0'=0' (nếu 0 là phần tử trung lập)

Vậy 0=0" hay phần tử trung lập của phép cộng là duy nhất

b) Tính chất 2: Với mỗi ø eV, phần tử ø' được nói trong tiên đề (V›) là duy

- Nếu aty=Bt+y thi =8: Va, By eV (luật giản ước)

Chứng mình: Giả sử y' là phần tử đối của z

Xét: atyty'=Btyty' Satyty)=Btyty)

=z+0=/+0 (vì y' là phần tử đối của z)

u ưu

>a=f

- Nếu z+/Ø=z (1) thì z=y-Ø; _ Vø.Ø.yeV (Quy tắc chuyền về)

Chứng mình: Gọi Øø)là phần tử đối của 8

Cộng hai về của (1) với 8) ta được

e) Tinh chat 5: Vx eK; VaeV néu xa=0 thì x=0hoặc z=0

Chứng mình: Theo tính chất 4 ta có: Nếu x=0 hoặc z=0 thì xz=0

Ngược lại, giả sử xœ=0 Nếu xz0thì:

Vay, néu xơ =0 thì x=0 hoặc a =0

Mit khac 0=x0=xla+(-a)l=x.a+x(-a)

Cong [-œ&.z)] vào 2 về của dang thức trên ta được

-œø)=x(-ø)_ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (x) = ~(x#) = x(-a) (đpcm)

§2: KHONG GIAN VECTO CON

2.1 Định nghĩa không gian vecto con

2.1.1 Định nghĩa 2.1

Giả sử V là một không gian vectơ trên trường K Tập con W khác rỗng của V được gọi là không gian vectơ con (hay không gian vectơ con) của không gian vectơ V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

l) Va,BeW: at+Bew

* Nhận xét:

1) Vì W z¿ nên 3z W Theo điều kiện 2 ta có: 0z=0cW

Vậy mọi không gian con đều chứa vectơ 0

2) Gia su W là không gian con của V

Dễ thấy tám điều kiện trong định nghĩa một không gian vectơ được thỏa mãn

Do đó W là một K — không gian vectơ

Ngược lại, nếu W là một tập con của V và W là một K - không gian

vectơ đối với hai phép toán xác định trên V thì W là một không gian vectơ con của V

b) Tập P,[x]= {a,x" +4, xX"! + 4ax +a) la,€ K} là một không gian vectơ

con của K — không gian vectơ K[a]

Không gian vectơ W¡+ W¿+ .+Wm được gọi là tổng của các không

gian vectơ và được kí hiệu là 5W ;

ial

2.4 Dinh nghia 2.3

Nếu mọi vectơ zeW¡+ W¿ + +W„ đều được viết duy nhất dưới

dang a=a,+a,+ +a, với œeW,;i=Lm thì tổng Wi+W¿+ +W„„ được gọi

là tổng trực tiếp của các không gian W¡,W, W„ và được kí hiệu

W:@eW;ø @Wm

2.5 Tổ hợp tuyến tính

2.5.1 Định nghĩa 2.4: Cho V là một không gian vectơ trên trường K

1) Gia sit @,.c,, @, làm vectơ thuộc V (m> I)

Neu @=%,.@,+%,.@,+ +x,.a, 3 x,€K; i=1,m thi ta nói a 1a to hop tuyến tính của m vectơ đã cho hay z biểu diễn tuyến tính qua hệ m vectơ đã

cho.

2) Gia str S 1a tập con của V (số phần tử của S có thể hữu hạn hoặc vô hạn) ta nói z biểu diễn tuyến tính qua tập S nếu z biểu diễn tuyến tính qua

một hữu hạn vectơ thuộc S

* Ví dụ: Trong không gian vectơ V=¡ ”, xét các vectơ

Khi đó, W được gọi là không gian con sinh boi hé m vecto

uu uu un z4 2Ä gy jue uu ULL v uuu uu

œ,,œ,, ,œ„ Và được kí hiệu là (zø ư„) hoặc L(ø,,ø„, ,đ„ )-

Hệ {ø,.ơ, z„ } được gọi là hệ sinh của W

§3: DOC LAP TUYEN TINH VA PHU THUOC TUYEN TINH

HANG CUA MOT HE HUU HAN VECTO

3.1 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

3) Tap S c V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của S đều độc lập tuyến tính

3.1.2 Ví dụ

1) Trong không gian hình học E’:

- Hai vectơ cùng phương là phụ thuộc tuyến tính, hai vectơ không cùng phương là độc lập tuyến tính

- Ba vectơ đồng phẳng là phụ thuộc tuyến tính, ba vectơ không đồng

phẳng là độc lập tuyến tính

2) Trong không gian vectơ ¡ Ì

- Hệ vectơ {øi =(,-2,0); ø; =(0,1.2); œš=(-1,4.4);} là phụ thuộc tuyến

tính

Vì 3(x,x;,x;) = (1,—2,l) z (0,0,0) thỏa mãn : X.ới +3), + Xuớn =0(*)

3.1.3

1(1,-2,0) + (-2)(0,1,2) + 1(-1,4,4) = (0,0,0) Thật vậy, từ (*) ta có: = (1,-2,0) + (0,-2,-4) + (-1,4,4) = (0,0,0)

a) Tính chất I: Hệ gồm một vectơ fa } phụ thuộc tuyến tính khi và

chỉ khi z=0

b) Tính chất 2: Hệ {ø,.ơ, œ„ } (m>1) là phụ thuộc tuyến tính khi

và chỉ khi có một vectơ nào đó của hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ

Lúc đó, hé {a, ,, ,@, ,8} phy thudc tuyén tinh khi va chi khi vecto

B biểu diễn tuyến tính được qua hệ {a, vớ, vn, } Trong trường hợp đó biểu thị tuyến tính này là duy nhất

1) Nếu ta thêm một số vectơ bất kì vào một hệ vectơ phụ thuộc tuyến

tính thì được một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

2) Nếu bớt đi một số vectơ bất kì của một hệ vectơ độc lập tuyến tính

thì được một hệ độc lập tuyến tính

3.2 Hạng của một hệ vectơ

3.2.1 Định nghĩa 3.2

1) Cho hệ vectơ fa, } ; 1e] của không gian vectơ V, hệ vecto con la, }s

Je]; JcI' được gọi là một hệ vectơ con độc lập tuyến tính tối đại nếu:

Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V Ta gọi

số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ vectơ đã

cho

Kí hiệu hạng của hệ vectơ fa, a, yee, } la rank(ø, sứ peo, )

Hệ (la, a, genes a, } độc lập tuyến tính © rank(ø, ,œ peed, )=m 3.2.3 Ví dụ:

Giả sử hệ {a,, ø, z„ } là hệ gồm m vectơ không đồng thời bằng 0

của không gian vectơ V và H là một hệ vectơ độc lập tuyến tính với hệ này

Khi đó, tồn tại một hệ vectơ tối đại của hệ vectơ đã cho chứa H

3.2.5 Mệnh đề 3.4

a) Nếu thêm vào một hệ hữu hạn vectơ một tổ hợp tuyến tính của hệ thì

hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho

b) Hai hệ hữu hạn vectơ tương đương thì có hạng bằng nhau

Chứng mỉnh

a) Giả sử đã cho hệ vectơ {ø,, ø,, - ø„ } (1) và

BH=XA,4+X,A,+ 4+X, 4, m~m

Néu hang ctia hé tới, a,, ": Bt cũng bằng 0 thì

a, =a, = =a,, =0.Do dé B=0va hang cilia hé {a , ơ, „ ,/đ } cũng bằng 0

Nếu hạng của hệ (1) bằng r>0 va {a,, a, vast, } là một hệ con độc

lập tuyến tính tối đại của nó thì Ø biểu thị tuyến tính được qua (1) nên cũng

biểu thị tuyến tính qua hệ này Vì thế {ø„„ ø„, ,z„ } cũng là hệ con độc lập i

tuyến tính tối đại cuahé {@,, a,, 0,,8}

Suy ra rank(a, , a, ; Ls, Byer

b) Gia str {a,, a, 0,,} (2) va {B, B, 8.} (3) la hai hé vecto

tương đương Vì mỗi vecto ø,đều biểu thị tuyến tính được qua hệ (2) nên theo chứng minh trên hạng của hệ fa, › a, › Ly, } bằng hạng của hệ vectơ

(ố,, œ, đ„ /,;- 8, } (4)

Tương tự hạng của hệ (3) cùng bằng hạng của hệ (4)

Vì vậy, rank(a, , a., "- )= rank(Z, , 8 mm."

§ 4: COSO VASO CHIEU

4.1 Khái niệm cơ sở của một không gian vecto

z„) e ¡" đều viết được đưới dạng:

Thật vậy, mỗi vectơ @ = (đ,,đ; xướng

4.2 Su ton tại cơ sở

Cho C là một hệ vectơ của không gian vectơ V

1) Nếu C là một hệ độc lập tuyến tính thì có thể bổ sung thêm một số

vectơ vào hệ C để được một cơ sở của V

2) Nếu C là hệ sinh của V thì có thể bớt đi một số vectơ của hệ C để được

a) {a viên a, là một cơ sở của V

›„ œ,| là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V

b=c: Với mọi Øe V biểu thị tuyến tính qua hệ la, „ 0 }-

Suy ra hệ [z,.z, , là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Gia sử V là không gian vectơ hữu hạn sinh, Vz {o} Khi đó, V có một

cơ sở gôm hữu hạn vectơ Hơn nữa mọi cơ sở của V đêu có cùng sô vectơ Chứng mình

Giả sử {øÌ_ (1- hữu hạn ) là một hệ sinh của V Vì V z {0} nên trong el

hệ sinh trên phải có vectơ khác 0

Giả sử ø z0 nên hệ Íz,Ì độc lập tuyến tính

{œi.ø, ơ,} và {7./ /8,) là tương đương = chúng có hạng bằng nhau

Mặt khác, chúng lại độc lập tuyến tính nên

n= rank(ø,.ø, genes @,) = rank(/,.,8, 8,,) =m

4.3 Khái niệm số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh

4.3.1 Định nghĩa 4.3

a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của ¡ - không gian vectơ hữu hạn sinh vz|ol được gọi là số chiều của V trên trường K và ký hiệu là: dimV hay dimgV

Néu V= {o| thì ta quy ước dimV=0

b) Nếu V không có cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vectơ vô hạn chiều

Nếu dimV = n thì V được gọi là không gian vectơ n chiều

Ví dụ

1) dimK" =n vi K” có một cơ sở là:

á =(10 0); # =(0,1 0); .; # =(0,0, 1)

2) dimE?= 2 vì E? có một cơ sở là ¡=(1,0); j=(0,))

3) dimE = 3 vì có một cơ sở là ¡=(,0,0) ; 7=(0,1,0); &=(0,0,D

4.4 Cơ sở trong không gian vectơ n chiều

4.4.1 Mệnh đề 4.1

Giả sử V là một không gian vectơ n chiều (n>I) Khi đó:

a) Mọi hệ có nhiều hơn n vectơ trong V đều phụ thuộc tuyến tính

b) Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V đều có thể bố sung để trở thành

2)Nếu a,,a,, @, 1ahé sinh cia V thir>n

* Ví dụ:

Hệ vectơ sau là cơ sở của ¡ *: a, =(1,2,1) tớ, =(0,1,2) a, =(1,2,0)

Thật vậy, do dim; °=3 nên ta chỉ cần chứng minh la, œ,,œ,Ì độc lập tuyến tính

us GIả SỬ, x,.đ+x;.Œ, + +x;# =0 :

Vậy {a œ;.e,} là một cơ sở của ¡ °

4.5 Tọa độ của một vectơ

Vì hệ gôm các vectơ {ai.es ,,} độc lập tuyên tính nên:

( —x¡)=(W;—*;)= =(y„—x„)=0 Hay My = 3 V2 =3, Y„ — X„

Vậy cách biểu thị tuyến tính của 8 là duy nhất

4.5.2 Dinh nghia 4.4

Cho co so (e) = {á,.e e,] của không gian vectơ V Khi đó mỗi aeV

có cách biểu diễn duy, nhất dưới dạng:

A=A.e,+4,.0,+ 4+4 ’; a,€K;i=1,n nn >

Khi đó, bộ n số (&.a› 4, được gọi là tọa độ của ø đôi với cơ sở

(e)={e e› e,} và a, được gọi là tọa độ thứ 1 của ø đôi với cơ sở đó

4.5.3 Công thức đổi cơ sở

Gia sit a và Ø có tọa độ trong cơ sở (e) là (a.a, a,) và (b,,b, b, )

Từ tính độc lập tuyến tính của cơ sở (e) suy ra ư=8 ©a,=b;i=l,n

a) Chứng minh rằng {z,,e;,e;} là một cơ sở của ¡ °

b) Tìm tọa độ của vectơ a trong co sở {e,} 3 i=1,2,3

c) Tim công thức đôi cơ sở từ cơ sở chính tắc của ¡ Ì sang cơ sở {z,};

i=1,2,3 và công thức đối tọa độ tương ứng

©4a +3a, =3© 4 34„-a =3 @&)ja, =l

2a; +a; =2 2a,+a; =2 a, =0 Vậy tọa độ của a trong co so fe} - la a =(0,1,0) i

= 4) (0,3,2) =(C,,,C4,Cy) <2) C, =0;C,, =3;C,, =2 (10,1) =(C,;,C,3,C,;) C,; =1,C,, =0;C,, =1

Vi a =(x,,x,,x,) trong co sd (e); a@'=(x,,x,,x,) trong co so {4} 3

4.6 Số chiều của không gian con

4.6.1 Định lí 4.4

Giả sử W và U là 2 không gian con của không gian vectơ hữu hạn chiều V

Khi d6, dim(U+W) = dimU + dimW — dim(Un V)

Ching minh

Nếu một trong 2 không gian con bằng {0 } Giả sử U={0 }thì dim U=0

Taco: U+W=W: (UnV)= {0}

Do do, dim(U+W) = dimV = dimU + dimV — dim(Un V)

Néu ca 2 khéng gian con déu khac £0 }

{z,.œ .Œ,./8./8, 54) của U và cơ sở {zi.: ,„7i,z2 z,} của W,

Ta chứng minh: |ø,,ø; #,› f 8:: .8,,7\:75: -Z } là cơ sở của W + U

Y=at+ Ba=(a,t+a').a,+ +(a,+4',).a, +b,.f+ +b,, 8, FO Y + FON,

Có nghĩa là {ø, ơ,./, ,.1, >„ } là một hệ sinh của U+W (1)

Gia SỬ xơ, + +x,.ớ, + yị./, + + „8, +24 + 4 =0 (2)

Về trái là 1 vecto thuộc U; Về phải là 1 vectơ thuộc W nên chúng thuộc