MO DAU 1 Lý do chọn đề tài:
Đại số tuyến tính là một mơn học rất quan trọng đối với sinh viên khoa
tốn nĩi riêng và sinh viên học tốn nĩi chung vì nĩ là nền tảng, cơ sở của rất nhiều mơn tốn khác như: hình học afn, hình học Euclide, hình học xạ ảnh
Trong đĩ, khơng gian vectơ là một nội dung rất quan trọng vì nĩ cung cấp cho các bạn sinh viên những khái niệm, những kiến thức mở đầu về Đại
số tuyến tính Chính vi lý do đĩ,em đã chọn đề tài: “Vấn đề cơ sở của khơng
gian vecto” dé lam dé tai khĩa luận tốt nghiệp 2 Mục đích nghiên cứu:
Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về khơng gian vectơ
Đưa ra một số dạng tốn thường gặp về khơng gian vectơ và hệ thống các ví dụ minh hoạ cho mỗi dạng tốn
3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về khơng gian vectơ
Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết và một số đạng tốn thường gặp về khơng gian vectơ
4 Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trình bày cơ sở lý thuyết về khơng gian vectơ
Đề xuất một số dạng tốn thường gặp về khơng gian vectơ và ví dụ
minh họa
5 Các phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các cơng cụ tốn học
Trang 2PHAN A: NOI DUNG
CHUONG 1: CO SO LY THUYET
§1: KHONG GIAN VECTO
1.1 Định nghĩa khơng gian vectơ
Cho V là một tập hợp mà các phần tử được kí hiệu là z,Ø, z, và K là một trường mà các phần tử được kí hiệu là ø,b,c,x,y,z ; Trên V ta cĩ hai phép tốn: a) Phép cộng (+)›: VxV>V (ø,/Ø)a ư+/ b) Phép nhan (.): Kx V > V (aja xa Thỏa mãn các điều kiện (hoặc tiên dé) sau: wud + (V1): @+p)+y=a+(B+y;Va By EV +(V;): 30c V: 0+z=z+0=ữ
+(Vj:VưeV :da'eV :ata'=a'ta=0 +(Va): at B=Bhta :Va,pev
+ (Vs): x(t B)=xatxB; VxEK: Va, Bev + (Vo): x+y)z=xz+ yưi VxyeK; VưeV +): (xy)z=x(yz); Vx.y eK; Vớ eV +(Vs): La=aiVaea
Trong đĩ I là phần tử đơn vị của trường K
Trang 3* Chú ý:
- Các phần tử của V được gọi là các vectơ, vectơ 0 được gọi là vectơ khơng Vectơ a’ được gọi là phần tử đối của vectơ ø và được kí hiệu là -a
- Các phần tử của K được gọi là các vơ hướng Phép cộng (+) gọi là phép cộng vectơ
Phép nhân (.) gọi là phép nhân vectơ với vơ hướng
- Khi K =¡ (tương ứng K=£ ) ta nĩi là khơng gian vectơ thực (tương ứng khơng gian vectơ phức)
- Các tiên đề (V)), (V2), (Vạ), (V¿) nĩi lên rằng với phép cộng vectơ, V
là một nhĩm giao hốn Các tiên đề (Vs), (Vo), (V7) noi Lén rang phép nhân
vectơ với vơ hướng cĩ tính chất phân phối đối với phép cộng các vơ hướng,
phân phối đối với phép cộng vectơ và cĩ tính chất kết hợp Tiên đề (Vạ) nĩi
lên rằng phép nhân với vơ hướng được chuẩn hĩa 1.2 Ví dụ
a) Tập các vectơ tự do vùng hai phép tốn cộng hai vectơ và nhân số thực với một vectơ lập thành khơng gian vectơ trên ¡
b) Tap các đa thức K[x] cũng lập thành một khơng gian vectơ trên trường K cùng với 2 phép tốn cộng hai đa thức và nhân một đa thức với một vơ hướng như sau:
ƒ@)=4,x"+a„ x "+ tay g(x)=b,x" +b, x"! + 4b,
Phép cong (+): f(x)+ g(x) =(a, +b, )x" +(G,_, +B, x" | + + (ay +By)
Phép nhan (.): Af(x) = a,x" +Aa, x"! + 4+ Aa,
Trang 4định nghia boi (f + g)(x) = f(x)+ g(x) va tich cua một số thực re¡ với hàm số
ƒ eC[a,b] là hàm số r.ƒ e C[a,b]được xác định bởi (r.ƒ)(x) =r.ƒ(x)
Khi đĩ, C[a,b] là một khơng gian vectơ trên ; đối với phép cộng và
phép nhân được định nghĩa ở trên
1.3 Một số tính chất của khơng gian vectơ
Giả sử V là khơng gian vectơ trên trường K Ta cĩ các tính chất sau: a) Tính chất I: Vectơ 0 là duy nhất, đĩ là phần tử trung lập của phép cộng
Ching minh: Thật vậy, giả sử tồn tại vectơ 0 eV là phần tử trung lập của phép cộng thỏa mãn điều kiện 0'+z=z+0'=ø; VaeV
Ta cĩ: 0+0'=0 (nếu 0' là phân tử trung lập) 0+0'=0' (nếu 0 là phần tử trung lập)
Vậy 0=0" hay phần tử trung lập của phép cộng là duy nhất
b) Tính chất 2: Với mỗi ø eV, phần tử ø' được nĩi trong tiên đề (V›) là duy nhất Chứng mình: Giả sử, ton tại vectơ a" thỏa mãn tiên đề (V3) uu Xét: at+a't+a"=(a+a')+a"=0+a"=a" .ata'+a"=(ata")+a'=0+a'=a' >a=a" hay phần tử đối của phép cộng là duy nhất c) Tính chất 3:
- Nếu aty=Bt+y thi =8: Va, By eV (luật giản ước)
Chứng mình: Giả sử y' là phần tử đối của z
Xét: atyty'=Btyty' Satyty)=Btyty)
=z+0=/+0 (vì y' là phần tử đối của z)
u ưu
Trang 5- Nếu z+/Ø=z (1) thì z=y-Ø; _ Vø.Ø.yeV (Quy tắc chuyền về)
Chứng mình: Gọi Øø)là phần tử đối của 8 Cộng hai về của (1) với 8) ta được a+ B+(p)=7+(-B) > a+(B-B)=7-B a d) Tinh chat 4: - VưeV ta cĩ 0ø=0 Chứng mình: Ta cĩ 0z= (0+0) =0z+0ø Cộng (-0.z) vào cả 2 về của đẳng thức trên ta được 0z+(-0#)=(0#+02)+(-0) =0z~0=0+(0++(-02)) =0=0ø+(0z~0#) > 0 = 0z - VxeK ta cĩ x0=0 Chứng mình: Ta cĩ x0= x(0+0) =x0+x0 Cộng (x0) vào 2 về của đẳng thức trên ta được x0+(—x0)=(x#+x0)+(—x0) œ(x0=x0)=(x0)+(x0+(—x0)) ©0=x0+(x0—x0) œ0=x0+0=x0
e) Tinh chat 5: Vx eK; VaeV néu xa=0 thì x=0hoặc z=0
Chứng mình: Theo tính chất 4 ta cĩ: Nếu x=0 hoặc z=0 thì xz=0
Ngược lại, giả sử xœ=0 Nếu xz0thì:
Trang 6Vay, néu xơ =0 thì x=0 hoặc a =0 ƒ) Tính chất 6: Vx eV ta cĩ: (—x)œ=x(~ø)=~(ø) 1 u u u u Chứng mình: Ta cĩ 0=0.z=(x+(T—x)).z =xa +((-x).2) Cong [x).e] vào biểu thức đầu tiên và cuối cùng của dang thức trên ta c 0+[~(xz)|=((xz)+(ơ+)2)+[-(x2)] â-(x#)=@z~xứ)+(x).g & (xa) =0+(-x).a (xa) =(-x).a (1)
Mit khac 0=x0=xla+(-a)l=x.a+x(-a)
Cong [-œ&.z)] vào 2 về của dang thức trên ta được -œø)=x(-ø)_ (2)
Trang 7§2: KHONG GIAN VECTO CON
2.1 Định nghĩa khơng gian vecto con 2.1.1 Định nghĩa 2.1
Giả sử V là một khơng gian vectơ trên trường K Tập con W khác rỗng của V được gọi là khơng gian vectơ con (hay khơng gian vectơ con) của khơng gian vectơ V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
l) Va,BeW: at+Bew
2) VaeW: xaeW (VreK)
* Nhận xét:
1) Vì W z¿ nên 3z W Theo điều kiện 2 ta cĩ: 0z=0cW
Vậy mọi khơng gian con đều chứa vectơ 0 2) Gia su W là khơng gian con của V
Dễ thấy tám điều kiện trong định nghĩa một khơng gian vectơ được thỏa mãn
Do đĩ W là một K — khơng gian vectơ
Ngược lại, nếu W là một tập con của V và W là một K - khơng gian
vectơ đối với hai phép tốn xác định trên V thì W là một khơng gian vectơ con của V
2.1.2 Mệnh đề 2.1:
Tập W+zø của V là khơng gian con của K — khơng gian vectơ V khi va chỉ khi với mọi ap eW, voi moi x,y eK tacé: xatypew
2.2 Vi du:
Trang 8b) Tập P,[x]= {a,x" +4, xX"! + 4ax +a) la,€ K} là một khơng gian vectơ
con của K — khơng gian vectơ K[a]
2.2.1 Mệnh đề 2.2
Giả sử W¡, W¿, .,Wm là những khơng gian vectơ con của khơng gian vectơ V trên trường K Khi đĩ W= I w, là một khơng gian con của V
i=
2.2.2 Ménh dé 2.3
Giả sử W\, W¿ là hai khơng gian con của khơng gian vectơ V trên trường K ta định nghĩa: W={zi +a, lar, € W,.a, eW,}
Khi đĩ, W là một khơng gian con của V được gọi là tổng của hai khơng gian
con W¡, W;
2.3 Định nghĩa 2.2
Khơng gian vectơ W¡+ W¿+ .+Wm được gọi là tổng của các khơng
gian vectơ và được kí hiệu là 5W ;
ial
2.4 Dinh nghia 2.3
Nếu mọi vectơ zeW¡+ W¿ + +W„ đều được viết duy nhất dưới
dang a=a,+a,+ +a, với œeW,;i=Lm thì tổng Wi+W¿+ +W„„ được gọi
là tổng trực tiếp của các khơng gian W¡,W, W„ và được kí hiệu
W:@eW;ø @Wm 2.5 Tổ hợp tuyến tính
2.5.1 Định nghĩa 2.4: Cho V là một khơng gian vectơ trên trường K
1) Gia sit @,.c,, @, làm vectơ thuộc V (m> I)
A vm um van T ` za, Boy UR
Neu @=%,.@,+%,.@,+ +x,.a, 3 x,€K; i=1,m thi ta nĩi a 1a to hop tuyến tính của m vectơ đã cho hay z biểu diễn tuyến tính qua hệ m vectơ đã
Trang 92) Gia str S 1a tập con của V (số phần tử của S cĩ thể hữu hạn hoặc vơ hạn) ta nĩi z biểu diễn tuyến tính qua tập S nếu z biểu diễn tuyến tính qua
một hữu hạn vectơ thuộc S
* Ví dụ: Trong khơng gian vectơ V=¡ ”, xét các vectơ œ=(23; ø=(00; œ:=(D) Ta thấy: 2.ø, =(2,2); ø +2.œ =(0+2.1+2)=(2,3)=ø ưu uu >a=a,+2a, Vay z là tổ hợp tuyến tính của 2 vectơ a, va a, 2.5.2 Dinh nghia 2.5 uu \ um ut Cho hệ gơm m vectơ zø,, a, , ,a, cua khong gian vectơ V trên trường K Ta định nghia: W={ x,.0, +.,.0, + +x,.@,:x,€K; i=1m}
Khi đĩ, W được gọi là khơng gian con sinh boi hé m vecto uu uu un z4 2Ä gy jue uu ULL v uuu uu
œ,,œ,, ,œ„ Và được kí hiệu là (zø ư„) hoặc L(ø,,ø„, ,đ„ )-
^ vue — : ` ^ : kh
Trang 10§3: DOC LAP TUYEN TINH VA PHU THUOC TUYEN TINH
HANG CUA MOT HE HUU HAN VECTO
3.1 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 3.1.1 Định nghĩa 3.I
Cho m vectơ a, 1a, yen, cha khơng gian vectơ V trên trường K, m>l m 1) Hệ vectơ a, vớ, genes a, được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tổn tại m m phần tử x,x; x„ eK khơng đồng thời bằng 0 sao cho:
uw ua uot
xi0 +X;.đ; + +x„.đ„ =0
2) Hệ vectơ a, vớ, _: được gọi là độc lập tuyến tính nếu nĩ khơng phụ thuộc tuyến tính hay một cách tương đương x, oO, +, + +x„ 2„ =0 kếo theo x, =x, = =x, =0
3) Tap S c V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của S đều độc lập tuyến tính
3.1.2 Ví dụ
1) Trong khơng gian hình học E’:
- Hai vectơ cùng phương là phụ thuộc tuyến tính, hai vectơ khơng cùng phương là độc lập tuyến tính
- Ba vectơ đồng phẳng là phụ thuộc tuyến tính, ba vectơ khơng đồng
phẳng là độc lập tuyến tính
2) Trong khơng gian vectơ ¡ Ì
- Hệ vectơ {øi =(,-2,0); ø; =(0,1.2); œš=(-1,4.4);} là phụ thuộc tuyến
tính
Trang 113.1.3 1(1,-2,0) + (-2)(0,1,2) + 1(-1,4,4) = (0,0,0) Thật vậy, từ (*) ta cĩ: = (1,-2,0) + (0,-2,-4) + (-1,4,4) = (0,0,0) => (1+0-1,-2-2+4,0-4+4) =(0,0,0) = (0,0,0) =(0,0,0) (thỏa mãn) - Hé vecto {8 =(1,0,0); , =(,1.0);/, = (,1.1)} là độc lập tuyến tính Thật vậy, nếu x, 3 +X, B +X; vì =0 thì x,(1,0,0) + x, (1,1,0)x,(1,1,1) = (0,0,0) oO (x, +X, + X3,X, +x;,x;) = (0,0,0) xX, +X, +x, =0 So x, +x, =0 >x, =x, =x,=0 x, =0 Một số tính chất a) Tính chất I: Hệ gồm một vectơ fa } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi z=0
b) Tính chất 2: Hệ {ø,.ơ, œ„ } (m>1) là phụ thuộc tuyến tính khi
và chỉ khi cĩ một vectơ nào đĩ của hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ của hệ c) Tinh chat 3: Mỗi hệ con của hệ vectơ độc lập tuyến tính cũng là một hệ vectơ độc lập tuyến tính d) Tính chất 4: Mỗi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính cũng là một hệ phụ thuộc tuyến tính
Trang 12Lúc đĩ, hé {a, ,, ,@, ,8} phy thudc tuyén tinh khi va chi khi vecto
B biểu diễn tuyến tính được qua hệ {a, vớ, vn, } Trong trường hợp đĩ biểu thị tuyến tính này là duy nhất
3.1.4 Mệnh đề 3.1
Nếu hệ gồm các vectơ a, 1a, peed, độc lập tuyến tính và 8 là một vectơ khơng biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ đã cho thì hệ vectơ {ø,„e,, z„ „8 } cũng độc lập tuyến tính Ching minh uu u 1 ¬ Gia SU x,.œ,+x,.ớ; + +x„.đ„ +x./8 =0 z u — ull — ur — ur Nêu xz0thì ø= =>*)s (a = x xX xX Điều này trái với giả thiết 8 khơng biếu thị tuyến tính qua các vectơ › “m uu „ ta mt Do do x=Osuy ra x,.0,+.x).0, + +%,.a,, =0 Vi hé fa, vớ, vn, } độc lập tuyến tinh nén x, =x, = =x, =0 Mặc khác, x=0 Suy ra hệ tai vớ pee Gh, Bt độc lập tuyến tính 3.1.5 Mệnh đề 3.2
1) Nếu ta thêm một số vectơ bất kì vào một hệ vectơ phụ thuộc tuyến
tính thì được một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
2) Nếu bớt đi một số vectơ bất kì của một hệ vectơ độc lập tuyến tính
Trang 133.2 Hạng của một hệ vectơ 3.2.1 Định nghĩa 3.2
1) Cho hệ vectơ fa, } ; 1e] của khơng gian vectơ V, hệ vecto con la, }s
Je]; JcI' được gọi là một hệ vectơ con độc lập tuyến tính tối đại nếu:
+ {z, } là hệ độc lập tuyến tính
+ Nếu thêm bắt kì một vectơ a, nào (e(7\7)) vào hệ đĩ thì hệ đã cho
là một hệ phụ thuộc tuyến tính
2) Hai hệ hữu hạn của khơng gian vectơ V được gọi là tương đương với nhau nếu mỗi vectơ của hệ này đều biểu thị tuyến tính được qua hệ kia
Hai hệ vectơ cùng tương đương với hệ vectơ thứ ba thì chúng tương đương với nhau
3.2.2 Định nghĩa 3.3
Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của khơng gian vectơ V Ta gọi
số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ vectơ đã
cho
Kí hiệu hạng của hệ vectơ fa, a, yee, } la rank(ø, sứ peo, )
Trang 14—x =0 © 43x,+2x, =Ú >x, =x,=0 4x, +5x, =0 uw uuu uuu tu Mặt khác a, =2a,-a@,; a, =-a,+a, uu Nên hệ {z,, ø, } là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {a,, a, uu a,, a, } Do đĩ hạng của hệ {ø,, ø,, ø, ø, } là rank(Z,, ø,, øy„ z, ) = rank(ø, „ ø, ) = 2 3.2.4 Mệnh đề 3.3
Giả sử hệ {a,, ø, z„ } là hệ gồm m vectơ khơng đồng thời bằng 0
của khơng gian vectơ V và H là một hệ vectơ độc lập tuyến tính với hệ này
Khi đĩ, tồn tại một hệ vectơ tối đại của hệ vectơ đã cho chứa H 3.2.5 Mệnh đề 3.4
a) Nếu thêm vào một hệ hữu hạn vectơ một tổ hợp tuyến tính của hệ thì
hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho
b) Hai hệ hữu hạn vectơ tương đương thì cĩ hạng bằng nhau Chứng mỉnh
a) Giả sử đã cho hệ vectơ {ø,, ø,, - ø„ } (1) và
u wow uu
BH=XA,4+X,A,+ 4+X, 4, m~m
Néu hang ctia hé tới, a,, ": Bt cũng bằng 0 thì
a, =a, = =a,, =0.Do dé B=0va hang cilia hé {a , ơ, „ ,/đ } cũng bằng 0 Nếu hạng của hệ (1) bằng r>0 va {a,, a, vast, } là một hệ con độc
lập tuyến tính tối đại của nĩ thì Ø biểu thị tuyến tính được qua (1) nên cũng
biểu thị tuyến tính qua hệ này Vì thế {ø„„ ø„, ,z„ } cũng là hệ con độc lập i
uu uu
Trang 15Suy ra rank(a, , a, ; Ls, Byer
b) Gia str {a,, a, 0,,} (2) va {B, B, 8.} (3) la hai hé vecto
tương đương Vì mỗi vecto ø,đều biểu thị tuyến tính được qua hệ (2) nên theo chứng minh trên hạng của hệ fa, › a, › Ly, } bằng hạng của hệ vectơ
(ố,, œ, đ„ /,;- 8, } (4)
Tương tự hạng của hệ (3) cùng bằng hạng của hệ (4)
Trang 16§ 4: COSO VASO CHIEU
4.1 Khái niệm cơ sở của một khơng gian vecto 4.1.1 Định nghĩa 4.1
Giả sử V là K - khơng gian vectơ Một hệ vectơ trong V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đĩ Nếu V cĩ một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là K - khơng gian vectơ hữu hạn sinh 4.1.2 Định nghĩa 4.2 Một hệ sinh độc lập tuyến tính trong khơng gian vectơ V được gọi là một cơ sở của V Ví dụ: 1) Trong K —- khơng gian vectơ ¡ ", hệ gồm các vecto 2 =(L0, 0); 2 =(0,1 0); .; 2 =(0,0, 1) là một cơ sở
z„) e ¡" đều viết được đưới dạng:
Trang 174.2 Su ton tại cơ sở 4.2.1 Dinh ly 4.1
Cho V 1a K — khơng gian vectơ Giả sử C là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V, S là một hệ sinh của V và Cc S
Khi đĩ tồn tại cơ sở B của V sao cho Cc BcS Hệ quả 4.1
Cho C là một hệ vectơ của khơng gian vectơ V
1) Nếu C là một hệ độc lập tuyến tính thì cĩ thể bổ sung thêm một số
vectơ vào hệ C để được một cơ sở của V
2) Nếu C là hệ sinh của V thì cĩ thể bớt đi một số vectơ của hệ C để được một cơ sở của V Hệ quả 4.2 Mọi khơng gian vectơ V khác {o} đều cĩ cơ sở 4.2.2 Định lý 4.2 UU UL uu 2 Cho hệ hữu han vecto {ai.: ,} , các khăng định sau là tương đương uu ` ^ 2 7
a) {a viên a, là một cơ sở của V
›„ œ,| là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V uu x ⁄ £ c) la.e, vi a,} là một hệ vectơ độc lập tuyên tuyên tơi đại của V Ching minh ` ^ — ua ^ 2 O ^ r ^ ^ ^ x a=b: Vì hệ {ai.¿ ,,} là cơ sở của V nên nĩ là một hệ sinh, mặt , 1 :Ä : Kooy Ậ ^ (MU “` TẠ khác vectơ 0 được biêu thị tuyên tính duy nhât qua hệ {a.œ ,,} tức là : 1 um uu uu A uu uu uu ^ A k , 0=0.z,+0.z,+ +0.z, =hệ {a.es e,} độc lập tuyên tính uu uu
Trang 18vpn pat a A 1A Koa, kv as on x: ca: Vì hệ {z œ 2,} là hệ vectơ độc lập tuyên tính tơi đại nên mơi u ` 2 z z uu uu uu 2 vectơ /e V đều biểu thị tuyến tuyến được qua hệ {a.e z, và biểu thị đĩ x x uu UU uu ` 2 > ^ la duy nhat {ø,,œ, œ,} là cơ sở của khơng gian vectơ V, 4.2.3 Dinh ly 4.3
Gia sử V là khơng gian vectơ hữu hạn sinh, Vz {o} Khi đĩ, V cĩ một cơ sở gơm hữu hạn vectơ Hơn nữa mọi cơ sở của V đêu cĩ cùng sơ vectơ Chứng mình
Giả sử {øÌ_ (1- hữu hạn ) là một hệ sinh của V Vì V z {0} nên trong el
hệ sinh trên phải cĩ vectơ khác 0
Giả sử ø z0 nên hệ Íz,Ì độc lập tuyến tính z z tui uu Khi đĩ cĩ một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {ø,} „ chứa ø, so 2 A r ` tm ưu uu : r A um Un uu ~ Xx ^ ^ Giả sử hệ đĩ là {ai.es e,}- Khi đĩ, hệ {ø.e¿ z,} cũng là một hệ sinh của V Hệ này lại độc lập tuyến tính nên nĩ là một cơ sở của V ^ ~ ^ 2 uu uu ~ x ~ Vì I hữu hạn nên cơ sở {aa viên @,} gơm hữu hạn vectơ so ” um Ul ul ~ ` A 2 2 : r : 2 Giả sử {/,/, /,}cũng là một cơ sở của V Khi đĩ hai cơ sở uu uu uu
{œi.ø, ơ,} và {7./ /8,) là tương đương = chúng cĩ hạng bằng nhau
Mặt khác, chúng lại độc lập tuyến tính nên
uu UU uu uu UU UU
Trang 194.3 Khái niệm số chiều của khơng gian vectơ hữu hạn sinh 4.3.1 Định nghĩa 4.3
a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của ¡ - khơng gian vectơ hữu hạn sinh vz|ol được gọi là số chiều của V trên trường K và ký hiệu là: dimV hay dimgV
Néu V= {o| thì ta quy ước dimV=0
b) Nếu V khơng cĩ cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì nĩ được gọi là khơng gian vectơ vơ hạn chiều
Nếu dimV = n thì V được gọi là khơng gian vectơ n chiều Ví dụ
1) dimK" =n vi K” cĩ một cơ sở là:
á =(10 0); # =(0,1 0); .; # =(0,0, 1)
2) dimE?= 2 vì E? cĩ một cơ sở là ¡=(1,0); j=(0,))
3) dimE = 3 vì cĩ một cơ sở là ¡=(,0,0) ; 7=(0,1,0); &=(0,0,D
4.4 Cơ sở trong khơng gian vectơ n chiều
4.4.1 Mệnh đề 4.1
Giả sử V là một khơng gian vectơ n chiều (n>I) Khi đĩ:
a) Mọi hệ cĩ nhiều hơn n vectơ trong V đều phụ thuộc tuyến tính
Trang 202)Nếu a,,a,, @, 1ahé sinh cia V thir>n
* Ví dụ:
Hệ vectơ sau là cơ sở của ¡ *: a, =(1,2,1) tớ, =(0,1,2) a, =(1,2,0)
Trang 214.5.2 Dinh nghia 4.4
Cho co so (e) = {á,.e e,] của khơng gian vectơ V Khi đĩ mỗi aeV cĩ cách biểu diễn duy, nhất dưới dạng:
A=A.e,+4,.0,+ 4+4 ’; a,€K;i=1,n nn >
uo „
Khi đĩ, bộ n số (&.a› 4, được gọi là tọa độ của ø đơi với cơ sở
u ưi ưu uo vs vờ
(e)={e e› e,} và a, được gọi là tọa độ thứ 1 của ø đơi với cơ sở đĩ
4.5.3 Cơng thức đổi cơ sở
Gia sit a và Ø cĩ tọa độ trong cơ sở (e) là (a.a, a,) và (b,,b, b, )
Từ tính độc lập tuyến tính của cơ sở (e) suy ra ư=8 ©a,=b;i=l,n ư T Thật vay, a= Boa- B =Ù c3 a2 Š na =0 T n ư =>.ứ, —b,).e, =0 i=l &a,—b,=0, i=1n Sa, =b,; i=in Z u u r ^ ` 2 u Z
Ta cĩ: z+ cĩ tọa độ là (4, +b,,a„+b; a„+b,) trong cơ sở (€), x# cĩ tọa độ là (x.a,,x.a;, ,x.a„) trong cơ sở (€)
so 2 Lễ ^ 2 ~, ` 1 uu uu ` Z
Giả sử V cĩ một cơ sở nữa là (z) = {5-S. .4) thì ta cĩ:
=4 e;j=in (1)
ua
Trang 22a, =3 G4), (2) Cơng thức (2) gọi là cơng thức đơi tọa độ tương ứng từ cơ sở (e) sang cơ sở (£) Cơng thức (1) gọi là cơng thức đối cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở (£) *Vi du: ` U UH UU
a) Chứng minh rằng {z,,e;,e;} là một cơ sở của ¡ °
b) Tìm tọa độ của vectơ a trong co sở {e,} 3 i=1,2,3
c) Tim cơng thức đơi cơ sở từ cơ sở chính tắc của ¡ Ì sang cơ sở {z,};
i=1,2,3 và cơng thức đối tọa độ tương ứng Trong đĩ « =(,1,0); £, =(0,3,2);£, =(,0,1);ø=(0,3,2) Lời giải mo “ tu a) X€t: ai +d;.£; +a;.£ =0 a,+ a,=0 & (a,,4,,0) + (0,3a,,2a,) +(a;,0,a;) =(0,0,0) <> 4a, +3a, =0 Sa, =a, =a,=0 2a, +a, =0 Suy ra hệ (ee é \ độc lập tuyến tính trong ¡ ° Mặt khác dim ; *=3 ^ uo un ul x ^ 2 3 Vay {6,66} là một cơ sở của ¡ * wm ou “ tu b) Xét: a,.£, +g;.£; +a;.@y = ø > (a,,4,,0) + (0,3a,,2a,) +(a,,0,a,) = (0,3, 2) a,+ a,=0 a =-q; a, =0
Trang 23c) Cơ sở chính tắc của ¡ ° là: Lá =(1.0.0); e =(0.1.0); ø, =(0.0/1)} u u L1 u €=C,e +Cye, +Ce, woo ử Ta cĩ: &=C),e, +Cye, +Cye, ul ư ul u | &=C)3¢, +C,3¢, + C36; (1,1,0) =(C,,,0,0) + (0,C,,,0) + (0,0, C;,) = ) (0,3, 2) =(C,2,0,0) + 0, Cy,,0) + (0,0, C,,) (1,0,1) =(C,,,0,0) + (0,C,,,0) + (0,0, C,;) (1,0) =(C,,,C3,, C3) C,, =bC,, =LC,, =0 = 4) (0,3,2) =(C,,,C4,Cy) <2) C, =0;C,, =3;C,, =2 (10,1) =(C,;,C,3,C,;) C,; =1,C,, =0;C,, =1 2 2 4s Paw Le „ /u ` Vậy cơng thức đơi cơ sở từ cơ sở chính tắc của ¡ ` sang cơ sở {s _ là: i=l, u u u é =e +é, Ww ư & =_ 3e,+2e, UI Ư uw é, =e, + e; x= x, + % Cơng thức đơi tọa độ: Jx„= 3x, +3x, X; =X, + % u u ' ' 2 u
Vi a =(x,,x,,x,) trong co sd (e); a@'=(x,,x,,x,) trong co so {4} 3
4.6 Số chiều của khơng gian con
4.6.1 Định lí 4.4
Giả sử W và U là 2 khơng gian con của khơng gian vectơ hữu hạn chiều V
Khi d6, dim(U+W) = dimU + dimW — dim(Un V)
Ching minh
Nếu một trong 2 khơng gian con bằng {0 } Giả sử U={0 }thì dim U=0
Taco: U+W=W: (UnV)= {0}
Trang 24„ (Ul UU uu Gọi la _ la m6t co so cua UN W uu uu uu Vi la „ớ, \ độc lập tuyến tính nên cĩ thể bố sung để được cơ sở UM UU uu ou LH Un UU UU U UU tị
{z,.œ .Œ,./8./8, 54) của U và cơ sở {zi.: ,„7i,z2 z,} của W,
, uu uu uu usu Ulu LEU uu R > >
Ta chứng minh: |ø,,ø; #,› f 8:: .8,,7\:75: -Z } là cơ sở của W + U ca Mu VU u Xét: y=atfB với zeU; PEW ew eT un Ta CĨ: @=4,.€,+4,.a,+ +4,.0,+b,.B+ +b,, B,, wou tu u uu ua BH=a',.,4+4',.A,+ 48', A, FC Y, +467, Do đĩ: u 1 u uu uo uu u uu
Y=at+ Ba=(a,t+a').a,+ +(a,+4',).a, +b,.f+ +b,, 8, FO Y + FON,
Cĩ nghĩa là {ø, ơ,./, ,.1, >„ } là một hệ sinh của U+W (1)
om uu re uu u wt
Gia SỬ xơ, + +x,.ớ, + yị./, + + „8, +24 + 4 =0 (2)
us ue du uu “ tu
HA AX, AAI B Hot Vi By = HUN GM
Về trái là 1 vecto thuộc U; Về phải là 1 vectơ thuộc W nên chúng thuộc vao UAW Do do u wou uu HUY mim Vy HHO to +8, tu uw ou tu uu Db + Ft, FUN +My t+ ZN, =O Un UW UU uu Vi hé vecto |au.e v,374522s- ats độc lập tuyến tính nên: f,= =f,=z¡,= =z,¿=0
Trang 25CHUONG 2: MOT SO DANG TOAN THUONG GAP VE KHONG GIAN VECTO
1 Dạng 1: Chứng minh một tập hợp với 2 phép tốn cộng và phép tốn nhân lập thành một K - khơng gian vectơ Một số bài tốn về khơng gian
vecto con
* Để chứng minh một tập hợp với 2 phép tốn cộng và nhân lập thành một K - khơng gian vectơ ta kiểm tra 8 điều kiện của định nghĩa khơng gian vecto
Vi du 1.1:
Cho ; là một trường số thực
Xét tích đề các ¡ "{(a,.4¿ 4,):4,6¡ :i=1,n}
Với ø=(a,.a, a,); Ø=(b„b, b,) là hai phần tử tùy ý thuộc ¡ " và x
là một phần tử tùy ý thuộc ¡ Ta định nghĩa 2 phép tốn cộng và phép tốn nhân như sau:
Phép cộng (+) : ư+8=(a,.a, pests a,)+(b,,b; b,) = (a, +B, dy +b,, 4, +, )
Phép nhân (.): x@=x(4,,4,, 4,) = (14), X45, , x4, )
Chứng minh rang, ; " cùng với 2 phép tốn trên lập thành một ¡ — khơng gian vectơ
Lời giải:
Ta kiểm tra 8 điều kiện của định nghĩa khơng gian vectơ n
- uw u 1
Với mọi @=(4,,4), 4,)3 B =(B,0,.D, 57 = (C0 050,)€) ", Vx ye; Ta
Trang 26= (4, +b, +b, 4.054, +D,)+(C,, Cys 005 €,) =(a,+b,+¢,,4,+b,+6, 4, +b, +¢,) = (4,,45, 4,) +(B, +e,by +Œ¿, ,b, + „) wu we =at(B+y) Điều kiện (V¡) được thỏa mãn + (V3): Vớ =(a,.a, 4„)€¡ "‡30=(0,0, 0) €¡ ” Ta cĩ: 0+ø=(0,0 0)+(4,„;, 4,) =(0+a4,,0+4,, ,0+4,) =(a,+0,a, +0, ,4, +0) = (ai, đ,„ 4, ) = (A, 455 -54,,) + (0,0, ,0) ứŒ T =ư+0 Điêu kiện (V›;) được thỏa mãn u u + (V3): Va=(4,,4,, 4,)€) ",d -a=(-a,-a,, -a,)e)" u u Taco: at(- a) =(a,,d,, 4,)+(—a,,-a,, ,—-a,) =(4,-4,,4, “th —đ,) =(0,0, ,0) =0 Điều kiện (V›) được thỏa mãn
+ (Va): Vữ =(a,.a, 4,): 8 =(bạ„by, b,) €1" Ta cĩ: z+jØ=(a,.a, a,)+(b,„b, b,) =(a,+b,,a, +b,, ,4, +b,) =(b,+.4,,b, +.4,, ,b,+4,) = (b,,b,, 5b,) + (A), 4,.-54,) =0+ơ
Điều kiện (V¿) được thỏa mãn
Trang 27=x(a,+b,,a,+b,, ,a, +b,)
= (x(a, +b,), x(a, +b,), ,x(a, +5, )) = (xa, + xb,, xa, + xb,, ,xa, + xb,) = Gai, xa;, , xa„) + (xb,, xb;, , xP,„) = x(á,đ;, ,đ„) + x(b,,b;, ,b„) vu ow =xat+xp Điều kiện (V:) được thỏa mãn +(Vọ): Vx.ye¡ ;Vớư =(4,đ; d„) Gị " Ta cĩ: (x+ y)ø =(x+ y)(4,„đ; đ„)
=(x+y)ãi,(x+ y)4,, ,(% + y)đ„)
= (xa, + ya,, Xd) + ya,, ,Xd, + ya,) = (X4, X4;, , Xd„) + (Vi, y4;, , Y4) = x(4¡,đ;, ,đ„) + y(4),„ ,4,,) ư =xz+y Diéu kiện (ve) được thỏa mãn +(V;): Vx,ye¡ ;Vø =(4,,d,, d„)Gj " Ta cĩ: ay)a = (xy)(4,,4,, 4,) =(Qy)ai,(xy)4; (Xy)4,) = x(Vái; Y4;, , Y4,)) = (VG Mas) = x(y.a@) Điều kiện (V;) được thỏa mãn + (Vạ): Vư=(4,,4, 4,)€¡ ";V1=(I,l l) 6¡” Ta cĩ: Lư =(11 )(4,,4 4,) = (la,,1a,, ,1a,) ư = (4,,45, ,4,) =a
Điều kiện (Vạ) được thỏa mãn
Trang 28Vi du 1.2: Cho £ là tập hợp các số phức Ta định nghĩa 2 phép tốn cộng và nhân như sau: (+): £Xx£ >£ (z,z)a z+z'=(4+c)+(b+4)i;Vz =(a+bi);Vz`= (c+ đì) (): ˆ øx£ >£ (x,z)a xz =x.(at+bi)=xa+xbi Chứng minh rằng £ là một zø — khơng gian vectơ Lời giải:
Ta kiểm tra 8 điều kiện của định nghĩa khơng gian vectơ
+ (V\): Vz=(a+bi);Vz'=(c+di);z"=(e+ fi) e£ Ta cĩ: Z4+(Z'+z")=(at+bi)+((c+di)+(e+t fi)) =(atbi)+((cte)+(d+ f)i) =((a+c+e)+(b+d+ ƒ}) =((a+c)+e+(b+đ)i+ f) =((atc)+(b+d)i)+(e+ fi) =(z+z')+2" Điều kiện (Vị) được thỏa mãn +(V;): Vz=(a+bi) 6 £ ; 30=(0+0¡) 6 £ Ta cĩ: 0+z=(0+0i)+(a+bi) =((0+a)+(0+D)i) =((a+0)+(b+0)i) =(a+bi) =z
Điều kiện (V;) được thỏa mãn
+(V3) Vz=(atbi) € £ ;3Vz"=—z=(-a—bi) 6 £ Ta cĩ:
z+z”=(a+bi)+(~a—bi) =(a—a)+(b—b)i) =(0+0i) =0
Diéu kién (V3) được thỏa mãn
Trang 29z+z'=(atbi)+(c+di)=(a+c+e)+(b+d+ fyi =((at+c)+(b+d)i)
=(c+a)+(d+b)i)=z'+z
Diéu kién (V4) được thỏa mãn
+ (Vs) Vxea , Vz=(atbi);Vz'=(ct+di) € £.Tacé: x(z+z')=x((a+bi)+(c+di)) =x((a+c)+(b+d)i) =(x(a+c)+x(b+d)i) = (xa + xe + xbi + xđi) = (xa + xbi) + (xc + xdi) = x(a+b) = x(c + đi) = x.z+x.z` Diéu kiện (V›:) được thỏa mãn +(Vẹ): Vx,yem , Vz=(a+bi) £ Ta CĨ : (x+y).z=(x+ y)(a+bi)
=(x+y)a+(x+ y)bi = (xa + ya) + (xbi + ybi) =x(a+bi)+ y(a+ bi) = x.z + y.Z
Điều kiện (Vạ) được thỏa mãn
+(V;): Vx,ye€=ẽ ; Vz=(a+bi) e£ Ta cĩ:
(x.y).z = (x.y)(a + bi)
=(x.y)at+(x.y)bi = x(ya) + x(ybi)
= x(ya + ybi) = x(y(a+bi)) = x(y(z))
Điều kiện (V;) được thỏa mãn
+(V§) Vz=(a+bi) 6£ ; Ieu Ta cĩ: 1.z=l(ø+bi) =(La+1.bi) =(a+bi) =z
Diéu kiện (V;) được thỏa mãn
Vậy £ cùng với 2 phép tốn đã cho lập thành một sø — khơng gian
vecto
Ví dụ1.3: Tập con nào trong các tập con sau đây là khơng gian vectơ con của khơng gian vectơ ¡ `
Trang 30b) W;={(.3;.3;)|x, +X, +X, =1}
Loi giai:
Để xét xem một tập cĩ là khơng gian vectơ con của K — khéng gian vectơ khơng Ta kiểm tra 2 điều kiện của định nghĩa khơng gian vectơ con
a) WI={x,,x;,x; |x,+x„+x; =0} Ta cĩ W¡zø vì (0,0,0) «W,
Kiểm tra 2 điều kiện:
* Điều kiện l: Vư=@.x,.x;) e WI;VØ=Ĩ, y,.y,) e W, thoa man:
X, +X, +x, =0 {arene =0
Ta cĩ: ư+Ø=(.x,.x,) TỢy, y;,Y;) TA + yị,X; + Y„,3; +3) 6W,
Vi (x, +9) + 4 +92) + 5 + 3) = (4 +x) +45 +9, +, + Y;) =04 0=0EW,
Suy ra điều kiện 1 được thỏa mãn
* Điều kiện 2: Vaei ; Vữ=(.x,.x;) eW Ta cĩ: u q.Ø = q(X\,%;, X;) = (AX,,aX,,aX;) =(x, +ax, +axX;) = đ(x +3; +3;) =a0=0eVW,
Suy ra điều kiện 2 được thỏa mãn
Vậy W; là khơng gian con của khơng gian vectơ ¡ °
b) W;={(x.x,.x;)lx, +x; + x; =1}
Ta cĩ: W¿zø vì (0,0,0) «Wo
Kiểm tra 2 điều kiện:
* Điều kiện 1: Vø=(x.x,.x,) ;Ø= G,.y,.y,) € Wo thỏa mãn:
Trang 31Ta cĩ: œ+=(%,1,,X;) + Ơyị, Y;, Y;) =X + Vị, 4; +}; + 3) = (4 + y, +4) +2 +44 +93)
= (4, +2, 44; +Y, +2495) =14+1=24le W>
Suy ra a +B «W;
Vậy điều kiện I khơng được thỏa mãn
Suy ra W¿ khơng là khơng gian vectơ con của khơng gian vectơ ¡ ° Vi du 1.4:
Cho W là tập hợp tất cả các vectơ cĩ dạng (2a.0.3a) Trong đĩ a là sé
thực tùy ý Tìm một vectơ ae ¡ ` sao cho W=L(a ) Lời giải: Ta cĩ aj 5 => L(a)={ tat €; } Giả sử z=(x.x;.3,) ce ¡' Suyra L(z)={ (tx, ,0%,,0,)3€ | } Mặt khác ta cĩ: L(z)=W 2a tu =2a [Tp => (tx,,0%,,0%,) =(2a,0,3a) =>) tx, =0 > x, =0; te j tx, =3a 3a x; — t 3
Chon 1 =2 ta duoc: X, =2a;x, =0;x; =2
Khi đĩ z=(a 0,54) là 1 vectơ thuộc ¡ ° thỏa mãn W=L(z)
BÀI TẬP TU GIÁTI:
Trang 32Bài 1.2; Chứng minh rằng tập ¡ ? khơng là khơng gian vectơ đối với phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau:
a) (4.x) +09) =(4,+9,.H+9,) VA a(x,,x,) =(ax,,x,)3a ej
b) Œ,.1;)+Ĩ,Y,)=+x;) VÀ — a(x,,%)=(ax,,ax,)sa Ej]
€) (1,15;)+,;)=Œ #4; +y,)) VÀ aQ,,x,)=(2x,,42x,);4€[
Bài 1.3: Chứng minh rằng tập P[xIgồm các đa thức hệ số thực cĩ bậc khơng vượt quá n là một khơng gian vectơ con của khơng gian vectơ ¡ [x]
Bài 1.4: Tập con nào trong các tập con sau đây là khơng gian vectơ con của khơng gian vectơ ¡ Ỷ
a) Wi={(~,,0,x,)}
b) Wo={(x,,x),x,) |x, =x, = 5}
Bai 1.6: Cho W la tập hợp tất cả các vectơ cĩ dạng (3a+b,a,b) trong đĩ a,b là các số thực tùy ý
Tim vecto a B c¡ ` sao cho W=L(a 8)
2 Dạng 2: Xét tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ cho trước
Ví dụ 2.1: Xét xem các hệ vectơ sau trong ¡ °, hệ nào độc lập tuyến tính? a) { a, =(1,1,0)=3 a2 =(0,1,1)=; a3 =(1,0,1) } un uw b) {& =(0,-2,3); B =(3.2.-1); B =(3,0,2)} c) {7,=(2.0,3); +; =(5—k7); z =(-1.2.-1)} Lời giải:
Để xét xem 1 hệ vectơ cho trước độc lập tuyến tính hay phụ thuộc
tuyến tính ta dựa vào định nghĩa 3 I
a) Hệ vectơ ta, =(1,1,0); a =(0,1,1); a =(1,0,1) } u 1
" ú
Trang 33=> x,(1,1,0) + x,(0,1,1) +x, (1,0, 1) =(0,0,0) x, +x, =0 x, =-X; x, =0 Sx tx, =0 ©) x%-x,=0 &)x,=0 +; +x; =0 xX, +x, =0 x,=0 Vay hé vecto {a =(1,1,0); @2=(0.1.1); a =(I.0.1)} độc lập tuyến tính trong ¡ ° b) Hệ {/ =(0.-2,3); Z, =(3,2.-1): /, =(3,0,2)} * Cách 1: Giả sử ta cĩ: y,3+y,/2,+y,„,2,=0 = y,(0,—2,3)+ y,(3,2,-1) + y;(3,0, 2) = (0,0,0) JY =—Y3
3y; +3y; =0 yo =—Y3
©-2y+2y;, =004-2y, —2y, =0 =|
=~%
3y, —y; +2y;=0 —3y, +3y, =0
>y,=),=-;
Chon: y,=l>y,=l>y,=-l
Suy ra tồn tại bộ số (y„y;, y,) =(111) z(0,0,0) để y,,+y,,+y, ;=0
Vậy hệ { 3 ,.8,) phụ thuộc tuyến tính trong ¡ °
* Cách 2: Ta thấy /,+ Ø, =(0.-2,3)+(3,2,~1)=(8,0,2)= ,
Trang 34Thay (2) vào (1) và (3) ta được hệ phương trình: {a +9z, =0 sử +272, =0 3z,+13z,=0 |6z,+26z, =0 Thay z; =0vào (2) được z; =0— z¡=0 Suy ra z, =z, =z, =0 Vay hé độc lập tuyến tính trong ¡ ° Ví dụ 2.2:
Trong K —- khơng gian vectơ V cho hệ vectơ (m„ø, đ„Ì Xét xem hệ này độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong mỗi trường hợp sau: a) Cĩ 2 vectơ bằng nhau uuu b) œ=/ie,=/+/i.:ø„=/+/,+ +/, mà hệ (3,/, /,| độc lập tuyến tính Lời giải: u a) Khéng lam mat tinh tổng quát, ta giả sử ø ,= a, ay baa uu UL UL uu Khi đĩ, ta cĩ hệ vectơ {zi.e.ø¿ „} wom 8 HH cà Xét: Y,.Ới + y;.Ới + Vy-Oly + + Vy Ly, =O us ok ©S,+y;).Ø; + y›.đ + + y„.đ„ =0 vị T3; =0 Mì =—3; „=0 „=0 3 So 3 Yn =9 |y„=0 Chon y, =1= y, =-1 khi đĩ 3 (1,—1,0, ,0) # (0,0,0, ,0)
để YG, + Yn, $4.0, + 4+Y, 0, =0
Vay hé fa, a, Lyell, }phụ thuộc tuyến tính
Trang 36BAI TAP TU GIAI:
Bài 2.1: Xét xem các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính trong ¡ ? a) @=(4,1,-5)=; #=(-3.2.1): z=(_2.5.-3) tu “ r 1 b) a, =(2,4,1); Ø, =(3.6.—2); 7, -(-12.-3) un uu uw uu Bai 2.2: Cho hé vecto lai yy, z,jHà hệ vectơ độc lập tuyến tính trong K — ue uu ou khơng gian vectơ V Chứng minh hệ t8 ,8,./Ø „Ø,) được xác định sau đây cũng độc lập tuyến tính a) /Ä = 6h, =, +, =, +, +.ứn:, = đi +0, +, +, b) 8 =a; =a,;B, =a,:f, =a, +k.a,:k eK; k#0
Bài 2.3: Hãy biểu điễn các đa thức sau thành tổ hợp tuyến tính của: Pị= 4x +x+2; Pạ=-3xv2—x+H; P3=5x? +2x+3 a) 0 b) 3x°-2 c) 3x? +6x-1 3 Dạng 3: Tìm hạng của một hệ vectơ hữu hạn 2 Wy) m , * Đê tìm hạng của một hé vecto {a} ta tìm một hệ vecto con độc lập tuyên i=l , he , (ub UU uu 4p uu uu UU uu UU uu
Trang 37uu uu UL Suy ra hé {z e e.] phụ thuộc tuyến tính (1) uu © Ta thấy hệ Íz,.ø,Ì độc lập tuyến tính (2) Thật vậy, gia sir tacd xa, +x,a, =0 x/(1.1)+x„(—1,0,D =(0,0,0) x,-x, =0 x, =0 cày, =0© +; =0 x, +x, =0 Tù(1) và (2) suy ra hệ la, a, là hệ vectơ con độc lập tuyến tính tối đại > ^ ub uu uu R A uu UU ,
cua hé {z œ e,} và hệ {a,,a,} 66 2 vecto
Trang 38Tir (*)va (**) suy ra hé (ar, g,.ø,} là hệ vectơ con độc lập tuyến tính tối
ub uu uu UU
dai cua hé {ai.œ ø,.ø,}
Vậy rank(ø,, ø,,e, ,ơ, )=rank(ø,, ø, ,ơ, )=3
Ví dụ 3.3: Chứng minh rằng hạng của một hệ vectơ trong V khơng thay đổi khi nhân một vectơ của hệ với một z eK\{0} tùy ý
Lời giải:
Giả sử la, yyy, } (1) là một hệ vectơ trong khơng gian vectơ V n
ca ca (MU uu SLA A¬ 1â ri Kea so
Gia sw {055.00} ; r <m là hệ vectơ con độc lập tuyên tính tơi đại của
Trang 39` ` ^ ^ uu uu tui
Vi x.z=x,= =x,=0Và x,,z0 nên hệ |ae,.es ro Brat UUU \ phụ thuộc
tuyến tinh (**)
Từ (*) và (**) suy ra {à,.e, +,} là hệ con độc lập tuyến tính tối đại
của hệ (2) Suy ra rank( à, › a, ": )=rank(à,, a, pesos, )=r
Vậy rank(ø,, ø,, ,z„ )=rank(à,, ø, „ ,ớ, )
Hay hạng của một hệ vectơ trong khơng gian vectơ V khơng thay đổi khi nhân một vectơ của hệ với một số a e K\{0} BÀI TẬP TỰ GIẢI: Bài 3.1: Trong khơng gian vecto ; *, tim hạng của các hệ vectơ sau: a) ø =(—1,4.8,12); ø; =(2,1,3,1);øy =(—2,8,16,24);ø, =(L1,2.3) b) Ø =(11,11);, =(13,13);/8, =(1.2,0.2);/, =(12,1,2); 8 =(4,1.3,1) Bài 3.2: Trong ¡ - khơng gian vectơ ¡ ,¡, xét hệ vectơ Po=5; Pị=2x+3; P=x”+x+I;Pa=8x+7;P„=x”+4x+20
Tìm hạng của hệ vectơ trên
Bài 3.3: Chứng minh rằng hạng của một hệ vectơ trong khơng gian vectơ V
khơng thay đối khi cộng vào một vectơ của hệ một tổ hợp tuyến tính của các
vectơ khác của hệ
4 Dạng 4: Chứng minh hệ vectơ cho trước là cơ sở của một K - khơng gian vectơ và tìm số chiều của khơng gian vectơ con
Trang 40- Phuong phap 1: E ub UU + Chimg minh hé {20500 S \ là hệ sinh của K — khơng gian vectơ ul UU uu , + Ching minh hé {a,0%, @, } 6c lap tuyến tính - Phuong phap 2: UU UU uu ,
+ Chimg minh hé {ai.ø› z„} độc lập tuyên tính
+ Chỉ ra số chiều của K — khơng gian vectơV bằng n (n> 1) ul uu uu Khi đĩ hệ vectơ {ø Aye, | la một cơ sở của K — khơng gian vectơ V Vi du 4.1: Các hệ vectơ sau cĩ phải là cơ sở của khơng gian vectơ ¡ ° khơng ? a) ø =(0.0.1);ø =(0,1,1);@, =(1.L1) b) / =(4.1.~5);/8; =(-3.2.1):/đ, =(—2.5.3) Lời giải: a) Xét: xứ, +x;ø, +x;øy =0 x;(0,0,1)%x;(0,1,1)+x;Œ,1,1) =(0,0,0) x; =0 x, =0 = X,+x,=0 © 4x, =0 >x=x,=x,=0 X, +x, +x, =0 x,=0 UU UU UU Suy ra hệ {z e z.} là độc lập tuyến tính — (1) Mặt khác ta cĩ dim ¡ = 3 (2 ul UU UUI Từ (1) và (2) suy ra (z)=|ø,.œ;.ø, là cơ sở của khơng gian vectơ ¡ ° 1
Xét: y,/Ø,+ y;/Ø, + y;/, =0
© y,(4,1,~5) + y;(-3,2,1) + y,(-2,5,3) = (0,0,0)
4y,—3y;—2y; =0 y, =0
© y,+2y,-Sy,=0 © y,=0 =Sy=y;=y;=0