Khóa luận tốt nghiệp vấn đề chéo hóa ma trận và ứng dụng

Định nghĩa độc lập tuyễn tính và phụ thuộc tuyến tính Trong không gian vectơ V a Hệ vectơ Zz,..., #„ được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:... b Một hệ vectơ của V được gọi là 1 cơ

1 Lý do chọn đề tài

Có thể nói rằng Đại Số Tuyến Tính là một môn học khá quan trọng đối với mỗi sinh viên ngành Toán Nó được coi là môn cơ sở cho tất cả các môn Toán mà sinh viên được học Trong đó ma trận và các bài toán liên quan đến

ma trận là phần kiến thức cơ bản nhất, gây được nhiều hứng thú nhất trong nội dung môn học này Có nhiều vấn đề khó liên quan đến ma trận và chéo hóa ma trận là một trong những những vấn đề như thế Do đó em muốn đi sâu vào tìm hiểu vấn đề này Được sự hướng dẫn tận tình của 7È.s Nguyễn Văn Vạn cùng với lòng yêu thích môn học này em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Vấn đề chéo hóa ma trận và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu chính của dé tai ma em chọn là ứng dụng của chéo hóa ma trận

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp chéo hóa và các ứng dụng của chéo hóa

ma trận

4 Đối tượng nghiên cứu

Trong đề tài này em xây dựng xung quanh các vấn đề về chéo hóa ma trận Theo đó, em đưa ra các ứng dụng của chéo hóa ma trận

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm và tham khảo tài liệu, phân tích và tổng hợp bài tập minh họa, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

PHAN B NOI DUNG CHUONG 1: HE THONG KIEN THUC CO BAN

1.1 Không gian vectơ

1.1.1 Định nghĩa

Cho V là một tập khác rỗng , trên Ư xác định 2 phép toán:

a) phép cộng: (+): W x W = V

(a,b) wat+b b) phép nhân: (.): KX Vo V

(A2,a) +>2^.a (TẾ trường) Nếu 2 phép toán thỏa mãn 8 điều kiện sau:

(VI) a+b=b+a Va,b€Ù

(V2) (a+b)+c = a+(b +c) 3a,b,c€V

(V3) 310€W,3a€W/0+a = a+0 = a

(V4) 3a'€V,Va€V/a+a'= a'+a = 0 (a*“phẩn tử đối)

(V5) mí(na) = (mn)a,Vm,n € Tš,V a CV

(V6) (m+n)a = mat+na,Vmn EK,VaeV

(V7) m(a+b) = ma+mb,Vm €K,Va € V

Khi K= R thi V dugc gọi là không gian vecto thuc Khi K = C thiV dugc gọi là không gian vectơ phức

Vi du:

a) Tập các vectơ tự do cùng với phép toán cộng 2 vectơ và nhân vecto với |

số thực là một không gian vectơ thực

b) Tập các đa thức K(x) cũng lập thành 1 không gian vectơ trên trường FŠ với phép toán cộng đa thức và phép nhân đa thức với vô hướng thuộc trường ÏŠ 1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

1.1.2.1 Định nghĩa (độc lập tuyễn tính và phụ thuộc tuyến tính)

Trong không gian vectơ V

a) Hệ vectơ (Zz, , #„) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

a) Mot hé vecto cua V duge goi 1a 1 hệ sinh của V nếu mọi vectơ của Ÿ đều biểu thị tuyến tính được qua hệ này

b) Một hệ vectơ của V được gọi là 1 cơ sở của ƒ nếu mọi vectơ của đều biếu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này

Như vậy mỗi cơ sở là 1 hệ sinh

1.1.3.3 Định nghĩa

Không gian vectơ V được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có 1 hệ sinh gồm hữu hạn phần tử Số vectơ trong mỗi cơ sở cuả ï{ —không gian vectơ hữu hạn sinh V + {0} được gọi là số chiều cua V trên truong K va ki hiéu 1a dimV hay dimzV

Néu V ={0} ta qui woe dimV = 0

Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là không gian vô hạn chiều

1.1.3.4 Ví dụ

a) Cho #; = (1,0,0, ,0),#; = (0,1,0, ,0), ,#„ = (0,0,0, ,1) trong ïÑ”, Khi đó {#;,z, ,#„} là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên của R”) và dim R” = n

b) Trường số phức € là một Œ —không gian vectơ với cơ sở {1}

Đồng thời € là 1 —không gian vectơ với cơ sở {1,i}

Do do dim-C = 1,dimgC = 2 Téng quat dim-C” = n, dimgC” = 2n 1.2 Ma trận

Tập tat cả các ma trận kiểu (m.n) với các phần tử thuộc trường Ïš được kí hiệu là Mat(mxX n, K)

Cho ma tran A = (@;;) € Mat(mx n,K) va B = (by) € Mat(n x p, 1Š)

Ta gọi là tích của ma trận A với ma trận B một ma trận C= (c;y)

€ Mat(m x p,ïŠ) mà phần tử được xác định bởi:

Ce = ya Aid, Í= 1, ,m;k =1, ,p

va ki hiéu 1a C = A.B

1.2.4 Ma tran kha nghich

Dinh nghia:

Ta goi ma tran vung A € Mat (n X n,K) 1a ma tran kha nghich (hay 1a

ma trận vuông không suy biến), nếu có ma trận vuông B € Mat(n xn, K) sao cho A.B = B.A=E,,

Khi đó B gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu Ð = A1 Nếu A là

ma trận khả nghịch thi ma trận nghịch đảo cuả nó là duy nhất

1.2.5 Ma trận chuyển

Định nghĩa:

Cho (e) ={#:, 8z, ,#„} và (£) = {£:,£a, ,£„} là 2 cơ sở cuả không gian vectơ n chiều V.Ta gọi ma trận vuông cấp n:C = (a,;) trong đó c;; được xác định bởi:

2.6 Ma trận đồng dạng

Định nghĩa:

Cho 2 ma tran A, B € Mat(n Xn, K) Ta noi A, B 1a 2 ma tran déng dang nếu tồn tai mot ma tran C € Mat (n X n,K) 1a ma tran kha nghich sao cho B=C71.A.C

Định nghĩa:

10 0

Ma trận! =| 9 1 =0

0 0 1 Trong đó các phần tử chéo bằng 1, các phần tử khác bằng 0 gọi là ma trận đơn

tử

Với mỗi ổ € Š„ ta thường viết ð = (sq) ô(2) ãœ))

Vi du:

X = {1;2;3} thi S; = 3! = 6 (phan tử) m= (12 3)'&=G 3 eG 1 2

= |A| = detA = 3⁄sss„ sgn(ỗ).đa()1 đạ(z)a - g(n)n

đi Aya we dỊIy đại đạa se đụng

10

|Al được gọi là định thức cấp n

Mỗi hạng tử của định thức cấp n là 1 tích của n thành phần cùng với một dấu xác định, trong mỗi tích không có 2 thành phần nào cùng đòng hay cùng cột

đại Anz aad a”; Ann

Tính chất 2: Nếu các thành phần của một cột có thừa số chung k thì có thé

đưa k ra ngoài dấu định thức

Gy, Ay Ky gy Gy, yg se Gị; Aan

Cho ƒ: V — V là 1 tự đồng cấu của V và U là 1 không gian vectơ con của

V Ta bao là không gian con bất biến đối với ƒ (hay 1 không gian con

f —bat biến) nếu ƒ(U) c U,

Vi du:

Với tự đồng cấu ƒ:V — V bất kì, các không gian sau đây đều là ƒ bất

biến: {0}, V, kerf, Imf

1.5.2 Dinh nghia (Vecto riéng va gia tri riéng)

Gia str f: V > V 1a mét tu déng cau cia K- khong gian vecto V Néu c6é vectơ đ + 0 cita V và vô hướng 2 € K sao cho f (@) = AG thi A được goi la 1 giá trị riêng còn đ được gọi là vectơ riêng của ƒ ứng với giá trị riéng A

Nhận xét : Nếu ở là I vectơ riêng của ƒ ứng với giá trị riêng

2 thì ở € ker (ƒ — Â.đ„) trừ phần tử Ö

1.5.3 Định nghĩa (Đa thức đặc trưng)

Giả sử 2 là một giá trị riêng của tự đồng cầu ƒ: V — V Khi đó không gian vecto ker (f — A.idy) gồm vectơ 0 va tat cả các vectơ riêng của ƒ ứng với

12

giá trị riéng A duoc gọi là không gian con riêng của ƒ ứng với giá trị riêng 2

det(f —A.id,) = det(A—2.E,) =| “z1 22° n 2n

đại đạa Ann — A

Như vậy det(f — id,,) la da thite bac n cha A

Thuật toán tìm giá trị riêng và vecfơ riêng của ƒ Bước I: Tìm ma trận của tự đồng cấu ƒ trong 1 cơ sở nào đó

Bước 2: Lập đa thức bậc n đặc trưng det (4 — Ä È„) của ma trận A

Bước 3: Giải phương trình đa thức bậc n của ấn 2

det(4 — 2 E„) = 0 Bước 4: Với mỗi nghiệm ^ tìm được ở phương trình đa thức đặc trưng trên ta giải hệ phương trình thuần nhất tuyến tính là:

(4;¡T— Ä)X: + đ;zx; + +: + đ;„X„ = Ö đ;1X; + (đạ; — À)X; + -:: + z„x„ = Ö

Ani Xy + AngXz t+ (Qnn — 2)Xạ =0

Ứng với mỗi nghiệm không tầm thường (£;,€a, ,c„) của hệ này ta có

đ =c;8; + c;8; + + 0,8, 1a 1 vecto riêng của ƒ ứng với giá trị riêng A

Ví dụ: Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của tự đồng cầu ƒ có ma trận

4 -5 2 A=|5 -7 3

6 -9 4

Giai Xét phương trình đa thức đặc trưng |A — 2.1| =0

ƒ ứng với giá trị riêng  = 0

Ứng với giá trị riêng 2; = 1, ta giải hệ phương trình:

5x, —8x,+3x,=0

6x; —9x; +3x; = 0

ie —5x,+2x,=0

© (X¡,X;,X;) = (a,a, 8) với a # 0 Vậy các vectơ B = a(8; + Ø; + #y) với q # 0 là các vectơ riêng của ƒ ứng với giá trị riêng À = 1

1.6 Chéo hóa ma trận

1.6.1 Định nghĩa

Tự đồng cấu ƒ của lá —không gian vectơ hữu hạn chiều V được gọi là chéo hóa được nếu ta tìm được một cơ sở của V gồm toàn những vectơ riêng của ƒ

14

Hay ƒ chéo hóa được nếu có một cơ sở của V ma ma tran cua ƒ đối với

cơ sở đó là ma trận chéo

Giả sử A là ma trận của ƒ trong một cơ sở nào đó của Ư Từ định nghĩa

ta suy ra răngƒ chéo hóa được nêu và chỉ nêu tôn tại ma trận

1.6.3 Định lý

Giả sử đ;;#z, đ„ là những vectơ riêng của tự đồng cấu ƒ: Ÿ — V ứng

với những giá trị riêng đôi một khác nhau 3;,4;, ,2„ Khi đó hệ vectơ #;,đz, đ„„ độc lập tuyến tính

Chứng mình:

Định lí được chứng minh quy nạp theo m

Với m =1, vecto riéng @ + Ø nên hệ gồm một vectơ {Z;} độc lập tuyến tính Giả sử quy nạp rằng định lý đã được khẳng định đối với I hệ gồm ?m — 1 vectơ Xét hệ vectơ riêng #;,đ;, ,„ ứng với m giá trị riêng đôi một khác nhau Ä:,Ä2, , „;

ƒ (8; + t8; + + H„#„) = ƒ()

> MAG + Mah Gz t+ Amon = 0

Nhân đắng thức đầu với —2„„ rồi cộng vào đăng thức cuối cùng này ta được:

: (Âm — À1); + +: + Hợp; (Âm — Âm—+)đmm—‡ = 0

Theo giả thiết quy nạp, hệ #;; #„_: độc lập tuyến tính cho nên ta có:

(Âm — Ä+) = tr: = Mma Am — Am-1) = 0

Do 4,, —A; =0,i=1, ,.m-1> u,=- =U; = 0 Thay các giá trị nay vao dang thức đầu tiên ta có Um@n = 0 Vian = 0 nên di„ = 0

Tóm lại #; = : = tự = 0 Chứng tỏ hệ đ;, , đ„ độc lập tuyến tính

1.6.4 Hệ quả (Điều kiện cần)

a) Nếu dimV = n và tự đồng cấu ƒ:V — V có n giá trị riêng đôi một khác nhau thì f chéo hoá được

b) Nếu ma trận 4 € Mat(n x n,ÏX) có n giá trị riêng đôi một khác nhau trong

K thi A chéo hoá được

1.6.5 Định lý

Giả sử ƒ:V —¬ V là 1 tự đồng cấu của ï{— không gian vectơ hữu hạn chiều

V có tính chất ƒ? = ƒ Thế thì ƒ chéo hoá được

Chứng mình

16

Đặt U = Imƒ và W = kerƒ Ta sẽ chứng minh rang V= U@W va f chính là phép chiếu từ V lên U Trước hết, ta thấy ngay rằng U và W đều là những không gian con cua V bat biến đối với ƒ

Giả sử đ 6U n W Vì € W nên ƒ(ở) = 0: Mặt khác đ € U = Imƒ nên

có BEV để ƒ()= đ Khi đó ta có ƒŒ())= ƒ(3) Vì ƒ =ƒ? nên

f (8) = ở Khi đó ta có ƒŒŒ))= ƒ(đ) Vì ƒ = ƒ? nên ƒ(đ) = ƒ()= ở

Kết hợp hai sự kiện trên ta có đ = ƒ(#) = 0 Vay Un W = {0}

Với mỗi ö € V ta đều có 8 = ƒ()+(— ƒ@Œ)) trong đó ƒ(ÿ) € U còn

ö — ƒ(8) €W, Đó là vì ƒ(ö— ƒ(8)) = ƒ(8)— ƒ?(8) = ƒ(8)—ƒ(8) = Ö

Do vậy mà ta có W = U @ 1W

Lấy {#ÿ, ,#„} là l cơ sở của Ù Trong chứng minh phần trên ta đã chỉ ra rằng thy = idy Vì thế các vectơ #, ,e„ đều là vectơ riêng của ƒ ứng với giá trị riêng bằng 1

Giả sử {#z„¿: , #„} là cơ sở của WỜ

Vì W = kerƒ nên các vectơ #„„:, ,#„ đều là các vectơ riêng của ƒ ứng với giá trị riêng bằng 0

Do V = U@WW cho nên {#;, , £„, #„;+:, , €„} là 1 cơ sở của Ư Cơ sở này gồm toàn vectơ riêng của ƒ cho nên ƒ chéo hóa được

1.6.6 Định lý (Điều kiện cần và đủ để tự đồng cấu chéo hoá được)

Cho V là một ïš — không gian vectơ n chiều và ƒ: W — W là 1 tự đồng cấu của

V thi ƒ chéo hóa được khi và chỉ khi 2 điều kiện sau đây được thoả mãn: a) Đa thức đặc trưng của ƒ phân tích được

?(X) = (—1)*.(X — 2;)°+ (X — „„)°"

Trong do A,, ,A,, la cac v6 huéng d6i mét khac nhau trongK

b) rank (f —A,idy) =n-—s,,i=1,m ; 6 đây s, là bội của 2; xem như là

nghiệm của đa thức đặc trưng ?; (X)

Chứng mình

Giá sử ƒ chéo hóa được Khi đó ta có thể tìm được 1 cơ sở của V sao cho đối với ma tran nay f có dạng ma trận chéo là D với $; phần tử nằm trên đường chéo bằng 2;, ; s„ phần tử nằm trên đường chéo bằng 2„„, trong đó 1= §S;¿ + : + Sự, và các Ä;, , À„; đôi một khác nhau Do đó:

Đr(X) = ?›(X) = (1:— Ä)°! (Âm — X)?m

=(—1)°(ŒX-—2;)Ÿ: (X — À„)Ym

Nhận xét rằng ma trận ? — 2,E„ là một ma trận chéo với s; phần tử nằm trên đường chéo bằng A; — 2; = 0, các phần tử còn lại bằng À; —À; # 0 với ¡ # j nào đó

Cho nên ta có rank(ƒ — 2;.idy) = rank(D — À;.E„) = t — S; với ¡ = 1,m Ngược lại, giả sử các điều kiện a) và b) được thoả mãn

Xét không gian con riêng của ƒ ứng với giá trị riêng A; là

V, = ker (ƒ — idy), i = I,m

Ta có dimV, = dimker(f — idy) =n —rank(f — d,idy) = s;

Mà theo định lý các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng đôi một khác nhau thì lập thành 1 hệ vectơ độc lập tuyến tính, cho nên:

V; ñ (Xie; V,) = {0}

Mặt khác, s; + s; + - + S,, =n nén ta c6

V =V;@V; @® @ V„

18

voi méi i = 1,m ta lay (2:2, «Ôi } là 1 cơ sở của V, rồi gộp tất cả các cơ sở này với nhau ta sẽ nhận được 1 cơ sở của Ÿ gồm toàn những vectơ riêng của

ƒ Vậy ƒ chéo hóa được

1.6.7 Định lý (Điều kiện cần và đú để 1 ma trận chéo hoá được)

Điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được là A có n vectơ riêng độc lập

tuyến tính Khi đó C là ma trận chuyền từ cơ sở chính tắc e;, e›, ,„ của ÏŠ” sang cơ sở gôm n vectơ riêng £;,£z, , £„ của A

Nghĩa là tồn tại ma trận không suy biến C sao cho 4 = CBC”! hay AC = CB

Kí hiệu € =Íe:, ,e„] trong đó ¢; (i = 1,7) 1a cdc vecto cot của C Theo

định nghĩa phép nhân 2 ma trận ta có ma trận tích ÁC sẽ có các cột là Ac:,Ac;, , Ac„ và ma trận tích CB sẽ có các cột là À: Œ;, , À„€„;

Từ ÁC = CB ta có Ác; = À:C;,Ác; = À;C¿, , Ac„ = À„€„,

Do vậy 3;, ,4„ là các giá trị riêng của A và c;, ,c„ là các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng Ä:, , À„

Vì € khả nghịch nên các vectơ cột €;, = 1,n độc lập tuyến tính

Ngược lại, giả sử 4 có n vectơ riêng độc lập tuyến tính c;, c„ tương ứng với các giá trị riêng là Ä:, , À„

Xây dựng ma trận C với các cột là các vectơ c, c„ nghĩa là € = [€, , €„ ] Khi đó các cột của ma trận tích ÁC là Ác;, , Ác„

Axa A2€x2 aad AnCin

Hay A chéo hoá được

Từ định lý trên ta rút ra quy tắc để chéo hoá I ma trận A cho trước nh sau:

Bước I: Tìm nghiệm đặc trưng của ma trận A và các vecfơ riêng tương ứng Bước 2: Nếu mọi vectơ riêng A đều phụ thuộc tuyến tính thì A không đồng dạng với ma trận chéo Ngược lai nếu tìm được n vecfơ riêng độc lập tuyến tính thì ta lập được ma trận C = [c;, ,c„] ở đây c;, ,c„ là các vectơ cột của C

Bước 3: Khi đó ma trận C~*AC sẽ là ma trận chéo với À;,2z, , „ là các giá trị riêng và chúng sẽ là các phần tử nằm trên đường chéo chính

Ví dụ 1:

Hãy chéo hóa ma trận A

1 0 1 A=|0 1 1

1 1 0

Giai 20

-1 0 0 VậyAxB=[ 0 2 0