CƠ sở của KHÔNG GIAN VECTƠ ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng pptx mơn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 Chương KHÔNG GIAN VECTƠ SỐ HỌC N CHIỀU Hệ PTrTT PP khử Gauss Vectơ n chiều KGVT Các mối liên hệ tuyến tính… Cơ sở không gian vectơ Hạng hệ vectơ Bài CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ I II Khái niệm sở không gian vectơ Định nghĩa sở Tọa độ vectơ sở Cơ sở không gian I Khái niệm sở không gian vectơ Định nghĩa sở ĐN: Trong không gian vectơ Rn hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính gọi sở NX: Mọi hệ từ n+1 vectơ trở lên phụ thuộc tuyến tính ⇒ Trong khơng gian vectơ Rn sở hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại (có số vectơ lớn nhất) Muốn chứng minh hệ vectơ X1,X 2, ,Xr sở Rn Số vectơ = Số chiều ( r = n) Hệ vectơ X1,X 2, ,Xr phải ĐLTT ( Dùng khử Gauss) I Khái niệm sở khơng gian vectơ Định nghĩa sở Ví dụ 1: Trong không gian Rn hệ vectơ sau độc lập tuyến tính E1 =( 1,0, ,0) E =( 0,1, ,0) En =( 0,0, ,1) Hệ vectơ { E1,E 2, ,En} sở Rn gọi hệ sở đơn vị hay sở tự nhiên I Khái niệm sở không gian vectơ Định nghĩa sở Ví dụ 2: Trong khơng gian R3 hệ vectơ sau có sở khơng? X1 =( 3,-1,2) , X =( -1,4,3) , X3 =( 1,2,-1) Ta biến đổi ma trận nhận hệ ba vectơ cột  -1  → A = -1 ÷   ÷  -1÷    -1   11 ÷  →  ÷  11 -5÷    -1   11 ÷  ÷  0 -12÷   Ma trận kết thúc dạng tam giác nên hệ vectơ cho độc lập tuyến tính sở R3 I Khái niệm sở không gian vectơ Tọa độ vectơ sở ĐL: Trong không gian vectơ Rn cho trước sở Khi đó, vectơ biểu diễn tuyến tính cách qua sở Cụ thể: Giả sử P1,P2, ,Pn sở Rn với vectơ X thuộc Rn tồn n số thực α 1,α 2,…,α n cho: X =α1P1 +α2P2 + +αnPn ĐN: Bộ gồm n số thực (*) α 1,α 2, ,α n (*) gọi tọa độ vectơ X hệ sở P1,P2, ,Pn K/hiệu: X =( α 1,α 2,…,α n ) sở P1,P2, ,Pn I Khái niệm sở không gian vectơ Tọa độ vectơ sở X =α1P1 +α2P2 + +αnPn (*) Đẳng thức (*) tương đương với hệ phương trình :  aα 11 aα  21    aα n1 P1 + a 12 α + + a 1n α n = b 1 + a 22 α + + a 2n α n = b + a n2 α P2 + + a nn α n = b Pn Ma trận mở rộng hệ phương trình là:  a11 a12 a a22 21 A =  a  n1 an2 a1n b1  a2n b2 ÷ ÷ ÷ ann bn ÷  n X I Khái niệm sở không gian vectơ Tọa độ vectơ sở Ví dụ 3: Trong không gian vectơ R3 cho sở: α1 P1 =( 1, 2,-3)  + α2 P2 =( -1,-3, 4) α3  P3 =( -4,-5, 5) Tìm tọa độ vectơ X =(-3,-5, 4) sở Giải: Giả sử ta có: X = α1P1 + α2P2 + α3P3  α - α - 4α =-3  ⇔  2α1 - 3α2 - 5α3 =-5 -3α +4α +5α =4  I Khái niệm sở không gian vectơ Tọa độ vectơ sở Biến đổi ma trận mở rộng:  -1 -4  -3   -1 -4 -3   -1 -4  -3   -3 -5 ÷-5 ÷ →  -1 ÷1 ÷ →  -1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷   ÷ ÷   -3 ÷ ÷  -7 ÷-5 ÷  0 -4 ÷-4 ÷          Ta hệ phương trình: Hệ có nghiệm : α - α - 4α =-3   -α 2+3α 3=1  - 4α3 =-4  ( α1 =3,α =2,α =1) => X = ( 3, 2, ) sở P1,P2,P3 Chú ý: Khi P1,P2, ,Pn sở Rn hệ phương trình X =α1P1 +α2P2 + +αnPn ln có nghiệm II Cơ sở khơng gian ĐN: Một hệ vectơ P1,P2, ,Pr không gian L gọi sở nó thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) P1,P2, ,Pr độc lập tuyến tính 2) Mọi vec tơ X ∈ L biểu diễn tuyến tính qua P1,P2, ,Pr Ví dụ 4: Cho khơng gian con: { } L = ( x1,x2,0) x1,x2 ∈ R ⊂ R3 CM hệ véc tơ { E1 =( 1,0,0) , E =( 0,1,0) } sở không gian Giải :  Thứ nhất, hai véc tơ cho độc lập tuyến tính khơng tỉ lệ  Thứ hai, với véc tơ X thuộc L ta có: X =(x1,x2,0) =x1E1 +x2E => ĐPCM II Cơ sở không gian NX:  Ta chứng minh hệ véc tơ{ P1 =( a,0,0) ;P2 =( 0,a,0) ; a ≠ 0} sở khác L  Một không gian véc tơ có nhiều sở  Hai sở không gian vectơ có số vectơ ĐN: Số vectơ sở không gian L không gian vectơ Rn gọi số chiều khơng gian Ký hiệu: dim (L) VD: Với kết ví dụ ta có dim (L) = ... sở không gian vectơ Định nghĩa sở Tọa độ vectơ sở Cơ sở không gian I Khái niệm sở không gian vectơ Định nghĩa sở ĐN: Trong không gian vectơ Rn hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính gọi sở NX: Mọi...Chương KHÔNG GIAN VECTƠ SỐ HỌC N CHIỀU Hệ PTrTT PP khử Gauss Vectơ n chiều KGVT Các mối liên hệ tuyến tính… Cơ sở không gian vectơ Hạng hệ vectơ Bài CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ I II Khái niệm sở không. .. Cơ sở không gian NX:  Ta chứng minh hệ véc tơ{ P1 =( a,0,0) ;P2 =( 0,a,0) ; a ≠ 0} sở khác L  Một khơng gian véc tơ có nhiều sở  Hai sở khơng gian vectơ có số vectơ ĐN: Số vectơ sở không gian