12 cơ sở của không gian véc tơ

Bài Cơ sở không gian vectơ Định nghĩa sở Tọa độ vectơ sở Định nghĩa sở ĐN: n Trong không gian vectơ ¡ , hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính gọi sở Muốn chứng minh hệ vectơ X1 , X ,K , X r sở ¡ Số vectơ = Số chiều n : ( r = n) Hệ vectơ X1 , X ,K , X r phải ĐLTT ⇐ Dùng khử Gauss Định nghĩa sở n Ví dụ 1: Trong khơng gian ¡ , hệ vectơ sau độc lập tuyến tính E1 = ( 1,0,K ,0 ) E = ( 0,1,K ,0 ) LLLLLL E n = ( 0,0,K ,1) n Hệ vectơ { E1 , E ,K , E n } sở ¡ , gọi hệ sở đơn vị 1 Định nghĩa sở Ví dụ 2: Trong khơng gian ¡ hệ vectơ sau có sở khơng? X1 = ( 3, −1, ) , X = ( −1, 4,3 ) , X = ( 1, 2, −1) Hệ ba vectơ có sở ¡ ×1 ×(−2)  −1   → ×3 A =  −1 ÷ ÷  1ữ ì3 −1   11 ÷  ÷  0 −12 ÷   ⇒ hay không?  −1   11 ÷ ×(−1)  →  ÷  11 −5 ÷ ×1   Hệ vectơ cho sở ¡ Tọa độ vectơ sở ĐL: n Trong không gian vectơ ¡ , cho trước sở Khi đó, vectơ biểu diễn tuyến tính cách qua sở n n Cụ thể: Giả sử P1 , P2 ,K , Pn sở ¡ , với X ∈ ¡ , tồn n số thực α1 , α ,K , α n cho: X = α1P1 + α P2 + L + α n Pn ĐN: α1P1  a11α1 a α  21   L a n1α1 P1 Bộ gồm n số thực ( α1 , α ,K , α n ) + α P2 + L + α n Pn = X vectơ X hệ sở P1 , P2 ,K , Pn + a12 α + a 22 α L + a n 2α + L + L L + L P2 + a1n α n + a 2n α n L + a nn α n Pn = b1 = b2 L = bn X ( ) * ( ) * gọi tọa độ Hệ có ma trận mở rộng:  a11 a12 a a 22 21  A= L L   a n1 a n L L L L a1n a 2n L a nn b1  b2 ÷ ÷ L ÷ ÷ bn  Tọa độ vectơ sở Ví dụ 3: Trong khơng gian vectơ ¡ , cho hệ sở: P1 = ( 2,0, −3) , P2 = ( −1,0, ) , P3 = ( 4,3,0 ) Tìm tọa độ vectơ X = ( 5,6,7 ) hệ sở Đáp số: Giải hệ phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng A  −1  A =  0 6÷  ÷  −3 ÷   nghiệm tọa độ X hệ sở cho: ( α1 = −1, α = 1, α3 = ) ...  0 12 ÷   ⇒ hay khơng?  1 11 ữ ì(1) ữ 11 ữ ì1   Hệ vectơ cho sở ¡ Tọa độ vectơ sở ĐL: n Trong không gian vectơ ¡ , cho trước sở Khi đó, vectơ biểu diễn tuyến tính cách qua sở n n...1 Định nghĩa sở ĐN: n Trong không gian vectơ ¡ , hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính gọi sở Muốn chứng minh hệ vectơ X1 , X ,K , X r sở ¡ Số vectơ = Số chiều n : ( r = n) Hệ vectơ X1 , X ,K ,... b2 ÷ ÷ L ÷ ÷ bn  Tọa độ vectơ sở Ví dụ 3: Trong khơng gian vectơ ¡ , cho hệ sở: P1 = ( 2,0, −3) , P2 = ( −1,0, ) , P3 = ( 4,3,0 ) Tìm tọa độ vectơ X = ( 5,6,7 ) hệ sở Đáp số: Giải hệ phương trình