Bài giảng số 5 đường và mặt bậc hai trong không gian véc tơ euclide

Bài giảng số 5 đường và mặt bậc hai trong không gian véc tơ euclide

http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Bài giảng số Đường mặt bậc hai I Tóm lược lý thuyết Định nghĩa 5.1: Tập F   gọi không gian hình học Euclide n chiều tựa E  cặp điểm (M , N )  F tương ứng với véc tơ E , ký hiệu MN thoả mãn hai điều kiện sau đây:    a) MN  NP  MP với M , N , P  F ;  b) Với điểm M  F véc tơ a  E tồn điểm N  F để MN  a Khi F không gian hình học Euclide phần tử thuộc F gọi điểm Định nghĩa 5.2: Cho F không gian hình học Euclide tựa E , O điểm F ; hệ véc tơ {e1 , e2 , , en } sở trực chuẩn E Khi {O; e1 , e2 ,, en } gọi hệ toạ độ trực chuẩn F với gốc toạ độ O Định nghĩa 5.3: Giả sử {O; e1 , e2 ,, en } hệ toạ độ trực chuẩn không gian hình  học Euclide F Khi điểm M thuộc F tương ứng với véc tơ OM thuộc E toạ độ  OM theo sở {e1 , e2 , , en } E toạ độ điểm M hệ toạ độ {O; e1 , e2 ,, en } Định nghĩa 5.4: Tập U không gian hình học Euclide F gọi siêu phẳng F với hệ toạ độ trực chuẩn {O; e1 , e2 ,, en } F U có dạng: U  {M ( x1 , x2 ,, xn )  F | a1 x1  a2 x2    an xn  0} Định nghĩa 5.5: Đường bậc hai hay đường Cônic tập hợp () điểm không gian hình học Euclide  mà toạ độ hệ qui chiếu trực chuẩn thoả mãn phương trình: ax  2bxy  cy  2dx  2ey  f  (1) Các hệ số a, b, c hệ số thực Chú ý hệ số a, b, c số thực không đồng thời không Phân loại đường bậc hai Xét dạng toàn phương f ( x, y )  ax  2bxy  cy ma trận đối xứng A dạng toàn phương:  a b A  b c Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Giả sử A có giá trị riêng 1 , 2 , gọi u1 , u2 véc tơ riêng tương ứng,  x'  x phép đặt    P  '  ( P  (u1 u2 ) ) ta đưa dạng toàn phương dạng  y y  1 x '2  2 y '2 Khi phương trình cônic có dạng: 1 x '2  2 y '2  2d ' x '  2e ' y '  f '  Trường hợp 1: 12  Khi phương trình đường bậc hai () có dạng: d' e' d '2 e '2 ' ' 1 ( x  )  2 ( y  )  f    1 2 1 2 ' d'  ' X  x   1  Đặt  ' Y  y '  e  2 Ta chuyển (1) dạng: 1 X  2Y  K  (2) +) Nếu 12  K dấu với 1 , 2 phương trình có dạng: X Y2  1 (3) m2 n2 (3) phương trình đường Elip thực Nếu K trái dấu với 1 , 2 (2) xác định Elip ảo +) Nếu 12  (2) viết dạng: X Y2  1 m n2 (4) phương trình hypebol 1  +) Nếu 12    (1) có dạng: 2  Y  pX   X  pY (5) phương trình Parabol (4) (5) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide Định nghĩa 5.6: Mặt bậc hai hay đường Quadric tập hợp () điểm không gian hình học Euclide 3 mà toạ độ hệ qui chiếu trực chuẩn thoả mãn phương trình: ax  by  cz  2dxy  2eyz  fzx  mx  ny  pz  q  (6) Các hệ số a , b, c, d , e, f , m, n, p, q hệ số thực Chú ý hệ số a , b, c, d , e, f số thực không đồng thời không Phân loại mặt bậc hai Xét dạng toàn phương f ( x, y , z )  ax  by  cz  2dxy  2eyz  fzx Gọi 1 , 2 , 3 giá trị riêng dạng toàn phương Trường hợp 1: Nếu 1 , 2 , 3 khác dấu, phương trình mặt bậc hai X Y2 Z2    1 đưa dạng: a b2 c2 (7) phương trình elipxôit thực ảo Nếu 1  2 elipxôit thực có dạng: (7) X Y2 Z2   1 (8) a a2 c2 (8) phương trình elipxôit tròn xoay tạo elip có phương trình X Z2  1 a2 c2 mặt phẳng Oxz quay quanh trục Oz Trường hợp 2: Nếu 1 , 2 , 3 khác không dấu phương trình mặt bậc hai đưa dạng: X Y2 Z2   1 (9) a b2 c2 X Y2 Z2    1 (10) a b2 c2 X Y2 Z2   0 (11) a b2 c (9) phương trình mặt hypecbôlôit tầng Nếu a  b mặt bậc hai có dạng: X Y2 Z2   1 (12) a a2 c2 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide (12) hypecbôlôit tròn xoay tầng sinh hypecbôn có phương trình X Z2  1 a2 c2 mặt phẳng Oxz quay quanh trục Oz (10) phương trình mặt hypecbôlôit hai tầng Nếu a  b mặt bậc hai có dạng: X Y2 Z2    1 (13) a a2 c2 (13) hypecbôlôit tròn xoay hai tầng sinh hypecbôn có phương trình X Z2   1 a2 c2 mặt phẳng Oxz quay quanh trục Oz (11) phương trình mặt nón thực Đặc biệt a  b , (11) trở thành X Y2 Z2   0 (14) a2 a2 c2 (14) phương trình mặt nón tròn xoay quanh trục Oz Trường hợp 3: 12  0, 3  , phương trình mặt bậc hai có dạng: 1 X  2Y  2kZ  (15) 1 X  2Y  k  (16) (15) phương trình mặt parabôlôit Đặc biệt 1  2 (15) parabôlôit tròn xoay sinh parabol có phương trình: X  2k Z  mặt phẳng Oxz quay 1 quanh trục Oz (16) phương trình mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz Đặc biệt 1  2 (16) mặt trụ tròn xoay có phương trình: X  Y  k 1 Trường hợp 3: Nếu 1  0, 2  3  , phương trình mặt bậc hai có dạng: X  pY  (17) (17) phương trình mặt trụ parabôlic II Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Nhận dạng đường bậc hai sau đây: 1) x  xy  y  18 x  18 y   ; Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 2) x  y  xy  2(1  3) x  2(1  3) y   Giải: 1) Xét dạng toàn phương: f ( x, y )  x  xy  y 5 4 Ma trận dạng toàn phương là: A    4 5 Các giá trị riêng ma trận nghiệm phương trình: A   I   (5   )2  16       Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   thoả mãn hệ phương trình:  x1  x2   x1   x2  x  x   véc tơ riêng tương ứng v1  (1,1) Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   thoả mãn hệ phương trình:  4 x1  x2   x1  x2  x  x   Vậy véc tơ riêng tương ứng v2  (1,1) Đặt u1  v1 1 v 1  ( , ), u2   ( , ) v1 v2 2 2   Khi ma trận P       2  ma trận trực giao ta có P 1  P t   2 ' '  x   x y  x   x 2 Đặt    P  '     y y   y  x'  y '  2 thay vào phương trình đường cônic ta có: ' x '2  9( y '  2)2  Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide  X  x ' Đặt:  ' Y  y  X2 Y2   đường bậc hai Elip tắc có dạng: 2) Xét dạng toàn phương f ( x, y )  x  3xy  y  3 ma trận dạng toàn phương là: A     1    Các giá trị riêng ma trận nghiệm phương trình: A   I   (  1)(  1)      2    Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   2 thoả mãn hệ phương trình: 3 x1  x2   x2   3x1  x  x   Vậy véc tơ riêng tương ứng v1  (1, 3) Toạ độ véc tơ riêng ứng với giá trị riêng   thoả mãn hệ phương trình:   x1  3x2   x1  3x2  x  x   Vậy véc tơ riêng tương ứng v2  ( 3,1)   v1 v2 Đặt u1   ( , ), u2   ( , ) Khi ma trận P   v1 2 v2 2    1 t ma trận trực giao ta có P  P  ' x   x'  y  x   x  2 Đặt    P  '     y y   y  x'  y '  2 ' Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục 3      http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide thay vào phương trình đường cônic ta có: ( x '  1)2  ( y '  1)2   X  x'  Đặt:  ' Y  y  đường bậc hai hypecbol tắc có dạng: X  Y  Ví dụ 2: Nhận dạng đưa mặt bậc hai sau dạng tắc: 1) x  y  z  xy  yz  zx   ; 2) xy  xz  yz  x  y  z  Giải: 1) Xét dạng toàn phương: x  y  z  xy  yz  zx    Ma trận dạng toàn phương có dạng: A         Phương trình đặc trưng ma trận là: A   I   4  12  9    1    1  2          Với   , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ sau: 1   x1  x2  x3      x1  x2  x3   x1  x2  x3    x  x2  x3   2 Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   v1  (1, 1, 1) Với   , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ sau: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 1   x  x  x3   2  1    x1  x2  x3   x1  x2  x3  2  1    x1  x2  x3  Nghiệm tổng quát hệ có dạng: (a  b, a, b) (a, b  ) là: v2  (1, 1, 0), v3  v1  v2  (1,  1, 2) Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   Trực chuẩn hoá hệ véc tơ trực giao v1 , v2 , v3  ta hệ véc tơ sau: 1 1 1   ), u2  ( , , 0), u3  ( , , ) u1  ( , , 3 2 6       Khi ma trận P   u1 u2 u3        3  2     ma trận trực giao 6      ' ' '  x x y  z  ' x   x ' ' '      Đặt  y   P  y '    y  x y  z z  z'        ' ' x  z z   Thay vào phương trình mặt bậc hai, ta có: '2 '2 y  z 1  2 Phương trình xác định mặt trụ tròn xoay quanh trục Ox 2) Xét dạng toàn phương: xy  yz  zx Ma trận dạng toàn phương có dạng: Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 0 1 A   1  1 0   Khi phương trình đặc trưng ma trận A có dạng:  1 A  I   1  1 0     (  1)(    2)       1 Với   , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ:  2 x1  x2  x3    x1  x2  x3   x1  x2  x3  x  x  2x    1  Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   v1   , ,   3 3 Với   1, toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ:  x1  x2  x3    x1  x2  x3   x1  x2  x3  x  x  x   Véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   1 là:   1  1  v2    , ,  , v3  v2  v1   , ,  2  6   6     Khi ma trận P  (v1 v2 v3 )       3  2    ma trận trực giao      6 Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide ' ' '  x  x y  z  ' x   x ' ' '      Đặt  y   P  y '    y  x y  z z  z'        ' ' x  z z   Thay vào phương trình mặt bậc hai, ta có: 16 '2 ' x '2  y '2  z '2  x  z 0 2 30  2( x '  )  y '2  ( z '  )  3 , Y  y' , Z  z'  , mặt bậc hai có dạng: 30 2X  Y  Z  Đây phương trình mặt hypecbolôit hai tầng tròn xoay sinh hypecbol 30 2X  Y  mặt phẳng Oxy quay quanh trục Ox Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với sở tắc xét điểm M (a, b ) Đặt X  x '  a  r cos , b  r sin  (r  0), đường bậc hai tương ứng với điểm M có phương trình: (a  1) x  2bxy  (a  1) y  2ax  2by  (a  1)  (C) 1) Xác định đường bậc hai ứng với gốc toạ độ; 2) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng dạng toàn phương: (a  1) x  2bxy  (a  1) y 3) Nhận dạng đưa đường bậc hai (C) dạng tắc biết điểm M nằm đường tròn tâm O bán kính Giải: 1) Đường bậc hai tương ứng với điểm O(0, 0) có dạng: x  y  1 Đây phương trình đường tròn ảo Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 2) Ma trận dạng toàn phương là: b   a 1 A  a  1  b Đa thức đặc trưng ma trận có dạng:    1  r A   I   (  1)  a  b       1  r Với   1  r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ sau: (cos  1) x1  (sin  ) x2     cos x1  sin x2   2 (sin  ) x1  (1  cos ) x2    Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1  r là: v1 ( sin , cos ) 2 Với   1  r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng nghiệm hệ sau: (cos  1) x1  (sin  ) x2     sin x1  cos x2   2 (sin  ) x1  (1  cos ) x2    Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng   r là: v2 (cos , sin ) 2 3) Vì M nằm đường tròn tâm O bán kính nên ta có r      sin cos  2  ma trận trực giao Khi ma trận P  (v1 v2 )       cos sin   2  '  '  x   sin x  cos y x   x  2 Đặt:     P  '     y y   y  cos  x '  sin  y '  2 Thay vào đường bậc hai (C), ta có:    2( x '  sin )  y ' cos   cos  2 2 2    Đặt X  x '  sin , Y  y ' cos   cos 2 2 2 Khi đường bậc hai (C ) Parabol có dạng: Y  2X ' Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide III Bài tập tự giải Bài 1: Nhận dạng đưa dạng tắc đường bậc hai sau: 1) x  xy  y  x  y  0; 2) 11x  24 xy  y  15  0; 3) x  xy  y  24  0; 4) x  xy  y  24 x  12 y  18  Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với sở tắc xét điểm M (a, b ) a  r cos , b  r sin  (r  0), đường bậc hai tương ứng với điểm M có phương trình: (a  1) x  2bxy  (a  1) y  2ax  2by  (a  1)  (C) Nhận dạng đưa dạng tắc đường bậc hai (C) trường hợp sau: 1) M nằm đường tròn tâm O bán kinh 2) M nằm đường tròn tâm O bán kinh Bài 3: Nhận dạng đưa tắc mặt bậc hai sau: 1) x  y  z  xy  xz  yz   ; 2) x  y  z  xy  yz  x  y  z   0; 3) x  y  z  xy  xz  yz  10 x  z  26  0; 4) xy  xz  x  y  z  0; 5) x  y  z  xy  yz  zx   0; 6) xy  x  10 y  z  31  Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục [...]... Thay vào đường bậc hai (C), ta có: 1   1 5  2( x '  sin ) 2  2 y ' cos   cos 2  0 2 2 2 2 2 2 1   1 5  Đặt X  x '  sin , Y  2 y ' cos   cos 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó đường bậc hai (C ) là một Parabol có dạng: Y  2X 2 ' Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide III Bài. .. Euclide III Bài tập tự giải Bài 1: Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc các đường bậc hai sau: 1) x 2  2 xy  y 2  8 x  y  0; 2) 11x 2  24 xy  4 y 2  15  0; 3) 2 x 2  4 xy  5 y 2  24  0; 4) 5 x 2  4 xy  2 y 2  24 x  12 y  18  0 Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với cơ sở chính tắc xét điểm M (a, b ) trong đó a  r cos , b  r sin  (r  0), và đường bậc hai tương ứng với điểm M có...  1)  0 (C) Nhận dạng và đưa về dạng chính tắc đường bậc hai (C) trong các trường hợp sau: 1) M nằm trong đường tròn tâm O bán kinh bằng 1 2) M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kinh bằng 1 Bài 3: Nhận dạng và đưa về chính tắc các mặt bậc hai sau: 1) x 2  5 y 2  z 2  2 xy  6 xz  2 yz  6  0 ; 2) 2 x 2  y 2  2 z 2  2 xy  2 yz  x  4 y  3 z  2  0; 3) 2 x 2  2 y 2  5 z 2  4 xy  2 xz  2...http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide 2) Ma trận của dạng toàn phương trên là: b   a 1 A  a  1  b Đa thức đặc trưng của ma trận có dạng:    1  r A   I  0  (  1) 2  a 2  b 2  0      1  r Với   1  r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau: (cos  1) x1  (sin  ) x2  0 ... cos ) x2  0   Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng 1  r là: v1 ( sin , cos ) 2 2 Với   1  r , toạ độ véc tơ riêng tương ứng là nghiệm của hệ sau: (cos  1) x1  (sin  ) x2  0    sin x1  cos x2  0  2 2 (sin  ) x1  (1  cos ) x2  0   Vậy toạ độ véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng  1  r là: v2 (cos , sin ) 2 2 3) Vì M nằm trên đường tròn tâm O bán kính bằng... 2 xy  2 yz  x  4 y  3 z  2  0; 3) 2 x 2  2 y 2  5 z 2  4 xy  2 xz  2 yz  10 x  2 z  26  0; 4) 2 xy  2 xz  x  y  z  0; 5) x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  1  0; 6) 2 xy  6 x  10 y  z  31  0 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục ... http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide III Bài tập tự giải Bài 1: Nhận dạng đưa dạng tắc đường bậc hai sau:... ' Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục 3      http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide thay vào phương trình đường. .. X  pY (5) phương trình Parabol (4) (5) Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S.Đỗ Viết Tuân –HVQL Giáo dục http://baigiangtoanhoc.com Không gian véc tơ Euclide