Phương trình siêu mặt bậc hai trong không gian euclide n chiều

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN - - HỒ THỊ SƠ NI PHƯƠNG TRÌNH SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG KHƠNG GIAN EUCLIDE N CHIỀU KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Phạm vi nghiên cứu III Mục đích nghiên cứu PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận .3 I Một số kiến thức liên quan không gian vectơ Euclide Không gian Euclide n chiều .3 1.1 Không gian vectơ: 1.2 Tích vơ hướng không gian vectơ 1.3 Không gian vectơ Euclide 1.4 Không gian Affine .4 1.5 Không gian Euclide 1.6 Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn VE .6 Các kiến thức liên quan không gian vectơ n- chiều: .7 2.1 Cơ sở, số chiều không gian vectơ hữu hạn chiều: 2.2 Tọa độ vec tơ sở mối liên hệ với sở khác nhau: .7 2.3 Chéo hóa ma trận, ma trận trực giao, trị riêng, vec tơ riêng, dạng toàn phương: II Giới thiệu chung siêu mặt bậc hai En Định nghĩa siêu mặt bậc hai: Phương trình tắc, phương trình chuẩn tắc siêu mặt bậc hai 2.1 Giới thiệu ba dạng tắc siêu mặt bậc hai 2.2 Đưa phương trình tổng quát siêu mặt bậc hai dạng tắc Phương siêu mặt bậc hai E n .12 3.1 Định nghĩa: 12 3.2 Tính chất: 12 Phân loại siêu mặt bậc hai 14 SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 4.1 Đường bậc hai: 14 4.2 Mặt bậc hai .18 III Khảo sát siêu mặt bậc hai Euclide dựa vào bất biến hàm đa thức bậc hai 26 Lập phương trình thu gọn nhận dạng đường bậc hai dựa vào bất biến 26 Lập phương trình thu gọn nhận dạng mặt bậc hai dựa vào bất biến .28 IV Tìm hiểu ứng dụng siêu mặt bậc hai .31 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ THỰC TIỄN 32 I Tìm phương trình tắc, phương trình chuẩn tắc siêu mặt bậc hai En .32 Dùng phép biến đổi tọa độ trực chuẩn để tìm phương trình tắc siêu mặt bậc hai 32 1.1 Đường bậc hai 32 1.2 Mặt bậc hai .39 Dựa vào bất biến để nhận dạng siêu mặt bậc hai .49 2.1 Nhận dạng đường bậc hai sau E dựa vào bất biến: 49 2.2 Nhận dạng mặt bậc hai sau bất biến 53 PHẦN III: KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn cô giáo Đinh Thị Văn nhiệt tình hướng dẫn gợi mở ý tưởng giúp em hồn thành khố luận Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn Phòng thư viện trường Đại Học Sư Phạm- Đại Học Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em có dủ tài liệu tham khảo để hồn thành tốt khóa luận Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người ủng hộ giúp đỡ em thời gian làm khóa luận Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Hình học mơn học tư duy, trừu tượng, ln gây khó khăn cho học sinh, sinh viên Do cần có nhiều thời gian nghiên cứu, học tập Đa số sinh viên học tất môn ý đến môn có số đơn vị học trình cao, mơn có gắn bó logic với khơng có đủ thời gian nghiên cứu sâu vấn đề Hình học cao cấp phận hình học, mang tính trừu tượng phức tạp, thời gian đưa vào chương trình học khơng nhiều có 45 tiết Do vậy, sinh viên khơng thể nắm rõ mơn học Đặc biệt hình học không gian Euclide làm quen chương trình Phổ Thơng, lên Đại Học gặp lại nên khơng thể khơng so sánh tìm hiểu thêm Ví dụ: Chúng ta bắt gặp định nghĩa, khái niệm ba đường Conic ( hình học lớp 11),hình trụ, hình nón ( hình học 12)…và khái niệm siêu mặt bậc hai hình học cao cấp Chúng ta phải tìm hiểu xem chúng có mối quan hệ có hỗ trợ việc giải tốn phổ thơng…Chính lí mà em chọn đề tài: “ Phương trình siêu mặt bậc hai khơng gian Euclide n chiều” nhằm giải khó khăn gặp phải chương trình học, chuẩn bị kiến thức đầy đủ để đứng bục giảng sau II Phạm vi nghiên cứu Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu siêu mặt bậc hai không gian E , E3 , số kiến thức liên quan cho việc tìm hiểu giải số kiến thức liên quan đến siêu mặt bậc hai sau: Chứng minh số tính chất Tìm phương trình tắc mục tiêu tắc siêu mặt bậc hai phép biến đổi tọa độ trực chuẩn SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn Nhận dạng siêu mặt bậc hai dựa vào bất biến Tìm hiểu ứng dụng siêu mặt bậc hai III Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phương trình siêu mặt bậc hai khơng gian Euclide n chiều với kiến thức đưa giúp cho học sinh Phổ thông nhận dạng giải nhanh số tốn tìm quỹ tích, tìm thiết diện, tốn đường Conic, hình nón, hình trụ…Bên cạnh nghiên cứu siêu mặt bậc hai cịn giúp cho sinh viên Đại học làm tốt tập siêu mặt bậc hai Hình học cao cấp Ngồi cịn giúp giải tốn tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt tính diện tích, thể tích giới hạn mặt cách xác SVTH: Hồ Thị Sơ Ni – Lớp: 08ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận I Một số kiến thức liên quan không gian vectơ Euclide Không gian Euclide n chiều 1.1 Không gian vectơ: Xét tập V   mà phần tử ta qui ước gọi vectơ trường số thực ¡ Với x, y, z V k , l ¡ tập V gọi không gian vectơ trường ¡ thỏa mãn: (1) Nếu x, y V x  y V (2) x  y  y  x, x, y V (3) x   y  z    x y   z, x, y, z V (4) Tồn vectơ V saocho:  x  x   x, x V Phần tử gọi phần tử trung hòa phép + (5) Với v V tồn vectơ  x V cho: x   x    x   x  Phần tử x gọi phần tử đối xứng x (6) Nếu k ¡ x V k.x V (7) k  x y   kx  ky (8)  k l  x  kx  lx (9) k lx    kl  x (10) 1.x  x 1.2 Tích vơ hướng không gian vectơ Cho V không gian vectơ tùy ý Ánh xạ: T: V V  ¡ r ur r ur x, y a x, y    ¡   SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn Gọi tích vơ hướng thõa mãn bốn điều kiện sau: r ur ur r x, y  y, x i r ur r ur ii    ¡ :  x, y   x, y r ur r r ur r r ur rr iii  x, y, z V : x, y z  x, y  x, z iv  r rr x, x  Dấu “=” xảy  x  1.3 Không gian vectơ Euclide Không gian vectơ V xác định tích vơ hướng gọi khơng gian vectơ Euclide Kí hiệu: V E   dim V   n  dim V E  n gọi không gian vectơ Euclide n- chiều 1.4 Không gian Affine Cho V không gian vectơ trường K, A   Các phần tử A gọi điểm Kí hiệu: M, N, X, P… Giả sử cặp điểm có thứ tự  M , N   A  A ta đặt tương ứng với vectơ v V Kí hiệu:   : A A  V  M ,N  a uuuur v  MN  A,V ,  gọi không gian affine thỏa hai điều kiện: i  M  A v V , ! N  A :   M , N   v ii  Với ba điểm M , N , P  A thì:   M , N     N , P     M , P  V gọi không gian A * Các tính chất khơng gian affine:  A,V ,  không gian affine uuuur r a M  A MM  V Chứng minh: Thật vậy, với M , M , P  A theo tiên đề ii  ta có: SVTH: Hồ Thị Sơ Ni – Lớp: 08ST Trang Khóa luận tốt nghiệp uuuur r uuuur uuur uuur MM  MP  MP  MM  uuuur r b Nếu MN  M  N GVHD: Đinh Thị Văn Chứng minh: uuuur r Giả sử M  N mà MN  uuuur r Theo a MM  uuuur uuuur r  MM  MN  (trái với tiên đề i  ) M  N uuuur uuuuur c MN  NM ,M , N  A Chứng minh: uuuur uuuur uuuur r uuuur uuuur Theo tiên đề ii  ta có: MN  NM  MM   MN   NM uuuur uuur uuur uuur d Nếu MN  PQ MP  NQ   M , N     P,Q   M , P    N ,Q Chứng minh: uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur MN  PQ  MN  NP  NP  PQ  MP  NQ e Với ba điểm O, M , N  A ta có: uuuur uuur uuuur MN  ON  OM   M , N  O, N  O,M  Chứng minh: uuuur uuuur uuur Ta có: MN  MO  ON ( tiên đề ii  ) uuuur uuur uuuur  MN  ON  OM 1.5 Không gian Euclide Không gian affine liên kết với không gian vectơ Euclide gọi khơng gian Euclide Kí hiệu: E  : E  E  V E thỏa mãn hai điều kiện: r r i  M  E, v V E , ! N  E :   M , N   v ii  Bất kì ba điểm M , N , P  E ,   M , N     N , P     M , P  SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn   dim V E  n  dim  E   n Ta gọi E không gian Euclide n- chiều Kí hiệu: E n Ví dụ: * Mặt phẳng khơng gian Euclide chiều Kí hiệu: E * Không gian ba chiều OXYZ không gian Euclide ba chiều Kí hiệu: E3 , với tích vơ hướng: a.b  a b cos  a,b rr r r  * ¡ n   x1, x2 , x3, , xn  / xi¡   rr   r ur x  x1, x2, x3, , xn , y  y1, y2, y3, , yn  r ur n x y   xi yi không gian vectơ Euclide n- chiều i 1 E n không gian Euclide liên kết với không gian ¡ n  :¡ n ¡ n  ¡ n r ur ur r x, y a yx     - Khơng gian E n có tính chất khơng gian An 1.6 Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn VE a Hệ vectơ trực giao: Cho n vectơ tùy ý khác VE S  e1, e2 , , en  S gọi hệ vectơ trực giao ur uur uur vectơ hệ đơi vng góc với ur ur uur ei e j  i  j, i, j  1,n, ei  b Hệ vectơ trực chuẩn: Hệ vectơ trực giao mà vectơ vectơ đơn vị gọi hệ vectơ trực chuẩn SVTH: Hồ Thị Sơ Ni – Lớp: 08ST Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn 2 3   C    1          Qua phép biến đổi ma trận A (S) trở thành ma trận chéo 0 0  t C AC  0 12  0 18 (5) đưa về: 12x '2  18x '2  26x '  72  12 X  18 X  X Vậy (S) mặt trụ Parabôlôit Eliptic  x12  5x22  x32  2x1x2  2x2 x3  6x1x3  2x1  6x2  2x3  (6) Bài giải: 1 3 Ma trận A  1 1 3 1 1 Phương trình đặc trưng: A I  5  1 3 7 360    2;   3;   * X Y Z 10 ur ur 1   , ,   g  3  r r   , ,   h 1  5 5 * 2   g   * 3   h   SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 45 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn Vậy ta sở trực chuẩn  e, g,h r ur r Công thức đổi từ mục tiêu  0,e1,e2,e3  sang mục tiêu  0,e, g,h là: uur uur uur r ur r Dùng phép biến đổi trực giao: x  Cx'     C       5     3 Qua phép biến đổi ma trận A (S) trở thành ma trận chéo 2 0 t C AC   0  0 6 (6) đưa về:    24 x1' 1    36 x2' 2    72 x3'   1 24 36 72 X  X  X 0 11 11 11 Vậy (S) mặt Hypebôlôit tầng  x x  x x  x x  p  x1 x2  x3   q  (7) 12 13 Bài giải:  0  Ma trận A   2 1  2 2 1 2  1 2  0  SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn  2  Phương trình đặc trưng: A I  2 0   1     1       2 1    1;    ;    2 r r  1  , ,   e 1  3 3 * 1   e   *     g   2 ur ur 1  , ,0   g    r   1 , ,   h  6  6 r ur r Vậy ta sở trực chuẩn e, g,h r * 3    h     Công thức đổi từ mục tiêu  0,e1,e2,e3  sang mục tiêu  0,e, g,h là: uur uur uur r ur r Dùng phép biến đổi trực giao: x  Cx'     C    3          6 Qua phép biến đổi ma trận A (S) trở thành ma trận chéo   0 1   t  C AC   0    1 0    2 (7) đưa về: SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 47 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn ' '2 '2 px1 '2 x  x  x   q  (7’) 2 3 + Nếu p  q  phương trình (7’) trở nên: 1 x '2  x '2  x '2  2 Khi đó, (S) mặt nón trịn xoay + Nếu p  0, q  phương trình (S) là: x1'2 x2'2 x3'2    1 q 2q 2q Đây mặt Hypebơlơit trịn xoay tầng hay tầng tùy theo q hay q0 + Nếu ta đặt: x " x '  p 1 x2"  x2' x3"  x3' Khi (S) có phương trình mục tiêu trực chuẩn là: 1 4q 3 p2 x "2  x "2  x "2  0 2 Ta (S) mặt nón Hypebơlơit tầng Hypebôlôit hai tầng  Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn, tìm mặt bậc hai (S) cho giao (S) với ba mặt phẳng tọa độ x  0; y  0; z  ba đường  hyperbol sau đây:  yz       a2 b2 c2        , x0 ;  xz  , y 0 ;  xy  , z 0 a,b,c 2           ba số dương cho trước Khi a  b  c  viết phương trình tắc mặt (S) SVTH: Hồ Thị Sơ Ni – Lớp: 08ST Trang 48 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn Bài giải: Mặt (S) có phương trình dạng: Ayz  Bxz  Cxy  Dx2  Ey  Fz   x   y   z  G  Với A, B, C, G khác Với x=0 ta phương trình hai ẩn: Ayz  Ey  Fz   y   z  G  Tương đương với phương trình hai ẩn: yz  Suy E  F      0; a2 G a2  A Tương tự ta xét với y  z  ta D  0;  0; Do A  2 G b2 G c2  ;  B C G G G , B  2 , C  2 , D  E  F        a2 b2 c2 Thay vào phương trình (S) ta được: yz xz xy     a b2 c 2 Với a  b  c  (S): yz  xz  xy   Ta có K4  2  0, I3   0, A I  3  3   có nghiệm 1  2,     1 Do (S) có phương trình thu gọn: X  Y  Z 1  Đây phương trình tắc Hypebơlơit hai tầng trịn xoay Dựa vào bất biến để nhận dạng siêu mặt bậc hai 2.1 Nhận dạng đường bậc hai sau E dựa vào bất biến:  x2  xy  16 y2  230 x  110 y  475  Bài giải: SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 49 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn 475 115 55 K  115  330625 55 16 (S) không suy biến I   140 2 16 I   16  25, I K 0 nên (S) Elip thực 1   25  140     25 65 25 65 ;  2 (S) có phương trình dạng: 25 65 '2 25 65 '2 330625 x  y  0 2 140  x'2 y'2  1 a b2  3x2  xy  y  5x  y   Bài giải: 5  2 0 2 2  K  (S) suy biến   25 0 I  2  (S) cặp đường thẳng thực cắt có phương trình dạng: 1 26 '2 1 26 '2 x  y 0 2 SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 50 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn  x2 12 xy  y  20 x  30 y  Bài giải: 10 15 K  10 6  15 6 (S) suy biến 6 I  0 6 10 15 K    3250 10 15 I    13 Nên (S) hai đường thẳng song song  13     13 (S) có phương trình dạng: 13x'2  325 0 13  12 xy  y 12 x  22 y 19  Bài giải: 19 6 11 K  6  1296  11 (S) không suy biến I   36  I1055 Nên (S) Hyperbol   5  36     9;   4 (S) có phương trình dạng: SVTH: Hồ Thị Sơ Ni – Lớp: 08ST Trang 51 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn x'2  y'2  36  x'2 y'2  1  x2  xy  y2  3x  y   Bài giải: 7 2 2   2  K  2 25 0 (S) không suy biến 2 I  0 2 I  1  Nên(S) Parabol   5     Nên (S) có phương trình dạng: y'2  0  Trong hệ tọa độ trực chuẩn E cho đường bậc hai (S) có phương trình:   f x1, x2  3x  2x x  x  6x   12 a Chứng tỏ (S) đường Elip b Viết phương trình Elip đường Elip có trục đối xứng với (S), có bán trục gấp đơi bán trục Elip cho Bài giải: SVTH: Hồ Thị Sơ Ni – Lớp: 08ST Trang 52 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn 9 3 1 K  3 1  27; I  4; I   3 1 1 Phương trình:   4   có hai nghiệm thực dương (S) có phương trình: 27  x '2   x '2  11 2  ,  dương nên (S) đường Elip b Để thỏa mãn điều kiện đầu ta cần chọn a0 cho a0 3 K  27.4  3 1  1 a0 3 3  2a    27  0 1 99 a  (S) có phương trình: 99 3x  2x x  x  6x   12 2 2.2 Nhận dạng mặt bậc hai sau bất biến  x2  y2  5z  xy  x  y  z   Bài giải: 1 2 2 1 K   12  2 2 0 5 (S) không suy biến SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 53 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn 2 I     1; I     17; 2 5 5 I   15  0 5 Ta có: I2 0; K4 0 Nên (S) Hypebơlơit hai tầng Phương trình đặc trưng: 3   17  15     1;   3;   5 (S) có phương trình: x'2  y'2  5z'2    x2  y2  3z  xy  yz  2xz  4x  y  z   Bài giải: 2 2 K  1 1  125  1 (S) không suy biến 2 2 I     7; I     10; 2 3 2 I3  2 0 1 Ta có: I3  0; K4 0 Nên (S) Parabơlơit Eliptic Phương trình đặc trưng: 3  7  10     2;   5;   (S) có phương trình: SVTH: Hồ Thị Sơ Ni – Lớp: 08ST Trang 54 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn 25 ' z  2 x'2  y'2   x2  y  z  2xy  yz  xz  x  y  z   Bài giải: 1 1 K  1 3 1  68  1 (S) không suy biến I     7; I  0; I   36  0 5 Ta có: I2  0, K4 0 Nên (S) Hypebôlôit tầng Phương trình đặc trưng: 3  7  36     2;   6;   3 (S) có phương trình: 2 x'2  y'2  3z'2   x2  y  z  xy  yz  x  z  Bài giải: 2 1 K  1 2 0 (S) suy biến 1 I     5; I  6; I  1 1  SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 55 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn 0 2 0 K  2 1  2  1  24 1 2 2 Ta có: I3  0; I2 0; I1K3 0 Nên (S) mặt trụ Eliptic Phương trình đặc trưng: 3  5  6     2;   3;   (S) có phương trình: 2x'2  y'2   x'2  y'2   Trong E3 cho mặt bậc hai S có phương trình theo tọa độ trực chuẩn x2  y  z  2axy  2axz  2ayz  a Chứng tỏ (S) mặt tròn xoay với giá trị a  Nêu rõ tên mặt tròn xoay theo giá trị a b Với giá trị a (S) mặt Elipxoit tròn xoay Bài giải: a  nghiệm phương trình:     3  1a2   3a2  2a3 1    1 a     a  21 a a2  0   Có nghiệm 1  2   a; 3   2a K  2a3  3a2 1 + Với a  (S) có phương trình: x2  y  z  (S) mặt cầu SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 56 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn + Với a  (S) có phương trình:  x y  z 2  (S) cặp mặt phẳng song song + Với a   , K   (S) có phương trình: 3 X  Y 1 2 (S) mặt trụ tròn xoay + Với a  0,1, (S) có phương trình: 1a X  1aY  12a  Z 1  (S) mặt cầu a1 1 a   b (S) Elipxoit      a1 1 2a a SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 57 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn PHẦN III: KẾT LUẬN Trong suốt thời gian tìm hiểu nghiên cứu làm đề tài hướng dẫn nhiệt tình giáo Đinh Thị Văn, đề tài hoàn thành theo thời gian quy định đạt số yêu cầu sau: Về hình thức trình bày khóa luận: tương đối rõ ràng, bố cục đầy đủ Về nội dung khóa luận: nghiên cứu phần nhỏ mơn hình học cao cấp “ Phương trình siêu mặt bậc hai khơng gian Euclide n chiều”, đưa tương đối đầy đủ định nghĩa, tính chất,… dạng tập liên quan Với kiến thức có hạn thời gian cịn hạn chế, đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót sai lầm Do vậy, mong ủng hộ đóng góp ý kiến thầy cô bạn để đề tài hồn thiện SVTH: Hồ Thị Sơ Ni – Lớp: 08ST Trang 58 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Hà Trầm, “ BT Hình Học Affine Hình Học Euclide” , NXB Đại Học Sư Phạm Nguyễn Duy Bình, Phạm Ngọc Bội, “ BT Hình học Affine hình học Euclide “ , NXB Giáo Dục Nguyễn Mộng Hy (2002), “ BT Hình học cao cấp” , NXB Giáo Dục Nguyễn Mộng Hy (2002), “ Hình học cao cấp” , NXB Giáo Dục Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đơ, “ Hình học Affine hình học Euclide ví dụ tập” , NXB Đại Học Sư Phạm Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Nguyễn Đình Trí ( chủ biên), “ Tốn Học Cao Cấp T1” , NXB Giáo Dục Văn Như Cương- Kiều Huy Luân, “ Hình Học Cao Cấp 1,2,3”, NXB Giáo Dục Võ Thế Hào, Phạm Kế Viêm, “ Tốn Hình Học” , NXB Trường Thi SVTH: Hồ Thị Sô Ni – Lớp: 08ST Trang 59 ... chất: Mỗi siêu mặt bậc hai khơng gian Euclide có phương trình tắc Hai phương trình tắc siêu mặt bậc hai không gian Euclide giống Phương siêu mặt bậc hai E n 3.1 Định nghĩa: Trong không gian Euclide. .. mặt bậc hai Euclide dựa vào bất bi? ?n hàm đa thức bậc hai Lập phương trình thu g? ?n nh? ?n dạng đường bậc hai dựa vào bất bi? ?n Trong không gian Euclide E siêu mặt bậc hai gọi đường bậc hai có phương. .. trị riêng, vec tơ riêng, dạng to? ?n phương: II Giới thiệu chung siêu mặt bậc hai En Định nghĩa siêu mặt bậc hai: Phương trình tắc, phương trình chu? ?n tắc siêu mặt bậc hai 2.1