Siêu mặt bậc hai trong không gian euclid

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** HOÀNG THỊ TUYẾT LAN SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** HOÀNG THỊ TUYẾT LAN SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI – 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Tuyết Lan LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hoàng Thị Tuyết Lan Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclid 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Mục tiêu trực chuẩn 1.2 Sự trực giao phẳng không gian Euclid 1.3 Các công thức khoảng cách 1.3.1 Khoảng cách hai điểm 1.3.2 Khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng 1.4 Ánh xạ đẳng cự biến đổi đẳng cự 1.4.1 Ánh xạ đẳng cự không gian Euclid 1.4.2 Biến đổi đẳng cự 1.4.3 Phương trình dạng tắc phép biến đổi đẳng cự Siêu mặt bậc hai không gian Euclid 2.1 10 Phương trình dạng tắc siêu mặt bậc hai 10 2.1.1 Định nghĩa 10 2.1.2 Định lý 11 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.1.3 14 2.2 Gọi tên số siêu mặt bậc hai En 16 2.3 Phương siêu phẳng kính 18 2.3.1 Các định nghĩa 18 2.3.2 Siêu phẳng kính E2 19 Siêu cầu siêu phẳng đẳng phương 20 2.4.1 Siêu cầu 20 2.4.2 Miền miền siêu cầu 21 2.4.3 Siêu cầu tổng quát 22 2.4.4 Phương tích điểm siêu cầu tổng 2.4 Ví dụ Hoàng Thị Tuyết Lan quát 23 2.4.5 Siêu phẳng đẳng phương siêu cầu 24 2.4.6 Góc hai siêu cầu 25 2.4.7 Giao siêu cầu với siêu phẳng 26 2.5 Phân loại Euclid siêu mặt bậc hai En 27 2.6 Bất biến 28 2.6.1 Bất biến hàm đa thức bậc hai 28 2.6.2 Nghiên cứu mặt bậc hai nhờ bất biến 30 2.6.3 Phân loại mặt bậc hai bất biến 33 Bài tập 35 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 2.7 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Lời mở đầu 1, Lý chọn đề tài Hình học afin hình học euclid môn học chuyên ngành cho sinh viên chuyên ngành Toán học trường Đại học Sư phạm Môn học cung cấp cho nhìn tổng quan hình học mối quan hệ chúng Và đối tượng cụ thể hình học Euclid siêu mặt bậc hai tính chất định lý liên thuộc Nghiên cứu tìm hiểu siêu mặt bậc hai giúp có thêm kiến thức sâu sắc hơn, nhìn tổng quát phương pháp tọa độ, tính chất thú vị mặt bậc hai, cách chứng minh hình học sáng tạo có mối quan hệ chặt chẽ với kiến thức hình học PTTH, giúp ta nhận dạng giải nhanh toán ba đường cônic, mặt cầu, hình nón, hình trụ Với niềm đam mê toán học đặc biệt niềm yêu thích môn hình học mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu sâu vấn đề liên quan đến hình học Dưới hướng dẫn thầy Nguyễn Năng Tâm phần làm điều Trong khuôn khổ khóa luận thời gian nghiên cứu nên tập chung vào nghiên cứu đề tài “Siêu mặt bậc hai không gian Euclid” 2, Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu siêu mặt bậc hai không gian Euclid với tính chất định lý liên thuộc 3, Đối tượng nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Siêu mặt bậc hai không gian Euclid En 4, Mức độ phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan siêu mặt bậc hai không gian Euclid 5, Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu định nghĩa, định lý, tính chất siêu mặt bậc hai không gian Euclid - Tìm hiểu phương chính, siêu phẳng kính chính, siêu cầu siêu phẳng đẳng phương - Bất biến hàm đa thức bậc hai - Cách giải số toán chọn lọc liên quan đến siêu mặt bậc hai 6, Phương pháp nghiên cứu Để thực khóa luận tồi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau đây: -Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá -Nghiên cứu sách giáo trình, sách tham khảo tài liệu liến quan đến vấn đề Quá trình làm khóa luận sử dụng nhiều phương pháp nghiên cứu chủ yếu phương pháp tổng hợp kiến thức từ tài liệu lấy làm tài liệu tham khảo 7, Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Siêu mặt bậc hai không gian Euclid Chương Kiến thức chuẩn bị Chương đề cập đến số kiến thức không gian Euclid để bị cho chương sau, kiến thức tham khảo [1],[2] 1.1 1.1.1 Không gian Euclid Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một không gian affine gọi không gian Euclid không gian vector liên kết không gian vector Euclid Không gian Euclid gọi n chiều không gian vector Euclid liên kết với có chiều n Như thuật ngữ không gian Euclid để không gian affine với không gian vector với tích vô hướng Chúng ta dùng ký hiệu E để không gian Euclid E để không gian − → Đôi lúc để nhấn mạnh số chiều ta dùng ký hiệu En En Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 Hoàng Thị Tuyết Lan Mục tiêu trực chuẩn Định nghĩa 1.2 Cho En không gian Euclid n-chiều Một mục tiêu affine En gọi mục tiêu trực chuẩn sở tương ứng − → sở trực chuẩn En Tọa độ điểm M ∈ En mục tiêu trực chuẩn gọi tọa độ trực chuẩn 1.2 Sự trực giao phẳng không gian Euclid Định nghĩa 1.3 Hai phẳng α β không gian Euclid E gọi trực giao (hay vuông góc) với nhau, kí hiệu α ⊥ β, phương chúng không gian vector trực giao E Nếu phương α, β bù trực giao E, ta nói α β bù trực giao hay α bù trực giao với β hay β bù trực giao với α Ví dụ 1.2.1 Hai đường thẳng vuông góc hai đường thẳng trực giao với Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hai phẳng bù trực giao Định lý 1.1 Trong không gian Euclid E, Hai phẳng trực giao có không điểm chung Hai phẳng bù trực giao có điểm chung Định lý 1.2 Nếu α trực giao với β γ bù trực giao với β α γ hai phẳng song song Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Đa thức đặc trưng A là: 1−λ 1−λ 2 4−λ = λ2 (6 − λ) Vậy A có hai giá trị riêng λ1 = 0, λ2 = Ứng với giá trị riêng λ1 = ta có hệ phương trình:     x1 + x2 + 2x3 =    ⇔ x1 = −x2 − 2x3 x1 + x2 + 2x3 =      2x1 + 2x2 + 4x3 = − − Chọn hai vectơ riêng trực giao → u1 = (1, −1, 0) → u2 = (1, 1, −1) − Tương tự với λ = ta có vectơ riêng → u = (1, 1, 2) − − − Chuẩn hóa ba vectơ → u1 , → u2 , → u3 ta được: → − − − −1 −1 ω1 = ( √12 , √ , 0), → ω2 = ( √13 , √13 , √ ), → ω3 = ( √16 , √16 , √26 ) − − − Vậy ta có sở trực chuẩn {→ ω1 , → ω2 , → ω3 } mà ma trận chuyển sở là:    C=  √1 −1 √ 36 √1 √1 −1 √ √1 √1 √      Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan phép biến đổi tọa độ tương ứng là:     x1 = √12 y1 + √13 y2 +    −1 √ √1 y2 + y + x = 2      −1 x3 = √ y + √26 y3 √1 y3 √1 y3 ma trận A trở nên ma trận chéoC t AC có dạng chéo:   0     t C AC =  0    0 Vậy phương trình S mục tiêu là: −1 6y32 − 6( √ y + ⇔ ⇔ √2 y3 ) + = 6 12 6y3 + √3 y2 − √6 y3 + = 6(y3 − √16 )2 + √63 y2 = Đặt:     z1 = y1    z2 = y2      z3 = y3 − √1 Vậy phương trình tắc (S) là: 6z32 + √6 z2 = Đây trụ parabolic − − − Mục tiêu trực chuẩn tương ứng {I; → ω1 , → ω2 , → ω3 }, với −→ − − − − ω3 = 16 (→ e1 + → e2 + 2→ e3 )); I( 6,1 , 6,1 , 6,2 ) (do OI = √16 → − − − − − − − − − − → − ω1 = √12 (→ e1 − → e2 ), → ω2 = √13 (→ e1 + → e2 − → e3 ), → ω3 = √16 (→ e1 + → e2 + 2→ e3 ) − Bài tập 2.2 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn {O; → ei } cho mặt bậc 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan hai (S) x21 + 2x22 + 2x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 6x1 − 10x2 − 2x3 − = Hãy xác định phương trình tắc S Tìm phương siêu phẳng kính S Lời giải Ma trận A (S) mục tiêu cho là:   1     A=1 0   Đa thức đặc trưng A là: 1−λ 1 2−λ 2−λ = −λ(λ − 2)(λ − 3) Vậy A có hai giá trị riêng λ1 = 0, λ2 = λ3 = Ứng với giá trị riêng λ1 = ta có hệ phương trình:      x1 + x2 + x3 =     x1 = −2x2 ⇔ x1 + 2x2 =    x3 = x2    x1 + 2x3 = − Ta lấy vectơ riêng → u1 = (2, −1, −1) − Tương tự với λ2 = ta có vectơ riêng → u2 = (0, 1, −1) Với λ3 = − u = (1, 1, 1) ta có vectơ riêng → 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan − − − Chuẩn hóa ba vectơ → u1 , → u2 , → u3 ta được: − − → − −1 √ −1 , −16 ), → ω2 = (0, √12 , √ ), → ω3 = ( √13 , √13 , √13 ) ω1 = ( √26 , √ − − − Vậy ta có sở trực chuẩn {→ ω1 , → ω2 , → ω3 } mà ma trận chuyển sở là:    C=  √2 −1 √ −1 √ √1 −1 √ √1 √ √1 phép biến đổi tọa độ tương ứng là:     x1 = √26 y1 + √13 y3    −1 x2 = √ y1 + √12 y2 +      −1 −1 x3 = √ y +√ y + 2      √1 y3 √1 y3 ma trận A trở nên ma trận chéoC t AC có dạng chéo:   0     t C AC =     0 Vậy phương trình S mục tiêu là: 2y22 + 3y32 − 6( √26 y1 + √1 y2 √1 y3 ) −1 − 10( √ y + √1 y3 ) − 2y2 + 3y32 + 7=0 √ √ ⇔ − 2y2 − 3y3 − = √ √ ⇔ 2(y2 − 2)2 + 3(y3 − 3)2 − 20 = 39 √1 y2 + √1 y3 ) −1 − 2( √ y − Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặt: Hoàng Thị Tuyết Lan     z1 = y1    √ z = y − 2    √   z3 = y3 − Vậy phương trình tắc (S) là: 2z22 + 3z32 − 20 = Đây trụ elliptic −c phương siêu mặt bậc hai (S) Giả sử → −c = ứng với giá trị riêng λ ma trận Khi vectơ riêng → A phương (S) − − − − Vậy ta có ba phương → c1 = → u1 = (2, −1, −1), → c2 = → u2 = − − (0, 1, −1) → c =→ u = (1, 1, 1) 3 − Với λ2 = = ⇒ phương → c2 không phương tiệm cận Khi − siêu phẳng kính (S) liên hợp với phương → c có dạng: ct Ax + ct a =      1 x −3           ⇔ (0, 1, −1)    x2  + (0, 1, −1)  −5  =      x3 −1 ⇔ x2 − x3 − = − Với λ3 = = ⇒ phương → c3 không phương tiệm cận Khi − siêu phẳng kính (S) liên hợp với phương → c có dạng: ct Ax + ct a = 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan      x −3 1           ⇔ (1, 1, 1)    x2  + (1, 1, 1)  −5  =      −1 x3 ⇔ x1 + x2 + x3 − = Bài tập 2.3 Dùng bất biến, tìm phương trình tắc mặt bậc hai E3 2x2 + 2y + 3z + 4xy + 2yz + 2xz − 4x + 6y − 2z + = Lời giải Trước hết ta có bán bất biến: K4 = −2 −1 −2 2 2 = −125 −1 1 Ta có bất biến: J1 = 2 2 + + = 10 J2 = 2 3 2 J3 = 2 = 1 Xét phương trình: λ3 − J1 λ2 + J2 λ − J3 = ⇔ λ3 − 7λ2 + 10λ = Vậy λ1 = 2λ2 = 5, λ3 = 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Vì K4 = 0, J3 = 0, J2 = nên phương trình (S) có dạng: λ1 x + λ2 y ± − 2x + 5y ± K4 z =0 J2 25 z = Đây paraboloid elliptic − Bài tập 2.4 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn {O; → ei } cho mặt cầu: S(I, r) : x21 + x22 + x23 + 6x1 − 4x3 + = mặt phẳng (α): 2x1 + x2 − 2x3 + = Hãy xác định tâm I bán kính r S(I, r) Xét tương giao S(I, r) (α) Lời giải Ta thấy phương trình (S) tương đương với phương trình dạng tắc: S(I, r) : (x1 + 3)2 + x22 + (x3 − 2)2 = Vậy mặt cầu (S) có tâm I(−3, 0, 2) bán kính r = Gọi H hình chiếu I lên (α), ta có: d(I, H) = |2.(−3) + 1.0 − 2.2 + 1| = Ta thấy d(I, H) > r nên H thuộc miền mặt cầu S(I, r) (α) điểm chung với (S) Vậy S(I, r) (α) không giao Bài tập 2.5 Viết phương trình siêu phẳng đẳng phương hai mặt 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan cầu E3 S : x21 + x22 + x23 − 6x1 + 4x2 + = 0; S : (x1 − 1)2 + (x2 + 2)2 + (x3 + 1)2 = Lời giải Ta thấy phương trình (S) tương đương với phương trình dạng tắc: S(I, r) : (x1 − 3)2 + (x2 + 2)2 + x23 = Vậy mặt cầu (S) có tâm I(3, −2, 0) bán kính r = 3, mặt cầu (S ) có tâm I (1, −2, −1) bán kính r = Giả sử (α) siêu phẳng đẳng phương hai mặt cầu.Với M (x1 , x2 , x3 ) ∈ (α), ta có: P(M, S) = P(M, S ) ⇔ d(I, M )2 − r2 = d(I , M )2 − r ⇔ (x1 − 3)2 + (x2 + 2)2 + x23 − = (x1 − 1)2 + (x2 + 2)2 + (x3 + 1)2 − ⇔ −4x1 − 2x3 + = − → Lại có II = (−2, 0, −1) vectơ pháp tuyến (α) Vậy siêu phẳng đẳng phương mặt cầu (α) : −4x1 −2x3 +7 = − Bài tập 2.6 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn {O; → ei } cho mặt cầu: (S) : (x1 + 2)2 + (x2 − 1)2 + (x3 + 1)2 = Chứng tỏ siêu phẳng (α) có phương trình 2x1 +2x2 −x3 +1 = siêu phẳng kính (S) tìm phương tương ứng Viết phương trình siêu phẳng (β) tiếp xúc với (S) song song với 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan (α) Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I(−2, 1, −1) bán kính r = Ta thấy tọa độ I thỏa mãn phương trình siêu phẳng (α) Vì (α) siêu phẳng qua tâm mặt cầu (S) nên (α) siêu phẳng kính (S) Và phương tương ứng vectơ pháp tuyến siêu phẳng (α) n = (2, 2, −1) Vì (β)//(α) nên n = (2, 2, −1) vectơ pháp tuyến (β) Lấy điểm M (1, 1, −1) ∈ (S) Khi siêu phẳng (β) qua M có vectơ phấp tuyến n có phương trình là: 2(x1 − 1) + 2(x2 − 1) − 1(x3 + 1) = ⇔ 2x1 + 2x2 − x3 − = Vậy siêu phẳng (β) tiếp xúc với (S) M song song với (α) có phương trình: 2x1 + 2x2 − x3 − = Bài tập 2.7 Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng: x − 13 y + z = = −1 tiếp xúc với mặt cầu: x2 + y + z − 2x − 4y − 6z − 67 = Lời giải Xét phương trình: x − 13 y + z = = −1 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ⇔ Hoàng Thị Tuyết Lan   x + y − 12 =  4y − z + = Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là: λ(x + y − 12) + µ(4y − z + 4) = (λ2 + µ2 = 0) ⇔ λx + (λ + 4µ)y − 12λ + 4µ − µz = Xét mặt cầu: x2 + y + z − 2x − 4y − 6z − 67 = ⇔ (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 81 Có tâm I(1, 2, 3), r = Vì (P ) mặt phẳng tiếp xúc với (S) nên: d(I, P ) = r |λ + 2λ + 8µ − 3µ − 12λ + 4µ| ⇔ =9 λ2 + λ2 + 8λµ + 16µ2 + µ2 ⇔ (µ − λ)2 = (2λ2 + 17µ2 + 8λµ) ⇔ µ2 − 2λµ + λ2 = 2λ2 + 17µ2 + 8λµ ⇔ λ2 + 16µ2 + 10λµ = Do (λ2 + µ2 = 0) +) Với λ = 2, µ = −1 phương trình mặt phẳng (α) có dạng: Chọn λ = ⇔ µ = −1 µ = − 2(x + y − 12) − (4y − z + 4) = ⇔ 2x − 2y + z − 28 = +) Với λ = 2, µ = − phương trình mặt phẳng (α) có dạng: 2(x + y − 12) − (4y − z + 4) = ⇔ 8x − 4y + z − 100 = Bài tập 2.8 Chứng minh mặt phẳng z = ax + by + c cắt paraboloid x2 + y = 2pz theo ellip hình chiếu ellip 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan mặt phẳng Oxy đường tròn Lời giải Nếu mặt phẳng cho cắt paraboloid x2 + y = 2pz giao tuyến có phương trình:   z = ax + by + c  x2 + y = 2pz ⇔   z = ax + by + c  x2 + y = 2p(ax + by + c) ⇔ x2 − 2pax + y − 2pby = 2pc ⇔ (x − pa)2 + (y − pb)2 = 2pc + p2 a2 + p2 b2 Để giao tuyến ellip 2pc + p2 a2 + p2 b2 > (*) Với điều kiện (*) phương trình phương trình mặt trụ tròn xoay có đường sinh trục Oz Nên chiếu xuống mặt phẳng Oxy ta hình chiếu ellip đường tròn suy điều phải chứng minh Bài tập 2.9 Trong E3 cho bốn mặt cầu có phương trình: (S1 ) : x2 + y + z = 9; (S2 ) : (x + 5)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 53; (S3 : (x + 1)2 + y + (z + 3)2 = 39 (S4 ) : x2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 10 Viết phương trình mặt cầu trực giao với bốn mặt cầu Lời giải Các mặt cầu (Si ) có tâm Ii , bán kính ri sau: A1 = (0, 0, 0), r1 = A2 = (−5, 1, −2), r22 = 53 A3 = (−1, 0, −3), r32 = 39 A4 = (0, −1, 2), r42 = 10 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan Gọi I = (a, b, c) tâm r bán kính mặt cầu (S) trực giao với bốn mặt cầu (S1 ), (S2 ), (S3 ), (S4 ) Vì (S) trực giao với (S1 ), (S2 ), (S3 ), (S4 ) nên ta có:    II12 = r12 + r2       II22 = r22 + r2    II32 = r32 + r2      II = r2 + r2 4 ⇔    a2 + b2 + c2 = + r2       (a + 5)2 + (b − 1)2 + (c + 2)2 = 53 + r2    (a + 1)2 + b2 + (c + 3)2 = 39 + r2      a2 + (b + 1)2 + (c − 2)2 = 10 + r2 Giải hệ phương trình ta tìm a = 1, b = 4, c = 3, r2 = 17 Vậy mặt cầu trực giao với bốn mặt cầu (S1 ), (S2 ), (S3 ), (S4 ) có phương trình là: (x − 1)2 + (y − 4)2 + (z − 3)2 = 17 Bài tập 2.10 Trong hệ tọa độ Oxy cho mặt (S) xác định phương trình x2 + y − z = Chứng minh M điểm nằm (S) đường thẳng OM nằm (S) Một mặt gọi mặt nón đỉnh O −−→ Lời giải Gọi M (xo , yo , zo ) ∈ S ⇒ OM (xo , yo , zo ) phương trình OM có dạng:     x = xo + xo t = xo (1 + t)    y = yo + yo t = yo (1 + t)      z = zo + zo t = zo (1 + t) Gọi N (x1 , y1 , z1 ) ∈ OM ⇒ N (xo (1 + t1 ), yo (1 + t1 ), zo (1 + t1 )) Thay tọa độ N vào (S) có: x2o (1 + t1 )2 + yo2 (1 + t1 )2 − zo2 (1 + t1 )2 = 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Tuyết Lan ⇔ (x2o + yo2 − zo2 )(1 + t1 )2 = Do M ∈ (S) ⇒ x2o + yo2 − zo2 = Vậy ∀N ∈ OM thuộc (S) ⇒ OM nằm (S) Chương em trình bày nội dung siêu mặt bậc hai không gian Euclid tập vận dụng 48 Kết luận Khóa luận trình bày tổng quan Siêu mặt bậc hai không gian Euclid, đề cập tới số vấn đề sau: - Phương trình dạng tắc siêu mặt bậc hai - Phương siêu phẳng kính siêu mặt bậc hai - Siêu cầu siêu phẳng đẳng phương - Nghiên cứu siêu mặt bậc hai nhờ bất biến - Một số tập vận dụng Qua khóa luận thân em lĩnh hội thêm cách sâu sắc tri thức môn hình học Afin hình học Euclid, việc nghiên cứu "Siêu mặt bậc hai không gian Euclid" góp phần làm sáng rõ kết quan trọng hình học Euclid, môn có tầm quan trọng Toán học Tuy nhiên, thời gian thực khóa luận kiến thức thân hạn chế nên không tránh khỏi sai sót, em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy, cô giáo, đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn em hoàn thiện khóa luận 49 Tài liệu tham khảo [1] Phạm khắc Ban Phạm Bình Đô, "Hình học Afin hình học Euclid" Nhà xuất Đại học Sư Phạm, 2008 [2] Văn Như Cương Tạ Mân, "Hình học Afin hình học Euclid" Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 1998 [3] Đoàn Thế Hiếu , "Hình học Afin Euclid" Trường Đại học Sư phạm Huế, 2010 [4] Hà Trầm, "Bài tập hình học Afin hình học Euclid" Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2008 50 ... 1.1.1 Không gian Euclid Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Một không gian affine gọi không gian Euclid không gian vector liên kết không gian vector Euclid Không gian Euclid gọi n chiều không gian vector Euclid. .. điều Trong khuôn khổ khóa luận thời gian nghiên cứu nên tập chung vào nghiên cứu đề tài Siêu mặt bậc hai không gian Euclid 2, Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu siêu mặt bậc hai không gian Euclid. .. Lan Siêu mặt bậc hai không gian Euclid En 4, Mức độ phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu tổng quan siêu mặt bậc hai không gian Euclid 5, Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu định nghĩa, định lý, tính chất siêu