Vấn đề cực trị hình học trong không gian Euclid E3_unprotected

Header Page of 133 B GIO DC V O TO TRNG I HC THNG LONG *** NGUYN VN HO VN CC TR HèNH HC TRONG KHễNG GIAN EUCLID E3 LUN VN THC S TON HC H Ni - Nm 2016 Footer Page of 133 Header Page of 133 B GIO DC V O TO TRNG I HC THNG LONG *** NGUYN VN HO C00257 VN CC TR HèNH HC TRONG KHễNG GIAN EUCLID E3 LUN VN THC S TON HC CHUYấN NGNH: Phng phỏp toỏn s cp M S: 60460113 NGI HNG DN KHOA HC: PGS.TS NGUYN DON TUN H Ni - Nm 2016 Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi v di s hng dn ca PGS.TS Nguyn Doón Tun Cỏc kt qu nờu lun l trung thc v mi tham kho iu c trớch dn v ghi gừ ngun gc Mi chộp khụng hp l, vi phm quy ch o to hay gian trỏ tụi xin chu hon ton trỏch nhim Tỏc gi Nguyn Vn Ho Footer Page of 133 Header Page of 133 LI CM N Trong sut thi gian theo hc trng i hc Thng Long H Ni v c bit l khong thi gian thc hin lun tt nghip, tụi ó nhn c s giỳp ht lũng v mt vt cht, tinh thn, kin thc v nhng kinh nghim quớ bỏu t gia ỡnh, thy cụ v bn bố Qua õy tụi xin gi li cm n chõn thnh n quớ Thy, Cụ trng i hc Thng Long H Ni, c bit l quớ Thy, cụ khoa Toỏn, nhng ngi ó ht lũng truyn t kin thc v nhng kinh nghim quớ bỏu sut thi gian chỳng tụi theo hc trng chỳng tụi cú th t lp c cụng vic sau ny, c bit l ngi thy kớnh mn PGS TS Nguyn Doón Tun - ngi ó tn tỡnh hng dn, ng viờn v giỳp tụi sut thi gian thc hin lun tt nghip, Cỏc anh ch hc viờn lp Cao hc khúa v cỏc bn ng nghip ó ng h, giỳp , chia s kin thc, kinh nghim v ti liu cho tụi quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun ny Tuy nhiờn, s hiu bit ca bn thõn v khuụn kh ca lun nờn bn thõn mi ch trỡnh by c mt phn no ú khụng trỏnh nhng thiu sút Kớnh mong nhn c ý kin úng gúp ca thy cụ v cỏc bn ng nghip bn lun c hon chnh hn H ni, ngy thỏng nm 2016 Hc viờn thc hin Nguyn Vn Ho Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 Mc lc Mc lc 0.1 iii Lý chn ti CC KIN THC CHUN B 1.1 CC NH Lí C BN TRONG TAM GIC 1.2 CC BT NG THC I S C BN 1.2.1 Bt ng thc c bn: MT S KIN THC V HèNH HC KHễNG GIAN 1.3.1 Tỡm giao tuyn ca hai mt phng 1.3.2 Tỡm thit din ca hỡnh a din (H) ct bi mt phng (P) 1.3.3 Phng phỏp chng minh hai ng thng vuụng gúc 1.3.4 Phng phỏp chng minh ng thng vuụng gúc vi mt 1.3 phng: Khong cỏch t mt im n mt mt phng TH TCH KHI CHểP, KHI TR, KHI CU 10 1.3.5 1.4 1.4.1 v Th tớch chúp: (Phng phỏp xỏc nh chiu cao ca chúp) 10 1.4.2 Th tớch hỡnh lng tr 11 1.4.3 Din tớch mt cu, th tớch cu bỏn kớnh R: 11 1.4.4 T s th tớch ca hỡnh chúp tam giỏc 11 PHN LOI BI TON CC TR 14 2.1 14 BN CHT HèNH HC CA CC BI TON CC TR iii Footer Page of 133 Header Page of 133 MC LC 2.2 CC TR KHONG CCH 22 2.3 MT S BI TON V CC TR CA DIN TCH THIT DIN 32 2.4 CC TR LIấN QUAN HèNH TR, HèNH NểN, HèNH CU 51 2.5 CC TR CA TH TCH KHI CHểP 56 2.6 CC TR LIấN QUAN N KHI CHểP V LNG TR 67 2.7 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING 79 2.7.1 Bt ng thc Ptụlờmờ m rng khụng gian 79 2.7.1.1 nh lý Ptụlờmờ 79 2.7.1.2 Bt ng thc Ptụlờmờ 82 2.7.1.3 Bt ng thc Ptụlờmờ m rng 83 Bt ng thc Erdăos m rng khụng gian 85 2.7.2.1 nh lý (Bt ng thc Erdăos) 85 2.7.2.2 Bt ng thc Erdăos m rng 87 2.8 BI TP NGH 89 2.9 KT LUN 90 2.7.2 Ti liu tham kho 91 iv Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 Gii thiu 0.1 Lí DO CHN TI Toỏn hc l mt mụn hc chim mt v trớ quan trng nh trng núi chung v Trng THPT núi riờng, Dy toỏn ch yu dy cho hc sinh phng phỏp suy lun lụgớc, Toỏn hc ch yu l hc v rốn luyn kh nng t logic Vic gii toỏn l mt cụng vic m giỏo viờn cn rốn luyn cho hc sinh nm vng tri thc phỏt trin t hỡnh thnh k nng, k xo Bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht, nh nht( hay cũn gi l bi toỏn cc tr) l cỏc bi toỏn i tỡm cỏi ln nht, nh nht, r nht, t nht, di nht, ngn nht t ú dn hỡnh thnh cho hc sinh thúi quen i tỡm mt gii phỏp ti u cho mt cụng vic no ú thc tin cuc sng sau ny Cỏc bi toỏn cc tr v bt ng thc hỡnh hc l cỏc bi toỏn tng i hay v khú, thng gp thc tin ging dy cp hc THPT v cuc sng Loi toỏn ny rt phong phỳ v a dng ũi hi suy lun mt cỏch hp lý nhiu c ỏo v bt ng, ú hc sinh gp loi bi toỏn ny thng cú tõm lý s, e ngi Hn na hin ó cú mt lng ỏng k ti liu v cỏc cc tr hỡnh hc, nhiờn ti liu cũn nm ri rỏc Mt khỏc theo tụi c bit ti liu v phõn loi Vn cc tr hỡnh hc khụng gian Euclid E3 cha cú nhiu m giỏo viờn cng gp khú khn hp v tuyn chn nhng bi toỏn dng ú T nhng lớ trờn tụi ó chn ti lun " Vn cc tr hỡnh hc khụng gian Euclid E3 " vi mong mun cú mt ti liu h thng v toỏn cc tr lm ti liu ging dy cho hc sinh trng THPT Footer Page of 133 Header Page of 133 Lun c hỡnh thnh nh s giỳp ca cỏc thy cụ, anh ch ng nghip, cỏc thy cụ thuc t toỏn ca Trng i Hc Thng Long - H Ni v c bit Tụi xin chõn thnh cm n PGS TS Nguyn Doón Tun ó hng dn tn tỡnh, sỏt v cho nhng nhn xột quý bỏu v ni dung ca lun 0.2 Tờn ti VN CC TR HèNH HC TRONG KHễNG GIAN EUCLID E3 0.3 B cc lun Lun c chia thnh chng chớnh, c th nh sau: Chng 1: Cỏc kin thc chun b Chng ny trung a kin thc cn s dng: nh cỏc nh lý tam giỏc v quan h gúc, cnh, chu vi, din tớch,cỏc kin thc c bn hỡnh hc khụng gian, cỏc cụng thc tớnh th tớch tr, cu, nún v din tớch thit din Cỏc bt ng thc Cauchy, cc tr hm s, cụng thc khong cỏch t mt im n mt phng, giao tuyn hai mt phng, chng minh ng thng vuụng gúc vi mt phng .ng thi i sõu nghiờn cu mt s bt ng thc ni ting v cỏc m rng ng dng ca chỳng Chng 2: Mt s bi toỏn v cc tr khong cỏch, thit din v th tớch, din tớch ca hỡnh chúp, lng tr khụng gian Chng ny i sõu vo cỏc bi toỏn cc tr hc hỡnh khụng gian, cỏc bi toỏn liờn quan n cc tr v khong cỏch, din tớch thit din, th tớch chúp, cu ng thi phỏt trin mt s kt qu cú hỡnh hc phng vo hỡnh hc khụng gian Footer Page of 133 Thang Long University Library Header Page of 133 CHNG CC KIN THC CHUN B 1.1 CC NH Lí C BN TRONG TAM GIC nh lý 1.1.1 nh lý hm s Sin: Trong tam giỏc ABC ta cú: a b c = = = 2R Si n A Si n B Si nC nh lý 1.1.2 nh lý hm s Cos: Trong tam giỏc ABC ta cú: a = b + c 2b cCos A b = a + c 2a cCos B c = b + a 2b a Cos C nh lý 1.1.3 Cỏc cụng thc tớnh din tớch tam giỏc ABC: 1 S = a ã h a = b ã hb = c ã h c 2 1 = b cSi n A = a cSi n B = a bSi nC 2 a +b +c = P ã r (Trong ú: P = : na chu vi, r: bỏn kớnh ng trũn ni tip) abc = 4R = P (P a ) (P b ) (P c ) Cụng thc Hờrụng Footer Page of 133 Header Page 10 of 133 CC NH Lí C BN TRONG TAM GIC nh lý 1.1.4 Cụng thc ng trung tuyn Trong tam giỏc ABC b2 + c2 a2 2 a +c b2 m b2 = 2 b +a c2 m c2 = m a2 = nh lý 1.1.5 Cụng thc tớnh din tớch hỡnh thang S =hã a +b : Chiu cao nhõn vi trung bỡnh cng ca tng hai cnh ỏy l din tớch ca hỡnh thang Cụng thc tớnh chu vi hỡnh thang: P = a + b + c + d : Bng tng di hai ỏy v hai cnh bờn nh lý 1.1.6 nh lý Pythagoras: Thun: Trong tam giỏc vuụng, bỡnh phng cnh huyn bng tng bỡnh phng hai cnh gúc vuụng: a = b + c o: Trong tam giỏc, nu bỡnh phng mt cnh bng tng bỡnh phng hai cnh cũn li thỡ tam giỏc ú vuụng nh lý 1.1.7 nh lý Thales Thun: Vi tam giỏc ABC, nu cú ng thng d song song vi BC v ct AB, AC ln lt ti im D,E thỡ: AD A E AD A E D B E C = , = , = A B AC D B E C A B AC o: Vi tam giỏc ABC, nu cú ng thng d ct AB, AC ln lt ti D, E v AD A E AD A E DB EC = hoc = y = thỡ D E //BC y d //BC A B AC DB EC AB AC H qu 1.1.8 Vi tam giỏc ABC, nu cú ng thng d song song vi BC, ct AB, AC ln lt ti im D,E thỡ AD A E D E = = A B AC BC Footer Page 10 of 133 Thang Long University Library Header Page 86 of 133 CC TR LIấN QUAN N KHI CHểP V LNG TR th thỡ ta cú: BB CC DD AA = = = AA1 B B C C DD1 AA t = x v S (A BC D) = S th thỡ S (A B C D ) = S AA1 Theo nh lý Thales ta cú: A M AM AA AQ A 1Q A A = = = x; = = = 1x AB A B AA1 AD A 1D A 1A Do ú ta c: S (A MQ) A M A Q = ã = x (1 x ) S (A B D ) A B A D S (A MQ) = x (1 x )S (A B D ) ; (1) Chng minh tng t, ta cú: S (B M N ) = x (1 x )S (B A C ) ; (2) S (C N P) = x (1 x )S (C B D ) ; (3) S (D PQ) = x (1 x )S (D C A ) ; (4) T (1); (2); (3) v (4) ta c: S (M N PQ) = S (A B C D ) S (A MQ) S (B M N ) S (C N P) S (D PQ) = S x (1 x ) S (A B D ) + S (B A C ) + S (C = S 2x (1 x )S = S 2x + 2x Vy S (M N PQ) t bng B D ) + S (C D A ) 1 =S +2 x 2 S S x = hay A l trung im ca AA cng tc l 2 mt phng () song song cỏch u hai ỏy ca lng tr t giỏc ó cho 78 Footer Page 86 of 133 Thang Long University Library Header Page 87 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING 2.7 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING 2.7.1 Bt ng thc Ptụlờmờ m rng khụng gian Claudias Ptolemaeus, ting Hy Lp klaudios Plolemaios hay gi n gin l Ptolemy, Ptolộmộe hay Ptụlờmờ (khong 100 178 A.D), l mt nh bỏc hc Hy Lp, hc v lm vic Alexandria nh lý Ptụlờmờ v bt ng thc Ptụlờmờ l mt nhng kt qu nghiờn cu ca ụng lnh vc toỏn hc 2.7.1.1 nh lý Ptụlờmờ nh lý: Trong t giỏc li ABCD ni tip ng trũn v ch tớch hai ng chộo bng tng cỏc tớch ca cỏc cp cnh i din, tc l: AC ã B D = A B ã C D + BC ã AD Li gii Ly im M thuc ng chộo BD cho: M C D = BC A Khi ú d thy A BC ng dng DM C Suy ra: CD CA = ;Su y r a C D.A B = C A.M D (1) MD AB Tng t: BC M ng dng ADC 79 Footer Page 87 of 133 Header Page 88 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING Hỡnh 2.37: , ú, ta cú: BC AC = B M AD Suy ra: BC AD = AC (2) Ly (1) + (2) theo v bt ng thc trờn ta c: C D.A B + BC AD = AC B M + AC M D = AC B D Bi toỏn: Cho tam giỏc ABC, cỏc ng phõn giỏc ca cỏc gúc A, B, C ct ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ti A , B ,C Chng minh rng: AA1 B B 1C C 16R r Chng minh p dng nh lý Ptụlờmờ cho t giỏc A B A 1C Ta cú: 80 Footer Page 88 of 133 Thang Long University Library Header Page 89 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING Hỡnh 2.38: AA1 ã BC = A BC A + AC B A y AA1 ã a = c ã C A + b ã B A Do AA l phõn giỏc gúc BAC nờn A l im chớnh gia cung BC, ú B A1 = C A1 Suy ra: AA ã a = (b + c ) ã B A Theo nh lý hm s Sin ta cú: B A = 2R ã sin Vy: AA = a b +c A ã 2R ã Si n a 81 Footer Page 89 of 133 Header Page 90 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING Tng t: a +c B ã 2R ã Si n b a +b C C C1 = ã 2R ã Si n c B B1 = ý rng: r = 4R ã Si n A B C ã Si n ã Si n 2 v (a + b ) (b + c ) (c + a ) 8a b c Suy ra: 8R ã (a + b ) (b + c ) (a + c ) A B C AA ã B B ã C C = ã Si n ã Si n Si n 16R ã r a ãb ãc 2 (pcm) 2.7.1.2 Bt ng thc Ptụlờmờ nh lý: (Bt ng thc Ptụlờmờ) Trong t giỏc li ABCD luụn cú: A B ã C D + AD ã BC AC ã B D Chng minh: Trong tam giỏc ABC ly im M cho: A B D = M BC ; AD B = M C B Rừ rng: B AD ng dng BMC ; AD BD = ; B D ã M C = AD ã C B MC C B 82 Footer Page 90 of 133 Thang Long University Library Header Page 91 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING Hỡnh 2.39: Tng t: A B M ng dng D BC A B ã DC = B D ã AM Kt hp cỏc bt ng thc trờn v s dng bt ng thc tam giỏc, ta cú: AD ã BC + A B ã C D = B D ã (AM + C M ) B D ã AC (pcm) 2.7.1.3 Bt ng thc Ptụlờmờ m rng nh lý 2.7.1 (Bt ng thc Ptụlờmờ m rng) Cho ABCD l t din bt kỡ, ta cú: AC ã B D + AD ã BC > A B ã C D Chng minh Trong mt phng ABCD ly im E cho B v E khỏc phớa vi CD v AC = C E ; AD = D E Ta cú: , AC D = E C D Suy AP = PE Vi P l giao im ca BE v CD p dng bt ng thc Ptụlờmờ cho t giỏc BCED, 83 Footer Page 91 of 133 Header Page 92 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING Hỡnh 2.40: Ta cú: B E ã C D BC ã D E + B D ã C E Mt khỏc: A B ã C D (AP + P B ) ã C D = B E C D Vy: A B ã C D B E ã C D C E ã B D + BC ã D E = AC ã B D + AD ã BC Du ca bt ng thc va chng minh khụng xy Bi toỏn 2.7.2 Trờn cnh CD ca t din ABCD ly im N Kớ hiu (X Y Z ) l chu vi ca tam giỏc XYZ Chng minh rng: N C ã (DA B ) + N D ã (C A B ) > C D ã (N A B ) Chng minh: Xột bt ng thc Ptụlờmờ cho b im (N, A, C, D) v (N, C, B, D) ta cú: N C ã DA + N D ã C A > C D ã N A NC ãDB +ND ãC B > CD ãN B Vỡ N thuc CD nờn N C ã A B + N D ã A B = C D ã A B Cng theo v BT trờn ta c iu phi chng minh 84 Footer Page 92 of 133 Thang Long University Library Header Page 93 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING 2.7.2 Bt ng thc Erdăos m rng khụng gian Paul Erdăos (1913 1996) l nh toỏn hc ngi Hunggary ễng c coi l nh toỏn hc xut sc nht th k XX vi hng trm cụng trỡnh nghiờn cu nhiu lnh vc khỏc ca toỏn hc Bt ng thc Erdăos l mt bt ng thc ni ting tam giỏc c Erdăos xut nm 1935 v li gii u tiờn a l ca nh toỏn hc ngi M Louis Mordell (1888 1972) 2.7.2.1 nh lý (Bt ng thc Erdăos) Cho tam giỏc ABC, im P nm tam giỏc Gi d ; d ; d l khong cỏch t P ti nh A; B; C Gi h ; h ; h l khong cỏch t P ti cnh BC; CA; AB Khi ú ta luụn cú bt ng thc: d + d + d (h + h + h ) Chng minh 1: õy l chng minh ln u c a bi nh toỏn hc Louis Mordell Li gii p dng nh lý hm s Sin v nh lý hm s Cos, ta cú: Hỡnh 2.41: 85 Footer Page 93 of 133 Header Page 94 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING d ã Si n A = EF = h 22 + h 23 2h h ã c os ( A) d ã Si n B = F D = h 21 + h 23 2h h ã c os ( B ) d ã Si nC = D E = h 22 + h 23 2h h ã c os ( C ) Mt khỏc ta cú: EF2 = h 22 + h 23 2h h ã c os ( A) = h 22 + h 23 2h h ã (cos B ã cosC sin B ã sinC ) ; (cos( A) = cos(B + C )) = (h sinC + h sin B )2 + (h ã cosC h cos B )2 (h sinC + h sin B )2 Suy ra: EF h ã Si nC + h ã Si n B Do ú: d1 h ã Si nC h ã Si n B + Si n A Si n A Tng t: h ã Si n A h ã Si n B + Si n B Si n B h ã Si n B h ã Si n A d3 + Si nC Si nC d2 Cng theo v bt ng thc trờn, ri ỏp dng bt ng thc Cauchy, ta c: d + d + d = h1 Si n B Si nC + Si nC Si n B + h2 Si n A Si nC + Si nC Si n A + h3 Si n A Si n B + Si n B Si n A (h + h + h ) ng thc xy v ch khi: Si n A = Si n B = Si nC v h = h = h iu ny cú ngha tam giỏc ABC u v P l tõm ca tam giỏc ABC Chng minh 2: (Ta cú th ỏp dng nh lý Ptụlờmờ chng minh bt ng thc Erdăos 86 Footer Page 94 of 133 Thang Long University Library Header Page 95 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING 2.7.2.2 Bt ng thc Erdăos m rng nh lý 2.7.3 (Bt ng thc Erdăos m rng) Cho t din ABCD, P tựy ý nm t din Gi d , d , d , d , ln lt l khong cỏch t P n cỏc nh A, B, C, D v h , h , h , h ln lt l khong cỏch t P n cỏc mt phng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC).Chng minh rng: d1 +d2 +d3 +d4 h 1h + h 1h + h 1h + h 2h + h 2h + h 3h Chng minh: Gi h a l di ng cao ca t din h t nh A xung ỏy BCD t S ,S ,S ,S ln lt l din tớch cỏc tam giỏc BCD, CDA, DAB, ABC; V1 , V2 , V3 , V4 , V ln lt l th tớch cỏc t din PBCD, PCDA, PDAB, PABC, ABCD Ta cú: d + h h a d 1S + h 1S h a S d 1S + 3V1 3V = (V1 + V2 + V3 + V4 ) d 1S (V2 + V3 + V4 ) = h 2S + h 3S + h 4S S3 S4 S2 d h2 ã + h3 ã + h4 ã S1 S2 S1 Tng t: S1 S3 S4 + h3 ã + h4 ã S2 S2 S2 S1 S2 S4 d h1 ã + h2 ã + h4 ã S3 S3 S3 S1 S2 S3 d h1 ã + h2 ã + h3 ã S4 S4 S4 d h1 ã Cng theo v bt ng thc trờn v s dng bt ng thc AM-GM, ta c: S1 S2 S1 S3 S3 S4 + h2 ã + h1 ã + h3 ã + + h ã + h ã S2 S1 S3 S1 S4 S3 h 1h + h 1h + h 2h + h 2h + h 3h d +d +d +d h ã h 1h + c bit húa im P v t din ABCD ta thu c cỏc kt qu sau: Nu P vi I l tõm mt cu ngoi tip t din (nu cú) thỡ ta cú: d + d + d + d 12r 87 Footer Page 95 of 133 Header Page 96 of 133 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING Nu ABCD l t din gn u thỡ: d + d + d + d 3h a Nu ABCD l t din u thỡ: d + d + d + d a Vi a l di cnh ca ABCD 88 Footer Page 96 of 133 Thang Long University Library Header Page 97 of 133 BI TP NGH 2.8 BI TP NGH Bi toỏn 2.8.1 Hai hỡnh vuụng ABCD v EFAB cú cnh a hai mt phng vuụng gúc vi a Tớnh di DE Chng t rng DE vuụng gúc AC v BF b ng thng song song vi AC v t D ct AB ti A, ng thng song song vi BF v t E ct AB ti B Chng minh rng AA=BB=a v AD=BE c Gi I l mt im trờn on AD v J l mt im trờn BE cho AI=BJ=x Tớnh IJ theo a v x; v tỡm giỏ tr nh nht ca IJ? Bi toỏn 2.8.2 Cho hỡnh t din S ABCD cú ABC l tam giỏc vuụng cõn ti A; AB = a, SA vuụng gúc vi (ABC) v SA = a M l mt im tựy ý trờn cnh AB, t AM = x (0 < x < a ) Gi ()l mt phng qua a v vuụng gúc vi AB a) Tỡm thit din ca () vi t din S.ABC b) Tớnh din tớch ca thit din ny theo a v x Tỡm x din tớch thit din cú giỏ tr nh nht Bi toỏn 2.8.3 Cho mt mt cu bỏn kớnh R, mt hỡnh nún ni tip mt cu cú chiu cao l x (0 < x < 2R) a) Tớnh th tớch V ca nún v din tớch xung quanh S ca hỡnh nún ó cho theo R v x b) Tỡm h thc liờn h gia V, S, R c lp i vi x c) Vi giỏ tr ca x thỡ V ln nht 89 Footer Page 97 of 133 Header Page 98 of 133 KT LUN 2.9 KT LUN Lun ó trỡnh by t c mt s kt qu sau: Lun phự hp vi vic dy hc THPT theo chuyờn Tớch hp cỏc n mụn i s v Hỡnh hc dng, gii quyt bi toỏn To t tin t hc t hiu qu cao cho ngi hc H thng kin thc v phõn loi bi Lun ó chn lc, gii thiu mt s thi hc sinh gii nc cú liờn quan n cc tr Hỡnh hc khụng gian Gii thiu hai bt ng thc cú nhiu ỏp dng cỏc thi hc sinh gii ú l bt ng thc Ptụlờmờ v bt ng thc Erdoăs Ni dung lun ó thc hin tt cỏc mc tiờu 90 Footer Page 98 of 133 Thang Long University Library Header Page 99 of 133 Ti liu tham kho A TING VIT [1] B giỏo dc v o to Hi toỏn hc Vit Nam, (2009), cỏc bi toỏn chn lc- 45 nm Tp Toỏn hc v tui tr, NXB Giỏo Dc [2] B giỏo dc v o to Hi toỏn hc Vit Nam, (2012 ), tuyn chn theo chuyờn toỏn hc v tui tr, Quyn VI, NXB Giỏo Dc [3] Lờ Quc Hỏn, ( 2007), T sỏch toỏn hc v tui tr, n sau nh lý Ptolờmờ, NXB Giỏo Dc [4] Nguyn Quang Sn,(2014), Chuyờn trng im hỡnh hc khụng gian, NXB i hc Quc Gia H Ni [5] Nguyn Vn Mu, (2006), Bt ng thc, nh lý v ỏp dng, NXB Giỏo Dc, H Ni [6] Trnh Khc Tuõn, (2015), Tuyn chn thi hc sinh gii THPT Mụn toỏn II B TING ANH [7] Nguyn Minh H ,Vol.86 (June 2002), Extending the Fermat Torri- celli Problem, The Mathematical Gazette 91 Footer Page 99 of 133 Header Page 100 of 133 CNG HềA X HI CH NGHA VIT NAM c lp T Hnh phỳc GIY XC NHN CHNH SA LUN VN THC S H v tờn tỏc gi lun vn: Nguyn Vn Ho ti lun vn: VN CC TR HèNH HC TRONG KHễNG GIAN EUCLID E3 Chuyờn ngnh: Toỏn v Thng Kờ Mó Hc viờn: C00257 C s o to: Trng i hc Thng Long Cn c vo biờn bn cuc hp Hi ng chm lun thc s ngy 07/06/2016 ti Trng i hc Thng Long v cỏc nhn xột, gúp ý c th ca cỏc thnh viờn hi ng, tỏc gi lun ó thc hin cỏc chnh sa sau: H ni, ngy 10 thỏng 07 nm 2016 Xỏc nhn ca giỏo viờn hng dn Tỏc gi lun Nguyn Vn Ho Xỏc nhn ca Ch tch Hi ng chm lun Footer Page 100 of 133 Thang Long University Library ... to hay gian trỏ tụi xin chu hon ton trỏch nhim Tỏc gi Nguyn Vn Ho Footer Page of 133 Header Page of 133 LI CM N Trong sut thi gian theo hc trng i hc Thng Long H Ni v c bit l khong thi gian thc... cc tr hỡnh hc khụng gian Euclid E3 cha cú nhiu m giỏo viờn cng gp khú khn hp v tuyn chn nhng bi toỏn dng ú T nhng lớ trờn tụi ó chn ti lun " Vn cc tr hỡnh hc khụng gian Euclid E3 " vi mong... N KHI CHểP V LNG TR 67 2.7 M RNG TRONG KHễNG GIAN CA MT S BT NG THC NI TING 79 2.7.1 Bt ng thc Ptụlờmờ m rng khụng gian 79 2.7.1.1 nh lý Ptụlờmờ