Toán cực trị hình học trong không gian

GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng toán cực trị trong hình học không gian Phần 1: Cơ sở lý thuyết 1. Trong không gian oxyz: Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc giả sử A(x 1 ,y 1 ,z 1 ), B(x 2 ,y 2 ,z 2 ) thì ),,( 121221 zzyyxxAB = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )AB x x y y z z= - + - + - uuur 2. Cho 2 vectơ: ),,( 111 zyxu = , ),,( 222 zyxv = * 1 2 2 1 2 1 zyxu ++= 2 2 2 2 2 2 zyxv ++= dấu đẳng thức p xảy ra khi và chỉ khi vu, cùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0 * u v u v+ + r r r r dấu = xảy ra khi và chỉ khi vu, cùng chiều hoặc 1 trong 2 vectơ bằng 0 *Điều kiện để hai véc tơ a r và b r cùng phơng là t R để a r =t b r *Điều kiện để ba véc tơ a r ; c r và b r không đồng phẵng là ; . 0a b c r r r *Điều kiện để ba véc tơ a r ; c r và b r đồng phẵng là ; . 0a b c = r r r * 1 2 1 2 1 2 . 0 0u v uv x x y y z z^ = + + = r r r r * Cho ABCV Thì AB+BC BC và AB BC AC dấu đẳng thức sãy ra khi ba điểm A;B;C thẳng hàng Phần II . Các dạng toán - phơng pháp chung và ví dụ minh hoạ 1 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá I .Dạng 1 Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c = = và hai điểm A và B Sao cho AB// .Hãy tìm trên điểm M sao cho : 1. MA+MB nhỏ nhất 2. MA MB+ uuur uuur nhỏ nhất 3. MA k MB+ uuur uuur ngắn nhất . A . B M Câu 1; Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c = = Và hai điểm A và B sao cho //AB hãy tìm trên điểm M Sao cho MA+MB nhỏ nhất 1. Ph ơng pháp chung Cách 1: I A B M M' 0 0 0 : x x y y z z a b c = = A' *chứng minh cho //AB *Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên . Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau : Gọi A là điểm đối xứng của A qua hiển nhiên 3 điểm A;M;B là thẳng hàng . Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên ta có ' ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B A B MA MB MA MB+ = + = + = + Cách 2: Gọi A là điểm đối xứng của A qua ,Gọi M là giao điểm của AB và Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên ta có ' ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B A B MA MB MA MB+ = + = + = + 2 . Ví dụ minh hoạ: cho : 1 1 1 2 1 x y z + = = Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên điểm M. sao cho :MA+MB nhỏ nhất Cách 1: Nhận xét đờng thẳng có vectơ chỉ phơng là ( 1,2,1)v = uur Và (2, 4, 2) //AB v = uuur uur Thay toạ độ A vào phơng trình đợc: 2 2 3 1 2 1 Vâỵ điểm A không thuộc nên AB// 2 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t = = = + Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên thì M=(1-t , 2t , t-1) (1) Vậy: (1 ,2 , 1)IM t t t= uuur Ta có: 1 . 0 1 4 1 0 3 v IM t t t t = + + = = uur uuur Thay 1 3 t = vào (1) ta đợc 2 2 2 , , 3 3 3 M = ữ Gọi A là điểm đối xứng với A qua vì AB// nên A,M, B thẳng hàng và MA=MB. Lấy điểm M tuỳ ý thuộc . Ta có: MA +MB=MA+MB AB= MA+ MB = MA+ MB Cách 2: Nhận xét đờng thẳng có vectơ chỉ phơng là ( 1,2,1)v = uur Và (2, 4, 2) //AB v = uuur uur Thay toạ độ A vào phơng trình đợc: 2 2 3 1 2 1 Vâỵ điểm A không thuộc nên AB// Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t = = = + Gọi H là hình chiếu của A trên Thì H=(1-t,2t,-1+t) (1) Vậy ( 2, 2 2, 2)AH t t t= + uuur Ta có 4 . 0 2 4 4 2 0 6 8 3 v AH t t t t t = + + = = = uur uuur Thay 4 3 t = vào (1) đợc toạ độ điểm 1 8 1 , , 3 3 3 H = ữ Gọi ( ) 1 1 1 ' , ,A x y z= là điểm đối xứng với A qua Ta có: 2 16 2 ' , , // (1, 8, 1) 3 3 3 A B v = = ữ uuuur r Vậy phơng trình đờng thẳng AB là: 8 6 0 8 6 1 2 1 2 8 8 8 6 1 8 1 x y x y x y z y z y z + = + = + + = = + = + = Vậy phơng trình tổng quát của là: 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y y z y z = + = = + = 3 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá Gọi M=(x,y,z) là giao điểm của AB và thì toạ độ M là nghiệm của hệ: 2 8 6 3 8 6 2 2 2 3 2 2 2 3 x x y y z y x y y z z = + = = = + = = = vậy 2 2 2 , , 3 3 3 M = ữ Nhận xét M là điểm cần tìm. thật vậy lấy điểm M tuỳ ý trên Ta có: MA+MB=MA+MB AB=MA+MB=MA+MB. Câu 2 : Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c = = và hai điểm A và B Sao cho AB// .Hãy tìm trên điểm M sao cho : MA MB+ uuur uuur nhỏ nhất 1.Ph ơng pháp chung Cách 1: A I B M M' 0 0 0 : x x y y z z a b c = = Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên Tìn toạ độ M và chứng minh M là điểm cần tìm nh sau .Gọi M' là điểm tuỳ ý trên ta có ' 'M A M B+ uuuuur uuuuur =2M'I 2MI = MA MB+ uuur uuur Cách 2: Lấy 0 0 0 ( ; ; )M x at y bt z ct+ + + tính độ dài của MA MB+ uuur uuur tù đó tim đợc giá trị nhỏ nhất 2.ví dụ ninh hoạ: cho : 1 1 1 2 1 x y z + = = Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên điểm M. sao cho : MA MB+ uuur uuur nhỏ nhất Cách 1: Nhận xét đờng thẳng có vectơ chỉ phơng là ( 1,2,1)v = uur Và (2, 4, 2) //AB v = uuur uur Thay toạ độ A vào phơng trình đợc: 2 2 3 1 2 1 Vâỵ điểm A không thuộc nên AB// 4 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t = = = + Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên thì M=(1-t , 2t , t-1) (1) Vậy: (1 ,2 , 1)IM t t t= uuur Ta có: 1 . 0 1 4 1 0 3 v IM t t t t = + + = = uur uuur Thay 1 3 t = vào (1) ta đợc 2 2 2 , , 3 3 3 M = ữ Ta chứng minh điểm M cần tìm: Thật vậy. Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc Ta có: ' ' 2 ' 2 ' 2M A M B M I M I MI MA MB+ = = = + uuuuur uuuuur uuuur uuur uuur Cách 2: Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t = = = + Lấy điểm M ( 1 t ; 2t ; 1 t + ) Ta có (AM = uuuur 2-t;2t-2;t-2) và ( ; 2 2; )BM t t t= + uuuur Nên AM BM+ = uuuur uuuur (2-2t;4t;2t-2) vậy 2 2 2 2 (2-2t) +16t +(2t-2) 24 16 8MA MB t t+ = = + uuur uuur MA MB+ uuur uuur nhỏ nhất khi t= 1 3 tức 2 2 2 , , 3 3 3 M = ữ Câu 3: Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c = = Và hai điểm A và B sao cho //AB hãy tìm trên điểm M Sao cho MA k MB+ uuur uuur ngắn nhất 1. Phơng pháp giải *Viết phơng trình về tham số 0 0 0 ( ) x x at y y bt t R z z ct = + = + = + *Lấy M tuỳ ý thuộc : M=( 0 x at+ ; 0 y bt+ ; 0 z ct+ ) Thay vào P= MA k MB+ uuur uuur = ( )f t với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P 2. Ví dụ minh hoạ: cho : 1 1 1 2 1 x y z + = = Với A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) Tìm trên điểm M. sao cho : 3MA MB uuur uuur nhỏ nhất 5 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá Ta có phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t = = = + Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc điểm M=(1-t , 2t , t-1)(*) Ta có ( 2, 2 2 , 2 ); ( , 2 2 , ) 3 ( 3 , 6 6,3 )MA t t t MB t t t MB t t t= = = + uuur uuuur uuur Vậy 2 2 2 2 3 ( 2 2, 4 8, 2 2) 3 4 8 4 16 64 64 4 8 4 24 80 72 P MA MB t t t P MA MB t t t t t t t t = = + + = = + + + + + + + + = + + uuur uuur uuur uuur P nhỏ nhất 5 3 t = Khi 5 3 t = vào (*) ta đợc 8 10 8 , , 3 3 3 M = ữ II .Dạng 2 Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c = = và hai điểm A và B Sao cho AB cắt .Hãy tìm trên điểm M sao cho : 1.MA+MB nhỏ nhất B 2. MA MB+ uuur uuur nhỏ nhất A 3. MA k MB+ uuur uuur ngắn nhất Câu1: Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c = = Và hai điểm A và B sao cho AB và cắt nhau ,và A;B nằm cùng phía so với . hãy tìm điểm M Sao cho MA+MB nhỏ nhất 1. Phơng pháp giải Cách 1: *chứng minh cho AB và cắt nhau và A;B nằm cùng phía so với . Gọi A là điểm đối xứng của A qua ,Gọi M là giao điểm của AB và Ta chứng minh M là điểm cần tìm nh sau Giả sử M là 1 điểm tuỳ ý trên ta có ' ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B A B MA MB MA MB+ = + = + = + Cách 2: *Lấy M tuỳ ý thuộc : M=( 0 x at+ ; 0 y bt+ ; 0 z ct+ ) ta tinh MA và MB ( ) ( )P MA MB f t g t= + = + Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P 2.ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng : 2 5 1 5 3 x y z + = = (d) và 2 điểm M 1 (2 ; 1; 5) ; M 2 (4 ; 3 ; 9) Tìm điểm I (d) sao cho IM 1 + IM 2 nhỏ nhất. (d) có véc tơ chỉ phơng là : ( ) 1, 5, 3a = r và đi qua điểm A(2 ; -5 ; 0) 6 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá Phơng trình tham số của : = = += t3z )Rt(t55y t2x :)d( Ta có ( ) 1 2 2,2,4M M = uuuuuur nên phơng trình tham số đờng thẳng M 1 M 2 là : += += += m25z )Rm(m1y m2x Toạ độ giao điểm nếu có của (d) và đờng thẳng M 1 M 2 là nghiệm hệ phơng trình : = = = += += +=+ 1t 1m mt m25t3 m1t55 m2t2 Giao điểm E (1, 0, 3) ( ) ( ) 6,3,3ME;2,1,1ME : cóTa 21 == Vậy : = 12 ME3ME nên M 1 và M 2 ở về cùng 1 phía đối với đờng thẳng (d). Gọi () là mặt phẳng qua M 1 và () (d) nên phơng trình mặt phẳng () là : 1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = 0 x - 5y - 3z + 18 = 0 Giao điểm H của (d) với mặt phẳng () : = = = = = += =+ 7 27 , 7 10 , 7 5 H 7 27 z 7 10 y 7 5 x 7 9 t t3z t55y t2x 018z3y5x Gọi M' là điểm đối xứng của M 1 qua (d) nên H là trung điểm M 1 M', do đó : == == == 7 19 , 7 13 , 7 4 'M 7 19 zz2'z 7 13 yy2'y 7 4 xx2'x 1H 1H 1H Khi đó mọi điểm trên (d) cách đều 2 điểm M 1 và M'. Nên : FM 1 + FM 2 = FM' + FM 2 , F (d) 7 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá Tổng này nhỏ nhất khi và chỉ khi F là giao điểm của (d) với đờng thẳng M 2 M' (vì M 2 và M' ở hai bên đờng thẳng (d)). Ta có : 1 2 32 8 44 ; ; 7 7 7 M M = ữ uuuuuur Phơng trình đờng thẳng qua M' M 2 là: )R't( 't119z 't23y 't84x += += += Giao điểm của (d) với M'M 2 là nghiệm hệ phơng trình : = = += += +=+ 7 10 t 7 3 't 't119t3 't23t55 't84t2 (d) E M 2 M 1 M' I Toạ độ điểm I cần tìm là : 4 15 30 ( ; ; ) 7 7 7 I Ví dụ 2: cho : 1 1 1 2 1 x y z + = = với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3) tìm M thuộc sao cho MA MB lớn nhất. Giải: Cách 1: Phơng trình tham số của là: 1 2 ( ) 1 x t y t t R z t = = = + Do (1 , 2 , 1)M M t t t = Suy ra (2 ,2 1, 1)AM t t t= + uuuur ( 4 ,2 2, 2)BM t t t= + uuuur đặt 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 1) ( 1) ( 4) (2 2) ( 2)P MA MB t t t t t t= = + + + + + + + 2 2 6 2 6 6 4 24t t t t= + + + 6 P = 2 2 1 35 1 35 6 36 3 9 t t = + + + ữ ữ Chọn M=(t, 0) ; 1 35 1 35 ' , ; ' , ' ' ' ' 6 6 3 3 6 P A B MA MB A B = = = ữ ữ ữ ữ Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 điểm M,A,B thẳng hàng. Hay ' '( )MA k MB k R= uuuur uuuur Vậy 1 35 ' , 6 6 MA t = ữ ữ uuuur ; 1 35 ' , 3 3 MB t = ữ ữ uuuur 8 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá Mà 1 1 6 '// ' 1 2 3 t MA MB t = uuuur uuuur 1 1 2 2 3 3 3 t t t = = Vậy 1 4 1 , , 3 3 3 M = ữ là điểm cần tìm. Cách 2: Đờng thẳng đi qua điểm C=(1, 0, -1) và có vectơ chỉ phơng là ( 1,2,1)v = uur Suy ra: (6,3, 3)AB = uuur và (2,1, 1)AC = uuur Ta có: 3 3 3 6 6 3 , , , (9, 3,15) 2 1 1 1 1 2 AB v = = ữ ữ ữ ữ uuur uur và , . 18 3 15 0AB v AC = = uuur uur uuur Vậy 2 đờng thẳng AB và đồng phẳng Ta có phơng trình AB: 1 2 2 1 1 1 1 1 6 3 3 2 1 1 x y x y z x y z y z + = + + + + + = = = = + = Phơng trình : 2 2 2 2 1 1 0 x y x y x z x z = + = = + = Gọi D là giao điểm của AB và . Toạ độ D là nghiệm của hệ: 2 2 1 0 0 (1,0, 1) 1 1 2 1 x y x x z y D y z z x y + = = + = = = + = = = Ta có : A D B x x x< < vậy A và B nằm khác phía so với đờng thẳng . gọi H là hình chiếu của của B trên đờng thẳng . Toạ độ H=(1-t, 2t, t-1) là 1 điểm thuộc . Tacó: ( 4, 2 2 , 2 )HB t t t= + uuur . 0 ( 4) 2(2 2 ) 2 0HB v t t t = + + = uuur uur 1 4 4 4 2 0 6 2 3 t t t t t + = = = Vậy 4 2 4 , , 3 3 3 H = ữ Gọi B là điểm đối xứng với B qua đờng thẳng thì H là trung điểm của BB. Nên toạ độ ' 7 10 1 4 7 1 ' , , ' , , / / (4,7, 1) 3 3 3 3 3 3 AB B AB v = = = ữ ữ uuuur uuur Vậy phơng trình đờng thẳng AB là: 7 7 4 4 7 4 3 1 1 1 4 4 1 4 7 1 x y x y x y z x z x z + = + = + + = = = + = Gọi M là điểm bất kỳ trên đờng thẳng thì: 9 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá ' ' ' ' ' ' 'M A M B M A M B AB MA MB MA MB = = = Vậy toạ độ M là nghiệm của hệ: 1 7 4 3 3 4 1 4 1 4 1 , , 2 2 3 3 3 3 1 0 3 x x y x z y H x y x z z = = + = = = ữ + = + = = Câu2: Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c = = và hai điểm A và B Sao cho AB cắt .Hãy tìm trên điểm M sao cho : . MA MB+ uuur uuur nhỏ nhất 1.Ph ơng pháp chung A I B M M' 0 0 0 : x x y y z z a b c = = Cách 1: Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên Tìn toạ độ M và chứng minh M là điểm cần tìm nh sau .Gọi M' là điểm tuỳ ý trên ta có ' 'M A M B+ uuuuur uuuuur =2M'I 2MI = MA MB+ uuur uuur Cách 2: Lấy 0 0 0 ( ; ; )M x at y bt z ct+ + + tính độ dài của MA MB+ uuur uuur tù đó tim đợc giá trị nhỏ nhất cho : 1 1 1 2 1 x y z + = = với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3) tìm M thuộc sao cho : MA MB+ uuur uuur nhỏ nhất (Phơng pháp giải tơng tự câu 2 dạng 1) Câu3: Cho đờng thẳng 0 0 0 : x x y y z z a b c = = Và hai điểm A và B sao cho AB cắt hãy tìm trên điểm M Sao cho MA k MB+ uuur uuur ngắn nhất 1. Phơng pháp giải *Viết phơng trình về tham số 0 0 0 ( ) x x at y y bt t R z z ct = + = + = + *Lấy M tuỳ ý thuộc : M=( 0 x at+ ; 0 y bt+ ; 0 z ct+ ) 10 [...]... phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P 2.Ví dụ minh hoạ : cho đờng thẳng : B=(1,0,0) Tìm điểm M sao cho: x 1 y z +1 và 2 điểm A=(0,1,1), = = 1 1 1 uu uu ur ur MA + 2 MB ngắn nhất (Phơng pháp giải tơng tự câu 3 dạng 1) IV.Dạng 4 :Trong không gian cho 3 điểm A,B,C và mặt phẳng P Tìm trên P điểm M sao cho uu ur uu ur uu uu r Q = aMA + bMB + cMC Đạt giá trị nhỏ nhất uu ur uu ur uu uu r 1.Phơng... lấy điểm M , toạ độ M=(t+1, t, -t-1) Gọi E là hình chiếu của B trên điểm E=(t+1,t,-1-t) uu ur Ta có BE = (t , t , t 1) u uu u ur r Vì E là hình chiếu của B trên đờng thẳng nên v BE = 0 t + t + t + 1 = 0 12 GV: Nguyễn Văn Thơi Trờng PTTH Vĩnh Lộc, Thanh Hoá t = 1 3 Vậy toạ độ điểm E = 2 , 1 , 2 BE = 4 + 1 + 1 = 6 ữ 3 3 3 9 9 9 3 Gọi I là hình chiếu của A trên đờng thẳng thì I=(t+1, t,... x x0 y y0 z z0 Và hai điểm A và B sao cho AB = = a b c và chéo nhau ; hãy tìm điểm M Sao cho P= MA MB Đạt giá trị lớn nhất 1 Phơng pháp :Lấy M tuỳ ý thuộc : M=( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + ct ) ta tinh MA và MB P = MA MB = f (t ) g (t ) Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị lớn nhất của P 2.Ví dụ minh hoạ: cho đờng thẳng : B=(1,0,0) Tìm điểm M sao cho: x 1 y z +1 và 2 điểm A=(0,1,1),... bậc hai từ đó ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P x 1 y z +1 với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3) = = 1 2 1 uu uu ur ur tìm M thuộc sao cho : MA + 2MB nhỏ nhất (Phơng pháp giải tơng tự câu 3 cho : dạng 1) III.Dạng 3 : Cho đờng thẳng : x x0 y y0 z z0 = = Và hai điểm A và B sao a b c cho AB và chéo nhau ; hãy tìm điểm M Sao cho 1 P=MA+MB nhỏ nhất 2 P= MA MB Đạt giá trị lớn nhất uu ur uu ur 3.P=... ur uu r aMA + bMB + cMC = X 2 + Y 2 + Z 2 =OM với M=(X,Y,Z) với O là gốc toạ OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P) 2.Ví dụ minh hoạ : Cho ABC Với A=(-1,1,0) B =(1,-1,1) C =(0,1,2) và mặt phẳng P:2x-y+z-1 =0 Hãy tìm điểm M thuộc P sao cho Q = uu uu uu ur ur uu r MA + 2 MB + 3MC Đạt giá trị nhỏ nhất uu ur Giải Gọi M = (x,y,z) thuộc P ta có MA =(-1-x,1-y,-z) uu ur uu uu r MB = (1 x,... Bunhiacoxki Ta có P 2 (22 + 1 + 1) ( x 1) 2 + y 2 + ( z 2) 2 = 24 Vậy 2 6 P 2 6 2 6 x = 1 + 3 x 1 y z 2 = = 6 1 1 y = Vậy giá trị lớn nhất của P là 2 6 2 3 2 x y + z = 2 6 6 z = 2 + 3 2 6 x = 1 3 x 1 y z 2 = = 6 1 1 y = Vậy giá trị nhỏ nhất của P là - 2 6 2 3 2 x y + z = 2 6 6 z = 2 3 16 ... 2 ( A2 + B 2 + C 2 ) ( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 + ( z z0 ) 2 = = ( A2 + B 2 + C 2 ) R 2 m P M Ví dụ minh hoạ: Cho đẳng thức ( x + 1) 2 + y 2 + ( z 2)2 = 4 (1) và biểu thức P=2x-y+z hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P với x;y;z thoả mãn (1) Cách 1: Nhận xét (1)là mặt cầu có tâm I(-1.0.2) và bán kính R=2 còn P=2x-y+z 2 x y + z P = 0 là phơng trình mặt (Q) Để tồn tại cặp (x;y;z) thì mặt... ; hãy tìm điểm M Sao cho P=MA+MB nhỏ nhất 1.Phơng pháp: Lấy M tuỳ ý thuộc : M=( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + ct ) ta tinh MA và MB P = MA + MB = f (t ) + g (t ) Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P 2.Ví dụ minh hoạ : cho đờng thẳng : x 1 y z +1 và 2 điểm A=(0,1,1), = = 1 1 1 B=(1,0,0) Tìm điểm M sao cho: MA+MB nhỏ nhất Tìm điểm M sao cho: MA+MB nhỏ nhất Giải: Nhận xét đờng thẳng . Thanh Hoá Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng toán cực trị trong hình học không gian Phần 1: Cơ sở lý thuyết 1. Trong không gian oxyz: Xét hệ toạ độ Đề các vuông góc giả sử A(x 1 ,y 1 ,z 1 ),. ( )P MA MB f t g t= + = + Dùng phơng pháp đáng giá ta tìm đợc giá trị nhỏ nhất của P 2.ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đờng thẳng : 2 5 1 5 3 x y z + = = (d) và 2 điểm. tơng tự câu 3 dạng 1) IV.Dạng 4 :Trong không gian cho 3 điểm A,B,C và mặt phẳng P .Tìm trên P điểm M sao cho Q = aMA bMB cMC+ + uuur uuur uuuur Đạt giá trị nhỏ nhất 1.Phơng pháp : Gọi M =