Vấn đề cực trị hình học trong không gian euclid e3

Luận văn được hình thành nhờ sự giúp đỡ của các thầy cô, anhchị đồng nghiệp, các thầy cô thuộc tổ toán của Trường Đại Học ThăngLong - Hà Nội và đặc biệt Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – T

B GIÁO D C VÀ ÀO T O

-*** -

NGUY NăV NăH O – C00257

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Nguyễn Doãn Tuấn

Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và mọi tham khảo điều được tríchdẫn và ghi gõ nguồn gốc

Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá tôi xin chịuhoàn toàn trách nhiệm

Tác giả

Nguyễn Văn Hảo

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian theo học ở trường Đại học Thăng Long – HàNội và đặc biệt là trong khoảng thời gian thực hiện luận văn tốt nghiệp,tôi đã nhận được sự giúp đỡ hết lòng về mặt vật chất, tinh thần, kiếnthức và những kinh nghiệm quí báu từ gia đình, thầy cô và bạn bè

Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quí Thầy, Côtrường Đại học Thăng Long – Hà Nội, đặc biệt là quí Thầy, cô khoaToán, những người đã hết lòng truyền đạt kiến thức và những kinhnghiệm quí báu trong suốt thời gian chúng tôi theo học ở trường đểchúng tôi có thể tự lập được trong công việc sau này, đặc biệt là ngườithấy kính mến PGS – TS Nguyễn Doãn Tuấn - người đã tận tình hướngdẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn tốtnghiệp, Các anh chị học viên trong lớp Cao học khóa 3 và các bạn đồngnghiệp đã ủng hộ, giúp đỡ, chia sẻ kiến thức, kinh nghiệm và tài liệucho tôi trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và trong khuôn khổ củaluận văn nên bản thân mới chỉ trình bày được một phần nào đó khôngtránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của

thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn

Hà nội, ngày tháng năm 2016

Học viên thực hiện

Nguyễn Văn Hảo

Mục lục iii

0.1 Lý do chọn đề tài v

1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC 1

1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN 3

1.2.1 Bất đẳng thức cơ bản: 3

1.3 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 6

1.3.1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 6

1.3.2 Tìm thiết diện của hình đa diện (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) 6 1.3.3 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc 6

1.3.4 Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: 7

1.3.5 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 8

1.4 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP, KHỐI TRỤ, KHỐI CẦU 10

1.4.1 Thể tích khối chóp: (Phương pháp xác định chiều cao của khối chóp) 10

1.4.2 Thể tích hình lăng trụ 11

1.4.3 Diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu bán kính R: 11

1.4.4 Tỷ số thể tích của hình chóp tam giác 11

2 PHÂN LOẠI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 14 2.1 BẢN CHẤT HÌNH HỌC CỦA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ 14

iii

MỤC LỤC

2.2 CỰC TRỊ KHOẢNG CÁCH 22

2.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA DIỆN TÍCH THIẾT DIỆN 32 2.4 CỰC TRỊ LIÊN QUAN HÌNH TRỤ, HÌNH NÓN, HÌNH CẦU 51

2.5 CỰC TRỊ CỦA THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 56

2.6 CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI CHÓP VÀ LĂNG TRỤ 67

2.7 MỞ RỘNG TRONG KHÔNG GIAN CỦA MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC NỔI TIẾNG 79

2.7.1 Bất đẳng thức Ptôlêmê mở rộng trong không gian 79

2.7.1.1 Định lý Ptôlêmê 79

2.7.1.2 Bất đẳng thức Ptôlêmê 82

2.7.1.3 Bất đẳng thức Ptôlêmê mở rộng 83

2.7.2 Bất đẳng thức Erd¨os mở rộng trong không gian 85

2.7.2.1 Định lý (Bất đẳng thức Erd¨os) 85

2.7.2.2 Bất đẳng thức Erd¨os mở rộng 87

2.8 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 89

2.9 KẾT LUẬN 90

0.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là một môn học chiếm một vị trí quan trọng trong nhàtrường nói chung và Trường THPT nói riêng, Dạy toán chủ yếu dạy chohọc sinh phương pháp suy luận lôgíc, Toán học chủ yếu là học và rènluyện khả năng tư duy logic Việc giải toán là một công việc mà giáoviên cần rèn luyện cho học sinh nắm vững tri thức phát triển tư duy hìnhthành kĩ năng, kĩ xảo

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất( hay còn gọi là bài toáncực trị) là các bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất,dài nhất, ngắn nhất Để từ đó dần hình thành cho học sinh thói quen đitìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong thực tiễn cuộcsống sau này

Các bài toán cực trị và bất đẳng thức hình học là các bài toántương đối hay và khó, thường gặp trong thực tiễn giảng dạy ở cấp họcTHPT và trong cuộc sống Loại toán này rất phong phú và đa dạng đòihỏi suy luận một cách hợp lý nhiều khi độc đáo và bất ngờ, do đó họcsinh khi gặp loại bài toán này thường có tâm lý sợ, e ngại Hơn nữa hiệnnay đã có một lượng đáng kể tài liệu về các vấn đề cực trị hình học, tuynhiên tài liệu còn nằm rải rác Mặt khác theo tôi được biết tài liệu vềphân loại “ Vấn đề cực trị hình học trong không gian Euclid E3” chưa

có nhiều mà giáo viên cũng gặp khó khăn khi tập hợp và tuyển chọnnhững bài toán dạng đó Từ những lí do trên tôi đã chọn đề tài luận văn

" Vấn đề cực trị hình học trong không gian Euclid E3" với mong muốn

có một tài liệu hệ thống về toán cực trị để làm tài liệu giảng dạy cho họcsinh trong trường THPT

Luận văn được hình thành nhờ sự giúp đỡ của các thầy cô, anhchị đồng nghiệp, các thầy cô thuộc tổ toán của Trường Đại Học ThăngLong - Hà Nội và đặc biệt Tôi xin chân thành cảm ơn PGS – TS NguyễnDoãn Tuấn đã hướng dẫn tận tình, sát sao và cho những nhận xét quýbáu về nội dung của luận văn.

0.2 Tên đề tài

“ VẤN ĐỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN EUCLID E3”

0.3 Bố cục luận văn

Luận văn được chia thành 2 chương chính, cụ thể như sau:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Chương này tập trung đưa ra kiến thức cần sử dụng: như các định

lý trong tam giác về quan hệ góc, cạnh, chu vi, diện tích,các kiến thức

cơ bản trong hình học không gian, các công thức tính thể tích khối trụ,khối cầu, khối nón và diện tích thiết diện Các bất đẳng thức Cauchy,cực trị hàm số, công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng,giao tuyến hai mặt phẳng, chứng minh đường thẳng vuông góc với mặtphẳng .Đồng thời đi sâu nghiên cứu một số bất đẳng thức nổi tiếng vàcác mở rộng ứng dụng của chúng

Chương 2: Một số bài toán về cực trị khoảng cách, thiết diện

và thể tích, diện tích của hình chóp, lăng trụ trong không gian.

Chương này đi sâu vào các bài toán cực trị học hình trong khônggian, các bài toán liên quan đến cực trị về khoảng cách, diện tích thiếtdiện, thể tích khối chóp, khối cầu đồng thời phát triển một số kết quả

có trong hình học phẳng vào hình học không gian

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC

Định lý 1.1.1 Định lý hàm số Sin: Trong tam giác ABC ta có:

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC

Định lý 1.1.4 Công thức đường trung tuyến Trong tam giác ABC

Đảo: Với tam giác ABC, nếu có đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại D, E và

Hệ quả 1.1.8 Với tam giác ABC, nếu có đường thẳng d song song với BC, cắt AB,

AC lần lượt tại 2 điểm D,E thì AD =A E

1.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CƠ BẢN

1.2.1 Bất đẳng thức cơ bản:

Các bất đẳng thức đại số được sử dụng rất rộng rãi trong các bài toán cực trị Trongluận văn này xin trình bày hai bất đẳng thức đại số cơ bản nhất đó là bất đẳng thứcCauchy, bất đẳng thức Cauchy – Schawrs

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Cauchy) Với n số thực không âm bất kỳ a1 ,a2 , a n

Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1= a2= a3= = a n

Hệ quả 1.2.5 Với mọi bộ số dương a1 ,a2 , a n ta đều có:

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1= a2= a3= = a n

Hệ quả 1.2.6 Với mọi số không âm a1 ,a2 , a n , và m=1,2, ta đều có:

(với quy ước mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0)

Định lý 1.2.8 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Hàm số: y = f (x )

Bước 1: Tìm đạo hàm y’ và tìm nghiệmx i ∈ [a ,b]của phương trình y’=0(i = 1, 2, 3, )

Bước 2: Tính: f (a ),f (b ),f (x i) và so sánh các số này ta sẽ có kết quả

Loại 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy = f (x ) khi hàm sốy = f (x ) liên tục trên(a,b) Cho hàm sốy = f (x )liên tục và có duy nhất một cực trị trên khoảng (a,b) nếucực trị này là:

*) Cực tiểu (Y c t) thì: Miny [a ,b ] = y c t

5

MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

*) Cực đại (Y c d) thì Maxy [a ,b ] = Y c d

1.3 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1.3.1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt ta tìm hai điểm chung thuộc cảhai mặt phẳng Nối hai điểm chung đó ta tìm được giao tuyến cần tìm

1.3.2 Tìm thiết diện của hình đa diện (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)

Thiết diện là phần chung của mặt phẳng (P) và hình (H)

Xác định thiết diện là tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình đadiện Thiết diện thu được là một hình đa giác tạo bởi các giao tuyến đó

1.3.3 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minha ⊥b thường sử dụng những phương pháp sau:

Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Góc nội tiếp, định lý Pytago đảo,

Sử dụng phương pháp tích vô hướng của hai véc tơ:

Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông gócvới mặt phẳng (P) thìa ⊥b tức là:

Sử dụng định lý 3 đường vuông góc: a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mp (P),

với a’ Nói ngắn gọn b vuông góc với hình chiếu thì b vuông góc với đường xiên

1.3.4 Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng cácphương pháp sau:

Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mp(P):

b ∩ c ⊂ (P)

⇒ a ⊥ (P)

Hai mp (Q) và (R) cùng vuông góc với mp(P), có giao tuyến là đường thẳng a thì avuông góc với (P):

(Q) ⊥ (P) (R) ⊥ (P) (Q) ∩ (P) = a

⇒ a ⊥ (P)

7

MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Hai mp (P) và (Q) vuông góc với nhau theo giao tuyến b Một đường thẳng a thuộc

mp (Q) vuông góc với b, thì a vuông góc với mp (P)

(P) ⊥ (Q) (P) ∩ (Q) = b

a ⊥b