Các bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng và không gian

Header Page of 145 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LƯU VĂN TIẾN XINH CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 Footer Page of 145 Header Page of 145 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng Phản biện 1: TS Phan Đức Tuấn Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại Học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 145 Header Page of 145 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các toán cực trị có nguồn gốc từ xa xưa lịch sử toán học bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn người, ngày toán cực trị phát triển, nghiên cứu nhiều lĩnh vực toán học có ứng dụng rộng rãi đời sống kỹ thuật Trong số toán cực trị khảo sát, cực trị hình học dạng toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng hình học bao gồm khoảng cách hai điểm, hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng; chu vi, diện tích, thể tích; độ lớn góc phẳng, góc nhị diện,…và đại lượng thường phụ thuộc vào nhiều điểm chuyển động Các chủ đề liên quan đến cực trị hình học đóng vai trò định trình giảng day, học tập môn Toán, dạng toán khó học sinh gây không khó khăn cho thầy cô giáo không quan tâm ý tìm hiểu lĩnh vực Là giáo viên trung học phổ thông, mong muốn tìm hiểu vấn đề liên quan đến cực trị hình học nhằm nâng cao trình độ chuyên môn định hướng thầy giáo hướng dẫn, chọn đề tài “Các toán cực trị hình học mặt phẳng không gian” cho luận văn Thạc sĩ Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu toán cực trị hình học hình học phẳng hình học không gian, vận dụng phương pháp thích hợp hình học sơ cấp hình học Footer Page of 145 Header Page of 145 giải tích để giải toán cực trị nêu chương trình phổ thông trung học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài toán cực trị hình học mặt phẳng không gian Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải toán thích hợp hình học để giải toán cực trị hình học Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu thu thập để thực đề tài - Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Cấu trúc luận văn Mở đầu Chương Các kiến thức liên quan Chương Các toán cực trị hình học mặt phẳng Chương Các toán cực trị hình học không gian Footer Page of 145 Header Page of 145 CHƯƠNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN Chương nhắc lại số kiến thức sở hình học phẳng, hình học không gian hình học giải tích có liên quan đến việc nghiên cứu chương Các nội dung trình bày chương chủ yếu tham khảo tài liệu [2],[6],[7] 1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG 1.1.1 Quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc 1.1.2 Một số kiến thức đường tròn 1.1.3 Công thức tính chu vi, diện tích đa giác, đường tròn hệ thức lượng tam giác 1.2 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.2.1 Quan hệ song song không gian 1.2.2 Quan hệ vuông góc không gian 1.2.3 Khoảng cách 1.2.4 Công thức tính thể tích khối đa diện 1.3 KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1.3.1 Tích vô hướng hai vectơ 1.3.2 Tích có hướng hai vectơ 1.3.3 Phương trình mặt phẳng 1.3.4 Phương trình đường thẳng Footer Page of 145 Header Page of 145 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG Trong chương này, trình bày số toán cực trị hình học mặt phẳng liên quan đến tính chất hình học xác định vị trí điểm, đường thẳng, khoảng cách biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ toán liên quan đến đại lượng hình học độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi, diện tích…Các kiến thức trình bày chương tham khảo tài liệu [2], [3], [4] [5] 2.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 2.1.1 Bài toán xác định vị trí điểm, đường thẳng Bài toán 2.1 Cho tam giác ABC có max(A, B,C) < 120o Hãy tìm tam giác ABC điểm M cho MA + MB + MC đạt giá trị bé Nhận xét: Lời giải toán 2.1 dựa vào kiến thức phép quay quan hệ đường gấp khúc đoạn thẳng Footer Page of 145 Header Page of 145 Bài toán 2.2 Cho tứ giác ABCD Tìm điểm M mặt phẳng chứa tứ giác cho : MA + MB + MC + MD nhận giá trị nhỏ Nhận xét : Bài toán 2.2 giải dựa việc phân tích biểu thức cho sử dụng mối quan hệ đường gấp khúc đoạn thẳng Bài toán 2.3 Cho đường tròn (O;R), I điểm cố định bên đường tròn Gọi AC BD hai dây qua I Xác AB.DA + BC.CD định vị trí dây AC BD để : AB.BC + DA.CD a) lớn b) nhỏ Nhận xét : Bài toán 2.3 giải dựa tỉ số đồng dạng hai tam giác đồng dạng tính chất dãy tỉ số Bài toán 2.4 Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn (P không trùng O) Xác định vị trí dây qua P cho dây có độ dài nhỏ Footer Page of 145 Header Page of 145 Nhận xét: Lời giải toán vận dụng từ tính chất liên hệ dây khoảng cách đến tâm đường tròn 2.1.2 Bài toán khoảng cách Bài toán 2.5 Cho đường tròn (O) điểm M (O) Đường thẳng kẻ từ M qua tâm O cắt đường tròn A B (A điểm nằm hai điểm M O) Chứng minh : độ dài MA khoảng cách nhỏ khoảng cách từ M tới tất điểm đường tròn độ dài MB khoảng cách lớn tất khoảng cách Nhận xét: Qua toán trên, ta chứng minh được: Khoảng cách từ điểm M đường tròn (O) đến (O) MA, A giao điểm đường tròn với đoạn thẳng MO Bài toán 2.6 Cho tam giác ABC M điểm nằm mặt phẳng chứa tam giác Gọi x, y, z khoảng cách từ M tới đỉnh A, B, C; p, q, r khoảng cách từ M đến cạnh tam giác Chứng minh ta có: p + q + r ³ (x + y + z ) Footer Page of 145 Header Page of 145 Nhận xét: Lời giải toán 2.6 dựa vào hệ thức Leibniz mà biết Hệ thức Leibniz: Cho tam giác ABC trọng tâm G Khi ta có: GA + GB + GC = ( a + b + c ) Ở a, b, c độ dài cạnh BC, CA , AB Bài toán 2.7 Cho tam giác ABC Chứng minh tổng khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng d qua trọng tâm trung tuyến lớn tam tam giác nhỏ giác Nhận xét: Trong toán 2.7 dựa vào tính chất định lí Talet mối quan hệ đường vuông góc đường xiên, tính chất trọng tâm tam giác để chứng minh Footer Page of 145 Header Page 10 of 145 2.1.3 Bài toán biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài toán 2.8 Cho M điểm tùy ý thuộc miền tam giác ABC Gọi A1 ,B1 ,C1 hình chiếu vuông góc M cạnh BC, CA, AB Tìm giá trị nhỏ biểu thức: MA + MB + MC P= ( MA1 + MB1 + MC1 ) Nhận xét: Trong lời giải toán 2.8 ta sử dụng mối quan hệ diện tích tam giác công thức tính độ dài đường trung tuyến để tìm lời giải toán Bài toán 2.9 Gọi H trực tâm tam giác ABC nhọn, ba đường cao c tam giác ABC AA1 , BB1 , CC1 Tìm giá trị nhỏ HA1 HB1 HC1 biểu thức: Q = + + HA HB HC Nhận xét: Trong toán 2.9 dựa vào công thức tính diện tích tam giác dãy tỉ số để biến đổi biểu thức cho thành biểu thức chứa S1, S2, S3 Từ ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si để xác định giá trị lớn biểu thức Q 2.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC 2.2.1 Bài toán xác định độ dài đoạn thẳng Bài toán 2.10 Hai anh em chia tài sản miếng đất hình tam giác ABC Họ muốn chia đôi diện tích miếng đất bờ rào thẳng ngắn Tính độ dài m bờ rào theo diện tích S tam giác góc nhỏ a tam giác Footer Page 10 of 145 Header Page 12 of 145 10 Bài toán 2.13 Cho tam giác ABC M điểm nằm    D ABC Chứng minh ba góc MAB, MBC, MCA có góc nhỏ 30o Nhận xét : Lời giải toán 2.13 dựa bất đẳng thức lượng giác bất đẳng thức Cô-si 2.2.3 Bài toán liên quan đến chu vi Bài toán 2.14 Cho tam giác nhọn ABC Trong tất tam giác nội tiếp nó, tam giác trực tâm có chu vi bé Nhận xét: - Bài toán 2.14 toán nhà toán học Fagnano đặt Fagnano (1682 -1766) nhà toán học Italia, viện sĩ Viện hàn lâm Đức thành viên Hội khoa học Hoàng gia Anh - Cách chứng minh nhà toán học Féjer Féjer (1880 – 1959) nhà toán học Hungary, viện sĩ Viện hàn lâm Hungary Bài toán 2.15 Trên đường tròn (O ; R) cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E theo thứ tự đó, cho AB = BC = DE = R Gọi M, N trung điểm CD AE Hãy xác định giá trị lớn có chu vi tam giác BMN Nhận xét: Lời giải toán 2.15 dựa vào kiến thức hai tam giác dẫn đến tam giác MBN đều, từ dựa vào công thức hàm cô sin tam giác đưa đến lời giải toán Footer Page 12 of 145 Header Page 13 of 145 11 2.2.4 Bài toán liên quan đến diện tích Bài toán 2.16 Cho tam giác ABC M điểm di động miền tam giác Gọi A’, B’, C’ hình chiếu vuông góc M lên cạnh BC, CA, AB Hãy tìm giá trị lớn có diện tích tam giác A’B’C’ Nhận xét: Lời giải toán 2.16 dựa vào công thức tính diện tích tam giác, tính chất góc đường tròn định lí hàm sin tam giác Bài toán 2.17 Từ điểm O bên tam giác ABC vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác ABC, đường thẳng chia tam giác thành phần Ta kí hiệu diện tích a b c phần hình vẽ Chứng minh rằng: + + ³ a b g Nhận xét : Lời giải 2.17 dựa vào tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng kĩ bất đẳng thứcđại số 2.2.5 Bài toán đại lượng đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Footer Page 13 of 145 Header Page 14 of 145 12 Bài toán 2.18 Cho tam giác nhọn ABC có m a , m b , m c tương ứng trung tuyến vẽ từ A, B, C; h a , h b , h c độ dài đường cao vẽ từ A, B, C; r R tương ứng bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: ma m b m c R + + £1+ h b hc r Nhận xét: Lời giải toán 2.18 dựa vào công thức diện tích tam giác bất đẳng thức tam giác Bài toán 2.19 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O ; r) Dựng tiếp tuyến đường tròn (O) song song với cạnh tam giác Các tiếp tuyến tạo với cạnh tam giác thành ba tam giác nhỏ có diện tích S1 ,S2 ,S3 Tìm giá trị nhỏ biểu S + S2 + S3 thức , với S diện tích tam giác ABC S Nhận xét: Lời giải toán 2.19 dựa vào việc vận dụng tỉ số đồng dạng hai tam giác, công thức tính diện tích tam giác bất đẳng thức Cô – si Footer Page 14 of 145 Header Page 15 of 145 13 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN Trong chương này, trình bày số toán cực trị hình học không gian liên quan đến tính chất hình học xác định vị trí điểm, đường thẳng mặt phẳng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, khoảng cách biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ toán liên quan đến đại lượng hình học độ dài đoạn thẳng, số đo góc, chu vi, diện tích, mặt cầu…Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu [1], [5] [6] 3.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 3.1.1 Bài toán xác định vị trí điểm, đường thẳng Bài toán 3.1 Cho đường tròn tâm O đường kính AB nằm mặt phẳng (P) điểm C di động đường tròn Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) A lấy điểm Mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với SB H cắt SC K Xác định vị trí điểm C để thể tích khối chóp SAHK lớn Nhận xét: Trong toán 3.1 việc xác định vị trí điểm C cho Footer Page 15 of 145 Header Page 16 of 145 14 VS.AHK đạt giá trị lớn thông qua việc xác định thể tích khối chóp với bất đẳng thức Cô – si ta đưa đến lời giải Bài toán 3.2 Trong mặt phẳng (P) cho điểm O đường thẳng d quay quanh điểm O Gọi S điểm nằm (P) có hình chiếu vuông góc lên (P) H khác O Gọi K hình chiếu vuông góc S lên d Xác định vị trí đường thẳng d cho hình chóp SOHK tích lớn Nhận xét : Lời giải toán 3.2 dựa biến đổi tương đương sau : VS.OHK đạt giá trị lớn S HKO đạt giá trị lớn độ dài đoạn thẳng KE lớn nhất, từ suy vị trí đường thẳng d thỏa yêu cầu đề Bài toán 3.3 Cho tứ diện ABCD thỏa điều kiện AC = BC = BD = AD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Một mặt phẳng (a ) qua M, N cắt hai cạnh AC BD P, Q Xác định vị trí mặt phẳng (a ) để tứ giác MNPQ có diện tích bé Nhận xét: Lời giải toán 3.3 dựa vào tính chất tứ diện từ dẫn đến S MNPO đạt giá trị nhỏ PQ đạt giá trị nhỏ sử dụng công cụ giải tích ta tìm MinPQ đưa đến vị trí mặt phẳng (a ) cần tìm Footer Page 16 of 145 Header Page 17 of 145 15 3.1.2 Bài toán quan hệ song song quan hệ vuông góc a Bài toán quan hệ song song Bài toán 3.4 Cho hình chóp S.ABC điểm M tùy ý nằm đáy Ba đường thẳng qua M, song song với SA, SB, SC cắt mặt (SBC), (SCA), (SAB) A1, B1, C1 Chứng minh SA SB SC + + ³ MA1 MB1 MC1 Nhận xét : Lời giải toán 3.4 thông qua kiến thức quan hệ song song không gian mà cụ thể định lý Talet không gian Từ biến đổi biểu thức đề cho qua biểu thức chứa diện tích, kết hợp bất đẳng thức Cô-si đưa đến lời giải Bài toán 3.5 Cho tứ diện ABCD, M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) A’, B’, C’ Tìm vị trí điểm M cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn Nhận xét: Trong toán 3.5, dựa vào kiến thức quan hệ song song không gian để xác định vị trí điểm A’, B’, C’; từ kết hợp định lí Ta- lét bất đẳng thức Cô-si dẫn đến lời giải toán Footer Page 17 of 145 Header Page 18 of 145 16 b Bài toán quan hệ vuông góc Bài toán 3.6 Cho điểm A đường thẳng D không qua A Tìm vị trí mặt phẳng (a ) chứa D cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng lớn Nhận xét: Bài toán 3.6 toán cực trị họ mặt phẳng quay xung quanh đường thẳng cố định Bài toán 3.7 Cho tam giác nhọn ABC đường thẳng D qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) Các điểm M N thay đổi D cho (MBC) vuông góc với (NBC) Tìm vị trí M, N cho a) Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ b) Diện tích toàn phần tứ diện MNBC nhỏ Nhận xét : Lời giải toán 3.7 dựa vào quan hệ vuông góc không gian kết hợp bất đẳng thức Cô-si công thức tính diện tích tam giác 3.1.3 Bài toán khoảng cách Bài toán 3.8 Cho ABCD tứ diện gần (tức tứ diện có cặp cạnh đối diện đôi một) M điểm không gian Chứng minh bình phương khoảng cách từ M Footer Page 18 of 145 Header Page 19 of 145 17 đến đỉnh không lớn tổng bình phương khoảng cách từ M đến ba đỉnh lại Nhận xét: Trong Bài toán 3.8, biến đổi kiện đề thành MA + MB + MC - MD ³ sau dựa vào công cụ vectơ ta chứng minh yêu cầu đề đặt Bài toán 3.9 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, cạnh a Trên cạnh AA’ kéo dài phía A’ lấy điểm M, cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C’D’ Tìm giá trị nhỏ đoạn MN Nhận xét : Lời giải toán 3.9 dựa vào định lí Thalet kết hợp với bất đẳng thức Cô – si 3.1.4 Bài toán biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài toán 3.10 Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a, CA = DB = b AB.DC = c P điểm không gian.Tìm giá trị nhỏ biểu thức f(P) = PA + PB + PC + PD Nhận xét: Lời giải toán 3.10 dựa vào tính chất phép đối xứng bất đẳng thức Bunhiacopski Footer Page 19 of 145 18 Header Page 20 of 145 Bài toán 3.11 Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) A lấy điểm S thay đổi khác A Đường thẳng qua H vuông góc với mặt phẳng (SBC) cắt đường thẳng d K Tìm giá trị nhỏ biểu thức BK + CS2 S thay đổi d Nhận xét: Bài toán 3.11 giải dựa kiến thức quan hệ vuông góc không gian kết hợp với tính chất đồng dạng 3.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC 3.2.1 Bài toán xác định số đo góc Bài toán 3.12 Khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C SA ^ (ABC), SC = a Hãy xác định số đo góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn Nhận xét: Lời giải toán 3.12 dựa vào phương pháp xác định góc hai mặt phẳng không gian kết hợp hệ thức lượng tam giác, công thức tính thể tích công cụ đại số Bài toán 3.13 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có chiều cao a, cạnh đáy 2a Với M điểm cạnh AB, tìm MC giá trị lớn góc j = A Footer Page 20 of 145 Header Page 21 of 145 19 Nhận xét: Lời giải toán 3.13 dựa phương pháp vectơ hóa toán hình học không gian 3.2.2 Bài toán liên quan đến diện tích Bài toán 3.14 Trong mặt phẳng (a ) cho đường tròn (C) có đường kính AB = 2R Vẽ SA vuông góc với (a ) ; SA = 2R Gọi M điểm di động (C), ( b ) mặt phẳng qua A vuông góc với SB Tìm giá trị lớn diện tích thiết diện ( b ) cắt hình chóp SABM Suy vị trí M Nhận xét : Trong toán 3.14, trước tiên xác định thiết diện DANI , Từ ta nhận dạng DANI vuông cân I dẫn đến diện tích DANI lớn NH lớn Bài toán 3.15 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy Gọi M,N hai điểm thuộc cạnh AB, CD cho mặt phẳng (SMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM = x ; AN = y a Chứng minh : x + y = 3xy b Tính x, y để tam giác SMN có diện tích bé Nhận xét :Lời giải toán 3.15 dựa vào công thức tính diện tích tam giác, định lí hàm côsin tam giác công cụ đại số Footer Page 21 of 145 Header Page 22 of 145 20 3.2.3 Bài toán liên quan đến thể tích Bài toán 3.16 Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, AC = h đoạn thẳng vuông góc với (P) M điểm di động (C) Dựng AD ^ BC, AE ^ MC Chứng minh M di động (C) E di động mặt phẳng cố định 2R h AD.AE £ Tìm giá trị lớn thể tích hình chóp 4R + h CADE Nhận xét :Lời giải toán 3.16 dựa vào công thức tính thể tích khối chóp, tỉ số lượng giác góc nhọn hệ thức lượng trongtam giác vuông Bài toán 3.17 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b,  BDC = 90o (ABC) ^ (DBC) Xác định tứ diện ABCD cho tích lớn nhất, tính giá trị đó? Footer Page 22 of 145 Header Page 23 of 145 21 Nhận xét: Lời giải toán 3.17 dựa vào quan hệ vuông góc không gian, công thứctính thể tích khối chóp hệ thức lượng tam giác vuông 3.2.4 Bài toán liên quan đến mặt cầu Bài toán 3.18 Giả sử r R bán kính mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp tứ diện ABCD tích V Chứng minh rằng: R 2r 3 ³ V Nhận xét: Lời giải toán 3.18 dựa vào tính chất tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện, công cụ vectơ bất đẳng thức tam giác Bài toán 3.19 Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi G a ,G b ,G c ,G d trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Đặt m a = AG a , m b = AG b , m c = AG c , m d = DG d Chứng minh rằng: R ³ (ma + m b + mc + md ) 16 Nhận xét: Lời giải toán 3.19 dựa kiến thức vectơ không gian, tính chất tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện bất đẳng thức Bunhiacopxki 3.2.5 Bài toán đại lượng đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài toán 3.20 Cho tứ diện trực tâm ABCD ( tức tứ diện có cạnh đối đôi vuông góc với nhau) Chứng minh với điểm M nằm tứ diện ta có bất đẳng thức sau: MA.SBCD + MB.SACD + MC.SABD + MD.SABC ³ 9V V thể tích tứ diện Nhận xét: Lời giải toán 3.20 dựa vào kiến thức mối quan hệ đường gấp khúc đoạn thẳng, công thức tính thể tích tứ diện Footer Page 23 of 145 22 Header Page 24 of 145 Bài toán 3.21 Cho hình chóp tam giác S.ABC thay đổi, có ba cạnh bên SA, SB, SC đôi vuông góc Gọi h đường cao hình chóp, S1 ,S2 ,S3 diện tích mặt bên Hãy tìm giá trị lớn tỉ h2 S1 + S2 + S3 Nhận xét: Lời giải toán 3.21 dựa việc kết hợp kiến thức hệ thức lượng tam giác vuông, công thức tính diện tích số: y = tam giác bất đẳng thức Cô si 3.2.6 Bài toán cực trị giải phương pháp tọa độ Bài toán 3.22 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, cạnh Các điểm M, N di động đoạn AD’ DB cho AM = DN = m ( < m < ) a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (A’D’BC) m thay đổi b) Định m để MN ngắn Chứng minh MN song song với A’C Nhận xét : Trong Bài toán 3.22, dựa vào kiến thức phương pháp uuuur tọa độ mặt phẳng để xác định MN phương trình mặt phẳng (A’D’BC) Qua ta đưa đến quan hệ song song giải yêu cầu toán đặt Bài toán 3.23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B có AB = 3, BC = Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) SA = Trên AB lấy điểm E cho AE = x Mặt phẳng (P) qua E song song với SA BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Tìm x để diện tích thiết Footer Page 24 of 145 Header Page 25 of 145 23 diện lớn Nhận xét : Lời giải toán 3.23 dựa phương pháp tọa độ không gian kết hợp với kiến thức sở hình học không gian cổ điển Bài toán 3.24 Cho điểm M nằm góc tam diện vuông Oxyz Mặt phẳng (a ) thay đổi qua M cắt tia Ox, Oy, Oz điểm phân biệt A, B, C Tìm giá trị nhỏ thể tích tứ diện OABC Nhận xét: Lời giải toán 3.24 dựa vào phương pháp tọa độ không gian bất đẳng thức Cô si Footer Page 25 of 145 Header Page 26 of 145 24 KẾT LUẬN Luận văn “Các toán cực trị hình học mặt phẳng không gian” thực mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đạt nội dung sau: Trình bày số lớp toán cực trị hình học liên quan đến tính chất hình học, đại lượng hình học mặt phẳng không gian Đối với lớp toán, giới thiệu phương pháp giải chung kèm theo nhiều toán minh họa, toán tham khảo Các kết đạt luận văn khiêm tốn góp phần giúp thân tìm hiểu làm rõ số vấn đề liên quan toán cực trị hình học Mặc dù thân cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót luận văn Rất mong quý thầy cô bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Footer Page 26 of 145 ... CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN Trong chương này, trình bày số toán cực trị hình học không gian liên quan đến tính chất hình học xác định vị trí điểm, đường thẳng mặt phẳng, ... mặt phẳng 1.3.4 Phương trình đường thẳng Footer Page of 145 Header Page of 145 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG Trong chương này, trình bày số toán cực trị hình học mặt phẳng. .. Các toán cực trị hình học mặt phẳng không gian cho luận văn Thạc sĩ Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu toán cực trị hình học hình học phẳng hình học