Các bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng và không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ï&Ị LƯU VĂN TIẾN XINH CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHƠNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Ng i hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng ĐÀ NẴNG, 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Lưu Văn Tiến Xinh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục ti u nội dung nghiê n c u đề tài Đối tượng phạm vi nghiê n cứu Phương pháp nghiê n cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG 1.1.1 Quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc 1.1.2 Một số kiến thức đường tròn 1.1.3 Cơng thức tính chu vi diện tích đa giác hệ thức lượng tam giác 1.2 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1.2.1 Quan hệ song song không gian 1.2.2 Quan hệ vng góc khơng gian 1.2.3 Khoảng cách 1.2.4 Cơng thức tính thể tích khối đa diện 10 1.3 KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 10 1.3.1 Tích vơ hướng hai v ctơ 10 1.3.2 Tích có hướng hai v ctơ 12 1.3.3 Phương trình mặt phẳng 12 1.3.4 Phương trình đường thẳng 13 CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG 16 2.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 16 2.1.1 Bài tốn xác định vị trí điểm đường thẳng 16 2.1.2 Bài toán khoảng cách 22 2.1.3 Bài toán biểu thức đạt giá trị lớn nhỏ 27 2.2 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC 31 2.2.1 Bài toán xác định độ dài đoạn thẳng 31 2.2.2 Bài toán li quan đến số đo góc 34 2.2.3 Bài toán li quan đến chu vi 37 2.2.4 Bài tốn li quan đến diện tích 40 2.2.5 Bài toán đại lượng đạt giá trị lớn nhỏ 43 CHƯƠNG CÁC BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 47 3.1 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 47 3.1.1 Bài tốn xác định vị trí điểm đường thẳng 47 3.1.2 Bài toán quan hệ song song quan hệ vng góc 51 3.1.3 Bài toán khoảng cách 56 3.1.4 Bài toán biểu thức đạt giá trị lớn nhỏ 59 3.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC 62 3.2.1 Bài tốn xác định số đo góc 62 3.2.2 Bài toán li quan đến diện tích 64 3.2.3 Bài tốn li quan đến thể tích 68 3.2.4 Bài toán li quan đến mặt cầu 71 3.2.5 Bài toán đại lượng đạt giá trị lớn nhỏ 74 3.2.6 Bài toán cực trị giải phương pháp tọa độ 77 KẾT LUẬN 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI ABC : Tam giác ABC A,B,C : Các a,b,c : Độ dài cạnh đối diện góc A, B, C h a ,h b ,h c : Độ dài đường cao xuất phát từ A, B, C m a ,m b ,m c : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C la , lb , lc : Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, R : Bán kính đường trịn ngoại tiếp r : Bán kính đường trịn nội tiếp p : Nửa chu vi tam giác SΔABC : Diện tích tam giác ABC VABCD : Thể tích hình chóp ABCD // : Song song ^ : Vng góc Max : Giá trị lớn Min : Giá trị nhỏ nh hay góc tương ứng tam giác B, C MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các tốn c c trị có nguồn gốc từ xa xưa lịch sử toán học bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn người ngày toán cực trị phát triển nghiên cứu nhiều lĩnh vực toán học có ứng dụng rộng rãi đời sống kỹ thuật Trong số toán cực trị khảo sát, cực trị hình học dạng toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng hình học bao gồm khoảng cách hai điểm, hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng; chu vi, diện tích, thể tích; độ lớn góc phẳng, góc nhị diện,…và đại lượng thường phụ thuộc vào nhiều điểm chuyển động Các chủ đề liên quan đến cực trị hình học đóng vai trị định q trình giảng dạy, học tập mơn Tốn, dạng tốn khó học sinh gây khơng khó khăn cho thầy giáo khơng quan tâm ý tìm hiểu lĩnh vực Là giáo viên trung học phổ thơng, tơi mong muốn tìm hiểu vấn đề liên quan đến cực trị hình học nhằm nâng cao trình độ chun mơn định hướng thầy giáo hướng dẫn, chọn đề tài “Các tốn cực trị hình học mặt phẳng khơng gian” cho luận văn Thạc sĩ Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu tốn cực trị hình học hình học phẳng hình học khơng gian, vận dụng phương pháp thích hợp hình học sơ cấp hình học giải tích để giải tốn cực trị nêu chương trình phổ thơng trung học Nội dung đề tài chia thành chương: Chương giới thiệu khái niệm kết hình học phẳng hình học khơng gian liên quan đến cực trị hình học Chương trình bày tốn cực trị hình học mặt phẳng Chương trình bày tốn cực trị hình học khơng gian Trong phần đưa vào ví dụ minh họa phương pháp giải số toán tiêu biểu it ng ph m nghiên c u Đối tượng nghiên cứu đề tài toán cực trị hình học mặt phẳng khơng gian Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thích hợp hình học để giải tốn cực trị hình học Ph ng pháp nghiên cứu Thu thập, tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn Phân tích, nghiên cứu tài liệu thu thập để thực đề tài Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Cấu trúc luận ăn Ngoài phần mở đầu kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương Các kiến thức liên quan Trong chương 1, luận văn trình bày: Các khái niệm kết hình học phẳng; hình học khơng gian hình học giải tích để làm sở cho chương sau Chương Các toán cực trị hình học mặt phẳng Trong chương 2, luận văn trình bày: Các tốn cực trị liên quan tính chất hình học đại lượng hình học mặt phẳng Đối với dạng tốn có phương pháp giải chung, tốn có lời giải nhận xét Chương Các toán cực trị hình học khơng gian Trong chương trình bày: Các tốn cực trị liên quan tính chất hình học đại lượng hình học khơng gian Đối với dạng tốn có phương pháp giải chung, tốn có lời giải nhận xét CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Chương nh c lại m t s ki n thức sở v hình h c phẳng, hình họ c khơng gian hình họ c giải tích có liên quan đến việc nghiên cứu chương Các nội ung trình bày chương chủ yếu tham khảo tài liệu [2], [ ], [7] 1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG 1.1.1 Quan hệ đoạn thẳng đ ng gấp khúc Khái niệm 1.1 oạn thẳng AB đường ngắn nối hai điểm A B cho trước mặt phẳng Ta có hệ sau: Hệ 1.1 Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba Hệ 1.2 Đường gấp khúc nối hai điểm A B cho trước ln có độ dài lớn độ dài đoạn thẳng AB Hệ 1.3 Độ dài cung AB đường tròn cho trước qua A B lớn độ dài đoạn thẳng AB 1.1.2 Một số kiến thức đ ng trịn Định lí 1.1 Đường kính dây lớn đường trịn Định lí 1.2 Trong hai dây đường trịn, dây lớn khoảng cách đến tâm nhỏ Định lí 1.3 Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn góc tâm lớn Định lí 1.4 Trong hai cung nhỏ đường tròn, cung lớn dây trương cung lớn 1.1.3 Cơng thức tính chu , diện tích đa giác hệ thức lượng tam giác a Công thức tính chu Chu , diện tích đa giác đa giác tính tổng độ dài cạnh Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao tương ứng với Diện tích tam giác ng nửa tích cạnh góc vng Diện tích hình ng bình phương cạnh Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh Diện tích hình thoi nửa tích độ dài hai đường ch o Diện tích đa giác tổng đại số diện tích số tam giác tứ giác b Hệ thức lượng tam giác Trong tam giác uông Xé t tam giác ABC vng A, ta có: AB2 + AC2 = BC2 ; BH.BC = AB2 ; 1 = + 2 AH AB AC2 AH.BC = AB.AC ; Trong tam giác th AH = BH.CH ng Định lí hàm cơsin a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA ; c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB 69 Lại có CM ^ AE Nên AE ^ (CBM) Þ AE ^ CB Ta lại có : AD ^ CB Suy : CB ^ (ADE) Như vậy, M di động (O) E di động mặt phẳng cố định qua A vng góc với BC  Đặt ADE = a , ta có AE ^ DE ( AE ^ (CBM) ) Xét tam giác ADE vng E, ta có : AE = ADsin a ,DE = AD cosa 1 Suy AE.ED = AD sin a cosa = AD sin 2a £ AD 2 (3.17) Xét tam giác CAB vuông A, AD đường cao, ta có: 1 1 = + = + AD2 AB2 AC2 4R h 4R h AD = 2 4R +h Suy : (3.18) 2R h2 Từ (3.17) (3.18) suy AE.DE £ 4R +h 1 2R h Ta có VCDAE = CD.AE.DE £ CD 2 6 4R +h AC2 h2 Trong D ABC vuông A : AC = CD.CB Þ CD = = 2 CB 4R + h Do VCDAE £ R2 h ( 4R +h ) 2 (3.19) Đẳng thức (3.19) xảy (3.17) xảy đẳng thức, tức sin 2a = Û a = 45 , lúc VCDAE đạt giá trị lớn o R2 h4 ( 4R +h ) 2 70 Nhận xét :Lời giải toán 3.16 dựa vào cơng thức tính thể tích khối chóp, tỉ số lượng giác góc nhọn hệ thức lượng tam giác vng Bài tốn 3.17 [6] Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b,  BDC = 90o (ABC) ^ (DBC) Xác định tứ diện ABCD cho tích lớn nhất, tính giá trị đó? * Phân tích định hướng: Từ giả thiết quan hệ vng góc khơng gian ta xác định chiều cao tứ diện ABCD AH; suy VABCD = AH.SBCD Vì độ dài AH khơng đổi nên ta tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn diện tích tam giác BCD đạt giá trị lớn nhất; dẫn đến lời giải toán L i giải: Gọi H trung điểm BC Suy AH ^ BC (do DABC cân A) Ta có: (ABC) ^ (DBC) Suy ra: AH ^ (DBC) Do đó: VABCD = AH.SBCD Xét tam giác ABH vng H, ta có: AH = AB2 - BH = a Suy AH = b 4a - b2 = 4 4a - b2 , ( b < 2a ) Trong tam giác BCD, kẻ DK ^ BC ta có: SBCD = BC.DK Vì độ dài AH khơng đổi nên ta tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn diện tích tam giác BCD đạt giá trị lớn độ dài DK đạt giá trị lớn 71  = 900 nên D thuộc đường tròn đường kính BC cố định Mặt khác BDC Suy độ dài DK đạt giá trị lớn K trùng với H Khi đó: DK = b Û DB = DC Vậy tứ diện tích nhận giá trị lớn là: VABCD b2 b 4a - b2 2 = 4a - b = 24 Nhận xét: Lời giải toán 3.17 dựa vào quan hệ vng góc khơng gian, cơng thức tính thể tích khối chóp hệ thức lượng tam giác vng 3.2.4 Bài tốn liên quan đến mặt cầu Bài toán 3.18 [1] Giả sử r R bán kính mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp tứ diện ABCD tích V Chứng minh rằng: R2 r 3 ³ V * Phân tích định hướng : R2 r 3 Từ bất đẳng thức đề ³ , ta biến đổi thành điều cần phải V chứng minh : 8R ³ 3V 3V S = suy ra: 8R ³ 3S Từ dựa r r vào tính chất tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện, công cụ vectơ bất đẳng thức tam giác tìm lời giải tốn L i giải: Gọi O G tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: OA + OB + OC + OD = 4OG uuur uuur uuur uuur Suy ra: OA + OB2 + OC2 + OD2 + 2(OA.OB + OA.OC + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA.OD + OB.OC + OB.OD + OC.OD) = 16OG (3.20) 72 uuur uuur Ta có: OA = OB = OC = OD = R 2OA.OB = 2R - AB2 Đặt cạnh BC = a,CA = b,AB = c AD = a’,BD = b’,CD = c’ Từ (3.20) ta có : 4R + 12R - (c2 + b2 + a'2 + a2 + b'2 + c'2 ) = 16OG ( ) Suy : 16R - c2 + b2 + a2 + a'2 + b'2 + c'2 = 16OG ³ Þ 16R ³ a2 + b2 + c2 + a'2 + b'2 + c'2 Trong D ABC ta có: a2 + b2 + c2 ³ 3SABC (3.21) Thật vậy: Áp dụng định lí hàm cosin D ABC , ta có : c = a + b - 2ab.cosC Ta có : SABC = ab.sin C Do : a2 + b2 + c2 - 3SABC = a2 + b2 + c2 - 3ab.sin C = 2a + 2b - 2abcosC - 3ab.sinC é ỉp ứ = êa + b - ab(cosC + sin ç + C ÷ ú è6 øû ë ³ ( a + b - 2ab ) = ( a - b ) ³ (đpcm) Tương tự ta có: a2 + b'2 + c'2 ³ 3SDBC ; a'2 + b'2 + c2 ³ 3SDAB ; a'2 + b2 + c'2 ³ 3SDAC ( (3.22) ) Từ (3.21) (3.22) ta có: a2 + b2 + c2 + a'2 + b'2 + c'2 ³ 3S với S = SABC + SBCD + SABD + SACD Suy ra: 16R ³ 3S Þ 8R ³ 3S Do S = 3V 3V nên suy ra: 8R ³ r r 73 R r 3 ³ Vậy V ìO º G Û ABCD tứ Dấu xảy í ỵa = b = c = a' = b' = c' diện Nhận xét: Lời giải tốn 3.18 dựa vào tính chất tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện, công cụ vectơ bất đẳng thức tam giác Bài toán 3.19 [8] Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi G a , G b , G c , G d trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Đặt m a = AG a , m b = BG b , m c = CG c , m d = DG d Chứng minh rằng: R³ ( m a + m b + mc + md ) 16 * Phân tích định hướng: Ta biến đổi biểu thức đề cho: R³ ( m a + m b + mc + md ) Û R ³ ( m a + m b + m c + m d ) 16 256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : ma2 + m b2 + m c2 + m d2 ³ ( ma + mb + mc + md ) Dẫn đến điều cần chứng minh là: 4R ³ (m a2 + m 2b + m c2 + m d2 ) Từ 16 dựa vào tính chất tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện, cơng cụ vectơ tìm lời giải tốn L i giải: Gọi O tâm hình cầu ngoại tiếp, ta có: 4R = OA + OB2 + OC2 + OD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur = OG + GA + OG + GB + OG + GC + OG + GD ( ) ( ) ( ) ( ) với G trọng tâm tứ diện (3.23) 74 uuur uuur uuur uuur r Từ GA + GB + GC + GD = , ta có: (3.23) Û 4R = 4OG + GA + GB2 + GC2 + GD (3.24) uuur uuuur uuur Ta có: AG = AG a suy ra: GA = m a2 16 uuur uuur uuur Tương tự: GB = m 2b ; GC = mc2 ; GD = md2 16 16 16 Do từ (3.24) ta có: 4R = 4OG + Từ (3.25) ta : 4R ³ (m a2 + m b2 + m c2 + m d2 ) 16 (m a2 + m 2b + m c2 + m d2 ) 16 (3.25) (3.26) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : ma2 + m b2 + m c2 + m d2 ³ Từ (3.26) (3.27) suy ra: R ³ hay R ³ ( ma + mb + mc + md ) (3.27) ( ma + mb + mc + md ) 256 ( m a + m b + mc + md ) 16 (3.28) Dấu (3.28) xảy G º O m a = m b = m c = m d ABCD tứ diện Nhận xét: Lời giải toán 3.19 dựa kiến thức vectơ khơng gian, tính chất tâm mặt cầu ngoại tiếp trọng tâm tứ diện bất đẳng thức Bunhiacopxki 3.2.5 Bài toán đại lượng đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài toán 3.20 [5] Cho tứ diện trực tâm ABCD ( tức tứ diện có cạnh đối đơi vng góc với nhau) Chứng minh với điểm M nằm tứ diện ta có bất đẳng thức sau: MA.SBCD + MB.SACD + MC.SABD + MD.SABC ³ 9V , V thể tích tứ diện 75 * Phân tích định hướng: K AA1, MA2 vng góc v i mp (BCD) từ quan hệ đường gấp khúc đoạn thẳng, cơng thức tính thể tích khối chóp ta chứng minh AM.S BCD ³ 3V - 3VM.BCD Kết hợp ý V = VMBCD + VMACD + VMABD + VMABC dẫn đến lời giải toán L i giải: Kẻ AA1, MA2 vng góc với mp (BCD) Rõ ràng ta có: AM + MA ³ AA ³ AA1 Þ AM ³ AA1 - MA (3.29) Dấu (3.29) xảy M thuộc đường cao AA1 tứ diện Từ (3.29) suy ra: AM.SBCD ³ AA1.SBCD - MA SBCD Suy AM.SBCD ³ 3V - 3VM.BCD (3.30) Dấu (3.30) xảy có dấu (3.29) M thuộc đường cao AA1 Lý luận tương tự, ta có: BM.SACD ³ 3V - 3VM.ACD (3.31) CM.SABD ³ 3V - 3VM.ABD (3.32) DM.SABC ³ 3V - 3VM.ABC (3.33) Dấu (3.31), (3.32), (3.33) xảy tương ứng M thuộc đường cao BB1, M thuộc đường cao CC1, M thuộc đường cao DD1 Từ (3.30), (3.31), (3.32), (3.33) với ý : V = VMBCD + VMACD + VMABD + VMABC Suy MA.SBCD + MB.SACD + MC.SABD + MD.SABC ³ 9V (đpcm) (3.34) Dấu xảy (3.34) đồng thời có dấu (3.30), (3.31), (3.32), (3.33) M đồng thời thuộc chiều cao tứ diện ABCD Khi M trùng với trực tâm tứ diện ABCD 76 Nhận xét: Lời giải toán 3.20 dựa vào kiến thức mối quan hệ đường gấp khúc đoạn thẳng, công thức tính thể tích tứ diện Bài tốn 3.21 [1] Cho hình chóp tam giác S.ABC thay đổi, có ba cạnh bên SA, SB, SC đơi vng góc Gọi h đường cao hình chóp, S1 ,S2 ,S3 h2 diện tích mặt bên Hãy tìm giá trị lớn tỉ số: y = S1 + S2 + S3 * Phân tích định hướng: Từ cơng thức tính diện tích tam giác hệ thức lượng tam giác 1 vng ta có: S1 = SSAB = SA.SB ; S2 = SSBC = SB.SC ; S3 = SSAC = SA.SC 2 1 1 = + + Biến đổi biểu thức đề cho kết hợp với bất 2 h SA SB SC đẳng thức Cơ – si dẫn đến lời giải tốn L i giải: Gọi SH đường cao hình chóp SABC ( H Ỵ (ABC) ); CH cắt AB I Xét tam giác vuông SIC tam giác vuông SAB ta có: 1 1 1 = 2+ 2= + 2+ 2 AH SI SC SA SB SC Suy ra: 1 1 = + 2+ 2 h SA SB SC 1 Đặt S1 = SSAB = SA.SB ; S2 = SSBC = SB.SC ; S3 = SSAC = SA.SC 2 77 Khi ta có: y = h2 1 = S1 + S2 + S3 S1 + S2 + S3 h2 1 SA.SB + SB.SC + SA.SC + + SA SB2 SC2 = (3.35) Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: 1 1 1 + + ³ SA SB2 SC2 SA SB2 SC2 (3.36) SA.SB + SB.SC + SA.SC ³ 3 SA SB2 SC (3.37) Từ (3.35), (3.36), (3.37) ta có: y£ 33 1 2 SA SB SC 2 = 3 SA SB2 SC2 Dấu xảy SA = SB = SC Vậy giá trị lớn biểu thức y y max = Nhận xét: Lời giải toán 3.21 dựa việc kết hợp kiến thức hệ thức lượng tam giác vng, cơng thức tính diện tích tam giác bất đẳng thức Cơ si 3.2.6 Bài toán cực trị giải phương pháp tọa độ Bài tốn 3.22 [8] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, cạnh Các điểm M, AM = DN = m N di động đoạn AD’ DB cho (0 < m < ) a) Chứng minh MN ln song song với mặt phẳng ( A¢D¢BC ) m thay đổi 78 b Định m để MN ngắn Chứng minh MN song song với A’C * Phân tích định hướng: Nhận thấy ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương cạnh 1, nên dựa vào phương pháp tọa độ ta đưa đến lời giải toán dễ dàng Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A trùng với gốc tọa độ O, B thuộc tia Ox, D thuộc tia Oy, A’ uuuur thuộc tia Oz kết hợp với kiến thức hình học giải tích để xác định MN , phương trình mặt phẳng (A’D’BC) độ dài đoạn thẳng MN, cơng cụ đánh giá qua u cầu toán đặt L i giải: a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), A’(0;0;1), B’(1;0;1), C’(1;1;1), D’(0;1;1) uuuur uuuur m uuuur ỉ m m Suy ra: AD¢ = ( 0;0;1) , AM = ADÂ ị M ỗ 0; ; ÷ 2 è ø uuur DB = (1; -1;0 ) ü uuur m ỉ m ï Ta cú: uuur m uuur ý ị DN = ỗ ;;0 ÷ ø DN = DB ï è 2 ỵ uuur uuur uuur ổ m m uuuur ổ m m ;1;0 ữ ị MN = ç ;1 - m 2; Và AN = AD + DN ị N ỗ ữ 2 2 ố ø è ø uuur uuur uuur BC = ( 0;1;0 ) üï é ¢Bù = ( -1;0; -1) Do uuur ị BC;A ý ỷ AÂB = (1;0; -1) ùỵ Phng trỡnh mt phng ( AÂDÂBC ) l: -1( x - 1) - 1( z ) = Û x + z - = Ta có M Ï ( A¢D¢BC ) + m ( ) - ¹ m < 79 uuuur uuuruuur ỉ ỉ -m m ộ Do MN ^ BC,AÂBự ỗ vỡ ( -1) + + ( -1) ỗ = ữ ữ ë û 2 è ø è ø Nên MN ln song song v i (A’D’BC) ( uuuur ỉ m m2 m ö + 1- m ;1 - m 2; b) Ta cú : MN = ỗ ữ Þ MN = 2 è ø ) m2 + Suy ra: MN = 3m - 2m + = f ( m ) Đồ thị hàm f(m) parabol có hệ số a = > nên suy f(m) nhỏ m = Do đó: MN nhỏ m = uuuur ỉ 1 uuuur uuuur uuuur ¢ ¢ MN ; ; ; A C 1;1; A C 3MN = = Þ = Khi ú ta cú ( ) ỗ ữ ố3 3ø MN A’C khơng có điểm chung Vậy MN//A’C Nhận xét : Trong Bài toán 3.22, dựa vào kiến thức phương uuuur pháp tọa độ mặt phẳng để xác định MN phương trình mặt phẳng (A’D’BC) Qua ta đưa đến quan hệ song song giải yêu cầu toán đặt Bài tốn 3.23 [9] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B có AB = 3, BC = Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) SA = Trên AB lấy điểm E cho AE = x Mặt phẳng (P) qua E song song với SA BC cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Tìm x để diện tích thiết diện lớn * Phân tích định hướng: Từ giả thiết toán ta phát chọn hệ trục Oxyz với gốc O trùng với A ; trục Ox vng góc với AC;trục Oy qua AC; trục Oz qua AS đưa đến lời giải toán nhẹ nhàng 80 Từ quan hệ song song vng góc khơng gian ta xác định thiết diện hình chữ nhật HEFG, vận dụng phương pháp tọa độ đưa đến lời giải tốn L i giải: Ta có: AC = + 16 = Dựng BK ^ AC Þ BK = AB.BC 12 = AC Chọn hệ trục Oxyz sau: Gốc O trùng với A ; trục Ox vng góc với AC;trục Oy qua AC; trục Oz qua AS Khi A(0 ;0 ;0), C(0 ;5 ;0), S(0 ;0 ;4) ỉ 12 AB2 = ị Bỗ ; ;0 ữ Ta cú : AK = AC è 5 ø Ta có : mp(P) // SA Þ mp (P) cắt mp (SAB) mp (SAC) theo hai giao tuyến song song suy EH // FG ; mp (P) // BC Þ mp (P) cắt mp (ABC) mp (SBC) theo hai giao tuyến song song Þ EF // BC Mà SA ^ BC nên  EH ^ EF Þ HEF = 90o Vậy thiết diện hình chữ nhật Ta có : ( - x ) EF AE EH BE 4x = Þ EH = ; = Þ EF = SA BO BC AB 4x ( - x ) 16 æ x + - x ö 16 = = x ( - x ) Ê 16 ỗ ÷ = = 3 9 è ø Suy : SHEFG Suy ra: Max S = x = - x hay x = Nhận xét : Lời giải toán 3.23 dựa phương pháp tọa độ không gian kết hợp với kiến thức sở hình học khơng gian cổ điển 81 Bài toán 3.24 [7] Cho m M nằm góc tam diện vng Oxyz Mặt phẳng (a ) thay đổi qua M cắt tia Ox Oy Oz điểm phân biệt A, B, C Tìm giá trị nhỏ thể tích tứ diện OABC * Phân tích định hướng: Từ giả thiết cho ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A thuộc tia Ox, B thuộc tia Oy, C tia Oz suy phương trình mặt phẳng (a ) ; kết hợp với kiến thức hình học giải tích, cơng thức thể tích khối chóp bất đẳng thức Cơ – si dẫn đến lời giải tốn L i giải :Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử M = (x ;y ;z ) mặt phẳng (a ) cắt Ox, Oy, Oz điểm A(a ;0 ;0), B(0 ;b ;0), C(0 ;0 ;c) Khi mặt phẳng (a ) có phương trình: x y z + + = a b c Ta có VOABC = a.b.c Vì M Ỵ (a ) nên Suy ³ 3 (3.38) x0 y0 z0 + + =1 a b c x y z (bất đẳng thức Cơ si) Þ abc ³ 27x y z abc Từ (3.38) (3.39) suy ra: VOABC ³ 27x y 0z (3.39) (3.40) ìa = 3x x0 y0 z0 ï = = = Û í b = 3y Dấu “=” (3.40) xảy a b c ïc = 3z î Nhận xét: Lời giải toán 3.24 dựa vào phương pháp tọa độ không gian bất đẳng thức Cô si 82 KẾT LUẬN Luận văn “ Các tốn cực trị hình học mặt phẳng không gian” thực mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đạt nội dung sau: Trình bày số lớp tốn cực trị hình học liên quan đến tính chất hình học, đại lượng hình học mặt phẳng không gian Đối với lớp toán, giới thiệu phương pháp giải chung kèm theo nhiều toán minh họa, toán tham khảo Các kết đạt luận văn cịn khiêm tốn góp phần giúp thân tìm hiểu làm rõ số vấn đề liên quan tốn cực trị hình học Mặc dù thân cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót luận văn Rất mong quý thầy bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ban tổ chức kì thi (2012), T ng tập đề thi Olympic 30 tháng toán học , NXB Đại học sư phạm [2] Vũ Hữu Bình, Hồ Thu Hằng, Kiều Thu Hằng (2003), Các toán giá trị lớn nhất, nhỏ hình học phẳng trung học sở, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Trần Nam Dũng, Nguyễn Anh Hoàng, Dương Bửu Lộc, Trần Đức Ngọc, Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Gia Tế (2014), Chuyên đề bồi ưỡng học sinh giỏi trung học sơ mơn hình học, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Trần Đức Huyên (2013), Tuyển tập đề thi Olympic năm tháng toán từ đến năm 2, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Phan Huy Khải (2001), i toán sơ cấp, NXB Hà Nội [6] Nguyễn Phú Khánh, Đậu Thanh Kỳ, Phạm Kim Chung, Nguyễn Trung Kiên (2014), í đạt điểm mơn Tốn, Chun đề Hình học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Nguyễn Phú Khánh, Nguyễn Tất Thu, Nguyễn Tấn Siêng (2012), Phân ạng phương pháp giải chuyên đề hình học , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Văn Lộc (2012), Các phương pháp khơng mẫu mực giải tốn hình học khơng gian kì thi đại học thi vơ địch tốn, NXB Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh [9] Nguyễn Văn Lộc (2010), Chun đề tốn hình học khơng gian thể tích, NXB Quốc gia Tp Hồ Chí Minh ... niệm kết hình học phẳng hình học khơng gian liên quan đến cực trị hình học Chương trình bày tốn cực trị hình học mặt phẳng Chương trình bày tốn cực trị hình học khơng gian Trong phần đưa vào ví... 22 + z 22 16 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG Trong chương này, chúng tơi trình bày m t số tốn cực trị hình học mặt phẳng liên quan đến tính chất hình học xác định vị trí... CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG 16 2.1 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 16 2.1.1 Bài tốn xác định vị trí điểm đường thẳng 16 2.1.2 Bài toán khoảng