Mặt trong không gian Euclid

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Tạ Thị Ngọc MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Tạ Thị Ngọc MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy cô giáo, tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm, phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt xin cảm ơn thầy giáo TS.Nguyễn Thạc Dũng người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình đóng góp ý kiến quý báu thời gian thực khóa luận Do hạn chế thời gian khả nghiên cứu khoa học nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, mong bảo quý thầy cô bạn sinh viên Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 26/04/2017 Tác giả khóa luận Tạ Thị Ngọc Lời cam đoan Khoá luận tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn, bảo nhiệt tình thầy giáo TS.Nguyễn Thạc Dũng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài "Mặt không gian Euclid" trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 26/04/2017 Tác giả khóa luận Tạ Thị Ngọc Mục lục Lời mở đầu 1 Mảnh Rn 1.1 Mảnh Rn 1.2 Định nghĩa vectơ tiếp xúc 15 1.3 Vectơ pháp tuyến trường vectơ 17 Mảnh quy R3 ánh xạ Gauss địa phương 18 2.1 Ánh xạ Gauss địa phương 18 2.2 Mặt quy 21 2.3 Một số ví dụ mặt 30 2.3.1 Định nghĩa mảnh Monge 30 2.3.2 Paraboloids mặt Monkey Saddles 31 2.3.3 Hình xuyến elliptic 34 2.3.4 Các mảnh kì dị 35 Vectơ tiếp xúc ánh xạ khả vi mặt 38 3.1 Vectơ tiếp xúc 38 3.2 Ánh xạ khả vi mặt quy 40 3.3 Các mặt mức R3 45 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc 3.3.1 Mặt ellipsoids 47 3.3.2 Mặt hyperboloids 49 3.3.3 Các mặt bậc cao 51 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc Lời mở đầu Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Hy Lạp Euclide tiến hành nghiên cứu quan hệ khoảng cách góc, trước hết mặt phẳng sau không gian Một ví dụ quan hệ loại là: tổng góc tam giác 180 độ Ngày quan hệ biết tên gọi hình học Euclid hai ba chiều Trong ngôn ngữ toán học đại, khoảng cách góc tổng quát cho không gian chiều, chiều nhiều chiều Một không gian n-chiều với khái niệm khoảng cách góc thỏa mãn quan hệ Euclide gọi không gian Euclide n chiều Hiện nay, mặt không gian Euclid nhiều nhà toán học quan tâm, có nhiều ứng dụng toán học, vật lý thực tiễn sống Trong khóa luận này, tập hợp nhiều nghiên cứu trình bày cách có hệ thống khái niệm lý thuyết mặt cong quy hay gọi đa tạp hai chiều Ngoài ra, số ví dụ mặt không gian Euclid Nội dung Khóa luận trình bày dựa theo sách tham khảo [Gray 2015] Khóa luận gồm chương Chương "Mảnh Rn " trình bày số khái niệm tính chất mảnh Rn mảnh đơn ánh, mảnh quy, ma trận Jacobian mảnh Trong chương này, Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc trình bày cách hệ thống khái niệm vectơ tiếp xúc, vectơ pháp tuyến mảnh, khái niệm trường vectơ mảnh Chương "Mảnh R3 ánh xạ địa phương Gauss" trình bày kiến thức mặt quy, ánh xạ Gauss địa phương Nhiều tiêu chuẩn phương pháp xây dựng mặt quy khảo sát chi tiết Cuối cùng, chương này, giới thiệu nhiều ví dụ mặt quy, chẳng hạn mặt parabolids, mặt yên ngựa, mặt yên ngựa khỉ, xuyến elliptic, Chương "Vetơ tiếp xúc ánh xạ khả vi mặt" trình bày định nghĩa vectơ tiếp xúc với mặt quy, định nghĩa số ví dụ ánh xạ khả vi mặt Toàn chương xem nhập môn thu gọn lý thuyết mặt hay lý thuyết đa tạp trơn hai chiều Chương kết thúc khái niệm mặt mức, trình bày tiêu chuẩn để mặt mức mặt quy hai chiều Nhiều ví dụ minh họa giới thiệu Khóa luận hoàn thành Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 26 vào tháng năm 2017 hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Thạc Dũng Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc kính trọng tới thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Thạc Dũng tận tình bảo trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo môn Hình học nói riêng, thầy cô giáo giảng dạy khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội nói chung giúp đỡ trình học tập hoàn thành khóa luận Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc Mặc dù cố gắng nhiều hạn chế lực khả tự nghiên cứu thân nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót Vậy kính mong quý thầy cô bạn xem xét góp ý để khóa luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 26/04/2017 Tác giả khóa luận Tạ Thị Ngọc Chương Mảnh Rn Vì đường cong Rn hàm vectơ giá trị biến, ta xem xét hàm vectơ giá trị hai biến Một đối tượng gọi mặt cong Do đó, mặt cong xem tương tự hai chiều đường cong Trong chương mở đầu này, trình bày khái niệm lý thuyết mặt Đầu tiên, đưa định nghĩa xác mảnh Sau đó, trình bày mảnh quy, đường tọa độ, vectơ tiếp xúc 1.1 Mảnh Rn Định nghĩa 1.1 Một mảnh mặt địa phương ánh xạ khả vi x : U −→ Rn với U tập mở R2 Tổng quát hơn, A tập R2 , ánh xạ x : A −→ Rn gọi mảnh x mở rộng thành ánh xạ khả vi từ U vào Rn , với U tập mở chứa A Chúng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc Rn cho zp ∈ Rnp với p ∈ M Ta nói zp pháp tuyến hay trức giao với M p zp vp = với vectơ tiếp xúc vp ∈ Mp Ta kí hiệu tập vectơ pháp tuyến với M p M⊥ p , ta có Rnp = Mp ⊕ M⊥ p Định nghĩa 3.3 (Trường vectơ tiếp xúc, trường vectơ pháp tuyến) Một trường vectơ V mặt quy M ánh xạ mà biến cho điểm p ∈ M vectơ tiếp xúc V (p) ∈ Rnp Ta nói V trường vectơ tiếp xúc với M V (p) ∈ Mp với p ∈ M Tương tự, ta nói V trường vectơ pháp tuyến hay trường vectơ vuông góc với M V (p) ∈ Mp⊥ với p ∈ M 3.2 Ánh xạ khả vi mặt quy Trong phần định nghĩa tính khả vi ánh xạ mặt quy Chúng ta thấy ta định nghĩa tính khả vi ánh xạ cách tương tự định nghĩa tính khả vi hàm giá trị thực mặt quy Định nghĩa 3.4 (ánh xạ khả vi) Cho M, N hai mặt quy Rn Ánh xạ F : M −→ N khả vi với hai mảnh đơn ánh quy x M y N , ánh xạ hợp thành y−1 ◦ F ◦ x khả vi Khi đó, trường hợp này, ta gọi F ánh xạ mặt Ví dụ 3.2.1 Một ví dụ đơn giản ánh xạ mặt ánh xạ đồng 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc 1M : M −→ M p −→ p với p ∈ M Định nghĩa 3.5 (Vi phôi hai siêu mặt) Một vi phôi hai mặt quy M N ánh xạ khả vi F : M −→ N cho F khả nghịch ánh xạ ngược F ánh xạ khả vi, tức tồn ánh xạ mặt G : N −→ M cho G ◦ F = 1M F ◦ G = 1N , 1M 1N ánh xạ đồng M N Trong nhiều trường hợp quan tâm đến tính khả vi lân cận điểm, cần định nghĩa sau Định nghĩa 3.6 (Vi phôi địa phương) Cho M, N hai mặt quy Rn , W tập mở M Ta nói ánh xạ F : W −→ N vi phôi địa phương điểm p ∈ W, tồn lân cận W ⊂ W p cho hạn chế F lên W vi phôi từ W vào tập mở F (W ) ⊆ N Cũng mặt quy có không gian tiếp xúc, ánh xạ mặt cảm sinh ánh xạ tiếp xúc 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc Định nghĩa 3.7 (Ánh xạ tiếp xúc) Cho M, N hai mặt quy Rn , cho p ∈ M Giả sử F : M −→ N ánh xạ mặt Khi đó, ánh xạ tiếp xúc cảm sinh F p ánh xạ F∗ : Mp −→ NF (p) xác định cụ thể sau Với vp ∈ Mp , chọn đường cong α : (a, b) −→ M cho α (0) = vp Khi đó, ta định nghĩa F∗ (vp ) vận tốc ban đầu đường cong ảnh F ◦ α :−→ N , tức là, F∗ (vp ) = (F ◦ α) (0) Để định nghĩa đắn, cần phải chứng minh định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn đường cong α Bổ đề 3.2 Cho F : M −→ N ánh xạ mặt cho vp ∈ Mp Khi đó, định nghĩa F∗ (vp ) không phụ thuộc vào việc chọn đường cong α với α (0) = vp Hơn nữa, F∗ : Mp −→ NF (p) ánh xạ tuyến tính Chứng minh Giả sử α α hai đường cong M cho α (0) = α (0) = p, α (0) = α (0) = vp Gọi x : U → Rn mảnh quy M thỏa mãn x (u0 , v0 ) = p Chúng ta viết đường cong α, α dạng α (t) = x (u (t) , v (t)) , α (t) = x (u (t) , v (t)) Như chứng minh Bổ đề 1.6, sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc cho đường cong, ta nhận (F ◦ α) (t) = u (t) (F ◦ x)u (u (t) , v (t)) + v (t) (F ◦ x)v (u (t) , v (t)) (F ◦ α) (t) = u (t) (F ◦ x)u (u (t) , v (t)) + v (t) (F ◦ x)v (u (t) , v (t)) Mặt khác, ta có u (0) = u (0) = u0 v (0) = v (0) = v0 u (0) = u (0) v (0) = v (0) Từ hệ thức tính toán trên, ta kết luận F∗ (vp ) = (F ◦ α) (0) = (F ◦ α) (0) Điều chứng tỏ F∗ (vp ) không phụ thuộc vào việc chọn đường cong α Cuối cùng, để chứng minh tính tuyến tính F∗ , ta ý F∗ (vp ) = u (0) (F ◦ x)u (u (0) , v (0)) + v (0) (F ◦ x)v (u (0) , v (0)) Do hệ số u (0) , v (0) phụ thuộc tuyến tính vào vp , ta khẳng định F∗ tuyến tính Đó điều phải chứng minh Chúng ta có hệ sau định lý hàm ngược R2 Hệ cho điều kiện để kiểm tra ánh xạ khả vi 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc vi phôi địa phương Định lý 3.1 Cho M, N mặt quy W ⊂ M tập mở Giả sử F : W −→ N ánh xạ khả vi cho ánh xạ tiếp xúc F∗ cảm sinh F p ∈ W đẳng cấu, dó F vi phôi địa phương p Chứng minh Gọi x : U −→ M y : V −→ N mảnh đơn ánh quy M N cho (F ◦ x) (U ) ∩ y (V ) = ∅ Bằng cách hạn chế miền xác định x y cần thiết, ta giả sử (F ◦ x) (U ) = y (V ) Khi ánh xạ tiếp xúc cảm sinh ánh xạ y−1 ◦ F ◦ x đẳng cấu Khi đó, theo định lý hàm ngược R2 , ta kết luận ánh xạ y −1 ◦ F ◦ x có ánh xạ ngược địa phương, ánh xạ ngược khả vi Do vậy, F có ánh xạ ngược địa phương, nghịch đảo F khả vi Đó điều phải chứng minh Trong phần lại mục này, đưa vài ví dụ ánh xạ mặt Ví dụ 3.2.2 Trong ví dụ này, vài ánh xạ khả vi mặt Cho y : U −→ M mảnh quy mặt quy M Khi đó, Định lý 2.1 khẳng định y vi phôi mặt quy U y(U ) 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc Cho y : U −→ M mảnh quy mặt quy M Khi ánh xạ Gauss địa phương U ◦ y−1 ánh xạ khả vi từ y(U ) vào hình cầu đơn vị S (1) R3 Cho S (a) = {p : p = a} mặt cầu bán kính a R3 Khi đó, ánh xạ đối cực xác định A : S (a) :−→ S (a) với A(p) = −p Ta chứng minh A vi phôi Cho F : Rn −→ Rn vi phôi cho M ⊂ Rn mặt quy Khi ánh xạ hạn chế F M : M −→ F (M) vi phôi mặt quy Đặc biệt phép biến hình Euclid Rn cho ta ánh xạ mặt Rn 3.3 Các mặt mức R3 Trong phần trước xét mặt quy xác định mảnh Một mô tả mặt mảnh gọi biểu diễn tham số Bên cạnh đó, có phương pháp khác để biểu diễn mặt quy cách dùng biểu diễn phi tham số Cho trước mặt quy M ⊂ R3 , phương pháp cho phép biểu diễn M tập hợp điểm mà ánh xạ ánh xạ khả vi g : R3 −→ R thành số thực Định nghĩa 3.8 (Mặt mức) Cho g : R3 −→ R hàm khả vi c số thực Khi đó, tập hợp M (c) = p ∈ R3 |g(p) = c 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc gọi mặt mức g tương ứng với giá trị c Định lý 3.2 Cho g : R3 −→ R hàm khả vi c số thực Khi đó, mặt mức M (c) g mặt quy M (c) khác rỗng vectơ gradient gradg khác không điểm M (c) Khi điều kiện thỏa mãn, gradg trực giao với M (c) điểm mặt mức M (c) Chứng minh Để chứng minh M (c) mặt quy, theo định nghĩa, ta phải p ∈ M (c), ta tìm mảnh quy lân cận p Lưu ý rằng, giả thiết (gradg) (p) = tương đương với khẳng định có đạo hàm riêng ∂g ∂g ∂g , , ∂x ∂y ∂z ∂g (p) = ∂z Từ điều kiện áp dụng định lý hàm ẩn, ta giải phương không triệt tiêu p Không tổng quát, ta giả sử trình g (x, y, z) = c theo ẩn z Nói cách xác hơn, tồn hàm khả vi h cho g (x, y, h (x, y)) = c Khi đó, mảnh cần tìm xác định x (u, v) = (u, v, h (u, v)) Hơn nữa, cho vp = (v1 , v2 , v3 )p ∈ M (c)p Khi đó, tồn đường cong α nằm M (c) thỏa mãn α (0) = p α (0) = vp Chúng ta biểu diễn α dạng α (t) = (a1 (t) , a2 (t) , a3 (t)) 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc Vì α nằm M (c) nên ta có g (a1 (t) , a2 (t) , a3 (t)) = c với t Khi đó, lấy đạo hàm hai vế áp dụng định lý hàm hợp, ta nhận i=1 ∂g dai ◦α = ∂ui dt Đặc biệt, t = 0, ta kết luận 0= i=1 ∂g dai (0) = (α (0)) ∂ui dt i=1 ∂g (p) vi = (grad g) (p) vp ∂ui Do (grad g) (p) vuông góc với M (c)p với p ∈ M (c) Đó điều phải chứng minh Chúng khép lại chương khép lại khóa luận vài ví dụ liên quan đến mặt mức 3.3.1 Mặt ellipsoids Phương trình không tham số xác định ellipsoid x2 y z + + = a2 b c (3.1) Với a, b, c độ dài bán trục ellipsoid Các ellipsoid với hai ba số a, b, c khác đơn giản ellipsoid tổng quát Các ellipsoid với bán trục gọi ellipsoid tròn xoay, chúng thu cách quay hình ellip quanh trục Hình 3.1 minh họa khác ellipsoid tròn xoay ellipsoid tổng quát Một cách biểu diễn 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc Hình 3.1: Miền ellipsoid [1, 1, 2] ellipsoid [1, 2, 3] dạng tham số (3.1) ellipsoid [a, b, c] (u, v) = (a cos v cos u, b cos v sin u, c sin v) Mảnh ellipsoid với biểu diễn quy ngoại trừ điểm cực bắc cực nam ellipsoid Đó điểm (0, 0, ±c) Tiếp theo, xác định tham số hóa khác ellipsoid, gọi ellipsoid trắc địa Ellipsoid trắc địa tổng quát phép chiếu trắc địa hình cầu Riemann giải tích phức Khi nghiên cứu mặt cong, ta thường thay đổi phép tham số hóa để nhấn mạnh tính chất đặc biệt mặt Chúng ta thấy điều loạt ví dụ Để quan sát cách thuận tiện, hình ellipsoid trắc địa quay cho cực bắc xuất phía trước hình Phương trình xác định có dạng 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc Hình 3.2: stereographicellipsoid [5, 3, 1] stereographicellipsoid [a, b, c] (u, v) = 3.3.2 c u2 + v − 2bv 2au , , + u2 + v + u2 + v + u2 + v Mặt hyperboloids Chúng ta xét mảnh sau hyperboloid1 [a, b, c] (u, v) = (a cosh v cos u, b cosh v sin u, c sinh v) , hyperboloid2 [a, b, c] (u, v) = (a sinh v cos u, b sinh v sin u, c cosh v) (3.2) Các mảnh mô tả mặt mà hình dạng thay đổi cách biến đổi ba tham số a, b, c Giả sử ba tham số dương, hyperboloid1 mô tả hyperboloid tầng, đó, hyperboloid2 mô tả nửa hyperboloid hai tầng (nửa thu cách lấy c < 0) Nếu |v| ngày lớn, mặt tiệm 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc cận tới mặt nón elliptic có dạng ellipticalcone[a, b, c] (u, v) = (av cos u, bv cos u, cv) , tượng đối xứng quay xuất a = b Trong trường hợp a = b, mặt hình thành cách quay nhánh hyperbola (hoặc đường thẳng) quanh trục Oz Điều minh họa Hình 3.3 Các phương trình không tham số Hình 3.3: Hyperboloids hình nón x2 y z + − = 1, a2 b c x2 y z + − = −1, a2 b2 c mô tả hyperboloid tầng hai tầng tương ứng Chúng ta dễ dàng phân biệt hai phương trình này, phương trình thứ hai nghiệm 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc z = 0, giải thích điểm mặt nằm mặt phẳng tọa độ Oxy 3.3.3 Các mặt bậc cao Xem xét hàm số gn : R3 −→ R xác định gn (x, y, z) = xn + y n + z n , với n ≥ số tự nhiên chẵn Dễ dàng thấy gradient gn cho (grad gn ) (x, y, z) = nxn−1 , ny n−1 , nz n−1 (3.3) Gradient gn bị triệt tiêu x = y = z = 0, đó, tập hợp p ∈ R3 |gn (p) = c mặt quy với c > Nó hình cầu với n = n ngày trở nên lớn hơn, (3.3) ngày trở nên giống với hình lập phương Ta thấy điều Hình 3.4 Chúng ta lưu ý rằng, tồn hàm g cho mặt mức p ∈ R3 |g (p) = c có nhiều thành phần liên thông khác Một ví dụ hiển nhiên mặt quy xác định x2 + y + z − (x − 3)2 + y + z − = Mặt bao gồm hai hình cầu tách rời Cuối cùng, nhận xét gradient hàm g : R3 −→ R vuông góc mặt mức nên có cách dễ dàng để 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Tạ Thị Ngọc Hình 3.4: Mặt quy x6 + y + z = nhận ánh xạ Gauss cho mặt Bổ đề 3.3 Cho g : R3 −→ R hàm khả vi c số thực cho gradg khác không tất điểm mặt mức M (c) = p ∈ R3 |g (p) = c Khi đó, trường vectơ U xác định U (p) = grad g (p) grad g(p) trường véc tơ pháp tuyến đơn vị xác định cách toàn cục M (c) Do đó, ta định nghĩa ánh xạ Gauss M (c) U, U xem ánh xạ U : M (c) → S (1) Ở S mặt cầu hai chiều R3 Chứng minh Chứng minh bổ đề hiển nhiên suy từ định nghĩa 52 Kết luận Khóa luận trình bày sơ lược kiến thức mặt không gian Euclid trình bày hệ thống khái niệm tính chất mảnh Rn , kiến thức mặt quy, ánh xạ Gauss địa phương, vectơ tiếp xúc, định nghĩa số ví dụ ánh xạ khả vi mặt Sau trình nghiên cứu, tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, củng cố tiếp thu thêm số kiến thức vấn đề liên quan tới mặt không gian Euclid kiến thức mảnh Rn , mặt quy làm quen với nghiên cứu khoa học Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 53 Tài liệu tham khảo [Gray 2015] Alfred Gray, Mordern Differential Geometry of Curvers and Surfaces, Elsa Abbena and Simon Salamon, the third edition, 2005 [Đoàn Quỳnh 2009] Đoàn Quỳnh, Hình Học Vi Phân, Nhà xuất Đại Học Sư Phạm, 2009 54 ... Thị Ngọc không gian vectơ Không gian gọi không gian tiếp xúc với x p Bổ đề 1.6 Tập x(U )p tất vectơ tiếp xúc với mảnh x điểm quy p = x (u0 , v0 ) ∈ x (U ) tạo thành không gian vectơ Không gian bao... chiều Trong ngôn ngữ toán học đại, khoảng cách góc tổng quát cho không gian chiều, chiều nhiều chiều Một không gian n-chiều với khái niệm khoảng cách góc thỏa mãn quan hệ Euclide gọi không gian Euclide... Tạ Thị Ngọc MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trong thời gian học tập