Lý thuyết mặt trong không gian LorentzMinkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ————————–o0o————————– TRẦN THỊ XUÂN MAI Tên đề tài LÝ THUYẾT MẶT TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ————————–o0o————————– TRẦN THỊ XUÂN MAI LÝ THUYẾT MẶT TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI Chuyên ngành: Hình học tô pô Mã số : 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Hoàng Hà HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Bản luận văn thực từ tháng 09 năm 2016 hoàn thành vào tháng 06 năm 2017, dấu ấn quan trọng nghiệp mở cho cánh cửa tri thức Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến trường Đại học sư phạm Hà Nội, phòng Đào tạo sau đại học trường ĐHSP Hà Nội, đặc biệt TS Phạm Hoàng Hà, người trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ với dẫn khoa học quý giá suốt trình triển khai, nghiên cứu hoàn thành đề tài "Lý thuyết mặt không gian LorentzMinkowski" Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội trực tiếp giảng dạy, truyền đạt kiến thức khoa học chuyên ngành hình học tô pô cho năm tháng qua Là công trình nghiên cứu nên chắn luận văn thạc sĩ nhiều thiếu sót Tôi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý báu thầy giáo, cô giáo, bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh phát triển Hà Nội, 01 tháng 06 năm 2017 Tác giả luận văn Trần Thị Xuân Mai Mục lục MỞ ĐẦU 1 Không gian Lorentz - Minkowski 1.1 Các định nghĩa sở: 1.2 Vectơ kiểu thời gian 1.3 Phép đẳng cự E31 3 11 Mặt không gian Lorentz - Minkowski 2.1 Mặt kiểu không gian kiểu thời gian E31 2.2 Độ cong trung bình mặt kiểu không gian 2.3 Tính địa phương độ cong ví dụ 2.4 Mặt không gian Lorentz - Minkowski với độ cong trung bình độ cong Gauss 16 16 22 29 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 34 MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học vi phân không gian Ơclit nghiên cứu từ lâu đời với đối tượng đường mặt Trong việc nghiên cứu tính chất độ cong mặt không gian Ơclit chiều phân loại mặt toán cổ điển nhiều nhà toán học tiếng nghiên cứu Cùng với phát triển hình học Ơclit, loại hình học phi Ơclit nghiên cứu mang lại nhiều ứng dụng thực tế (chẳng hạn vật lý) Một nghiên cứu quan tâm gần nghiên cứu đối tượng không gian Lorentz - Minkowski thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Mục đích luận văn bước đầu tìm hiểu lý thuyết mặt không gian Lorentz – Minkowski chiều Cụ thể trình bày chi tiết kết nghiên cứu gần Rafael López mặt không gian Lorentz - Minkowski Các kết tương tự tính chất mặt không gian Ơclit Với lý trên, đề tài nghiên cứu luận văn lựa chọn là: ”Lý thuyết mặt không gian Lorentz - Minkowski” II MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU Nghiên cứu mặt độ cong trung bình, độ cong Gauss mặt không gian Lorentz-Minkowski E31 III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng mà luận văn tập trung nghiên cứu mặt không gian Lorentz – Minkowski E31 IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp hình học giải tích phức V CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn gồm có chương: • Chương 1: Không gian Lorentz - Minkowski Trong chương này, trình bày kiến thức sở không gian Lorentz - Minkowski định nghĩa, véc tơ thời gian phép đẳng cự • Chương 2: Mặt không gian Lorentz - Minkowski Chương tập trung nghiên cứu lý thuyết mặt không gian Lorentz - Minkowski Các tính chất tương tự mặt không gian Ơclit tìm hiểu nghiên cứu cụ thể, chi tiết Chương Không gian Lorentz - Minkowski Trong chương trình bày kiến thức không gian Lorentz - Minkowski 1.1 Các định nghĩa sở: Cho R3 không gian vectơ thực với cấu trúc vectơ thông thường Kí hiệu Bu = {E1 , E2 , E3 } sở tắc R3 với: E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1) Ta định nghĩa (x, y, z) tọa độ vectơ theo sở Bu Ta xét R3 cấu trúc affine nó, ta nói "hàng" "cột" cấu trúc Định nghĩa 1.1.1 Không gian Lorentz - Minkowski không gian metric E31 = (R3 , , ) với metric , xác định bởi: u, v = u1 v1 + u2 v2 − u3 v3 , u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ), Metric , xác định gọi metric Lorentz Chúng ta sử dụng thuật ngữ không gian Minkowski metric Minkowski để gọi không gian metric Metric Lorentz metric không suy biến số Không gian vectơ R3 có giá metric Ơclit kí hiệu , e Ta viết không gian Ơclit ba chiều E3 = (R3 , , e ) phân biệt với không gian Lorentz - Minkowski Định nghĩa 1.1.2 Một vectơ v ∈ E31 gọi là: (1) Vectơ kiểu không gian v, v > v = 0, (2) Vectơ kiểu thời gian v, v < 0, (3) Vectơ kiểu ánh sáng v, v = v = Nón ánh sáng E31 tập hợp tất vectơ kiểu ánh sáng E31 : C = {(x, y, z) ∈ E31 : x2 + y − z = 0} − {(0, 0, 0)} Tập hợp tất vectơ kiểu thời gian là: T = {(x, y, z) ∈ E31 : x2 + y − z < 0} Chúng ta ý T C có hai thành phần hợp thành Đặt U ⊂ R3 không gian vectơ R3 , ta xét metric cảm sinh , U : u, v U = u, v , u, v ∈ U Metric U phân loại ba loại sau: (1) Metric xác định dương U gọi kiểu không gian (2) Metric có số U gọi kiểu thời gian (3) Metric suy biến U gọi kiểu ánh sáng Các kết đặc trưng vectơ không gian vectơ tính chất theo kiểu không gian, kiểu thời gian kiểu ánh sáng Trong phần tiếp theo, ta số đặc trưng tính chất không gian E31 Mệnh đề 1.1.3 Cho U ⊂ E31 không gian vectơ (1) dim(U ⊥ ) = − dim(U ) (2) (U ⊥ )⊥ = U (3) Nếu U không suy biến U ⊥ không gian không suy biến (4) U kiểu thời gian (tương ứng kiểu không gian, kiểu ánh sáng) U ⊥ kiểu không gian (tương ứng kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) (5) Nếu v vectơ kiểu thời gian kiểu không gian E31 = Span{v}⊕ Span{v}⊥ So sánh với không gian Ơclit E3 , tồn vectơ kiểu thời gian kiểu ánh sáng đưa đến số tính chất "khác lạ" sau: Mệnh đề 1.1.4 (1) Hai vectơ kiểu ánh sáng u, v ∈ E31 gọi phụ thuộc tuyến tính u, v = (2) Nếu u v hai vectơ kiểu thời gian kiểu ánh sáng với u, v = u v vectơ kiểu ánh sáng (3) Nếu u v hai vectơ kiểu thời gian u, v = (4) Nếu U không gian kiểu ánh sáng dim(U ∩ U ⊥ ) = Mệnh đề 1.1.5 Cho P ⊂ E31 không gian chiều Các khẳng định sau tương đương: (1) P không gian kiểu thời gian (2) P chứa hai vectơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính (3) P chứa vectơ kiểu thời gian Chúng ta xét đặc trưng không gian kiểu ánh sáng Mệnh đề 1.1.6 Cho U không gian vectơ E31 Các khẳng định sau tương đương: (1) U không gian kiểu ánh sáng (2) U chứa vectơ kiểu ánh sáng vectơ kiểu thời gian (3) U ∩ C = L − {0} dimL = Từ quan điểm Ơclit, kết sau hữu ích − Mệnh đề 1.1.7 Cho P ⊂ E31 mặt phẳng vectơ Kí hiệu → ne vectơ trực giao theo nghĩa metric Ơclit Khi P mặt phẳng kiểu − không gian (tương ứng kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) → ne vectơ kiểu thời gian (tương ứng kiểu không gian, kiểu ánh sáng) − Chứng minh Nếu P = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0} → n tỉ lệ với e vectơ (a, b, c) Ta viết P sau: P = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by − (−c)z = 0} = Span{(a, b, −c)}⊥ − Tính chất đặc trưng vectơ (a, b, −c) giống với vectơ → n theo mệnh e đề 1.1.3 ta có điều phải chứng minh Ta định nghĩa chuẩn (module) vectơ Định nghĩa 1.1.8 Lấy u ∈ E31 , chuẩn u |u| = gọi vectơ đơn vị chuẩn | u, u | Vectơ u Mệnh đề 1.1.9 Nếu P = Span{v}⊥ mặt phẳng kiểu không gian |v|e ≥ |v| Chứng minh Mệnh đề thỏa mãn |v| = − Giả sử → ne = (a, b, c), với a2 + b2 + c2 = thì: v = ±√ (a, b, −c) c2 − a2 − b2 Chuẩn Ơclit |v|e là: a2 + b2 + c2 = = ≥1 c − a2 − b2 c2 − a2 − b2 c2 − a2 − b2 = − 2(a2 + b2 ) ≤ |v|2e Kết khẳng định vectơ kéo vectơ đơn vị trực giao mặt phẳng kiểu không gian, kích thước Ơclit lớn 1.2 Vectơ kiểu thời gian Nếu u vectơ kiểu thời gian, nón kiểu thời gian u : C(u) = {v ∈ T : u, v < 0} Tập hợp khác rỗng u ∈ C(u) Hơn nữa, v vectơ kiểu thời gian khác u sử dụng u, v = ( mệnh đề 1.1.4), u, v < u, v > Điều có nghĩa T hợp hai tập rời nhau, tức T = C(u) ∪ C(−u), với C(u) ∩ C(−u) = ∅ Ta có số tính chất nón kiểu thời gian Mệnh đề 1.2.1 (1) Hai vectơ kiểu thời gian u v thuộc nón kiểu thời gian u, v < (2) u ∈ C(v) C(u) = C(v) (3) Các nón kiểu thời gian tập lồi Nhận xét 1: Sự tồn nón kiểu thời gian xảy T có hai thành phần hợp thành Đối với vectơ kiểu ánh sáng tương tự vectơ kiểu thời gian C có hai thành phần hợp thành, ta gọi lại là: 1 λ1 = − , λ2 = 0, H = − , K = r 2r (2) (Hình trụ hyperbolic) Nếu trục kiểu không gian N kiểu thời gian kiểu không gian Đây hai hình trụ tròn: (a) Nếu N kiểu thời gian − Cs (r; L) = {p ∈ E31 : |p − p0 |2 − p − p0 , → a 1 λ1 = − , λ2 = 0, H = , K = r 2r (b) Nếu N kiểu không gian − C (r; L) = {p ∈ E3 : |p − p |2 − p − p , → a t = −r2 }, = r2 }, 1 λ1 = − , λ2 = 0, H = − , K = r 2r → − Ta xét vài trường hợp cụ thể a : − (1) Nếu → a = (0, 0, 1), C(r; L) = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y = r2 } Mặt hình trụ tròn Ơclit thẳng đứng − (2) Nếu → a = (1, 0, 0) thì: (a) Hình trụ hyperbolic kiểu không gian Cs (r; L) = {(x, y, z) ∈ R3 : y − z = −r2 , z > 0}; (b) Hình trụ hyperbolic kiểu thời gian Ct (r; L) = {(x, y, z) ∈ R3 : y − z = r2 , y > 0} 2.3 Tính địa phương độ cong ví dụ Ta tính độ cong mặt không suy biến cách sử dụng tham số hóa địa phương Xét tham số hóa địa phương Ψ : U ⊂ R2 → E31 , Ψ = Ψ(u, v), phép nhúng (kiểu không gian thời gian) x Cho B = {Ψu , Ψv } sở địa phương phẳng tiếp xúc điểm Ψ(U ) Đối với B, E F cho biểu thức ma trận dãy thứ nhất, F G E = Ψu , Ψu , F = Ψu , Ψv , G = Ψv , Ψv 29 Kí hiệu W = EG − F Mặt kiểu không gian W > kiểu thời gian W < Ta đưa trường véc tơ đơn vị chuẩn: N= Ψu × Ψv |Ψu × Ψv | (2.13) Ta sử dụng định nghĩa N, N = , − (EG − F ) = |Ψu × Ψv | = Cho e f f f √ − W biểu thức ma trận σ B, e = − AΨu , Ψu = − Nu , Ψu = N, Ψuu f = − AΨu , Ψv = − Nv , Ψu = − Ψv , Nu = N, Ψuv g = − AΨv , Ψv = − Nv , Ψv = N, Ψvv Ở A ánh xạ Weingarten Khi A= E F F G −1 e f f f Vì độ cong trung bình độ cong Gauss H= eg − f eG − 2f F + gE , K = EG − F EG − F (2.14) Theo (2.13), ta có det(Ψu , Ψv , Ψuu ) √ − W det(Ψu , Ψv , Ψuv ) √ = − W det(Ψu , Ψv , Ψvv ) √ = − W e = N, Ψuu = f = N, Ψuv g = N, Ψvv Từ (2.14) viết H=− det(Ψu , Ψv , Ψuu )G − 2det(Ψu , Ψv , Ψuv )F + det(Ψu , Ψv , Ψvv )E 2(− W )3/2 (2.15) det(Ψu , Ψv , Ψuu )det(Ψu , Ψv , Ψvv ) − det(Ψu , Ψv , Ψuv )2 K=− W2 30 Ví dụ (Đồ thị) Cho f ∈ C (Ω) hàm nhẵn, xét mặt M cho z = f (x, y) Cho Ψ : Ω → E31 có tham số hóa Ψ(x, y) = (x, y, f (x, y)) Các hệ số dạng thứ là: E = − fx2 , F = −fx fy , G = − fy2 Do EG − F = − fx2 − fy2 = − |∇f |2 Nếu phép nhúng kiểu không gian (tương ứng kiểu thời gian) ta có |∇f |2 < (tương ứng > 1) Ω Độ cong trung bình H thỏa mãn: (1 − fy2 )fxx + 2fx fy + (1 − fy2 )fyy = −2H(− (1 − |∇f |2 ))3/2 Tương tự, độ cong Gauss K fxx fyy − fxy K=− (1 − fx2 − fy2 )2 Để biết khác trường hợp mặt kiểu không gian kiểu thời gian, ta nghiên cứu họ mặt kiểu thời gian mà tự đồng cấu Weingarten không chéo hóa Ví dụ Cho α : I → E31 đường cong kiểu ánh sáng, kí hiệu {T, N, B} khối tam diện Frenet Ta xét ánh xạ Ψ : I × R → E31 , Ψ(s, t) = α(s) + tB(s) Mặt gọi đường xoắn ốc - B Ta tính ma trận ánh xạ Weingartan sở Ψs , Ψt Do Ψs = T + tB = T + tτ N Ψt = B nên E F F G t2 τ −1 −1 = Định thức âm nên mặt kiểu thời gian Do Ψss = tτ T + (1 + tτ )N + tτ B, Ψst = τ N, Ψtt = nên dạng thứ hai e f f g = − t(τ − tτ ) −τ −τ Tự đồng cấu Weingartan A= τ + tτ 31 τ Ma trận không chéo hóa Mặt khác, độ cong trung bình H = τ độ cong Gauss K = τ Mặt thoả mãn H − K = H − K = mặt rốn Ta đưa nhiều ví dụ mặt Ví dụ (Mặt đinh ốc) Mặt đinh ốc mặt bất biến nhóm mêtric unipara chuyển động theo đường đinh ốc E31 Một trường hợp cụ thể mặt xoay nghiên cứu phần sau H Ở ta quan tâm tính toán H K Mặt tất mặt cực tiểu (H = 0) (1) Mặt đinh ốc loại Tham số hóa Ψ(s, t) = (scos(t), ssin(t), ht), s > h > Do W = s2 − h2 , nên mặt kiểu không gian với H = K = h2 /(s2 − h2 )2 (2) Mặt đinh ốc loại Xét mặt Ψ(s, t) = (ht, scosh(t), ssinh(t)), h > 0, s ∈ (h, ∞) Khi W = h2 − s2 < mặt kiểu thời gian Ở H = K = h2 /(s2 − h2 )2 H − K < Mặt mặt rốn (3) Mặt đinh ốc loại Tham số hóa là: Ψ(s, t) = (ht, ssinh(t), scosh(t)), h > 0, s ∈ R Mặt kiểu thời gian với H = K = h2 /(s2 + h2 )2 Ánh xạ Weingartan không chéo hóa (4) Mặt Cayley’s Tham số hóa t3 t3 Ψ(s, t) = (st − ht + h , s + ht , st + ht + h ), h, s > 3 Nên W = −4hs Mặt kiểu thời gian với H = K = 1/(4s2 ) Ví dụ Mặt kẻ lớp mặt không gian Lorentz - Minkowski Ta sử dụng số ví dụ mặt kẻ để tính H K Trong tất ví dụ sau mặt kiểu thời gian, tự đồng cấu Weingartan không chéo hóa H − K = 32 (1) Xét phép nhúng Ψ(s, t) = (scos(t), ssin(t), s + ht), h > Mặt kiểu thời gian với W = −h2 Ở H = 1/h K = 1/h2 −1 Khi H − K = ánh xạ Weingartan h h (2) Cho a = Xác định mặt Ψ(s, t) = (ht, (s + a)cosh(t) + ssinh(t), (s + a)sinh(t) + scosh(t)) Mặt kiểu thời gian W = −a2 Ở H = K = ánh xạ − Weingarten 0 (3) (Hình trụ rỗng parabol) Tham số hóa t3 t3 Ψ(s, t) = (s + h(−t + ), ht , s + h(t + )), h > 3 Mặt kiểu thời gian với W = −4h2 H = K = 0, ánh xạ Weingarten 0 Chúng ta kết thúc phần với mô tả tất mặt rốn E31 Định lí 2.3.1 Chỉ có mặt rốn không gian Minkowski phẳng, phẳng hyperbolic giả cầu Chứng minh Xét tọa độ lân cận Ω ⊂ R2 cho Ψ = Ψ(u, v) tham số hóa tương ứng Do ánh xạ Weingarten chéo hóa nên có hàm f cho (N ◦ Ψ)u = (f ◦ Ψ)Ψu (N ◦ Ψ)v = (f ◦ Ψ)Ψv Hệ quả, f hàm nhẵn Một khác biệt u v (f ◦ Ψ)u Ψv + (f ◦ Ψ)Ψuv = (f ◦ Ψ)v Ψu + (f ◦ Ψ)Ψuv Thực (f ◦ Ψ)u = (f ◦ Ψ)v Điều có nghĩa f hàm Ω, f ◦ Ψ = r, r ∈ R Do mặt liên thông, f ◦ Ψ = r M 33 (1) Nếu r = Nu = Nv , N Vậy mặt phẳng (2) Nếu r = Nu = rΨu Nv = rΨv Trong Ω ta xác định h(u, v) = Ψ(u, v) − (N ◦ Ψ)(u, v) r Kéo theo hu = hv = h Tồn p0 ∈ E31 cho Ψ(u, v) − (N ◦ Ψ)(u, v) = p0 r Khi Ψ − p0 , Ψ − p0 = ∓ với dấu hiệu tùy thuộc mặt kiểu r không gian hay kiểu thời gian tương ứng Trong tất trường hợp theo định nghĩa, mặt bao gồm phẳng hyperbolic giả cầu 2.4 Mặt không gian Lorentz - Minkowski với độ cong trung bình độ cong Gauss Một lớp kết không gian Ơclit khẳng định mặt với độ cong tập mở mặt rốn (phẳng siêu cầu) hình trụ tròn Ta mở rộng kết với không gian Minkowski, bước chứng minh tương tự Cho mặt không suy biến E31 với ánh xạ Weingarten A chéo hóa, không đổi H K tương đương để nói độ cong λ1 λ2 số Trong trường hợp vậy, với thay đổi tương ứng, chứng minh E31 tương tự không gian Ơclit, bao gồm mặt rốn hình trụ tròn Khi ánh xạ Weingartan không chéo hóa (cần thiết với mặt kiểu thời gian), H − K ≤ Xét mặt M tham số hóa Ψ(s, θ) = (scos(θ), ssin(θ), s + hθ), h > Mặt mặt đinh ốc, bất biến nhóm meetric unipara GL,h = {φθ : θ ∈ R} chuyển động E31 mà trục L xác định véc tơ (0, 0, 1) dao động h Ở φθ      x cos(θ) −sin(θ) (2.16) φθ (x, y, z) = sin(θ) cos(θ) 0 y  + h 0 z θ 0 34 Nếu ta xét đường cong γ(t) = (s, 0, s) M = GL,h (γ) = {φθ (γ(t)) : s, θ ∈ R} M không mặt rốn kiểu thời gian mặt kẻ với đường sinh kiểu ánh sáng Hơn nữa, H K với H = 1/h, K = 1/h2 H − K = M Quay lại trường hợp H K hàm hằng, ta cần thiết H − K ≥ Một kết gần Clelland mặt với H − K = không cần thiết H, K mặt kẻ với đường chuẩn đường sinh kiểu ánh sáng Trong trường hợp H K hằng, ta tham số hóa mặt trình bày rõ ràng ví dụ Định lí 2.4.1 Cho M mặt không suy biến không gian Minkowski E31 Nếu H K M mặt rốn, hình trụ tròn mặt kẻ với đường chuẩn đường sinh kiểu ánh sáng Trong trường hợp sau H −K = Nói chung, siêu diện với hệ số đa thức đặc trưng ánh xạ Weingarten gọi tự tham số hóa Với mặt, hệ số H K số Trong trường hợp chiều, mặt phân loại địa phương không gian Ơclit không gian Lorentz với chiều tùy ý Trường hợp hai giá trị riêng (thực) phân biệt ánh xạ Weingarten không chéo hóa được xử lí Chứng minh Từ kết biết, ta xét tập mở tham số hóa mặt Chứng minh chia thành hai trường hợp với ánh xạ Weingarten chéo hóa không chéo hóa Trường hợp Tự đồng cấu Weingarten chéo hóa Chứng minh bên tương tự bước chứng minh không gian Ơclit Trường hợp xảy mặt kiểu không gian kiểu thời gian với H − K > Bằng biểu thức H K số hạng độ cong chính, ta kết luận λi Nếu p ∈ M, λ1 (p) = λ2 (p) H(p) = λ1 (p) K(p) = λ1 (p)2 Vì H, K hàm nên H − K = M Điều có nghĩa mặt mặt rốn Trường hợp khác, điểm không điểm rốn Ta mặt hình trụ tròn Vì điểm mở không rốn có tọa độ địa phương theo đường cong, cho Ψ : U ⊂ R2 → M ⊂ E13 tham số hóa mặt với tính chất F = f = nên −Nu = λ1 Ψu , −Nv = λ2 Ψv 35 Nếu mặt kiểu không gian véc tơ Ψu , Ψv kiểu không gian Nếu M kiểu thời gian, không tổng quát ta giả sử Ψu kiểu không gian Ψv kiểu thời gian Trong hệ tọa độ này, biểu thức đạo hàm cấp hai tham số hóa số hạng Ψu , Ψv , N Eu Ψu + eN (2.17) Ψuu = 2E Gu Ev Ψu + Ψv Ψuv = 2E 2G Gv Ψvv = Ψv + gN 2G Ta phân biệt phương trình thứ v, phương trình thứ hai u đưa tính toán λi hằng, ta có −Nuv = λ1 Ψuv = λ2 Ψuv Do λ1 = λ2 ta Nuv = Ψuv = miền U Do Ev = Ψu , Ψu v = Ψuv , Ψu = Gu = Ψu , Ψu u = Ψuv , Ψv = Khi E hàm phụ thuộc vào u G phụ thuộc vào v Tương tự, sử dụng lại Nuv = Ψuv = 0, ta ev = − Nu , Ψu gu = − Nv , Ψv = − Nuv , Ψu − Nu , Ψuv = u = − Nuv , Ψv − Nv , Ψuv = v Ta kết luận e hàm phụ thuộc u g phụ thuộc v Ở (Ψuu )v = (Ψuv )u (Ψvv )u = (Ψuv )v , ta có từ (2.17): eNv = 0, gNu = (2.18) Một quan sát Nu Nv không triệt tiêu số điểm p, trường hợp hai độ cong triệt tiêu p điểm rốn Cũng thế, e g triệt tiêu số điểm λ1 = e/E λ2 = g/G điểm lại điểm rốn Không tổng quát, ta giả sử Nu = mở mặt Từ (2.18), g = U sử dụng lần hai phương trình (2.18) có e = Nv = Yêu cầu Trường véc tơ Ψv /|Ψv | miền U Chứng minh yêu cầu Ta (Ψv /|Ψv |)u = (Ψv /|Ψv |)v = U Ta bắt đầu với (Ψv /|Ψv |)u√ Nhớ lại dấu G giống với dấu − Vì Ψuv = |Ψv | = − G phụ thuộc vào v nên ta có: Ψv |Ψv | = u Ψuv − |Ψv | 36 √ −G Ψv = u Bây ta chứng minh (Ψv /|Ψv |)v = cho thấy trường véc tơ trực giao với véc tơ {Ψu , Ψv , N } Sử dụng F = Ψuv = ta có Ψv Ψv , Ψu = , Ψu |Ψv | v |Ψv | √ √ Do G/ − G = − − G, ta có Ψv |Ψv | , Ψv = v Ψv , Ψv |Ψv | v − Ψv , Ψuv = |Ψv | √ Ψv Gv , Ψvv = (− − G)v − √ = |Ψv | −G v − Bằng cách tính Nv = 0, ta có Ψv |Ψv | ,N = − v Ψv , Nv = |Ψv | Yêu cầu đảm bảo tồn véc tơ đơn vị a cho a= Ψv Ψv =√ |Ψv | −G Tóm lại Ψu , a = N, a = Ψu , a = Ψv , (2.19) √ Ψv = − − G |Ψv | (2.20) Ta ý Ψv Ψv a, a = √ ,√ =− −G −G Định nghĩa h : U → E31 , h(u, v) = Ψ(u, v) + Ψ(u, v), a a + N (u, v) λ1 Ta chứng minh h hàm đạo hàm riêng hu , hv triệt tiêu U Sử dụng Nu = −λ1 Ψu (2.19) ta có hu = Ψu + Nu = λ1 Sử dụng (2.20) |Ψv |2 = − G, ta có hv = Ψv + Ψv , a a = 37 Do h nên tồn p0 ∈ E13 cho Ψ(u, v) + Ψv , a a + N (u, v) = p0 λ1 Ở đây, từ (2.19) (2.20) ta có |Ψ(u, v) − p0 |2 + Ψ(u, v) − p0 , a = λ21 Mặt hình trụ tròn trục L, bán kính 1/|λ1 |, L đường thẳng chứa p0 với phương a Trường hợp Tự đồng cấu Weingarten không chéo hóa Mặt kiểu thời gian Giả sử H − K < ta dẫn đến mâu thuẫn Lấy hệ tọa độ M , cho Ψ : U → M tham số hóa cho E = G = Từ (2.14) H, K hằng, tồn λ, µ ∈ R cho H= f = λ, F K= eg − f = µ −F Tóm lại eg = (λ2 − µ)F (2.21) Biểu thức ma trận ánh xạ Weingarten Ψu , Ψv A= F F −1 e f f g = F f e g f Do H − K < nên eg = Đạo hàm cấp hai Ψ Ψuu = Fu Fv Ψu + eN, Ψuv = f N, Ψvv = Ψv + gN F F Bằng cách kết hợp phương trình (Ψuu )v = (Ψuv )u , (Ψvv )u = (Ψuv )v với biểu thức A ta có Fu F − v e2 f2 =− , F F Fv F − u g2 f2 =− F F ef fg = F F Fu f + ev = fu , F Fv f + gu = fv F (2.22) (2.23) (2.24) Phương trình (2.22) cho e2 = g nên e = ±g Ta phân biệt hai trường hợp 38 (1) f = Phương trình (2.24) cho eu = ev = Do e g hàm Từ (2.21) hệ số F (2.22) cho e2 = f = 0: mâu thuẫn (2) f = Phương trình (2.23) kéo theo e = g (2.21) cho F Phương trình (2.22) cho e2 = f nên e = ±f Tóm lại K = H − K ≥ 0: mâu thuẫn Biểu thức ma trận ánh xạ Weingarten e F ±1 1 ±1 chéo hóa với giá trị riêng ±e/F Giả sử H − K = mặt Mặt mặt kẻ M tham số hóa theo cách mà đường chuẩn đường sinh kiểu ánh sáng Ta đưa ví dụ mặt không rốn kiểu thời gian với H K hàm hằng, H − K = Mặt M tham số hóa Ψ(s, t) = α(s) + tw(s), α đường cong kiểu ánh sáng đường sinh w(s) kiểu ánh sáng Bây W = −F Khi f det(Ψu , Ψv , Ψuv ) H= = = λ, F F |F | f2 det(Ψu , Ψv , Ψuv )2 K= 2= = µ, F F4 với λ, µ ∈ R Tham số α(s) = (x(s), y(s), z(s)) α kiểu ánh sáng, đường cong α đồ thị hai hàm trục z: α(s) = (x(s), y(s), s) Hơn nữa, x (s)2 + y (s)2 − = x (s) = cosψ(s), y (s) = sinψ(s), (2.25) với số hàm khác ψ Ta phân biệt trường hợp khác (1) Giả sử w trường véc tơ Thì f = H = K = Điều có nghĩa hình trụ với sở đường cong kiểu ánh sáng với đường sinh kiểu ánh sáng mặt với H = K = Trên thực tế kết tổng quát hơn: mặt trụ với đường sinh kiểu ánh sáng mặt kiểu thời gian với H = K = Do từ tham số hóa Ψ(s, t) = α(s) + tw, Ψt = w Ψst = Ψtt = Do G = f = g = (2) Giả sử w đường cong chân trời Không tổng quát giả sử w nằm phẳng có phương trình z = Do w(s) kiểu ánh sáng, w(s) = (cosθ(s), sinθ(s), 1) với θ hàm khả vi Tham số hóa 39 lại mặt s = ψ ◦ θ−1 (s), tham số hóa M Ψ(s, t) = α(s) + t(cos(s), sin(s), 1), với phương trình (2.25) ta có f = − cos(s − ψ), F = −1 + cos(s − ψ) Điều kiện f = λF |F | suy − cos(s − ψ) = −λ(1 − cos(s − ψ))2 Nếu λ = − cos(s − ψ) = Vậy F = 0: mâu thuẫn Do λ = = −λ(1 − cos(s − ψ)) = Điều có nghĩa ψ(s) = s + c với c ∈ R, c = 2nπ, n ∈ Z Nghiệm (2.25) x(s) = sin(s + c) + x0 , y(s) = −cos(s + c) + y0 , với x0 , y0 ∈ R số tích phân Sau phép tịnh tiến đường chân trời, mặt có tham số hóa Ψ(s, t) = (tcos(s), sin(s + c), −cos(s + c) + tsin(s), s + t) (2.26) Mặt mặt đinh ốc mà trục L trục z h = Cho φm ∈ GL,1 , m ∈ R có biểu thức cho (2.16) Có thể dễ dàng chứng minh φm (Ψ(s, t)) = Ψ(m+s, t) Đường sinh γ(t) nằm phẳng có phương trình y = Tóm lại trường hợp c = π/2 Ψ(s, t) = ((1 + t)cos(s), (1 + t)sin(s), s + t), mặt đinh ốc với trục kiểu thời gian đường sinh đường cong kiểu ánh sáng γ(t) = (t + 1, 0, t) (3) Phần lại mặt thu w(s) không đường chân trời phẳng Ta tham số hóa w(s) = (a(s), b(s), s) Do w kiểu ánh sáng, nên tồn θ(s) cho w(s) = s(cosθ(s), sinθ(s), 1) Ta giả sử s > Khi f = s2 θ (1 − cos(ψ − θ)), F = s(−1 + cos(ψ − θ)), ta có θ (1 − cos(ψ − θ)) = −λ(1 − cos(ψ − θ))2 , λ ∈ R (2.27) Do − cos(ψ − θ) = kéo theo F = 0, ta kết luận θ = −λ − cos(ψ − θ) Định lí 2.4.2 Mặt kiểu thời gian không rốn E31 với H K số H = K = λ là: 40 (1) Mặt trụ với đường sinh kiểu ánh sáng Mặt có H = K = (2) Mặt đinh ốc tham số hóa (2.26) Mặt mặt đinh ốc thỏa mãn H, K = (3) Mặt kẻ X(s, t) = α(s) + ts(cosθ(s), sinθ(s), 1), θ nghiệm (2.27), α cho (2.25) ψ − θ = 2kπ, k ∈ Z thỏa mãn H = K = λ Ta kết thúc phần ví dụ cụ thể mặt trường hợp thứ ba Cho ψ(s) = nθ(s) với n ∈ Z Ví dụ (1) Nếu n = 2, nghiệm tham số hóa lại θ(s) = −2arccot(cs), c ∈ R Từ (2.25) ta có α(s) = s+ arctan(cs) log(1 + c2 s2 ) 4s , − ,s − − + c2 s2 c c + c s2 c (2) Nếu n = nghiệm (2.27) θ(s) = −arccot(2cs) phép lấy tích phân (2.25) dẫn tới + 4s2 4s √ ,√ − log(2cs + 2c + 4c2 s2 + 4c2 s2 2c 41 + 4c2 s2 ), s KẾT LUẬN Chúng nghiên cứu tìm hiểu khái niệm chứng minh số kết mặt không gian Lorentz - Minkowski ba chiều để hiểu không gian với mêtric Lorentz - Minkowski cảm sinh Không thế, giống khác lý thuyết mặt không gian Lorentz - Minkowski ba chiều với không gian Ơclit ba chiều thấy mở rộng hình học vi phân đường mặt không gian từ không gian biết Chúng trình bày làm rõ số chứng minh báo [9] để nghiên cứu lý thuyết mặt không gian Lorentz - Minkowski 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn, Lí thuyết Liên thông Hình học Riemann, Nhà xuất Đại học Sư Phạm, 2015 [2] Phạm Bình Đô, Hình học vi phân, Nhà xuất Đại học Sư Phạm, 2010 [3] Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, Nhà xuất Đại học Sư Phạm, 2007 [4] Bonnor, W B., Differential geometry of curves and surfaces, PreticeHall, Saddle River, 1976 [5] Carmo, M do, Differential geometry of curves and surfaces, PreticeHall, Saddle River, 1976 [6] Ferrández, A., Giménez, A., Lucas, P., Null helices in Lorentzian space forms, Internat J Modern Phys A 16 (2001), 4845-4863 [7] Graves, L K., Codimension one isometric immersions between Lorentz space, Trans Amer Mah Soc 252 (1979), 367-392 [8] Kuhnel, W., Differential geometry Curves- surfaces- manifolds, American Mathematical Society, Providence, RI, 2002 [9] Rafael López, Differential geometry of curves and surfaces in Lorentz – Minkowski space, International electronic journal of geometry, Volume No PP 44- 107 (2014) [10] Montiel, S., Ros, A., Curves And Surfaces, Amer Math Soc., Gradnate Studies in Math 69 2009 43