Lý thuyết KKM trong không gian g lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG LÝ THUYẾT KKM TRONG KHƠNG GIAN G-LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG LÝ THUYẾT KKM TRONG KHÔNG GIAN G-LỒI Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình HÀ NỘI - 2016 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Quốc Bình, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Tốn giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Hoàng Thị Mai Phương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình, luận văn chun ngành Tốn giải tích với đề tài:”Lý thuyết KKM khơng gian G-lồi” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Hoàng Thị Mai Phương Mục lục Mở đầu Các kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 1.2 Nguyên lý ánh xạ KKM 1.2.1 Bổ đề KKM 1.2.2 Nguyên lý ánh xạ KKM bất đẳng thức Ky Fan 1.2.3 Dạng hình học bất đẳng thức Ky Fan 13 1.2.4 Bổ đề KKM cho tập hợp mở 14 1.2.5 Định lý minimax 15 1.2.6 Các định lý điểm bất động 17 Lý thuyết KKM không gian G-lồi 10 19 2.1 Giới thiệu 19 2.2 Không gian lồi suy rộng 22 2.3 Định lý KKM định lý sánh đôi 23 2.4 Định lý giao toàn thể khác 27 2.5 Tính chất hình học tiết diện 28 2.6 Định lý điểm bất động kiểu Fan-Browder 30 2.7 Định lý tồn phần tử cực đại 32 2.8 Giải tích thay phiên 34 2.9 Bất đẳng thức Minimax 35 2.10 Bất đẳng thức biến phân 40 2.11 Xấp xỉ tốt 42 2.12 Các định lý điểm bất động 43 2.13 Định lý minimax loại von Neumann 45 2.14 Định lý cân Nash 46 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Bảng kí hiệu 2X X họ tất tập X lớp tập hữu hạn khác rỗng X co(A) bao lồi tập A (u.s.c) nửa liên tục (l.s.c) nửa liên tục Mở đầu Lí chọn đề tài Nguyên lý điểm bất động Browder dạng tương đương nó, bổ đề KKM chứng minh khơng gian hữu hạn chiều Năm 1961, Ky Fan chứng minh dạng tương tự bổ đề KKM cho không gian vô hạn chiều gọi nguyên lý ánh xạ KKM, ngày xem trung tâm lý thuyết KKM Sau Ky Fan, nhiều nhà toán học giới mở rộng nguyên lý ánh xạ KKM với loạt vấn đề liên quan Định lý sánh đôi, bất đẳng thức Ky Fan, dạng hình học bất đẳng thức Ky Fan, Bổ đề KKM cho tập mở, định lý điểm bất động, định lý minimax Một hướng phát triển Sehie Park, nhà Tốn học Hàn Quốc, ơng đưa khái niệm khơng gian G-lồi, dạng tổng qt hóa nhiều dạng lồi trừu tượng nhà tốn học khác Trong khơng gian G-lồi ta có cấu trúc lồi (trừu tượng) mà khơng cần đến tính tuyến tính Ngồi ngun lý KKM, ơng thu loạt kết liên quan, tương đương với nguyên lý KKM, ta nói Ngồi chương kiến thức chuẩn bị, đề cập đến lý thuyết KKM khơng gian vecto tơpơ thơng thường, chương 2, chương luận văn, trình bày báo Sehie Park Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn trình bày số kết nghiên cứu nguyên lý KKM không gian G-lồi định lý tương đương với Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn nghiên cứu nguyên lý KKM không gian G-lồi định lý tương đương với Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn nguyên lý KKM không gian G-lồi định lý tương đương với Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, đánh giá sử dụng kiến thức không gian vectơ tôpô để nghiên cứu nguyên lý KKM không gian G-lồi định lý tương đương với Đóng góp Luận văn tổng quan nguyên lý KKM định lý điểm bất động chung không gian vectơ tôpô Chương Các kiến thức bổ trợ Chương trình bày số kiến thức nguyên lý KKM PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân trình bày sách [1] Ngồi ra, chương trình bày số không gian: không gian vectơ tôpô, không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff để phục vụ cho chương sau 1.1 Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ ⊆ P(X) tập X gọi tôpô X thỏa mãn tính chất sau: i) ∅, X ∈ τ ; ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ ; iii) Hợp họ tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Khi (X, τ ) gọi không gian tôpô Định nghĩa 1.1.2 (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực X Một tôpô τ X gọi tương thích với cấu trúc đại số X f (x, y) ≤ sup g(x, x) với z ∈ D; x∈X (b) ta có bất đẳng thức minimax inf sup f (z, y) ≤ sup g(x, x) y∈X z∈D z∈X Để thấy định lý 2.9.1 tương đương với bất ký định lý 2.4.1 đến 2.8.2, ta chứng minh định lý sau: Chứng minh Chứng minh định lý 2.4.1 sử dụng định lý 2.9.1 Định nghĩa hàm f : D × X → R g : X × X → R T (x, y) = y ∈ F (z) khác (2.1) y ∈ G(z) khác (2.2) cho (z, y) ∈ D × X g(x, y) = (x, y) ∈ X × X Khi α = β = (4.3) Lưu ý rằng, cho z ∈ D {y ∈ X : f (z, y) > 0} = {y ∈ X : y ∈ / F (z)} = X \ F (z) mở compact (4.1), ta có (10.1) Và F (z0 ) = {y ∈ X : f (z0 , y) ≤ 0} compact với z0 ∈ D, ta có (10.3) Hơn nữa, (4.2) kéo theo (10.2) Do vậy, định lý 2.9.1 (a), tồn y ∈ X cho f (z, y) ≤ sup g(x, x) = với z ∈ D; x∈X y ∈ F (z) với z ∈ D Điều hồn thành chứng minh định lý 2.4.1 Do ta có sau: Mệnh đề 2.9.1 Định lý 2.4.1 - 2.9.1 đôi tương đương nhau, suy từ định lý 2.3.1 - 2.3.3 36 Cho không gian G-lồi (X ⊃ D; Γ), dạng đóng định lý KKM (định lý 2.3.1) phát biểu lại cho bất đẳng thức minimax khác sau: Định lý 2.9.2 Cho (X ⊃ D; Γ) không gian G-lồi, φ : D × X → R hàm giá trị thực suy rộng, γ ∈ R cho (12.1) {y ∈ X : φ(z, y) ≤ γ} đóng compact với z ∈ D; (12.2) với N ∈ D y ∈ ΓN , ta có minz∈N φ(z, y) ≤ γ ; (12.3) {y ∈ X : φ(z, y) ≤ γ} compact với z0 ∈ D Khi (a) tồn y ∈ X cho φ(z, y) ≤ γ với z ∈ D; (b) γ = supx∈D φ(x, x), ta có bất đẳng thức minimax: miny∈X sup φ(z, y) ≤ sup φ(x, x) z∈D z∈D Chứng minh Chứng minh định lý 2.9.2 sử dụng định lý 2.3.1 Cho F (z) := {y ∈ X : φ(z, y) ≤ γ} với z ∈ D Khi đó, (12.1) (12.3), F :D X có giá trị đóng compact F (z0 )là compact với z0 ∈ D Do đó, điều kiện (1.1) (1.3) thỏa mãn Hơn nữa, (12.2), F ánh xạ KKM Thật vậy, giả sử tồn N ∈ D cho ΓN ⊂ F (N ) Chọn y ∈ ΓN cho y ∈ / F (N ), tức y ∈ / F (z) φ(z, y) > γ với z ∈ N Thế minz∈N φ(z, y) > γ , mâu thuẫn với (12.2) Do vậy, định lý 2.3.1, tồn y ∈ X cho y ∈ z∈D F (z) = ∅, tức là, φ(z, y) ≤ φ với z ∈ D Hoàn thành chứng minh (a) Lưu ý (b) suy từ (a) Chứng minh Chứng minh định lý 2.3.1 cho (X ⊃ D; Γ) sử dụng định lý 2.9.2 Xác định φ : D × X → R φ(z, y) = y ∈ F (z) khác 37 (2.3) (z, y) ∈ D × X đặt γ = định lý 2.9.2 Vì ∈ X : φ(z, y) ≤ 0} = F (z), điều kiện (1.1) kéo theo (12.1) điều kiện (1.3)cho M = {z0 } kéo theo (12.3) [Chú ý ta xét trường hợp (1.3) cho M gồm phần tử] Hơn nữa, F ánh xạ KKM (1.2), điều kiện (12.2) nghiệm Thật vậy, giả sử tồn N ∈ D y ∈ ΓN cho minz∈N φ(z, y) > Khi đó, y ∈ / F (z) với z ∈ N , tức y ∈ ΓN ⊂ F (x), mâu thuẫn Do vậy, định lý 2.9.2, tồn y ∈ X cho φ(z, y) = với z ∈ D, tức y ∈ z∈D F (z) Hoàn thành chứng minh dạng đóng định lý 2.3.1 Nhận xét Dạng đặc biệt định lý 2.9.2 thuộc Zhow Chen, người áp dụng cho bất đẳng thức minimax Ky Fan, định lý điểm yên ngựa bất đẳng thức tựa biến phận Mệnh đề 2.9.2 Cho không gian G-lồi (X ⊃ D; Γ), định lý 2.4.1 kéo theo nguyên lý KKM, tất định lý 2.3.1 - 2.9.2 tương đương Chứng minh Xét trường hợp đặc biệt ΓN = Γ − coN với N ∈ D Dưới giả thiết dạng đóng định lý 2.3.1, giả sử G := X X xác định X \ G− (x) := Γ − co(D \ F − (x)) với x ∈ X Khi rõ ràng (4.2) Ta nói (4.3) Giả sử ngược lại, x∈ / G(x) với x ∈ X x ∈ / G− (x) x ∈ X \ G(x) Điều suy x ∈ ΓN với N ∈ D \ F − (x) định nghĩa G Thế thì, với z ∈ N , ta có z ∈ D \ F − (x) ⇔ z ∈ F − (x) ⇔ x ∈ / F (z) 38 x∈ / F (N ) Do vậy, ΓN ⊂ F (N ), điều vi phạm (1.2) Bây tồn yêu cầu định lý 2.4.1 thỏa mãn, đó, dạng đóng định lý 2.3.1 suy từ định lý 2.4.1 Do vậy, nguyên lý KKM suy từ định lý 2.4.1 Hơn nữa, từ mệnh đề 2.9.1, định lý 2.3.1 - 2.9.1 tương đương, ta có kết luận Nhắc lại hàm số giá trị thực mở rộng f : X → R, X khơng gian tơpơ, nửa liên tục [trên] (l.s.c) [u.s.c] {x ∈ X : f (x) > r} [{x ∈ X : f (x) < r}] mở với r ∈ R Cho không gian G-lồi (X; Γ), hàm thực f : X → R gọi tựa lõm [tựa lồi] {x ∈ X : f (x) > r} [{x ∈ X : f (x) < r}] Γ-lồi với r ∈ R Từ ta xét chủ yếu không gian G-lồi compact (X, Γ) cho đơn giản Định lý 2.9.3 Cho (X, Γ) không gian G-lồi compact f, g : X ×X → R {+∞} hàm số cho (13.1) f (x, y) ≤ g(x, y) với (x, y) ∈ X × X , (13.2) với x ∈ X , g(x, ) tựa lõm X ; (13.3) với y ∈ X , f (., y) nửa liên tục X Khi ta có sup f (x, y) ≤ sup g(x, x) y∈X x∈X x∈X Chứng minh Bởi (13.3) ta thấy supx∈X f (x, y) hàm nửa liên tục theo y khơng gian compact X , tồn cực tiểu Nếu supx∈X g(x, x) = +∞, bất đẳng thức kết luận tự động Nếu αβ = supx∈X g(x, x) < +∞ định lý 2.9.1, ta có kết luận Nhận xét (1) Cho f = g , định lý 2.9.3 trở thành bất đẳng thức minimax Fan Fan thu bất đẳng thức ông từ suy rộng nguyên lý KKM, 39 áp dụng để nhận định lý điểm bất động, định lý tập với tiết diện lồi, định lý tồn lý thuyết thế, (2) Sau đó, bất đẳng thức cơng cụ quan trọng giải tích phi tuyến, lý thuyết trò chơi, lý thuyết kinh tế Đặc biệt, ta có sau: Hệ 2.9.1 Với giả thiết định lý 2.9.3, g(x, x) ≤ với x ∈ X , tồn y0 ∈ X cho f (x, y0 ) ≤ với x ∈ X Đặc biệt sup f (x, y) ≤ y∈X x∈X 2.10 Bất đẳng thức biến phân Định lý 2.9.3 áp dụng để tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân: Định lý 2.10.1 Cho (X, Γ) không gian G-lồi compact p, q : X × X → R h : X → R thỏa mãn (14.1) p(x, y) ≤ q(x, y) với (x, y) ∈ X × X q(x, x) ≤ với mõi x ∈ X; (14,2) với x ∈ X , q(x, ) + h(.) tựa lõm X ; (14.3) với y ∈ X , p(., y) − h(.) nửa liên tục X Khi tồn y0 ∈ X cho p(x, y0 ) + h(y0 ) ≤ h(x) với x ∈ X Chứng minh Đặt f (x, y) := p(x, y) + h(y) − h(x) g(x, y) := q(x, y) + h(y) − h(x) 40 với (x, y) ∈ X × X Thế f g thỏa yêu cầu định lý 2.9.3 Hơn nữa, g(x, x) = q(x, x) ≤ với x ∈ X Do vậy, hệ 2.9.1, ta có kết luận Nhận xét (1) Đặt h = 0, định lý 2.10.1 trở thành hệ 2.9.1 (2) Định lý 2.10.1 sở định lý tồn nhiều kết liên quan đến bất đẳng thức biến phân tài liệu tham khảo Định lý 2.10.2 Cho (X, Γ) không gian G-lồi compact p, q : X × X → R hàm số cho (15.1) p ≤ q đường chéo ∆ := {(x, x) : x ∈ X} q ≤ p (X × X \ ∆; (15.2) với x ∈ X , y −→ q(y, y) − q(x, y) tựa lõm X ; (15.3) với y ∈ X , x −→ p(x, y) nửa liên tục trên X Khi tồn y0 ∈ X cho p(x0 , y0 ) ≤ p(x, y0 ) với x ∈ X Chứng minh Xác định f, g : X × X → R f (x, y) := p(y, y) − p(x, y) g(x, y) := q(y, y) − q(x, y) Thế f g thỏa mãn giả thiết định lý 2.9.3 Vì g(x, x) = với x ∈ X , hệ 2.9.1 kéo theo f (x, y0 ) ≤ với x ∈ X Điều suy kết luận phải chứng minh Nhận xét Cho không gian lồi X p = q , định lý 2.10.2 trở thành định lý Fan, mà cho thấy hữu ích giải tích hàm phi tuyến Trên thực tế, định lý điểm bất động Tychonoff (và đó, định 41 lý điểm bất động Brouwer), bất đẳng thức biến phân Browder, nhiều ứng dụng khác suy từ kết Fan Vì định lý 2.10.2 kéo theo định lý điểm bất động Brouwer, ta có: Mệnh đề 2.10.1 Cho không gian G-lồi compact (X, Γ) Định lý 2.9.3 - 2.10.2 suy định lý 2.3.1 - 2.9.2, định lý 2.3.1 - 2.10.2 hệ tương đương với nguyên lý KKM 2.11 Xấp xỉ tốt Một hệ đơn giản định lý 2.10.2 kết tồn tiếng phép xấp xỉ tốt Ky Fan Định lý 2.11.1 Cho X tập lồi compact không gian vectơ tôpô E f : X → E hàm số liên tục Thế cho nửa chuẩn liên tục E , tồn điểm y0 ∈ X cho p(y0 − f (y0 )) ≤ p(x − f (y0 )) với x ∈ X Chứng minh Với y ∈ X , x0 −→ p(y − f (y)) − p(x − f (y)) lồi X , với x ∈ X , y −→ p(x − f (y)) liên tục Do vậy, định lý 2.10.2, ta có y0 ∈ X thỏa mãn kết luận Nhận xét Xa hơn, E không gian vectơ định chuẩn p chuẩn X , định lý 2.11.1 trở thành kết tồn tiếng phép xấp xỉ tốt thuộc Ky Fan mà suy định lý điểm bất động Schauder; tức là, dạng không gian định chuẩn định lý Brower Do vậy, định lý 2.11.1 suy rộng suy định lý Brower 42 2.12 Các định lý điểm bất động Trong phần này, ta dạng mở định lý KKM hữu ích để suy định lý điểm bất động tổng quát cho không gian vectơ tôpô không gian G-lồi Để đơn giản ta đưa ví dụ Nhắc lại ánh xạ đa trị F : X Y , X, Y không gian tôpô, gọi nửa liên tục (u.s.c) {x ∈ X : F (x) C = ∅} đóng X với C tập đóng Y ; compact miền ảnh F (x) chứa tập compact Y Ta đưa chứng minh đơn giản sau Himmelberg: Định lý 2.12.1 (Himmelberg, 1972) Cho X tập lồi, khác rỗng không gian tôpô Hausdorff lồi địa phương E T : X X ánh xạ đa trị nửa liên tục compact, với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi T có điểm bất động x0 ∈ T (x0 ) Chứng minh Cho U lân cận lồi gốc O E Thế tồn lân cận mở V O cho V ⊂ U Vì K := T (X) compact X , n tồn tập hữu hạn D := {x1 , , xn } ⊂ K ⊂ X cho K ⊂ (xi + V ) i=1 Thế (X ⊃ D, co) không gian G-lồi Với i, đặt F (xi ) := {x ∈ X : T (x) (xi + V ) = ∅} Vì T nửa liên tục trên, F (xi ) mở X Hơn nữa, ta có n n = {x ∈ X : T (x) i=1 T (x) ⊂ K (xi + V ) = ∅} = ∅, i=1 n (xi + V ) i=1 Bây ta áp dụng dạng mở định lý 2.3.1 Vì kết luận khơng đúng, nên F : D X ánh xạ KKM Tức là, tồn tập k {xi1 , , xik } ⊂ D xU ∈ co{xi1 , , xik } cho xU ∈ / F (xj ) Do j=1 43 T (xU ) (xij + V ) = ∅ với j lưu ý xij + V ⊂ xij + U Cho L không gian E sinh D, M := {y ∈ L : T (xU ) (y + U ) = ∅} Vì T (xU ) xij + U = ∅, ta có xij ∈ M với j = 1, , k Vì L, T (xU ) U lồi, dễ dàng kiểm tra M lồi Do vây, xU ∈ M định nghĩa M , ta nhận T (xU ) (xU + U ) = ∅ Cho nên, cho lân cận U O, tồn xU , yU ∈ X cho yU ∈ T (xU ) yU ∈ xU + U Vì T (X) compact tương đối, ta giả sử lưới {yU } hội tụ đến x0 ∈ K , Vì E Hausdorff, lưới {xU } hội tụ đến x0 Vì T nửa liên tục với giá trị đóng, đồ thị T dạng đóng X × T (X) ta có x0 ∈ T (x0 ) Hồn thành chứng minh Nhận xét (1) Định lý 2.12.1 bao gồm định lý điểm bât động Brouwer mở rộng thuộc Schauder, Tychonoff, Hukuhara, Kakutani, Bohnenblust Karlin, Fan, Glicksberg (2) Trong báo tác giả, ta suy nhiều kết tổng quát định lý 2.12.1 từ định lý 2.3.1 Vì định lý 2.3.1 KKM suy định lý Brouwer, ta có kết luận sau: Mệnh đề 2.12.1 Bất lý định lý 2.3.1 - 2.12.1 hệ chúng tương tương với định lý điểm bất động Brouwer Do vậy, định lý Brouwer, bổ đề Sperner, định lý 2.3.1 - 2.12.1 hệ chúng tương tương với xem kết lý thuyết KKM cho không gian lồi suy rộng Chú ý phiên gốc chúng tương đương với kết có loạt áp dụng 44 2.13 Định lý minimax loại von Neumann Cho {(Xi , Di ; Γi )}i∈I họ không gian G-lồi Cho X := Πi∈I Xi trang bị tơpơ tích D := Πi∈I Di Với i ∈ I , cho πi : D → Di hình chiếu Với A ∈ D , xác địn Γ(A) := Πi∈I Γi (πi (A)) Thế (X, D; Γ không gian G-lồi Cũng ý trường hợp Xi = Di với i, tích tập G-lồi G-lồi tích G-không gian Trong phần này, ta ví dụ điển hình cổ điển định lý KKM mở rộng cho khơng gian G-lồi Như ứng dụng trực tiếp định lý 2.6.1, ta có suy rộng sau định lý minimax Neumann-Sion: Định lý 2.13.1 Cho (X; Γ) (Y ; Γ ) không gian G-lồi compact f, g : X × Y → R {+∞} hàm số sau cho (18.1) f (x, y) ≤ g(x, y) với (x, y) ∈ X × Y ; (18.2) với x ∈ X , f (x, ) nửa liên tục g(x, ) tựa lồi Y ; (18.3) với y ∈ Y , f (., y) tựa lõm g(., y) nửa liên tục trên X Khi ta có sup f (x, y) ≤ max inf g(x, y) y∈Y x∈X x∈X y∈Y Chứng minh Lưu ý y −→ supx∈X f (x, y) nửa liên tục Y x −→ inf y∈Y g(x, y) nửa liên tục trên X Do tồn hai bất đẳng thức Giả sử tồn số thực c cho max inf g(x, y) < c < sup f (x, y) x y y 45 x Cho ΓX×Y tích G-lồi xác định Thế (X × Y ; ΓX×Y khơng gian G-lồi compact Xác định ánh xạ T : X × Y X ×Y T (X, Y ) = {x ∈ X : f (x, y) > c} × {y ∈ Y : f (x, y) < c} với (x, y) ∈ X×Y Khi T (x, y) khác rỗng Γ-lồi với (x, y) ∈ X×Y T − (x, y) mở Bằng việc sử dụng định lý 2.12.1, ta có (x0 , y0 ) ∈ X × Y cho (x0 , y0 ) ∈ T (x0 , y0 ) Do vậy, c < f (x0 , y0 ) ≤ g(x0 , y0 ) ≤ c, mâu thuẫn Nhận xét Nếu f = g X không gian G-lồi, định lý 2.13.1 trở thành suy rộng Sion [S] định lý minimax von Neumann: max f (x, y) = max f (x, y) x 2.14 y y x Định lý cân Nash Trong phần này, từ kết điểm bất động loại Fan-Browder cho không gian G-lồi, ta suy định lý giao Ky Fan định lý cân Nash cho khơng gian G-lồi Cho tích đề X = Πni=1 Xi tập, cho X i = Πj=i Xj πi : X → Xi , π i : X → X i hình chiều, ta viết πi (x) = xi π i (x) = xi Cho x, y ∈ X , ta (yi , xi ) := (x1 , , xi−1 , yi , xi+1 , , xn ) Từ hệ 2.6.2, ta có định lý giao loại Ky Fan sau: Định lý 2.14.1 Cho X = Πni=1 Xi , (Xi ; Γ) không gian G-lồi compact, n tập A1 , , An X cho (19.1) với x ∈ X i = 1, , n, tập Ai (x) = {y ∈ X : (yi , xi ) ∈ Ai } 46 Γ-lồi khác rỗng; (19.2) với y ∈ X i = 1, , n, tập Ai (y) = {x ∈ X : (yi , xi ) ∈ Ai } tập mở Khi n i=1 Ai = ∅ Chứng minh Xác định ánh xạ T : X X T (x) = n i=1 Ai (x) với x ∈ X Thế T (x) Γ-lồi phần giao tập Γ-lồi (19.1) Với x ∈ X i, tồn y (i) ∈ Ai (x) (19.1), (i) (1) (n) (yi , xi ) ∈ Ai Do ta có (y1 , , yn ) ∈ T (x) = ∅ Hơn nữa, T − (y) = n i=1 Ai (y) n i=1 Ai (x) Điều cho thấy mở với y ∈ X (19.2) Bây giờ, từ hệ 2.6.2 cho kết luận định lý Nhận xét Nếu Xi khơng gian G-lồi compact X Lưu ý định lý 2.13.1 suy từ định lý 2.14.1 Từ định lý 2.14.1, ta suy định lý cân Nash cho không gian G-lồi sau: Định lý 2.14.2 Cho X = Πni=1 Xi , (Xi ; Γ) không gian G-lồi compact f1 , , fn : X → R hàm liên tục cho (20.1) với x ∈ X , i = 1, , n r ∈ R, tập {(yi , xi ) ∈ X : fi (yi , xi ) > r} Γ-lồi Khi tồn điểm x ∈ X cho fi (x) = max fi (yi , xi ) với i = 1, , n yi ∈Xi Chứng minh Cho ε > với i đặt Aεi = {x ∈ X : fi (x) > max fi (yi , xi ) − ε} yi ∈Xi 47 Khi tập Aε1 , , Aεn thỏa mãn điều kiện (19.1) (19.2) định lý 2.14.1, n ε i=1 Ai = ∅ Vậy Hε = rỗng Vì Hε1 ⊂ Hε2 với ε1 < ε2 , ta có n ε i=1 Ai ε>0 Hε tập compact khác = ∅ Thế x ∈ ε>0 Hε thỏa kết luận Nhận xét chung Đây kết thúc vấn đề có hàng trăm cơng trình cơng bố lý thuyết KKM, ta đề cập tới phần Lưu ý có nhiều người làm việc vấn đề chủ yếu cho toán cân khác 48 Kết luận Ngày nay, lý thuyết KKM phát triển không ngừng Luận văn báo cáo lý thuyết KKM không gian G-lồi Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức thời gian hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Hoàng Thị Mai Phương 49 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] M Lassonde (1983), “ On the use of KKM multifunction in fixed point theory and related topics ”, J Math Anal Appl 97, 151-201 [3] S.Park (2000),“ Elements of the KKM theory for generalized convex spaces ”, Korean J Comput and Appl Meth., Vol 7, No 1, 1-28 50 ... thức không gian vectơ tôpô để nghiên cứu nguyên lý KKM không gian G- lồi định lý tương đương với Đóng g p Luận văn tổng quan nguyên lý KKM định lý điểm bất động chung không gian vectơ tôpô Chương... thành không gian C (hoặc không gian H ) Horrath Ví dụ 2.2.3 Những ví dụ khác không gian G- lồi không gian metric với cấu trúc lồi Michael, Pisicke, không gian S -co rút được, 22 không gian giả lồi. .. ứng dụng, định lý điểm bất động Himmelberg suy từ dạng mở nguyên lý KKM, phát triển định lý minimax von Neumann định lý cân Nash cho không gian G- lồi 21 2.2 Không gian lồi suy rộng Một không gian