Lý thuyết KKM trong không gian G-lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG LÝ THUYẾT KKM TRONG KHƠNG GIAN G-LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG LÝ THUYẾT KKM TRONG KHÔNG GIAN G-LỒI Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình HÀ NỘI - 2016 Lài cám ơn Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen TS Tran Quoc Bình, ngưòi thay đ%nh hưóng chon đe tài nhi¾t tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, thay cô giáo giáng day chuyên ngành Tốn giái tích, trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p tai trưòng Nhân d%p tơi xin gúi lòi cám ơn đen gia đình, ban bè co v, đng viờn e tụi hon thnh luắn ny Hà N®i, tháng 11 năm 2016 Tác giá Hồng Th% Mai Phương Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn chí báo hưóng dan cna TS Tran Quoc Bình, lu¾n văn chun ngành Tốn giái tích vói đe tài:”Lý thuyet KKM khơng gian G-loi” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc tìm hieu cna bán thân tác giá Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung ket cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 11 năm 2016 Tác giá Hoàng Th% Mai Phương Mnc lnc Má đau Các kien thNc bo tra 1.1 Không gian tôpô tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff 1.2 Nguyên lý ánh xa KKM 1.2.1 Bo đe KKM 1.2.2 Nguyên lý ánh xa KKM bat thúc Ky Fan 10 1.2.3 Dang hình hoc cna bat thúc Ky Fan 13 1.2.4 Bo đe KKM cho t¾p hop mó 14 1.2.5 Đ%nh lý minimax 15 1.2.6 Các đ%nh lý điem bat đ®ng 17 Lý thuyet KKM không gian G-loi 19 2.1 Giói thi¾u 19 2.2 Không gian loi suy r®ng .22 2.3 Đ%nh lý KKM đ%nh lý sánh đôi 23 2.4 Đ%nh lý giao toàn the khác .27 2.5 Tính chat hình hoc ho¾c tiet di¾n 28 2.6 Đ%nh lý điem bat đ®ng kieu Fan-Browder 30 2.7 Đ%nh lý ton tai cna phan tú cnc đai 32 2.8 Giái tích thay phiên 34 2.9 Bat thúc Minimax .35 2.10 Bat thúc bien phân 40 2.11 Xap xí tot nhat 42 2.12 Các đ%nh lý điem bat đ®ng 43 2.13 Đ%nh lý minimax loai von Neumann 45 2.14 Đ%nh lý cân bang Nash .46 Ket lu¾n 49 Tài li¾u tham kháo 50 Báng kí hi¾u 2X (X) X co(A) ho tat cá t¾p cna X lóp t¾p huu han khác rong cna bao loi cna t¾p A (u.s.c) núa liên tuc (l.s.c) núa liên tuc dưói Má đau Lí chon đe tài Nguyên lý điem bat đ®ng Browder dang tương đương cna nó, bo đe KKM đưoc chúng minh không gian huu han chieu Năm 1961, Ky Fan chúng minh m®t dang tương tn cna bo đe KKM cho không gian vô han chieu goi nguyên lý ánh xa KKM, ngày đưoc xem trung tâm cna lý thuyet KKM Sau Ky Fan, rat nhieu nhà toán hoc the giói mó r®ng ngun lý ánh xa KKM vói m®t loat van đe liên quan Đ%nh lý sánh đôi, bat thúc Ky Fan, dang hình hoc cna bat thúc Ky Fan, Bo đe KKM cho t¾p mó, đ%nh lý điem bat đ®ng, đ%nh lý minimax M®t nhung hưóng phát trien Sehie Park, nhà Tốn hoc Hàn Quoc, ơng đưa khái ni¾m khơng gian G-loi, m®t dang tong qt hóa cna nhieu dang loi trùu tưong cna nhà tốn hoc khác Trong khơng gian G-loi ta có m®t cau trúc loi (trùu tưong) mà khơng can đen tính tuyen tính Ngồi ngun lý KKM, ơng thu đưoc m®t loat ket liên quan, tương đương vói nguyên lý KKM, ta nói ó Ngồi chương kien thúc chuan b%, đe c¾p đen lý thuyet KKM khơng gian vecto tơpơ thơng thưòng, chương 2, chương cna lu¾n văn, trình bày báo cna Sehie Park Mnc đích nghiên cNu Muc đích nghiên cỳu cna luắn l trỡnh by mđt so ket nghiên cúu ve nguyên lý KKM không gian G-loi đ%nh lý tương đương vói Nhi¾m nghiên cNu Nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn nghiên cúu nguyên lý KKM không gian G-loi đ%nh lý tương đương vói Đoi tưang nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu cna lu¾n văn nguyên lý KKM không gian G-loi đ%nh lý tương đương vói Phương pháp nghiên cNu Tong hop, phân tích, đánh giá sú dung kien thúc bán cna không gian vectơ tôpô đe nghiên cúu ve nguyên lý KKM không gian G-loi đ%nh lý tương đương vói úng gúp mỏi Luắn se l mđt tong quan ve nguyên lý KKM đ%nh lý điem bat đ®ng chung khơng gian vectơ tơpơ Chương Các kien thNc bo tra Chương trình bày m®t so kien thúc bán ve nguyên lý KKM đưoc PGS.TSKH Đo Hong Tân trình bày sách cna [1] Ngồi ra, chương trình bày m®t so không gian: không gian vectơ tôpô, không gian vectơ tôpô loi đ%a phương Hausdorff đe phuc vu cho chương sau 1.1 Khơng gian tơpơ tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Khơng gian tơpơ) Cho t¾p X = Mđt ho P(X) cỏc cna X đưoc goi m®t tơpơ X neu thóa mãn tính chat sau: i) ∅, X ∈ τ ; ii) Giao cna m®t so huu han phan tú thu®c τ thu®c τ ; iii) Hop cna m®t ho tùy ý phan tú thu®c τ thu®c τ Khi (X, τ ) đưoc goi m®t khơng gian tơpơ Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thnc X M®t tơpơ τ X đưoc goi tương thích vói cau trúc đai so cna X tích hàm phi tuyen Trên thnc te, đ%nh lý điem bat đ®ng Tychonoff (và đó, đ%nh lý điem bat đ®ng Brouwer), bat thúc bien phân Browder, nhieu úng dung khác đưoc suy tù ket cna Fan Vì đ%nh lý 2.10.2 kéo theo đ%nh lý điem bat đ®ng Brouwer, ta cú: Mắnh e 2.10.1 Cho mđt khụng gian G-loi compact (X, Γ) Đ%nh lý 2.9.3 - 2.10.2 suy bat kỳ m®t đ%nh lý 2.3.1 - 2.9.2, tùng đ%nh lý 2.3.1 - 2.10.2 h¾ q tương đương vói ngun lý KKM 2.11 Xap xớ tot nhat Mđt hắ quỏ n giỏn cna đ%nh lý 2.10.2 ket ton tai noi tieng ve phép xap xí tot nhat đưoc bat đau tù Ky Fan %nh lý 2.11.1 Cho X l mđt loi compact cúa không gian vectơ tôpô E f : X → E m®t hàm so liên tnc The cho bat kỳ núa chuan liên tnc E, ton tai m®t điem y0 ∈ X cho p(y0 − f (y0)) ≤ p(x − f (y0)) vói moi x ∈ X Chúng minh Vói moi y ∈ X, x0 −→ p(y − f (y)) − p(x − f (y)) loi X, vói moi x ∈ X, y −→ p(x − f (y)) liên tuc Do v¾y, bói đ %nh lý 2.10.2, ta có y0 ∈ X thóa mãn ket lu¾n Nh¾n xét Xa hơn, neu E không gian vectơ đ%nh chuan p m®t chuan X, đ%nh lý 2.11.1 tró thành ket ton tai noi tieng ve phép xap xí tot nhat thu®c ve Ky Fan mà suy đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder; túc là, dang không gian đ%nh chuan cna đ%nh lý Brower Do vắy, %nh lý 2.11.1 suy rđng v suy đ%nh lý Brower 2.12 Các đ%nh lý điem bat đ®ng Trong phan này, ta se chí rang dang mó cna đ%nh lý KKM rat huu ích đe suy đ%nh lý điem bat đ®ng tong quát cho khơng gian vectơ tơpơ ho¾c khơng gian G-loi Đe đơn gián ta chí đưa m®t ví du Nhac lai m®t ánh xa đa tr% F : X a Y , X, Y không T gian tôpô, đưoc goi núa liên tuc (u.s.c) moi {x ∈ X : F (x) C ƒ= ∅} đóng X vói C t¾p đóng cna Y ; compact neu mien ánh F (x) chúa oc mđt compact cna Y Ta đưa m®t chúng minh đơn gián sau cna Himmelberg: Đ%nh lý 2.12.1 (Himmelberg, 1972) Cho X m®t loi, khỏc rong cỳa mđt khụng gian tụpụ Hausdorff loi đ%a phương E T : X a X ánh xa đa tr% núa liên tnc compact, vói giá tr% loi, đóng, khác rong Khi T có m®t điem bat đ®ng x0 ∈ T (x0) Chỳng minh Cho U l mđt lõn cắn loi cna goc O cna E The ton tai m®t lân c¾n mó V cna O cho V ⊂ U Vì K := T (X) compact X, n S (xi + V ton tai t¾p huu han D := {x1, , xn} ⊂ K ⊂ X cho ) K⊂ i=1 The (X ⊃ D, co) l mđt khụng gian G-loi Vúi moi i, T F (xi) := {x ∈ X : T (x) (xi + V ) = ∅} Vì T núa liên tuc trên, moi F (xi) mó X Hơn nua, ta có n n T S T = {x ∈ X : T (x) (xi + V ) = ∅} i= T (x) ⊂ K = ∅, Sn i=1 (xi + V ) i=1 Bây giò ta áp dung dang mó cna đ%nh lý 2.3.1 Vì ket lu¾n cna khơng đúng, nên F : D a X không the ánh xa KKM Túc là, ton tai mđt k {xi1 , , xik } ⊂ D xU ∈ co{xi1 , , xik } cho xU ∈/ S F (xj ) Do j= T (xU ) T (xij + V ) ƒ= ∅ vói moi j lưu ý rang xij + V ⊂ xij + U Cho L khơng gian cna E đưoc sinh bói D, T M := {y ∈ L : T (xU ) (y + U ) ƒ= ∅} T Vì T (xU ) xij + U ƒ= ∅, ta có xij ∈ M vói moi j = 1, , k Vì L, T (xU ) U đeu loi, de dàng kiem tra rang M loi Do vây, T xU ∈ M đ%nh nghĩa cna M , ta nh¾n đưoc T (xU ) (xU + U ) ƒ= ∅ Cho nên, cho moi lân c¾n U cna O, ton tai xU , yU ∈ X cho yU ∈ T (xU ) yU ∈ xU + U Vì T (X) compact tương đoi, ta có the giá sú lưói {yU } h®i tu đen x0 ∈ K, Vì E Hausdorff, lưói {xU } h®i tu đen x0 Vì T núa liên tuc vói giá tr% đóng, đo th% cna T dang đóng X × T (X) ta có x0 ∈ T (x0) Hồn thành chúng minh Nh¾n xét (1) Đ%nh lý 2.12.1 bao gom đ%nh lý điem bât đ®ng Brouwer sn mó r®ng thu®c ve Schauder, Tychonoff, Hukuhara, Kakutani, Bohnenblust Karlin, Fan, Glicksberg (2) Trong báo sap cna tác giá, ta có the suy nhieu ket tong quát đ%nh lý 2.12.1 tù đ%nh lý 2.3.1 Vì đ%nh lý 2.3.1 KKM đưoc suy bói đ%nh lý Brouwer, ta có ket lu¾n sau: M¾nh đe 2.12.1 Bat lý đ%nh lý 2.3.1 - 2.12.1 h¾ cúa chúng tương tương vói đ%nh lý điem bat đng Brouwer Do vắy, %nh lý Brouwer, bo e Sperner, đ%nh lý 2.3.1 - 2.12.1 h¾ cna chúng tương tương vói có the đưoc xem ket bán lý thuyet KKM cho khơng gian loi suy r®ng Chú ý phiên bán goc cna chúng tương đương vói ket q có m®t loat áp dung 2.13 Đ%nh lý minimax loai von Neumann Cho {(Xi, Di; Γi)}i∈I ho bat kỳ cna không gian G-loi Cho X := Πi∈I Xi đưoc trang b% bói tơpơ tích D := Πi∈I Di Vói moi i ∈ I, cho πi : D → Di hình chieu Vói moi A ∈ (D), xác đ%n Γ(A) := Πi∈I Γi(πi(A)) The (X, D; Γ m®t khơng gian G-loi Cũng ý rang trưòng hop Xi = Di vói moi i, tích cna t¾p Gloi G-loi tích cna G-khơng gian Trong phan này, ta se chí rang m®t ví du đien hình co đien cna đ %nh lý KKM có the đưoc mó r®ng cho khơng gian G-loi Như m®t úng dung trnc tiep cna đ%nh lý 2.6.1, ta có sn suy r®ng sau cna đ%nh lý minimax Neumann-Sion: Đ%nh lý 2.13.1 Cho (X; Γ) (Y ; Γr ) không gian G-loi S compact f, g : X × Y → R {+∞} hàm so sau cho (18.1) f (x, y) ≤ g(x, y) vói moi (x, y) ∈ X × Y ; (18.2) vói moi x ∈ X, f (x, ) núa liên tnc dưói g(x, ) tna loi Y ; (18.3) vói moi y ∈ Y , f (., y) tna lõm g(., y) núa liên tnc trên X Khi ta có sup f (x, y) ≤ max inf g(x, y) y∈Y x∈ X x∈X y∈Y Chúng minh Lưu ý y −→ supx∈X f (x, y) núa liên tuc dưói Y x −→ inf y∈Y g(x, y) núa liên tuc trên X Do v¾y ton tai cá hai ve cna bat thúc Giá sú ton tai m®t so thnc c cho max inf g(x, y) < c < sup f (x, y) x y y x Cho ΓX×Y tích G-loi đưoc xác đ%nh The (X ì Y ; XìY l mđt khụng gian G-loi compact Xỏc %nh mđt ỏnh xa T : X ì Y a X ×Y bói T (X, Y ) = {x ∈ X : f (x, y) > c} × {y ∈ Y : f (x, y) < c} vói (x, y) ∈ X×Y Khi T (x, y) khác rong Γ-loi vói moi (x, y) ∈ X×Y T − (x, y) mó Bang vi¾c sú dung đ%nh lý 2.12.1, ta có (x0, y0) ∈ X × Y cho (x0, y0) ∈ T (x0, y0) Do v¾y, c < f (x0, y0) ≤ g(x0, y0) ≤ c, mâu thuan Nh¾n xét Neu f = g neu X m®t khơng gian G-loi, đ%nh lý 2.13.1 tró thành sn suy r®ng cna Sion [S] cna đ%nh lý minimax von Neumann: max f (x, y) = max f (x, y) x 2.14 y y x Đ%nh lý cân bang Nash Trong phan này, tù ket q điem bat đ®ng loai Fan-Browder cho khơng gian G-loi, ta suy đ%nh lý giao Ky Fan đ%nh lý cân bang Nash cho không gian G-loi n Cho tích đe X = Πi= Xi cna t¾p, cho X i = Π X j=i j i i πi : ƒ X → Xi, π : X → X hình chieu, ta viet πi(x) = xi πi(x) = xi Cho x, y ∈ X, ta đưoc (yi, xi) := (x1, , xi 1, yi, − x i+ , , xn) Tù h¾ 2.6.2, ta có đ%nh lý giao loai Ky Fan sau: n Đ%nh lý 2.14.1 Cho X = Πi= Xi, (Xi; Γ) m®t khơng gian G-loi com1 pact, n t¾p A1, , An cúa X cho (19.1) vói moi x ∈ X i = 1, , n, t¾p Ai(x) = {y ∈ X : (yi, xi) ∈ A i} Γ-loi khác rong; (19.2) vói moi y ∈ X i = 1, , n, t¾p Ai(y) = {x ∈ X : (yi, xi) ∈ A i} t¾p mó Tn Khi i= Ai ƒ= ∅ Chúng minh Xác đ%nh m®t ánh xa T : X a X bói T (x) = Tn i= Ai(x) vói x ∈ X The moi T (x) Γ-loi phan giao cna t¾p Γ-loi bói (19.1) Vói moi x ∈ X moi i, ton tai y(i) ∈ Ai(x) bói (19.1), ho¾c (i) (n) (1 n ) (y T i , x ) ∈ A Do ta có (y , , y ) ∈ n i i i=1 Ai(x) Đieu cho thay T (x) ƒ= ∅ Hơn nua, T − (y) =i= Ai(y) mó vói moi y ∈ X bói (19.2) Tn Bây giò, tù h¾ 2.6.2 cho ket lu¾n cna đ%nh lý Nhắn xột Neu moi Xi l mđt khụng gian G-loi compact X v¾y Lưu ý rang đ%nh lý 2.13.1 có the đưoc suy tù đ%nh lý 2.14.1 Tù đ%nh lý 2.14.1, ta suy đ%nh lý cân bang Nash cho không gian G-loi sau: n Đ%nh lý 2.14.2 Cho X = Πi= Xi, (Xi; Γ) m®t khơng gian G-loi com1 pact f1, , fn : X → R hàm liên tnc cho (20.1) vói moi x ∈ X, i = 1, , n r ∈ R, t¾p {(yi, xi) ∈ X : fi(yi, xi) > r} Γ-loi Khi ton tai m®t điem x ∈ X cho fi(x) = max fi(yi, xi) vói i = 1, , n yi∈Xi Chúng minh Cho ε > vói moi i đ¾t Aε = {x ∈ X : fi(x) > max fi(yi, ix ) − ε} i yi∈Xi ε Khi ε t¾p A , , A ε n thóa mãn đieu ki¾n (19.1) (19.2) cna đ %nh A Tn ƒ= ∅ V¾y Hε = lý 2.14.1, T n i=1 i rong Vì Hε1 ⊂ Hε2 vói ε1 < ε2, ta có T ε A l mđt compact khỏc i=1 >0 i H ƒ= ∅ The x ∈ T ε>0 Hε thóa ket lu¾n Nh¾n xét chung Đây khơng phái ket thúc van đe có hàng trăm cơng trình đưoc cơng bo ve lý thuyet KKM, ta chí có the e cắp túi mđt phan c bỏn Lu ý có nhieu ngưòi hi¾n làm vi¾c ve van đe chn yeu cho toán cân bang khác Ket lu¾n Ngày nay, lý thuyet KKM van phỏt trien khụng ngựng Luắn se l mđt bỏo cáo ve lý thuyet KKM khơng gian G-loi M¾c dù tác giá het súc co gang, song kien thúc thòi gian han che nên lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót, tác giá rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna Thay, Cơ giáo ban đe lu¾n văn đưoc hon thiắn hn H Nđi, thỏng 11 nm 2016 Tỏc giá Hồng Th% Mai Phương Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u Tieng Vi¾t [1] Đo Hong Tân Nguyen Th% Thanh Hà (2002), Các đ%nh lý điem bat đ®ng, NXB hoc S Pham H Nđi [B] Ti liắu Tieng Anh [2] M Lassonde (1983), “ On the use of KKM multifunction in fixed point theory and related topics ”, J Math Anal Appl 97, 151-201 [3] S.Park (2000),“ Elements of the KKM theory for generalized convex spaces ”, Korean J Comput and Appl Meth., Vol 7, No 1, 1-28 ... nguyên lý KKM không gian G-loi đ%nh lý tương đương vói Phương pháp nghiên cNu Tong hop, phân tích, đánh giá sú dung kien thúc bán cna không gian vectơ tôpô đe nghiên cúu ve nguyên lý KKM không gian. .. ket q nghiên cúu ve ngun lý KKM không gian G-loi đ%nh lý tương đương vói Nhi¾m nghiên cNu Nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn nghiên cúu nguyên lý KKM không gian G-loi đ%nh lý tương đương vói Đoi... đieu ki¾n (KKM) V¾y m¾nh đe đưoc chúng minh 1.2.2 Nguyên lý ánh xa KKM bat thNc Ky Fan Ngun lý ánh xa KKM m®t mó r®ng cna bo đe KKM không gian vô han chieu l trung tõm cna lý thuyet KKM, mđt bđ