Về một số đường trên siêu mặt trong không gian euclid n chiều en

Mục lục Trang Lời nói đầu 2 Đ1. Một số kiến thức về đờng và siêu mặt trong E n 4 Đ2. ánh xạ Weingarten trên siêu mặt 9 Đ3. Đờng chính khúc trên siêu mặt 18 Đ4. Đờng tiệm cận trên siêu mặt 26 Tài liệu tham khảo 32 Lời nói đầu 1 Trong bộ môn Hình học vi phân, lý thuyết về đờng và mặt có thể nói là một vấn đề rất quan trọng,nó có rất nhiều ứng dụng không chỉ trong toán học mà còn trong cả những ngành khoa học khác có liên quan. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày vấn đề mở rộng mặt trong E 3 vào E n và các loại đờng thờng gặp là đờng chính khúc và đờng tiệm cận trên siêu mặt trong E n . Cấu trúc luận văn: Gồm 4 mục Đ1. Một số kiến thức về đờng và siêu mặt trong E n : Mục này trình bày các khái niệm cơ bản trên mặt và định nghĩa siêu mặt, đồng thời trình bày một số khái niệm có liên quan đến đờng và siêu mặt trên E n . Đ2. ánh xạ Weingarten trên siêu mặt: Mục này trình bày định nghĩa và tính chất của ánh xạ Weingarten trên siêu mặt. Trên cơ sở đó đi đến trình bày các khái niệm độ cong Gauss, độ cong trung bình, các dạng cơ bản I và II, công thức Meusnier, công thức Euler trên siêu mặt. Đ3. Đờng chính khúc trên siêu mặt: Mục này trình bày định nghĩa đờng chính khúc và phơng trình vi phân của đờng chính khúc trên siêu mặt trong tham số hoá địa phơng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày và chứng minh đợc một số tính chất của đờng chính khúc trên siêu mặt (mệnh đề 3.4.1, 3.4.3, 3.4.5. , 3.4.6.) đồng thời nêu một số ví dụ về phơng trình vi phân của đờng chính khúc trên các mặt trong E 3 . Đ4. Đờng tiệm cận trên siêu mặt: Mục này đã trình bày đợc định nghĩa và phơng trình vi phân của đờng tiệm cận trên siêu mặt, chỉ ra một số ví dụ về phơng trình vi phân của đờng tiệm cận trên mặt trong E 3 . Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày và chứng minh đợc một số tính chất của đờng tiệm cận trên siêu mặt (mệnh đề 4.4.1 , 4.4.3, 4.4.4, 4.4.5) Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo - Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình. Tôi xin đợc bày tỏ tấm lòng biết ơn chân thành đến thầy. 2 Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán trờng Đại học Vinh; cảm ơn gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn. Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực của bản thân nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc sự quan tâm đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Vinh, ngày 02 tháng 5 năm 2005 Sinh viên: Trần Thị Phơng Thuý Đ1 Một số kiến thức về ĐƯờNG Và siêu mặt TRONG E n 1.1.Mảnh tham số: Định nghĩa: ánh xạ r từ một tập mở U trong R n - 1 vào không gian Euclid n - chiều E n : r: U E n 3 (u 1 , u 2 , u n - 1 ) r (u 1 , u 2 , u n - 1 ) gọi là một mảnh tham số (n - 1) chiều trong E n (ta vẫn đòi hỏi r khả vi đến lớp cần thiết). Điểm ( ), .,, 0 1 0 2 0 1 n uuu U gọi là 1 điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r dìm tại ( ), .,, 0 1 0 2 0 1 n uuu , tức là nếu: r' u1 ( ), .,, 0 1 0 2 0 1 n uuu , r' u2 ( ), .,, 0 1 0 2 0 1 n uuu ,, r' u n - 1 ( ), .,, 0 1 0 2 0 1 n uuu , độc lập tuyến tính. Điểm không chính quy gọi là điểm kỳ dị. Mảnh tham số r gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy. 1.2. Mảnh hình học: Định nghĩa: Tập con S của E n gọi là mảnh hình học trong E n nếu nó là ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh r: U -> E n từ một tập mở U trong R n- 1 vào E n , gọi là một tham số hóa của mảnh hình học S. 1.3. Đa tạp n - 1 chiều trong E n : Tập con không rông S của E n gọi là một đa tạp n - 1 chiều trong E n nếu mỗi điểm p S có lân cận mở ( của p trong S) là một mảnh hình học; mỗi tham số hoá của mảnh hình học này gọi là một tham số hoá địa phơng của S. Từ nay về sau, ta gọi n đa tạp n - 1chiều (đợc định nghĩa nh trên) là một siêu mặt n - 1 chiều trong E n . 1.4. Một số định nghĩa và khái niệm có liên quan: 1.4.1. Với điểm ( ), .,, 0 1 0 2 0 1 n uuu U, nếu u i (i = 1,1 n ) thay đổi trong một khoảng J R nào đó (u 0 i J) thì cung tham số u i r ( ), .,, ., 0 1 00 1 ni uuu gọi là đờng toạ độ u i qua ( ), .,, 0 1 0 2 0 1 n uuu 1.4.2. Tại điểm chính quy ( u 0 1 , u 0 2 ,.,u 0 1 n ) của mảnh tham số r, siêu phẳng đi qua điểm p 0 ( u 0 1 , u 0 2 ,.,u 0 1 n ) với không gian vec tơ chỉ phơng sinh bởi hệ vec tơ 1u r ( u 0 1 , u 0 2 ,.,u 0 1 n ), 2u r ( u 0 1 , u 0 2 ,.,u 0 1 n ),, 1 n r ( u 0 1 , u 0 2 ,.,u 0 1 n ) gọi là siêu phẳng tiếp xúc của S tại p. 4 1.4.3. Khái niệm tích có hớng trong không gian vec tơ Euclid n E . Hệ { } n eee , 21 là cơ sở trực chuẩn của n E { } 1 1 = n i i a là các vec tơ trong n E với: nn eaeaeaa 12121111 +++= nn eaeaeaa 22221212 +++= nnnnnn eaeaeaa 12121111 +++= Tích có hớng trong n E , ký hiệu là: 1 21 ^^^ = n aaan nnnn n n aaa aaa eee n 11211 11211 21 = (là định thức khai triển theo dòng đầu) 1.4.4. Khái niệm vectơ tiếp xúc với siêu mặt S tại p: Tiếp sau đây siêu mặt S đợc giả thiết là chính quy. Cho S là siêu mặt trong n E , p là một điểm trên S. Cung tham số : I S là một đờng cong trên S và t 0 I t (t) (t 0 ) = p, ta gọi vectơ tiếp xúc với tại P là ánh xạ: V P : RpF )( 0 )( tt tffo dt d f = (Gọi là Vectơ tiếp xúc với đa tạp (hay siêu mặt) S tại P). Nếu r : U S 5 (u 1 , u 2 . u n-1 ) r (u 1 , u 2 u n-1 ) là một tham số hoá của siêu mặt S trong n E thì ui ui Rr = * (trong đó: roRr uiui = ' ), { } 1 1 = = n i ui R là trờng mục tiêu tiếp xúc trên S. 1,1, = ni ui là trờng mục tiêu chính tắc trong 1 n Ru . Khi đó: ' 1 ' 2 ' 1 ' 1 ' 2 ' 1 0 = unuu unuu rrr rrr rn là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị trên S Không gian vectơ tiếp xúc của S tại p đợc ký hiệu là T p S. Đờng thẳng đi qua điểm p 0 thuộc S và vuông góc với siêu phẳng tiếp xúc của S tại p 0 gọi là pháp tuyến của S tại p 0 . 1.4.5. Mặt định hớng: Một hớng trên siêu mặt S trong E n là việc đặt ứng với mỗi điểm Sp một hớng của T p S. Ta đă biết: Với mọi Sp có thể xác định hớng của T p S bởi cơ sở { } 1 1 )( = = n i ui pR trong tham số hoá địa phơng r: U S . Ta có tính chất sau: Siêu mặt S trong E n định hớng đợc khi và chỉ khi có trờng Vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi trên S. Ví dụ: Trong E 3 , mặt cầu định hớng đợc. Thật vậy, giả sử trong E 3 , mặt cầu S có tham số hoá là: (u, v) r (u, v) Vì r (u, v) E 3 nên ta có ( ) ),(),(),,(),,( vurvuzvuyvux Trong đó: ),(),,(),,( vuzvuyvux là những hàm khả vi, và điểm p = ( ) Svuzvuyvux ),(),,(),,( Trên mặt cầu S chọn trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n hớng ra ngoài. Khi đó: ( ) )(,)( pnppn = ( ) ),(),,(),,()( vuzvuyvuxOPpn = là hàm khả vi nên trờng vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cầu S khả vi. => Mặt cầu S định hớng đợc. 1.4.6. Cung trong E n : Định nghĩa: 2 cung tham số : J E n và r: I E n 6 t (t) u r (u) (I, J là những khoảng trong R, và r khả vi) gọi là tơng đơng nếu có vi phôi IJ : )(tut = sao cho 0 r = Đây là một quan hệ tơng đơng Mỗi lớp tơng đơng của quan hệ đó gọi là cung trong E n ; mỗi cung tham số của lớp tơng đơng đó gọi là 1 tham số hoá của cung. Định nghĩa: Cho cung xác định bởi n EJ : )(tt Điểm t 0 của mà 0)(' 0 t gọi là một điểm chính quy của Cung mà mọi điểm đều là điểm chính quy thì gọi là cung chính quy. Điểm song chính quy: Điểm của ứng với t trong tham số hoá t (t) của nó gọi là một điểm song chính quy của , nếu hệ { } )("),(' tt độc lập tuyến tính. Cung mà mọi điểm đều là điểm song chính quy thì gọi là cung song chính quy. 1.4.6.1. Trờng vectơ tiếo xúc đơn vị dọc cung: Xét khi là cung chính quy định hớng: Với mỗi tham số hoá : J E n của , xét trờng vectơ X dọc cho bởi )(' )(' )( t t tX = . Khi đó: X là trờng vectơ đơn vị dọc cung , và họ các trờng vectơ X sẽ xác định trờng vectơ X dọc cung , gọi là trờng vectơ tiếp xúc đơn vị (xác định hớng của cung), đợc ký hiệu là T. 1.4.6.2. Độ cong của 1 cung chính quy tại 1 điểm trong E n : Cho là cung chính quy. Với mỗi tham số hoá tự nhiên: )(: srsr 7 Xét 'rT = và "r ds DT = dọc các tham số hoá tự nhiên r xác định trờng vectơ dọc . Vậy độ cong của tại S trong tham số hoá tự nhiên r: )(srs là k (s), với: )()( s ds DT sk = 1.4.6.3. Vectơ pháp tuyến chính đơn vị của cung song chính quy tại 1 điểm: Xét trờng vectơ ds DT dọc cung song chính quy trong E n ; đặt ds DT ds DT N = thì đợc trờng vectơ đơn vị N dọc gọi là trờng vectơ pháp tuyến chính đơn vị dọc . 1.4.7. Công thức Frenet của đờng cong E n : - Trờng mục tiêu Frenet dọc đờng cong : Giả sử là đờng cong siêu chính quy trong E n , tức là hệ vectơ { } )1( , .' n độc lập tuyến tính. có tham số hoá tự nhiên r = )(srs Ký hiệu T 1 = <T> với T = 'r là không gian vectơ tiếp xúc bởi 'r >=< ",' 2 rrT >= < '",",' 3 rrrT >= < )1( 1 , .' n n rrT Dọc đờng cong luôn tồn tại hệ trờng vectơ trực chuẩn: { } i , 1 thoả mãn 2 điều kiện sau: { } { } )2( 1 )1( )( , ., ') i i rri thì 0 > Ai với 1,1 = ni 8 { } { } )4( 1 )3( 1 , , .) nn EEii thì 0 > An Trong đó Ai, An là các ma trận chuyển theo thứ tự từ cơ sở (1) sang cơ sở (2) và từ cơ sở (3) sang cơ sở (4). Khi đó { 1 ,., n ) gọi là trờng mục tiêu Frenet dọc . Công thức Frénet: Cho là đờng cong trong E n , r = )(srs là tham số hoá tự nhiên của nó, 1 ,., n ) là trờng mục tiêu Frénet dọc . Công thức : 2 ' 1 = k 33122 += kk 4423 ' 3 += kk . nnnnn kk += 21 ' 1 Gọi là công thức Frénet của đờng cong trong E n , trong đó 1,1( = nik i ) gọi là độ cong thứ i của đờng cong. Đ2. ánh xạ Weingarten trên siêu mặt 2.1. Định nghĩa: Giả sử S là đa tạp n - 1 chiều định hớng trong E n (hay siêu mặt (n-1) chiều S định hớng trong E n ) có hớng xác định bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị trên S. Với mọi ST P ta có: [ ] [ ] 01. == nn và [ ] nDnnDnnDnnn .2 . =+= Suy ra: .0.2 STnDnDnnDn P = Ta có ánh xạ h p : T p S T p S nDh p = )( Gọi là ánh xạ Weingarten tại p. Cụi thể: Lấy cung : J S )(tt mà = )(' t 9 Thì h p )( vectơ tiếp xúc trong E n tại p mà h p )( = - )()'( 00 tn 2.2. Tính chất: ánh xạ h p đợc xác định trên là ánh xạ tuyến tính, đối xứng. Chứng minh: i) h p là ánh xạ tuyến tính: Với a 1 ,a 2 R; ST P 21 , , ta có: h p ( naa D aa 2211 ) 2211 + =+ = - ( ) nDnD aa 2211 + = - ( ) nDanDa 21 21 + = - nDanDa 21 21 + = )()( 1211 pp haha + Vậy h p là ánh xạ tuyến tính. ii) h p đối xứng: Ta cần chứng minh với mọi 121 , ., n T P S thì h p ( )(.),( jpiji h = (*) với 1,1, = nji và ji Thật vậy: Lấy tham số hoá địa phơng SUr : (u 1 , u 2 ., u n-1 ) r (u 1 , u 2 ., u n-1 ) Đặt ' 1u r (u 1 , u 2 ., u n-1 ) = R u1 (r (u 1 , u 2 ., u n-1 ) ) ' 2u r (u 1 , u 2 ., u n-1 ) = R u2 (r (u 1 , u 2 ., u n-1 ) ) ' 1 n u r (u 1 , u 2 ., u n-1 ) = R u n-1 (r (u 1 , u 2 ., u n-1 ) ) { } 121 , n uuu RRR là 1 cơ sở trong T p S. Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức (*) đúng với các vectơ của 1 cơ sở trong T p S, tức là ta cần chứng minh h p (R ui ) . R uj = R ui . h p (R uj ) Ta có: h p nDR ui Rui = 10