MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ M- PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE N- CHIỀU

Đây là những nội dung quan trọng trong không gianEuclide, đưa ra lờiphương pháp giải 1 số bài toán liên quan đến m - phẳngtrong không gian Euclide n - chiều nhằm giúp ích phần nào cho họ

Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ m- PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE n CHIỀU.

ĐỀ CƯƠNG KHÓA LUẬN

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1 không gian afin

Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo Đinh Thị Văn đã nhiệt

tình hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kinh nghiệm và gợi mở những ý tưởng giúp tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa toán Trường Đai Học Sư Phạm đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, đóng góp ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp của mình

Tôi xin cảm ơn phòng thư viện Trường Đại Học Sư Phạm

Đà Nẵng đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có được nguồn tài liệu

làm khóa luận

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người luôn ủng hộ tôi, cung cấp cho tôi những thông tin cần thiết, những lời động viên, khích lệ chân thành cùng các ý kiến quí báu trong thời gian tôi làm khóa luận

Đà Nẵng, tháng 05 năm

2012

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Hoài Thương

1.3.1 Địnhnghĩa………

1.3.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ trong n

E V

……

2.4 Tích cóhướng………

2.4.1 Địnhnghĩa………

2.4.2 Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong V E n

………

2.5 Biểu thức tọa độ của tích hổn hợp trong n

E V

………

2.6 Mục tiêu trựcchuẩn………

2.7 Tọa dộ trựcchuẩn………

4.2 Phương trình tổngquát………

5 Vị trí tương đối của các phẳng trong En

5.1 Địnhnghĩa………

5.2 Địnhlý………

5.1.1 Hệ quả1………

5.1.2 Hệ quả2………

5.3 Địnhlí………

5.4 Định lý về số chiều của giao và tổng của hai cái phẳng

5.4.1 Địnhlý………

5.5 Địnhlý………

5.6 Địnhnghĩa………

5.7 Địnhlý………

5.7.1 Hệ quả1………

5.7.2 Hệ quả2………

5.8 Địnhlý………

5.8.1 Hệquả………

5.9 Địnhlí………

5.9.1 Hệquả………

5.10 Các vídụ………

6 Khoảng cách giữa các phẳng

6.1 Khoảng cách giữa 2điểm………

6.2 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 siêuphẳng………

6.2.1 Vectơ pháp tuyến của siêuphẳng………

6.2.2 Tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 siêuphẳng………

6.2.3 Các vídụ………

6.3 Khoảng cách từ một điểm đến một m – phẳng

6.3.1 Định thứcGram………

6.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một m –phẳng………

6.4 Khoảng cách giữa 2 cáiphẳng………

6.4.1 Địnhnghĩa………

6.4.2 Đường vuông góc chung của 2 cáiphẳng………

6.4.3 Định lí1………

6.4.4 Định lí2………

6.4.4.1 Hệ quả1………

6.4.4.2 Hệ quả2………

6.4.5 Vídụ………

C HƯƠNG 0hương 0 : MỞ ĐẦU

I.) Lý do chọn đề tài:

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống và khoa học kỹ thuật Toánhọc là nền tảng cho tất cả các nghành khoa học tự nhiên khác Có thể nói rằngkhông có toán học sẽ không có ngành khoa học nào cả Toán học giúp chúng

ta rèn luyện phương pháp suy luận, giải quyết vấn đề, trí thông minh sáng tạo.Đồng thời rèn luyện đức tính cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh Nói đến toánhọc là nói đến sự gọn gàng và logic

Ở phổ thông, môn toán là một môn khá là quan trọng, khá hay hay, đòihỏi nhiều tư duy, kĩ năng Đặc biệt đây là môn học hình học, đây là môn họckhá trừu tượng khiến học sinh hơi vất vả

Hình học là môn học xuất hiện rất sớm Hàng trăm năm trước côngnguyên, con người đã đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch,xây dựng những kim tự tháp khổng lồ Môn hình học lúc đầu ra đời với ýnghĩa là môn khoa học về đo đạct Nhưng rồi con người không chỉ cần đo đất,

mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp hơn Tuy nhiên hình học chỉ trở thànhmôn khoa học thực sự khi con người nên lên các tính chất hình học bằng conđường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải từ đo đạc trực tiếp

Hình học là một nghành học nghiên cứu các mô hình trong không gian.

Hệ tiên đề hình học đầu tiên lấy mô hình từ không gian vật lý theo nhận thức

là khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng Từ ba khái niệm này Euclide đãxây dựng thành nội dung toàn bộ môn hình học ở phổ thông hiện nay Sau nàygọi là hình học Euclide

Hình học Euclide được giới thiệu ở trung học với việc khảo sát cáchình đa giác, hình tròn, hình cầu, hình đa diện, hình nón…Hơn hai nghìn nămqua hình học Euclide đã có tác dụng lớn đối với nền văn minh nhân loại, từviệc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án, xây dựng nhà cửa, chế tạo các vật dụng

và máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đếncấu trúc của nguyên tử

Hình học Euclide là môn học khá hay, quan trọng đối với học sinh.Trong môn này chúng ta sẽ biết được cách xác định cách lập phương trình vàxét vị trí tương đối của các phẳng như là khoảng cách giữa các phẳng và ứngdụng vào giải 1 số bài toán hình học Vì vậy chúng tôi xây dựng đề tài nàynhằm nghiên cứu vấn đề xây quanh một số dạng bài toán về m- phẳng trongkhông gian Euclide n -chiều như là: Viết phương trình tham số, phương trìnhtổng quát, tìm vị trí tương đối của các phẳng và khoảng cách giữa các phẳngtrong En

II Phạm vi ngughiyên cứu:

Đề tài nghiênguyên cứu về các dạng bài toán m- phẳng trong không gian

Euclide n chiều đó là:

1) Các bài toán về phương trình m- phẳng trong không gian n –- chiều a) Phương trình tham số

III Mục đích chọn đề tài:

Đề tài nghiênuyên cứu về các dạng bài toán m - phẳng trong không gianEuclide n - chiều Đây là những nội dung quan trọng trong không gianEuclide, đưa ra lờiphương pháp giải 1 số bài toán liên quan đến m - phẳngtrong không gian Euclide n - chiều nhằm giúp ích phần nào cho học sinhTHPT giải các bài toán hình học không gian được nhanh hơn, ngắn gọn hơn,nhằm nâng cao hiệu quả học tập

CHƯƠNGhương I: I: CƠ SỞ LÝ LUẬN

I BỔ SUNG CÁC PHÉP TOÁN TRÊN KHÔNG GIAN VECTƠ

1 Tích vô hướng

1.1 Định nghĩa:

Cho V là không gian vectơ trên trường số thực trên đó xác định một phéptoán f sao cho với mỗi cặp vectơ có thứ tự a ,b ∈V ta đặt tương ứng vớimột số thực xác định gọi là tích vô hướng của hai vectơ a ,b , Kí hiệu là a

b hay a b nếu thỏa mãn 4 tiêu đề sau đây:

1) a b =b .a

2) a (b +c ) = a .b +a.c với a ,b ,c∈V

3) λ ( )a b = λ ( )a b với λ ∈R

4) a .a ≥ 0, dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a= 0

CHÚ Ý: Tương ứng f nói trên là một ánh xạ f: V x V→R thỏa mãn 4 điềukiện nêu trên Một không gian vectơ được trang bị thêm tích vô hướng đối vớimọi hai vectơ bất kì của nó sẽ trở thành một không gian vectơ Euclide Khônggian vectơ Euclide n chiều được kí hiệu là Vn E hoặc E n

Các định nghĩa liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ

a b = a.b cos( )a,b

a 2 =a2 ⇒ a = a2

a ⊥b ⇔ a .b = 0

1.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ trong V E n

Trong không gian Euclide En với mục tiêu trực chuẩn cho trước, giả sử:(a a a n)

a = 1, 2, , ,b =(b1,b2, ,b n)

Ta có : a b=∑

=

n i

j e b

a

1

2 , cos(a , b)=

b a

b a

i i

n i i i

b a

b a

1

2 1

diện thuận (nếu vặn nút chai theo chiều từ a đến a

b thì nút chai chuyển động theo hướng của vectơ Hình 6

c- xem hình 6)

Ta thường kí hiệu tích có hướng của hai vectơ avàb là: a ∧ b =c

2.3 Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong V E3

Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz cho hai vectơ a =(a1,a2,a3) ,

2 1 1 3

1 3 3 2

3

b b

a a b b

a a b b

a a

Nếu ϕ là góc giữa hai vectơ a = (a1,a2,a3),b =(b1,b2,b3) ta có côngthức:

sinϕ =

b a

b a

∧

2 3

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

2

2 1

2 1 2

1 3

1 3 2

3 2

3 2

b b b a

a a

b b

a a b

b

a a b

b

a a

+++

+

++

Gọi S là diện tích hình bình hành được a

2 1 2

1 3

1 3 2

3 2

3 2

b b

a a b b

a a b b

a a

++

3 Tích hỗn hợp của 3 vectơ trong V E3

3.1 Định nghĩa

Tích hỗn hợp của ba vectơ a ,,b c trong V E3 là một số, bằng cách nhân cóhướng hai vectơ a, b ta được a ∧b rồi nhân vô hướng vectơ ấy với c.Tích hỗn hợp của ba vectơ a ,,b c được kí hiệu như sau:

(a,b,c ) = (a ∧b).c g =a∧b

3.2 Ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp

Cho ba vectơ a ,,b c không đồng phẳng (H.7) c

Gọi V là thể tích của hình hộp dựng

trên các vectơ a ,,b c Khi đó V = S.h h

trong dó S là diện tích của hình bình b

hành dựng trên hai vectơ avà b còn a S

h là chiều cao của hình hộp Đặt g = a∧b Hình 7

thì theo định nghĩa tích có hướng, ta có g =S

Vectơ g vuông góc với mặt đáy tạo nên bởi hai vectơavàb Ba vectơ

g

b

a ,, tạo thành một tam diện thuận Hai vectơ c và gcó chung gốc vànằm về một phía đối với mặt phẳng đáy và gọiϕ =(g,c)s

ϕ 〉 nghĩa là ba vectơ a ,,b c tạo nên một tam diện nghịch ta có

cosϕ là một số âm, khi đó h = -|c|cosϕ và ta có

KẾT LUẬN: Tích hỗn hợp của ba vectơ a ,,b ckhông đồng phẳng là một số,

có trị tuyệt đối bằng thể tích hình hộp dựng trên ba vectơ a ,,b ctạo nên mộttam diện thuận, âm nếu ba vectơ ấy tạo nên một tam diện nghịch

3.3 Biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp trong V E n

Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc, cho ba vectơ không đồng phẳng:

2 1 2 1 3

1 3 1 3 2

3 2

,

b b

a a c b b

a a c b b

a a c b a

b b b

a a a c b

3 2 1

3 2 1

3 2 1

,,

nếu cơ sở {e1,e2, ,e n}của không gian vectơ EuclideE n là cơ sở trực chuẩn

Tọa độ của một điểm thuộc Enđối với một mục tiêu trực chuẩn gọi là tọa

độ trực chuẩn của điểm đó đối với mục tiêu đã cho (hay còn gọi là tọa độ Đề các vuông góc của điểm đó)

Ta biết rằng mọi không gian vectơ Euclide n chiều với n≥ 1đều có cơ sởtrực chuẩn, do đó ta suy ra trong không gian Euclide n chiều Enluôn luôn cóthể tìm thấy những mục tiêu trực chuẩn

II KHÔNG GIAN AFIN

1 Định nghĩa:

Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là mộtkhông gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ f: A×A→V được kí hiệu làf(M,N) =MN với các điểm M, N thuộc A và vectơ MN thuộc V

Bộ ba (A ,f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiêu đề sau đây được thỏamãn:

i)Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ u thuộc V có duy nhất điểm N

thuộc A sao cho MN = u

ii) Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có MN + NP = MP.

Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ

V trên trường K và được gọi tắt là không gian afin A trên trường K Khônggian vectơ liên kết V còn được kí hiệu là A’ , được gọi là nền của không gianafin A

Nếu V là không gian vectơ thực nghĩa là K = R ta nói A là một không gianafin thực, nếu V là không gian vectơ phức nghĩa là K = C ta nói A là mộtkhông gian afin phức Trong giáo trình này chủ yếu ta nói về không gian afinthực

Không gian afin A gọi là n chiều nếu dimV = n và được kí hiệu dimA = nhay An (liên kết với không gian vectơ Vn )

2 Các ví dụ:

a) Không gian Euclide hai chiều E2 và ba chiều E3 đã học ở trường trunghọc phổ thông trung học là những không gian afin theo thứ tự liên kết với cáckhông gian vectơ (tự do) hai chiều V2 và ba chiều V3 với định nghĩa vectơ,phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số thực đã được trình bày trongsách giáo khoa phổ thông trung học Khi đó rõ ràng ánh xạ f thỏa mãn hai tiêu

đề i) và ii) nói trên

b) Cho V là một không gian vectơ Ta dùng V làm tập hợp A Khi đó cácvectơ của V được gọi là các điểm của A Với hai vectơ a,bthuộc V ta có ánh

xạ f: V×V → V cho bởi : f(a,b ) = b - a thuộc V (vectơ b - a được hoàntoàn xác định)

Rõ ràng ánh xạ f được xác định như trên thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii) nên

V trở thành không gian afin liên kết với V

c) Cho tập hợp Rn trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ số thực có thứ tự

mà ta sẽ gọi là những điểm và không gian vectơ Vn mà mỗi vectơ x của nó sẽtương ứng với một bộ số thực (x ,x ,…,x ) với x∈R Ánh xạ f được xác định

như sau: với hai điểm A = (a1,a2,…,an) và B = (b1,b2,…,bn) của R ta cho đặtntương ứng với một vectơ (b1 – a1,b2 – a2,…,bn – an) của V thì ta dễ dàng chứngnminh được Rn là một không gian afin n – chiều

III KHÔNG GIAN EUCLIDE

mô hình đó trở thành không gian vectơ Euclide n chiều khi đó không gianafin liên kết với không gian vectơ Euclide VE n đó là không gian En

3 Nếu En là không gian Euclide liên kết với không gian vectơ Euclide E n

thì mỗi cái phẳngα của nó cũng là 1 không gian Euclide liên kết với khônggian vectơ Euclide αE mà tích vô hướng trongαE được cảm sinh bởi tích vôhướng của E n

4 Xét không gian con n-chiều của Rn+1

* Đặt Rn0= { (a1,a2, ,a n, 0)/a i∈R,i = 1 ,n}

Xét ánh xạ f : Rn0 × Rn

0 → Rn

0 (x, y ) f(x, y ) =x. y = i

n i

i b a

a a

i a

b

1

= f(y, x)

1

+

=+

=+

b a f b a b

a y

x

i

i i i

i n

f ( x x , ) = ∑ = ∑ ≥

=

=

n i i n

0 dấu “ = ” xảy ra khi a i =0 ∀i= 1 ,n

), ,

,

(

)0,, ,

,(

)0,, ,

,(

)()(

:

2 2

1

1

2 2 1 1 2

2 1 1

MP a

c a c

a

c

b c b c b c a

b a b a b NP MN

Tacó

n n

n n n

n

ϕ

ϕϕ

−

−

−

=+

ϕ

⇒ là ánh xạ afin ⇒R1ncùng với ϕ là 1 không gian afin n chiều.

CHÚ Ý Theo định nghĩa, không gian Euclide cũng là 1 không gian afin nên

trong không gian Euclide vẫn có các khái niệm và các tính chất của khônggian afin Mặt khác trong không gian Euclide còn có các tính chất và kháiniệm không có trong không gian afin, như sự vuông góc của các phẳng, độ dài

các đoạn thẳng, độ lớn của góc v.v…Các khái niệm, tính chất này có liênquan mật thiết đến khái niệm và tính chất của tích vô hướng được trang bịthêm trong không gian vectơ Euclide liên kết với không gian afin đó

IV KHÁI NIỆM VỀ m-PHẲNG:

1 Định nghĩa :

Cho không gian Euclide E liên kết với không gian vectơ E Gọi I là một

điểm của E và α là một không gian vectơ con của E là một không gian vectơ

con của E Khi đó tập hợp.

(n - 1)-phẳng (phẳng n-1 chiều) còn gọi là siêu phẳng

1 Không gian Afin.

1.1 Định nghĩa:

Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là một không gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ f: A×A→V được kí

hiệu là f(M,N) = MN với các điểm M, N thuộc A và vectơMN thuộc V.

Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiêu đề sau đây được thỏa mãn:

i)Với mọi điểm M thuộc A và mọi vecto uthuộc V có duy nhất điểm N

thuộc A sao cho MN = u.

ii) Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có

Không gian afin A gọi là n chiều nếu dimV = n và được kí hiệu dimA =

n hay A n ( liên kết với không gian vectơ V n ).

1.2 Các ví dụ:

a) Không gian Euclide hai chiều E 2 và ba chiều E 3 đã học ở trường trung học phổ thông trung học là những không gian afin theo thứ tự liên kết với các không gian vectơ (tự do) hai chiều V 2 và ba chiều V 3 với định nghĩa vectơ, phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số thực đã được

trình bày trong sách giáo khoa phổ thông trung học Khi đó rõ ràng ánh

xạ f thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii) nói trên.

b) Cho V là một không gian vectơ Ta dùng V làm tập hợp A Khi đó các vectơ của V được gọi là các điểm của A Với hai vectơ a,b thuộc V ta có ánh xạ f: V×V → V cho bởi : f(a,b) = b - a thuộc V (vectơ b - a được

hoàn toàn xác định).

Rõ ràng ánh zạ f được xác định như trên thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii) nên V trở thành không gian afin liên kết với V trở thành không gian afin liên kết với V.

c) Cho tập hợp R n trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ số thực có thứ

tự mà ta sẽ gọi là những điểm và không gian vectơ V n mà mỗi vectơ xcủa nó sẽ tương ứng với một bộ số thực (x 1 ,x 2 ,…,x n ) với x i∈R Ánh xạ f

được xác định như sau: với hai điểm A = (a 1 ,a 2 ,…,a n ) và B(b 1 ,b 2 ,…,b n ) của

R n ta cho đặt tương ứng với một vectơ (b 1 – a 1 , b 2 – a 2 ,…, b n – a n ) của V n

thì ta dễ dàng chứng minh được R n là một không gian afin n – chiều

2 Không gian Euclide:

2.1 Định nghĩa:

Không gian Euclide là không gian afin liên kết với không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều Không gian Euclide thường được ký hiệu là E Không gian vectơ liên kết với nó thường được ký hiệu là V E hoặc là E Không gian Euclide được gọi là n chiều kí hiệu là E n nếu không gian vectơ

Euclide liên kết với nó có số chiều bằng n.

2.2 Các ví dụ:

1 Không gian Euclide ba chiều thông thường được học trong chương trình toán ở phổ thông được ký hiệu là E 3 Trong không gian này, mặt

phẳng Euclide là không gian Euclide 2 chiều được ký hiệu là E 2 Các không gian E3 và E2 là các không gian vecto tự do ba chiều và hai chiều Tích vô hướng trong không gianE3 vàE2 được định nghĩa như sau:

3 Nếu E n là không gian Euclide liên kết với không gian vectơ Euclide E n

thì mỗi cái phẳng α của nó cũng là 1 không gian Euclide liên kết với

không gian vectơ Euclide αE mà tích vô hướng trong αE được cảm sinh bởi tích vô hướng của E n .

4 Xét không gian con n – chiều của R n+1

* Đặt R0n= { (a1,a2, ,a n, 0)/a i ∈R,i= 1 ,n}.

Xét ánh xạ f : R0n ×Rn0 → Rn

0

( x, y )  f(x, y ) =x. y = i

n i

i b a

⇒ cùng với ϕ là 1 không gian Euclide n chiều.

CHÚ Ý Theo định nghĩa, không gian Euclide cũng là 1 không gian afin

nên trong không gian Euclide vẫn có các khái niệm và các tính chất của không gian afin Mặt khác trong không gian Euclide còn có các tính chất

và khái niệm không có trong không gian afin, như sự vuông góc của các phẳng, độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của góc v.v…Các khái niệm, tính chất này có liên quan mật thiết đến khái niệm và tính chất của tích vô hướng được trang bị thêm trong không gian vectơ Euclide liên kết với không gian afin đó

2.3 Tích vô hướng

2.3.1 Định nghĩa:

Cho V là không gian vectơ trên trường số thực trên đó xác định một phép toán f sao cho với mỗi cặp vectơ có thứ tự a,b ∈V ta đặt tương ứng với một số thực xác định gọi là tích vô hướng của hai vectơ a,b , Kí hiệu là a.b hay a b nếu thỏa mãn 4 tiêu đề sau đây:

1) a.b =b .a

2) a(b +c) = a.b +a .c với a ,b ,c∈V

3) λ ( ) a b = λ ( ) a b với λ∈R

4) a.a ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= 0

CHÚ Ý: Tương ứng f nói trên là một ánh xạ f: V x V→R thỏa mãn 4 điều kiện nêu trên Một không gian vectơ được trang bị thêm tích vô hướng đối với mọi hai vectơ bất kì của nó sẽ trở thành một không gian vectơ Euclide Không gian vectơ Euclide n chiều được kí hiệu là Vn E hoặc E n Các định nghĩa liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ.

a.b = a b cos ( ) a , b

a 2 = a2 ⇒ a = a2

a ⊥ b ⇔ a.b = 0

2.3.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ trong VE n

Trong không gian Euclide En với mục tiêu trực chuẩn cho trước, giả sử: a = ( a1, a2, , an) ,b = ( b1, b2, , bn).

Ta có : a b=∑

=

n i

je b

a

1

2 , cos(a , b ) =

b a

b a

i i

n i

i i

b a

b a

1

2

1 2

Hình 6 a

Ta thường kí hiệu tích có hướng của hai vectơ a vàb là: a ∧ b =c

Tính chất:

a ∧ b = - b ∧ a(phản giao hoán)

p.(a ∧ b ) = p.a ∧ b =a ∧p.b với p∈R

(a+b )∧ c= a ∧ c+ b ∧ c

a ∧( b + c) = a ∧ b +a ∧ c.

2.4.2.Biểu thức tọa độ của tích có hướng trong VE3

Trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc Oxyz cho hai vectơ

( a1, a2, a3)

a = , b = ( b1, b2, , bn) Hãy tìm tọa độ của vectơ a ∧ b = c.

Ta dễ dàng tính được tọa độ của vectơ cnhư sau:

2 1 1 3

1 3 3 2

3

b b

a a b b

a a b b

a a

b a

∧

2 3

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

2

2 1

2 1 2

1 3

1 3 2

3 2

3 2

a a a

b b

a a b

b

a a b

b

a a

+++

+

++

a

Gọi S là diện tích hình bình hành được

dựng trên các vectơ a, b (H.8) b

(H.8)

S = a ∧ b =

2

2 1

2 1 2

1 3

1 3 2

3 2

3 2

b b

a a b b

a a b b

a a

++

2.5.Biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp trong VE n

Trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc, cho ba vectơ không đồng phẳng:

2 1 2 1 3

1 3 1 3 2

3 2.

,

b b

a a c

b b

a a c b b

a a c b a c

b b b

a a a c b

3 2 1

3 2 1

3 2 1

, ,

2.6.Mục tiêu trực chuẩn:

Mục tiêu afin {0;e1,e2, ,e n} của không gian Euclide n chiều trong E n

được gọi là mục tiêu trực chuẩn ( hay còn gọi là hệ tọa độ đề các vuông góc) nếu cơ sở {e1,e2, ,e n}của không gian vecto EuclideE n là cơ sở trực chuẩn nghĩa là:

0 khi i ≠ j

j

i e

e = δ ii = với i, j = 1,2,…,n

1 khi i = j

2.7 Tọa độ trực chuẩn:

Tọa độ của một điểm thuộc Enđối với một mục tiêu trực chuẩn gọi là tọa độ trực chuẩn của điểm đó đối với mục tiêu đã cho (hay còn gọi là tọa

độ Đề - các vuông góc của điểm đó).

Ta biết rằng mọi không gian vectơ Euclide n chiều với n≥ 1đều có cơ sở trực chuẩn, do đó ta suy ra trong không gian Euclide n chiều Enluôn luôn có thể tìm thấy những mục tiêu trực chuẩn.

3.Khái niệm về m phẳng:

3.1 Định nghĩa:

Cho 1 tập hợp P, một K-không gian vectơ n+1 chiều V n+1 và 1 song ánh f:[ ] vn+ 1 → P n .Khi đó bộ ba P n =(P,f,V n+1 ) được gọi là không gian xạ ảnh n chiều trên trường K, liên kết với K- không gian vectơ V n+1 bởi song ánh f.

Gọi W là không gian vectơ con m+1 chiều của V n+1 (m≥ 0) khi đó tập hợp P([ ]W ) được gọi là cái phẳng m chiều (hoặc là m phẳng ).

Trong không gian Euclide n chiều En liên kết với không gian vectơ Euclide

Vn E cho m- phẳng Em xác định bởi m + 1 điểm độc lập E0,E1,…,Em cho trước.Giả sử với một mục tiêu đã cho là {E ,0 E i} các điểm E0, E1,…,Em có tọa độ là:

Ei = (ei1, ei2,,…,ein) với ii = 0,1,2,…,m

Gọi VE m là phương của Em nhận m vectơ E0E1,E0E2 ,…,E0E m làm cơ sở

Do đó:

X ∈Em ⇔ E0X ∈ m

E V

⇔ E0X = t1E0E1+ t2E0E2 +…+ tmE0E m (1)

Với t1,t2,…,tm thuộc trường K

Nếu (x1,x2,…,xn) là tọa độ Euclide của điểm X thì phương trình (1) ởtrên có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

[ ]x - [ ]e0 = t1([ ]e1 -[ ]e0 ) + t2([ ]e2 -[ ]e0 ) +…+ tm([ ]e m -[ ]e0 )

⇔ [ ]x = t1([ ]e1 -[ ]e0 ) + t2([ ]e2 -[ ]e0 ) +…+ tm([ ]e m -[ ]e0 ) + [ ]e0 (2)

Phương trình (2) được viết dưới dạng tọa độ như sau:

xi = t1( e1i - e0i) + t2(e2i - e0i) +…+tm(emi - e0i) + e0i với i= 1,2,…,n (3)

+

−+

−

=

+

−+

+

−+

−

=

+

−+

+

−+

−

=

⇔

n n

mn m n

n n

n n

m m

m m

e e

e t e

e t e

e t

x

e e

e t e

e t e

e t x

e e

e t e

e t e

e t x

0 0

0 2

2 0

1 1

02 02

2 02

22 2 02 12

1 2

01 01

1 01

21 2 01 11 1 1

Hệ phương trình (3) gồm có n phương trình được gọi là phương trình tham

số của m- phẳng đã cho và các số t1,t2,…,tm gọi là các tham số, với một bộ m

số (t1,t2,…,tm) ta có bộ n số (x1,x2,…,xn) là tọa độ của một điểm X nào đóthuộc m - phẳng Em đã cho

Ta cần chú ý rằng vì hệ m vectơ E0E1,E0E2 ,…,E0E m độc lập tuyến tínhnên từ các hệ số của phương trình (3) ta lập được ma trận M có n hàng, m cột

n n n

m m

e e e

e e e

e e e

e e e

e e e

e e e

0 0

2 0 1

02 2 02

22 02 12

01 1 01

21 01 11

1 Định lí: Nếu cho hệ phương trình m tham số có dạng:

xi= t1b1i+ t2b2i+…+ tmbmi+ b0i (4)

B0 = ( b01,b02,…,bon)

B1 = ( b11 + b01,b12+b02,…,b1n+b0n)

… … … … …

Bm = (bm1+b01,bm2+b02,…,bmn+b0n)

Ta dễ dàng nhận thấy rẳng khi đó hệ m vectơ B0B1 ,B0B2 ,…,B O B m

đĐộc lập tuyến tính vì ma trận B =  b ji [ ]b ji nói trên có hạng bằng m.

Từ đó ta suy ra hệ m+1 điểm B0,B1,B2,…,Bm độc lập Nếu ta viết phươngtrình tham số của m- phẳng xác định bởi m + 1 điểm B0,B1,B2,…,Bm đó thì rõràng ta được hệ phương trình (4) Vậy hệ phương trình (4) là phương trìnhtham số của một m - phẳng Euclide của không gian Euclide En

ta có thể giả thiết m hàng đầu là độc lập Khi đó chúng ta lập thành một1 hệphương trình tuyến tính với m ẩn là t1,t2,…,tm có định thức hệ số ≠khác 0, do

đó nó có nghiệm duy nhất Ta tìm được giá trị của các ẩn t1,t2,…,tm biểu thịbậc nhất đối với x1,x2, …,xm và thay thế các giá trị đó vào n - m phương trình

còn lại của phương trình (4) ta được hệ phương trình có dạng bậc nhất đối vớicác biến x1,x2,…,xm,xm+1,…,xn + và có dạng :

0

1

= +

Hạng của ma trận   c ji [ ]C ij bằng n - m vì trong hệ (5) các hệ số cCij ứng

với biến xm+1 ở hàng đầu bằng 1, với biến xm+2 ở hàng thứ 2 bằng 1,…, vớibiến xn ở hàng thứ n-m cũng bằng 1 Ma trận hệ số của phương trình (5) cóhạng bằng n-m vì có định thức con cấp n-m ứng với biến xm+1,xm+2,…,xn là:

00

01

0

00

00

000

010

00

001

∑

n j

j

Ngược lại người ta chứng minh được rằng: Mỗi hệ phương trình tuyếntính với các biến x1,x2,…,xn và có hạng n- m đều biểu thị một m -– phẳnghoàn toàn xác định của En.

4.32 Các ví dụ:

4.2.1 Ví dụ 1:

Trong không gian Euclide E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước Viếtphương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểmA(1,1,-3,-2) và B(-2,0,0,0)

−

−

⇔

2 2

3 3 1

1 3

2 3 1 3

2 3 1 1

4 3 2 1

4 3 2 1

t x

t x

t x

t x

t x

x x x

Từ phương trình tham số của đường thẳng d ta suy ra phương trình tổngquát của đường thẳng d là:

2

2 3

3 1

1 3

4.2.2.Ví dụ 2::

Trong không gian Euclide E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước Viếtphương trình mặt phẳngα đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,1,-3,-2), B(-2,0,0,0), C(1,2,0,-1)

=

− +

=

+ +

−

−

⇔

) 4 ( 2 2

) 3 ( 3 3 3

) 2 ( 1

1 1

3

1 3 1 0

2 3 1 3

2 3 1 1

2 1 4

2 1 3

2 1 2

1 1

2 1

4 3 2 1

t t x

t t x

t t x

t x

t t

x x x x

−

=

−

− +

−

0 3

2 3

3 1

0 3

4 3 3

2

4

3 1

3 2 1

x

x x

x x x

⇒ t1 = x1 – 3x2 + x3 + 5.

Thay t1 vào phương trình (1) ta được phương trình tổng quát của mặt phẳng α

a) Các phẳng α vàβ gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung

b) Cái phẳng α α gọi là song song vớiβ nếuα là không gian con của β c) Các phẳngα α vàβ gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và khôngsong song với nhau

d) Giao α α ∩ β hiểu theo nghĩa thông thường của lý thuyết tập hợp và gọi

là giao của hai cái phẳng α α vàβ

e) Tổng α +β là giao của tất cả các phẳng chứaα vàβ , α+β gọi là tổngcủa hai cái phẳngα vàβ

Thật vậy gọi α ’ là m- phẳng đi qua điểm I và có phươngαcủa α khi đó

α ’ song song vớiα thì rõ ràng α ’ vàα ’’ cũng song song với nhau và vì chúng

có điểm chung và α '' =α nên chúng trùng nhau.

5.3 Định lý::

Hai phẳng α vàβ cắt nhau khi và chỉ khi với mọi điểm I∈ α , mọi điểm J∈

β ta có IJ∈α +β

Chứng minh:

Nếuα vàβ cắt nhau và M là một điểm chung của chúng thì IM ∈α, MJ

∈β, do đó: IJ = IM +MJ∈α +β .

Ngược lại nếu IJ ∈α +β thì IJ =u+v, trong đó u∈α, v∈β Trong

α đó α ta lấy điểm M sao cho IM = u; trongβ ta lấy điểm N sao cho

dim(α +β ) = dimα + dimβ - dim(α ∩ β)

Nếu α vàβ không cắt nhau thì:

dim(α +β ) = dimα + dimβ - dim(α∩+β) + 1

Chứng minh:

Nếu α vàβ cắt nhau thì giaoα ∩ β là cái phẳng có phương là α∩ β

Ta lấy I∈α ∩ β là cái phẳng là α+ β.Ta lấy I∈α ∩ β và gọiγ là cáiphẳng qua I và có phương là γ =α+ β Rõ ràngγ chứa α vàβ Ngoài ranếu có một phẳng γ ’ chứa α vàβ thì nó phải chứa điểm I và phương của nó